Representação Compressiva de Malhas

JOS´ E PAULO RODRIGUES DE LIMA

Representa¸ c˜ ao Compressiva de Malhas

Mesh Compressive Representation

S ˜ AO PAULO

2014

Representa¸ c˜ ao Compressiva de Malhas

Disserta¸ c˜ ao apresentada ` a Escola de Artes, Ciˆ encias e Humanidades da Universidade de S˜ ao Paulo para obten¸ c˜ ao do t´ıtulo de Mestre em Ciˆ encias do Programa de P´ os-Gradua¸ c˜ ao em Sistemas de Informa¸ c˜ ao

Vers˜ ao corrigida contendo as altera¸ c˜ oes so- licitadas pela comiss˜ ao julgadora em 17 de fevereiro de 2014 . A vers˜ ao original encontra-se em acervo reservado na Biblioteca da EA- CH/USP e na Biblioteca Digital de Teses e Disserta¸ c˜ oes da USP (BDTD), de acordo com a Resolu¸ c˜ ao CoPGr 6018, de 13 de outubro de 2011.

Area de Concentra¸ ´ c˜ ao: Ciˆ encia da Com- puta¸ c˜ ao

Orientador(a): Prof. Dr. Helton Hide- raldo B´ıscaro

S ˜ AO PAULO

2014

CATALOGAÇÃO-NA-PUBLICAÇÃO Biblioteca

Escola de Artes, Ciências e Humanidades da Universidade de São Paulo

Lima, José Paulo Rodrigues de

Representação compressiva de malhas / José Paulo Rodrigues de Lima ; orientador, Helton Hideraldo Bíscaro. – São Paulo, 2014.

xvi, 85 f. : il.

Dissertação (Mestrado em Ciências) - Programa de Pós- Graduação em Sistemas de Informação, Escola de Artes, Ciências e Humanidades, Universidade de São Paulo, em 2014.

Versão corrigida.

1. Processamento de imagens . 2. Algoritmos para imagens.

3. Algoritmos e estrutura de dados.. I. Bíscaro, Helton Hideraldo, orient. II. Título.

CDD 22.ed. – 621.367

Folha de Aprova¸c˜ ao

Disserta¸c˜ ao sob o t´ıtulo “Representa¸ c˜ ao Compressiva de Malhas”, defendida por Jos´ e Paulo Rodrigues de Lima e aprovada em 17 de fevereiro de 2014, em S˜ ao Paulo, Estado de S˜ ao Paulo, pela banca examinadora constitu´ıda pelos doutores:

Prof. Dr. Helton Hideraldo B´ıscaro Orientador

Prof. Dr. Jo˜ ao Paulo Gois Universidade Federal do ABC

Prof.

Dr.

F´ atima L. S. Nunes Marques

Universidade de S˜ ao Paulo

Para meu amor, Nara Escarabelin Martins.

Em mem´ oria de Sebasti˜ ao Rodrigues de Lima e

Carmela Canale Rodrigues de Lima.

Um agradecimento especial para aquele sem o qual este trabalho n˜ ao seria poss´ıvel: Dr. Helton B´ıscaro.

Sua orienta¸c˜ ao foi ´ımpar.

Agrade¸co ` a minha esposa Nara e minha fam´ılia por me acompanhar nesta jornada. Obrigado pela paciˆ encia.

Uma lembran¸ca especial para Maria Aparecida, Pe-

dro Luiz Martins, Marlene Escarabelin Martins, Pe-

dro Henrique Escarabelin Martins, Juliana Escarabe-

lin Martins, S´ılvio Cust´ odio, Anderson Pereira, Rafael

Angelo, Luis Marsoti, Ariane Marsoti, Paulo Eduardo

e Leandro da Silva. Obrigado por entenderem minha

ausˆ encia em v´ arios momentos.

Isso aqui ´ e trabalho, meu filho!

(Muricy Ramalho, 2013)

Resumo

LIMA, Jos´ e Paulo Rodrigues de. Representa¸ c˜ ao Compressiva de Malhas. 2014.

101 f. Disserta¸c˜ ao (Mestrado em Ciˆ encias pelo Programa de P´ os-Gradua¸c˜ ao em Sistemas de Informa¸c˜ ao) – Escola de Artes, Ciˆ encias e Humanidades, Universidade de S˜ ao Paulo, S˜ ao Paulo, 2014

A compress˜ ao de dados ´ e uma ´ area de muito interesse em termos computacionais devido ` a necessidade de armazen´ a-los e transmiti-los. Em particular, a compress˜ ao de malhas possui grande interesse em fun¸c˜ ao do crescimento de sua utiliza¸c˜ ao em jogos tridi- mensionais e modelagens diversas. Nos ´ ultimos anos, uma nova teoria de aquisi¸c˜ ao e re- constru¸c˜ ao de sinais foi desenvolvida, baseada no conceito de esparsidade na minimiza¸c˜ ao da norma L

e na incoerˆ encia do sinal, chamada Compressive Sensing (CS). Essa teo- ria possui algumas caracter´ısticas marcantes, como a aleatoriedade de amostragem e a reconstru¸c˜ ao via minimiza¸c˜ ao, de modo que a pr´ opria aquisi¸c˜ ao do sinal ´ e feita conside- rando somente os coeficientes significativos. Qualquer objeto que possa ser interpretado como um sinal esparso, permite sua utiliza¸c˜ ao. Assim, ao se representar esparsamente um objeto (sons, imagens) ´ e poss´ıvel aplicar a t´ ecnica de CS. Este trabalho verifica a viabi- lidade da aplica¸c˜ ao da teoria de CS na compress˜ ao de malhas, de modo que seja poss´ıvel um sensoreamento e representa¸c˜ ao compressivos na geometria de uma malha. Nos expe- rimentos realizados, foram utilizadas varia¸c˜ oes dos parˆ ametros de entrada e t´ ecnicas de minimiza¸c˜ ao da Norma L

. Os resultados obtidos mostram que a t´ ecnica de CS pode ser utilizada como estrat´ egia de compress˜ ao da geometria das malhas.

Palavras-chave: compress˜ ao de malhas, Compressive Sensing, minimiza¸c˜ ao norma

L

.

LIMA, Jos´ e Paulo Rodrigues de. Mesh Compressive Representation. 2014. 101 p. Master Thesis (Master in Sciences by Systems Information Program) – School of Arts, Sciences and Humanities, University of S˜ ao Paulo, S˜ ao Paulo, 2014.

Data compression is an area of a major interest in computational terms due to the issues on storage and transmission. Particulary, mesh compression has wide usage due to the increase of its application in games and three-dimensional modeling. In recent years, a new theory of acquisition and reconstruction of signals was developed, based on the concept of sparsity and in the minimization of the L

norm and the incoherency of the signal, called Compressive Sensing (CS). This theory has some remarkable features, such as random sampling and reconstruction by minimization, in a way that the signal acquisition is done by considering only its significant coefficients. Any object that can be interpreted as a sparse sign allows its use. Thus, representing an object sparsely (sounds, images), you can apply the technique of CS. This work explores the viability of CS theory on mesh compression, so that it is possible a representative and compressive sensing on the mesh geometry. In the performed experiments, different parameters and L

Norm minimization strategies were used. The results show that CS can be used as a mesh geometry compression strategy.

Keywords: mesh compression, Compressive Sensing, L

norm minimization

Lista de Figuras

1 Representa¸c˜ ao da estrutura¸c˜ ao de uma malha de um cogumelo. . . . 5

2 Varia¸c˜ ao de planifica¸c˜ ao de malhas. . . . 7

3 Arvore topol´ ´ ogica da malha e grafo correspondente. . . . 7

4 Reconstru¸c˜ ao da malha a partir da planifica¸c˜ ao. . . . 8

5 Representa¸c˜ ao do algoritmo de cria¸c˜ ao de patches a partir dos v´ ertices. . . 9

6 Exemplo de reconstru¸c˜ ao de geometria da malha via algoritmo de flipping. 10 7 Particionamento da malha para aplica¸c˜ ao de m´ etodos espectrais. . . . 10

8 Grids de quantiza¸c˜ ao. . . . 11

9 Resultado de compress˜ ao progressiva com ´ arvore bin´ aria. . . . 12

10 Esquematiza¸c˜ ao visual do algoritmo de compress˜ ao baseado em malhas triangulares. . . . 13

11 Esquema de reconstru¸c˜ ao de malhas por Wavelets. . . . 14

12 Representa¸c˜ ao gr´ afica do problema alg´ ebrico. . . . 18

13 Esparsidade e Norma L

. . . . 25

14 Exemplo Ilustrativo - Sinal Original. . . . . 28

15 Exemplo Ilustrativo - Sinal Reconstru´ıdo m = 8. . . . 29

16 Exemplo Ilustrativo - Sinal Reconstru´ıdo m = 6. . . . 29

17 Exemplo Ilustrativo - Sinal Reconstru´ıdo m = 4. . . . 30

18 Compress˜ ao de Imagem e reconstru¸c˜ ao a partir de coeficientes de matriz Wavelet. . . . 31

19 Exemplo de reconstru¸c˜ ao de imagem com CS com ´ arvore estruturada e

t´ ecnica CoSaMP. . . . 31

25 Resultados Experimento - Manequim. . . . 45

26 Resultados Experimento - Cavalo. . . . 47

27 Resultados Experimento - Vaca. . . . 49

28 Resultados Experimento - Cabe¸ca de Davi. . . . 51

29 Resultados Experimento - Homem. . . . 53

30 Resultados Experimento - Fandisk. . . . 55

31 Resultados Experimento - Elefante. . . . 57

32 Resultados Experimento - Coelho. . . . 59

33 Resultados Experimento - Drag˜ ao. . . . 60

Lista de Tabelas

1 Exemplos de Aplica¸c˜ oes de CS em Diferentes ´ Areas. . . . 32

2 Rela¸c˜ ao de Malhas Utilizadas nos Experimentos. . . . 42

3 Resumo das Varia¸c˜ oes dos Experimentos. . . . 61

4 Comparativo de Taxas de BPV em alguns algoritmos. . . . 62

5 Bibliotecas Utilizadas nos Experimentos . . . . 79

BPV Bits por V´ ertice, p. 38

HD Distˆ ancia de Hausdorff, p. 37

MRI Magnetic Resonance Images, p. 32

PSNR Peak Signal to Noise Ratio, p. 37

REQM Raiz do Erro Quadr´ atico M´ edio, p. 38

SVD Single Value Decomposition , p. 21

TV Total Variation, p. 23

Sum´ ario

1 Introdu¸ c˜ ao 1

1.1 Apresenta¸c˜ ao . . . . 1

1.2 Objetivo . . . . 2

1.3 Justificativa . . . . 2

1.4 Materiais e M´ etodos . . . . 2

1.5 Organiza¸c˜ ao do Trabalho . . . . 3

2 Compress˜ ao de Malhas 4 2.1 Introdu¸c˜ ao . . . . 4

2.2 Geometria, Conectividade e Compress˜ ao . . . . 5

2.2.1 Compress˜ ao de Conectividade . . . . 6

2.2.2 Compress˜ ao de Geometria . . . . 9

2.2.3 Triangle Mesh . . . . 11

2.2.4 Wavemesh . . . . 14

2.3 Considera¸c˜ oes Complementares . . . . 15

3 Compressive Sensing 16 3.1 Introdu¸c˜ ao . . . . 16

3.2 Teoria . . . . 17

3.3 Esparsidade, Isotropia e Incoerˆ encia . . . . 18

3.4 Matrizes de Medi¸c˜ ao . . . . 19

3.4.1 Matriz Gaussiana . . . . 20

1

3.8 Exemplo Ilustrativo . . . . 27

3.9 Aplica¸c˜ oes . . . . 30

4 Compressive Sensing aplicado em Malhas 33 4.1 Introdu¸c˜ ao . . . . 33

4.2 Experimentos . . . . 34

4.2.1 M´ etricas de Avalia¸c˜ ao . . . . 37

4.2.2 Distˆ ancia de Hausdorff . . . . 37

4.2.3 PSNR . . . . 37

4.2.4 Bits Por V´ ertice (BPV) . . . . 38

4.2.5 Varia¸c˜ oes do Experimento . . . . 39

5 Resultados 42 5.1 Cogumelo . . . . 43

5.1.1 An´ alise dos Resultados do Cogumelo . . . . 44

5.2 Manequim . . . . 45

5.2.1 An´ alise dos Resultados do Manequim . . . . 46

5.3 Cavalo . . . . 47

5.3.1 An´ alise dos Resultados do Cavalo . . . . 47

5.4 Vaca . . . . 49

5.4.1 An´ alise dos Resultados da Vaca . . . . 49

5.5 Cabe¸ca de Davi . . . . 51

5.5.1 An´ alise dos Resultados da Cabe¸ca de Davi . . . . 52

5.6 Homem . . . . 53

5.6.1 An´ alise dos Resultados do Homem . . . . 54

5.7 Fandisk . . . . 55

5.7.1 An´ alise dos Resultados do Fandisk . . . . 55

5.8 Elefante . . . . 57

5.8.1 An´ alise dos Resultados do Elefante . . . . 58

5.9 Coelho . . . . 59

5.9.1 An´ alise dos Resultados do Coelho . . . . 59

5.10 Drag˜ ao . . . . 60

5.10.1 An´ alise dos Resultados do Drag˜ ao . . . . 61

5.11 An´ alise Complementar . . . . 61

5.12 Discuss˜ ao . . . . 62

6 Conclus˜ ao 64 6.1 Contribui¸c˜ oes . . . . 65

6.2 Trabalhos Futuros . . . . 65

Apˆ endice A Biblioteca de C´ odigos 67 A.1 Arquivo de Controle . . . . 67

A.2 Processamento Noiselet . . . . 71

A.3 Parametriza¸c˜ ao dos Experimentos . . . . 79

Referˆ encias 81

1.1 Apresenta¸ c˜ ao

Nos ´ ultimos anos, a compress˜ ao de dados tem sido importante para seu armazena- mento e sua transmiss˜ ao em diversos meios (r´ adio, internet, wireless, etc.). Em fun¸c˜ ao do crescimento da utiliza¸c˜ ao de malhas tridimensionais em aplica¸c˜ oes como jogos e mo- delagens diversas, o tratamento compressivo dessas malhas ganhou relevˆ ancia e se tornou objeto de estudo (( BOUZIDI et al. , 2013), ( LUFFEL et al. , 2013), ( YOON; KUIJPER , 2011), ( LEE et al. , 2010)).

Paralelamente, uma nova teoria foi desenvolvida para realizar sensoreamento compres- sivo de sinais, chamada Compressive Sensing (CS) ( CAND ` ES; WAKIN , 2007). Essa teoria introduziu um novo ponto de vista para reconstru¸c˜ ao de sinais, al´ em de reduzir alguns limites te´ oricos bem consolidados, como a Taxa de Nyquist de compress˜ ao de sinais, de forma que um valor m´ınimo estipulado em fun¸c˜ ao da frequˆ encia do sinal estabelecia uma barreira intranspon´ıvel. A teoria de CS conseguiu provar que a Taxa de Nyquist pode ser reduzida consideravelmente e a amostragem do sinal para sua reconstru¸c˜ ao pode ser realizada de forma aleat´ oria, desde que o sinal seja esparso ( CAND` eS et al. , 2006). Al´ em de reduzir a Taxa de Nyquist, o novo paradigma introduzido permite realizar a aquisi¸c˜ ao de dados de forma compressiva, o que proporciona um ganho computacional deveras con- sider´ avel ( DUARTE; ELDAR , 2011)

A caracter´ıstica t´ ecnica da CS de realizar a aquisi¸c˜ ao compressiva dos dados, tornou-se importante tamb´ em como t´ ecnica compressiva. Essa caracter´ıstica incentivou experimen- tos com utiliza¸c˜ ao de CS em diversos campos, em especial no tratamento de imagens.

O processamento gr´ afico mostrou particular interesse na amostragem compressiva e na posterior reconstru¸c˜ ao da imagem, de modo que os resultados obtidos nada devem para as t´ ecnicas de compress˜ ao cl´ assicas ( SCHULZ , 2008).

Nesse contexto, este trabalho tem por objetivo adaptar a t´ ecnica de CS para malhas,

de modo a explorar as caracter´ısticas peculiares dessa teoria em modelos tridimensionais.

Primeiramente, deseja-se realizar uma prova de conceito para determinar se a teoria de CS ´ e aplic´ avel em malhas. Conforme apresentado nos cap´ıtulos seguintes, houve sucesso nessa etapa, de modo que a pesquisa se mostra vi´ avel. Na sequˆ encia deste trabalho, ser˜ ao analisados dados comparativos entre as diferentes varia¸c˜ oes de CS utilizadas no experimento inicial.

1.2 Objetivo

O objetivo desta disserta¸c˜ ao ´ e avaliar a utiliza¸c˜ ao da teoria de Compressive Sensing como t´ ecnica de compress˜ ao de malhas.

1.3 Justificativa

A utiliza¸c˜ ao de modelos tridimensionais tem sido importante em diversas ´ areas da computa¸c˜ ao. Uma vez que a transmiss˜ ao via redes e armazenagem desses modelos em diversas m´ıdias ganham importˆ ancia, a utiliza¸c˜ ao de m´ etodos de compress˜ ao torna-se pertinente para reduzir os custos dessa necessidade (tempo de transmiss˜ ao e espa¸co de armazenamento).

Nesse sentido, v´ arias t´ ecnicas de compress˜ ao tˆ em sido utilizadas para compacta¸c˜ ao de modelos tridimensionais (( ALLIEZ; DESBRUN , 2001), ( MAMOU et al. , 2010), ( HONGNIAN et al. , 2009)). A aplica¸c˜ ao de Compressive Sensing como t´ ecnica de compress˜ ao torna-se pertinente para adicionar uma nova abordagem ao assunto.

Dessa maneira, justifica-se uma pesquisa para avalia¸c˜ ao de viabilidade da t´ ecnica e apresenta¸c˜ ao de resultados preliminares.

1.4 Materiais e M´ etodos

Para alcan¸car o objetivo descrito na Se¸c˜ ao 1.2, foi realizada uma pesquisa em revis˜ ao sistem´ atica nas bibliotecas digitais a fim de encontrar referˆ encias que sustentem este trabalho.

O protocolo de pesquisa utilizado buscou palavras-chave (mesh compression, compres-

sive sensing, 3D models) nas bases digitais IEEE Xplore, ACM Digital Library e Teses da

Os resultados dos experimentos foram registrados em gr´ aficos para an´ alise dos dados.

1.5 Organiza¸ c˜ ao do Trabalho

Este trabalho est´ a organizado de forma a definir e contextualizar os conceitos ne-

cess´ arios para compress˜ ao de malhas, apresentados no Cap´ıtulo 2. Na sequˆ encia, ´ e apre-

sentada a teoria da Compressive Sensing, presente no Cap´ıtulo 3. No Cap´ıtulo 4, ´ e

apresentada a aplica¸c˜ ao da teoria de CS dentro do universo das malhas e o experimento

realizado como prova de conceito. No Cap´ıtulo 5 s˜ ao demonstrados os resultados al-

can¸cados com os experimentos. Finalmente, no Cap´ıtulo 6 s˜ ao apresentadas as conclus˜ oes

desta pequisa.

2 Compress˜ ao de Malhas

2.1 Introdu¸ c˜ ao

T´ ecnicas de compress˜ ao s˜ ao largamente utilizadas em v´ arios tipos de estruturas de dados ( SCHULZ , 2008). Tais t´ ecnicas tˆ em como objetivo reduzir o m´ aximo poss´ıvel a representa¸c˜ ao bin´ aria da estrutura de modo que possa ser armazenada ou transmitida e reconstru´ıda ` a forma original posteriormente.

A compress˜ ao de malhas possui o mesmo objetivo: reduzir o espa¸co necess´ ario para a representa¸c˜ ao de uma determinada malha e permitir o caminho inverso, retornando ` a malha original ap´ os o processo compressivo ( PENG et al. , 2005).

As malhas s˜ ao formadas por trˆ es componentes b´ asicas: conectividade, geometria e propriedades. A conectividade descreve o relacionamento de adjacˆ encia entre os v´ ertices.

A geometria define a posi¸c˜ ao dos v´ ertices no espa¸co (coordenadas x, y, z). As propriedades definem diversos aspectos da malha, como textura e reflectˆ ancia ( PENG et al. , 2005).

Malhas poligonais s˜ ao representadas por pol´ıgonos geom´ etricos. Dependendo da aplica¸c˜ ao, malhas poligonais triangulares s˜ ao as mais eficientes. ( PENG et al. , 2005). Em alguns casos, a representa¸c˜ ao de malhas por quadrados tem melhor aplica¸c˜ ao, conforme apresentado no trabalho de Daniels (2010). As malhas triangulares s˜ ao muito estudadas ( LUFFEL et al. , 2013), ( YU et al. , 2012), ( CHEN et al. , 2005). Do ponto de vista compressivo, existem trabalhos relacionando compress˜ ao da conectividade e da geometria ( JONG et al. , 2005), ( VALETTE; PROST , 2004b), ( KARNI; GOTSMAN , 2001), ( ALLIEZ; DESBRUN , 2001).

Na sequˆ encia, ser˜ ao analisados com mais detalhes os componentes necess´ arios para a

compress˜ ao de malhas.

Na Figura 1, s˜ ao apresentados os elementos que comp˜ oem uma malha. O modelo representado do cogumelo possui 226 v´ ertices, representados em (a). As faces repre- sentadas em (b) s˜ ao a representa¸c˜ ao da conectividade da malha. Nessa figura, s˜ ao 448 faces que constituem a malha. Por fim, em (c) ´ e exibida a malha preenchida com uma poss´ıvel coloriza¸c˜ ao. ´ E importante observar que o preenchimento e texturiza¸c˜ ao da malha s˜ ao representados pelas propriedades da malha, que forma a terceira componente de sua estrutura.

(a) (b) (c)

Figura 1 – Representa¸ c˜ ao da estrutura¸ c˜ ao de uma malha de um cogumelo: (a) Nuvem de pontos (geometria) representando a topologia; (b) Representa¸ c˜ ao da co-

nectividade e (c) Texturiza¸ c˜ ao da malha.

Conforme a demanda por malhas complexas torna-se maior, ´ e necess´ aria a utiliza¸c˜ ao de mais mem´ oria para processamento, mais espa¸co para armazenamento e mais velocidade para transmiss˜ ao dessas malhas ( CHOW , 1997). Dessa forma, as t´ ecnicas de compress˜ ao s˜ ao utilizadas para otimizar o processamento, armazenamento e transmiss˜ ao das malhas ( KHODAKOVSKY et al. , 2000).

M´ etodos de compress˜ ao para objetos tridimensionais surgiram inicialmente em meados

dos anos noventas e vˆ em evoluindo desde ent˜ ao ( LEWINER , 2005). Essa evolu¸c˜ ao foi

necess´ aria em fun¸c˜ ao da necessidade de transmiss˜ ao e armazenamento crescente, al´ em da

cria¸c˜ ao de modelos de complexidade crescente. A compress˜ ao ´ e uma negocia¸c˜ ao entre

definir detalhamento e informa¸c˜ ao armazenada por bit. A medida de erro entre a malha

original e a malha reconstru´ıda p´ os-compress˜ ao ´ e mais complicada de se calcular do que

o erro em uma compress˜ ao de imagens ( KHODAKOVSKY et al. , 2000). Uma vez que n˜ ao

h´ a uma correspondˆ encia imediata entre a superf´ıcie original e a superf´ıcie comprimida,

n˜ ao ´ e poss´ıvel simplesmente subtrair uma superf´ıcie da outra para encontrar o erro. Tal situa¸c˜ ao torna-se ainda mais problem´ atica quando se trata de malhas muito densas.

Os conceitos de source (fonte) e code (codificado) ´ e muito utilizado para tratar a compress˜ ao de forma geral. O processo de codifica¸c˜ ao trata da transforma¸c˜ ao de s´ımbolos de um conjunto code para source. A codifica¸c˜ ao pode ser aplicada no sentido oposto, retornando o codificado ao fonte. O objetivo ´ e representar o fonte de maneira mais conveniente, que basicamente ´ e utilizada em armazenamento ou transmiss˜ ao de dados ( LEWINER , 2005).

Dois aspectos que podem ser utilizados para a compress˜ ao de malhas s˜ ao justamente a conectividade e a geometria.

2.2.1 Compress˜ ao de Conectividade

Tamb´ em conhecida como topologia da malha, a conectividade ´ e um dos aspectos que podem ser comprimidos na malha para reduzir o tamanho de armazenamento e trans- miss˜ ao ( COHEN-OR et al. , 1999). Uma das t´ ecnicas de compress˜ ao da conectividade foi desenvolvida por Rossignac (1998). A ideia b´ asica consiste em utilizar a informa¸c˜ ao de arestas vizinhas de modo que a malha seja planificada e a informa¸c˜ ao de adjacˆ encia entre os pol´ıgonos ´ e utilizada para realizar a compress˜ ao. A Figura 2 apresenta duas formas de planifica¸c˜ ao da malha, de modo que a partir dessa planifica¸c˜ ao, ´ e realizado o encoding (compress˜ ao). Em (a) e (b) s˜ ao apresentadas as malhas originais. Em (c) e (d), o recorte a partir dos pol´ıgonos. Em (e) e (f), a planifica¸c˜ ao. A partir disto, s˜ ao criadas as ´ arvores topol´ ogicas que cont´ em a informa¸c˜ ao de conectividade necess´ aria para recriar a malha ap´ os a compress˜ ao.

As ´ arvores topol´ ogicas s˜ ao formadas a partir de grafos de v´ ertices e arestas da malha.

Uma vez que a proximidade de v´ ertices da ´ arvore topol´ ogica implica em proximidade

geom´ etrica, os n´ os antecessores da ´ arvore podem ser utilizados para realizar a predi¸c˜ ao da

posi¸c˜ ao dos v´ ertices seguintes e comprimir somente a diferen¸ca entre o v´ ertice previsto e

o v´ ertice atual ( TAUBIN; ROSSIGNAC , 1998). A Figura 3 apresenta o modelo esquem´ atico

de como ´ e realizada a constru¸c˜ ao da ´ arvore topol´ ogica e seu respectivo grafo. A partir da

malha em (a), ´ e criada a ´ arvore de v´ ertices (b). A planifica¸c˜ ao da malha em (c) a partir

de (d) permite encaixar o grafo na figura planificada (f). Em (e), ´ e apresentada a itera¸c˜ ao

necess´ aria para percorrer toda a malha. A partir do pol´ıgono raiz em (g), o algoritmo

segue com a busca, conforme (h) e (i).

Figura 2 – Varia¸ c˜ ao de planifica¸ c˜ ao de malhas. Extra´ıdo de Taubin e Rossignac (1998).

Figura 3 – ´ Arvore topol´ ogica da malha e grafo correspondente. Extra´ıdo de Taubin e

Rossignac (1998).

Para realizar o caminho inverso, ou seja, a partir da compress˜ ao regressar ` a malha ori- ginal s˜ ao utilizados algoritmos que analisam a estrutura topol´ ogica da malha comprimida e realizam a reconstru¸c˜ ao da malha planificada. A Figura 4 apresenta de maneira gr´ afica a reconstru¸c˜ ao da malha a partir da ´ arvore topol´ ogica e da reconstru¸c˜ ao dos pol´ıgonos que a formam ( TAUBIN; ROSSIGNAC , 1998). O algoritmo parte da raiz da ´ arvore topol´ ogica e a percorre, realizando a reconstru¸c˜ ao. O sentido de processamento ´ e da esquerda para a direita. Os triˆ angulos vermelhos s˜ ao marcados quando encontram um pol´ıgono na ex- tremidade da planifica¸c˜ ao. Os pol´ıgonos em azul representam o centro da planifica¸c˜ ao.

Os pol´ıgonos em amarelo s˜ ao os que conectam os extremos ao centro. A sequˆ encia de Figuras de (a) ` a (i) exemplificam como o algoritmo se comporta identificando e marcando os pol´ıgonos.

Figura 4 – Reconstru¸ c˜ ao da malha a partir da planifica¸ c˜ ao. Extra´ıdo de Taubin e Ros- signac (1998).

Outra forma de tratar a compress˜ ao de conectividade da malha ´ e aplicar um algo-

ritmo de simplifica¸c˜ ao da malha que iterativamente remove os conjuntos de v´ ertices u

em uma vers˜ ao simplificada da malha ( COHEN-OR et al. , 1999). No entanto, o algoritmo

precisa garantir que o conjunto u

´ e independente, ou seja, n˜ ao h´ a arestas conectadas

entre nenhum par de v´ ertices em u

. O conjunto selecionado deve ent˜ ao ser removido e

substitu´ıdo por um novo conjunto de pol´ıgonos. Uma vez que todos os buracos deixados

pelo algoritmo foram preenchidos pelos novos pol´ıgonos chamados patches, esses patches

s˜ ao interpolados para prever o conjunto de pontos. Os pontos previstos s˜ ao quantizados

e podem ser representadas por quantidades menores de bits com entropia menor que os

v´ ertices originais ( COHEN-OR et al. , 1999). Essa t´ ecnica utiliza o recurso de colorir os

pol´ıgonos utilizados para a forma¸c˜ ao do patch, de modo que na reconstru¸c˜ ao a cor desse

(a) Malha original com os v´ ertices escolhidos.

(b) Malha com os triˆ angulos des- tacados a partir da anterior.

Figura 5 – Representa¸ c˜ ao do algoritmo de cria¸ c˜ ao de patches a partir dos v´ ertices. Ex- tra´ıdo de Cohen-Or et al. (1999).

pol´ıgono ´ e utilizada como parˆ ametro. A Figura 5 representa a maneira como o algoritmo se comporta para identificar os patches. Em (a), s˜ ao exibidos os v´ ertices que n˜ ao pos- suem adjacˆ encia. Em (b), s˜ ao representados os patches com os pol´ıgonos substitu´ıdos.

Observa-se que as cores s˜ ao diferentes em fun¸c˜ ao da adjacˆ encia entre cada patch criado.

Os pol´ıgonos n˜ ao processados permanecem sem cor.

2.2.2 Compress˜ ao de Geometria

A compress˜ ao de malhas via geometria refere-se a comprimir os pontos (v´ ertices) da malha, preservando sua conectividade. V´ arias t´ ecnicas s˜ ao utilizadas para esse tipo de compress˜ ao. O algoritmo de flipping cruza os triˆ angulos da malha e prediz a posi¸c˜ ao do pr´ oximo v´ ertice, utilizando a regra do paralelogramo, com boa aplica¸c˜ ao em compress˜ ao de conectividade ( CHEN et al. , 2005). Esse algoritmo foi adaptado para tratar a geometria utilizando o conceito de grafo para representar os v´ ertices da malha e as arestas para representar as opera¸c˜ oes de flipping. A Figura 6 apresenta o mecanismo desse algoritmo, onde o pr´ oximo v´ ertice pode ser previsto a partir da opera¸c˜ ao de flipping determinada pela aresta do grafo. Cada seta representa o movimento do algoritmo entre dois v´ ertices ad- jacentes. Os n´ umeros asociados ` as setas e aos v´ ertices previstos correspondentes indicam a ordem na qual foram previstos. Esse tipo de abordagem trata do problema localmente, ou seja, os v´ ertices s˜ ao previstos a partir de sua adjacˆ encia.

Outra abordagem para a compress˜ ao da geometria ´ e a utiliza¸c˜ ao de m´ etodos espec- trais, que trata da representa¸c˜ ao dos vetores de geometria da malha em vetores base, que s˜ ao os autovetores da matriz Laplaciana da malha, derivada da conectividade ( KARNI;

GOTSMAN , 2001). Utilizando fun¸c˜ oes bases fixas para codifica¸c˜ ao espectral da malha,

´ e poss´ıvel comprimir sua geometria, com alto grau de probabilidade e baixo erro. O

Figura 6 – Exemplo de reconstru¸ c˜ ao de geometria da malha via algoritmo de flipping.

Extra´ıdo de Chen et al. (2005).

m´ etodo proposto por ( KARNI; GOTSMAN , 2001) utiliza uma malha padr˜ ao para tornar regular a malha a ser comprimida e na sequˆ encia, o algoritmo planifica a malha e realiza a compress˜ ao. Essa t´ ecnica apresenta a desvantagem de ser muito cara para calcular os autovetores quando aplicada em malhas muito grandes. Uma solu¸c˜ ao para o problema ´ e realizar o particionamento da malha e aplicar a t´ ecnica em cada uma das partes separa- damente ( KARNI; GOTSMAN , 2000). Em contrapartida, a uni˜ ao dos segmentos da malha se torna um problema de certa complexidade que necessita ser abordado no momento da reconstru¸c˜ ao da malha p´ os-compress˜ ao.

Figura 7 – Particionamento da malha para aplica¸ c˜ ao de m´ etodos espectrais. Extra´ıdo de Karni e Gotsman (2000).

A quantiza¸c˜ ao dos v´ ertices tamb´ em ´ e uma estrat´ egia que pode ser utilizada para a

compress˜ ao da geometria ( CHOW , 1997). A t´ ecnica primeiramente realiza uma divis˜ ao

do objeto a ser quantizado em regi˜ oes similares, baseada no tamanho dos pol´ıgonos e na

curvatura, separando as partes mais detalhadas das menos detalhadas. Tal fato permite

escolher um fator de quantiza¸c˜ ao adequado em fun¸c˜ ao desse detalhamento, gerando uma

quantiza¸c˜ ao mais precisa. A Figura 8 mostra os efeitos da quantiza¸c˜ ao quando escolhidos

fatores muito ou pouco densos. Em (a) ´ e mostrada a grid de quantiza¸c˜ ao sendo “en-

caixada”no pol´ıgono. Em (b), aparece um exemplo quando a grid de quantiza¸c˜ ao n˜ ao ´ e

(a) (b) (c)

Figura 8 – Grids de quantiza¸ c˜ ao. Extra´ıdo de Chen et al. (2005).

precisa o suficiente. Em (c), ´ e mostrada uma grid de quantiza¸c˜ ao mais densa do que o necess´ ario. Tanto em (b) quanto em (c) o resultado n˜ ao ´ e ´ otimo.

Outra abordagem para compress˜ ao de geometria ´ e utilizar uma compress˜ ao progressiva baseada em ´ arvores bin´ arias ( HONGNIAN et al. , 2009). A compress˜ ao progressiva consiste em um processamento por partes, de modo que n˜ ao ´ e necess´ ario comprimir a malha toda para obter o resultado. A compress˜ ao ´ e realizada em subdivis˜ oes da malha at´ e que toda ela seja comprimida. No caso de utiliza¸c˜ ao de ´ arvores bin´ arias, cada v´ ertice ´ e atribu´ıdo a uma folha da ´ arvore e um identificador num´ erico ´ e atribu´ıdo a esse n´ o. Logo, esse identificador representa a posi¸c˜ ao do v´ ertice no espa¸co e a ´ arvore bin´ aria constru´ıda pode ser utilizada para recriar a malha. O algoritmo de processamento dessa ´ arvore ´ e capaz de percorrer os n´ os em toda sua altura e reconstruir a malha, combinando a informa¸c˜ ao dos v´ ertices com a informa¸c˜ ao da conectividade preservada da malha ( HONGNIAN et al. , 2009). A Figura 9 exibe uma malha com 6475 v´ ertices que passou pelo processo de compress˜ ao progressiva por ´ arvore bin´ aria. Em (a), temos a malha original e em (b) a malha reconstru´ıda. ´ E interessante notar que a malha reconstru´ıda ´ e muito pr´ oxima da malha original, mas existem diferen¸cas na conectividade, vis´ıveis principalmente no topo da figura.

2.2.3 Triangle Mesh

O algoritmo de compress˜ ao de malhas triangulares baseia-se no contexto de com-

press˜ ao de geometria. Os dados dos v´ ertices s˜ ao quantizados uniformemente e compri-

midos com baixa perda de informa¸c˜ ao ( TOUMA; GOTSMAN , 1998). O algoritmo parte

do princ´ıpio de que os v´ ertices de uma malha poligonal (que trata-se de uma variedade

orient´ avel) podem ser ordenados. Essa propriedade n˜ ao se aplica a grafos em geral. Como

(a) (b)

Figura 9 – Resultado de compress˜ ao progressiva com ´ arvore bin´ aria. Extra´ıdo de Hong- nian et al. (2009).

consequˆ encia, temos a propriedade de separa¸c˜ ao das malhas genus-0

, que resultam em duas malhas disjuntas (a que est´ a contida no ciclo de v´ ertices e as que n˜ ao est˜ ao).

Logo, essa propriedade permite que a conectividade seja codificada em uma lista de v´ ertices graduados em uma forma espec´ıfica ( TOUMA; GOTSMAN , 1998).

O algoritmo de compress˜ ao parte de um triˆ angulo arbitr´ ario na malha, identificando uma lista ativa com trˆ es arestas. Um dos v´ ertices desse triˆ angulo ´ e determinado como o foco inicial. O algoritmo ent˜ ao parte para uma “conquista”de arestas em uma ordem anti- hor´ aria em torno do foco. A cada aresta encontrada, ´ e criado um comando de “adicionar”.

Quando todos os v´ ertices foram percorridos (o v´ ertice est´ a “cheio”), o foco ´ e movido para o pr´ oximo v´ ertice no sentido anti-hor´ ario em torno da lista ativa. A “conquista”continua para o novo foco. Se a lista ativa, durante a expans˜ ao, intercepta a si mesma, ela ´ e dividida em duas listas ativas, cada uma ent˜ ao ´ e percorrida recursivamente. O processamento termina quando todos os v´ ertices estiverem “cheios”( TOUMA; GOTSMAN , 1998).

O processo inverso ´ e o mesmo, mas em sentido contr´ ario. Para cada comando ”adi- cionar”encontrado, significa um novo triˆ angulo e v´ ertice a ser reconstru´ıdo, conectando o novo v´ ertice ao ”foco”e seu predecessor na lista ativa.

A Figura 10 exemplifica a execu¸c˜ ao do algoritmo proposto por ( TOUMA; GOTSMAN , 1998). Na figura, ´ e poss´ıvel observar a execu¸c˜ ao do algoritmo. O algoritmo percorre as arestas, identificando as arestas percorridas. As arestas j´ a percorridas s˜ ao denotadas por linhas tracejadas. As referˆ encias alfab´ eticas seguintes referem-se ` a Figura 10. (a) Malha de Entrada. (b) V´ ertice auxiliar conectado a todos os v´ ertices das bordas. (c) Triˆ angulo inicial escolhido, indicado o v´ ertice “foco”e gerada as palavras de codifica¸c˜ ao

1

Genus identifica a quantidade de pontos n˜ ao interligados em uma malha. De forma pr´ atica, ´ e a quantidade de “buracos”que existem na estrutura da malha. Por exemplo, uma esfera possui genus-0.

Um donut possui genus-1, pois h´ a um buraco no seu centro (

, 1998)

pr´ oximo est´ agio. (m) “Adicionar 4”. (n) “Adicionar 4”. V´ ertice “foco”est´ a cheio e ent˜ ao ´ e removido. (o) O v´ ertice auxiliar ´ e adicionado “Adicionar V´ ertice Auxiliar 6”. (p) Primeira lista ativa completa. A segunda lista ativa ´ e removida da pilha para processamento. (q)

“Adicionar 4”. (r) V´ ertice “foco”removido e o v´ ertice “foco”´ e reposicionado. (s) V´ ertice

“foco”removido e o v´ ertice “foco”´ e reposicionado. (t) Segunda lista completa. O c´ odigo resultante ´ e “adicionar 6, adicionar 7, adicionar 4, adicionar 4, adicionar 8, adicionar 5, adicionar 5, adicionar 4, adicionar 5, split 5, adicionar 4, adicionar 4, adicionar v´ ertice auxiliar 6, adicionar 4.

Figura 10 – Esquematiza¸ c˜ ao visual do algoritmo de compress˜ ao baseado em malhas tri- angulares. Extra´ıdo de Touma e Gotsman (1998). As listas ativas na

execu¸ c˜ ao do algoritmo s˜ ao indicadas pelas linhas em negrito.

2.2.4 Wavemesh

A t´ ecnica de wavemesh, baseada num teoria de multirresolu¸c˜ ao para malhas tridimen- sionais irregulares, ´ e fundamentada na reconstru¸c˜ ao de malhas triangulares mantendo tanto a conectividade quanto a geometria completamente fi´ eis ao original. O estudo feito por Vallete e Proust ( VALETTE; PROST , 2004b) apresenta esse eficiente meio de com- press˜ ao. O algoritmo desenvolvido e publicado por eles ( VALETTE; PROST , 2004a), prop˜ oe uma estrat´ egia de compressividade baseada na decomposi¸c˜ ao de Wavelet (veja Subse¸c˜ ao 3.4.2). A Figura 11 ilustra o processo de decomposi¸c˜ ao. Nessa t´ ecnica, uma malha base

´ e subdividida em quatro partes e deformada para que caiba na superf´ıcie da malha a ser aproximada.

Ap´ os a sobreposi¸c˜ ao da malha irregular no “gabarito”da malha base, tanto a geome- tria quanto a conectividade s˜ ao tratadas de modo que haja uma compress˜ ao de seus dados.

Conforme apresentado em ( VALETTE; PROST , 2004a), otimiza¸c˜ oes baseadas na conectivi- dade e geometria podem ser utilizadas para aperfei¸coar os resultados da compress˜ ao.

Figura 11 – Esquema de decomposi¸ c˜ ao de Wavelet. Extra´ıdo de ( VALETTE; PROST , 2004a). (a)O tetraedro base para a decomposi¸ c˜ ao. (b) O tetraedro base tem cada face subdividida. (c) A superf´ıcie resultante ´ e utilizada para sobrepor

a malha a ser otimizada.

Este algoritmo prop˜ oe que a reconstru¸c˜ ao da malha original (mais densa) pode ser realizada a partir da conectividade da malha de menor resolu¸c˜ ao, ou das subpartes dessa malha. Logo, n˜ ao ´ e necess´ ario compactar os dados para reconstru¸c˜ ao das faces, de maneira que a taxa de compress˜ ao alcan¸cada ´ e da ordem de 1 a 3 bits por v´ ertice ( VALETTE; PROST , 2004b).

No comparativo realizado no experimento de Valette e Prost (2004b), s˜ ao apresen-

tados os resultados comparativos da t´ ecnica proposta com diferentes configura¸c˜ oes. Os

n´ umeros apresentados indicam uma vantagem na t´ ecnica, em compara¸c˜ ao com as abor-

dagens tradicionais de Rossignac (1998) e Cohen-Or et al. (1999).

gressiva aliada a inclus˜ ao de marcas d’´ agua para prote¸c˜ ao de originalidade da malha ´ e

proposta, com resultados interessantes. Recomendam-se essas leitura para um aprofun-

damento do assunto. O foco deste trabalho se relaciona com compress˜ ao da geometria da

malha, conforme ser´ a abordado no cap´ıtulo seguinte.

3 Compressive Sensing

3.1 Introdu¸ c˜ ao

Dispositivos de aquisi¸c˜ ao de dados vˆ em se popularizando, o que gera uma necessidade de armazenamento dos dados sensoreados cada vez maior. A compress˜ ao de dados para sua armazenagem torna-se importante para redu¸c˜ ao de espa¸co utilizado para persistˆ encia dos dados. A teoria cl´ assica de sinais ´ e baseada no Teorema de Shannon-Nyquist, que postula a necessidade de amostrar uma quantidade m´ınima de informa¸c˜ ao do sinal para que seja poss´ıvel sua reconstru¸c˜ ao, via interpola¸c˜ ao ( DAVENPORT et al. , 2011). Utilizando uma limita¸c˜ ao da banda do sinal, esse teorema prevˆ e a utiliza¸c˜ ao de n leituras no seu espectro, tornando poss´ıvel utilizar fun¸c˜ oes de reconstru¸c˜ ao para recriar o sinal original ( PEYR ´ E , 2010).

O Teorema de Shannon-Nyquist parte do pressuposto de que como n˜ ao h´ a conheci- mento pr´ evio do sinal, o pior caso deve ser considerado para realizar a amostragem. Esse n´ umero de amostras deve ser no m´ınimo o dobro da frequˆ encia m´ axima do sinal, cha- mada de Taxa de Nyquist ( CAND ` ES; WAKIN , 2007). Essa taxa ´ e utilizada em protocolos de aquisi¸c˜ ao de sinais presentes em dispositivos de ´ audio e v´ıdeo, equipamentos de pro- cessamento de imagens m´ edicas, etc. Logo, por esse teorema, h´ a um limite estabelecido que deve ser seguido para que a reconstru¸c˜ ao do sinal seja equivalente ao original.

Na teoria de CS, o sensoreamento (produto interno do sinal por fun¸c˜ oes teste) ´ e feito

de forma compressiva. As t´ ecnicas tradicionais amostram o m´ aximo poss´ıvel do sinal e

ao realizar a compress˜ ao s˜ ao descartados os dados redundantes, resultando em um sinal

comprimido. Com CS, a pr´ opria amostragem j´ a ´ e realizada de forma compressiva, de

modo que n˜ ao h´ a necessidade de descartar dados ap´ os sua aquisi¸c˜ ao e a reconstru¸c˜ ao do

sinal ´ e poss´ıvel com um n´ umero consideravelmente menor de amostras. Assim, a teoria

de CS consegue ser mais otimista que o teorema de Shannon-Nyquist, j´ a que prevˆ e uma

quantidade menor de amostras para a reconstru¸c˜ ao do sinal.

partir de uma pequena amostra aleat´ oria de seus coeficientes de Fourier desde que x seja suficientemente esparso ( CAND ` ES; PLAN , 2010). Suponhamos que o sinal x possua at´ e k amplitudes diferentes de zero, em posi¸c˜ oes desconhecidas (chama-se esse sinal de k-esparso) e tomemos o valor de sua Transformada de Fourier em m frequˆ encias esco- lhidas aleatoriamente. O sinal x pode ent˜ ao ser recuperado resolvendo um problema de otimiza¸c˜ ao que simplesmente encontra, dentro do dom´ınio do sinal, aquele com a menor norma L

. O n´ umero de amostras necess´ ario ´ e da ordem de k log n para reconstru¸c˜ ao do sinal sem perda de informa¸c˜ ao ( CAND ` ES; PLAN , 2010).

A amostragem ´ e realizada atrav´ es de um vetor de medi¸c˜ oes y, tal que y = Φx, sendo Φ uma matriz de medi¸c˜ oes m × n ( DUARTE; ELDAR , 2011). A constru¸c˜ ao da matriz Φ

´ e estruturada de forma a reduzir as medi¸c˜ oes M tanto quanto poss´ıvel, permitindo a reconstru¸c˜ ao de um vasto conjunto de sinais x a partir de seu vetor y. N˜ ao obstante, o fato de que m << n (m muito menor que n) implica que a matriz Φ ´ e n˜ ao nula. Por conseguinte, implica que para qualquer sinal x

∈ R

, um infinito n´ umero de sinais x conter´ a as mesmas medidas y

= Φx

= Φx para a matriz Φ escolhida ( DUARTE; ELDAR , 2011). A Figura 12 representa de forma visual o processo de multiplica¸c˜ ao entre as matrizes e o vetor esparso.

Desta forma, a constru¸c˜ ao da matriz de medi¸c˜ oes Φ deve permitir que sinais distintos x, x

sejam identificados de forma ´ unica atrav´ es dos vetores de medi¸c˜ ao y = Φx, y

= Φx

, mesmo que m << n ( DUARTE; ELDAR , 2011). ´ E importante observar que para que haja unicidade de solu¸c˜ ao do problema, ao tomar qualquer conjunto de m colunas da matriz Φ, esse conjunto deve ser composto por um conjunto de vetores linearmente independentes.

A teoria de CS est´ a baseada em trˆ es conceitos: esparsidade, isotropia e incoerˆ encia

( CAND ` ES; PLAN , 2010).

Figura 12 – Representa¸ c˜ ao gr´ afica do problema alg´ ebrico ( SCHULZ et al. , 2009a).

3.3 Esparsidade, Isotropia e Incoerˆ encia

O conceito de esparsidade de um sinal est´ a relacionado ` a quantidade de componentes n˜ ao nulos presentes em sua constitui¸c˜ ao ( PEREIRA , 2010). Toma-se como exemplo um sinal x com k componentes significativas em n poss´ıveis. Por este exemplo, diz-se que tal sinal possui esparsidade k. Matematicamente, temos:

k = {i : x(i) 6= 0} = kxk

(3.1) A esparsidade do sinal pode ser obtida atrav´ es de uma transforma¸c˜ ao de bases (trans- formada cosseno, por exemplo). Formalizando o conceito, temos o seguinte cen´ ario:

ˆ o sinal s ´ e representado em um vetor x com n componentes e esparsidade k;

ˆ Ψ uma transforma¸c˜ ao com inversa ¯ Ψ;

Com este cen´ ario, estrutura-se:

ˆ x ∈ R

¯

y

= ha

, xi + σz

, i = 1, · · · , m (3.2) onde x ∈ R

, {z

} ´ e uma sequˆ encia de ru´ıdos. Nesta condi¸c˜ ao, tornam-se obrigat´ orias as propriedades de isotropia e incoerˆ encia.

Em rela¸c˜ ao ` a incoerˆ encia, tomemos um par (Φ, Ψ) de bases ortonormais em R

. A primeira base Φ ´ e usada para realizar o sensoreamento e a segunda representa o resultado amostrado. A coerˆ encia entre o sistema de sensoreamento Φ e a representa¸c˜ ao do sistema Ψ ´ e dada por:

µ (Φ, Ψ) = √

n max

1≤k,j≤n

|hϕ

, ψ

i| (3.3)

A coerˆ encia mede a maior correla¸c˜ ao entre dois elementos de Φ e Ψ. Se Φ e Ψ contˆ em elementos correlacionados, a coerˆ encia ´ e grande. Caso contr´ ario, ´ e pequena ( CAND ` ES;

WAKIN , 2007). Logo, para coerˆ encia grandes ou pequenas, µ (Φ, Ψ) ∈ [1, √

n]. O limite de valor 1 ´ e consequˆ encia de que o produto interno |hϕ

, ψ

i| entre dois vetores ´ e menor ou igual a 1. O limite inferior ´ e em consequˆ encia da rela¸c˜ ao de Parseval em que cada j, P

k=1

|hϕ

, ψ

i|

= kψ

k

2

= 1 ( CAND ` ES; WAKIN , 2007).

Em outras palavras, se o espa¸co de aquisi¸c˜ ao do sensoreamento ´ e denso, o espa¸co de medi¸c˜ ao ´ e esparso e vice-versa.

3.4 Matrizes de Medi¸ c˜ ao

O vetor x ´ e representado no dom´ınio esparso em s. A amostragem do sinal atrav´ es de m amostras ´ e realizada com uma matriz de medi¸c˜ ao criada como Φ. Cada linha φ

de Φ

´ e uma fun¸c˜ ao de amostragem ( PEREIRA , 2010). O produto de Φ pelo vetor x resulta em um vetor de amostras y. A opera¸c˜ ao ´ e representada como:

ˆ y ∈ R

ˆ Φ ∈ R

ˆ y := Φx = Φ ¯ Ψs

Podemos reescrever Φ ¯ Ψ como Θ, de forma que Θ ∈ R

e y := Φx = Φ ¯ Ψs = Θs.

A rela¸c˜ ao de grandeza entre a esparsidade k, o n´ umero de amostras m e os compo- nentes significativos do sinal n ´ e dada por:

k < m << n (3.4)

Para criar boas matrizes de medi¸c˜ ao, ´ e preciso utilizar uma matriz cheia Θ

de forma que qualquer subconjunto de colunas de tamanho S seja aproximadamente ortonormal ( SCHULZ , 2008). Como exemplo, temos as matrizes Gaussianas que s˜ ao geradas com valores aleat´ orios entre zero e um que permitem a medi¸c˜ ao necess´ aria para aplica¸c˜ ao de CS.

Outra matriz de medi¸c˜ ao que apresenta aplica¸c˜ oes em CS s˜ ao matrizes Noiselets. A matriz Noiselet ´ e incoerente em rela¸c˜ ao ` a Matriz Wavelet de Haar ( CAND ` ES; ROMBERG , 2007). Se Ψ ´ e um sistema ortnormal de Wavelets de Haar-Walsh

e Φ ´ e o sistema Noiselet ortogonal , ent˜ ao U = ΦΨ possui entradas de magnitude constante tal que:

|U

| = 1, ∀k, j ⇒ µ (U ) = 1 (3.5) Dessa forma, se uma imagem com n-pixels ´ e k-esparsa no dom´ınio da Wavelet de Haar, ela pode ser reconstru´ıda (com alta probabilidade) a partir de ∼ S log n com os coeficientes aleat´ orios.

3.4.1 Matriz Gaussiana

A matriz gaussiana pode ser utilizada para o sensoreamento das amostras na aplica¸c˜ ao da t´ ecnica de CS. A matriz utilizada deve ter uma dimens˜ ao igual aos valores m´ aximos de amostras do objeto a ser sensoreado.

Dessa forma, a matriz ´ e definida a partir de uma defini¸c˜ ao de n´ umeros aleat´ orios no intervalo do n´ umero total de elementos da amostra a ser sensoreada e o n´ umero de medidas que ser´ a utilizado na medi¸c˜ ao.

1

A transformada de Haar-Walsh assume somente valores de 1 ou -1 e ´ e utilizada em diferentes

aplica¸ c˜ oes de teoria de sinais (

, 1996).

de 25.000 v´ ertices em um computador com 6 Gb de mem´ oria RAM e processador Intel i7 apresentaram tempo de processamento entre 30 a 50 minutos. As malhas com mais v´ ertices apresentam grande consumo de mem´ oria ao calcular a SVD, o que tamb´ em ´ e uma barreira t´ ecnica atual.

Algumas defini¸c˜ oes formais de matrizes gaussianas podem ser encontradas no trabalho de Horn e Johnson ( HORN; JOHNSON , 1990).

3.4.2 Matriz Wavelet

Dentro da ´ area de processamento de sinais, a fun¸c˜ ao Wavelet apresenta uma im- portˆ ancia significativa, devido ` as suas propriedades de transforma¸c˜ ao. Basicamente, trata- se de uma fun¸c˜ ao senoidal de varia¸c˜ ao entre um intervalo definido (normalmente, 0 e 1) ( SALOMON , 2007). A matriz Wavelet, portanto, ´ e composta por valores nesse intervalo.

As caracter´ısticas que tornam a matriz Wavelet interessante para a aplica¸c˜ ao em CS referem-se ` a facilidade de inverter, multiplicar e integrar a matriz, com algoritmos mais perform´ aticos comparados aos que utilizam SVD.

V´ arias aplica¸c˜ oes em malhas e representa¸c˜ ao de fun¸c˜ oes s˜ ao utilizadas com Wavelet.

O trabalho de Schr¨ oder e Sweldens (1995) apresenta aplica¸c˜ oes na defini¸c˜ ao de esferas.

Valette e Prost (2004b) Vallete e Prost 2004a utilizam Wavelets para tratar a compress˜ ao progressiva.

A matriz Wavelet representada abaixo mostra uma matriz com valores variando entre

−1 e 1.

M =















1 1 1 0

1 1 −1 0

1 −1 0 1

1 −1 0 1















3.4.3 Matriz Noiselet

A matriz Noiselet trata-se de uma varia¸c˜ ao da matriz Wavelet, explicitada na Se¸c˜ ao 3.4.2. A caracter´ıstica principal da matriz Noiselet ´ e que ela ´ e gerada por uma fun¸c˜ ao que retorna o pior caso da matriz ortogonal de Wavelet ( COIFMAN et al. , 2001). Essa matriz ´ e constru´ıda de tal forma que ela tem a m´ axima incoerˆ encia com a matriz Wa- velet de Haar ( CAND ` ES; ROMBERG , 2007). Como visto na Se¸c˜ ao 3.3, essa propriedade

´ e bastante importante para a aplica¸c˜ ao de CS. Al´ em disso, como as matrizes Wavelets s˜ ao computacionalmente interessantes, do ponto de vista de performance para an´ alise de multi-resolu¸c˜ ao, as matrizes Noiselets acompanham essa caracter´ıstica, com a vantagem de n˜ ao possu´ırem ru´ıdos na sua constitui¸c˜ ao. Conforme apresentado na Se¸c˜ ao 3.4.2, a matriz Wavelet varia em um intervalo limitado. N˜ ao obstante, em um intervalo cont´ınuo, valores intermedi´ arios podem ser encontrados na forma¸c˜ ao da matriz. A fun¸c˜ ao Noiselet permite remover esses ru´ıdos, mantendo as propriedades da matriz Wavelet e melhorando a defini¸c˜ ao de valores dentro da matriz ( COIFMAN et al. , 2001).

O trabalho de Schulz (2008), apresenta matrizes Noiselets que s˜ ao utilizadas para re- cupera¸c˜ ao de imagens atrav´ es de CS com resultados muito interessantes. Outro resultado interessante apresentado por Cand` es e Romberg (2007), mostra a reconstru¸c˜ ao de uma imagem a partir de medidas em uma matriz Noiselet.

3.5 Norma L ₁

O conceito de Norma de um vetor consiste em um mapeamento de

f → kf k , f ∈ ζ , kf | ∈ R

(3.6)

de um espa¸co vetorial complexo ζ em um conjunto de n´ umeros reais ( PRUGOVECKI , 1981), que satisfaz as seguintes condi¸c˜ oes:

(1) kf k > 0 para f 6= 0 , (2) k0k = 0 ,

(3) kaf k = kakkfk para todo a ∈ C

,

(4) kf + gk ≤ kf k + kgk (desigualdade triangular)

(3.7)

Para um espa¸co vetorial real, no item 3 ´ e necess´ ario que a ∈ R

( PRUGOVECKI , 1981).

A ´ ultima condi¸c˜ ao ´ e conhecida como desigualdade triangular porque representa, em

kxk

= u t

X

i=1

x

(3.8)

A norma L

de um vetor x ´ e dada por:

kxk

=

m

X

i=1

|x

| (3.9)

Quando utilizamos a norma L

para medir a varia¸c˜ ao entre vetores, resultam diferentes proje¸c˜ oes. Quando utilizada a norma L

, o resultado s˜ ao circulares. No caso da norma L

, o resultado s˜ ao diamantes ( BROOKS et al. , 2013). Essa propriedade permite a utiliza¸c˜ ao da minimiza¸c˜ ao da norma L

para utiliza¸c˜ ao em CS.

Dessa maneia, a norma L

´ e uma medida de varia¸c˜ ao entre vetores, calculada a partir da soma das diferen¸cas absolutas de seus pontos ( REINHARDT , 2005). Seja d

a norma entre dois vetores p e q. O c´ alculo da norma ´ e realizado de acordo com:

d

(p, q) = kp − qk

=

n

X

i=1

|p

− q

| (3.10)

onde p = (p

, p

, . . . , p

) e q = (q

, q

, . . . , q

)

A norma L

apresenta propriedades interessantes para resolu¸c˜ ao de sistemas n˜ ao de- finidos de equa¸c˜ oes lineares ( HA; PATANAVIJIT , 2010). Em v´ arias aplica¸c˜ oes, a aplica¸c˜ ao da norma L

´ e robusta, de forma que outliers n˜ ao conseguem distorcer essa robustez ( HA; PATANAVIJIT , 2010). Essa caracter´ıstica a diferencia da norma L

e permite uma eficiˆ encia maior contra os outliers e pode ser usado com dados ruidosos, atrav´ es de um problema de otimiza¸c˜ ao com os coeficientes da norma L

.

3.6 Total Variation

Uma varia¸c˜ ao do c´ alculo da norma L

refere-se ` a equa¸c˜ ao de Total Variation, que

consiste na(s) derivada(s) da fun¸c˜ ao de c´ alculo da norma L

.

O modelo TV-L

´ e utilizado com bons resultados em decomposi¸c˜ ao de imagens ( ZHANG et al. , 2012). Um modelo de decomposi¸c˜ ao e c´ alculo de imagem baseado no trabalho de Rudin et al. (1992) ´ e apresentado por Zhang et al. (2012), conforme abaixo:

Seja f uma imagem para decomposi¸c˜ ao, em duas camadas de sinais u, composta por componentes suavizados da imagem, e v, que cont´ em a componente oscilat´ oria ou texturizada da imagem f . A decomposi¸c˜ ao

f = u + v (3.11)

pode ser obtida atrav´ es da seguinte integra¸c˜ ao

min

Z

|∇u| + λ Z

|u + f |dx (3.12)

sendo f , u e v fun¸c˜ oes de intensidade da escala de cinza com valores em R

, ∇u ´ e o valor gradiente de u e λ o fator constante parametriz´ avel. Dessa forma, R

|∇u| ´ e chamada de Total Variation de u e |u − f| o termo fidelidade L

( ZHANG et al. , 2012).

3.7 Minimiza¸ c˜ ao da Norma L ₁

Para utiliza¸c˜ ao em Compressive Sensing, ´ e utilizada a minimiza¸c˜ ao da Norma L

, de modo que a solu¸c˜ ao mais esparsa para os vetores base encontra-se nessa minimiza¸c˜ ao ( PEREIRA , 2010). A resolu¸c˜ ao de

min

k˜ sk

, sujeito a Θ˜ s = y (3.13) ou de

min

kΨ˜ xk

, sujeito a Φ˜ x = y (3.14) proporciona a solu¸c˜ ao ideal para o problema da minimiza¸c˜ ao. A Figura 13 mostra a rela¸c˜ ao entre esparsidade e a norma L

.

Considerando um sinal qualquer s que possui a menor norma L

e respeita a equa¸c˜ ao

linear em R

, a minimiza¸c˜ ao da norma L

gera como solu¸c˜ ao ´ otima s = b, que ´ e distante

das solu¸c˜ oes esparsas α e β. Em contrapartida, a minimiza¸c˜ ao da norma L

reflete s = α,

Figura 13 – Esparsidade e Norma L

.

sendo a solu¸c˜ ao procurada ( SCHULZ , 2008).

No trabalho de Ha e Patanavijit (2010), um algoritmo de minimiza¸c˜ ao da Norma L

´ e apresentado justamente para aplica¸c˜ oes em CS. O algoritmo proposto no artigo citado apresenta uma maneira relativamente eficaz de recuperar dados de imagens com ru´ıdos a partir de uma observa¸c˜ ao incompleta ( HA; PATANAVIJIT , 2010). Esse ´ e o princ´ıpio da teoria de CS apresentada na Se¸c˜ ao 3.2.

O c´ alculo da minimiza¸c˜ ao pode ser realizado de diferentes maneiras. A seguir, s˜ ao elencadas algumas maneiras de realizar a minimiza¸c˜ ao da norma L

.

Em Cand` es e Romberg (2005), s˜ ao apresentadas sete formas de minimiza¸c˜ ao da norma L

:

ˆ Minimiza¸c˜ ao de L

com normas de igualdade;

Tamb´ em conhecida como busca pela base, procura encontrar a menor norma L

na somat´ oria kx

k := P

i

|x

|;

ˆ Minimiza¸c˜ ao de L

por aproxima¸c˜ ao de erro;

Em uma matriz M × N , a equa¸c˜ ao min

x

ky − Axk

com y ∈ R

encontra o vetor

x ∈ R

de maneira que o erro de y − Ax tenha a menor norma L

.

ˆ Minimiza¸c˜ ao de L

com regras quadr´ aticas;

Esta varia¸c˜ ao encontra o vetor com a menor norma L

que satisfaz a rela¸c˜ ao min kxk

sujeito a kAx − bk

≤ com sendo um parˆ ametro definido.

ˆ Minimiza¸c˜ ao de L

com correla¸c˜ ao residual limitada (conhecida tamb´ em como Sele¸c˜ ao de Dantzig);

Semelhando ` a minimiza¸c˜ ao com regras quadr´ aticas, esta varia¸c˜ ao utiliza a rela¸c˜ ao min kxk

sujeito a kA

(Ax − b)k

≤ γ, sendo γ um parˆ ametro definido. Essa varia¸c˜ ao relaxa a minimiza¸c˜ ao po regra de igualdade.

ˆ Minimiza¸c˜ ao de Total Variation com regras de igualdade;

Esta consiste em uma varia¸c˜ ao que trabalha com a Total Variation. Conforme visto na Se¸c˜ ao 3.6, a derivada da norma L

pode tamb´ em ser utilizada para calcular a varia¸c˜ ao da norma. Nesse caso, a equa¸c˜ ao torna-se um problema de minimiza¸c˜ ao de min T V (x) sujeito a Ax = b.

ˆ Minimiza¸c˜ ao de Total Variation com regras quadr´ aticas;

Da mesma forma que a varia¸c˜ ao anterior, a equa¸c˜ ao utilizada para minimizar a norma L

com regras quadr´ aticas ´ e alterada para min T V (x) sujeito a kAx−bk

≤ .

ˆ Minimiza¸c˜ ao de Total Variation com Dantzig.

Neste caso, tamb´ em ´ e adaptada a equa¸c˜ ao da sele¸c˜ ao de Dantzig para min T V (x) sujeito a kA

(Ax − b)k

≤ γ.

Cada uma dessas formas apresenta uma varia¸c˜ ao da minimiza¸c˜ ao necess´ aria para aplica¸c˜ ao de CS. O detalhamento do c´ alculo pode ser encontrado no texto de Cand` es e Romberg (2005).

Utilizando-se dos c´ alculos de minimiza¸c˜ ao apresentados por Cand` es e Romberg (2005), Yang et al. (2010) apresentam quatro algoritmos r´ apidos de minimiza¸c˜ ao da norma L

. Os algoritmos apresentados s˜ ao:

ˆ M´ etodos de Proje¸c˜ ao de Gradiente;

Utilizando o multiplicador de Lagrange, o problema de minimiza¸c˜ ao apresentado

no in´ıcio desta se¸c˜ ao ´ e reescrito de forma que utilizando a minimiza¸c˜ ao por regras

de L

em rela¸c˜ ao a L

.

ˆ M´ etodo Iterativo com Limites de Encolhimento;

Este m´ etodo considera o problema de minimiza¸c˜ ao como uma composi¸c˜ ao de fun¸c˜ oes, que podem ser resolvidas de forma iterativa.

ˆ M´ etodo de Aproxima¸c˜ ao por Gradiente;

Utilizando uma a fun¸c˜ ao convexa com o gradiente cont´ınuo de Lipschitz, atrav´ es de m´ ultiplas itera¸c˜ oes aproximar a forma quadr´ atica da fun¸c˜ ao objetiva, de modo a encontrar os pontos ´ otimos da minimiza¸c˜ ao.

ˆ M´ etodo de Multiplicador de Lagrange Aumentado;

Este tipo de abordagem tem a vantagem de simultaneamente estimar a solu¸c˜ ao

´

otima e os multiplicadores de Lagrange de forma iterativa.

Cada um dos m´ etodos acima ´ e detalhado no trabalho de Yang et al. (2010), al´ em de conter um comparativo de performance entre os diferentes algoritmos.

No contexto de Compressive Sensing, outro trabalho interessante, elaborado por Nee- dell e Ward (2013), apresenta garantias para aproxima¸c˜ oes ´ otimas utilizando minimiza¸c˜ ao com Total Variation. O trabalho apresenta uma garantia de reconstru¸c˜ ao ´ otima para minimiza¸c˜ ao multidimensional de Total Variation a partir de medidas comprimidas ( NE- EDELL; WARD , 2013). ´ E uma abordagem interessante, que complementa os m´ etodos de minimiza¸c˜ ao apresentados nesta se¸c˜ ao.

3.8 Exemplo Ilustrativo

Nesta se¸c˜ ao, um exemplo ´ e apresentado para ilustrar como a t´ ecnica de CS funciona.

Inicialmente, definimos um vetor de 32 posi¸c˜ oes com zeros, que chamaremos de s, e

atribu´ımos um de seus elementos um valor (0.8). Esse vetor representa o sinal k esparso,

apresentado na Se¸c˜ ao 3.2. Na parametriza¸c˜ ao deste exemplo, utilizamos 8 medidas, de- notadas por m. Desta maneira, dentro do conjunto de 32 elementos do sinal, 8 elementos ser˜ ao escolhidos, de forma aleat´ oria, para a reconstru¸c˜ ao do vetor s. De acordo com a teoria, o sinal s ´ e k esparso, onde k = 1.

Na sequˆ encia, ´ e definida a matriz de medi¸c˜ ao Φ, que ser´ a usada para a reconstru¸c˜ ao do sinal. Essa matriz ´ e definida de acordo com o tamanho original do vetor s (32 posi¸c˜ oes).

Neste exemplo em particular, a matriz ´ e calculada atrav´ es de uma distribui¸c˜ ao normal de n´ umeros aleat´ orios em fun¸c˜ ao do n´ umero de elementos do vetor s e o n´ umero de medidas m.

E realizado ent˜ ´ ao o processo de reconstru¸c˜ ao. O objetivo ´ e a partir da matriz de medi¸c˜ ao Φ, escolher aleatoriamente as m medidas e voltar ao sinal s.

Na Figura 14, temos a representa¸c˜ ao do sinal deste exemplo ilustrativo. Podemos observar no eixo X a posi¸c˜ ao vetorial (neste caso, 32 posi¸c˜ oes.) e no eixo Y d o valor atribu´ıdo ` a Posi¸c˜ ao 6 (0,8).

Figura 14 – Exemplo Ilustrativo - Sinal Original.

Na Figura 15, podemos ver o sinal resultante na reconstru¸c˜ ao. Utilizando as 8 medidas

aleat´ orias, no universo de 32 poss´ıveis (tamanho do vetor s), temos uma reconstru¸c˜ ao

perfeita. Na posi¸c˜ ao 6 do vetor, temos encontrado o valor 0.8.

Figura 15 – Exemplo Ilustrativo - Sinal Reconstru´ıdo (m = 8).

Se executarmos uma varia¸c˜ ao do experimento, utilizando 6 medidas, ainda assim teremos uma reconstru¸c˜ ao fiel do sinal s, como vemos na Figura 16.

Figura 16 – Exemplo Ilustrativo - Sinal Reconstru´ıdo (m = 6).

Uma terceira varia¸c˜ ao do experimento, utilizando m = 4, temos um resultado com de-

termina¸c˜ ao de quatro valores para o vetor reconstru´ıdo. Isso indica que existe um n´ umero

m´ınimo de medidas que precisam ser tomadas para a que a reconstru¸c˜ ao seja perfeita. No

entanto, diferente das t´ ecnicas tradicionais, podemos utilizar quaisquer medidas, desde que um m´ınimo de medidas seja tomado. As t´ ecnicas tradicionais exigem que a tomada de medidas seja distribu´ıda pelo sinal.

Figura 17 – Exemplo Ilustrativo - Sinal Reconstru´ıdo (m = 4).

Os experimentos foram executados 10 vezes cada um. Para a parametriza¸c˜ ao de m = 8 e m = 6, todas as reconstru¸c˜ oes foram perfeitas. Quando utilizamos m = 4, algumas vezes temos a reconstru¸c˜ ao perfeita. Ou seja, mesmo com poucas medidas, o sinal ´ e reconstru´ıdo, mas em fun¸c˜ ao da aleatoriedade da medida, quando temos m insuficiente.

3.9 Aplica¸ c˜ oes

A teoria de CS possui aplica¸c˜ oes em diversas ´ areas, permitindo a utiliza¸c˜ ao do senso- reamento compressivo para tratar qualquer informa¸c˜ ao que possa ser representada como sinal.

Resultados interessantes na compress˜ ao e recupera¸c˜ ao de imagens s˜ ao apresentados em diversos estudos ( CAND ` ES; WAKIN , 2007). Utilizando-se de diferentes matrizes de medi¸c˜ ao, ´ e poss´ıvel reconstruir com boa probabilidade a imagem original a partir do sensoreamento compressivo ( HAO et al. , 2010).

Diversos estudos corroboram a reconstru¸c˜ ao do sensoreamento compressivo. Na Fi-

gura 18 ´ e exibida uma reconstru¸c˜ ao de imagem a partir de CS utilizando Wavelet como

Figura 18 – Compress˜ ao de Imagem e reconstru¸ c˜ ao a partir de coeficientes de matriz Wavelet. Extra´ıdo de Hao et al. (2010).

A Figura 19 exibe a reconstru¸c˜ ao de imagem a partir de uma ´ arvore constru´ıda com coeficientes de Wavelet (a). A imagem representada por (b) mostra a reconstru¸c˜ ao da imagem utilizando de pontos amostrados aleatoriamente com a t´ ecnica de CoSaMP ( DU- ARTE; ELDAR , 2011). A imagem em (c) ´ e reconstru´ıda com o mesmo n´ umero de amostras, mas utilizando a ´ arvore de coeficientes exibida em (a).

Figura 19 – Exemplo de reconstru¸ c˜ ao de imagem com CS com ´ arvore estruturada e t´ ecnica CoSaMP. Extra´ıdo de Duarte e Eldar (2011)

A t´ ecnica possui aplica¸c˜ ao consider´ avel em compress˜ ao de dados, devido ` a matriz aleat´ oria utilizada para amostragem, particularmente vantajosa em redes de sensores ( CAND ` ES; WAKIN , 2007). A transmiss˜ ao de dados se beneficia dos elementos b´ asicos de CS (esparsidade, aleatoriedade), que pode ser utilizada para corrigir erros durante a transmiss˜ ao de maneira perform´ atica. Tamb´ em ´ e importante ressaltar que a aquisi¸c˜ ao de dados via CS ´ e muito mais f´ acil de realizar, uma vez que a amostragem total para compress˜ ao posterior possui um custo inexistente em CS, onde a pr´ opria amostragem ´ e realizada de forma compressiva ( CAND ` ES; WAKIN , 2007).

A teoria possui um poder de aquisi¸c˜ ao de dados t˜ ao robusto que pode ser exempli-

ficado na Figura 20. Nesse modelo de cˆ amera, o raio de luz incidente ´ e refletida em um

dispositivo de matrizes de micro-espelhos digitais cujo orienta¸c˜ ao ´ e modulada de forma pseudoaleat´ oria, fornecido pelo gerador de n´ umeros randˆ omicos. Cada espelho diferente produz uma tens˜ ao no fotodiodo que corresponde a uma medi¸c˜ ao. O processo ´ e repetido com diferentes padr˜ oes M vezes para obter um vetor de medi¸c˜ ao completo y ( DUARTE;

ELDAR , 2011). Ap´ os obter o vetor, ´ e aplicada a minimiza¸c˜ ao da norma L

por algumas das t´ ecnicas descritas na Se¸c˜ ao 3.7. Com a minimiza¸c˜ ao, ´ e poss´ıvel obter a imagem completa que foi sensoreada pelo pixel.

Figura 20 – Diagrama de cˆ amera de um pixel. Extra´ıdo de Duarte e Eldar (2011).

Outras aplica¸c˜ oes da teoria de CS tamb´ em ´ e encontrada na literatura. A Tabela 1 apresenta algumas das aplica¸c˜ oes encontradas em artigos recentes.

Tabela 1 – Exemplos de Aplica¸ c˜ oes de CS em Diferentes ´ Areas.

Area ´ Resumo Referˆ encia

Audio ´ Recupera¸c˜ ao de sinais delimitados de ´ audio. Defraene et al. (2013).

V´ıdeo Codifica¸c˜ ao de quadros de v´ıdeo. Liu et al. (2013).

Radar Constru¸c˜ ao de sinais de radar. Ender (2013).

MRI Utiliza¸c˜ ao da esparsidade da baixa frequˆ encia de banda. Chauffert et al. (2013).

Os exemplos apresentados indicam que existe uma variedade de aplica¸c˜ oes da t´ ecnica

de CS em v´ arias ´ areas. Devido ` a sua capacidade de aquisi¸c˜ ao de dados de forma com-

pressiva, a forma como se processam os sinais tem sido repensada ( ENDER , 2013). O fato

de a teoria de CS ser relativamente recente, motiva os pesquisadores a experimentar essa

abordagem em diferentes aspectos.