Teoria da Probabilidade

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Teoria da Probabilidade

Anna Regina Cˆorbo

DEMAT - CEFET/RJ

Aula Te´orica 3

Anna Regina Cˆorbo Teoria da Probabilidade

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Teoria da Probabilidade

É a base teórica para análise de fenômenos aos quais está associada alguma forma de incerteza.

O estudo de probabilidades parte de experiências aleatórias, cujo resultado não pode ser conhecido antes que a experiência seja realizada.

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Conceitos B´ asicos de Probabilidade

Experimento Aleat´orio Espa¸co Amostral Evento

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Conceitos B´ asicos de Probabilidade

Frequˆencia Relativa

Frequˆencia Relativa:

A frequˆencia relativa do eventoA´e definida por:

f_A = n_A N

onden_A indica o número de ocorrências do evento Aem N realiza¸cões do experimento aleatório.

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Combina¸c˜ ao de Eventos (conjuntos)

Uni˜ao de Eventos

a) Uni˜ao de Eventos:

A∪B ={w_i ∈S|w_i ∈Aou w_i ∈B}

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Combina¸c˜ ao de Eventos (conjuntos)

Interse¸c˜ao de Eventos

b) Interse¸c˜ao de Eventos:

A∩B ={w_i ∈S|w_i ∈Ae w_i ∈B}

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Combina¸c˜ ao de Eventos (conjuntos)

Diferen¸ca de Eventos

c) Diferen¸ca de Eventos:

A−B ={w_i ∈S|w_i ∈Ae w_i 6∈B}

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Combina¸c˜ ao de Eventos (conjuntos)

Complementar de um Evento

d) Complementar de um Evento:

A^c ou A¯={w_i ∈S|w_i 6∈A}

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Combina¸c˜ ao de Eventos (conjuntos)

Eventos mutuamente exclusivos

e) Eventos mutuamente exclusivos:

Dois eventosAe B s˜ao mutuamente exclusivos seA∩B =∅, isto

´e, seAocorreu certamenteB n˜ao ocorreu.

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Probabilidade: Defini¸c˜ ao

Consideremos um espa¸co amostral finito S ={A₁,A2,· · ·,A_k}.

Para cada eventoA_i, vamos associar um n´umero realP(A_i) ou p_i, chamado deprobabilidade do evento Ai.

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Probabilidade: Defini¸c˜ ao

A fun¸c˜ao probabilidade que atua sobre o espa¸co amostral S satisfaz aos axiomas:

(i) 06P(A)61, para todo A∈S.

(ii) P(S) = 1, o chamado “evento certo”.

(iii) P(A₁∪A₂∪ · · ·) =P(A₁) +P(A₂) +· · ·, onde A_j s˜ao eventos mutuamente exclusivos.

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Probabilidade: Defini¸c˜ ao

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Probabilidade: Defini¸c˜ ao

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Probabilidade: Propriedades

1 P(∅) = 0

2 P( ¯A) = 1−P(A)

3 P(A)6P(S)

4 Para qualquerA₁,A₂ onde A₁⊂A₂ temos queP(A)6P(A₂)

5 P(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B)

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Probabilidade: Propriedades

1 P(∅) = 0

2 P( ¯A) = 1−P(A)

3 P(A)6P(S)

5 P(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B)

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Probabilidade: Propriedades

1 P(∅) = 0

2 P( ¯A) = 1−P(A)

3 P(A)6P(S)

5 P(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B)

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Probabilidade: Propriedades

1 P(∅) = 0

2 P( ¯A) = 1−P(A)

3 P(A)6P(S)

5 P(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B)

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Probabilidade: Propriedades

1 P(∅) = 0

2 P( ¯A) = 1−P(A)

3 P(A)6P(S)

5 P(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B)

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Espa¸cos Amostrais Equiprov´ aveis

Dizemos que uma distribui¸cão de probabilidade sobreS é equiprovável se todos os eventosA₁,A₂,· · ·,A_k deS tem a mesma probabilidade de acontecer.

Neste caso, a probabilidade de um eventoAi acontecer ´e dada por:

P(A_i) =#A_i

#S

onde #A_i indica o n´umero de resultados poss´ıveis que comp˜oem o eventoA_i dentro de todos os eventos de S.

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Espa¸cos Amostrais Equiprov´ aveis

Exemplo 1:

De 300 estudantes de engenharia, 100 estão matriculados em Cálculo e 80 em Estat´ıstica. Estes dados incluem 30 estudantes que estão matriculados em ambas as disciplinas. Qual é a

probabilidade de que um estudante aleatoriamente escolhido esteja matriculado em C´alculo ou em Estat´ıstica?

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M´ etodos de Contagem

Princ´ıpio da Multiplica¸c˜ao

Se uma experiência aleatória temm resultados poss´ıveis e outra temn resultados poss´ıveis então existemm×n resultados para as duas experiências.

Exemplo: Lan¸car um moeda 3 vezes 1â exp. 2â exp. 3â exp.

2 possib× 2 possib× 2 possib = 8 resultados poss´ıveis.

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M´ etodos de Contagem

Princ´ıpio da Multiplica¸c˜ao

Se uma experiência aleatória temm resultados poss´ıveis e outra temn resultados poss´ıveis então existemm×n resultados para as duas experiências.

Exemplo: Lan¸car um moeda 3 vezes 1â exp. 2â exp. 3â exp.

2 possib× 2 possib× 2 possib = 8 resultados poss´ıveis.

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M´ etodos de Contagem

Técnicas de Análise Combinatória

a) Permuta¸c˜ao

De quantas formas podemos ordenarn objetos?

Pn=n!

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M´ etodos de Contagem

b) Arranjo

Consideren objetos, escolhemosp objetos onde p6n. Quantas s˜ao as escolhas poss´ıveis se a ordem ´E importante?

A^p_n= n!

(n−p)!

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M´ etodos de Contagem

c) Combina¸c˜ao

Consideren objetos. Escolhemos p objetos onde p 6n. Quantas são as escolhas poss´ıveis se a ordem NÃO É importante?

C_n^p= n!

p!(n−p)! =

n

p

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M´ etodos de Contagem

Exemplo 2:

De um baralho de 52 cartas, duas s˜ao extra´ıdas ao acaso, sem reposi¸c˜ao. Qual a probabilidade de ambas serem de copas?

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Probabilidade

Exemplo 3: O problema dos anivers´arios

Num grupo der pessoas, qual a probabilidade de que pelo menos 2 pessoas aniversariem no mesmo dia?