UNIVERSIDADE DE BRASILIA FACULDADE DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL

UNIVERSIDADE DE BRASILIA

FACULDADE DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL

MODELAGEM NUMÉRICA DO COMPORTAMENTO DE SOLOS NÃO SATURADOS CONSIDERANDO MODELOS ELÁSTICOS E DE ESTADOS CRÍTICOS

GILSON DE FARIAS NEVES GITIRANA JUNIOR

ORIENTADOR: PROF. JOSÉ HENRIQUE FEITOSA PEREIRA, PhD

DISSERTAÇÃO DE MESTRADO EM GEOTECNIA PUBLICAÇÃO G.DM - 63A/99

BRASILIA / DF: AGOSTO / 1999

UNIVERSIDADE DE BRASILIA FACULDADE DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL

MODELAGEM NUMÉRICA DO COMPORTAMENTO DE SOLOS NÃO SATURADOS CONSIDERANDO MODELOS ELÁSTICOS E DE ESTADOS CRÍTICOS

GILSON DE FARIAS NEVES GITIRANA JUNIOR

DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL DA UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE.

APROVADA POR:

_______________________________

JOSÉ HENRIQUE FEITOSA PEREIRA, PhD, UnB (ORIENTADOR)

______________________________

LUCIANO MENDES BEZERRA, PhD, UnB (CO-ORIENTADOR)

_______________________________

MÁRCIO MUNIZ DE FARIAS, PhD, UnB (EXAMINADOR INTERNO)

_______________________________

SANDRO LEMOS MACHADO, DSc, UFBa

(EXAMINADOR EXTERNO)

FICHA CATALOGRÁFICA

GITIRANA JR, GILSON DE FARIAS NEVES

Modelage m Numérica do Comportamento de Solos Não Saturados Considerando Modelos Elásticos e de Estados Críticos.

xxi , 126 p., 297 mm (ENC/FT/UnB, Mestre, Geotecnia, 1999) Dissertação de Mestrado - Universidade de Brasília.

Faculdade de Tecnologia. Departamento de Engenharia Civil e Ambiental 1. Solos Não Saturados 2. Modelagens Constitutivas

3. Estados Críticos 4. Métodos Numéricos I. ENC/FT/UnB II. Título (série)

REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA

GITIRANA JR, G.F.N.; 1999. Modelagem Numérica do Comportamento de Solos Não Saturados Considerando Modelos Elásticos e de Estados Críticos. Dissertação de Mestrado, Publicação G.DM - 63A/99, Departamento de Engenharia Civil e Ambiental, Universidade de Brasília, Brasília, DF, 126 p.

CESSÃO DE DIREITOS

NOME DO AUTOR: Gilson de Farias Neves Gitirana Junior

TÍTULO DA DISSERTAÇÃO DE MESTRADO: Modelagem Numérica do Comportamento de Solos Não Saturados Considerando Modelos Elásticos e de Estados Críticos.

GRAU: Mestre ANO: 1999

É concedida à Universidade de Brasília a permissão para reproduzir cópias desta dissertação de mestrado e para emprestar ou vender tais cópias somente para propósitos acadêmicos e científicos. O autor reserva outros direitos de publicação e nenhuma parte desta dissertação de mestrado pode ser reproduzida sem a autorização por escrito do autor.

_____________________________

Gilson de Farias Neves Gitirana Junior

Rua 5 Q/D N

18 Conj. Barra Bella, Bairro Parque 10

69054-410 Manaus/AM – Brasil

DEDICATÓRIA

Este trabalho é dedicado à minha mãe, Amélia Machado de Vasconcelos

e à memória dos meus avós,

Terezinha Machado de Vasconcelos e Genes Darles Gitirana

AGRADECIMENTOS

Acima de tudo obrigado Deus, por todas as benções concedidas. Peço que continue iluminando meu caminho.

Gostaria de agradecer as seguintes pessoas:

À toda minha família, em particular à minha mãe, que me dá forças para atingir meus objetivos.

Ao meu orientador, Professor José Henrique Feitosa Pereira, pela amizade, confiança, conhecimentos transmitidos e por ter me presenteado com este tema.

À família Ribeiro Barroncas, no nome do Sr. Joaquim e da Sra. Deusa. Sem seu apoio esse trabalho teria sido muito mais difícil.

À Professora Consuelo Alves da Frota, pelo apoio, amizade e por ter me incentivado a fazer pós- graduação.

À Alessandra Lionço, pela amizade e dedicação.

À Ronny Peixoto, pela amizade e por ter cedido os resultados experimentais de sua dissertação, para que fossem utilizados nas análises numéricas deste trabalho.

Aos Professores do Programa de Pós-Graduação em Geotecnia da UnB, em especial aos professores André Pacheco de Assis, Ennio Marques Palmeira, José Camapum de Carvalho e Márcio Muniz de Farias.

À todos os colegas da UnB, pelo alegre e agradável convívio.

Aos amigos de Manaus, que mesmo de longe continuaram sempre me dando força.

Ao Colégio Militar de Manaus, à Universidade do Amazonas e à Universidade de Brasília. Me orgulho e sou grato por ter passado por essas Instituições, responsáveis pela minha formação.

À CAPES (Comissão de apoio à formação de pessoal de nível superior), pelo suporte

financeiro durante à execução desse trabalho.

RESUMO

Neste trabalho é apresentada a modelagem numérica do comportamento mecânico de solos não saturados e são analisadas modelagens constitutivas para a estrutura de solos não saturados. É avaliada a performance do modelo elástico incremental de Fredlund e do modelo de estados críticos para solos não saturados de Alonso. São efetuadas simulações analíticas e numéricas, com base em ensaios oedométricos em solos colapsíveis, sob trajetórias de molhagem. Com esse fim, foi implementado um programa para a simulação analítica de trajetórias de tensão utilizando o modelo de Alonso, denominado de CRISMUS e foi implementado no progr ama COUPSO o modelo de Alonso. Os parâmetros constitutivos utilizados nas análises correspondem à argila porosa e colapsível, típica do Distrito Federal.

Com base nas análises realizadas, considerando o modelo elástico incremental de Fredlund, verifica-se que com a aplicação de coeficientes de anisotropia variáveis o comportamento do solo em trajetórias de molhagem é melhor reproduzido, quando comparado à utilização de coeficientes constantes.

Em relação às simulações utilizando o modelo de Alonso, verifica-se, utilizando o programa CRISMUS, que as deformações axiais e radiais são muito influenciadas pela utilização da lei de fluxo associada ou da lei de fluxo não associada proposta originalmente.

Observa-se que, para a trajetória simulada, utilizando uma le i de fluxo associada o

comportamento do solo é melhor reproduzido. As simulações numéricas utilizando o modelo

de Alonso evidenciaram a necessidade de maiores investigações, em relação aos

procedimentos numéricos.

ABSTRACT

This work deals with the numerical modelling for the mechanical behaviour of unsaturated soils and the analysis of the performance of Fredlund’s elastic incremental and Alonso’s critical state constitutive models for unsaturated soils. Analytical and numerical modelling, by us ing back-analyses of oedometer tests were performed on collapsing soils under wetting paths. A computer code, named CRISMUS, based on Alonso’s critical state model was developed. The subroutines of this code were added into the finite element program COUPSO. Back analyses of oedometer tests were performed by using experimental results on a typical natural collapsing soil of the Federal District.

In terms of Fredlund’s elastic incremental modelling, is shown that the use of variable anisotropic stress induced coefficients produces better results as compared to using constant values, when simulating wetting stress paths.

In terms of Alonso’s model, it is verified, by using the code CRISMUS, that the radial

and axial strains do suffer a strong influence of the flow law adopted. A better reproduction of

the experimentally observed behaviour is obtained when using an associated flow law, for the

stress path reproduced. The use of numerical modelling to reproduce soil behaviour, by using

Alonso’s model, has shown the need of additional research on numerical procedures.

ÍNDICE

1 INTRODUÇÃO... 1

1.1 RELEVÂNCIA DA PESQUISA... 1

1.2 OBJETIVOS DA DISSERTAÇÃO ... 2

1.3 ORGANIZAÇÃO DA DISSERTAÇÃO ... 3

2 FUNDAMENTOS TEÓRICOS E REVISÃO BIBLIOGRÁFICA... 4

2.1 CONCEITOS BÁSICOS PARA SOLOS NÃO SATURADOS... 4

2.1.1 VARIÁVEIS DE TENSÃO PARA SOLOS NÃO SATURADOS... 4

2.1.2 RESISTÊNCIA AO CISALHAMENTO DE SOLOS NÃO SATURADOS... 6

2.2 MODELOS PARA A ESTRUTURA DOS SOLOS NÃO SATURADOS... 7

2.2.1 MODELO ELÁSTICO INCREMENTAL DE FREDLUND (1979)...7

2.2.1.1 MODIFICAÇÕES PROPOSTAS POR PEREIRA (1996)... 10

2.2.2 GENERALIDADES DA RELAÇÃO CONSTITUTIVA ELASTOPLÁSTICA... 14

2.2.3 MODELO DE ESTADOS CRÍTICOS DE ALONSO ET AL. (1990)...18

2.2.4 MODELO DE ESTADOS CRÍTICOS DE BALMACEDA (1991)... 24

2.2.5 OUTROS ESTUDOS EM TORNO DE MODELOS DE ESTADOS CRÏTICOS...27

2.3 MODELOS CONSTITUTIVOS PARA AS FASES ÁGUA E AR...30

2.3.1 LEIS DE MOVIMENTO... 31

2.3.2 VARIAÇÃO VOLUMÉTRICA...33

2.4 RESUMO... 34

3 MODELAGEM MECÂNICA E NUMÉRICA ...36

3.1 DESCRIÇÃO GERAL DA MODELAGEM E HIPÓTESES BÁSICAS ADOTADAS....36

3.2 EQUAÇÕES BÁSICAS QUE REGEM A MECÂNICA DO PROBLEMA...38

3.2.1 EQUAÇÕES EM COORDENADAS CARTESIANAS...38

3.2.2 EQUAÇÕES EM COORDENADAS CILÍNDRICAS... 40

3.3 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS FINAIS DO PROBLEMA...42

3.3.1 EQUAÇÕES PARA A CONDIÇÃO DE DEFORMAÇÕES PLANAS... 42

3.3.2 EQUAÇÕES PARA A CONDIÇÃO AXISSIMÉTRICA... 44

3.4 SOLUÇÃO NUMÉRICA DAS EQUAÇÕES... 45

3.4.1 DISCRETIZAÇÃO ESPACIAL PARA A CONDIÇÃO

DE DEFORMAÇÕES PLANAS... 46

3.4.2 DISCRETIZAÇÃO ESPACIAL PARA A CONDIÇÃO AXISSIMÉTRICA... 48

3.4.3 DISCRETIZAÇÃO TEMPORAL DAS EQUAÇÕES... 49

3.5 SOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES CONSIDERANDO A NÃO-LINEARIDADE FISÍCA.. 51

3.6 RESUMO... 54

4 IMPLEMENTAÇÃO DO PROGRAMA CRISMUS E DA NOVA VERSÃO DO PROGRAMA COUPSO E VALIDAÇÕES... 55

4.1 PROGRAMA CRISMUS... 55

4.1.1 DESCRIÇÃO GERAL DO PROGRAMA... 55

4.1.2 VALIDAÇÃO DO PROGRAMA CRISMUS... 59

4.1.2.1 SIMULAÇÃO DE UMA TRAJETÓRIA COM O DESENVOLVIMENTO DE TENSÕES CISALHANTES... 59

4.1.2.2 SIMULAÇÃO DE TRAJETÓRIAS DE MOLHAGEM SOB TENSÕES TOTAIS LÍQUIDAS DIFERENTES... 61

4.1.2.3 SIMULAÇÃO DE TRAJETÓRIAS DE AUMENTO DA TENSÃO TOTAL LÍQUIDA MÉDIA SOB DIFERENTES SUCÇÕES... 62

4.1.2.4 SIMULAÇÃO DE UMA TRAJETÓRIA COM ESCOAMENTO DEVIDO A AUMENTO DE SUCÇÃO... 63

4.2 PROGRAMA COUPSO... 64

4.2.1 DESCRIÇÃO GERAL DO PROGRAMA... 64

4.2.2 ORGANIZAÇÃO DO PROGRAMA... 65

4.2.3 APLICAÇÃO DO NEWTON-RAPHSON NA INTEGRAÇÃO DA RELAÇÃO CONSTITUTIVA DE ESTADOS CRÍTICOS... 70

4.2.4 VALIDAÇÃO DO PROGRAMA COUPSO... 73

4.2.4.1 SIMULAÇÃO DE ADENSAMENTO COM CONFINAMENTO LATERAL... 73

4.2.4.2 SIMULAÇÃO DE CARREGAMENTO UNIFORME COM CONFINAMENTO LATERAL...76

4.3 RESUMO... 77

5 SIMULAÇÃO NUMÉRICA DE ENSAIOS OEDOMÉTRICOS... 78

5.1 INTRODUÇÃO... 78

5.2 RESULTADOS EXPERIMENTAIS DE PEIXOTO (1999) E SUPERFÍCIES AJUSTADAS AOS RESULTADOS... 79

5.2.1 SUPERFÍCIE DE ESTADOS DE ÍNDICE DE VAZIOS... 79

5.2.2 SUPERFÍCIE DE ESTADOS PARA GRAU DE SATURAÇÃO... 81

5.2.3 SUPERFÍCIE DE ESTADOS PARA CONDUTIVIDADE HIDRÁULICA... 82

5.2.4 SUPERFÍCIE DE VARIAÇÃO DO COEFICIENTE DE POISSON... 84

5.2.5 EVOLUÇÃO DAS TENSÕES HORIZONTAIS DURANTE A MOLHAGEM... 85

5.3 TRAJETÓRIA DE TENSÕES SIMULADA, GEOMETRIA DO PROBLEMA E DETALHES DA SOLUÇÃO NUMÉRICA... 86

5.4 SIMULAÇÃO DE ENSAIOS OEDOMÉTRICOS DE MOLHAGEM UTILIZANDO O MODELO ELÁSTICO INCREMENTAL... 88

5.4.1 CONSIDERAÇÕES PRELIMINARES... 88

5.4.2 RESULTADO DAS SIMULAÇÕES NUMÉRICAS UTILIZANDO O MODELO ELÁSTICO INCREMENTAL... 90

5.5 SIMULAÇÕES DE ENSAIOS OEDOMÉTRICOS DE MOLHAGEM UTILIZANDO O MODELO DE ALONSO ET AL. (1990)... 95

5.5.1 CONSIDERAÇÕES PRELIMINARES...95

5.5.2 ANÁLISES PARAMÉTRICAS DE φ‘ e k... 97

5.5.2.1 ANÁLISES PARAMÉTRICAS VARIANDO k... 98

5.5.2.2 ANÁLISES PARAMÉTRICAS VARIANDO φ‘... 99

5.5.3 RESULTADO DAS SIMULAÇÕES NUMÉRICAS UTILIZANDO O MODELO DE ALONSO ET AL. (1990)...101

5.6 RESUMO... 103

6 CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA PESQUISAS FUTURAS...105

6.1 CONCLUSÕES...105

6.2 SUGESTÕES PARA PESQUISAS FUTURAS... 107

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS... 109

A. TERMOS DA RELAÇÃO ELASTOPLÁSTICA PARA O MODELO DE ALONSO ET AL. (1990)... 113

B. SOLUÇÃO POR ELEMENTOS FINITOS DAS EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO E FLUXO... 120

B.1 CASO DE DEFORMAÇÕES PLANAS EM COORDENADAS CARTESIANAS... 120

B.2 CASO AXISSIMÉTRICO EM COORDENADAS CILÍNDRICAS... 123

LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1 – Superfície de estado de variação volumétrica da estrutura do solo... 9

Figura 2.2 – Deformações em trajetórias de redução da sucção... 11

Figura 2.3 – Variação do coeficiente de Poisson adotada por Pereira (1996)... 13

Figura 2.4 – Gráficos de compressibilidade em relação às variações da tensão média p... 18

Figura 2.5 – Gráficos de compressibilidade em relação às variações de sucção mátrica s...19

Figura 2.6 – Influência do parâmetro β na forma da curva de variação de λ(s)... 20

Figura 2.7 – Superfícies de escoamento para o modelo de Alonso et al. (1990) e algumas trajetórias de tensão... 21

Figura 2.8 – Forma de evolução da superfície LC para o modelo de Alonso et al. (1990)... 22

Figura 2.9 – Forma de evolução da superfície LC para o modelo de Balmaceda (1991)... 26

Figura 2.10 – Curva de variação da condutividade hidráulica com as variáveis de tensão... 32

Figura 2.11 – Superfície de estado de variação volumétrica da estrutura do solo... 33

Figura 3.1 – Sistema de coordenadas cartesianas... 39

Figura 3.2 – Sistema de coordenadas cilíndricas... 40

Figura 3.3 – Método de Newton-Raphson... 53

Figura 4.1 – Simulação 1: (a) trajetória de tensões no espaço p:q; (b) tensões desviatórias por deformações cisalhantes; (c) volume específico por tensão total média; (d) volume específico por deformação cisalhante...60

Figura 4.2 – Simulação 2: (a) trajetórias de tensão; (b) volume específico : tensão total média... 62

Figura 4.3 – Simulação 3: (a) trajetórias de tensão; (b) volume específico : tensão total média... 62

Figura 4.4 – Simulação 4: (a) trajetórias de tensão; (b) volume específico : tensão total média... 63

Figura 4.5 – Fluxograma do programa COUPSO... 69

Figura 4.6 – Problema de adensamento para uma camada de solo homogênea e saturada... 74

Figura 4.7 – Distribuição de excesso de pressão de água no caso de adensamento

unidimensional de uma camada de solo saturado e homogêneo... 75

Figura 4.8 – Variação do índice de vazios com a tensão efetiva durante o adensamento...75

Figura 4.9 – Problema de carregamento uniforme e infinito... 76

Figura 4.10 – Variação do índice de vazios com a tensão efetiva durante o carregamento...76

Figura 5.1 – Dados experimentais de compressibilidade da estrutura do solo (Peixoto, 1999) e curvas ajustadas: (a) índice de vazios por tensão total líquida média sob várias sucções; (b) volume específico por logaritmo natural da tensão total líquida média para várias sucções... 79

Figura 5.2 – Curvas de compressibilidade da estrutura do solo ajustadas aos resultados de Peixoto (1999): (a) índice de vazios por sucção para várias tensões totais líquidas médias; (b) volume específico por logaritmo natural da sucção para várias tensões totais líquidas médias... 80

Figura 5.3 – Curva característica para os resultados de Peixoto (1999)... 82

Figura 5.4 – Curvas arbitradas de condutividade hidráulica para o solo estudado por Peixoto (1999): (a) curvas de condutividade hidráulica em função do logaritmo da sucção; (b) curvas de condutividade hidráulica em função da sucção... 83

Figura 5.5 – Superfície de variação do coeficiente de Poisson... 84

Figura 5.6 – Variação das tensões horizontais obtidas por Peixoto (1999) e curvas ajustadas: (a) tensões horizontais líquidas por tensões verticais líquidas para várias sucções; (b) tensões horizontais líquidas por sucção para várias tensões verticais líquidas... 85

Figura 5.7 – Geometria e malha do ensaio oedométrico...86

Figura 5.8 – Avanço típico da molhagem nas simulações... 87

Figura 5.9 – Índice de vazios por sucção... 91

Figura 5.10 – Índice de vazios por tensão total líquida média... 91

Figura 5.11 – Tensão horizontal por sucção... 92

Figura 5.12 – Coeficiente de anisotropia horizontal por sucção... 92

Figura 5.13 – Segundo invariante do tensor desviatório de tensões totais líquidas por sucção... 93

Figura 5.14 – Trajetórias de tensão total líquida... 94

Figura 5.15 – Ajuste da superfície LC aos resultados de Peixoto (1999): (a) variação de λ (s); (b) superfície LC... 96

Figura 5.16 – Superfícies de escoamento variando a taxa de ganho de coesão com a

sucção, k... 97

Figura 5.17 – Superfícies de escoamento variando o ângulo de atrito, φ ’... 97 Figura 5.18 – Deformações para vários valores de k, considerando lei de fluxo associada:

(a) deformações específicas em x e y; (b) variação do índice de vazios... 99 Figura 5.19 – Deformações para vários valores de k, considerando lei de fluxo não associada:

(a) deformações específicas em x e y; (b) variação do índice de vazios... 99 Figura 5.20 – Deformações para vários valores de φ ’, considerando lei de fluxo associada: (a) deformações específicas em x e y; (b) variação do índice de vazios...100 Figura 5.21 – Deformações para vários valores de φ’, considerando lei de fluxo não associada:

(a) deformações específicas em x e y; (b) variação do índice de vazios... 100

Figura 5.22 – Índice de vazios por sucção... 102

Figura 5.23 – Tensão horizontal líquida por sucção... 102

LISTA DE TABELAS

Tabela 4.1 – Dados de entrada do programa CRISMUS... 56

Tabela 4.2 – Parâmetros utilizados na simulação 1... 60

Tabela 4.3 – Parâmetros utilizados nas simulações 2, 3 e 4... 61

LISTA DE SÍMBOLOS, NOMENCLATURA E ABREVIAÇÕES

A Módulo plástico

A Matriz do modelo numérico final A

Módulo plástico crítico

B Matriz do modelo numérico final

b

, b

, b

Forças de massa nas direções x, y e z respectivamente b

, b

, b

Forças de massa nas direções r, y e θ respectivamente

c’ Coesão

c

Coeficiente de adensamento CW Matriz de acoplamento

CW

, CW

Sub- matrizes da matriz de acoplamento

d Incremento

D Matriz constitutiva que relaciona tensões totais líquidas com deformação D

, D

, D

,

D

, D

, D

, D

, D

, D

Termos da matriz constitutiva que relaciona tensões totais líquidas com deformação

dυ

Variação elástica de volume específico devido à variação de tensão total dυ

Variação elástica de volume específico devido à variação de sucção dυ

Variação plástica de volume específico devido à variação de tensão total dυ

Variação plástica de volume específico devido à variação de sucção D

Matriz constitutiva elástica que relaciona tensões totais líquidas com

deformação

D

Matriz constitutiva elastoplástica que relaciona tensões totais líquidas com deformação

DK Matriz de rigidez DK

, DK

,

DK

, DK

Sub- matrizes da matriz de rigidez du

Pressão de água desequilibrada

e Índice de vazios

e Erro

E Módulo de Young

e

Índice de vazios inicial et al. et alli (e outros)

etc. et cetera (e assim por diante)

F Vetor de força relacionado com a estrutura do solo F Superfície de escoamento

F

Superfície de escoamento LC F

Superfície de escoamento SI

FW Vetor de força relacionado com a fase água

G Módulo cisalhante

G

Potencial plástico relacionado com escoamento pela superfície LC G

Potencial plástico relacionado com escoamento pela superfície SI g(θ) Inclinação da linha de estados críticos

H Módulo elástico para variações de sucção

H Vetor constitutivo que relaciona deformações com sucção

h

, h

, h

Termos do vetor constitutivo que relaciona tensões totais líquidas e sucção H

, H

, H

Termos do vetor constitutivo que relaciona deformações com sucção h

Vetor constitutivo elástico que relaciona tensões totais líquidas com sucção H

Vetor constitutivo elástico que relaciona deformações com sucção

h

Vetor constitutivo elastoplástica que relaciona tensões totais líquidas com sucção

H

Vetor constitutivo plástico que relaciona deformações com sucção H

Vetor de termos constitutivos que relacionam deformações com sucção HW Matriz de massa de água

J Segundo invariante do tensor de tensões totais líquidas desviatórias J

Termo auxiliar do terceiro invariante do tensor de tensões totais líquidas

desviatórias

k Taxa de ganho de resistência ao cisalhamento com o aumento de sucção k kilo (x 10

)

K

Coeficiente de empuxo em repouso k

Condutividade hidráulica

k

, k

, k

Condutividade da fase ar, nas direções r, y e θ respectivamente k

, k

, k

Condutividade da fase água, nas direções r, y e θ respectivamente k

, k

, k

Condutividade da fase ar, nas direções x, y e z respectivamente

k

, k

, k

Condutividade da fase água, nas direções x, y e z respectivamente LC Superfície de escoamento para carga e molhagem, “Loading Colapse”

m Metro

m Função auxiliar do modelo de Balmaceda (1991)

MHz Mega Hertz

Mb Mega Bites

m

Compressibilidade da estrutura do solo em relação à variações de tensões totais líquidas

m

Compressibilidade da fase água em relação à variações de tensões totais líquidas

m

Compressibilidade da estrutura do solo em relação à variações de sucção m

Compressibilidade da fase água em relação à variações de sucção

n Porosidade

N Newton

p Primeiro invariante do tensor de tensões totais líquidas desviatórias p Tensão total líquida média

p

Tensão total líquida média de escoamento em trajetórias isotrópicas de tensão para sução s

p

Tensão total líquida média de escoamento em trajetórias isotrópicas de tensão para sução nula

Pa Pascais

p

Pressão atmosférica

p

Tensão média de referência

p

Parâmetro de ajuste da superfície LC pp. entre páginas

p(s) Tensão total líquida média de escoamento em trajetórias isotrópicas de tensão para sução s

p

máx

Tensão total líquida média para a qual tem-se máximo colapso em trajetória de molhagem

q Segundo invariante do tensor de tensões totais líquidas desviatórias para condições axissimétricas de tensão ( σ

= σ

)

r Coordenada na direção r

r Parâmetro de ajuste de λ(s)

RAM “Random access memory”, memória de acesso aleatório

s Sucção

s

Sucção que delimita o domínio elástico para aumentos de sucção SI Superfície de escoamento para aumento de sucção, “Suction Increase”

SMOB Razão entre a resistência ao cisalhamento mobilizada e a disponível Sr Grau de saturação

t Tensão de superfície

t Variável tempo

tol Tolerância para convergência do método Newton-Raphson TW Matriz de condutância

u Deslocamento na direção x u Deslocamento na direção r

u & Taxa de deslocamento com o tempo na direção x

u & Taxa de deslocamento com o tempo na direção r

u

Pressão de ar

u

Pressão de ar inicial u

u

Sucção

u

Pressão de água

u &

Taxa de variação da pressão de água com o tempo

u

Pressão de água inicial v Deslocamento na direção y

v & Taxa de deslocamento com o tempo na direção y

V

Volume total inicial

V

Volume de ar

v

, v

, v

Velocidades do ar no sentido da lei de Darcy, nas direções r, y e θ respectivamente

v

, v

, v

Velocidades da água no sentido da lei de Darcy, nas direções r, y e θ respectivamente

V

Volume de vazios

v

, v

, v

Velocidades do ar no sentido da lei de Darcy, nas direções x, y e z respectivamente

v

, v

, v

Velocidades da água no sentido da lei de Darcy, nas direções x, y e z

respectivamente

V

Volume de água

w Umidade

w Deslocamento na direção z w Deslocamento na direção θ w

, w

, w

Funções peso

w Vetor de incógnitas do modelo numérico WK Matriz de acoplamento

WK

, WK

Sub- matrizes da matriz de acoplamento x Coordenada na direção x

y Coordenada na direção y

y Elevação

z Coordenada na direção z

α Tamanho do incremento de tensões

α Parâmetro do modelo de Balmaceda (1991) β Tamanho do incremento de tensões corrigido β Inclinação da superfície do maciço

β Parâmetro de ajuste da variação de λ(s) β Compressibilidade da fase ar

β

, β

, β

Parâmetros constitutivos de acoplame nto entre equilíbrio e fluxo para a formulação em coordenadas cilíndricas

β

, β

, β

Parâmetros constitutivos de acoplamento entre equilíbrio e fluxo para a formulação em coordenadas cartesianas

χ Parâmetro constitutivo da equação de Bishop

χ

, χ

, χ

Coeficientes de anisotropia nas direções x, y e z respectivamente

∆t Variação de tempo

∆ε

máx

Máxima Deformação volumétrica possível em trajetória de molhagem ε

Vetor de deformações

e

ε

Vetor de deformações elásticas

p

ε

Vetor de deformações plásticas

ε

, ε

, ε

Deformação nas direções r, y e θ respectivamente

ε

Deformação volumétrica

ε

Deformação volumétrica plástica

ε

, ε

, ε

Deformação nas direções x, y e z respectivamente

φ Função interpoladora

φ’ Ângulo de atrito

φ

Ângulo de atrito em relação à sucção γ

Peso específico da fase ar

γ

Deformação cisalhante no plano x, e na direção y γ

Deformação cisalhante no plano x, e na direção z γ

Deformação cisalhante no plano y, e na direção z γ

Peso específico da fase água

Γ Parâmetro de endurecimento

ϕ Número muito pequeno

κ Coeficiente de compressibilidade elástico para variações isotrópicas de tensões totais líquidas

κ

Coeficiente de compressibilidade elástico para variações de sucção

λ Coeficiente de compressibilidade elástoplástico para variações isotrópicas de tensões totais líquidas

Λ Constante de proporcionalidade da lei elastoplástica

λ(0) Coeficiente de compressibilidade elástoplástico para variações isotrópicas de tensões totais líquidas com sucção nula

λ(s) Coeficiente de compressibilidade elástoplástico para variações isotrópicas de tensões totais líquidas com sucção s

λ

Coeficiente de compressibilidade elástoplástico para variações isotrópicas de sucção

µ Coeficiente de Poisson

µ

Coeficiente de Poisson para o solo saturado µ

Coeficiente de Poisson para o solo saturado

µ

Coeficiente de Poisson para o solo com elevada sucção θ Coordenada na direção θ

θ Terceiro invariante do tensor desviatório de tensões totais líquidas

θ Valor utilizado na integração no tempo das equações diferenciais

ρ

Densidade da água

σ Tensão

σ’ Tensão efetiva

*

σ

Vetor de tensões totais líquidas σ

Tensão principal maior

σ

Tensão principal intermediária

σ

Tensão principal menor ou tensão de confinamento σ

Tensão total de confinamento

σ

Tensão total normal no plano de ruptura, na ruptura σ

Tensão total horizontal

σ

Tensão total média

σ

, σ

, σ

Tensões normais totais nas direções r, y e θ respectivamente σ

Tensão total vertical

σ

, σ

, σ

Tensões normais totais nas direções x, y e z respectivamente

σ

, σ

, σ

Tensões normais totais iniciais nas direções x, y e z respectivamente (σ - u

) Tensão total líquida

τ

Tensão cisalhante no plano de ruptura, na ruptura τ

Tensão cisalhante no plano r, e na direção y τ

Tensão cisalhante no plano r, e na direção θ τ

Tensão cisalhante no plano x, e na direção y τ

Tensão cisalhante no plano x, e na direção z τ

Tensão cisalhante no plano y, e na direção z τ

Tensão cisalhante no plano y, e na direção θ

τ

Tensão cisalhante inicial no plano x, e na direção y τ

Tensão cisalhante inicial no plano x, e na direção z τ

Tensão cisalhante inicial no plano y, e na direção z

υ Volume específico

ω Parâmetro de desassociação do modelo de Alonso et al. (1990)

ζ

, ζ

Funções auxiliares do modelo de Balmaceda (1991)

CAPÍTULO 1

INTRODUÇÃO

1.1 RELEVÂNCIA DA PESQUISA

Nos últimos anos tem crescido muito o interesse pelo estudo de solos não saturados em todo o mundo. A importância econômica dos problemas geotécnicos que envolvem solos colapsíveis e solos expansivos, que são por natureza materiais não saturados, justifica o aprofundamento das pesquisas em torno desses solos. Tem-se, por exemplo, que um dos problemas mais importantes envolvendo solos não saturados no Distrito Federal e em outras regiões do país refere-se à execução de obras de engenharia que envolvem solos colapsíveis.

Estes solos sofrem considerável e brusca redução de volume e de resistência ao cisalhamento, quando submetidos a determinadas variações em seu estado de tensões, como por exemplo, em trajetórias de molhagem (redução de sucção), sob certa faixa de tensões.

O entendimento do comportamento mecânico dos solos não saturados requer o desenvolvimento e aprimoramento de recursos experimentais específicos para esses materiais e avanços em outras duas direções. A primeira consiste na elaboração de modelagens constitutivas que reproduzam, de forma adequada, observações experimentais. A segunda compreende a implementação das modelagens constitutivas em soluções numéricas, permitindo a aplicação desses modelos em problemas de valor de contorno e valor inicial.

Baseadas na utilização de duas variáveis de tensão, foram apresentadas diversas modelagens constitutivas para a compressibilidade e resistência da estrutura de solos não saturados. A mais simples consiste na modelagem elástica incremental baseada na superfície de estado de índice de vazios (Matyas & Radhakrishna, 1968 e Fredlund, 1979), combinada com um critério de ruptura que consiste na extensão do critério de Mohr-Coulomb (Fredlund et al., 1978). Como avanços mais recentes, tem-se as pesquisas em torno da extensão dos conceitos de estados críticos para solos não saturados, destacando-se o trabalho de Alonso et al. (1990).

Lawton et al. (1991) e Pereira (1996) verificaram, para solos colapsíveis em trajetórias de molhagem, que a relação entre as variáveis de tensão e as deformações é anisotrópica.

Apesar dos modelos constitutivos elástico incremental e de estados críticos citados se

proporem a reproduzir o comportamento de solos não saturados, não se sabe até que ponto o

comportamento anisotrópico observado para solos colapsíveis, em trajetória de molhagem,

pode ser reproduzido por essas modelagens. Assim, torna-se necessária uma investigação em relação à tais aspectos dos modelos.

A avaliação da performa nce desses modelos em simulações numéricas de ensaios de laboratório pode ser uma grande contribuição no sentido de aferir a resposta desses modelos em tais situações, onde é conhecida a resposta correta que as análises devem reproduzir.

Realizando este tipo de análise, pode-se determinar como esses modelos simulam o comportamento do solo e quais suas qualidades e limitações. Além disso, com a implementação desses modelos em soluções numéricas, possibilita-se futuras simulações de problemas de campo.

1.2 OBJETIVOS DA DISSERTAÇÃO

Inserido no contexto apresentado, este trabalho tem dois objetivos principais:

• Implementar modelos constitutivos para solos não saturados em um programa que permita a solução numérica de problemas de contorno e valor inicial;

• Ana lisar a performance, em trajetórias de molhagem, do modelo elástico incremental e do modelo de Alonso et al. (1990), por meio de simulações analíticas de trajetórias de molhagem e por meio de simulações numéricas de ensaios oedométricos de molhagem;

O motivo da escolha do modelo de Alonso et al. (1990) deveu-se ao fato desse modelo ser um dos mais referenciados na bibliografia e se tratar de uma proposta de simulação do comportamento de solos colapsíveis pouco ou não expansivos.

Para permitir simulações analíticas de trajetórias de tensão utilizando o modelo de Alonso et al. (1990), foi escrito um programa em linguagem FORTRAN, batizado de CRISMUS (“CRItical State Model for Unsaturated Soil”). Esse programa calcula as deformações produzidas por uma trajetória de tensões imposta qualquer, permitindo a simulação de quaisquer trajetórias de tensões desejadas.

De forma a permitir a simulação numérica de ensaios oedométricos, foi utilizado o

programa de Elementos Finitos COUPSO (Pereira, 1996). Neste programa, que foi

desenvolvido em sua versão original para casos de deformação plana utilizando um modelo

elástico incremental, foi incluído o modelo de estados críticos de Alonso et al. (1990) e foi

feita a extensão para o caso axissimétrico, permitindo análises trid imensionais.

Os ensaios oedométricos com controle de sucção sob trajetórias de molhagem simulados foram baseados nos resultados experimentais de Peixoto (1999). Tratam-se de ensaios realizados em amostras naturais da argila porosa e colapsível, típica do Distrito Federal. Nesses ensaios oedométricos foram feitas medidas das tensões horizontais, o que será fundamental para a análise da performance dos modelos constitutivos.

1.3 ORGANIZAÇÃO DA DISSERTAÇÃO

Esta dissertação é dividida em seis capítulos, da seguinte forma:

• no presente capítulo são apresentados a relevância e os objetivos da pesquisa;

• no Capítulo 2 são apresentados os modelos constitutivos analisados neste trabalho, bem como uma revisão de outras propostas de modelagens constitutivas baseadas na teoria de estados críticos;

• no Capítulo 3 é apresentada a modelagem do comportamento mecânico de solos não saturados e a solução numérica das equações obtidas;

• no Capítulo 4 são apresentados o programa de simulação de trajetórias impostas de tensões CRISMUS e o programa de Elementos Finitos COUPSO, bem como a validação desses programas;

• no Capítulo 5 são apresentadas simulações analíticas utilizando o programa CRISMUS e simulações numéricas de ensaios oedométricos utilizando o programa COUPSO. É apresentada também a análise dos resultados obtidos nessas simulações;

• no Capítulo 6 são apresentadas as conclusões do trabalho, bem com sugestões para pesquisas futuras.

Em relação à simbologia matemática adotada, convencionou-se representar escalares com fonte normal e matrizes e vetores utilizando negrito. Foi feita exceção aos vetores de termos dos tensores de tensões e deformações, que serão representados com os símbolos

σ

e

ε

respectivamente.

CAPÍTULO 2

FUNDAMENTOS TEÓRICOS E REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

Neste capítulo são apresentadas e discutidas algumas propostas existentes na literatura de modelos constitutivos de solos não saturados. São abordadas relações constitutivas para a estrutura do solo, ou seja, modelos para a relação entre tensões e deformações e conceitos envolvidos na modelagem constitutiva das fases ar e água.

Os modelos para as fases ar, água e da estrutura do solo formam o conjunto de relações constitutivas requerido para a modela gem do comportamento mecânico de solos não saturados. Será dada maior atenção à análise de modelos para a relação entre tensões e deformações, principal foco deste trabalho.

Antes da abordagem dos modelos propriamente ditos, será feita uma breve apresentação de alguns conceitos básicos da teoria dos solos não saturados. Será apresentada a discussão em torno da definição de variáveis de tensão adequadas e a modelagem da resistência ao cisalhamento.

2.1 CONCEITOS BÁSICOS PARA SOLOS NÃO SATURADOS

2.1.1 VARIÁVEIS DE TENSÃO PARA SOLOS NÃO SATURADOS

Algumas das primeiras tentativas de explicar o comportamento mecânico de solos não saturados foram apresentadas por Bishop (1959), em relação à resistência ao cisalhamento e Blight (1965) em relação à compressibilidade. A preocupação desses autores era definir uma equação para uma única variável de tensões, que seria a tensão efetiva em solos não saturados.

Assim, seria possível a modelagem do comportamento mecânico de solos não saturados de forma semelhante à que é feita para solos saturados. A equação proposta é conhecida como equação de Bishop:

) (

' = σ − u

+ χ u

− u

σ (2.1)

onde:

χ é um parâmetro constitutivo assumido como função da saturação do solo;

σ é a tensão normal total em qualquer direção;

u

é a pressão de ar;

u

é a pressão de água.

Jennings & Burland (1962) e Burland (1965) mostraram que a equação de tensões efetivas proposta por Bishop não tem completa validade. No caso de solos colapsíveis, por exemplo, essa equação não se adequa bem à modelagem da resistência ao cisalhamento e da mudança de volume. Os autores enfatizaram a importância de separar duas variáveis de tensões: o excesso de tensões totais do solo em relação à pressão de ar, aqui chamado simplesmente de tensões totais líquidas (σ–u

), e o excesso de pressão de ar no solo em relação à pressão de água, ou seja, a sucção mátrica (u

–u

).

Coleman (1962), de forma semelhante, sugeriu o uso das variáveis (σ

–u

), (σ

–u

) e (u

–u

) para representar as tensões axial e confinante e a poro pressão, respectivamente, em ensaios de compressão triaxial. Além disso, Blight (1967), reconhecendo os problemas em relação à equação de Bishop, apontou dificuldades de obtenção do parâmetro χ, principalmente devido às diferentes formas como poderiam ser interpretados os resultados dos ensaios realizados para sua determinação.

Baseados no fato de que para conhecer o estado de um solo não saturado é necessário conhecer o índice de vazios e a umidade w (ou o grau de saturação Sr) e reconhecendo a necessidade de utilizar duas variáveis de tensão, Mathias & Radhakrishna (1968) introduziram o conceito de superfícies de estado. Os autores estabeleceram que o estado de um solo não saturado é completamente descrito por duas superfícies: a superfície que representa a variação do índice de vazios com as variáveis de tensão ( σ–u

) e (u

–u

) e a superfície que representa a variação do grau de saturação com as variáveis de tensão ( σ–u

) e (u

–u

). Os autores ressaltaram também as restrições que a abordagem por superfícies de estado podem ter, no caso de solos que apresentam histerese, limitando a unicidade das superfícies de estado a trajetórias de tensão com grau de saturação não decrescente e a casos em que o solo não apresenta expansão.

Fredlund & Morgenstern (1976, 1977) apresentaram uma teoria geral para solos não

saturados, baseada em uma abordagem do ponto de vista da mecânica do contínuo. O solo não

saturado foi considerado como um sistema composto por quatro fases: ar, água, esqueleto

sólido e película contráctil. Os autores mostraram teórica e experimentalmente que o

comportamento mecânico dos solos não saturados pode ser adequadamente descrito, quando

baseado em qualquer par de variáveis de tensão escolhido utilizando as três variáveis

seguintes: (σ–u

), (σ–u

) e (u

–u

). Na prática, prefere-se trabalhar com (σ–u

) e (σ–u

), pois assim separam-se os efeitos de mudanças na tensão total dos efeitos de mudanças na pressão de água. Foi apontada uma incompatibilidade conceitual em relação à utilização da equação de Bishop, argumentando que a introdução de um parâmetro constitutivo na equação que define tensões efetivas está em desacordo com princípios da mecânica dos meios contínuos.

Após os trabalhos de Mathias & Radhakrishna (1968) e de Fredlund & Morgenstern (1976, 1977), a discussão em torno do estabelecimento de variáveis de tensão adequadas parece ter atingido razoável consenso. A partir daí, a maior parte dos avanços em modelagem constitutiva de solos não saturados seguiu a linha de utilização das variáveis (σ–u

) e (u

–u

).

Todos os modelos estudados neste trabalho, tanto o elástico incremental quanto os modelos de estados críticos, utilizam as variáveis de tensão ( σ–u

) e (u

–u

). A variável de tensão (u

–u

), conhecida como sucção mátrica do solo, será chamada neste trabalho simplesmente de sucção.

2.1.2 RESISTÊNCIA AO CISALHAMENTO DE SOLOS NÃO SATURADOS

Fredlund et al. (1978) apresentaram uma equação para a resistência ao cisalhamento de solos não saturados baseada nas duas variáveis de tensão, (σ–u

) e (u

–u

):

(

)

(

)

ff

c σ u φ u u φ

τ = ' + − tan ' + − tan (2.2)

onde:

τ

é a tensão cisalhante no plano de ruptura, na ruptura;

c’ é o intercepto da envoltória de ruptura com o eixo de tensões cisalhantes, para o solo na condição saturada;

(σ

– u

)

é a tensão total líquida normal ao plano de ruptura, na ruptura;

φ ’ é o ângulo de atrito interno associado com a variável de tensão ( σ –u

);

(u

– u

)

é a sucção mátrica na ruptura;

φ

é o ângulo que indica a taxa de aumento de τ

com a variável de tensão (u

–u

).

Evidências experimentais têm demonstrado que para solos que possuem estrutura

estável, os parâmetros c’ e φ’ são razoavelmente constantes, enquanto que o parâmetro φ

pode ser não constante (Escario & Saez, 1986 e Fredlund, Rahardjo & Gan, 1987). Para solos

altamente colapsíveis, parece ser necessário idealizar um comportamento não linear para os três parâmetros: c’, φ ’ e φ

(Pereira, 1996).

A idéia implícita na equação proposta por Fredlund et al. (1978), de que a resistência ao cisalhamento pode ser representada pelos parâmetros c’, φ’ e φ

, quer constantes ou não, permite uma modelagem adequada da resistência ao cisalhamento de solos não saturados. Por esse motivo esta proposta tem grande aceitação.

2.2 MODELOS PARA A ESTRUTURA DOS SOLOS NÃO SATURADOS

Neste item são apresentados modelos para a estrutura dos solos não saturados. Todos os modelos apresentados neste item seguem a linha de utilização das duas variáveis de tensão ( σ –u

) e ( u

–u

). Serão apresentados em detalhe o modelo elástico incremental de Fredlund (1979) e os modelos de estados críticos de Alonso et al. (1990) e de Balmaceda (1991).

Após a apresentação dos três modelos citados, será feito um breve relato de outros estudos em torno de modelos de estados críticos para solos não saturados, dando uma visão geral de quão validados têm sido esses modelos e mostrando que tipos de aperfeiçoamentos têm sido propostos.

2.2.1 MODELO ELÁSTICO INCREMENTAL DE FREDLUND (1979)

Fredlund (1979) sugeriu uma relação constitutiva elástica, baseada em observações semi-empíricas. Trata-se da equação de Hooke generalizada, estendida para o caso de solos não saturados por meio da utilização de duas variáveis de tensão: (σ–u

) e (u

–u

). No caso de um solo isotrópico tem-se:

) (

) (

)

(

x

d u u

u H E d

u E d

d = − − + − + 1 −

1 2

σ µ σ

σ

ε (2.3)

) (

) (

)

(

y

d u u

u H E d

u E d

d = − − + − + 1 −

1 σ µ σ σ 2

ε (2.4)

) (

) (

)

(

z

d u u

u H E d

u E d

d = − − + − + 1 −

1 σ µ σ σ 2

ε (2.5)

onde:

dε

são incrementos de deformações normais nas direções i;

dσ

são incrementos de tensões normais nas direções i;

E é o módulo de Young;

µ é o coeficiente de Poisson;

H é o módulo de elasticidade para variações de sucção.

As relações entre tensões e deformações cisalhantes são admitidas independentes do estado das fases ar e água, assim como é feito para solos saturados. Desta forma, tem-se:

xy

xy

d

d γ G 1 τ

= (2.6)

xz

xz

d

d γ G 1 τ

= (2.7)

yz

yz

d

d γ = G 1 τ (2.8)

onde:

dγ

são incrementos de deformações cisalhantes nos planos cuja normal é i e nas direções j;

dτ

são incrementos de tensões cisalhantes nos planos cuja normal é i e nas direções j;

G é o módulo cisalhante ( G = E 2 ( 1 − µ ) ).

Reconhecendo que a relação entre tensões e deformações de solos não saturados pode ser não linear, admite-se que as Eqs. 2.3 a 2.8 são válidas apenas para pequenos incrementos.

Os parâmetros da relação entre tensões e deformações podem ser obtidos por meio da superfície de estado de índice de vazios, ou equivalentemente por meio da superfície de estado de variação volumétrica (Fig. 2.1). Pode-se modelar a variação volumétrica do solo simulando os carregamentos em pequenos incrementos, onde para cada incremento tem-se novos módulos, que variam conforme caminha-se sobre a superfície de estados de índice de vazios.

Para relacionar os parâmetros das Eqs. 2.3, 2.4 e 2.5 com a superfície de estado de

índice de vazios, primeiramente deve-se observar que partindo de um ponto qualquer sobre a

superfície (Fig. 2.1), tem-se que a variação volumétrica é função das inclinações nas direções

de ( σ–u

) e ( u

–u

). Essas inclinações representam os parâmetros de compressibilidade do

solo em relação à tensão total líquida e em relação à sucção. Os parâmetros de

compressibilidade são definidos de acordo com as Eqs. 2.9 e 2.10:

) (

)

(

s v

u d

de e

u d

m d

−

= +

= −

σ σ

ε

0

1

1

1 (2.9)

) (

)

(

s v

u u d

de e

u u d m d

−

= +

= −

0

2

1

ε 1

(2.10)

onde:

m

representa a compressibilidade da estrutura do solo em relação a variações de tensões totais líquidas;

m

representa a compressibilidade da estrutura do solo em relação a variações de sucção;

d representa incremento;

ε

é a deformação volumétrica específica (ε

= ε

+ ε

+ ε

);

σ

é a tensão normal total média ( σ

= ( σ

+ σ

+ σ

) 3 );

e

é o índice de vazios inicial;

de é a variação de índice de vazios.

m1s

m2s

(ua - uw)

(σméd - ua)

∆Vv / V0

Figura 2.1 – Superfície de estado de variação volumétrica da estrutura do solo.

Por outro lado, das relações elásticas (Eqs. 2.3, 2.4 e 2.5), tem-se que:

) (

)

(

v

v

d u u

u H E d

V d

dV  − + −



 



=  −

= 1 2 3

3

0

µ σ

ε (2.11)

Comparando a Eq. 2.11 com as Eqs. 2.9 e 2.10, obtém-se as relações entre as compressibilidades, os módulos de elasticidade (E e H) e o coeficiente de Poisson ( µ ):

m

3 ( 1 E 2 µ )

1

= − (2.12)

m

H 3

2

= (2.13)

Pode-se observar que a Eq. 2.12 é insuficiente para a obtenção dos módulos requeridos pela relação elástica. Uma opção é arbitrar um valor constante para o coeficiente de Poisson e, juntamente com o valor de m

, calcular o módulo E. No entanto, nos casos em que as variações de µ são grandes, como no caso de solos que sofrem mudança em sua estrutura (solos colapsíveis, por exemplo), este tipo de simplificação pode ser inadequado, pois a avaliação correta da variação de µ passa a ser mais importante. Para obter a variação de µ são necessários ensaios nos quais se tenha controle das tensões e deformações em todas as direções, como ensaios triaxiais com medidas de deformações radiais ou ensaios oedométricos com medidas de tensões horizontais.

2.2.1.1 MODIFICAÇÕES PROPOSTAS POR PEREIRA (1996)

Uma interessante aplicação do modelo incremental de Fredlund (1979) foi apresentada por Pereira (1996). Analisou-se o comportamento mecânico de barragens de terra colapsíveis durante o primeiro enchimento do reservatório. O solo utilizado foi uma areia argilosa residual de gnaisse compactada com um teor de umidade abaixo da umidade ótima e com massa específica seca em torno de 90% da obtida com a energia de compactação do Proctor normal. Como tratava-se da análise do primeiro enchimento de barragens, o problema estudado consistia do estudo de trajetórias monotônicas de molhagem. Os parâmetros da modelagem da estrutura do solo foram provenientes de uma superfície de estado de índice de vazios obtida para trajetórias de molhagem em ensaios em uma célula de compressão isotrópica com controle de sucção. Esses resultados foram combinados com dados de ensaios oedométricos e retroanálises numéricas.

Pereira (1996) propôs uma modificação do modelo elástico incremental de Fredlund,

baseado em seus resultados experimentais e em observações de Lawton et al. (1991), de que

sob trajetórias de molhagem o colapso volumétrico do solo é uma função da tensão total

média. Lawton et al. (1991) observou também que pode ocorrer compressão nas direções submetidas às maiores tensões totais líquidas e expansão nas direções submetidas às menores tensões totais líquidas. Em outras palavras, foi observada uma anisotropia induzida pelo estado de tensões, em trajetórias de molhagem (Fig. 2.2).

O mesmo padrão de comportamento de solos colapsíveis submetidos à trajetórias de molhagem foi observado por Daylac (1994), Oliveira (1998) e Peixoto (1999). Estes autores, utilizando células oedométricas com controle de sucção e instrumentação para a obtenção das tensões laterais, obtiveram aumento do valor da razão K

= ( σ

− u

) ( σ

− u

) com a redução da sucção, o que tem o mesmo significado físico dos resultados de Lawton et al. (1991).

σx

σy

σx = σy

σx

σy

σx < σy

Figura 2.2 – Deformações em trajetórias de redução da sucção.

Para modelar a anisotropia induzida pelo estado de tensões, a modificação introduzida por Pereira (1996) consistiu em uma alteração nos módulos H, da seguinte forma:

) (

) (

)

(

x

d u u

u H E d

u E d

d  −



 

 +  +

− +

−

−

= σ µ σ σ χ

ε 1

1 2

(2.14)

) (

) (

)

(

y

d u u

u H E d

u E d

d   −

  + +

− +

−

−

= χ

σ µ σ

σ

ε 1

1 2

(2.15)

) (

) (

)

(

z

d u u

u H E d

u E d

d  −



 

 +  +

− +

−

−

= σ µ σ σ χ

ε 1

1 2

(2.16)

onde χ

são os fatores de anisotropia.

É necessário que os fatores χ

sejam tais que se tenha χ

+χ

+χ

= 0. Assim, garante- se que o efeito da inclusão dos fatores de anisotropia não altere a deformação volumétrica, ocorrendo mudança apenas nas componentes de deformações individuais.

Na falta dos dados experimentais necessários (medidas de tensões e deformações