JULIANA CAROLINE NEVES DE ARAÚJO
ANÁLISE DO PROCEDIMENTO DA NBR 6118/2014 PARA O CÁLCULO DE DESLOCAMENTOS DE VIGAS
NATAL-RN 2017
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
Juliana Caroline Neves de Araújo
Análise do procedimento da NBR 6118/2014 para o cálculo de deslocamentos de vigas Trabalho de Conclusão de Curso na modalidade Monografia, submetido ao Departamento de Engenharia Civil da Universidade Federal do Rio Grande do Norte como parte dos requisitos necessários para obtenção do Título de Bacharel em Engenharia Civil.
Orientador: Prof. Dr. Edmilson Lira Madureira
Natal-RN 2017
Universidade Federal do Rio Grande do Norte – UFRN Sistema de Bibliotecas – SISBI
Catalogação da Publicação na Fonte - Biblioteca Central Zila Mamede Araújo, Juliana Caroline Neves de.
Análise do procedimento da NBR 6118/2014 para o cálculo de deslocamentos de vigas / Juliana Caroline Neves de Araújo. - Natal, 2017.
60 f. : il.
Monografia (graduação) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Centro de Tecnologia, Graduação em Engenharia Civil.
Orientador: Edmilson Lira Madureira.
1. Concreto armado - Monografia. 2. Vigas - Monografia. 3.
Deslocamentos - Monografia. 4. Simulação - Monografia. I. Madureira, Edmilson Lira. II. Título.
RN/UFRN/BCZM CDU 624.012.4
Juliana Caroline Neves de Araújo
Análise do procedimento da NBR 6118/2014 para o cálculo de deslocamentos de vigas Trabalho de conclusão de curso na modalidade Monografia, submetido ao Departamento de Engenharia Civil da Universidade Federal do Rio Grande do Norte como parte dos requisitos necessários para obtenção do título de Bacharel em Engenharia Civil.
Aprovado em 27 de novembro de 2017:
___________________________________________________
Prof. Dr. Edmilson Lira Madureira – Orientador
___________________________________________________
Prof. Dr. Marcos Lacerda Almeida – Examinador interno
___________________________________________________
Prof. Dr. Daniel Nelson Maciel – Examinador externo
Natal-RN 2017
Аоs amigos, professores е familiares, pelo incentivo е pelo apoio constantes.
AGRADECIMENTOS
Faz-se necessário agradecer nominalmente àqueles que diretamente ou indiretamente, participaram, de alguma forma, na elaboração deste trabalho. Desta forma, expresso aqui os meus mais sinceros agradecimentos:
Ao meu orientador Edmilson, pela paciência na orientação e incentivo que tornaram possível a conclusão desta monografia.
Aos meus pais, pelo amor, incentivo e apoio incondicional.
A todos que direta ou indiretamente fizeram parte da minha formação.
E acima de tudo, a Deus, por ter me dado força e saúde, família e amigos, e estar sempre ao meu lado.
RESUMO
Análise do procedimento da NBR 6118/2014 para o cálculo de deslocamentos de vigas
Até a década de 1990, a verificação rigorosa de membros estruturais de concreto armado aos limites de deformações excessivas representava tarefa laboriosa, haja vista a complexidade do comportamento mecânico do referido material e a precariedade dos recursos computacionais então disponíveis. Por esta razão, a versão da norma aplicada a projetos de estruturas de concreto armado, a NBR 6118/1982, em vigor até o ano de 2003, apresentava em sua redação critério prático para a estimativa das dimensões da seção transversal de vigas manufaturadas com o referido material que, uma vez atendido, dispensava tal verificação. Apesar do aperfeiçoamento dos métodos aproximados de cálculo e da evolução da computação eletrônica digital, perdurou certo grau de incompatibilidade em sua aplicação direta aos propósitos do projeto estrutural cotidiano, precipuamente, no tocante à análise deformacional. Consta na versão da NBR 6118/2003, recomendação de procedimento simplificado para o cálculo de deslocamentos em elementos estruturais com as características ora abordado, que foi mantida na versão da NBR 6118/2014, atualmente, em vigor. Tal procedimento, baseado na proposta de Branson (1968), prevê a consideração da variação da rigidez à flexão da seção transversal do membro estrutural conforme o estado de tensões solicitantes, tomando-se por referência a relação entre o momento fletor que solicita a seção crítica, e o momento fletor correspondente à fissuração do concreto em tração. O objetivo deste trabalho é a análise da validade da formulação de Branson (1968) para o cálculo de deslocamentos de vigas isostáticas de concreto armado, tomando-se por referência para fins de comparação resultados obtidos mediante o emprego de formulação ortotrópica não-linear em Estado Plano de Tensões, aproximação por elementos finitos e relações constitutivas não lineares para o concreto.
Palavras-chave: Concreto Armado; Vigas; Deslocamentos; Simulação.
ABSTRACT
Title: Analysis of the NBR 6118/2014 procedure for the calculation of beam displacements
Until the 1990s, the strict verification of structural members of reinforced concrete to the limits of excessive deformations represented an arduous task, due to the complexity of the mechanical behavior of the material and the precariousness of the computational resources available at that age. For this reason, the version of the standard applied to projects of reinforced concrete structures, the NBR 6118/1982, which was validated until the year 2003, presented in its text a practical criterion for the estimation of the cross-section dimensions of reinforced concrete beams that, once observed, the verification was dispensed. Despite the improvement of approximate methods of calculation and of the evolution of the digital electronic computation, endure some degree of incompatibility in its direct application to structural design purposes, principally directed, regarding the deformational analysis. The NBR 6118/2003 version includes in its text a simplified procedure recommendation for calculating displacement of structural elements with the characteristics discussed herein, which was maintained in the current version of NBR 6118/2014. This procedure, based on the proposal of Branson (1968), foresees the consideration of the variation of the flexural stiffness of the cross-section of the structural member according to the state of requesting tensions, taking as reference the relation between the bending moment requesting critical section and the bending moment corresponding to the cracking of the concrete in traction. The aim of this work is the validity analysis of the Branson (1968) formulation applied to the reinforced concrete isostatic beams displacements calculation, taking as basis by comparison obtained results from an orthotropic nonlinear formulation in Plane State of stresses, finite element approximation and non-linear constitutive relations for concrete.
Keywords: Reinforced Concrete; Beams; Displacements; Simulation.
ÍNDICE GERAL
CAPÍTULO PÁGINA
1 INTRODUÇÃO
12
1.1 Considerações iniciais
12
1.2 Objetivos
13
1.3 Estrutura do trabalho
13
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
14
2.1 Equação diferencial da linha elástica de vigas
14
2.2 Deslocamento de vigas
16
2.3 Comportamento mecânico do concreto armado
17
2.4 Estado limite de deformações excessivas
20
2.5 Formulação de Branson
20
2.6 Formulação da análise tensão deformação em estado plano de tensões
23
3 METODOLOGIA
27
3.1 Suporte computacional
27
3.2 Validação da consideração de simetria
28
3.3 Modelos analisados
30
4 RESULTADOS E DISCUSSÕES
33
4.1 Comparação com resultados da literatura
33
4.2 Resultados via modelo de Branson e ACNL
34
5 CONCLUSÃO
40
6 REFERÊNCIAS
42
ANEXO I
44
ANEXO II
48
INDICE DE FIGURAS
FIGURA PÁGINA
2.1 Linha elástica de viga fletida 14
2.2 Linha elástica de viga simplesmente apoiada com carga uniformemente distribuída
16
2.3 Curva tensão-deformação do concreto 18
2.4 Curva típica carga-deslocamento para viga de concreto armado em flexão
19
2.5 Seção homogeneizada 21
2.6 Evolução dos fatores de ponderação Fp1 e Fp2 23
2.7 Curva tensão-deformação para o concreto 25
3.1 Elementos finitos: a) Plano Q8; b) barra L3. 27
3.2 Modelo 1 29
3.3 Modelo 2 29
3.4 Modelo 3 29
3.5 Modelo 4 29
3.6 Viga modelo: a) esquema estrutural; e b) seção transversal 31
3.7 Ilustração genérica dos elementos dos casos 1 a 12 32
4.1 Diagramas carga-deslocamento 33
4.2 Distribuição de tensões normais na seção crítica para o caso 9 35
4.3 Evolução da rigidez da seção crítica da viga 36
4.4 Diagrama carga deslocamento para o caso 9 37
4.5 Diagrama carga deslocamento dos casos 1 a 4 38
4.6 Diagrama carga deslocamento dos casos 5 a 8 38
4.7 Diagrama carga deslocamento dos casos 9 a 12 39
INDICE DE TABELAS
TABELA PÁGINA
01 Evolução dos fatores de ponderação Fp1 e Fp2 23
02 Resultados de deslocamentos para os modelos 1 a 4 30
03 Caracterização dos casos estudados 32
I.1 Valores limites de deformações 44
I.2 Resultados de deslocamentos dos casos 1 a 4 para o modelo de Branson 45 I.3 Resultados de deslocamentos dos casos 5 a 8 para o modelo de Branson 45 I.4 Resultados de deslocamentos dos casos 9 a 12 para o modelo de
Branson
46
I.5 Resultados de deslocamentos dos casos 1 a 4 para o software ACNL 46 I.6 Resultados de deslocamentos dos casos 5 a 8 para o software ACNL 47 I.7 Resultados de deslocamentos dos casos 9 a 12 para o software ACNL 47
SIMBOLOGIA
SÍMBOLO SIGNIFICADO
ρ Raio de curvatura
κ Curvatura
x Tensão normal na direção x
cu Tensão normal de compressão de pico
tu Tensão normal de tração de pico
y Distância vertical a partir de linha neutra M Momento fletor atuante
Mr Momento de fissuração da massa do concreto Ma Momento fletor da seção crítica do vão E Módulo de elasticidade longitudinal E0 Módulo de elasticidade longitudinal inicial EC Módulo de deformação longitudinal do concreto ES Módulo de deformação longitudinal do aço ECS Módulo de deformação secante do concreto A Área da seção transversal
Ac Área bruta de concreto AS Área da armadura de tração
I Momento de inércia centroidal da seção transversal IC Momento de inércia da seção bruta de concreto III Momento de inércia da seção no estádio II
Deflexão da viga a partir da posição inicial indeformada L Comprimento do vão livre da viga biapoiada
q Carregamento genérico uniformemente distribuído b Largura da base da seção transversal
d Altura útil da seção transversal fct Resistência à tração do concreto
ft Resistência à tração uniaxial do concreto
Deformação linear
x Deformação linear na direção x
ei Deformação do concreto na direção principal i
eip Deformação de pico do concreto na direção principal i
cu Deformação limite de ruptura do concreto em compressão axial Gf Energia de fraturamento por unidade de área1 – INTRODUÇÃO
1.1 - Considerações Iniciais
O cálculo das deformações de vigas isostáticas mediante os postulados da Mecânica dos Sólidos, em sua versão unidimensional, baseia-se na Equação Diferencial da Linha Elástica, cuja dedução e aplicação restringem-se aos casos nos quais o material constituinte do elemento estrutural é homogêneo e apresenta desempenho mecânico linear elástico, conforme a lei de Hooke. Sua aplicação a vigas de concreto armado é precária, haja vista tratar-se de material heterogêneo e elastoplástico, já a tensões de baixa intensidade.
Esta conjuntura levaria à necessidade de recorrer-se a formulações de cálculo e métodos numéricos aproximados mais sofisticados que até a década de 1990 eram limitados por uma computação eletrônica digital incipiente no âmbito da engenharia civil, no país.
Em face desses entraves, a versão da NBR 6118/1982, em vigor até o ano de 2003, apresentava em sua redação, critério prático para a estimativa das dimensões da seção transversal de vigas de concreto armado que, uma vez observado, dispensava a verificação rigorosa do membro estrutural aos limites de deformações excessivas.
Apesar do aperfeiçoamento dos métodos aproximados de cálculo, a exemplo do modelo ortotrópico não-linear combinados com a Técnica dos Elementos Finitos, e da evolução da computação eletrônica digital, perdurou certo grau de incompatibilidade em sua aplicação direta aos propósitos do projeto estrutural cotidiano, precipuamente, no tocante à análise deformacional.
Assim, diante do panorama ora relatado, as versões da NBR 6118/2003, NBR 6118/2007 e NBR 6118/2014, esta última em vigor atualmente, incluiu em seus corpos textuais recomendação inequívoca referente a procedimento simplificado aplicado ao cálculo de deslocamentos de vigas de concreto armado, com base na proposta atribuída a Branson (1968), que considera o caráter elastoplástico do concreto em compressão e sua fragilidade em tração, a partir da adoção de uma rigidez equivalente à flexão para a seção crítica do membro estrutural.
Em tal modelo a rigidez equivalente à flexão é obtida mediante ponderação envolvendo os momentos de inércia da seção transversal crítica no estádio I e no estádio II, tomando-se por referência para a definição dos fatores de ponderação a relação entre o momento fletor solicitante na seção crítica e o momento fletor correspondente ao início da fissuração do concreto devida às tensões de tração na flexão.
1.2 – Objetivos
O objetivo geral desse trabalho está voltado para a análise da adequabilidade da formulação de Branson (1968) ao cálculo de deslocamentos de vigas isostáticas manufaturadas em concreto armado.
Os objetivos específicos do trabalho consistem em:
a) Desenvolver algoritmo computacional estruturado em C++ sobre a formulação de Branson (1968);
b) Obter resultados de deslocamentos de viga utilizando método de elementos finitos, por meio de programa automático elaborado em linguagem FORTRAN sobre a estrutura de cálculo ortotrópica não-linear em estado plano de tensões;
c) Buscar e analisar métodos presentes na literatura para o cálculo de deformação de vigas e utilizá-los para obtenção de resultados de deslocamentos para os modelos de viga propostos.
1.3 – Estrutura do trabalho
O trabalho está dividido em 6 capítulos.
O capítulo 1 apresenta os aspectos introdutórios do trabalho, contendo as suas considerações iniciais e seus objetivos e finalidades.
O capítulo 2 contempla a revisão bibliográfica, contendo conceitos e formulações considerados relevantes para o trabalho e embasando-o teoricamente.
O capítulo 3 apresenta a metodologia do trabalho, a qual inclui as ferramentas computacionais utilizadas para suporte e detalhes dos modelos e casos estudados, assim como suas formas de concepção e obtenção de resultados passo a passo.
O capítulo 4 apresenta os resultados obtidos através dos procedimentos descritos no capítulo anterior assim como observações e discussões sobre os mesmos.
O capítulo 5 sintetiza os resultados do trabalho na forma de conclusões.
O capítulo 6 apresenta as referências utilizadas para a confecção do trabalho.
2 – REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
2.1 – Equação Diferencial da Linha Elástica de Vigas
Segundo Timoshenko (1983), as cargas transversais que solicitam as vigas produzem deformações, cujo resultado é o encurvamento de seu eixo longitudinal. O projeto pleno e consistente de uma viga inclui em seu bojo o cálculo dos deslocamentos consumados dos infinitos pontos situados ao longo do seu eixo, e, a confrontação de suas magnitudes com os limites deformacionais preconizados por institutos normativos.
Com o propósito voltado para a obtenção da formulação referente ao cálculo de deslocamentos de vigas considere-se por simplicidade e sem perda de generalidade o modelo da figura 2.1.a, representado por uma viga simplesmente apoiada AB, manufaturada em material elástico isotrópico e homogêneo, solicitada mediante uma ação do tipo força P de direção transversal ao seu eixo longitudinal. Antes da aplicação da carga o eixo longitudinal da viga é retilíneo e encontra-se na posição horizontal. Durante e após a flexão, o eixo encurva-se, assumindo a forma do segmento ACB denominado linha elástica da viga.
Para o desenvolvimento da formulação seguinte admite-se a validade da hipótese de Bernoulli que prevê que as seções permanecem planas no decorrer das deformações que culminam na configuração de equilíbrio e após tal configuração ser atingida. Admite-se ainda que o carregamento solicitante está contido no plano de simetria das infinitas seções transversais da viga, plano xy, e que a flexão se dá em tal plano, que contém, inclusive, a linha elástica da viga.
Figura 2.1: Linha elástica de viga fletida.
Fonte: adaptado de Timoshenko (1983).
Depois da deformação, os planos de duas seções transversais adjacentes, m1 e m2, distantes dx entre si, convergem para o ponto O, figura 2.1.a, que representa o centro de curvatura do eixo longitudinal da viga, para o segmento m1m2. O ângulo dθ entre esses dois planos, o raio de curvatura ρ e a curvatura κ, relacionam-se conforme a equação:
𝜅 = 1
𝜌 = 𝑑𝜃
𝑑𝑥 (Equação 2.1)
Se o comprimento inicial da fibra longitudinal ab é dx e seu comprimento após a deformação é (ρ + y)dθ ou (1 + y/ρ)dx, então seu alongamento será y.dx/ρ e a deformação correspondente assume então a forma:
𝜀𝑥 = 𝑦
𝜌 = 𝜅𝑦 (Equação 2.2)
Uma vez que a viga é constituída de material elástico então a tensão normal a uma distância vertical y da linha neutra será:
𝜎𝑥 = 𝜅𝐸𝑦 (Equação 2.3)
O momento da força infinitesimal dF = σxdA, em relação ao eixo neutro, é dM = σxydA.
O momento total envolvendo todos os momentos infinitesimais dM, deve equilibrar o momento solicitante, e portanto:
𝑀 = − ∫ 𝑑𝑀 = − ∫ σxydA = − ∫ 𝜅𝐸𝑦ydA = −𝜅𝐸 ∫ 𝑦2𝑑𝐴 (Equação 2.4)
onde
𝐼 = ∫ 𝑦2𝑑𝐴 (Equação 2.5)
é o momento de inércia da área da seção transversal, em relação ao eixo z, que é o eixo neutro.
Logo:
𝑀 = −𝜅𝐸𝐼 → 𝑘 = −𝑀
𝐸𝐼 (Equação 2.6) Mas:
𝑘 = 1
𝜌 = 𝑑𝜃
𝑑𝑠 (Equação 2.7)
Haja vista que a maioria das aplicações práticas envolvem pequenas deflexões, então:
𝑑𝑠 ≈ 𝑑𝑥; 𝜃 ≈ 𝑡𝑔𝜃 = 𝑑𝑣
𝑑𝑥 (Equação 2.8) Onde ν é a deflexão da viga. Considerando-se 2.7 em 2.8 resulta:
𝑘 = 1
𝜌= 𝑑𝜃
𝑑𝑥= 𝑑2𝜐
𝑑𝑥2 (Equação 2.9)
Combinando com a equação 2.6, tem-se:
𝑑2𝜐
𝑑𝑥2= −𝑀
𝐸𝐼 (Equação 2.10) Que representa a equação diferencial da linha elástica de uma viga.
2.2 – Deslocamento de Vigas
Figura 2.2. Linha elástica de viga simplesmente apoiada com carga uniformemente distribuída.
Fonte: adaptado de Timoshenko (1983).
Seja a viga simplesmente apoiada de comprimento de vão igual a L, solicitada mediante carga uniformemente distribuída q, figura 2.2, o momento fletor, à distância x do apoio da esquerda, será M = qLx/2 – qx²/2 e a equação 2.10 permitirá escrever:
𝐸𝐼𝑑2𝜐
𝑑𝑥2 = −𝑞𝐿𝑥
2 + 𝑞𝑥²
2 (Equação 2.11) Em face da simetria, resolve-se a equação considerando que o deslocamento é máximo em x = L/2, sendo dado, portanto, a partir de:
δ = 𝜐𝑚á𝑥= 5𝑞𝐿4
384𝐸𝐼 (Equação 2.12) 2.3 – Comportamento Mecânico do Concreto Armado
O concreto simples é material composto produzido a partir da mistura homogeneizada envolvendo materiais agregados e cimento Portland. Os materiais agregados são, em princípio, inertes e podem ser graúdos ou miúdos. Os agregados graúdos têm à função de conferir ao composto, rigidez e resistência à compressão. Os agregados miúdos, por sua vez, têm por finalidade preencher os espaços vazios deixados entre as partículas dos agregados graúdos e desta forma suavizar a distribuição de tensões internas na massa do concreto. O cimento Portland, por outro lado, é uma substância reativa que, em contato com a água, é quimicamente hidratado e consequentemente endurecido, exercendo assim a função aglutinante, conferindo a aquisição de resistência e rigidez do conjunto.
Apesar de sua concepção com respaldo tecnológico o concreto é um composto heterogêneo, e, essa característica, o torna material de comportamento mecânico complexo (BANGASH, 1989), que pode ser representado mediante a curva tensão-deformação da Figura 2.3.
Conforme Neville (2011), em virtude das dimensões e formas das partículas do cimento herdadas de sua matéria prima, no caso o clínquer, elas são eletricamente polarizadas, e, as forças de natureza elétrica preponderam sobre as de origem gravitacional, de modo que as partículas do cimento são envolvidas por uma camada de água adsorvida, que, embora de ponto de ebulição mais elevado que a água intersticial livre, elas podem sofrer perda em massa para
os poros, resultando em redução de volume caracterizando o fenômeno conhecido como retração do concreto.
Segundo MacGregor e Wight (2012), em razão da diferença de rigidez entre os elementos constituintes do concreto e da variação de formas de suas partículas, a deflagração e o desenvolvimento da retração provoca fissuração na massa do concreto mesmo antes de ele ser submetido a carregamentos solicitantes. Entretanto, apesar disso, em elementos solicitados mediante cargas de baixa intensidade, as fissuras da massa do material permanecem estáveis e seu comportamento mecânico é praticamente linear, podendo ser representado pelo trecho OA da curva da figura 2.3. Na medida em que o estágio deformacional transpõe o ponto O as fissuras passam a se propagar, e a linha que descreve o comportamento mecânico do material passa a se encurvar e sua curvatura se acentua na medida em que o estágio deformacional progride, assumindo nas vizinhanças do ponto B a instabilidade, caracterizada pelo agravamento do quadro de fissuração e aumento de deformações mesmo se a tensão se mantenha constante, culminando-se assim com a deflagração da ruína do material.
Figura 2.3: Curva tensão-deformação do concreto.
Fonte: Adaptado de Bangash (1989).
Acrescente-se às informações até aqui prestadas o fato de o concreto apresentar baixíssima resistência à tração ao ponto de mediante certas condições um corpo de prova de concreto, mesmo submetido a carregamento compressivo, entrar em processo de ruína quando as tensões de tração atingirem o limite resistivo do material e assim justificar o emprego de material adicional, especificamente, com a função de absorver as tensões de tração, no caso, o aço de construção civil, que trabalha muito bem sob tensões dessa natureza.
Convém ressaltar, preliminarmente, a tendência da curva típica carga-deslocamento de um elemento de concreto armado solicitado à flexão, reportada por Kwak e Filippou (1990), composta de três segmentos, figura 2.4. O trecho I, de resposta mecânica mais rígida, refere-se ao regime em que o concreto apresenta comportamento linear elástico, ao final do qual é deflagrado o processo de fissuração quando então se inicia o trecho II de resposta mecânica menos rígida. O trecho III, com inclinação menor, refere-se ao colapso do elemento estrutural, seja pelo escoamento das barras de aço seja pelo esmagamento da massa de concreto na região comprimida.
Figura 2.4: curva típica carga-deslocamento para viga de concreto armado em flexão.
Fonte: adaptado de Kwak e Filippou (1990).
2.4 – Estado Limite de Deformações Excessivas
Segundo a NBR 6118/2014, os Estados Limites são os estados extremos aos quais as estruturas, ou seus membros constituintes, podem ser submetidos em razão da ação dos carregamentos que as solicitam no decorrer de sua vida útil ou, até mesmo, em sua fase construtiva. Representam situações até as quais o conjunto estrutural apresenta desempenho adequado conforme a finalidade da construção que ele suporta. Por esta razão, são tomados como referência para seu dimensionamento, verificação de segurança e funcionalidade.
Os estados-limite de serviço se referem às condições a partir das quais, reconhecidamente, pode ocorrer empobrecimento na qualidade do desempenho estrutural, com reflexos desfavoráveis, inclusive, no que diz respeito ao atendimento de hipóteses de modelagem de cálculo e dimensionamento. São estados que, por sua simples ocorrência, repetição ou persistência podem induzir defeitos estruturais violando as especificações para uso normal da construção e representam indícios de comprometimento à sua durabilidade.
Os estados-limite de serviço têm filosofia voltada para a garantia do conforto do usuário bem como, à durabilidade, a aparência e a boa utilização das estruturas com respeito a usuários, máquinas e equipamentos. Em procedimento de projeto de estruturas de concreto armado deve ser verificado o estado limite de formação de fissuras, o estado limite de abertura das fissuras, e, o estado limite de deformações excessivas.
O estado-limite de deformações excessivas é caracterizado por valores limite de deformações, tabela I.1 do anexo I, estabelecidos para a utilização normal da estrutura.
Para o grupo referente à aceitabilidade sensorial o limite é caracterizado por vibrações indesejáveis ou efeito visual desagradável, sendo fixado em seção da norma que dispõe sobre limite de vibrações e fadiga.
2.5 – Formulação de Branson
Para o cálculo dos deslocamentos de vigas mediante o modelo de Branson (1968), a seção de concreto armado é aproximada por uma seção homogeneizada na qual as barras de aço são substituídas por área de concreto equivalente, de igual rigidez e centro de gravidade coincidente, de modo que deve ser dada a partir da equação:
s e
ceq A
A (Equação 2.13)
onde As é a área da armadura de tração e o coeficiente αe é expresso na forma:
cs s
e E /E
(Equação 2.14)
sendo Es e Ecs os módulos de deformação do aço e do concreto, respectivamente. A seção homogeneizada, portanto, é o conjunto formado pela parcela comprimida da seção de concreto e a seção de concreto equivalente de área “Aceq”, figura 2.5. Em boa aproximação, a posição da linha neutra é obtida igualando-se a zero o momento estático da seção homogeneizada em relação à própria linha neutra, como demonstrado por Madureira1 (2017), resultando:
3 0
2 2
1x a xa
a (Equação 2.15) desde que:
2
1 b/
a ; a2 Aceq; e, a3 d.Aceq
(Equação 2.16) O momento de inércia da seção homogeneizada em relação à linha neutra será:
2 3
) 3 (
.x A d x
III b ceq
(Equação 2.17)
Figura 2.5:Seção homogeneizada.
Fonte: Autor.
Se o momento solicitante for inferior ao momento de fissuração deve-se considerar para o cálculo do deslocamento a rigidez à flexão adotando-se o momento de inércia da seção bruta de concreto. Caso contrário utiliza-se a rigidez equivalente dada a partir da equação de Branson (1968), expressa na forma:
II
a r c
a r cs
eq I
M I M
M E M EI
3 3
1 )
( (Equação 2.18)
onde “Ic” representa o momento de inércia da seção bruta de concreto, “Ma” é o momento fletor da seção crítica do vão considerado e “Mr” é o momento de fissuração da massa de concreto do elemento estrutural dado por:
t c ct
r y
I M .f .
(Equação 2.19)
sendo “” o fator que correlaciona resistência à tração na flexão e a resistência à tração direta que, para seções retangulares deve assumir o valor = 1,5. “yt” é a distância do centro de gravidade da seção bruta de concreto ao bordo tracionado, enquanto o parâmetro “fct” representa a resistência à tração do concreto.
Examinando-se mais atentamente a equação de Branson aplicada ao cálculo da rigidez equivalente à flexão constata-se a inclusão de dois fatores de ponderação. O fator de ponderação:
𝐹𝑝1= (𝑀𝑟
𝑀𝑎)3 (Equação 2.20) considera a influência da seção bruta de concreto em relação à referida rigidez. O fator de ponderação:
𝐹𝑝2= 1 − (𝑀𝑟
𝑀𝑎)3 (Equação 2.21) por sua vez, considera a influência da seção de concreto no estado fissurado sobre tal rigidez.
A equação em discussão é aplicável, tão somente, a partir da situação em que o momento da
seção crítica Ma assume intensidade igual ao momento de fissuração Mr, de modo que os valores iniciais de tais fatores são 𝐹𝑝1 = 1,0 𝑒 𝐹𝑝2 = 0,0, de modo que a rigidez da seção bruta de concreto prepondera. Na medida em que a intensidade do momento da seção crítica Ma
progride, tabela 01 e figura 2.6, aumentando em relação à intensidade do momento de fissuração Mr, a rigidez à flexão da seção de concreto no estádio II vai se tornando significativa, e, a partir de certa razão entre esses parâmetros a situação vai se revertendo até que se atinge uma configuração para a qual Fp1 passa a apresentar valor pouco expressivo e Fp2 valor próximo da unidade, e, consequentemente, a rigidez da seção de concreto no estádio II passa a predominar.
Tabela 01: Evolução dos fatores de ponderação Fp1 e Fp2.
Mr/Ma Fp1 Fp2
0,90 0,729 0,271
0,70 0,343 0,657
0,50 0,125 0,875
0,20 0,008 0,992
0,10 0,001 0,999
Fonte: Autor.
Figura 2.6: Evolução dos fatores de ponderação Fp1 e Fp2.
Fonte: Autor
2.6 – Formulação da Análise Tensão Deformação em Estado Plano de Tensões
Existe uma diversidade de modelos voltados para a descrição analítica do comportamento mecânico do concreto dentre eles destacam-se o modelo de Hognestad, o de Kwak e Philipou, o de Popovics, o de Thorenfeldt, Tomaszewicz e Jensen, o de Karthik e
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Fator de ponderação
Mr / Ma
Evolução dos fatores de ponderação Fp1 e Fp2
Fp1 Fp2
Mander, o do CEB-FIP Model Code, o do fib Bulletin 55 MC, o do EUROCODE 2, o da NBR 6118/2014, o de Nicolo e Pozzo e o de Tsai.ENTRE OUTROS Optou-se, neste trabalho, pelo modelo de Hognestad, pois, ele é representado por formas analíticas simplistas e, até a presente data, desconhecem-se relatos sobre episódios de instabilidade numérica associadas ao emprego de tal modelagem.
A simulação numérica realizada por Kwak e Filippou (1990) baseia-se em modelagem matemática pautada na formulação ortotrópica não-linear, segundo a qual os elementos da matriz constitutiva a utilizar são definidos com base em equações semelhantes àquelas empregadas em solicitação uniaxial, tomando-se, porém, como referência, as deformações equivalentes, que podem ser definidas conforme a equação:
ii j ij i
ei D / D
(Equação 2.22)
Os índices “i” e “j”, i, j = 1, 2, referem-se às direções das tensões principais. Os parâmetros “Dij” representam os elementos das matrizes constitutivas do concreto. As relações constitutivas de Hognestad (1951), para o concreto em compressão são expressas na forma:
ei ip ei ip
i ip .
. 1 2 .
2
para ip<ei< 0 (Equação 2.23)
cu ip ei ip ip
i 20
1 3
para cu<ei<ip. (Equação 2.24)
onde “ip” e “ip” representam a deformação e a tensão de pico do concreto, segundo cada direção principal “i”, e, “cu” sua deformação limite de ruptura em compressão uniaxial. Em sua estrutura de cálculo, Kwak e Filippou (1990) simplificam a relação da equação 2.26, aproximando-a mediante forma matemática representada graficamente pela sequência de segmentos de reta conforme ilustrado na figura 2.7.
Para os elementos em tração foi adotado modelo de fissuras distribuídas, cujas vantagens são permitir considerar-se a continuidade do campo de deslocamentos, e, dispensar modificações de caráter topológico na malha de elementos finitos, no decorrer de seus
procedimentos de cálculo. Para deformações inferiores àquela correspondente à sua resistência à tração uniaxial, o concreto é considerado linear elástico, e, para deformações superiores, é plástico com amolecimento. A deformação última em tração, “εo”, é dada segundo Kwak e Filippou (1990), mediante:
3 b
. f
b / 3 ln . G . 2
t
o f
(Equação 2.25) O parâmetro “b” representa a dimensão, em polegadas, do elemento finito. “ft” e “Gf””
representam, respectivamente, os parâmetros físicos do concreto de resistência à tração uniaxial e a energia de fraturamento por unidade de área, este último definido conforme os critérios preconizados pelo código CEB-FIP Model Code 1990.
Figura 2.7: Curva tensão-deformação para o concreto.
Fonte: Kwak e Filippou (1990).
As tensões-limite no concreto são definidas conforme a envoltória de Kupfer e Gerstle (1973):
0 65 . 3 )
(12 2 2 1 (Equação 2.26)
onde 1 1 / fc' , 2 2 / fc' . “1” e “2” são as tensões principais com 0 >1>2. “ fc'” é a resistência à compressão uniaxial do concreto.
As deformações de pico em compressão biaxial são obtidas conforme as expressões:
3 2 2
co p
2
(Equação 2.27)
2 1
3 1 co 1
p
1 1.6 2.25 0.35
(Equação 2.28)
onde
c p 1 f1
,
c p 2 f2
e “co” é a deformação correspondente à tensão de compressão
de pico para estado uniaxial de tensões.
Para a modelagem do concreto submetido a estado plano de tensões, é utilizada a relação constitutiva incremental de Desai e Siriwardance (1972), escrita mediante:
onde os “Ei’s” são os módulos de deformação do concreto referentes a cada uma das direções principais. Sua rigidez transversal é expressa na forma da Equação:
2
.G 0.25
E1 E2 2 E1.E2
1
(Equação 2.30) O comportamento do aço é considerado elástico perfeitamente plástico.
O modelo de Barzegar e Schnobrich (1986) difere da formulação proposta por Kwak e Filippou (1990), sobretudo, no tocante à consideração da interação entre as barras da armadura de aço e a massa de concreto envolvente, uma vez que adota a condição de aderência perfeita, enquanto Kwak e Filippou (1990) assimila o comportamento ora referido à aderência com deslizamento.
3 – METODOLOGIA
Com vistas ao cumprimento dos objetivos propostos para este trabalho foi realizada a análise deformacional de vigas visando a aquisição de resultados referentes aos deslocamentos translacionais e tensões solicitantes, a partir da utilização de dois aplicativos computacionais distintos.
3.1 – Suporte Computacional
Um dos algoritmos foi desenvolvido em linguagem C++ sobre a formulação de Branson (1968) e apresenta-se mediante a concepção lógica apresentada no ANEXO II deste trabalho.
O outro algoritmo, denominado Análise Constitutiva Não-Linear – ACNL, desenvolvido por Madureira (2007), foi elaborado em Linguagem FORTRAN e estruturado segundo procedimento iterativo incremental e aproximação por Elementos Finitos, sobre uma Formulação Ortotrópica não Linear. Abrange em sua pauta algorítmica a formulação dos elementos finitos isoparamétricos de aproximação quadrática, os do tipo plano quadriláteros Q8, destinados à representação topológica da região da massa de concreto e os do tipo lineares L3 voltados para a discretização das barras da armadura de aço, figura 3.1.
Figura 3.1: Elementos finitos: a) Plano Q8; b) barra L3.
Fonte: Adaptado de Madureira (2007).
O programa ACNL realiza a saída de planilha completa com todos os resultados do domínio bem como a geração de arquivo resumo contendo informações sumarizadas de resultados mais relevantes. Além do mais gerencia e emite os mapeamentos numéricos destinados à leitura pelo pós-processador NLPOS elaborado por Pitangueira e Parente Jr (1997),
Linha de Elementos Barra
destinado à geração de imagens referentes aos campos de deslocamentos, e, PROJECT1 desenvolvido por Madureira E Silva (2013), voltado para a produção das imagens correspondentes aos campos de tensões.
3.2 – Validação da consideração de simetria
Este tópico trata da análise de uma viga biapoiada destinada ao suporte decisório quanto à melhor modelagem físico geométrica para os membros estruturais objeto de estudo. A proposta é conceber estratégia para simulação adequada da simetria dos modelos a analisar na fase definitiva. Tal recurso de modelagem é relevante na medida em que resulta em domínio menos extenso para o problema discretizado e, portanto, mediante menor quantidade de elementos finitos com menos pontos nodais, consumindo, assim, menos tempo de processamento computacional.
Para tal finalidade o software ACNL será utilizado para analisar uma viga, constituída em concreto C30, armada com duas barras de aço de 10 mm de bitola nominal, perfazendo área total As = 1,57 cm2. A altura útil da seção transversal será fixada em d = 35 cm.
As figuras 3.2, 3.3, 3.4 e 3.5 ilustram a mesma viga. Nesse caso, para a consecução da altura útil de sua seção transversal conforme definida no parágrafo anterior, foram dispostas duas linhas de elementos barra, uma ao longo da linha do bordo inferior e outra ao longo da linha paralela e 10 cm e acima deste, para que o centro de gravidade da seção transversal do conjunto de armadura recaia em cota 5 cm acima de tal bordo.
Observe que nos modelos 1 e 2 a linha de apoios está fixada no bordo inferior, enquanto, nos modelos 3 e 4 está fixada ao nível do eixo longitudinal da viga. Os modelos 2 e 4, por outro lado, consideram a simetria da viga no meio do vão, o que foi materializado, figuras 2 e 4, promovendo-se a vinculação de todos os pontos nodais da seção do meio do vão onde passa o eixo de simetria, com impedimentos, exclusivamente, às translações horizontais. Assim, os referidos pontos tem liberdade para se deslocar, exclusivamente, na direção vertical, que é o que ocorre em virtude da simetria do elemento estrutural. Entretanto, convém verificar se a introdução de tal vinculação resulta em perturbação local que provoque alguma espécie de instabilidade numérica que interfira significativamente nos resultados.
Figura 3.2: Modelo 1.
Fonte: Autor.
Figura 3.3: Modelo 2.
Fonte: Autor.
Figura 3.4: Modelo 3.
Fonte: Autor.
Figura 3.5: Modelo 4.
Fonte: Autor.
A partir da análise dos resultados sumarizados na tabela 02 constata-se que os deslocamentos apresentados no meio do vão das vigas referentes aos modelos 1 a 4 são praticamente idênticos, o que respalda suficientemente a viabilização da consideração da simetria na forma aqui proposta.
Tabela 02: Resultados de deslocamentos para os modelos 1 a 4.
INCREMENTO DE CARGA
CARGA(kN/m) DESLOCAMENTOS (mm)
MODELO 1 MODELO 2 MODELO 3 MODELO 4
0 0 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000
1 2 0,31717 0,31717 0,31325 0,31325
2 4 0,64639 0,64639 0,63853 0,63853
3 6 1,16710 1,16710 1,15530 1,15530
4 8 1,90630 1,90630 1,89070 1,89070
5 10 2,78820 2,78820 2,76900 2,76910
6 12 3,75090 3,75090 3,72780 3,72780
7 14 4,75100 4,75110 4,72390 4,72400
8 16 5,77160 5,77170 5,72940 5,72950
9 18 6,80080 6,80090 6,76360 6,76390
10 20 7,86220 7,86240 7,80140 7,80120
Fonte: Autor.
3.3 – Modelos analisados
Com vistas ao cumprimento do objetivo proposto para este trabalho, primeiramente, foi analisada uma viga biapoiada de comprimento de vão L = 3,65 m, Figura 3.6.a, e seção transversal retangular de largura b = 20 cm e altura h = 50 cm, figura 3.6.b. O elemento estrutural objeto de apreciação é constituído em concreto para o qual foi fixado Tensão Limite de Compressão da ordem de 33 MPa, o que o aproxima de um concreto de classe de resistência C 30, apresentando Módulo de Deformação de 26220 MPa. Será provida de armadura a uma porcentagem geométrica da ordem de 1%, distribuída em seu bordo inferior, figura 3.6.b, de aço de construção civil, cujo limite de escoamento é da ordem de 310 MPa e cujo Módulo de Elasticidade é da ordem de 203 GPa. A viga foi carregada mediante a ação de uma carga concentrada de intensidade P, aplicada em ponto localizado no meio do vão, em incrementos, variando de um valor inicial 0(zero) até um valor final da ordem de 155 kN.
Os resultados referentes a este modelo obtidos mediante o aplicativo pautado na formulação de Branson foram comparados com os correspondentes de autoria de Barzegar e Schnobrich (1986) e de Kwak e Filippou (1990).
Figura 3.6: Viga Modelo: a) Esquema Estrutural; e b) Seção Transversal
Fonte: Autor.
Posteriormente, foram realizadas as análises numéricas envolvendo modelos de viga isostática, figura 3.7, estabelecendo-se comparação entre resultados obtidos a partir da utilização do aplicativo sobre o modelo de Branson e um software desenvolvido sobre modelo ortotrópico não-linear e estado plano de tensões. Os membros estruturais objetos de estudo apresentam seção transversal retangular de largura b = 0,15 m e são constituídos em concreto C 30, armado com barras de aço CA-50, solicitados mediante ação do tipo força de direção transversal ao seu eixo longitudinal, uniformemente distribuída ao longo de toda a extensão do referido eixo, aplicada, progressivamente, em incrementos finitos de carga.
A análise foi realizada sobre doze casos nos quais os membros estruturais são diferenciados entre si pelo comprimento do vão, pela altura da seção transversal e pela área da seção transversal da armadura de aço, conforme sumarizado na tabela 03.
Em virtude da simetria do problema os domínios no plano “xy” referentes aos modelos analisados puderam ser definidos conforme apresentado na figura 3.7 que, uma vez discretizados adotando-se dimensão igual a 0,10 m para ambos os tipos de elementos, resultaram em malhas com o total de elementos finitos conforme indicado na tabela 03.
Para fins da avaliação de tendência conforme a variação dos os parâmetros pertinentes foram selecionados pontos de referência representativos no meio do vão da viga. Os estudos concernentes à evolução da tensão normal de compressão no concreto, e dos deslocamentos translacionais verticais, referem-se ao ponto situado nas proximidades do bordo superior de coordenadas x = 0,011 m e y = (h – 0,011) m, enquanto, para a tensão de tração na armadura
de aço tomou-se como referência o ponto situado nas proximidades do bordo inferior de coordenadas x = 0,011 m e y = 0,00 m.
Figura 3.7. Ilustração genérica dos elementos dos casos 1 a 12.
Fonte: Autor.
Tabela 03: Caracterização dos casos estudados.
VIGA Viga 4M Viga 5M Viga 6M
Modelo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
MÉTODO DE BRANSON
h(m) 0,40 0,40 0,40 0,40 0,50 0,50 0,50 0,50 0,60 0,60 0,60 0,60 L(m) 4,00 4,00 4,00 4,00 5,00 5,00 5,00 5,00 6,00 6,00 6,00 6,00
MÉTODO DE ELEMENTOS
FINITOS
L(m) 2,10 2,10 2,10 2,10 2,60 2,60 2,60 2,60 3,10 3,10 3,10 3,10 elementos
planos 84 84 84 84 130 130 130 130 186 186 186 186
elementos
barra 42 42 42 42 52 52 52 52 62 62 62 62
DADOS COMUNS
h(m) 0,40 0,40 0,40 0,40 0,50 0,50 0,50 0,50 0,60 0,60 0,60 0,60 As(cm²) 1,570 2,454 3,140 4,908 1,570 2,454 3,140 4,908 1,570 2,454 3,140 4,908 fck(MPa) 30,0 30,0 30,0 30,0 30,0 30,0 30,0 30,0 30,0 30,0 30,0 30,0
Fonte: Autor.
4 – RESULTADOS E DISCUSSÕES
4.1 – Comparação com Resultados da Literatura
Os resultados obtidos mediante o “software” baseado no modelo de Branson (1968) revelaram que, uma vez a viga solicitada mediante o carregamento prescrito no item 3.2 deste trabalho, os deslocamentos do ponto localizado ao meio de seu vão evoluíram, no decorrer processo, conforme a curva em tom azul ilustrada na Figura 4.1, onde estão mostradas, inclusive, as curvas dos deslocamentos obtidas por Kwak e Filippou (1990) em tom vermelho e por Barzegar e Schnobrich (1986), em tom verde.
Vale destacar que a curva carga-deslocamento correspondente aos resultados de Kwak e Filippou (1990), apresenta padrão semelhante ao de uma curva típica carga-deslocamento descrita no item 2.3, ilustrada na figura 2.4.
Figura 4.1: Diagramas Carga-Deslocamento.
Fonte: Autor.
Em exame mais atento da Figura 4.1 constata-se que, no trecho referente ao comportamento linear elástico, há boa concordância entre os deslocamentos calculados a partir do modelo de Branson (1968) e os resultados correspondentes obtidos por Kwak e Filippou (1990). Entretanto, no segmento referente à fissuração do concreto, na medida em que o
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
0 3 6 9 12 15
Carga (kN)
Deslocamentos (mm)
Carga x Deslocamento
BRANSON
KWAK
SCHNOBRICH
processo de carregamento da viga progride, e, em consequência, o quadro de fissuração é intensificado, a curva decorrente da aplicação do modelo de Branson (1968) e aquela associada aos resultados de Kwak e Filippou (1990) apresentam divergência que evolui crescentemente até o ponto de transição para o colapso do elemento estrutural quando a diferença entre os deslocamentos atinge seu índice máximo que é da ordem de 17%.
A diferença entre os resultados de deslocamentos obtidos a partir da adoção do modelo de Branson e os seus correspondentes publicados por Barzegar e Schnobrich (1986) apresentam tendência distinta daquela reportada em relação ao modelo de Kwak e Filippou (1990), pois, embora seja constatada boa concordância entre esses resultados na fase inicial do trecho referente ao comportamento linear elástico, o trecho referente ao comportamento elástico dos resultados de Barzegar e Schnobrich (1986) extrapola o limite fixado a partir do modelo de Branson (1968). No trecho correspondente à fissuração do concreto a tendência da progressão da diferença entre os resultados obtidos via modelo de Branson e aqueles publicados por Barzegar e Schnobrich (1986), se reverte e a diferença apresenta redução paulatina que, embora branda, cai para um índice da ordem de 9%, e, portanto, bem inferior àquela já reportada com referência aos resultados de Kwak e Filippou (1990).
Para o trecho correspondente ao colapso do membro estrutural não há base fidedigna de comparação uma vez que, ao contrário do modelo de Barzegar e Schnobrich (1986) e do modelo de Kwak e Filippou (1990) o modelo de Branson (1968) é inapto à descrição de tal segmento comportamental, pois, o efeito do escoamento das barras da armadura de aço sobre a variação da rigidez da seção transversal é negligenciado.
4.2 –Resultados via modelo de Branson e ACNL
Uma vez a viga referente ao caso 9 tendo sido carregada, na medida em que o processo de carregamento evolui, a distribuição das tensões normais solicitantes na massa de concreto ao longo da altura da seção transversal, obtida a partir do código computacional ACNL, progrediu conforme figura 4.2. Em exame mais minucioso constata-se que apenas para o peso próprio a seção se comporta no Estádio I. A partir do primeiro incremento de carga, a região alongada da seção transversal plastifica-se apresentando padrão intermediário entre os estádios I e II, muito embora, na fase final do processo de carregamento, as tensões de tração são tão ínfimas que se aproximam de zero. Para os demais casos, a resposta mecânica mostrou-se semelhante diferindo tão somente pelas intensidades das tensões.
Figura 4.2: Distribuição de tensões normais na seção crítica para o caso 9.
Fonte: Autor
Os resultados obtidos mediante o modelo de Branson indicam que a variação da rigidez da seção transversal crítica apresentou a tendência mostrada na figura 4.3. Observe-se que no início do carregamento, até a carga de intensidade igual a 8 kN, em escala global, a seção transversal de concreto armado comporta-se praticamente, no regime linear elástico, e, a partir
de tal carga até a carga de intensidade da ordem de 12 kN, ocorre declínio acentuado, que mostrou-se mais proeminente para os casos envolvendo as vigas de vãos maiores, e, portanto, em estágio de solicitação mais avançado.
Em exame mais atento da figura 4.3 constata-se que, após a carga de 12 kN, a taxa de redução da rigidez à flexão é mais discreta. Tal comportamento é consistente uma vez que é bem conhecido que a rigidez do concreto, conforme sua curva tensão deformação ilustrada na figura 1.3, embora sempre decrescente, até inclusive a consumação da ruína, sua taxa de redução, realmente, é mais suave na fase terminal. Esta uniformidade comportamental para os doze casos ora estudados pode ser um indicativo de que a consagrada estratégia de fixação da altura da viga em 10% do comprimento do vão representa conduta oportuna nesse propósito particular.
Figura 4.3: Evolução da rigidez da seção crítica da viga.
Fonte: Autor.
A progressão do carregamento da viga do caso 9 foi acompanhada por deslocamentos que evoluíram na forma apresentada na figura 4.4. Observa-se que as curvas apresentam dois trechos bem definidos: um trecho inicial, associado à fase inicial do carregamento até o nível de carregamento correspondente ao início da fissuração; e, o trecho seguinte, associado às cargas de intensidade superior, correspondente ao processo de propagação da fissuração, identicamente à curva típica apresentada em Kwak e Filippou (1990) e no item 2.3 deste trabalho. Constata-se que, na fase inicial de carregamento, até a carga de intensidade da ordem
0 10 20 30 40 50 60 70
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Rigidez EI (MNm²)
Carga (kN)
Evolução da Rigidez da Seção Crítica
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
de 4 kN, os resultados obtidos mediante o modelo de Branson apresentaram boa concordância com aqueles obtidos a partir do software ACNL. Ressalte-se que, para os resultados do ACNL, esta carga representa o limite de proporcionalidade entre carga e deslocamentos, e, a partir da qual a inclinação da curva muda bruscamente. Para o modelo de Branson o limite de proporcionalidade estende-se até o nível de carregamento de aproximadamente 7 kN. Apesar dessa diferença os deslocamentos apresentam aproximação satisfatória até o estágio correspondente à carga de 12 kN, a partir da qual as duas curvas divergem crescentemente, com as maiores magnitudes de deslocamentos registradas para o modelo de Branson.
Figura 4.4: Diagrama carga-deslocamento para o caso 9.
Fonte: Autor.
Para os demais casos, os resultados apresentaram tendência semelhante, figuras 4.5, 4.6 e 4.7, diferindo tão somente pelas magnitudes registradas para os deslocamentos conforme indicado nas tabelas I.2 a I.7 do anexo 1
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0,0 3,0 6,0 9,0 12,0 15,0 18,0 21,0 24,0 27,0 30,0 33,0
Carga (kN)
Deslocamentos (mm)
Carga x Deslocamento - caso 9
ACNL
BRANSON
Figura 4.5: Diagrama carga deslocamento dos casos 1 a 4.
Fonte: Autor
Figura 4.6: Diagrama carga deslocamento dos casos 5 a 8.
Fonte: Autor 0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,0
0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0
Carga (kN)
Deslocamentos (mm)
Carga x Deslocamento - casos 1 a 4
BRANSON CASO 1 BRANSON CASO 2 BRANSON CASO 3 BRANSON CASO 4 ACNL CASO 1 ACNL CASO 2 ACNL CASO 3 ACNL CASO 4
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0,0 4,0 8,0 12,0 16,0 20,0 24,0
Carga (kN)
Deslocamentos (mm)
Carga x Deslocamento - casos 5 a 8
BRANSON CASO 5 BRANSON CASO 6 BRANSON CASO 7 BRANSON CASO 8 ACNL CASO 5 ACNL CASO 6 ACNL CASO 7 ACNL CASO 8
Figura 4.7: Diagrama carga deslocamento dos casos 9 a 12.
Fonte: Autor.
0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,0
0,0 3,0 6,0 9,0 12,0 15,0 18,0 21,0 24,0 27,0 30,0 33,0
Carga (kN)
Deslocamentos (mm)
Carga x Deslocamento - casos 9 a 12
BRANSON CASO 9 BRANSON CASO 10 BRANSON CASO 11 BRANSON CASO 12 ACNL CASO 9 ACNL CASO 10 ACNL CASO 11 ACNL CASO 12
