MODELOS COSMOL ´ OGICOS PARA O UNIVERSO ATUAL E PRIMORDIAL

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RUDINEI CELSO DE SOUZA JANTSCH

MODELOS COSMOL ´ OGICOS PARA O UNIVERSO ATUAL E PRIMORDIAL

Tese apresentada ao Curso de Pós-Gradua¸cão em F´ısica do Setor de Ciências Exatas da Uni- versidade Federal do Paraná, como requisito parcial para a obten¸cão do grau de Doutor em F´ısica

Orientador: Prof. Dr. Gilberto Medeiros Kremer

CURITIBA

2012

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Resumo

Neste trabalho, investigamos modelos cosmológicos gerais em que os campos de energia e matéria escuras são analisados em um âmbito mais fundamental. A Teoria da Relatividade Geral e as teorias de gravita¸cão generalizadas são consideradas.

Estudamos intera¸cões no setor escuro e entre o setor escuro e o campo gravitacional, analisando a sua viabilidade. Nos primeiros três modelos estudados, as poss´ıveis formas para as fun¸cões indefinidas nas a¸cões gerais são determinadas a partir da técnica da simetria de Noether. Usando as propriedades de simetria, resolvemos as equa¸cões de campo e os cenários resultantes são analisados pelo confronto das curvas teóricas com os dados da astronomia observacional. No quarto modelo, estudamos as generaliza¸cões geométricas da Relatividade Geral, cuja aplica¸cão se dá à investiga¸cão dos campos de matéria e energia escuras como sendo efeitos geométricos efetivos.

Tentativas de solu¸cão das equa¸cões de campo generalizadas são feitas para corre¸cões de primeira ordem com rela¸cão à gravita¸cão einsteiniana. A última investiga¸cão deste trabalho versa sobre perturba¸cões cosmológicas no Universo primordial. O modelo inflacionário considerado é do tipo lei de potência, cujo inflaton é um campo escalar não canônico. Seus respectivos espectros de potência são calculados para a verifica¸cão de sua viabilidade.

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Abstract

In this work, we investigate general cosmological models in which the dark matter and energy fields are analyzed in a more fundamental scope. The General Theory of Relativity and generalized gravitational theories are considered. We study the inte- ractions in the dark sector and between it and the gravitational field, analyzing their viability. In the first three models, the possible forms for the undefined functions in the general actions are determined from the Noether symmetry technique. Using the symmetry properties, we solve the field equations and the resulting scenarios are analyzed through the comparison of the theoretical curves with the data from the observational astronomy. In the fourth model, we study the geometrical generaliza- tions of the General Relativity, whose application is to investigate the dark matter and energy fields as being effective geometrical effects. Attempts for solutions of the generalized field equations are done to first order corrections with respect to the Einsteinian gravitation. The last investigation of this work runs upon cosmological perturbations in the primordial Universe. The considered inflationary model is the power-law-type one, whose inflaton is a non-canonical scalar field. Its respective power spectrums are calculated for the verification of its viability.

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Agradecimentos

A todos que, de uma forma ou de outra, contribu´ıram para a realiza¸c˜ao deste trabalho.

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O cientista não estuda a natureza por sua utilidade; ele a estuda por prazer, que advém do fato de a natureza ser bela. Se ela não fosse bela, não valeria a pena conhecê-la, se não valesse a pena conhecê-la, não valeria a pena viver.

HENRY POINCAR´E

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Sum´ ario

1 Introdu¸c˜ao ix

2 Relatividade Geral 2

2.1 Princ´ıpio da equivalˆencia . . . 2

2.2 Dinˆamica da part´ıcula em Relatividade Geral . . . 4

2.3 Tensor de curvatura . . . 6

2.4 Tensor energia-momento . . . 8

2.5 Equa¸c˜oes de Einstein da gravita¸c˜ao . . . 9

3 Cosmologia 12 3.1 Observa¸c˜oes astronˆomicas e fundamentos da Cosmologia . . . 13

3.2 M´etrica de Friedmann-Robertson-Walker . . . 15

3.3 Determina¸c˜ao do tensor de Ricci e do escalar de curvatura . . . 16

3.4 Forma do tensor energia-momento . . . 18

3.5 Equa¸c˜oes do Modelo Padr˜ao da Cosmologia . . . 19

3.6 Parˆametros observacionais . . . 22

3.6.1 Distˆancia de luminosidade . . . 23

3.7 Sucessos e problemas do Modelo Padr˜ao . . . 25

3.8 Modelo do Universo inﬂacion´ario . . . 26

3.8.1 Acoplamento ao campo gravitacional . . . 30

3.9 Expans˜ao acelerada e energia escura . . . 32

3.9.1 Mat´eria escura . . . 34

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4 Simetria de Noether 36

4.1 Teorema de Noether . . . 36

4.2 Condi¸c˜ao de existˆencia para a simetria de Noether . . . 38

4.3 Determina¸c˜ao da lagrangiana pontual e condi¸c˜ao de simetria . . . 42

5 Quintessência não minimamente acoplada versus ΛCDM 45 5.1 Equa¸cões de campo . . . 46

5.2 Fun¸c˜oes de Noether . . . 48

5.3 An´alise do sistema dinˆamico . . . 49

6 Campos escalares e espinoriais minimamente acoplados 55 6.1 Espinores em espa¸co-tempos curvos . . . 56

6.2 A¸c˜ao geral e equa¸c˜oes de campo . . . 60

6.3 Sele¸c˜ao dos potenciais . . . 62

6.4 F´ermions de Dirac como mat´eria escura . . . 64

6.5 Integra¸c˜ao do sistema . . . 65

6.6 An´alise da solu¸c˜ao geral . . . 69

7 Campos escalares interagentes n˜ao minimamente acoplados 76 7.1 Campos escalares canˆonicos interagentes . . . 77

7.1.1 A¸c˜ao geral e equa¸c˜oes de campo . . . 77

7.1.2 Potenciais e acoplamentos de Noether . . . 80

7.1.3 Solu¸c˜oes das equa¸c˜oes de campo . . . 82

7.2 Campos escalares canônicos e não canônicos interagentes . . . 88

7.2.1 A¸c˜ao geral e simetria de Noether . . . 88

7.2.2 Equa¸c˜oes de campo e trocas de energia . . . 91

7.2.3 Solu¸c˜oes cosmol´ogicas . . . 93

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8 Generaliza¸c˜oes geom´etricas da Relatividade Geral 100

8.1 A¸c˜ao geral e equa¸c˜oes de campo . . . 102

8.1.1 Apˆendice . . . 109

8.2 Corre¸c˜ao de primeira ordem em f₂(R) . . . 111

8.3 Corre¸c˜oes de primeira ordem em f₁(R) e f₂(R) . . . 116

9 Perturba¸cões cosmológicas para infla¸cão taquiônica do tipo lei de potência 121 9.1 Equa¸cões de campo perturbadas . . . 123

9.2 Solu¸c˜ao do sistema n˜ao perturbado . . . 126

9.3 Solu¸c˜ao do sistema perturbado . . . 128

9.4 Determina¸cão do espectro das flutua¸cões . . . 131

9.4.1 Quantiza¸c˜ao das perturba¸c˜oes . . . 132

9.4.2 C´alculo do espectro de potˆencia . . . 136

9.4.3 Espectro de potˆencia para q n˜ao inteiro . . . 138

10 Conclusão 141 10.1 Quintessência não minimamente acoplada versus ΛCDM . . . 141

10.2 Campos escalares e espinoriais minimamente acoplados . . . 142

10.3 Campos escalares interagentes n˜ao minimamente acoplados . . . 142

10.4 Generaliza¸c˜oes geom´etricas da Relatividade Geral . . . 143

10.5 Perturba¸cões cosmológicas para infla¸cão taquiônica do tipo lei de potência . . . 144

Bibliografia 146

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Cap´ıtulo 1 Introdu¸ c˜ ao

O modelo cosmológico conhecido popularmente comoBig Bang, baseado na Teoria da Relatividade Geral de Einstein, indubitavelmente teve êxito nas explica¸cões de muitas observa¸cões. No entanto, existem alguns fatos observacionais que esse modelo, em sua forma original – chamado de Modelo Padrão –, não pode explicar. Naturalmente, isso exige uma reformula¸cão das premissas envolvidas na constru¸cão de tal modelo, ou talvez até mesmo corre¸cões na própria teoria da Relatividade Geral.

A cosmologia inflacionária [1, 2, 3] foi proposta com o intuito de se resolver alguns dos primeiros problemas enfrentados pelo Modelo Padrão, e deu conta de resolver, com algum sucesso, os problemas daplanaridade do Universo e da homogeneidade da radia¸cão cósmica de fundo. Nessa classe de modelo, um campo escalar é o responsável pela fugaz expansão acelerada do Universo primordial, que posteriormente ingressa num per´ıodo dominado pelo campo de matéria, passando então para uma fase desacelerada.

As recentes observa¸cões astronômicas, baseadas em dados das super- novas do tipo Ia, mostram que após a fase desacelerada do Universo, segue uma nova fase acelerada [4, 5], a qual o Modelo Padrão também malogrou em explicar. Os dados observacionais indicam ainda que o valor do parâmetro de densi- dade está muito próximo da unidade. Entretanto, verifica-se que os constituintes

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conhecidos do Universo não dão conta desse valor, o que, a princ´ıpio, leva-nos a postular a existência de um constituinte ainda desconhecido para a Cosmologia.

Inevitavelmente, tal discrepˆancia com as observa¸c˜oes torna-se um grande enigma.

Desse impasse, concebeu-se a tão famosa e enigmática energia escura, a qual deve compor quase 3/4 da densidade de energia do Universo para estar de acordo com as observa¸cões. Possivelmente, a energia escura é o constituinte responsável pela expansão acelerada do Universo, o que conecta o problema da acelera¸cão cósmica observada hoje com o problema do parâmetro de densidade.

Reviver o modelo da constante cosmológica foi a primeira possibilidade de explica¸cão para a natureza da energia escura. Infelizmente, tal ideia logo apresentou inconsistências [6] e novos modelos apareceram na literatura, mas até o momento nenhum deles provou ser o modelo definitivo [7]. Dentre esses modelos, o mais conhecido é o modelo da quintessência, que consiste num campo escalar m´ınima ou não minimamente acoplado à gravidade [8, 9, 10]. Tal campo escalar pode apresentar várias formas aceitáveis para os potenciais, propostos fenomenolo- gicamente ou inspirados por teorias fundamentais [11, 12, 13]. Modelos com campos de férmions [14, 15, 16], táquions [17, 18](k-essência), gás de Chaplygin [19, 20] e gás de van der Waals [21, 22] são também alternativas à constante cosmológica. Es- sencialmente, todos esses modelos buscam descrever um fluido exótico com pressão negativa que compõe a maior parte do Universo.

As teorias f(R) [23, 24, 25, 26], que consistem na generaliza¸c˜ao da a¸cão de Einstein-Hilbert, propõem uma explica¸cão de origem geométrica para a ex- pansão acelerada. Dentre essas teorias generalizadas, existem aquelas que levam em conta uma poss´ıvel propriedade de tor¸cão do espa¸co-tempo [27], que também pode contribuir para a expansão acelerada.

Um outro problema relacionado à gravita¸cão, consideravelmente an- tigo, que surgiu pelo estudo da curva de rota¸cão das galáxias, tem também um papel importante para a Cosmologia. Esse é o problema da matéria faltante [28], a qual é necessária às galáxias e aglomerados de galáxias para explicar corretamente

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a dinâmica observada, uma vez que a matéria luminosa não é suficiente para tal.

Tendo em vista a causa desse problema, essa matéria faltante leva o nome de matéria escura, a qual deve apresentar somente intera¸cão gravitacional ou intera¸cões não gravitacionais muito fracas com a matéria luminosa. Até o presente, não se sabe qual

´

e a natureza da matéria escura e a explica¸cão mais aceita é de que a mesma seja composta por part´ıculas ainda desconhecidas.

Algumas teorias propõem explicar a matéria escura como o efeito de uma corre¸cão à teoria da gravita¸cão, tanto no contexto newtoniano como no eins- teiniano. Nesse escopo, as teorias que estendem as teorias f(R) por meio de uma outra fun¸cão do escalar de curvatura acoplada à matéria [29] buscam descrever a matéria escura como tendo também uma origem geométrica. Conclusivamente, para a F´ısica contemporânea, a matéria escura continua sendo tão enigmática quanto a energia escura.

Neste trabalho, analisaremos primeiramente três modelos gerais para a descri¸cão do setor escuro. Estudaremos um modelo de quintessência não minimamente acoplada ao campo gravitacional na presen¸ca de matéria e radia¸cão, sem nos preocuparmos com a natureza fundamental da matéria escura. Tal modelo será comparado ao modelo da constante cosmológica por meio de solu¸cões expl´ıcitas das equa¸cões de campo – o objetivo dessa compara¸cão é mostrar de uma forma exata que podem existir equivalências quase que completas entre as dinâmicas cosmológicas de teorias de gravita¸cão fisicamente diferentes. A segunda investiga¸cão compreenderá o estudo da energia e da matéria escuras em um n´ıvel mais fundamental. Campos escalares e espinoriais minimamente acoplados à gravidade serão considerados neste estudo. Aqui será visto o quanto a natureza dos campos escuros pode influir no comportamento da expansão cosmológica. A última análise será a de um modelo mais geral que os anteriores no que se refere às intera¸cões, onde os campos de matéria e energia escuras são representados por campos escalares que interagem entre si e com a gravidade. Este estudo nos indicará se as intera¸cões no setor escuro e entre o setor escuro e o campo gravitacional são viáveis.

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Partindo de uma a¸cão geral que descreve um determinado modelo, podemos restringir as formas dos acoplamentos e potenciais por meio da exigência de certas propriedades para a lagrangiana, tais como simetrias. As simetrias podem formalmente levar à determina¸cão das poss´ıveis formas para as fun¸cões indefinidas em uma dada a¸cão.

Nas análises desses três modelos, exigiremos que a lagrangiana geral de cada um satisfa¸ca a simetria de Noether, a qual fornece uma quantidade conservada associada ao sistema dinâmico. Além de tal método nos dar uma visão mais profunda sobre potenciais e acoplamentos gravitacionais, o mesmo fornece fer- ramentas poderosas que podem levar à integra¸cão completa do sistema dinâmico correspondente. Alguns trabalhos que se utilizaram da simetria de Noether para analisar modelos cosmológicos podem ser encontrados nas referências [18, 23, 24, 25, 26, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37].

Em seguida, estudaremos uma teoria que generaliza a Relatividade Geral geometricamente. Essa teoria será aplicada à descri¸cão da matéria e da energia escuras como efeitos geométricos em vez de fluidos exóticos. Consideraremos corre¸cões geométricas tanto no setor gravitacional como no setor da matéria. Leva- remos em conta também a propriedade geométrica de tor¸cão do espa¸co-tempo, uma vez que a ausência de tal propriedade do espa¸co-tempo não é uma consequência natural nessa classe de teoria.

Através da defini¸cão de tensores energia-momento efetivos, faremos a investiga¸cão de como as corre¸cões geométricas poderiam gerar os mesmos efeitos do setor escuro descrito por fluidos. Esse estudo tem sua importância no que concerne

`

a possibilidade de que a teoria de gravita¸cão de Einstein seja um caso especial de uma teoria mais geral. Dessa forma, a expansão acelerada do Universo e a falha na previsão das curvas de rota¸cão de galáxias e da dinâmica de aglomerados galácticos seriam as evidências de uma teoria mais geral. Os efeitos que chamamos de matéria e energia escuras resultariam do comportamento da gravidade em larga escala, não existindo mais os entes exóticos que não irradiam ou que geram gravidade repulsiva.

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A última investiga¸cão deste trabalho tratará sobre o Universo primordial. Será considerado um modelo inflacionário do tipo lei de potência, cujo campo gerador da expansão acelerada é um campo escalar não canônico do tipo táquion. Primeiramente desenvolveremos as equa¸cões de campo para as perturba¸cões primordiais sem considera¸cões quânticas, isto é, num contexto clássico. Uma vez que as solu¸cões dos campos de perturba¸cão clássicos são obtidas, passaremos ao tratamento quântico, a partir do qual se determinará as condi¸cões iniciais para os campos tal que as flutua¸cões m´ınimas de densidade de energia estejam de acordo com as flutua¸cões do vácuo. Tendo garantido as condi¸cões iniciais corretas, calcula- remos o espectro do potencial gravitacional de perturba¸cão a fim de verificarmos a viabilidade do modelo inflacionário considerado.

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Cap´ıtulo 2

Relatividade Geral

Em 1915, Albert Einstein publicou sua Teoria da Relatividade Geral [38], a qual estendeu a Relatividade Restrita para uma teoria que incorpora campos gravitacionais. Desta feita, surgiu uma nova teoria da gravita¸c˜ao, que interpretou o campo gravitacional como uma manifesta¸c˜ao da curvatura do espa¸co-tempo devido

`

a presen¸ca de mat´eria-energia.

O fundamento da Relatividade Geral está noprinc´ıpio da equivalência, o qual se refere à equivalência entre um campo gravitacional e um referencial não inercial. As consequências de tal fundamento são desdobradas matematicamente através do princ´ıpio da covariância geral: a equa¸cão que descreve uma lei f´ısica deve ter a mesma forma em todos os referenciais – inerciais e não inerciais – ou, formalmente falando, deve ser escrita em forma covariante [39].

2.1 Princ´ıpio da equivalˆ encia

E fato que os campos gravitacionais tˆ´ em a propriedade de que todos os corpos se movem da mesma forma na presen¸ca destes (se as condi¸c˜oes iniciais forem as mesmas), independente da massa ou da carga. Como exemplo, todos os corpos sujeitos ao campo gravitacional da Terra sofrem a mesma acelera¸c˜ao, independente de suas massas.

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Gra¸cas a essa propriedade dos campos gravitacionais, podemos fazer uma analogia entre o movimento de corpos num campo gravitacional e o movimento de corpos num referencial não inercial. A propósito, sabemos que o movimento livre dos corpos num referencial inercial se processa retil´ınea e uniformemente por todo o tempo. Então, se observamos o movimento livre desses corpos a partir de um referencial não inercial, certamente os veremos moverem-se todos da mesma forma. Se observamos um corpo movendo-se livremente a partir de um referencial com acelera¸cão constante, o veremos se mover com uma acelera¸cão igual em módulo e em sentido oposto ao do próprio referencial. Isso simula, por exemplo, o campo gravitacional da Terra sobre pequenas regiões (o mesmo pode ser considerado constante em pequenas regiões). Disso, conclu´ımos que as propriedades dos movimentos dos corpos num referencial não inercial são idênticas às dos movimentos dos corpos num campo gravitacional, e podemos dizer que um referencial não inercial é equivalente a um certo campo gravitacional. Esse é o princ´ıpio da equivalência.

Por outro lado, em cada ponto do espa¸co sujeito a um campo gravitacional, podemos definir um referencial localmente inercial. Isso ´e poss´ıvel porque os corpos se movem da mesma forma num campo gravitacional. Essa propriedade nos permite estabelecer um referencial que se move solidariamente aos corpos em queda livre nesse campo, isto é, um referencial que está em queda livre no campo gravitacional da mesma maneira que os corpos, a partir do qual não podemos perceber qualquer acelera¸cão. Assim, nesse referencial localmente inercial, as leis da F´ısica devem ser as mesmas que aquelas num referencial em ausência de campo gravitacional.

A partir do que foi exposto acima, escrevemos o princ´ıpio da co- variância geral: uma equa¸cão é válida num dado campo gravitacional se for válida também na ausência deste. Em outras palavras, uma equa¸cão é válida num campo gravitacional se estiver de acordo com a Relatividade Restrita e preservar sua forma sob transforma¸cão geral de coordenadas.

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2.2 Dinˆ amica da part´ıcula em Relatividade Geral

Consideremos uma part´ıcula em queda livre num campo gravitacional, vista a partir de um sistema de coordenadas ξ^α solidário à mesma. Esse sistema é localmente inercial, do qual não se observa qualquer acelera¸cão da part´ıcula [39]. Portanto, conforme o princ´ıpio da equivalência, as leis da Relatividade Restrita são válidas nesse sistema. Então, a equa¸cão de movimento que descreve a dinâmica da part´ıcula será

d²ξ^α

dτ² = 0, (2.1)

onde dτ² =ds²/c² ´e o tempo pr´oprio medido no referencial localmente inercial.

Tomemos agora um sistema coordenado x^µ em repouso num campo gravitacional. Utilizando a regra da cadeia, podemos determinar a dinˆamica da part´ıcula vista a partir do referencial x^µ

d dτ

(∂ξ^α

∂x^µ

∂τ )

= 0, (2.2)

que ap´os o desenvolvimento da derivada temporal, toma a forma d²x^µ

dτ²

∂ξ^α

∂x^µ + ∂²ξ^α

∂x^µ∂x^ν dx^µ

dτ dx^ν

dτ = 0. (2.3)

Agora, multiplicando essa equa¸c˜ao por ∂x^λ/∂ξ^α, obtemos d²x^λ

dτ² + Γ^λ_µνdx^µ dτ

dx^ν

dτ = 0, (2.4)

onde Γ^λ_µν é chamado de conexão afim e definido como Γ^λ_µν = ∂²ξ^α

∂x^µ∂x^ν

∂x^λ

∂ξ^α. (2.5)

Uma vez que as derivadas de primeira ordem comutam, da equa¸cão (2.5), segue que a conexão afim é simétrica com rela¸cão aos ´ındices inferiores

Γ^λ_µν = Γ^λ_νµ. (2.6)

Num referencial localmente inercial, valem as leis da Relatividade Restrita e n˜ao podemos perceber um campo gravitacional a partir deste. Mas, quando pas- samos para um referencial em repouso no campo gravitacional, percebemos que a

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equa¸c˜ao de movimento (2.4) escrita a partir deste apresenta um termo adicional (

Γ^λ_µν^dx_dτ^µ^dx_dτ^ν )

, quando comparada à equa¸cão de movimento (2.1) escrita a partir do sistema localmente inercial. Isso justamente indica a presen¸ca de um campo gravitacional, e ao mesmo tempo nos diz que o espa¸co-tempo é curvo. Portanto, podemos descrever um campo gravitacional a partir da curvatura do espa¸co-tempo, ou falando de outra forma, através da geometria do espa¸co-tempo.

Num espa¸co-tempo curvo gen´erico, o elemento de linha tem a forma

ds² =g_µνdx^µdx^ν, (2.7)

onde gµν é o tensor métrico – o qual é simétrico (gµν = gνµ) –, cujas componentes definem a geometria do espa¸co-tempo e, consequentemente, a dinâmica num campo gravitacional.

O comprimento da curva descrita por uma part´ıcula em movimento entre os pontos genéricosa eb, parametrizada porτ (x^µ=x^µ(τ)), é então dado por

s=

∫ b a

( gµν

dx^µ dτ

dx^ν dτ

)¹₂

dτ. (2.8)

Agora, variando (2.8) com rela¸c˜ao a g_µν e extremizando δ

∫ b a

(

g_µνdx^µ dτ

dx^ν dτ

)¹₂

dτ = 0, (2.9)

obtemos a equa¸c˜ao (2.4) na forma d²x^λ

dτ² +1 2g^κλ

(∂g_νκ

∂x^µ + ∂g_µκ

∂x^ν −∂g_µν

∂x^κ )dx^µ

dτ dx^ν

dτ = 0, (2.10)

com

Γ^λ_µν = 1 2g^κλ

(∂g_νκ

∂x^µ + ∂g_µκ

∂x^ν − ∂g_µν

∂x^κ )

, (2.11)

que expressa a conexão afim em termos do tensor métrico, que nessa forma é chamada de conexão de Levi-Civita ou s´ımbolos de Christoffel.

Sabemos que matéria-energia gera um campo gravitacional. Por outro lado, a partir do princ´ıpio da equivalência, vimos que a dinâmica de uma part´ıcula num campo gravitacional pode ser determinada pela geometria do espa¸co- tempo, que é curvada quando na presen¸ca de fontes de campo gravitacional. Da´ı,

(18)

conclu´ımos que a presen¸ca de matéria-energia causa uma curvatura no espa¸co-tempo, a qual é sentida pela part´ıcula como um campo de gravita¸cão.

2.3 Tensor de curvatura

Em qualquer ponto do espa¸co-tempo, o tensor métrico é uma matriz simétrica de números reais. De acordo com a álgebra das matrizes, existe uma transforma¸cão que diagonaliza tal matriz, com todas as componentes da diagonal assumindo valores +1 ou –1. Mas, em geral, não é poss´ıvel encontrar um sistema de coordenadas no qual o tensor métrico reduz-se à forma diagonal, com as componentes tomando os valores +1 ou –1 em todo o espa¸co. A importância de saber se existe tal sistema de coordenadas reside no fato de que se a métrica pode ser escrita nessa forma, significa que o espa¸co em questão é plano (ou não curvo) – nesse caso a métrica é dita plana.

A questão é: de que maneira podemos garantir que existe um sistema de coordenadas no qual a matriz do tensor métrico assume tal forma em todo o espa¸co? Ou, equivalentemente: de que maneira podemos garantir que a métrica é plana? A resposta a essa pergunta está no seguinte teorema

A nulidade do tensor de curvatura é condi¸cão necessária e sufici- ente para uma métrica ser plana.

O tensor de curvatura ´e deﬁnido por R^λ_µνκ = ∂Γ^λ_µν

∂x^κ −∂Γ^λ_µκ

∂x^ν + Γ^λ_σκΓ^σ_µν −Γ^λ_σνΓ^σ_µκ. (2.12)

Essa necessidade provém do fato de que se existe um sistema coordenado no qual o tensor métrico apresenta as propriedades descritas anteriormente (correspondendo a um espa¸co plano), o mesmo será obrigatoriamente constante em todo o espa¸co e, então, suas derivadas serão nulas, o que também leva os Γ^λ_µν e as

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suas derivadas a se anularem (ver equa¸cão (2.11)). Disso, segue que o tensor de curvatura será nulo. Dessa forma, a defini¸cão do tensor de curvatura é uma leg´ıtima defini¸cão de medida da curvatura do espa¸co.

A seguir est˜ao listadas as propriedades fundamentais do tensor de curvatura











i) Antissimetria com rela¸c˜ao `a troca de ´ındices do primeiro par de ´ındices:

R_λµνκ =−R_µλνκ;

ii) Antissimetria com rela¸c˜ao `a troca de ´ındices do segundo par de ´ındices:

Rλµνκ =−Rλµκν;

iii) Simetria com rela¸c˜ao `a troca do primeiro par de ´ındices com o segundo:

R_λµνκ =R_νκλµ.

Pela contra¸cão do tensor de curvatura com o tensor métrico, defi- nimos um outro importante tensor, o tensor de Ricci

R_µκ =g^λνR_λµνκ =R^λ_µλκ. (2.13) Por sua vez, contraindo o tensor de Ricci com o tensor m´etrico, deﬁ- nimos o escalar de curvatura (ou escalar de Ricci)

R =g^µκR_µκ. (2.14)

E importante notar aqui que´ R/2 ´e igual a conhecida curvatura de Gauss para uma superf´ıcie – o inverso do produto dos raios de curvatura principais.

Agora, a partir do tensor de Ricci e do escalar de curvatura, podemos construir um novo tensor sim´etrico

Rµν− 1

2gµνR, (2.15)

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chamado tensor de Einstein.

O tensor de Einstein satisfaz as chamadas identidades contra´ıdas de Bianchi

∇µ

(

R^µν −1 2g^µνR

)

= 0, (2.16)

que, como veremos, desempenham um papel importante em Relatividade Geral, pois est˜ao associadas a uma lei de conserva¸c˜ao.

2.4 Tensor energia-momento

O tensor energia-momento, denotado por T_µν, representa o fluxo do quadrimomento p^µ através da hipersuperf´ıcie que encerra as fontes do campo. O tensor energia-momento é um tensor simétrico,T_µν =T_νµ, cujas componentes levam consigo um significado f´ısico, a saber,











i)T₀₀ – Componente temporal:

Densidade de energia;

ii)T_i0 =T_0i – Componentes espa¸co-temporais:

Densidade da i-´esima componente de momento;

iii) T_ii – Componentes espaciais (´ındices de mesmo valor):

Fluxo da i-´esima componente de momento através da superf´ıcie cuja dire¸cão normal está na dire¸cão i (pressão);

iv) T_ij (i̸=j) – Componentes espaciais (´ındices de valores diferentes):

Fluxo da i-´esima componente de momento através da superf´ıcie cuja dire¸cão normal está na dire¸cão k.

(21)

A lei de conserva¸cão do tensor energia-momento é satisfeita com a condi¸cão de nulidade da derivada covariante de T^µν

∇νT^µν = 0, (2.17)

onde a quantidade conservada concerne a todas as fontes do campo gravitacional considerado.

Um exemplo de tensor energia-momento muito importante ´e o de um ﬂuido perfeito, com densidade de energia ρ, press˜ao pe quadrivelocidade U^µ= dx^µ/dτ

T^µν = (

ρ+ p c²

)

U^µU^ν −pg^µν. (2.18)

2.5 Equa¸ c˜ oes de Einstein da gravita¸ c˜ ao

Na se¸cão 2.2, vimos que um campo gravitacional pode ser inter- pretado como a curvatura do espa¸co-tempo devido à presen¸ca de matéria-energia.

O problema fundamental é encontrar uma equa¸cão que relaciona a geometria do espa¸co-tempo com a distribui¸cão de matéria-energia.

Utilizaremos o princ´ıpio da m´ınima a¸cão [40, 41] para encontrar esta rela¸cão. Iniciamos de uma a¸cão total ST, que é a soma da a¸cão do campo gravitacional S_G com a a¸cão do campo de matéria S_m

S_T =S_G+S_m = c³ 16πG

∫ R√

−gd⁴x+1 c

∫ Lm

√−gd⁴x, (2.19)

onde Lm representa a densidade de lagrangiana da matéria e g é o determinante da matriz que representa o tensor métrico g_µν. A forma √−gd⁴x é a generaliza¸cão do volume diferencial num espa¸co plano para um hipervolume diferencial num espa¸co curvo.

Agora, aplicando o princ´ıpio da m´ınima a¸c˜ao a (2.28), devemos ter

δS_T =δS_G+δS_m = 0, (2.20)

onde a varia¸cão é feita com rela¸cão a g_µν.

(22)

A varia¸c˜ao da a¸c˜ao do campo gravitacional com respeito a g_µν nos leva a

δS_G= c³ 16πG

∫ (

R_µν− 1 2g_µνR

) δg^µν√

−gd⁴x, (2.21) pois δ√

−g = −¹₂gµν

√−g δg^µν e a integral _16πG^c³ ∫ ( g^µν√

−g δRµν

)d⁴x se anula na fronteira de integra¸c˜ao.

Por sua vez, a varia¸cão da a¸cão do campo de matéria com respeito a g_µν nos fornece

δSm = 1 2c

∫

Tµνδg^µν√

−gd⁴x, (2.22)

onde T_µν ´e deﬁnido como

T_µν = 2

√−g δ√

−gLm

δg^µν . (2.23)

Por fim, a varia¸cão da a¸cão total com rela¸cão a gµν será δS_T = c³

16πG

∫ (

R_µν− 1

2g_µνR+8πG c⁴ T_µν

) δg^µν√

−gd⁴x= 0, (2.24)

e como o termo δg_µν é arbitrário, o princ´ıpio da m´ınima a¸cão é satisfeito se R_µν− 1

2g_µνR =−8πG

c⁴ T_µν. (2.25)

Estas são as equa¸cões de Einstein da gravita¸cão. O lado direito descreve a distribui¸cão de matéria-energia e o lado esquerdo a resposta da geometria do espa¸co-tempo a essa distribui¸cão. Podemos ver, tendo em vista as equa¸cões (2.15) e (2.16), que o lado esquerdo das equa¸cões de Einstein satisfaz as identidades contra´ıdas de Bianchi, o que implica na derivada covariante do lado direito também ser nula

∇µ

(

R^µν −1 2g^µνR

)

=−8πG

c⁴ ∇µT^µν = 0, (2.26)

ou seja, as fontes do campo gravitacional obedecem às leis de conserva¸cão, conforme (2.17). A princ´ıpio, isso indica uma consistência de tal teoria geométrica da gravita¸cão.

(23)

Um fato interessante é que, se adicionamos ao lado esquerdo da equa¸cão (2.25) um termo linear em g_µν, as identidades de Bianchi continuam sendo satisfeitas, haja vista que ∇µg^µν = 0, e as equa¸cões de gravita¸cão permanecem fisicamente consistentes. Da´ı, podemos dizer que a forma mais geral das equa¸cões de Einstein é

R_µν− 1

2g_µνR+ Λg_µν =−8πG

c⁴ T_µν, (2.27)

onde Λ é a famosa constante cosmológica, introduzida inicialmente por Einstein com a finalidade de se obter solu¸cões cosmológicas que descrevem um Universo estacionário.

A a¸cão cuja varia¸cão com respeito a g_µν reproduz, por meio do princ´ıpio da m´ınima a¸cão, as equa¸cões de campo (2.27) é a seguinte

S = c³ 16πG

∫

(R−2Λ)√

−gd⁴x+1 c

∫ Lm

√−gd⁴x, (2.28)

onde a constante cosmológica foi inclu´ıda arbitrariamente na parte gravitacional, figurando como parte da geometria. No próximo cap´ıtulo, veremos que a constante cosmológica como fonte de campo gravitacional e não como parte da geometria tem um papel muito importante para a Cosmologia.

(24)

Cap´ıtulo 3 Cosmologia

Com o advento da Relatividade Geral, pela primeira vez se teve em mãos uma teoria que possibilitava a descri¸cão do Universo como um todo. Assim, a Cosmologia deixou de ser apenas uma especula¸cão metaf´ısica para tornar-se um ramo da F´ısica. A Relatividade Geral permitia solu¸cões de um Universo não estático e, em 1929, as observa¸cões astronômicas de Edwin Hubble [42] mostraram que o Uni- verso estava em expansão.

As observa¸cões astronômicas permitiram estabelecer fundamentos válidos para todo o Universo, de onde nasceu um importante pilar para o desenvolvimento da Cosmologia, o chamado princ´ıpio cosmológico, que estabelece ser o Universo homogêneo e isotrópico em larga escala. Dessa forma, pôde-se construir modelos teóricos gerais que descrevem a evolu¸cão do cosmos como um todo. Na década de 40, Gamow, Alpher e Herman [43] previram a existência de uma radia¸cão que permeava todo o Universo – hoje chamada de radia¸cão cósmica de fundo –, oriunda da época em que a radia¸cão se desacoplou da matéria. Essa previsão foi confirmada na década de 60 [44], consolidando a Cosmologia como Ciência.

(25)

3.1 Observa¸ c˜ oes astronˆ omicas e fundamentos da Cosmologia

A mais importante observa¸cão astronômica para a Cosmologia foi a que levou Hubble a concluir que o Universo está em expansão. Em 1929, a partir das suas observa¸cões de galáxias long´ınquas, Hubble determinou que todos os objetos distantes estão se afastando de nós, e quanto mais distantes estão, mais velozmente se afastam [42, 45]. A velocidade de recessão desses objetos é proporcional às suas distâncias a nós, sendo expressa pela lei de Hubble

v=H₀r, (3.1)

onde H₀ ´e aconstante de Hubble avaliada hoje, tendo como o melhor valor observacional 72±8 km s⁻¹ Mpc⁻¹[46].

Podemos, para simplificar nossa descri¸cão, definir um sistema coordenado que acompanha a expansão, isto é, fixo na galáxia da qual se observa a expansão cosmológica (ver Figura 3.1). Tal sistema é chamado desistema comóvel, a partir do qual medimos a distância dos objetos a nós com o tempo por

r=a(t)x, (3.2)

onde r representa a distância real, x a distância comóvel (que tem valor constante no tempo) e a(t) o fator de escala, que reescala a distˆancia entre os objetos com o tempo, descrevendo a expansão do espa¸co.

Da equa¸c˜ao (3.2), podemos expressar a constante de Hubble (deﬁ- nida por (3.1)) em termos do fator de escala

H= a˙

a, (3.3)

onde o ponto denota derivada com rela¸c˜ao ao tempo. Nessa express˜ao, a ”constante”

de Hubble é generalizada para qualquer tempo, uma vez que esta não terá sempre o mesmo valor H₀ em virtude de que, em geral, a quantidade ˙a/a não apresenta um valor constante. Por esse mesmo motivo, daqui em diante, chamaremos H de

(26)

Figura 3.1: Distância r entre dois objetos distantes num Universo em expansão medida a partir de um referencial fixo num dos objetos.

parˆametro de Hubble, o que ´e mais adequado.

As velocidades de afastamento dos objetos distantes s˜ao medidas pelo redshift z (desvio para o vermelho) do espectro luminoso emitido pelos objetos. A partir do efeito Doppler para ondas luminosas, escrevemos

z = λ_obs−λ_em λ_em ≈ v

c, (3.4)

onde λ_em é o comprimento de onda da luz emitida pelo objeto e λ_obs é o comprimento de onda da luz proveniente do objeto que observamos. Aqui, o efeito Doppler observado não é resultante de algum afastamento de origem cinemática, mas uma consequência da expansão do espa¸co. Então, quando uma onda eletromagnética se propaga num espa¸co em expansão, o seu comprimento de onda sofrerá um estica- mento, o qual ser´a proporcional ao valor do fator de escala. Da´ı, podemos determinar o fator de escala a partir da medida do redshift (através da equa¸cão (3.4))

1

a(t_em) = a(t_obs)

a(t_em) = λ_obs

λ_em = 1 +z =⇒ a(z) = 1

1 +z, (3.5) onde a(t_obs) = 1 por conven¸cão, o que é equivalente a reescalar as coordenadas comóveis pelo tamanho atual do Universo.

(27)

Das defini¸cões anteriores, vemos que não existe um ponto privilegi- ado de onde se fazem as observa¸cões, pois as coordenadas comóveis eliminam essa possibilidade. Aqui está impl´ıcito um princ´ıpio muito forte da Cosmologia, o qual foi baseado nas observa¸cões. Em larga escala o Universo pode ser considerado ho- mogêneo e isotrópico, o que é equivalente a dizer que de qualquer ponto observamos o Universo sempre com as mesmas propriedades. Esse é o princ´ıpio conhecido como princ´ıpio cosmológico.

3.2 M´ etrica de Friedmann-Robertson-Walker

Tendo em vista o princ´ıpio cosmológico, consideremos um espa¸co tri- dimensional homogêneo e isotrópico. Em tal espa¸co, o qual pode estar se expandindo ou se contraindo, a métrica mais geral que pode ser constru´ıda apresenta a seguinte forma em coordenadas esféricas

ds² =c²dt²−a(t)²

[ dr²

1−kr² +r²(dθ²+ sin²θdϕ²) ]

, (3.6)

que é conhecida comométrica de Friedmann-Robertson-Walker[39], ondeké acons- tante de curvatura.

A constante de curvatura está associada às três geometrias que sa- tisfazem o princ´ıpio cosmológico, assumindo os seguintes valores correspondentes











k= 0 geometria plana, k >0 geometria esf´erica, k <0 geometria hiperb´olica.

A métrica de Friedmann-Robertson-Walker está escrita a partir de um sistema coordenado comóvel. Tal sistema está fixo nas part´ıculas (galáxias) do fluido cosmológico, desse modo, acompanhando a expansão ou contra¸cão cos- mológica, com suas coordenadas sendo reescaladas pelo fator de escala a cada ins- tante. Assim, xⁱ = (r, θ, ϕ) são as coordenadas espaciais medidas a partir do sistema coordenado fixo numa part´ıcula qualquer desse fluido. Mede-se o tempo cosmológico

(28)

ta partir de um relógio também fixo nessa part´ıcula (t denota o tempo próprio desse sistema).

Lembrando que a forma mais geral de um intervalo diferencial num espa¸co-tempo curvo ´e dada por

ds² =g_µνdx^µdx^ν, (3.7)

podemos, por compara¸cão com (3.6), determinar o tensor métrico, que em representa¸cão matricial se apresenta como

g_µν = (g^µν)⁻¹ =







1 0 0 0

0 −a(t)²/(1−kr²) 0 0

0 0 −a(t)²r² 0

0 0 0 −a(t)²r²sin²θ







. (3.8)

Daqui em diante, por comodidade, faremos os ´ındices gregos assumi- rem os valores (t, r, θ, ϕ). De (3.8), vemos que somente as componentes da diagonal não são nulas, ou seja, as componentes g_tt, g_rr, g_θθ e g_ϕϕ na nota¸cão que adotamos aqui.

3.3 Determina¸ c˜ ao do tensor de Ricci e do escalar de curvatura

Para determinar o tensor de Ricci, devemos calcular todos os elementos da conexão afim. Uma vez que conhecemos a forma do tensor métrico (equa¸cão (3.8)), fazemos isso através da equa¸cão

(29)

Γ^λ_µν = 1 2g^κλ

(∂g_µκ

∂x^ν +∂g_νκ

∂x^µ − ∂g_µν

∂x^κ )

. (3.9)

Lembrando da propriedade Γ^λ_µν = Γ^λ_νµ, de (3.9), temos Γ^t_rr = aa˙

c(1−kr²), Γ^t_θθ = aar˙ ²

c , Γ^t_ϕϕ= aar˙ ²sin²θ

c , (3.10)

Γ^r_rr = kr

1−kr², Γ^r_θθ =−r(1−kr²), Γ^r_ϕϕ =−r(1−kr²) sin²θ, (3.11) Γ^ϕ_θϕ = cotθ, Γ^θ_ϕϕ =−sinθcosθ, Γ^θ_rθ = Γ^ϕ_rϕ= 1

r, (3.12)

Γ^r_tr = Γ^θ_tθ = Γ^ϕ_tϕ = 1 c

˙ a

a, (3.13)

sendo os elementos restantes nulos.

Com os Γ^λ_µν em mãos, determinamos o tensor de curvatura a partir de sua defini¸cão

R^λ_µνκ = ∂Γ^λ_µν

∂x^κ −∂Γ^λ_µκ

∂x^ν + Γ^λ_σκΓ^σ_µν −Γ^λ_σνΓ^σ_µκ, (3.14) e lembrando da deﬁni¸c˜ao do tensor de Ricci

R_µκ =g^λνR_λµνκ =R^λ_µλκ, (3.15) podemos calcular diretamente as componentes deR_µν para a m´etrica de Friedmann- Robertson-Walker, obtendo

R_tt = 3 c²

¨ a

a, (3.16)

R_rr =−a¨a+ 2 ˙a²+ 2kc²

c²(1−kr²) , (3.17)

Rθθ =−(a¨a+ 2 ˙a²+ 2kc²)r²

c² , (3.18)

R_ϕϕ =−(a¨a+ 2 ˙a²+ 2kc²)r²sin²θ

c² . (3.19)

As outras componentes do tensor de Ricci são nulas em decorrência da forma diagonal do tensor métrico.

Agora, a partir da deﬁni¸c˜ao do escalar de curvatura (ou escalar de Ricci)

R =g^µκR_µκ, (3.20)

(30)

como j´a conhecemos as componentes do tensor de Ricci, obtemos de modo direto R = 6

c² [

¨ a a +

(a˙ a

)2

+kc² a²

]

, (3.21)

que ´e o escalar de curvatura para a m´etrica de Friedmann-Robertson-Walker.

3.4 Forma do tensor energia-momento

Do lado direito das equa¸cões de Einstein, temos o tensor energia- momento, que ainda devemos especificar. Consideraremos as fontes de campo gravitacional do Universo como um fluido perfeito, então o tensor energia-momento que o representa, como já vimos, tem a forma

T_µν = (

ρ+ p c²

)

U_µU_ν −pg_µν. (3.22)

Como adotamos um sistema comóvel para escrever a métrica, tal sistema move-se conjuntamente ao fluido, e a quadrivelocidade desse fluido será U^µ= (c,0,0,0). Então, da equa¸cão (3.22), determinamos

T_µν =







ρc² 0 0 0

0 p a(t)²/(1−kr²) 0 0

0 0 p a(t)²r² 0

0 0 0 p a(t)²r²sin²θ







, (3.23)

e temos o tensor energia-momento de um ﬂuido perfeito escrito para a m´etrica de Friedmann-Robertson-Walker.

(31)

3.5 Equa¸ c˜ oes do Modelo Padr˜ ao da Cosmologia

Nesta se¸cão, determinaremos as equa¸cões que descrevem a dinâmica do Universo. Para isso, tomamos as equa¸cões de Einstein na forma mais geral (2.27), nas quais aplicamos as componentes do tensor de Ricci (3.16), (3.17), (3.18) e (3.19), do tensor métrico (3.8) e do tensor energia-momento (3.23) e o escalar de curvatura (3.21).

Considerando primeiramente as componentes temporais dos tensores R_tt− 1

2g_ttR+ Λg_tt =−8πG

c⁴ T_tt, (3.24)

chegamos `a seguinte equa¸c˜ao diferencial (a˙

a )2

= 8πG

3 ρ−kc²

a² +Λc²

3 , (3.25)

conhecida como equa¸c˜ao de Friedmann.

Tomando as componentes espaciais dos tensores R_ii− 1

2g_iiR+ Λg_ii =−8πG

c⁴ T_ii, (3.26)

qualquer uma delas nos leva à equa¸cão diferencial (aqui não há soma com respeito aos ´ındices repetidos ii)

2¨a a +

(a˙ a

)2

=−8πG

c² p− kc²

a² + Λc², (3.27)

a qual, utilizando-se de (3.25), pode ser escrita na forma

¨ a

a =−4πG 3

( ρ+3p

c² )

+Λc²

3 , (3.28)

que é conhecida comoequa¸cão da acelera¸cão.

Para resolver essas equa¸cões de campo, ainda precisamos saber como ρ epevoluem com o tempo. Se aplicarmos a condi¸cão que representa a conserva¸cão do tensor energia-momento (

∇νT^µν = 0)

ao tensor (3.22), obtemos

˙ ρ+ 3

(a˙ a

) ( ρ+ p

c² )

= 0, (3.29)

(32)

que é chamada de equa¸cão do fluido e é o análogo da equa¸cão da continuidade.

Essa equa¸cão não é independente, pois pode ser obtida pela combina¸cão da equa¸cão (3.28) com a derivada temporal da equa¸cão (3.25).

A fim de resolver (3.29), necessitamos conhecer as equa¸cões de estado dos constituintes do Universo. Supomos que as equa¸cões de estado são barotrópicas

p=c²ωρ, (3.30)

onde ωé uma constante, a qual especifica a natureza do constituinte. Os casos mais comuns são: ω = 1/3, que representa a radia¸cão; ω = 0, que representa matéria dilu´ıda; e ω =−1, que representa a energia de vácuo.

Considerando-se que os constituintes do Universo são não interagentes, cada um deles obedece à equa¸cão (3.29) separadamente. Então, para a matéria dilu´ıda (p_m = 0), de (3.29), temos a solu¸cão

ρ_m ∝a⁻³; (3.31)

para a radia¸c˜ao, pr =c²ρr/3, obtemos

ρ_r ∝a⁻⁴; (3.32)

e para a energia de v´acuo, p_v =−c²ρ_v, temos

ρ_v = constante, (3.33)

que pode ser relacionada à constante cosmológica. Pois, pelo fato de poder escrever a equa¸cão de Einstein na forma

R_µν− 1

2g_µνR =−8πG

c⁴ T_µν−Λg_µν, (3.34) temos a liberdade de interpretar a constante cosmol´ogica como fonte de campo gravitacional, escrevendo T_µν^Λ = _8πG^c⁴ Λg_µν, quando a equa¸c˜ao de Einstein torna-se

Rµν −1

2gµνR=−8πG

c⁴ (Tµν+T_µν^Λ). (3.35)

(33)

Ao comparar T_µν^Λ com o tensor energia-momento de um ﬂuido perfeito, chegamos a ρ_Λ =−p_Λ/c² =c²Λ/8πG = constante.

Agora que conhecemos a evolu¸cão temporal de ρ, estamos aptos a determinar a =a(t). Como foi dito anteriormente, Einstein introduziu a constante cosmológica para obter solu¸cões de um Universo estático, mas como foi observado por Hubble que o Universo estava em expansão, tal ideia foi abandonada, não existindo mais razão alguma para manter a constante cosmológica nas equa¸cões. Isso sem contar o seu significado f´ısico obscuro na época. Por esse motivo, noModelo Padrão da Cosmologia faz-se Λ = 0. Assim, procuraremos solu¸cões para um Universo composto somente por matéria e radia¸cão. No in´ıcio, quandoa(t) é pequeno, vemos, a partir de (3.25), que o termo com a constante de curvatura é desprez´ıvel frente ao termo que leva a densidade de energia dos constituintes, conforme as equa¸cões (3.31) e (3.32). Da´ı, a equa¸cão de Friedmann toma a forma

(a˙ a

)2

= 8πG

3 ρ. (3.36)

Resolvemos facilmente essa equa¸cão quando analisamos épocas em que a densidade de energia do campo de matéria domina sobre a densidade de energia do campo de radia¸cão e vice-versa, ou seja, quando uma é desprez´ıvel frente a outra. Para a era dominada pela matéria, temos a solu¸cão

a(t)∝t^2/3, (3.37)

e para a era dominada pela radia¸c˜ao

a(t)∝t^1/2. (3.38)

Quando t→0, tambéma →0 e, consequentemente,ρ→ ∞. Então, temos umasingularidade inicial, esta popularmente conhecida comoBig Bang. Con- forme as solu¸cões do Modelo Padrão, o Universo originou-se de um ponto com densidade e temperatura infinitas, resfriando-se à medida que se expandiu. Mas, por outro lado, a F´ısica que conhecemos não pode mais funcionar próximo ao momento do Big Bang, uma vez que estamos entrando no dom´ınio de escalas inferiores à escala

(34)

de Planck (≈ 10⁻³³cm) e efeitos quânticos não são mais desprez´ıveis. Tendo isso em vista, o Big Bang deve representar o limite de validade do Modelo Padrão da Cosmologia.

3.6 Parˆ ametros observacionais

A densidade cr´ıtica ρ_c é definida como a densidade necessária para que a constante de curvatura se torne nula, k = 0, correspondendo a um Universo com geometria plana. De acordo com a equa¸cão de Friedmann, temos um valor de H correspondendo a cada valor de ρ_c, tal que podemos escrever para a densidade cr´ıtica

ρ_c(t) = 3H(t)²

8πG . (3.39)

Com o valor de H estimado hoje, a densidade cr´ıtica é da ordem de 10⁻²⁶kg m⁻³. A partir do valor da densidade cr´ıtica medido observacionalmente, inferimos se o Uni- verso é fechado ou aberto. Se ρ > ρc, sabemos que o Universo é fechado (geometria esférica), e se ρ < ρ_c, que o Universo é aberto (geometria hiperbólica).

A densidade cr´ıtica é usada para a parametriza¸cão das medidas de densidade dos constituintes do Universo. Define-se o parâmetro de densidade Ω_i por

Ωi = ρ_i

ρ_c, (3.40)

onde i expressa a densidade correspondente a cada constituinte do Universo que está sendo considerado. A defini¸cão do parâmetro de densidade expressa uma compara¸cão entre uma dada densidade relacionada a algum constituinte com a densidade cr´ıtica.

A partir das equa¸c˜oes (3.25) e (3.40), podemos escrever Ω_total = 1 + k

a²H², (3.41)

onde Ω_total denota o parâmetro de densidade relacionado à densidade total do Uni- verso (a soma das densidades de todos os constituintes). Constatamos da equa¸cão

(35)

(3.41), que se k = 0, Ω_total = 1, e o mesmo permanece com esse valor por todo o tempo, uma vez que k ´e constante.

Uma outra grandeza importante é o parâmetro de desacelera¸cão, re- lacionado à varia¸cão da taxa de expansão do Universo com o tempo. O parâmetro de desacelera¸cãoq é definido por

q=− 1 H²

¨ a a = 1

2 +3p

2ρ. (3.42)

Dessa defini¸cão, vemos que q tem um valor positivo para um Universo desacelerado e um valor negativo para um Universo acelerado. Além disso, o parâmetro de desacelera¸cão depende da densidadeρe da pressãoptotais do Universo. A defini¸cão deq foi feita como o negativo da acelera¸cão porque o Modelo Padrão prevê que o Universo se expande desaceleradamente (o Modelo Padrão considera um Universo composto somente de matéria comum, a qual é sempre atrativa), tal que esse parâmetro sempre mede o valor absoluto da desacelera¸cão, tornando-se mais adequado para fins práticos.

Um parâmetro observacional bastante usado pela astronomia observacional é a diferen¸ca de magnitudes µ₀, que é definida como a diferen¸ca entre a magnitude bolométrica aparentem e a magnitude absolutaM de uma determinada fonte. A expressão para µ₀ é dada por

µ₀ =m−M = 25 + 5 log₁₀d_L, (3.43) onde dL é a distância de luminosidade, definida por

d_L=c(1 +z)

∫ _z

0

dz

H(z), (3.44)

com H(z) sendo o parˆametro de Hubble em fun¸c˜ao do redshift.

3.6.1 Distˆ ancia de luminosidade

A distˆancia de luminosidade expressa a quantidade de luz recebida de um objeto distante, o que permite determinar indiretamente a que distˆancia