COLÉGIO PEDRO II - CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III 3ª SÉRIE – MATEMÁTICA II – PROF. WALTER TADEU
www.professorwaltertadeu.mat.br Geometria Plana - Áreas – 2013 - GABARITO
1. (FAAP) As bases de um trapézio medem 80cm e 60cm com altura 40cm. A 10cm da base maior traça-se uma paralela às bases que determina dois trapézios. Qual a área de cada um?
Solução. Os trapézios determinados pela paralela estão indicados na figura. A soma de suas áreas será igual à área do trapézio original.
2 2
cm 2 775
10 . 75 : 80 erior inf Área
cm 2 2025
30 . 75 : 60 erior sup Área : sposta Re )ii
40 75 x 3000 2600
5600 x 40 5600 x 10 800 x 30 1800
2 40 . 80 60 2
10 . x 80 2
30 . x 60
2 40 . 80 : 60 total Área
2 10 . x : 80 erior inf Área
2 30 . x : 60 erior sup Área )i
.
2. O triângulo ABC está inscrito num círculo de área igual a 16cm2, sendo  30º, AB8cm e x
BC .
AC cm2. Determine o valor de x 3.
Solução. Calculando o raio do círculo temos: .r216r 16 4cm. Se o raio mede 4cm, o diâmetro mede 8cm. Logo, o lado AB do triângulo possui a mesma medida implicando que o triângulo é retângulo. Aplicando as relações trigonométricas no triângulo retângulo, temos:
16 .3 3 16 3. 48 cm
23 x:
sposta Re )ii
3 16 4.
3 4 x x
BC . AC
2 4 .8 1 BC º 30 8 sen BC
3 2 4 .8 3 AC º 30 8 cos AC
)i
.
3. Na figura a seguir P é o ponto médio do segmento AD do paralelogramo ABCD. Calcule a área, em m2, do triângulo APB sabendo que a área do paralelogramo é 136m2.
Solução. A diagonal BD divide o paralelogramo em dois triângulos com áreas equivalentes, pois AD = BC e a altura possui a mesma medida. Logo a área de ADB vale a metade da área de ABCD. Os triângulos APB e PDB possuem áreas equivalentes, pois apresentam bases e alturas de mesma medida. Temos:
34cm2 68 2
ADB APB Área
Área ) ii
cm 2 68
136 2
ABCD ADB Área
Área )
i 2
.
4. Na figura a seguir o quadrado ABCD tem lado 6, Q1, Q2, Q3 e Q4 são quadrados de lado x. A região hachurada possui área 16. Determine x.
Solução. O segmento PQ assinalado é a hipotenusa do triângulo retângulo isósceles de catetos medindo (6 – x). A área hachurada é a soma das áreas de dois retângulos subtraída das quatro meias áreas dos quadrados Q1, Q2, Q3 e Q4 e do quadrado central de lado medindo y. Identificando as medidas e escrevendo a equação, temos:
2 x
1 0 x
)2 x ).(
1 x(
0 2 x3 x
0 16 x 24 x8 16 x4 x2 x 12 x2 x 12 16 x2 x2 )x 6(
x2 )x 6(
x2
16 2 x2
.4 x 2 x.
2 ).
x 6(
2 x.
2 ).
x 6(
2 x.
2 ).
x 6(
hachurado retângulo
Área
2 x 2
Q Área
x2 2 x y:
central Quadrado Área
2 ).
x 6(
PQ
2
2 2
2 2
2 2
2 2 2
1
2 2 2
.
5. O ângulo central AÔB referente ao círculo da figura mede 60º e OX é sua bissetriz. Se M é o ponto médio do raio OC = 5cm, calcular a área da figura hachurada.
Solução. Os triângulos OMA e OMC possuem áreas equivalentes. A área hachurada será a diferença entre área do setor circular OAB e a soma das áreas dos triângulos OMA e OMC.
22
12 cm 3 2 5 12
15 10 4 5 6 5 8 .2 5 6 hachurada 5 Área
8 5 2
2 . 1 2 . 5 5 2
º 30 sen . OM . : OA OAM Área
6 5 6
5 setor . Área
.
6. A área de um triângulo retângulo é 12dm2. Se um dos catetos é 2/3 do outro, calcule a medida da hipotenusa desse triângulo.
Solução. A área do triângulo retângulo é a metade do produto dos catetos.
dm 13 2 52 16 36 4 6 hipotenusa )iii
dm 3 4
6.
1 2 cat )ii
dm 6 36 2 cat 36 2 cat 6 12
2 cat 12 .2 2
2 cat 3 .
2 cat .2
3 2 cat 1 .2 cat
2 2 cat .1 Área cat )i
2 2
2 2
.
7. Seja D o ponto médio do lado AB do triângulo ABC. Sejam E e F os pontos médios dos segmentos DB e BC, respectivamente, conforme se vê na figura. Se a área do triângulo ABC vale 96, então a área do triângulo AEF vale:
a) 42 b) 36 c) 32 d) 30 e) 28
Solução. Como o ponto F é médio de BC, os triângulos ACF e AFB são equivalentes, pois suas bases possuem a mesma medida (x) e o mesmo ocorre com suas alturas. Logo, suas áreas valem, cada uma, 48 (a metade da área de ABC). O ponto D é médio de AB. Logo os triângulos ADF e BDF possuem áreas equivalentes valendo metade da área AFB. Logo, a área de ADF = 24.
O ponto E é médio de DB. Assim a área de ADE vale 12 (a metade da área de BDF = 24).
A área pedida vale a soma das áreas de ADF e DEF = 24 + 12 = 36.
8. Um cavalo deve ser amarrado a uma estaca situada em um dos vértices de um pasto, que tem a forma de um quadrado cujo lado mede 20m. Para que ele possa pastar em 20%
da área total do pasto, o comprimento da corda que o prende à estaca deve ser, de aproximadamente:
a) 1m b) 2m c) 5m d) 8m e) 10m
Solução. A área a ser pastada pelo cavalo corresponde a um setor circular com centro na estaca (vértice) e raio igual ao comprimento da corda. Temos:
m 10 102 14, R 3 R 320 4 80 R.
4 ) R.
setor ( Área
m 5 80 ) 400 Pasto ( Área
%.
20 ) Pastada ( Área
m 400 )20 ( ) Pasto ( Área
2 2
2
2 2
2
.
9. Considere ABCD um paralelogramo e M o ponto médio de AB. As retas CM e BD dividem o paralelogramo em quatro partes. Se a área do paralelogramo é 24, as áreas de I, II, III e IV, são respectivamente:
a) 10, 8, 4, 2 b) 10, 9, 3, 2 c) 12, 6, 4 2 d) 16, 4, 3, 1 e) 17, 4, 2, 1
Solução. Os triângulos de áreas IV e II são semelhantes. E a base de IV é a metade da medida da base de II. Vale a relação:
4 1 b . 1 4 b b b 4 b b2 ) II ( Área
) IV ( Área
2 2 2 2
2 2
.
Como M é médio de AB, a área do triângulo BMC vale 1/4 do paralelogramo. O triângulo MDC possui área valendo metade da área do paralelogramo. Utilizando essas relações, temos:
102 12I 12IVI )c
4III 12III8 )b
8II6 2II)a 3 2 IV6 6 IVIV.4 IV.4II
6IVII )ii
6IVII 6IV III
12IIIII )1(6 IVIII
12IIIII 4
)ABCD(
IVIII Área 2
)ABCD(
IIIII Área )i
.
10. Na figura mostrada tem-se uma circunferência de centro O e raio medindo 3cm. Os pontos A e B pertencem á circunferência e a medida do ângulo central mede 45º. Determine a área da região sombreada.
Solução. A área da região sombreada vale a diferença entre a área do setor e a área do triângulo OAB.
8 2 2 9 8
2 18 ) 9 sombreada (
Área
4 2 9 8 ) 9 sombreada (
Área 4
2 9 2
2 .9 2 2
º45 sen ).3 ).(
) 3(
Triângulo ( Área
8 9 8
)3 .(
8 ) R.
setor ( Área 8 º45
º
360
2 2
.
11. Uma chapa metálica de formato triangular (triângulo retângulo) tem inicialmente as medidas indicadas e deverá sofrer um corte reto (paralelo ao lado que
corresponde à hipotenusa do triângulo) representado pela linha pontilhada, de modo que sua área seja reduzida a metade.
Quais serão as novas medidas x e y?
Solução. A área inicial vale:
cm2
2 1200 ) 60 ).(
40 ) ( inicial (
Área .
Com o traçado da linha paralela à hipotenusa há dois triângulos semelhantes com a relação:
2 y x 3 2 y 3 x 40
y 60
x .
A área do triângulo de catetos x e y deve valer a metade da original. Isto é, 600cm2.
Calculando, temos:
30 2cm2 2 20 3 2
y x 3
cm 2 20 3 800
y 2400 4 600
y 3 4 y 3 2
y 2 . y 3 2
y . ) x final ( Área
2 2
.
12. O retângulo ABCD representa um terreno retangular cuja largura é 3/5 do comprimento. A parte hachurada representa um jardim retangular cuja largura é também 3/5 do comprimento. Qual a razão entre a área do jardim e a área do terreno?
a) 30% b) 36% c) 40% d) 45% e) 50%
Solução. Expressando as áreas e calculando a razão, temos:
% 36 25 36,0
9 ) terreno ( Área
dim) jar(
Área
25 9 x3 . 5 125
x27 5 x3 125
x27 ) terreno ( Área
dim) jar(
Área 125
x27 25 . x9 5 dim) x3 jar(
Área
5 x3 5 ).x( x3 ) terreno ( Área
2 2 2
2
2 2
.
13. No quadrilátero ABCD, ABˆC 150º, AD = AB = 4cm, BC = 10cm, MN = 2cm, sendo M e N, respectivamente, os pontos médios de CD e BC. Calcule a medida, em cm2, da área do triângulo BCD.
Solução. Se M e N são pontos médios, então vale a relação:
2 4cm .
2 MN . 2 2 DB
1 DB
MN . Logo, o triângulo ADB é equilátero e o triângulo BDC é retângulo com ângulo de 90º em B. Os catetos são DB e BC.
A área pedida será: 20cm2
2 ) 10 ).(
4 ) ( BDC (
Área .
14. Na figura, ABC é um triângulo retângulo de catetos AB = 4 e AC = 5. O segmento DE é paralelo a AB, F é ponto de AB e o segmento CF intersecta DE no ponto G, com CG = 4 e GF = 2.
Assim, a área do triângulo CDE é:
a) 16/3 b) 35/6 c) 39/8 d) 40/9 e) 70/9
Solução. Como DE é paralelo a AB, os triângulos ADE e ABC são semelhantes e a razão entre suas áreas é proporcional ao quadrado da razão de suas dimensões homólogas. No caso, CG e CF são dimensões homólogas. Temos:
9 40 9 . 4 36 10
. 16 10 ) CDE ( 6 Área
4 )2
4 ).(
5 (
) CDE ( Área CF
CG )
ABC ( Área
) CDE (
Área 2 2
.
15. Na figura seguinte, E é o ponto d intersecção das diagonais do quadrilátero ABCD e é o ângulo agudo BEˆC . Se EA = 1, EB = 4, EC = 3 e ED = 2, quanto vale a área do quadrilátero ABCD?
a) 12sen b) 8sen c) 6sen d) 10cos e) 8cos
Solução. A área pedida será a soma das áreas dos quatro triângulos. Lembrando que sen(a) = sen(180º - a), temos:
sen . 12 ) ABCD ( Área
sen 2 .3
sen .6 2
) º 180 ( sen ).
3 ).(
) 2(
EDC ( Área
2 sen sen ).
2 ).(
) 1(
EAD ( Área
sen 2 .2
sen .4 2
) º 180 ( sen ).
4 ).(
) 1(
EAB ( Área
sen 2 .6
sen ).
3 ).(
) 4(
EBC ( Área
.
16. Na figura a seguir, o perímetro do triângulo equilátero ABC é 12 e o ponto P é médio do lado BC.
Calcule a área do triângulo AED.
Solução. Traçando a paralela QE ao lado BC, é construído o triângulo EQA equilátero de lado x. Por sua vez, o triângulo EQD é semelhante
ao triângulo PBD. Temos:
4 1 x 4 x 2 4 x 6 6
x 2 2 x BD QD BP
EQ .
O ângulo â mede 120º (suplementar de 60º do triângulo EQA). A área pedida será:
2 3 2
º 120 sen ).
1 ).(
2 ) ( AED (
Área .
17. No hexágono regular da figura, a distância do vértice E à diagonal AC é 3. Calcule a área do polígono hachurado.
Solução. A área pedida será a diferença entre a área do hexágono regular e a área do triângulo ABC. O ângulo interno do hexágono regular mede 120º. O lado do hexágono pode ser calculado utilizando a Lei dos Cossenos no triângulo ABC. Temos:
3 5 3 3 6 : ) hachurada (
Área ) iv
4 3 3 4 2
2 . 3 4 2
2 . 3 2 2
º 120 sen . x . :x ) ABC Triângulo (
Área ) iii
3 . 2 6
3 . . 4 2 3
3 . . 2 4 3
3 . . x 6 : ) hexágono (
Área ) ii
2 4 x 12 x 3 x x 2 12
2 . 1 x 2 x 2 12 º 120 cos ).
x ).(
x .(
2 x x 3 2 : ) hexágono (
Lado ) i
3 2 y 2 AC 3 3
. 3 3 3 y
º y 30 tg ) i
2 2 2
2 2
2
2 2 2
2 2
.
18. No triângulo ABC, o lado AC e a mediatriz do segmento BC se encontram no ponto D, e a reta BD é bissetriz de ABC. Se AD = 9 e DC = 7, qual a área do triângulo ABD?
a) 14 b) 21 c) 28 d) 14 5 e) 28 5
Solução: O segmento DM está sobre a mediatriz de BC. Logo, DM é perpendicular a BC e M é ponto médio de BC. Considere as medidas AB = b, DM = h, BC = 2a e BD = x. Considere “y” os ângulos ABD e DBM.
- Nos triângulos BDM e DMC, temos:
49 1 a 7 1 a 7 seny
a x y a cos )ii
7 49 x 49 x x 49 0
a 49 h
a x h a
49 h
)1 (x a x )i h
2 2 2
2
2 2
2 2 2 2
2
2 2 2
.
- Teorema das Bissetrizes em ABC:
7 a b 18 7
a 2 9 b DC BC AD
AB .
- Lei dos Cossenos em ABD:
3 14 6
) 4 ).(
7 ( 36
) 16 ).(
49 a (
72 ) 32 ).(
49 a (
49 32 a 72 49
a 49 252 49
a 81 324
7 ).a 7 7 .(
a . 18 2 7 7
a 81 18
y cos ).
x ).(
b .(
2 x b 9
2 2
2
2 2 2
2 2
.
- Área (ABD):
14 53 ). 5 42 . (
9 4 ). 9 42 2 (
. 9 1 4 ).
84 ( 2
49 . 9 1 196 . 7 7 .
14 . 6 A
2
49 143 1 . 7 7 .
143 18
2
49 1 a . 7 7 .
a 18 2
seny . x . A b
2 2
.
