COLÉGIO PEDRO II - CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III 1ª SÉRIE – MATEMÁTICA I – PROF. WALTER TADEU
www.professorwaltertadeu.mat.br Inequações do 1º Grau – 2013 - GABARITO
1. Resolva as inequações U = R
a) 8x – 10 > 2x + 8 b) 2(3x +7) < – 4x + 8 c) 20 – (2x +5) ≤ 11 + 8x Solução. Desenvolvendo as operações algébricas, temos:
a) x 3
6 x 18 18 x 6 8 10 x 2 x 8 8 x 2 10 x
8 .
b) 5
x 3 10 x 6 6 x 10 8 14 x 4 x 6 8 x 4 14 x 6 8 x 4 ) 7 x 3 (
2 .
c)
5 x 2 10 x 4
4 x 10 4 x 10 11 15 x 8 x 2 x 8 11 5 x 2 20 x 8 11 ) 5 x 2 ( 20
.
2. Resolva as inequações U = N
a) 2x + 5 < – 3x +40 b) 6(x – 5) – 2(4x +2) > 100 c) 7x – 9 < 2x + 16
Solução. Desenvolvendo as operações algébricas, observando que a solução pertence ao conjunto dos números naturais, temos:
a) x 7 S {0,1,2,3,4,5,6}
5 x 35 35 x 5 40 5 x 3 x 2 40 x 3 5 x
2 .
b)
{}.
S , Logo . IN 67 x
2 x 134 134
x 2 134 x 2 100 4 x 8 30 x 6 100 ) 2 x 4 ( 2 ) 5 x ( 6
.
c) x 5 S {0,1,2,3,4}
5 x 25 25 x 5 16 9 x 2 x 7 16 x 2 9 x
7 .
3. Resolva as inequações U = Z
a) 2x + 5 ≥ – 3x +40 b) 6(x – 5) – 2(4x +2) ≥ 80 c) 20 – (7x + 4) < 30
Solução. Desenvolvendo as operações algébricas, observando que a solução pertence ao conjunto dos números inteiros, temos:
a) x 7 S {7,8,9,10,...}
5 x 35 35 x 5 40 5 x 3 x 2 40 x 3 5 x
2 .
b)
} 57 , 58 , 59 , 60 {..., S 57 x
2 x 114 114
x 2 114 x 2 80 4 x 8 30 x 6 80 ) 2 x 4 ( 2 ) 5 x ( 6
.
c)
,...}
2 , 1 , 0 , 1 { S
2 7 x
x 14 14 x 7 14 x 7 16 30 x 7 30 4 x 7 20 30 ) 4 x 7 ( 20
.
4. Resolva as inequações em R:
a) 0
2 x
1 x
2
. Solução. Utilizando as funções afins e analisando, vem:
f(x) = 2x + 1. Função crescente anulando em x = – 1/2.
g(x) = x + 2. Função crescente anulando em x = – 2.
O denominador não pode anular. Logo, x ≠ – 2.
S = ] –∞, – 2[ ] – 1/2, ∞[.
b) 0 1 x
1
x
. Solução. Utilizando as funções afins e analisando, vem:
f(x) = x + 1. Função crescente anulando em x = – 1.
g(x) = x – 1. Função crescente anulando em x = 1.
O denominador não pode anular. Logo, x ≠ 1.
S = ] –1, 1[.
c) 0
2 x
3 x
2
. Solução. Utilizando as funções afins e analisando, vem:
f(x) = 2x – 3. Função crescente anulando em x = 3/2.
g(x) = x + 2. Função crescente anulando em x = – 2.
O denominador não pode anular. Logo, x ≠ – 2.
S = ] –2, 3/2].
d)
4 x
0x 4 3 . x 2
1
. Solução. Utilizando as funções afins e analisando, vem:
f(x) = 1 – 2x. Função decrescente anulando em x = 1/2.
g(x) = 3 + 4x. Função crescente anulando em x = – 3/4.
h(x) = 4 – x. Função decrescente anulando em x = 4.
O denominador não pode anular. Logo, x ≠ 4. S = ] – 3/4, 1/2[ ]4, ∞[.
e) x 2
2 1 x
1
. Solução. Utilizando as funções afins e analisando, vem:
) 0 2 x ).(
1 x (
x
) 0 2 x ).(
1 x (
2 x 2 2 0 x
) 2 x ).(
1 x (
) 1 x .(
2 ) 2 x .(
0 1 2 x
2 1 x
1
.
f(x) = – x. Função decrescente anulando em x = 0.
g(x) = x – 1. Função crescente anulando em x = 1.
h(x) = x – 2. Função crescente anulando em x = 2.
O denominador não pode anular. Logo, x ≠ 1 e x ≠ 2. S = ]0, 1[ ]2, ∞[.
f) 3
5 x 3
7 x
2
. Solução. Utilizando as funções afins e analisando, vem:
5 0 x 3
8 x 7
5 0 x 3
15 x 9 7 x 0 2 5
x 3
) 5 x 3 ( 3 7 x 0 2 5 3
x 3
7 x 2
.
f(x) = – 7x + 8. Função decrescente anulando em x = 8/7.
g(x) = 3x – 5. Função crescente anulando em x = 5/3.
O denominador não pode anular. Logo, x ≠ 5/3. S = [8/7, 5/3[.
g) 3
2 x
1 x
3
. Solução. Utilizando as funções afins e analisando, vem:
2 0 x 0 5 2
x
6 x 3 1 x 0 3 2
x
) 2 x ( 3 1 x 0 3 2 3
x 1 x
3
.
O numerador já é positivo e constante diferente de zero. Portanto a inequação será negativa se x < 2.
S = [– ∞, 2[. Como x – 2 está no denominador, x ≠ 2.
h)
x 3
.x 4
02 x . 1
x
. Solução. Utilizando as funções afins e analisando, vem:
f(x) = x – 1. Função crescente anulando em x = 1.
g(x) = x – 2. Função crescente anulando em x = 2.
h(x) = x + 3. Função crescente anulando em x = – 3.
t(x) = x + 4. Função crescente anulando em x = – 4.
O denominador não pode anular. Logo, x ≠ – 3 e x ≠ – 4.
S = ]– 3, – 4[ [1, 2].
i) (5x2).(2x).(4x3)0. Solução. Utilizando as funções afins e analisando, vem:
f(x) = 5x + 2. Função crescente anulando em x = –2/5.
g(x) = 2 – x. Função decrescente anulando em x = 2.
h(x) = 4x + 3. Função crescente anulando em x = – 3/4.
S = ]– ∞, – 3/4] [– 2/5, 2].
5. (UFRS) Se –1< 2x + 3 <1, então 2 – x está entre:
a) 1 e 3 b) –1 e 0 c) 0 e 1 d) 1 e 2 e) 3 e 4
Solução. Expressando a inequação simultânea como um sistema de inequações, temos:
4x23222x21:
membrosaos2oAdicionand 1x 2x1 2x 1x 2x 2x2 4x2 31x2
31x2 13x2
13x2
.
6. (UNAERP) Se 3 5 – 2x 7, então:
a) -1 x 1 b) 1 x -1 c) -1 x 1 d) x = 1 e) x = 0 Solução. Expressando a inequação simultânea como um sistema de inequações, temos:
1x 1x1 1x 2x2 2x2 2x2
2x2 75x2 35x2 7x25
3x25
.
7. (PUC) Fábio quer arrumar um emprego de modo que, do total do salário que receber, possa gastar 1/4 com alimentação, 2/5 com aluguel e R$ 300,00 em roupas e lazer. Se, descontadas todas essas despesas, ele ainda pretende que lhe sobrem no mínimo R$ 85,00, então, para que suas pretensões sejam atendidas, seu salário deve ser no mínimo:
a) R$ 950,00 b) R$ 1100,00 c) R$ 980,00 d) R$ 1500,00 e) R$ 1000,00 Solução. Considerando S o salário de Fábio, temos:
1100 7 S
S 7700 7700
S 7 1700 6000 S 13 S 20
20 85 6000 S S 13 20 85
6000 S 8 S S 5 85 5 300
S 2 4 S S
.
8. (FUVEST) Um estacionamento cobra R$6,00 pela primeira hora de uso, R$3,00 por hora adicional e tem uma despesa diária de R$320,00. Considere-se um dia em que sejam cobradas, no total, 80 horas de estacionamento. O número mínimo de usuários necessário para que o estacionamento obtenha lucro nesse dia é:
a) 25 b) 26 c) 27 d) 28 e) 29
Solução. O número de usuários é encontrado pela quantidade de pagamentos fixos de R$6,00 da 1ª hora. Do total de 80 horas, considere y relativo a pagamentos da 1ª hora e x relativos às horas adicionais. Para ter lucro temos que 6y + 3x > 320.
...6, 3 26 y 80 80 y3 320 y3 240 y6 320 )y 80(3 320 y6
x3 y6
y 80 x 80 y
x
.
O número mínimo será de 27 usuários.
9. (UNESP) Carlos trabalha como DJ e cobra uma taxa fixa de R$100,00, mais R$20,00 por hora, para animar uma festa. Daniel, na mesma função, cobra uma taxa fixa de R$55,00, mais R$35,00 por hora. O tempo máximo de duração de uma festa, para que a contratação de Daniel não fique mais cara que a de Carlos, é:
a) 6 horas b) 5 horas c) 4 horas d) 3 horas e) 2 horas Solução. A expressão do preço da festa de Carlos é C(x) = 20x + 100 e a de Daniel é D(x) = 35x + 55.
Para que a festa de Daniel não fique mais cara que a de Carlos, deverá custar, no mínimo, o mesmo valor.
3 15 x
x 45 45 x 15 100 55 x 20 x 35 100 x 20 55 x 35 ) x ( C ) x (
D .
O tempo máximo será de 3 horas.
10. (UNICAMP) Três planos de telefonia celular são apresentados na tabela abaixo:
PLANO CUSTO FIXO MENSAL CUSTO ADICIONAL POR MINUTO
A R$ 35,00 R$ 0,50
B R$ 20,00 R$ 0,80
C 0 R$ 1,20
a) Qual é o plano mais vantajoso para alguém que utilize 25 minutos por mês?
Solução. Calculando os preços para cada plano, temos:
PLANO Custo mensal na utilização de 25 minutos A 35,00 + 0,50 x 25 = 35 + 12,50 = R$47,50 B 20,00 + 0,80 x 25 = 20 + 20 = R$40,00
C 0 + 1,20 x 25 = R$30,00
O plano mais vantajoso é o C.
b) A partir de quantos minutos de uso mensal o plano A é mais vantajoso que os outros dois?
Solução. Resolvendo a inequação simultânea para Plano A < Plano B e Plano A < Plano C, temos.
50x 50x
7,0 x 35
3,0 x 15
35x7,0 15x3,0 35x7,0 15x3,0 35x2,1x5,0
2035x8,0x 5,0 x2,135x5,0
20x8,035x5 ,0
.
A partir de 50 minutos, o plano A é mais vantajoso que os outros dois.
