Capitulo IV : Interpolação Polinômios de Bernstein,

(1)

1

TC TC – – 708 An 708 An á á lise Num lise Num é é rica rica Capitulo

Capitulo – – IV : Interpola IV : Interpola ç ç ão ão Polinômios de Bernstein, Polinômios de Bernstein,

Lucas M

Lucas Má áximo Alves ximo Alves

Prof. Antonio Marques Carrer Prof. Antonio Marques Carrer Universidade Federal do Paran

Universidade Federal do Paraná á – – UFPR UFPR

a

b

c

d

(2)

2

Conte

Conte ú ú do do

• • 1. 1. Introdu Introdu ç ç ão ão

• • 2. 2. Problemas na Interpola Problemas na Interpola ç ç ão ão Polinomial Polinomial

• • 3. Motiva 3. Motiva ç ç ão ão - - Surgimento Surgimento

• • 4. Polinômios de 4. Polinômios de Bernstein Bernstein

• • 5. Propriedades dos Polinômios 5. Propriedades dos Polinômios

• • 6. 6. C C á á lculos de Interpola lculos de Interpola ç ç ão e Exemplos ão e Exemplos

• • 7. 7. Aplica Aplica ç ç ões e Conclusão ões e Conclusão

• • 8. Referências 8. Referências

(3)

3

1 1 - - INTRODU INTRODU Ç Ç ÃO ÃO

• • Interpola Interpola ç ç ão ão : Linear, : Linear, Quadr Quadr á á tica tica , , C C ú ú bica bica

• • Escolha Escolha da da ordem ordem do do polinômio polinômio de de interpola

interpola ç ç ão ão

(4)

4

1 1 - - INTRODU INTRODU Ç Ç ÃO ÃO

• • Forma Forma geom geom é é trica trica

de alguns de alguns

dos dos

polinômios polinômios

j j á á

aprendidos

(5)

5

2 2 - - PROBLEMAS NA PROBLEMAS NA INTERPOLA

INTERPOLA Ç Ç ÃO POLINOMIAL ÃO POLINOMIAL

• • A interpolaç A interpola ção polinomial ão polinomial é é um metodo f um metodo f ácil e á cil e único para descrevercurvas ú nico para descrevercurvas que cont

que conté ém alguns atributos geom m alguns atributos geomé étricos tricos „ „satisfat satisfató órios rios ““. ““ .

• • A interpola A interpola ção polinomial n ç ão polinomial n ào à o é é o m o m étodo de escolha dentro de aplicativos é todo de escolha dentro de aplicativos como o CAD devido a descri

como o CAD devido a descriç ç ões melhores de curvas (como ser ões melhores de curvas (como ser á á visto mais visto mais tarde).

tarde).

Razão:

Razão: A interpola A interpola çào polinômial pode oscilar çà o polinômial pode oscilar

(6)

6

2 2 - - PROBLEMAS DE PROBLEMAS DE INTERPOLA

INTERPOLA Ç Ç ÃO POLINOMIAL ÃO POLINOMIAL

O polinômio interpolante pode oscilar mesmo quando O polinômio interpolante pode oscilar mesmo quando

pontos de dados

pontos de dados normais normais e os valores dos parametros e os valores dos parametros são usados.

são usados.

• • O polinômio O polinômio interpolante não preserva a forma. interpolante não preserva a forma. Isto não Isto não tem nada a ver com os efeitos num

tem nada a ver com os efeitos num é é ricos, ele ricos, ele é é devido devido ao processo de interpola

ao processo de interpolaç ç ão. ão.

• • Para processos de interpola Para processos de interpola ç ç ão de alto custo: ão de alto custo: uma uma enorme quantidade de opera

enorme quantidade de opera ções necess ç ões necessá árias para a rias para a constru

construçà çà o e cá o e c á lculo do interpolante. lculo do interpolante.

(7)

7

3 3 – – MOTIVA MOTIVA Ç Ç ÃO ÃO

• • Este Este é é o Sr. o Sr.

Bernstein

(8)

8

3 3 – – MOTIVA MOTIVA Ç Ç ÃO ÃO

Objetivo

Objetivo: : Melhor Melhor controle controle sobre sobre a forma das curvas a forma das curvas Infraestrutura

Infraestrutura: : Computado Computado- -com com suporte suporte de design para de design para autom autom ó ó veis veis e areonaves e areonaves

Bé B ézier zier (Renault) e de (Renault) e de Casteljau Casteljau (Citr ( Citrö öen en) ambos ) ambos foram foram desenvolvidos desenvolvidos independentemente

independentemente um do outro um do outro em em torno torno dos anos dos anos de 1960/65 de 1960/65 para para descriç descri ções ões de curva de curva com os com os seguintes seguintes atributos: atributos :

• • Substituç Substitu ção ão de padrões de padrões de desenho de desenho feitos feitos pelo pelo CAD CAD

• • Manipulaç Manipula ção ão flex flex ível í vel de curvas de curvas com garantia com garantia e controle e controle de forma da de forma da curva

curva resultante resultante

• • Introduç Introdu ção ão de pontos de pontos de controle de controle que que não não necessariamente necessariamente estende

estende- -se se sobre sobre a curva a curva

(9)

9

Curvas

Curvas Suaves Suaves

• • Como Como criar criar curvas curvas suaves suaves ? ?

(10)

10

Curvas

Curvas Suaves Suaves

• • Como Como criar criar curvas curvas suaves suaves ? ?

• • Curvas Curvas param param é é tricas tricas com com polinômios polinômios

 ⁽ ^), ⁽ ⁾ 

)

( t x t y t

p 

(11)

11

Curvas

Curvas Suaves Suaves

• • Controlando Controlando a forma a forma da da curva curva

3 2

) (

ht gt

ft e

t y

dt ct

bt a

t x









(12)

12

Curvas

Curvas Suaves Suaves

• • Controlando Controlando a forma a forma da da curva curva

3 1 2

) (

t t

y

t t

x









(13)

13

Curvas

Curvas Suaves Suaves

Controlando

Controlando a forma a forma da da curva curva

3 3 2

) (

t t

y

t t

x









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14

Curvas

Curvas Suaves Suaves

Controlando

Controlando a forma a forma da da curva curva

3 1 2

) (

t t

y

t t

x









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15

Curvas

Curvas Suaves Suaves

• • Controlando Controlando a forma a forma da da curva curva

3 1 2

) (

t t

y

t t

x







(16)

16

Curvas

Curvas Suaves Suaves

Controlando

Controlando a forma a forma da da curva curva

3 1 2

) (

t t

y

t t

x









(17)

17

Curvas

Curvas Suaves Suaves

• • Controlando Controlando a forma a forma da da curva curva

3 3 2

1 )

( ) (

t t

y

t t

x









(18)

18

Curvas

Curvas Suaves Suaves

• • Controlando Controlando a forma a forma da da curva curva

3 1 2

) (

t t

y

t t

x









(19)

19

Curvas

Curvas Suaves Suaves

• • Controlando Controlando a forma a forma da da curva curva

3 1 2

) (

t t

y

t t

x







(20)

20

Curvas

Curvas Suaves Suaves

• • Controlando Controlando a forma a forma da da curva curva

3 1 2

) (

t t

y

t t

x







Os coeficiente de bases de

Potências não são intuitivos para o

controle da forma da curva!!!

(21)

21

3 3 - - SURGIMENTO SURGIMENTO

• • F F ó ó rmula do Binômio de Newton rmula do Binômio de Newton





 





 

 



n

i

i i n

n a b

i b n

a

0 )

(

(22)

22

4 4 - - POLINÔMIOS DE BERNSTEIN POLINÔMIOS DE BERNSTEIN

• • Defini Defini ç ç ão dos Polinômios de Bernstein ão dos Polinômios de Bernstein

Os Polinômios Os Polinômios de Bernstein de grau de Bernstein de grau n qualquer n qualquer são são definidos definidos para para qualquer

qualquer grau grau n = 0, 1, 2, … n = 0, 1, 2, …, N, , N,

 

( ) (1 ) com 0,1 , 0,...,

n n i i

i

B t n t t t i n

i

  

       

 

! 0

!( )!

0 0

n para i n

n n

i n i

i i

para i n

  

    

   

   

       

com com

coeficientes coeficientes binomiais binomiais dado

dado por por : :

(23)

23

4 4 - - POLINÔMIOS DE BERNSTEIN POLINÔMIOS DE BERNSTEIN

• • Existem Existem n+1 n+1 Polinômios Polinômios de Bernstein de de Bernstein de grau grau n. n. Por Por exemplo exemplo , Os , Os Polinômios Polinômios de Bernstein de Bernstein de de graus graus 1, 2, e 3 1, 2, e 3 são são : :

- - Prefere Prefere - - se se sobre sobre outras outras interpola interpola ç ç ões ões polinomiais polinomiais porque

porque : : É É mais mais eficiente eficiente

- - Outros Outros polinômios polinômios de altos de altos graus graus são são computacionalmente

computacionalmente mais mais caros caros - - Erros Erros pequenos pequenos

- - A A curva curva interpolante interpolante é é mais mais suave suave

(24)

24

4.1 4.1 - - Bernstein de grau 1 Bernstein de grau 1

1 1 0 1

0 1 1 1 1

1 ( ) 1 (1 ) 0

( ) 1 (1 ) 1

B t t t t



      

 

      

 

(25)

25

4.2 4.2 - - Bernstein de grau 2 Bernstein de grau 2

2 2 0 2

0 2 2 1 1

1 2 2 2 2 2

2 ( ) 2 (1 ) (1 )

0 ( ) 2 (1 ) 2(1 )

1 ( ) 2 (1 ) 2

B t t t t

B t t t t t

B t t t t



       

 

       

 

      

 

(26)

26

4.3 4.3 - - Bernstein de grau 3 Bernstein de grau 3

3 3 0 3

0 3 3 1 1 2

1 3 3 2 2 2

2 3 3 3 3 3

3 ( ) 3 (1 ) (1 )

0 ( ) 3 (1 ) 3(1 )

1 ( ) 3 (1 ) 3(1 )

2 ( ) 3 (1 ) 3

B t t t t

B t t t t t

B t t t t



       

 

       

 

       

 

      

 

(27)

27

5 5 - - PROPRIEDADES DOS PROPRIEDADES DOS POLINÔMIOS

POLINÔMIOS

5.3 – 5.3 – Recursividade Recursividade

( ) (1 )

n n

i n i

B t  B _  t

 

1 ( ) (1 ) ( ) 1 ( )

n n k n

k k k

B t   t  B ^ t   t B _ ^ t

 

 ⁰ ^, ¹  ^, ⁰ ^,  ⁰ ^, ¹ 

)

( t   n    i  n t 

B _i ⁿ

 

5.2 – 5.2 – Simetria Simetria

5.1 – 5.1 – Intervalo Intervalo

(28)

28

5 5 - - PROPRIEDADES DOS PROPRIEDADES DOS POLINOMIOS DE BERNSTEIN POLINOMIOS DE BERNSTEIN

5.4 5.4 - - Parti Parti ç ç ão ão da da unidade unidade : a : a soma vale

soma vale uma uma unidade unidade para para qualquer qualquer t t em em [0,1] [0,1]

onde onde i i -vezes nulo em t=0, - vezes nulo em t=0, (n (n - - i) i) - - nulo nulo em t=1 nulo nulo em t=1

Prova:

  ^0,1

t 1 )

0 (

 _i ⁿ  B _i ⁿ t   

 

0 0

1 1

1 ( )

n

n n i i n n

i i i

t t

n t t B t

i



 

   

 

 

 

 

 

(29)

29

n n! n-1 n-1

= = +

i i!(n - i)! i i-1

     

     

     

0 : 0 : 1 0

1 1

1: , : 1 + 1

0 1

2 2 2

2 : , , : 1 + 2 + 1

0 1 2

3 3 3 3

3 : , , , : 1 + 3 + 3 +1

0 1 2 3

4 4 4 4

4 : , , ,

0 1 2

 

   

   

   

   

     

     

     

       

       

       

     

     

     

, 4 : 1 + 4 + 6 + 4 + 1

3 1

:

n n n n n n

: , ,...., , , ,...., : 1,(n-1)+(i-1),(n-1+i),...,1

0 1 k-1 k k+1 n

i

   

   

   

           

           

           

• • 5.4 5.4 - - n n escolhas escolhas I do I do Triangulo Triangulo de de Pascal

Pascal

1: 1

1,1: 1 + 1

1,2,1: 1 + 2 + 1 1,3,1: 1 + 3 + 3 +1

1,4,6,4,1: 1 + 4 + 6 + 4 + 1 :

1, n, ...,(n-1)+(i-1),(n-1+i),...,1

(30)

30

5.5 5.5 - - Constru Constru ç ç ão ão do do Polinômios Polinômios de Bernstein

de Bernstein

B _i ⁿ (t) = (1-t)B _i ^n-1 (t) + tB _i ⁿ _- ^- ₁ ¹ (t)

= +

=

B ₀ ² (t) = (1-t) B ₀ ¹ (t)

=

B ₁ ² (t) = (1-t) B ₁ ¹ (t) + t B ₀ ¹ (t)

B ₂ ² (t) = t B ₁ ¹ (t)

1 ( ) (1 ) ( ) 1 ( )

n n k n

k k k

B t   t B ^ t  tB _ ^ t

(31)

31

5.6 5.6 - - C C á á lculo Recursivo lculo Recursivo

1 1 0

( ) : (1 ) ( ) ( )

1 para i = 0

( ) :

0 para i 0

r r r

i i i

i

B t t B t t B t

B t



     

  

 

i n-i

i,n

i n-i i n-i

i,n-1 i-1,n-1

B ( ) = n t (1-t) i

n-1 n-1

= t (1-t) + t (1-t)

i i-1

= (1-t)B ( ) + tB ( ) t

t t

 

   

   

   

   

5.6 - 5.6 - Graus Graus mais mais altos lerps altos lerps de graus de graus inferiores inferiores

(32)

32

5.6 5.6 - - Base de Fun Base de Fun ç ç ões dos ões dos Polinômios de

Polinômios de Bernstein Bernstein

Exemplo: Polinômios de Bernstein de

Graus 1-3

(33)

33

  Metodos de Aproximaç Metodos de Aproxima ç ão: ão:   Curvas e Polinômios B Curvas e Polinômios Bé ézier zier

6. C 6. C Á Á LCULO DE INTERPOLA LCULO DE INTERPOLA Ç Ç ÃO ÃO

De acordo com De acordo com esta defini

esta defini ç ç ão as ão as curvas de B

curvas de B é é zier zier são calculadas são calculadas com a ajuda dos com a ajuda dos polinômios de

polinômios de Bernstein.

Bernstein.

Exemplo

Exemplo de uma curva cú de uma curva c úbica bica Bé B ézier zier

(34)

34

6. C 6. C Á Á LCULO DE INTERPOLA LCULO DE INTERPOLA Ç Ç ÃO ÃO

• • Dado Dado uma uma s s érie é rie de pontos de pontos de controle de controle onde onde

• • Definiç Defini ção ão : : Uma Uma curva curva Bezier de grau Bezier de grau N N é é : :

Onde Onde para para i = 0, 1, … i = 0, 1, …, N, , N, são são os os polinômios polinômios de Bernstein de de Bernstein de grau grau N. N.

-

- P(t) P(t ) é é a a curva curva de Bezier. de Bezier.

- - Uma Uma vez vez que que : :

• • É É fá f ácil cil modificar modificar as curvas as curvas se os se os pontos pontos são são acrescentados acrescentados

, 0

( ) ( )

N

i n i i

x t x B t



 

, 0

( ) ( )

N

i n i i

y t y B t



 

( , )

i i i

P  x y

  ^P _{i i} ^N _ ₀

, 0

( ) ( )

B

i n i i

P t PB t



 

, ( ) B n i t

6.1 6.1 - - Interpola Interpola ç ç ão ão de de uma uma curva curva Bezier Bezier

(35)

35

6. C 6. C Á Á LCULO DE INTERPOLA LCULO DE INTERPOLA Ç Ç ÃO ÃO

• • Problema: Problema : Ache a Ache a curva curva Bezier que Bezier que possui possui os os seguintes seguintes pontos pontos de de controle

controle {(x,y {( x,y)={ (2,2), (1,1.5), (3.5,0), (4,1)}. )={ (2,2), (1,1.5), (3.5,0), (4,1)}.

• • Soluç Solu ção ão: : Substitui- Substitui -se as se as coordenadas coordenadas x- x - e y- e y - dos N=3 pontos dos N=3 pontos de de controle

controle dentro dentro das f das fó órmulas rmulas x(t) e x(t ) e y(t): y(t ):

3 3 3 3

0 1 2 3

3 3 3 3

0 1 2 3

( ) 2 ( ) 1 ( ) 3.5 ( ) 4 ( ) ( ) 2 ( ) 1.5 ( ) 0 ( ) 1 ( )

x t B t B t B t B t

y t B t B t B t B t

   

(36)

36

6. C 6. C Á Á LCULO DE INTERPOLA LCULO DE INTERPOLA Ç Ç ÃO ÃO

( ) [ ]( ) / [ ]( ) /

( ) /

/

x t P x t dy dy dt dP x t dt y t P y t dx dx dt dP y t dt

dy dt dy

y x y dx dx

dx dt dx

 

 

  

    

• • Cá C álculando lculando o polinômio o polinômio que que ajusta

ajusta a a fun fun ç ç ão ão : :

y = y = f(x f(x ) )

(37)

37

6.1. Exemplo

(38)

38

6.2. Exemplo

(39)

39

6.3. Exemplo

(40)

40

6.4. Exemplo

(41)

41

6.5. Exemplo

(42)

42

7 7 - - APLICA APLICA Ç Ç ÕES E CONCLUSÃO ÕES E CONCLUSÃO

• • C C á á lculo por Matrizes lculo por Matrizes – – Resolu Resolu ç ç ão de ão de Sistemas Lineares

Sistemas Lineares

• • Ver Exemplo MAPLE Ver Exemplo MAPLE

(43)

43

6.1 6.1 - - Interpola Interpola ç ç ão ão C C ú ú bica bica : : Matriz Matriz 4x4 4x4

 

3 2 2 3

0 1 2 3

0 3 2 1

2 3

( ) (1 ) [3 (1 ) ] [3 (1 )]

1 ?

F t P t P t t P t t P t

P M P

t t t

P P

      

 

 

  

 

    

 

   

(44)

44

6.1 6.1 - - Interpola Interpola ç ç ão ão C C ú ú bica bica : : Matriz Matriz 4x4 4x4

 

3 2 2 3

0 1 2 3

0 3 2 1

2 3

( ) (1 ) [3 (1 ) ] [3 (1 )]

1 3 3 1

3 6 3 0

1 3 3 0 0

1 0 0 0

F t P t P t t P t t P t

P t t t P

P P

      

   

 

 

  

 

     

 

   

(45)

45

• • Ache um Ache um polinômio polinômio que que passa passa pelos pelos valores

valores especificados especificados

3 ) 2

( t a bt ct dt

y    

Interpola

Interpola ç ç ão ão

y

t

(46)

46

Interpolation Interpolation

• • Ache um Ache um polinômio polinômio que que passa passa pelos pelos valores

valores especificados especificados

y

t

3 ) 2

( t a bt ct dt

y    

3 )

0 (  a  y

1 )

1 (  a  b  c  d  y

3 8

4 2

) 2

(  a  b  c  d  y

1 27

9 3

) 3

(  a  b  c  d 

y

(47)

47

Interpola

Interpola ç ç ão ão

• • Ache um Ache um polinômio polinômio que que passa passa pelos pelos valores

valores especificados especificados

y

t

3 ) 2

( t a bt ct dt

y    

 







 









 







 







 







 







1 3 1 3

27 9

3 1

8 4

2 1

1 1

0 0

0 1

d

c

b

a

(48)

48

Interpolation Interpolation

• • Ache um Ache um polinômio polinômio que que passa passa pelos pelos valores

valores especificados especificados

y

t

3 ) 2

( t a bt ct dt

y    

 







 









 







 









1 3 20 3

6 3

d

c

b

a

(49)

49

Interpola

Interpola ç ç ão ão

• • Ache um Ache um polinômio polinômio que que passa passa pelos pelos valores

valores especificados especificados

y

t

Controle intuitivo de curvas

usando “pontos de controles”!!!

(50)

50

Interpola

Interpola ç ç ão ão

• • Executa Executa a a interpolaç interpola ção ão para para cada cada componente componente separadamente

separadamente

• • Combina Combina o resultado o resultado para para obter obter a a curva curva parametrica parametrica

y

 ⁽ ^), ⁽ ⁾ 

)

( t x t y t

p 

(51)

51

Interpola

Interpola ç ç ão ão

• • Executa Executa a a interpola interpola ç ç ão ão para para cada cada componente componente separadamente

separadamente

• • Combina Combina o o resultado resultado para para obter obter a a curva curva parametrica

parametrica

y

 ⁽ ^), ⁽ ⁾ 

)

( t x t y t

p 

(52)

52

Interpola

Interpola ç ç ão ão

• • Executa Executa a a interpola interpola ç ç ão ão para para cada cada componente componente separadamente

separadamente

• • Combina Combina o o resultado resultado para para obter obter a a curva curva parametrica

parametrica

y

x

 ⁽ ^), ⁽ ⁾ 

)

( t x t y t

p 

(53)

53

7.1 7.1 - - Aplica Aplica ç ç ão ão na na Computa Computa ç ç ão ão Gr Gr á á fica fica

Interpolation Interpolation

Bezier

(54)

54

7.2 7.2 – – Aplica Aplica ç ç ão ão na na Computa Computa ç ç ão ão Gr Gr á á fica fica

• • Desenhos Desenhos 3D (Pipeline) 3D (Pipeline)

Rendering

(Criando, sombreando imagens a partir da geometria,

iluminando, materiais) Modelagem (Criando

Geometrias 3D)

(55)

55

7.3 7.3 - - Aplica Aplica ç ç ão na Ind ão na Ind ú ú stria stria

Aplica

Aplica ç ç ões T ões T í í picas são: picas são:

• • Design de Carros, Design de Carros, Aeronaves, Aeronaves, e Navios e Navios

• • Simula Simula ç ç ão ão de de Movimentos Movimentos

• • Anima Anima ç ç ões, ões, Ind Ind ú ú stria de Cinema e Computaç stria de Cinema e Computa ç ão Grá ão Gr á fica fica

Modelagem de objetos com superfícies de formas livres

(56)

56

8 8 - - REFERÊNCIAS REFERÊNCIAS

• • http://www.sbg.ac.at/mat/staff/revers/rev http://www.sbg.ac.at/mat/staff/revers/rev ers07.html

ers07.html

• • http://www.cse.uiuc.edu/iem/interpolation http://www.cse.uiuc.edu/iem/interpolation /brnstein/

/brnstein/

• • http://en.wikipedia.org/wiki/Bernstein_pol http://en.wikipedia.org/wiki/Bernstein_pol ynomial

ynomial

• • Kenneth Kenneth I. I. Joy Joy , Bernstein , Bernstein Polynomials Polynomials , On , On - - Line

Line Geometric Geometric Notes Notes

(57)

57

OBRIGADO!

BEVAKASHA!

(58)

58 i,n

0

0,3 1,3 2,3 3,3

B ( )=0 + 1/3 + 2/3 =1

p(t)=aB ( )+bB ( )+cB ( )+dB ( )

n

i

t

t t t t





(59)

59

 

6. C 6. C Á Á LCULO DE INTERPOLA LCULO DE INTERPOLA Ç Ç ÃO ÃO

  Metodos de Aproximaç Metodos de Aproxima ção: ão: Polinômios Bé Polinômios B ézier zier

De acordo com esta De acordo com esta defini

defini ç ç ão as curvas de ão as curvas de B B é é zier zier são calculadas são calculadas com a ajuda dos

com a ajuda dos polinômios de polinômios de Bernstein.

Bernstein. ^Exemplo ^Exemplo de uma curva cú de uma curva c úbica bica Bé B ézier zier

Capitulo IV : Interpolação Polinômios de Bernstein,

TC TC – – 708 An 708 An á á lise Num lise Num é é rica rica Capitulo

Capitulo – – IV : Interpola IV : Interpola ç ç ão ão Polinômios de Bernstein, Polinômios de Bernstein,

Lucas M

Lucas Má áximo Alves ximo Alves

Prof. Antonio Marques Carrer Prof. Antonio Marques Carrer Universidade Federal do Paran

Universidade Federal do Paraná á – – UFPR UFPR

a

b

c

d

Conte

Conte ú ú do do

• • 1. 1. Introdu Introdu ç ç ão ão

• • 2. 2. Problemas na Interpola Problemas na Interpola ç ç ão ão Polinomial Polinomial

• • 3. Motiva 3. Motiva ç ç ão ão - - Surgimento Surgimento

• • 4. Polinômios de 4. Polinômios de Bernstein Bernstein

• • 5. Propriedades dos Polinômios 5. Propriedades dos Polinômios

• • 6. 6. C C á á lculos de Interpola lculos de Interpola ç ç ão e Exemplos ão e Exemplos

• • 7. 7. Aplica Aplica ç ç ões e Conclusão ões e Conclusão

• • 8. Referências 8. Referências

1 1 - - INTRODU INTRODU Ç Ç ÃO ÃO

• • Interpola Interpola ç ç ão ão : Linear, : Linear, Quadr Quadr á á tica tica , , C C ú ú bica bica

• • Escolha Escolha da da ordem ordem do do polinômio polinômio de de interpola

interpola ç ç ão ão

1 1 - - INTRODU INTRODU Ç Ç ÃO ÃO

• • Forma Forma geom geom é é trica trica

de alguns de alguns

dos dos

polinômios polinômios

j j á á

aprendidos

aprendidos

2 2 - - PROBLEMAS NA PROBLEMAS NA INTERPOLA

INTERPOLA Ç Ç ÃO POLINOMIAL ÃO POLINOMIAL

• • A interpolaç A interpola ção polinomial ão polinomial é é um metodo f um metodo f ácil e á cil e único para descrevercurvas ú nico para descrevercurvas que cont

que conté ém alguns atributos geom m alguns atributos geomé étricos tricos „ „satisfat satisfató órios rios ““. ““ .

• • A interpola A interpola ção polinomial n ç ão polinomial n ào à o é é o m o m étodo de escolha dentro de aplicativos é todo de escolha dentro de aplicativos como o CAD devido a descri

como o CAD devido a descriç ç ões melhores de curvas (como ser ões melhores de curvas (como ser á á visto mais visto mais tarde).

tarde).

Razão:

Razão: A interpola A interpola çào polinômial pode oscilar çà o polinômial pode oscilar

2 2 - - PROBLEMAS DE PROBLEMAS DE INTERPOLA

INTERPOLA Ç Ç ÃO POLINOMIAL ÃO POLINOMIAL

O polinômio interpolante pode oscilar mesmo quando O polinômio interpolante pode oscilar mesmo quando

pontos de dados

pontos de dados normais normais e os valores dos parametros e os valores dos parametros são usados.

são usados.

• • O polinômio O polinômio interpolante não preserva a forma. interpolante não preserva a forma. Isto não Isto não tem nada a ver com os efeitos num

tem nada a ver com os efeitos num é é ricos, ele ricos, ele é é devido devido ao processo de interpola

ao processo de interpolaç ç ão. ão.

• • Para processos de interpola Para processos de interpola ç ç ão de alto custo: ão de alto custo: uma uma enorme quantidade de opera

enorme quantidade de opera ções necess ç ões necessá árias para a rias para a constru

construçà çà o e cá o e c á lculo do interpolante. lculo do interpolante.

3 3 – – MOTIVA MOTIVA Ç Ç ÃO ÃO

• • Este Este é é o Sr. o Sr.

Bernstein

Bernstein

3 3 – – MOTIVA MOTIVA Ç Ç ÃO ÃO

Objetivo

Objetivo: : Melhor Melhor controle controle sobre sobre a forma das curvas a forma das curvas Infraestrutura

Infraestrutura: : Computado Computado- -com com suporte suporte de design para de design para autom autom ó ó veis veis e areonaves e areonaves

Bé B ézier zier (Renault) e de (Renault) e de Casteljau Casteljau (Citr ( Citrö öen en) ambos ) ambos foram foram desenvolvidos desenvolvidos independentemente

independentemente um do outro um do outro em em torno torno dos anos dos anos de 1960/65 de 1960/65 para para descriç descri ções ões de curva de curva com os com os seguintes seguintes atributos: atributos :

• • Substituç Substitu ção ão de padrões de padrões de desenho de desenho feitos feitos pelo pelo CAD CAD

• • Manipulaç Manipula ção ão flex flex ível í vel de curvas de curvas com garantia com garantia e controle e controle de forma da de forma da curva

curva resultante resultante

• • Introduç Introdu ção ão de pontos de pontos de controle de controle que que não não necessariamente necessariamente estende

estende- -se se sobre sobre a curva a curva

Curvas

Curvas Suaves Suaves

• • Como Como criar criar curvas curvas suaves suaves ? ?

Curvas

Curvas Suaves Suaves

• • Como Como criar criar curvas curvas suaves suaves ? ?

• • Curvas Curvas param param é é tricas tricas com com polinômios polinômios

 ( ), ( ) 

)

( t x t y t

p 

 ⁽ ^), ⁽ ⁾ 