BRENDA VIEIRA COSTA FONTES

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BRENDA VIEIRA COSTA FONTES

EFEITOS DA TEMPERATURA NAS DEFORMAÇÕES POR FLUÊNCIA DO CONCRETO

NATAL-RN 2017

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

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Brenda Vieira Costa Fontes

Efeitos da temperatura nas deformações por fluência do concreto

Trabalho de Conclusão de Curso na modalidade Monografia, submetido ao Departamento de Engenharia Civil da Universidade Federal do Rio Grande do Norte como parte dos requisitos necessários para obtenção do Título de Bacharel em Engenharia Civil.

Orientador: Prof. Dr. Edmilson Lira Madureira

Natal-RN 2017

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN Sistema de Bibliotecas - SISBI

Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Central Zila Mamede

Fontes, Brenda Vieira Costa.

Efeitos da temperatura nas deformações por fluência no concreto / Brenda Vieira Costa Fontes. - 2017.

64 f.: il.

Monografia (Graduação) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Centro de Tecnologia, Graduação de Engenharia Civil.

Natal, RN, 2017.

Orientador: Prof. Dr. Edmilson Lira Madureira.

1. Concreto armado - Monografia. 2. Fluência - Monografia. 3.

Pilares parede - Monografia. 4. Vigas - Monografia. 5. Simulação - Monografia. 6. Temperatura - Monografia. I. Madureira,

Edmilson Lira. II. Título.

RN/UF/BCZM CDU 624.012.45

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Brenda Vieira Costa Fontes

Efeitos da temperatura nas deformações por fluência do concreto

Trabalho de conclusão de curso na modalidade Monografia, submetido ao Departamento de Engenharia Civil da Universidade Federal do Rio Grande do Norte como parte dos requisitos necessários para obtenção do título de Bacharel em Engenharia Civil.

Aprovado em 01 de junho de 2017:

___________________________________________________

Prof. Dr. Edmilson Lira Madureira – Orientador

___________________________________________________

Prof. Dr. Marcos Lacerda Almeida – Examinador interno

___________________________________________________

Prof. Dr. Daniel Nelson Maciel – Examinador externo

Natal-RN 2017

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DEDICATÓRIA

"É na educação dos filhos que se revelam as virtudes dos pais”

Coelho Neto.

Dedico este trabalho aos meus pais, que me ensinaram que educação e caráter são as coisas que realmente importam.

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AGRADECIMENTOS

Agradeço ao meu orientador, Professor Doutor Edmilson Lira Madureira, pela paciência e dedicação comigo e com meu projeto.

Aos meus pais, Ana Maria Vieira Costa Fontes e João Batista Costa Fontes, pelo apoio e incentivo a minha educação desde pequena.

Ao meu amado, Thiago Bezerra Montenegro, por ter sido sempre compreensível e amável nos melhores e piores momentos do curso.

Aos meus amigos e amigas, os quais sei que posso contar quando precisar.

Aos meus colegas de curso por terem sido bons companheiros de caminhada.

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RESUMO

Efeitos da temperatura nas deformações por fluência do concreto

Um membro de concreto, mantido sob tensão normal compressão, apresenta contração progressiva no decorrer do tempo, associada à fluência do material. Em vigas de concreto armado, as deformações por fluência promovem o alívio de tensões de compressão na massa de concreto e o acréscimo de tensões nas barras da armadura de aço, podendo induzi-las ao escoamento. As formulações pioneiras do efeito de fluência, desenvolvidas com base no coeficiente de fluência, são aplicáveis, sobretudo, quando as tensões se mantêm constantes. Sua aplicação a membros de concreto armado, que apresentam variações de tensões no decorrer da manifestação do fenômeno em destaque, requer simplificações das quais resultam os modelos de memória, que têm a desvantagem de exigir o armazenamento do histórico de tensões. Os modelos de estado dispensam tal robustez de armazenamento, sendo desenvolvidos a partir de modificação do esquema de integração. O objetivo deste trabalho é a simulação numérica voltada para a análise de desempenho mecânico de pilares parede e vigas de concreto armado em face das deformações por fluência, atentando-se, sobretudo, para o efeito da temperatura, realizada com base em modelo de estado com parâmetros fixados conforme recomendações da NBR 6118/2014.

Palavras-chave: Fluência; Concreto Armado; Pilares Parede; Vigas; Simulação; Temperatura.

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ABSTRACT

Temperature effects on deformation by creep of concrete

A concrete member, kept under sustained compressive loading, presents progressive contraction over time, associated to creep. In reinforced concrete Beams, such kind of deformations cause mass of concrete compressive stress decrease and reinforcement steel bars stress increase and may induce them to yielding. The pioneering formulations describing the phenomenon, developed on the base of creep coefficient are applicable, especially, when the stress magnitude remains constant. Its application to reinforced concrete members, which exhibits change in the stress magnitude over the highlighted phenomenon manifestation course, requires simplifications of what result the memory models, which have the disadvantage of requiring the storage of the stress history. The state models provides such robustness of storage, that’s why, they are developed from the integrating scheme changing. The subject of this work is the analysis of the effect of the influent factors on the creep deformations in reinforced concrete thin walled columns and beams, over all, the temperature effects, carried out on the base of a state model, fixing its physical parameters from the NBR 6118/2014 proceedings.

Keywords: Creep; Reinforced Concrete; Thin Walled Columns; Beams; Simulation;

Temperature.

(9)

ÍNDICE GERAL

CAPÍTULO PÁGINA

1. INTRODUÇÃO

13

1.1. OBJETIVOS

14

1.1.1. Objetivo Geral

14

1.1.2. Objetivos Específicos

14

1.2. METODOLOGIA

14

2. REVISÃO DA LITERATURA

15

2.1. INTRODUÇÃO

15

2.2. FATORES QUE INFLUENCIAM NA FLUÊNCIA

16

2.2.1. Relação tensão e resistência

17

2.2.2. Influência da umidade relativa do ambiente

18

2.2.3. Temperatura

19

2.2.4. Natureza da fluência

19

2.3. EFEITOS DA FLUÊNCIA

20

3. MODELAGEM NUMÉRICA

22

4. SUPORTE COMPUTACIONAL

26

5. VALIDAÇÃO DO PROGRAMA

27

6. MODELOS ANALISADOS

28

7. RESULTADOS OBTIDOS E DISCUSSÃO

33

7.1. PILAR PAREDE

33

7.2. VIGA BIAPOIADA

45

8. CONCLUSÕES E SUGESTÕES

59

8.1. CONCLUSÕES

59

8.2. SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS

61

REFERÊNCIAS

62

(10)

INDICE DE FIGURAS

FIGURA PÁGINA

1 a) Concreto comprimido; b) Água adsorvida. 15

2 Deformações por fluência do concreto com o tempo. 16

3 Fluência x Resistência. 17

4 Colapso mediante a fluência do concreto. 18

5 Influência do teor de umidade. 19

6 Princípio de McHenry. 20

7 Curvas dos deslocamentos por fluência com o tempo. 27 8 Curvas de variação do coeficiente de fluência com o tempo. 29 9 Malha de elementos finitos e domínio do problema pilar parede. 30 10 Malha de elementos finitos e domínio do problema viga biapoiada. 31 11 Campo de deslocamentos longitudinais imediatos ao carregamento –

Caso 1 pilar parede.

33 12 Campo de tensões normais no instante imediato ao carregamento –

34 13 Campo de deslocamentos longitudinais imediatos ao carregamento –

35 15 Curvas de deslocamento por fluência pilar parede concreto C 30. 36 16 Curvas de deslocamento por fluência pilar parede concreto C 40. 37 17 Campo de deslocamentos longitudinais devido à fluência aos 2000 dias

– Caso 1 pilar parede.

37 18 Campo de deslocamentos longitudinais devido à fluência aos 2000 dias

– Caso 11 pilar parede.

38 19 Evolução das tensões no concreto pilar parede para concreto C 30. 39 20 Evolução das tensões no concreto pilar parede para concreto C 40. 40 21 Campo de tensões normais aos 2000 dias - Caso 1 pilar parede. 40 22 Campo de tensões normais aos 2000 dias - Caso 11 pilar parede. 41 23 Evolução das tensões na armadura pilar parede para concreto C 30. 42 24 Evolução das tensões na armadura pilar parede para concreto C 40. 43

(11)

25 Campo de deslocamentos longitudinais imediatos ao carregamento – Caso 1 viga biapoiada.

Caso 1 viga biapoiada.

46 27 Campo de deslocamentos longitudinais imediatos ao carregamento –

47 29 Curvas de deslocamento por fluência viga biapoiada concreto C 30. 48 30 Curvas de deslocamento por fluência viga biapoiada concreto C 40. 49 31 Campo de deslocamentos longitudinais devido à fluência aos 2000 dias

– Caso 1 viga biapoiada

49 32 Campo de deslocamentos longitudinais devido à fluência aos 2000 dias

– Caso 11 viga biapoiada.

50 33 Evolução das tensões no concreto viga biapoiada para concreto C 30. 51 34 Evolução das tensões no concreto viga biapoiada para concreto C 40. 52 35 Campo de tensões normais aos 2000 dias - Caso 1 viga biapoiada. 52 36 Campo de tensões normais aos 2000 dias - Caso 11 viga biapoiada. 53 37 Evolução das tensões na armadura viga biapoiada para concreto C 30. 54 38 Evolução das tensões na armadura viga biapoiada para concreto C 40. 55

39 Solicitação a viga de Concreto Armado. 56

(12)

INDICE DE TABELAS

TABELA PÁGINA

1 Casos estudados de pilares parede. 29

2 Casos estudados de vigas. 31

3 Deslocamento da seção do topo dos pilares parede. 43 4 Tensões na massa do concreto para os pilares parede. 44

5 Tensões na armadura para os pilares parede. 44

6 Deslocamento da seção no meio da viga. 57

7 Tensões na massa do concreto para as vigas. 57

8 Tensões na armadura para vigas. 58

(13)

SIMBOLOGIA

SÍMBOLO SIGNIFICADO

ε Deformação

 Tensão principal

Gf Energia de fratura do concreto ft Resistência à tração do concreto fct,m Resistência média à tração do concreto

fck Resistência característica à compressão do concreto Ecs Módulo de deformação do concreto

β Tensão limite

ν Coeficiente de Poisson

ϕ_d Coeficiente de fluência de endurecimento 𝜙_𝑣 Coeficiente de fluência de efeito visco-elástico

Tv Tempo de retardamento tn Instante das deformações t Idade fictícia

α Coeficiente pela velocidade de endurecimento do cimento Ti Temperatura média diária do ambiente

Δtef,i Período de Ti constante

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1. INTRODUÇÃO

Tensões em massa sólida de concreto solicitando-as, permanentemente, promovem deformações progressivas, adicionais àquelas referentes à resposta imediata ao carregamento, caracterizando o fenômeno conhecido por fluência.

Tais deformações estão associadas, sobretudo, ao comportamento da camada de água adsorvida à superfície dos grãos de cimento no concreto endurecido, de natureza, essencialmente, viscosa frente às tensões de serviço.

De efeitos mais acentuados, nos primeiros anos de vida da estrutura, quando as taxas de deformações são mais elevadas, a Fluência pode delongar-se até época mais avançada embora evoluam mediante razões discretas, com magnitude final de até três vezes a deformação imediata ao carregamento e movimentações estruturais de similar grandeza.

Dentre os fatores que influenciam a deformação lenta destacam-se aqueles inerentes às propriedades físicas do próprio concreto a exemplo de sua consistência na condição fresca e sua resistência depois de endurecido. Ressaltem-se ainda os agentes que interferem direta e fisicamente no material, no caso o teor de umidade e a temperatura. A proporção em agregados graúdos constituintes do concreto, a taxa de armadura e as dimensões do membro estrutural, por sua vez, afetam a deformação global.

Em vigas e pilares de concreto armado, as deformações por fluência modificam os campos de tensões na medida em que provocam o alívio de tensões na massa de concreto e sobretensões nas barras de aço, podendo induzir o escoamento deste material, de modo que, sua desconsideração, representa fonte de dissonância significativa entre projeto e realidade.

As formulações pioneiras para a modelagem da deformação lenta baseiam-se no conceito do coeficiente de fluência. São aplicáveis aos casos nos quais as tensões solicitantes mantêm-se constantes no decorrer do fenômeno. Dos artifícios destinados à sua adequação a problema envolvendo tensões variáveis resultam os modelos de memória que exigem o armazenamento do histórico de tensões, e, portanto, volume de armazenamento proibitivo.

Com vistas à racionalização de espaço de memória computacional, foram desenvolvidos, a partir da modificação do esquema de integração, os modelos de estado que exigem, exclusivamente, a consideração dos valores das tensões no instante de tempo anterior ao considerado.

(15)

1.1. OBJETIVOS

1.1.1. Objetivo Geral

O objetivo deste trabalho é a análise de desempenho de membros estruturais de concreto armado em face das deformações por fluência, em estado plano de tensões, com base na aproximação por elementos finitos sobre um modelo de estado, com os parâmetros da NBR 6118/2014, ressaltando-se o efeito da temperatura.

1.1.2. Objetivos Específicos

• Criar casos com diferentes umidades e temperaturas;

• Gerar os coeficientes de fluência com base na consistência do concreto fresco (Slump Test) e no teor de umidade;

• Obter as deformações no pilar parede e as tensões no aço e no concreto;

• Obter as deformações na viga e as tensões no aço e no concreto;

• Gerar gráficos e diagramas de tensões para os casos;

• Analisar e comparar os casos e as estruturas.

1.2. METODOLOGIA

Com vias ao cumprimento dos objetivos propostos foi elaborada revisão literária sobre o assunto; definição e apresentação da modelagem matemática; familiarização com o

“software” Análise Constitutiva não Linear – ACNL, destinado à aquisição de resultados objeto da simulação numérica em pauta; validação do referido “software”; obtenção de resultados;

análise numérica; elaboração da monografia e apresentação.

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2. REVISÃO DA LITERATURA

2.1. INTRODUÇÃO

Segundo Neville (2002), o acréscimo gradual de deformação com o tempo em membro de concreto submetido, permanentemente, a carregamento é causado pela fluência.

A Fluência, também conhecida como deformação lenta, pode ser encarada, praticamente, como a diferença entre as deformações em igual lapso de tempo de sólido, alternativamente, carregado e isento de solicitação, mediante condições ambientais idênticas.

Assim, Neville (2002) considera a fluência como sendo a deformação excedente à retração.

Em abordagem rigorosa, entretanto, convém considerar o efeito associado à interação fluência-retração. Assim, a aplicação pura e simples do princípio da superposição envolvendo fluência e retração pode não ser viável, pois a interação que ocorre na manifestação simultânea desses fenômenos é passível de promover diferenças significativas de resultados.

Os principais tipos de fluência reconhecidos pela literatura científica são a fluência básica e a fluência por secagem. A primeira está associada à redução da espessura da camada de água adsorvida aos grãos de cimento no concreto endurecendo, independentemente de variações no estado higroscópico da massa sólida enquanto a outra se manifesta em razão da deflagração de gradientes de umidade, Figura 1.

Figura 1 – a) Concreto comprimido; b) Água adsorvida.

Fonte: Madureira, Siqueira e Silva (2011).

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É importante em projetos a previsão das deformações residuais mediante tensões variáveis, pois, conforme Neville (1995) quando uma carga é removida de um sólido de concreto, apenas parte da deformação elástica é imediatamente revertida, seguida da reversão de certa quantidade de deformação por fluência, perdurando deformação residual irreversível, Figura 2.

Figura 2 – Deformações por fluência do concreto com o tempo.

Fonte: Wight e McGregor (2012).

2.2. FATORES QUE INFLUENCIAM NA FLUÊNCIA

A avaliação do efeito isolado de cada um dos fatores influentes na deformação lenta pode ser dificultada em razão da modificação da influência de dado agente em razão da variação de outro, como acontece com o fator água/cimento em relação à textura do concreto.

Alguns desses fatores são intrínsecos à pasta de cimento, enquanto outros se relacionam a causas externas. Ressalte-se que a pasta de cimento hidratada é a causa da fluência, entretanto, a relação da fluência como o volume em pasta de cimento do concreto, foge da linearidade.

Dentre os fatores inerentes às propriedades físicas do concreto que influenciam a deformação lenta destacam-se a sua consistência na condição fresca e sua resistência depois de endurecido. Dentre os agentes que interferem direta e fisicamente no material citem-se o teor de umidade e a temperatura. A proporção em agregados graúdos constituintes do concreto, a taxa de armadura e as dimensões do membro estrutural, por sua vez, afetam a deformação global.

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2.2.1. Relação tensão e resistência

Segundo Neville (1960), o concreto apresenta fluência já a baixas tensões, descartando, portanto, a existência de limite mínimo de proporcionalidade. O limite máximo de proporcionalidade está associado ao desenvolvimento de micro fissuração drástica em sua massa. O limite de proporcionalidade corresponde à razão tenção/resistência entre 0,4 e 0,6, podendo ocorrer até um mínimo de 0,3 e um máximo de 0,75, para concretos de alta resistência, Smadi e Slate (1989).

Dentro do regime de solicitações de serviço frequente em estruturas corriqueiras a proporcionalidade entre fluência e tensões é bem fundamentada e a recuperação da fluência também é proporcional a tensão aplicada, Yue e Taerwe (1992), de modo que a modelagem sobre o fenômeno, normalmente, é assim proposta, Figura 3.

Figura 3 – Fluência x Resistência.

Acima do limite de proporcionalidade, a fluência aumenta segundo taxa crescente com o aumento da intensidade da tensão, e existe uma razão tensão/resistência, em geral, entre 0,8 e 0,9 da tensão última, acima da qual a fluência pode causar ruptura da estrutura com o tempo, Figura 4.

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Figura 4 – Colapso mediante a fluência do concreto.

A fluência é inversamente proporcional à resistência do concreto na data do carregamento, Neville (1959). A taxa de deformações por fluência é mais significativa que o aumento da resistência do concreto com o tempo, Nasser e Neville (1965).

2.2.2. Influência da umidade relativa do ambiente

A umidade relativa é um dos principais fatores externos que interferem na fluência. A fluência é mais intensa quando a umidade é mais baixa, Figura 5. A secagem do corpo de prova enquanto carregado intensifica a fluência. Sob este aspecto, configura-se o desenvolvimento de uma fluência adicional por secagem. A interferência do teor de umidade sobre a fluência é pouco significativa em estruturas cuja massa permaneça em equilíbrio higroscópico, Neville (1959).

A fluência por secagem pode estar relacionada com a tração induzida na parte externa do corpo de prova, por contenção da retração e das fissuras que dela resultam, Wittmann e Roelfstra (1980).

Mesmo o concreto curado e carregado mediante umidade constante apresenta fluência, sem interação higroscópica com o ambiente, Maney (1941) e Neville (1960).

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Figura 5 – Influência do teor de umidade.

Fonte: Mehta e Monteiro (2006).

2.2.3. Temperatura

De acordo com Dias, Khoury e Sullivan (1990), quanto menor a temperatura, menor a deformação por fluência, pois as altas temperaturas diminuem a resistência do concreto, aumentando a deformação. Já a temperaturas abaixo de 0°, a água presente no gel de cimento congela-se cessando o efeito da fluência, Johansen e Best (1962).

Membros de concreto submetidos ao processo de cura em locais mantidos a temperatura mais elevada que o ambiente, apresentam elevação em suas resistências, e, portanto, deformações por fluência um tanto menores que aquelas referentes aos elementos armazenados em temperaturas menores. Porém, a exposição a altas temperaturas no decorrer do processo de carregamento estimulam as deformações por fluência, Mehta e Monteiro (2006).

2.2.4. Natureza da fluência

A deformação por fluência inclui uma parcela reversível com uma fase puramente viscosa e outra fase puramente elástica e uma parcela irreversível com deformação plástica.

A deformação elástica é sempre recuperável quando o carregamento é removido. A deformação plástica nunca se recupera e pode ser dependente do tempo enquanto a deformação viscosa é sempre dependente do tempo, Hansen (1958).

Para um sólido carregado em um instante t0, a redução de deformações por fluência promovida por seu descarregamento realizado em um instante posterior t1 equivale ao

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acréscimo de fluência provocado por carga de igual intensidade aplicada nesse mesmo instante t1, McHenry (1943), Figura 6. Assim, o principio assim enunciado ignora a parcela residual de deformação por fluência.

Figura 6 – Princípio de McHenry.

Fonte: Neville (2002).

De acordo com o Escritório de Reclamações dos Estados Unidos (1956), a natureza da fluência ainda é uma controversa. Está diretamente associada à pasta de cimento hidratada bem como ao movimento interno de água absorvida.

Glucklich (1962) mostrou em ensaios que concreto que teve toda sua água evaporada praticamente não tem fluência. Entretanto, o comportamento da fluência em concretos a altas temperaturas sugere que a água deixa de desempenhar um papel e o próprio gel torna-se sujeito à deformação por fluência.

2.3. EFEITOS DA FLUÊNCIA

As deformações por fluência podem atingir magnitude de até três vezes a deformação imediata ao carregamento podendo levar a deflexões excessivas de elementos estruturais e causar problemas de utilização.

Em elementos de concreto armado a fluência promove transferência gradativa de esforços entre a massa de concreto e as barras de sua armadura de aço. Em se tratando de pilares, seu efeito é o de aliviar as tensões no concreto e sobrecarregar as barras da armadura de aço, Madureira et al. (2010). Quando o aço escoa, qualquer acréscimo de carga é absorvido pelo concreto, de modo que, as intensidades das tensões, tanto no aço quanto no concreto, acabam por atingir os valores das respectivas resistências levando o membro estrutural à ruptura. Em

(22)

elementos flexo-comprimidos a fluência acentua a deflexão transversal podendo levá-los à ruína por efeito de esbeltez (ruptura por flambagem).

Nas estruturas hiperestáticas a fluência alivia as tensões induzidas pela retração, bem como as tensões devidas a variações de origem térmica ou movimentação das fundações. Em todas as estruturas de concreto, a fluência reduz as tensões internas devidas à retração não uniforme, contribuindo para atenuar a fissuração.

Por outro lado, em se tratando de concreto-massa, a fluência pode ser causa de fissuração quando uma região, para a qual a movimentação é restringida, sofre um ciclo de variações térmicas devido a sucessivas liberações de calor de hidratação seguidas de resfriamento.

(23)

3. MODELAGEM NUMÉRICA

Com vistas à aquisição de resultados voltados para o cumprimento dos objetivos deste trabalho, para a fase referente à análise da resposta imediata da estrutura ao carregamento solicitante, foi adotada estrutura ortotrópica não linear, Kwak e Filippou (1990), procedimento iterativo incremental e aproximação por elementos finitos. Para utilização de tal modelo, os elementos da matriz constitutiva a utilizar são definidos com base em equações semelhantes àquelas empregadas em solicitação uniaxial, tomando-se, porém, como referência, as deformações equivalentes, definidas matematicamente conforme a equação 1.

ii j ij i

ei  D  /D

  

(1) Os índices “i” e “j”, i, j = 1, 2, referem-se às direções principais. Os parâmetros “Dij” representam os elementos das matrizes constitutivas.

A análise constitutiva do concreto em compressão foi baseada na formulação de Hognestad (1951), aplicada a cada uma das direções principais de solicitação, apresentada na forma:

ei ip ei ip

i ip .

. 1 2 .

2 



 



















 para ip < ei < 0; e

(2)



















 



cu ip ei ip ip

i 20

1 3



 

 para cu < ei < ip.

onde “ip” e “ip” representam a deformação e a tensão de pico do concreto, segundo cada direção principal “i”, e, “cu” sua deformação limite de ruptura em compressão uniaxial.

Para o concreto solicitado em tração foi adotado o modelo das fissuras distribuídas, cujas vantagens são considerar a continuidade do campo de deslocamentos, e, dispensar modificações de caráter topológico na malha de elementos finitos no decorrer de seus procedimentos de cálculo. Para deformações inferiores àquelas correspondentes à resistência à tração, o concreto é considerado linear elástico e para deformações superiores, considera-se plástico com amolecimento. Para avaliação da deformação última em tração, “εo”, foi adotada a forma proposta por Kwak e Filippou (1990), afetada pelo fator de correção voltado para a

(24)

consideração da distribuição da fissuração em parcela restrita de cada elemento finito e consequente melhoria da qualidade dos resultados. A equação apresenta-se mediante a forma:

( )

(₃ _b) f

b 3 G 2

t

o f. -

/ ln .

= . ε

(3) Para a qual Gf representa a energia correspondente à fratura do concreto por unidade de área e foi definida conforme os critérios do CEB-FIP Model Code (1990) e ft representa a resistência à tração do concreto a qual, na ausência de ensaios, a norma recomenda calcular a partir de:

3 2 m ck

ct 03f

f _, = , ^/

(4) Onde o parâmetro fck representa a resistência característica à compressão do concreto.

O coeficiente de Poisson e o módulo de deformação do concreto foram fixados conforme recomendado pela NBR 6118/2014, resultando para o primeiro o valor de 0,17 e para o segundo:

ck cs 4760 f E =

(5) As tensões limite no concreto, em estado plano de tensões, são definidas conforme a envoltória de Kupfef e Gerstle (1973):

(

⁾ ³^.⁶⁵ ⁰

( ₁ ₂ ² ₂  ₁  (6) onde ₁ ₁ /f_c^' , ₂ ₂ /f_c^'. “1” e “2” são as tensões principais com 0 > 1 > 2. O parâmetro “ f_c^'” representa a resistência à compressão uniaxial do concreto.

As deformações de pico em compressão biaxial são obtidas conforme Kwak e Filippou (1990) a partir das expressões:



3 ₂ 2



co p

2   

 e



2 1



3 1 co 1

p

1  1.6 2.25 0.35

    

(7) onde

c p 1 f1

  ,

c p 2 f2

  e “co” é a deformação correspondente à tensão de compressão

de pico para estado uniaxial de tensões.

(25)

Para o concreto submetido a estado plano de tensões utiliza-se a relação constitutiva matricial incremental de Desai e Siriwardance (1972), escrita mediante a forma da equação 8.



¹^-



^.G^.

0

0 E

E

0

E

₁₁

2 1

1

12 22 2

2

2 1 2

12 22 11

d d d E

.

E E 1

1 d

d d







 



 

(8) onde os “Ei’s” são os módulos de deformação referentes a cada uma das direções principais. A rigidez transversal é expressa segundo a correlação:



2



.G 0.25



E1 E2 2 E1.E2



1      (9) O comportamento do aço é considerado elástico perfeitamente plástico.

Na análise em pauta foram adotados elementos finitos em suas versões isoparamétricas de aproximação quadrática. A região da massa de concreto foi discretizada a partir de elementos planos quadriláteros Q8 e as barras de aço mediante elementos lineares L3.

As deformações por fluência foram simuladas a partir do modelo de estado proposto por Kawano e Warner (1996), sendo dadas por:

𝜀_𝑐(𝑡) = 𝜀_𝑐𝑑(𝑡) + 𝜀_{𝑐𝑣(𝑡)} (10) Onde

𝜀_𝑐𝑑(𝑡) = −_𝐸¹

0∫₀^𝑡^𝑑𝜙^𝑑_𝑑𝜏^(𝑡,𝜏)𝜎(𝜏)𝑑𝜏 e 𝜀_𝑐𝑣(𝑡) = −_𝐸¹

0∫₀^𝑡^𝑑𝜙_𝑑𝜏^𝑣^(𝑡,𝜏)𝜎(𝜏)𝑑𝜏 (11) são as parcelas de endurecimento e de efeito visco-elástico, respectivamente. As funções 𝜙_𝑑(𝑡, 𝜏) e 𝜙_𝑣(𝑡, 𝜏) representam seus coeficientes de fluência.

Em suas versões incrementais as deformações por fluência assumem as formas das equações 12 e 13.

𝛥𝜀_𝑐𝑑(𝑡_𝑛) =_𝐸¹

0𝜎(𝑡_𝑛−1) ∗ [𝜙_𝑑(𝑡_𝑛, 𝑡₀) − 𝜙_𝑑(𝑡_𝑛−1, 𝑡₀)] (12) 𝛥𝜀_𝑐𝑣(𝑡_𝑛) = [^𝜙^∗^𝑑

𝐸0 𝜎(𝑡_𝑛−1) − 𝜀_𝑐𝑣(𝑡_𝑛−1)] ∗ [1 − 𝑒^−𝛥𝑡^𝑛^/𝑇^𝑣] (13)

com:

𝜙_𝑑(𝑡, 𝑡₀) = ^(𝑡−𝑡⁰⁾^0,6

10+(𝑡−𝑡0)^0,6∗ 𝜙^∗_𝑑 (14)

(26)

e:

𝜙_𝑣(𝑡_𝑛, 𝑡_𝑗) = [1 − 𝑒^−(𝑡^𝑛^−𝑡^𝑗^)/𝑇^𝑣] ∗ 𝜙^∗_𝑣 (15) Sendo “𝜙^∗_𝑑 ” e “ 𝜙^∗_𝑣 ” os coeficientes de fluência finais. “𝑇_𝑣” é o tempo de retardamento.

Em cada instante “𝑡_𝑛” as deformações por fluência serão dadas por:

𝜀_𝑐(𝑡_𝑛) = 𝜀_𝑐(𝑡_𝑛−1) + 𝛥𝜀_𝑐(𝑡_𝑛) (16) com

𝛥𝜀_𝑐(𝑡_𝑛) = 𝛥𝜀_𝑐𝑑(𝑡_𝑛) + 𝛥𝜀_𝑐𝑣(𝑡_𝑛) (17) Para os efeitos deste trabalho admite-se que as tensões manter-se-ão constantes no decorrer de cada intervalo de tempo, de modo que a sua variação a nível global, ao longo de todo o período de observação do fenômeno, é expressa por uma função do tipo degrau.

A simulação do efeito da temperatura nas deformações por fluência baseou-se nas recomendações da ABNT NBR 6118:2014, segundo as quais os instantes de observação do fenômeno devem ser corrigidos resultando assim as idades fictícias para o concreto obtidas mediante a forma:

𝑡 = 𝛼 ∑ ^𝑇^𝑖⁺¹⁰

30 ∆𝑡_{𝑒𝑓,𝑖}

𝑖 (18) Onde α é o coeficiente dependente da velocidade de endurecimento do cimento que, para os quais a norma recomenda valores típicos, que podem ser adotados na ausência de ensaios experimentais. O parâmetro Ti representa a temperatura média diária do ambiente, expressa em graus Celsius (°C) enquanto Δtef,i é o período, expresso em dias, durante o qual a temperatura média diária do ambiente, T_i, pode ser admitida constante.

(27)

4. SUPORTE COMPUTACIONAL

Os resultados voltados ao cumprimento dos objetivos deste trabalho foram obtidos através do “software” Análise Constitutiva Não-Linear – ACNL, desenvolvido por Madureira (2007). O programa foi estruturado segundo procedimento iterativo incremental e aproximação por Elementos Finitos, sobre uma Formulação Ortotrópica não Linear. Abrange em sua pauta algorítmica a formulação dos elementos descritos no item 3.

As imagens referentes aos campos de deslocamentos foram geradas a partir do aplicativo NLPOS elaborado por Pitangueira e Parente Jr (1997) enquanto aquelas correspondentes aos campos de tensões foram produzidas a partir do aplicativo PROJECT1 desenvolvido por Madureira e Silva (2013).

(28)

5. VALIDAÇÃO DO PROGRAMA

A eficiência do programa foi verificada comparando-se seus resultados com os correspondentes obtidos através de um algoritmo simplificado, elaborado por Madureira et al (2011), com base nos postulados da Resistência dos Materiais. Na concepção deste último é considerada, sobretudo, a hipótese de Bernoulle, segundo a qual as seções inicialmente planas assim permanecem no decorrer do estágio de carregamento e após ter sido atingida a configuração de equilíbrio para a carga final. Tais resultados, Figura 7, apresentam-se em boa concordância.

Figura 7 – Curvas dos deslocamentos por fluência com o tempo.

Fonte: Paiva (2015).

(29)

6. MODELOS ANALISADOS

Os modelos objeto de análise são pilares-parede e vigas biapoiadas utilizando-se em suas execuções, concretos de classe de resistência à compressão simples C30 e C40, armados mediante barras de aço CA-50.

Para o coeficiente referente à velocidade de pega e endurecimento do aglomerante foi fixado o valor α = 1, que corresponde a cimento Portland de endurecimento lento. Foi considerada para o concreto fresco uma consistência da qual resulta abatimento no slump test situado na faixa de 5 cm a 9 cm. Para o tempo de retardamento foi adotado Tv = 600 dias, e para coeficiente final de fluência de endurecimento 𝜱_𝒅^∗ = 𝟐, 𝟎. Os valores do coeficiente final de fluência associado aos efeitos viscoelásticos, 𝜱_𝒗^∗, dependem da umidade de modo que é diferente caso a caso, e, por assim o ser, estão indicados, especificamente, nas Tabelas 1 e 2. A data do carregamento dos membros estruturais objetos de análise foi fixada como sendo consumada aos 30 dias contados a partir da data do lançamento e adensamento induzido do concreto.

As curvas do coeficiente de fluência com o tempo, referentes aos resultados obtidos mediante o modelo da NBR 6118/2014 e o modelo de estado empregado, apresentam boa concordância, Figura 8, corroborando-se, portanto, que os valores dos parâmetros do modelo de estado foram apropriadamente fixados. Além do mais, constata-se que, aos 2000 dias de idade do concreto, o processo deformacional associado à Fluência do material, já havia sido estabilizado, de modo que tal idade foi considerada como limite extremo do prazo de estudo do fenômeno em destaque, adotando-se, para fins de análise, os instantes de observação nas idades do concreto aos 33, 39, 54, 90, 176, 379, 860 e 2000 dias.

(30)

Figura 8 – Curvas de variação do coeficiente de fluência com o tempo.

Fonte: Madureira, Siqueira e Silva (2011).

A análise de cada um dos tipos de membro estrutural foi realizada sobre vinte casos diferenciados entre si pelo teor de umidade, pela resistência à compressão do concreto e pela temperatura, Tabela 1 e Tabela 2, fixando-se a intensidade do carregamento, de modo a produzir tensões no concreto da ordem de 50% de sua resistência à compressão, em atendimento às limitações em termos de tensões intrínsecas ao modelo de deformações por Fluência da NBR 6118/2014.

Os modelos referentes aos pilares parede apresentam altura de 3,00 m e seção transversal retangular definida a partir da fixação de sua largura em 1,20 m e de sua espessura em 0,20 m, com as barras da armadura longitudinal distribuídas conforme indicado na Figura 9. A carga solicitante é distribuída uniformemente ao longo da seção do topo do elemento estrutural, Figura 9.

Tabela 1 – Casos estudados de pilares parede.

Casos fck (MPa) Carga

(KN) Slump (cm) Temperatura (°C)

Umidade

(%) 𝜱𝒗∗

1 30 3750 5 – 9 20 40 1,63

2 30 3750 5 – 9 40 40 1,63

3 30 3750 5 – 9 60 40 1,63

4 30 3750 5 – 9 80 40 1,63

5 30 3750 5 – 9 100 40 1,63

6 30 3750 5 – 9 20 60 0,92

7 30 3750 5 – 9 40 60 0,92

8 30 3750 5 – 9 60 60 0,92

9 30 3750 5 – 9 80 60 0,92

10 30 3750 5 – 9 100 60 0,92

(31)

11 40 4980 5 – 9 20 40 1,63

12 40 4980 5 – 9 40 40 1,63

13 40 4980 5 – 9 60 40 1,63

14 40 4980 5 – 9 80 40 1,63

15 40 4980 5 – 9 100 40 1,63

16 40 4980 5 – 9 20 60 0,92

17 40 4980 5 – 9 40 60 0,92

18 40 4980 5 – 9 60 60 0,92

19 40 4980 5 – 9 80 60 0,92

20 40 4980 5 – 9 100 60 0,92

Fonte: Elaborada pela autora, 2017.

Uma vez que o modelo estrutural apresenta simetria, o domínio do problema pôde ser definido no plano “xy” conforme apresentado na Figura 9, que uma vez discretizado adotando- se dimensão igual a 0,10 m para ambos os tipos de elemento, resultou em malha de elementos finitos com 180 elementos planos e 90 elementos unidimensionais.

Figura 9 – Malha de elementos finitos e domínio do problema pilar parede.

Os modelos referentes a vigas biapoiadas apresentam comprimento total de 6,00 m e seção transversal retangular com largura de 0,15 m e altura de 0,60 m, adotando-se para as barras da armadura longitudinal a distribuição ilustrada na Figura 10. A carga solicitante é distribuída uniformemente ao longo de toda a extensão longitudinal do membro estrutural, Figura 10.

Dada a simetria do problema seu domínio pôde ser definido no plano “xy” conforme apresentado na Figura 10 que, uma vez discretizado adotando-se dimensão igual a 0,10 m para ambos os tipos de elemento, resultou em malha de elementos finitos com 180 elementos planos e 90 elementos unidimensionais.

(32)

Para fins da avaliação de tendência dos parâmetros pertinentes foram selecionados pontos de referência representativos localizados em regiões do meio do vão da viga. Os estudos concernentes à evolução da tensão normal de compressão no concreto, e dos deslocamentos translacionais verticais, referem-se ao ponto situado nas proximidades do bordo superior de coordenadas x = 0,011 m e y = 0,589 m, enquanto, para a tensão de tração na armadura de aço tomou-se como referência o ponto situado nas proximidades do bordo inferior de coordenadas x = 0,011 m e y = 0,00 m, Figura 10.

Figura 10 – Malha de elementos finitos e domínio do problema viga biapoiada.

Tabela 2 – Casos estudados de vigas.

Casos fck (MPa) Carga

(KN/m) Slump (cm) Temperatura (°C)

Umidade

(%) 𝜱_𝒗^∗

1 30 21 5 – 9 20 40 1,63

2 30 21 5 – 9 40 40 1,63

3 30 21 5 – 9 60 40 1,63

4 30 21 5 – 9 80 40 1,63

5 30 21 5 – 9 100 40 1,63

6 30 21 5 – 9 20 60 0,92

7 30 21 5 – 9 40 60 0,92

8 30 21 5 – 9 60 60 0,92

9 30 21 5 – 9 80 60 0,92

10 30 21 5 – 9 100 60 0,92

11 40 28 5 – 9 20 40 1,63

12 40 28 5 – 9 40 40 1,63

13 40 28 5 – 9 60 40 1,63

14 40 28 5 – 9 80 40 1,63

(33)

15 40 28 5 – 9 100 40 1,63

16 40 28 5 – 9 20 60 0,92

17 40 28 5 – 9 40 60 0,92

18 40 28 5 – 9 60 60 0,92

19 40 28 5 – 9 80 60 0,92

20 40 28 5 – 9 100 60 0,92

(34)

7. REULTADOS OBTIDOS E DISCUSSÃO

7.1. PILAR PAREDE

Para todos os casos estudados referentes ao concreto de classe C 30, uma vez atingida a configuração de equilíbrio referente à carga solicitante, os campos de deslocamentos e tensões normais na direção “x” assumiram as distribuições indicadas nas Figuras 11 e 12, respectivamente. Para os casos envolvendo concreto de classe C 40 os referidos campos estão ilustrados nas figuras 13 e 14. A magnitude do deslocamento no topo do pilar parede para os casos de concreto C 30 foi da ordem de 2,0 mm, enquanto a tensão na massa de concreto apresentou intensidade de aproximadamente 14,7 MPa. Para os casos referentes a concreto de classe de resistência à compressão C 40 as referidas magnitudes foram da ordem de 2,4 mm e 19,7 MPa, Tabelas 3 e 4.

Os campos de tensões na massa de concreto na direção “x”, Figuras 11 e 13, apresenta distribuição praticamente uniforme, ressaltando-se, porém, a ocorrência de tênue perturbação na zona de introdução de carga, localizada na vizinhança do topo do pilar.

Figura 11 – Campo de deslocamentos longitudinais imediatos ao carregamento – Caso 1 pilar parede.

(35)

Figura 12 – Campo de tensões normais no instante imediato ao carregamento – Caso 1 pilar parede.

Figura 13 – Campo de deslocamentos longitudinais imediatos ao carregamento – Caso 11 pilar parede.

(36)

Figura 14 – Campo de tensões normais no instante imediato ao carregamento – Caso 11 pilar parede.

Uma vez tendo se manifestado o fenômeno de Fluência do concreto foram deflagrados deslocamentos adicionais do topo dos pilares que evoluíram com o tempo conforme tendência caracterizada pelas curvas das Figuras 15 e 16. Observe-se que ao final do prazo de 2000 dias, contados a partir da data de produção do concreto, tais deslocamentos já haviam praticamente sido estabilizados, quando os campos correlatos assumiram distribuições semelhantes àquelas indicadas nas Figuras 17 e 18. Para fins de estabelecimento de base comparativa coerente da variação dos parâmetros pertinentes, neste trabalho a idade de 90 dias foi tomada como referência, pois, conforme será visto adiante neste relato, considerando-se todos os casos estudados, tal idade corresponde ao menor intervalo de tempo, contado a partir da usinagem do concreto, ao fim do qual ocorreu o fenômeno de escoamento do aço constituinte das armaduras do concreto.

De acordo com os resultados obtidos, o menor acréscimo de deslocamento, ocorrido na idade de referência, foi de 2,14 mm, correspondendo a 1,04 vezes o deslocamento no instante imediato ao carregamento, assinalado para o caso 6, Tabela 3, que se refere ao maior teor de umidade, à menor resistência do concreto e à menor temperatura. O maior deslocamento por fluência aos 90 dias foi da ordem de 4,11 mm, representando 1,73 vezes o deslocamento imediato ao carregamento, Tabela 3, registrado para o caso 15, concernente ao teor de umidade menor, a maior resistência do concreto e a maior temperatura. Em exame mais pormenorizado do grupo de curvas referentes aos casos 1, 2, 3, 4 e 5, Figura 15, referentes a concreto de classe de resistência C 30 e teor de umidade de 40%, diferindo caso a caso, unicamente, pela temperatura, constata-se que os deslocamentos por fluência apresenta valores maiores para

(37)

temperaturas maiores. Adotando-se conduta idêntica sobre o grupo de curvas referentes aos casos 6, 7, 8, 9 e 10, aos quais corresponde teor de umidade de 60%, observa-se comportamento similar, entretanto, o deslocamento final, decorrido até a estabilidade do fenômeno, apresenta, praticamente, a mesma magnitude.

Figura 15 – Curvas de deslocamento por fluência pilar parede concreto C 30.

(38)

Figura 16 – Curvas de deslocamento por fluência pilar parede concreto C 40.

Figura 17 – Campo de deslocamentos longitudinais devido à fluência aos 2000 dias – Caso 1 pilar parede.

(39)

Figura 18 – Campo de deslocamentos longitudinais devido à fluência aos 2000 dias – Caso 11 pilar parede.

A partir da análise dos resultados obtidos constata-se que as deformações por fluência provocaram alívio de tensões na massa de concreto. Para os casos de menor teor de umidade, as magnitudes se desenvolveram consoante as curvas das Figuras 19 e 20. Para os demais casos, as curvas apresentaram forma semelhante, sendo diferenciadas, sobretudo, pelos valores apresentados, Tabela 4. Para os casos 1 e 11, as tensões na massa de concreto estabilizaram-se aos 2000 dias conforme as distribuições indicadas nos campos das Figuras 21 e 22. Para os demais casos os campos de tensões apresentaram-se mediante modo similar, ressaltando-se, porém que, em alguns casos o processo foi interrompido precocemente, pelo escoamento do aço da armadura relatado adiante.

Para os casos referentes a concreto C 30, o menor alívio de tensões foi de 5%, registrado para o caso 6, com maior teor de umidade e menor temperatura. O maior foi de 8%, registrado para o caso 5, com menor teor de umidade e maior temperatura. Para os casos referentes a concreto C 40, o menor alívio de tensões foi de 4%, registrado para o caso 16, respectivamente, com maior teor de umidade e menor temperatura. O maior foi de 7%, registrado para o caso 15, com menor teor de umidade e maior temperatura.

(40)

Figura 19 – Evolução das tensões no concreto pilar parede para concreto C 30.

(41)

Figura 20 – Evolução das tensões no concreto pilar parede para concreto C 40.

Figura 21 – Campo de tensões normais aos 2000 dias - Caso 1 pilar parede.

(42)

Figura 22 – Campo de tensões normais aos 2000 dias - Caso 11 pilar parede.

As tensões nas barras da armadura de aço, por sua vez, para os casos de teor de umidade de 40%, evoluíram conforme as curvas das Figuras 23 e 24. Para os demais casos as curvas apresentaram tendência análoga, diferenciando-se pelas magnitudes assinaladas, Tabela 5. Para os casos referentes a concreto C 30, o menor acréscimo de tensões foi de 228%, registrado para o caso 6, com maior teor de umidade e menor temperatura. O maior foi de 244%, registrado para todos os casos de menor teor de umidade, que culminaram com o escoamento da armadura de aço. Em todos os casos referentes a concretos de classe de resistência C 40, o aumento de tensões nas barras da armadura de aço foi de 200%, e, em todos eles ocorreu o escoamento do material. Como era de se esperar, considerando que as tensões nas armaduras de aço desenvolvem-se consoantemente as deformações por fluência, o acréscimo resultante de sua intensidade foi mais expressivo e o escoamento foi atingido tanto mais precocemente quanto maior a temperatura.

(43)

Figura 23 – Evolução das tensões na armadura pilar parede para concreto C 30.

(44)

Figura 24 – Evolução das tensões na armadura pilar parede para concreto C 40.

Tabela 3 – Deslocamento da seção do topo dos pilares parede.

Casos Deslocamento (mm)

Idade final (dias) Imediato Fluência (90 dias) Fluência final

1 2,05 2,26 5,11 860

2 2,05 2,70 4,69 379

3 2,05 3,02 5,10 379

4 2,05 3,29 4,34 176

5 2,05 3,51 4,60 176

6 2,05 2,14 4,70 2000

7 2,05 2,50 4,80 2000

8 2,05 2,76 4,83 2000

9 2,05 2,96 4,85 2000

10 2,05 3,13 4,86 2000

11 2,37 2,64 4,74 379

12 2,37 3,16 4,23 176

13 2,37 3,54 4,72 176

14 2,37 3,85 3,85 90

15 2,37 4,11 4,11 90

16 2,37 2,50 4,10 379

17 2,37 2,93 4,63 379

18 2,37 3,23 4,09 176

19 2,37 3,47 4,35 176

20 2,37 3,66 4,56 176

(45)

Tabela 4 – Tensões na massa do concreto para os pilares parede.

Casos Tensão no concreto (MPa)

Idade final (dias) Inicial Fluência (90 dias) Fluência final

1 14,76 14,07 12,99 860

2 14,76 13,91 13,18 379

3 14,76 13,80 13,00 379

4 14,76 13,71 13,33 176

5 14,76 13,63 13,23 176

6 14,76 14,09 12,90 2000

7 14,76 13,95 12,75 2000

8 14,76 13,85 12,69 2000

9 14,76 13,77 12,66 2000

10 14,76 13,71 12,65 2000

11 19,74 18,93 18,19 379

12 19,74 18,75 18,37 176

13 19,74 18,62 18,20 176

14 19,74 18,51 18,51 90

15 19,74 18,42 18,42 90

16 19,74 18,96 18,33 379

17 19,74 18,80 18,11 379

18 19,74 18,68 18,34 176

19 19,74 18,59 18,24 176

20 19,74 18,51 18,15 176

Tabela 5 – Tensões na armadura para os pilares parede.

Casos Tensão na armadura (MPa)

Idade final (dias) Inicial Fluência (90 dias) Fluência final

1 143,30 300,71 499,18 860

2 143,30 331,26 470,04 379

3 143,30 353,86 498,49 379

4 143,30 372,23 445,67 176

5 143,30 387,89 463,72 176

6 143,30 292,21 470,19 2000

7 143,30 317,67 477,12 2000

8 143,30 335,56 479,30 2000

9 143,30 349,58 480,57 2000

10 143,30 361,18 481,52 2000

11 166,00 350,36 496,47 379

12 166,00 386,25 461,08 176

13 166,00 412,83 494,99 176

14 166,00 434,45 434,45 90

15 166,00 452,88 452,88 90

16 166,00 340,40 452,11 379

17 166,00 370,29 489,10 379

18 166,00 391,31 451,26 176

19 166,00 407,78 469,54 176

20 166,00 421,44 484,15 176

(46)

7.2. VIGA BIAPOIADA

Para todos os casos estudados referentes ao concreto de classe C 30, uma vez atingida a configuração de equilíbrio referente à carga solicitante, os campos de deslocamentos e tensões normais na direção “x” assumiram as distribuições indicadas nas Figuras 25 e 26, respectivamente. Para os casos envolvendo concreto de classe C 40 os referidos campos estão ilustrados nas figuras 27 e 28. A magnitude do deslocamento no topo do pilar parede para os casos de concreto C 30 foi da ordem de 10,0 mm, enquanto a tensão na massa de concreto apresentou intensidade de aproximadamente 15,0 MPa. Para os casos referentes a concreto de classe de resistência à compressão C 40 as referidas magnitudes foram da ordem de 12,0 mm e 20,5 MPa, Tabelas 6 e 7.

Os campos de tensões na massa de concreto na direção “x”, Figuras 25 e 27, apresenta distribuição praticamente uniforme, ressaltando-se, porém, a ocorrência de tênue perturbação na região da vizinhança dos apoios da viga.

Figura 25 – Campo de deslocamentos longitudinais imediatos ao carregamento – Caso 1 viga biapoiada.

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Figura 26 – Campo de tensões normais no instante imediato ao carregamento – Caso 1 viga biapoiada.

Figura 27 – Campo de deslocamentos longitudinais imediatos ao carregamento – Caso 11 viga biapoiada.