FUZZY. Palavras-Chaves: Lógica Fuzzy;Matemática Intervalar; Inferência Fuzzy Intervalar.

V E R S Ã O I N T E R V A L A R P A R A S I S T E M A S D E I N F E R Ê N C I A F U Z Z Y

M a r i a M ô n i c a M a c e d o Torres S i l v e i r a1 B e n j a m í n R e n é Callejas B e d r e g a l2

R e s u m o

Em sistemas de inferência fuzzy, a especificação do grau de pertinência é feita pelo mapeamento do grau de incerteza no intervalo [0,1]. No entanto, esse intervalo muitas vezes não é suficiente para mapear determinados casos em que a preci-são dos dados é muito importante para o problema. Para isso, é necessária a especificação de sub-intervalos do inter-valo [0,1] para o grau de pertinência, permitindo desta for-ma a obtenção de resultados for-mais precisos. Neste trabalho, é apresentado um sistema de inferência fuzzy intervalar atra-vés de um exemplo.

P a l a v r a s - C h a v e s : Lógica Fuzzy;Matemática Intervalar;

Inferência Fuzzy Intervalar. 1 INTRODUÇÃO

P a r a o m a p e a m e n t o d e p r o b l e m a s q u e t r a t a m d o r a c i o c í n i o a p r o x i m a d o , a m o d e l a g e m fuzzy (Zadeh, 1965; C o x , 1996; Bojadziev; Bojadziev, 1 9 9 6 ; N g u y e n ; Walker, 1999) v e m s e n d o utilizada, s e m n e n h u m a s o m b r a d e dúvida, c o m sucesso d e s d e os a n o s 8 0 . A c r e s c e n t e u t i l i z a ç ã o d e s t a a b o r d a g e m t e m p r o p o r c i o n a d o a o b s e r v a ç ã o d e s u a s d e f i c i ê n c i a s . U m a d e l a s é q u e c o m o m a p e a m e n t o d a s infor-m a ç õ e s n e b u l o s a s o e s p e c i a l i s t a p r e c i s a c o n s t r u i r u infor-m a f u n ç ã o de p e r t i n ê n c i a fuzzy a t r i b u i n d o a o s v a l o r e s d o d o m í n i o , p o r e x e m p l o , u m n ú m e r o real p a r a seu g r a u d e c e r t e z a . A l g u m a s v e z e s é difícil p a r a o e s p e c i a l i s t a d e t e r m i n a r se o grau d e c e r t e z a é 0.5 ou 0 . 5 0 1 , p o r e x e m p l o ( Y A M , 1999).

M u i t o s t r a b a l h o s v ê m s e n d o d e s e n v o l v i d o s n o s e n t i d o d e utilizar inter-v a l o s n o m a p e a m e n t o d a s i n c e r t e z a s ( T u r k s e n , 1 9 8 6 ; R o c h a ; K r e i n o inter-v i c h , 1996;

1 Mestre em Sistemas e Computação, D I M A p - U F R N , 2002. Doutoranda na Universidade de

Auckland, Nova Zelândia. E-mail: m 3 t s @ i g . c o m . b r

2 Doutor em Ciências da C o m p u t a ç ã o , C I N - U F P E , 1996. Professor do D I M A p UFRN

E-mail: bedregal@dimap.ufrn.br

R o c h a , 1 9 9 7 a ; R o c h a , 1 9 9 7 b ; Y a m ; M u k a i d o n o ; K r e i n o v i c h , 1999; K r e i n o v i c h ; M u k a i d o n o , 2 0 0 0 ; K r e i n o v i c h et al, 2 0 0 0 ) , a s s i m , c o r n o e m t r a b a l h o s a n t e r i o r e s d o s p r ó p r i o s a u t o r e s ( S i l v e i r a ; B e d r e g a l , 2 0 0 1 a ; S i l v e i r a e B e d r e g a l , 2 0 0 1 b ; S i l v e i r a ; B e d r e g a l , 2 0 0 1 c ; Silveira; B e d r e g a l , 2 0 0 1 d ; Silveira; B e d r e g a l , 2 0 0 1 e ; Silveira; B e d r e g a l , 2 0 0 l f ; Silveira; B e d r e g a l , 2 0 0 1 g ; Silveira; B e d r e g a l , 2 0 0 l h ) . N e s t e t r a b a l h o , p r o p o m o s a u t i l i z a ç ã o d e i n t e r v a l o s n a c o n s t r u ç ã o d o s i s t e m a d e i n f e r ê n c i a fuzzy, o q u e c h a m a m o s d e s i s t e m a d e i n f e r ê n c i a fuzzy intervalar. P a r a tanto é d e f i n i d o na s e ç ã o 2 o c o n c e i t o d e c o n j u n t o fuzzy intervalar, f u n ç ã o d e p e r t i n ê n c i a fuzzy intervalar e t a m b é m é m o s t r a d o o t e o r e m a da c o n t i n u i d a d e q u e d á s u p o r t e a e s s e s c o n c e i t o s . N a s e ç ã o 3, é a p r e s e n t a d o o S i s t e m a de inferência fuzzy i n t e r v a l a r e n a s e ç ã o 4 u m e s t u d o d e c a s o , e, f i n a l m e n t e , na s e ç ã o 5, as c o n s i d e r a ç õ e s finais.

2 CONJUNTOS FUZZY INTERVALAR

A principal diferença entre u m conjunto fuzzy e u m conjunto fuzzy intervalar e s t á n o g r a u d e p e r t i n ê n c i a : no p r i m e i r o , o g r a u d e p e r t i n ê n c i a é um número real pertencente ao intervalo [0,1.]; no s e g u n d o , o grau d e pertinência é um subintervalo d o intervalo [0,1]. U m c o n j u n t o fuzzy é d e f i n i d o c o m o :

A = {(x,v

A

(x))/xe í / } , ( l )

o n d e (LlA(x) e [0,1 ] e U é o u n i v e r s o d e d i s c u r s o d e A . A n a l o g a m e n t e , u m c o n j u n t o fuzzy i n t e r v a l a r é d e f i n i d o c o m o :

A = {(x,q>

A

(x))/xe U}, (2)

o n d e U é o u n i v e r s o d e d i s c u r s o d e A e cpA(x) e I [ 0 , 1 ] = {[a, b] e IR / 0 < a < b < 1}. ( pAé a função de p e r t i n ê n c i a p a r a o c o n j u n t o fuzzy intervalar A.

P a r a o c o n j u n t o fuzzy i n t e r v a l a r t e m p e r a t u r a " q u e n t e " , p o d e - s e ver s u a r e p r e s e n t a ç ã o n a figura 1, c o m os g r a u s d e p e r t i n ê n c i a i n t e r v a l a r e s p a r a 40°C, 50°C e 60°C, r e s p e c t i v a m e n t e os intervalos [ 0 . 1 , 0 . 2 5 ] , [0.18, 0.65] e [ 0 . 4 , 0 . 8 ] .

10 20 3 0 40 5G óO 70 8 0 9 0 \00 Figura 1 - C o n j u n t o Fuzzy Intervalar T e m p e r a t u r a " Q u e n t e "

S e a função d e p e r t i n ê n c i a i n t e r v a l a r (p for c o n t í n u a , e n t ã o , s e g u n d o o

teorema da continuidade, m o s t r a d o e m (Silveira e B e d r e g a l , 200lg), existem

funções cpA i, cpA s: U -> [0, l] contínuas, tais que x e U, cpA(x) = [cpA i(x)5 (pA s(x)], p o r t a n t o <pA i(x) < 9A s( x ) , o n d e 9 é chamada de função d e limite inferior e (p de função d e limite superior (Silveira; B e d r e g a l , 2001a).

O grau d e p e r t i n ê n c i a i n t e r v a l a r p a r a u m d e t e r m i n a d o valor x é d a d o p e l o intervalo formado pelo grau d e p e r t i n ê n c i a d a função d e limite inferior e p e l o grau d e p e r t i n ê n c i a d a função d e limite s u p e r i o r d e s s e v a l o r x, ou seja:

(pA(x) = [(pA i(x),(pA s(x)] (3)

3 SISTEMAS DE INFERÊNCIA F U Z Z Y INTERVALAR

C o m o o s i s t e m a d e inferência fuzzy intervalar é b a s e a d o n o s i s t e m a d e i n f e r ê n c i a fuzzy. ele p o s s u i b a s i c a m e n t e o s m e s m o s c o m p o n e n t e s , s e n d o q u e t o d o o t r a t a m e n t o é feito e m c i m a d e i n t e r v a l o s . C o m o ilustra a figura 2.

Entradas Precisas _FUZZICADOR INTERVALAR REGRAS INTERFERÊNCIA INTERVALAR DEFUZZICADOR INTERVALAR Saídas Precisas

Figura 2 - Sistema de Inferência Fuzzy Intervalar

O s i s t e m a d e inferência fuzzy i n t e r v a l a r funciona i g u a l m e n t e a o sistema d e i n f e r ê n c i a fuzzy: os d a d o s d e e n t r a d a s s ã o c a p t u r a d o s p e l o fuzzificador intervalar, m a p e a n d o - o n o s c o n j u n t o s fuzzy intervalar, na fase át funificação R. FARN, Natal v . l , n.2, p. 101 - 115 Jan./jun.2002. 103

intervalar. A s r e g r a s fuzzy i n t e r v a l a r s ã o e x e c u t a d a s e a t r a v é s d o p r o c e s s o d e inferência fuzzy intervalar, os c o n j u n t o s fuzzy s o l u ç ã o s ã o g e r a d o s , p a r a só

e n t ã o p o d e r ser e x t r a í d o o r e s u l t a d o final d o s i s t e m a a t r a v é s d a de fuzzificação

internai ar. 3 . 1 FUZZIFICAÇÃO INTERVALAR D u r a n t e a f u z z i f i c a ç ã o intervalar, os v a l o r e s d e e n t r a d a s d o s i s t e m a s ã o m a p e a d o s n o s c o n j u n t o s fuzzy i n t e r v a l a r r e l e v a n t e s p a r a o p r o b l e m a s . S ã o p r o -d u z i -d o s os g r a u s -d e p e r t i n ê n c i a para c a -d a c o n j u n t o e m q u e s t ã o . N e s t e c a s o , s e r ã o p r o d u z i d o s d o i s g r a u s d e p e r t i n ê n c i a p a r a c a d a c o n j u n t o fuzzy, o grau d e p e r t i n ê n c i a i n t e r v a l a r inferior cp.(x) e o g r a u d e p e r t i n ê n c i a i n t e r v a l a r s u p e r i o r <PS

W-3 . 2 INFERÊNCIA FUZZY INTERVALAR

A s s i m c o m o nos sistemas fuzzy, o m e c a n i s m o de inferência fuzzy intervalar utiliza a g e n e r a l i z a ç ã o d a i n f e r ê n c i a m o d u s p o n e n s .

3 . 2 . 1 M O D U S P O N E N S GENERALIZADO

A inferência fuzzy intervalar utiliza u m a generalização d a inferência m o d u s p o n e n s ( G M P ) e u m a r e g r a d e i n f e r ê n c i a c o m p o s i c i o n a l . A s s i m , a inferência fuzzy é definida c o m o :

P r e m i s s a 1: x is A -> y is B Premissa 2: x is A C o n s e q ü e n t e : y is B '

L o g o , B ' = A ° R(x, y) = A ° ( A - > B ) , onde A, A B e B ' s ã o conjuntos fuzzy, x e y s ã o v a r i á v e i s fuzzy, R ( x , y) é a r e l a ç ã o b i n a r i a fuzzy d e i m p l i c a ç ã o e ° é o o p e r a d o r d e c o m p o s i ç ã o . O c o n j u n t o fuzzy B ' t a m b é m é c h a m a d o de região fuzzy s o l u ç ã o B ' .

3 . 2 . 2 INFERÊNCIA FUZZY INTERVALAR

A i n f e r ê n c i a fuzzy i n t e r v a l a r é d a d a a t r a v é s d a u t i l i z a ç ã o d a s d e f i n i ç õ e s fuzzy intervalar. A e q u a ç ã o 4 é g e n e r a l i z a d a para:

B ' = A' 0 9 t ( x , y) = A' 0 ( A - > B ) (4)

o n d e A , A' B e B ' s ã o conjuntos fuzzy intervalar, x e y s ã o variáveis fuzzy intervalar, 9? (x, y ) é a r e l a ç ã o fuzzy intervalar, e 0 é o o p e r a d o r d e c o m p o s i ç ã o intervalar. A i n t e r p r e t a ç ã o gráfica p a r a a inferência fuzzy m i n - m a x intervalar é s i m i l a r à inter-p r e t a ç ã o fuzzy, s e n d o q u e n e s t e c a s o s e t r a b a l h a c o m as funções d e limite infe-rior (cp.) e s u p e r i o r (cps), g e r a n d o d u a s r e g i õ e s fuzzy s o l u ç ã o , c o m o p o d e ser visto n o e s t u d o d e c a s o .

3 . 3 DEFUZZIFICAÇÃO FUZZY INTERVALAR

O p r o c e s s o d e defuzzificação intervalar é o b t i d o através d a defuzzificação d o s c o n j u n t o s s o l u ç õ e s inferior (d.) e s u p e r i o r ( ds) , a t r a v é s d e q u a l q u e r d o s m é t o d o s d e d e f u z z i f i c a ç ã o fuzzy t r a d i c i o n a i s . O r e s u l t a d o é u m i n t e r v a l o forma-d o p e l o v a l o r forma-d a forma-d e f u z z i f i c a ç ã o forma-d a f u n ç ã o inferior (forma-d.) e s u p e r i o r ( forma-ds) :

D l = [ m i n ( d , d ) , m a x ( d , d )]. ( 5 )

C a s o se deseje calcular u m único valor c o m o s o l u ç ã o para a defuzzificação i n t e r v a l a r , p o d e - s e e x t r a i r o p o n t o m é d i o d o i n t e r v a l o e n c o n t r a d o , isto é:

d = ( d + d ) / 2 ( 6 )

4 E S T U D O DE C A S O : CONTROLA DOR DE TEMPERATURA FUZZY INTERVALAR

C o n s i d e r e o e x e m p l o d e u m s i s t e m a p a r a c o n t r o l a r o t e r m o s t a t o d o aque-c e d o r d e u m v e n t i l a d o r i l u s t r a d o n a figura 3, a d a p t a d a d o e x e m p l o m o s t r a d o e m ( A P T R O N I X , 1 9 9 9 ) . A t e m p e r a t u r a d a sala é d e t e c t a d a a t r a v é s d e u m sensor, o q u a l é u m a d a s e n t r a d a s d o c o n t r o l a d o r d e t e m p e r a t u r a . O u t r o s e n s o r d e t e c t a a u m i d a d e r e l a t i v a d a sala, a q u a l t a m b é m é u m a e n t r a d a p a r a o c o n t r o l a d o r d e t e m p e r a t u r a . O c o n t r o l a d o r t e m c o m o s a í d a a v e l o c i d a d e d o ventilador, ou seja, q u a n d o o v e n t i l a d o r d e v e ser a j u s t a d o p a r a d e i x a r a sala n a t e m p e r a t u r a deseja-d a .

Controlador de Temperatura

Controlador Velocidade Ventilador

Sala

(^Ventilador Sensores Umidade Temperatura F i g u r a 3 - C o n t r o l a d o r de Temperatura Fuzzy

U m t e r m o s t a t o fuzzy i n t e r v a l a r f u n c i o n a s e m e l h a n t e a o t e r m o s t a t o fuzzy, p o r é m , os v a l o r e s c a p t u r a d o s p e l o s s e n s o r e s d e e n t r a d a , u m i d a d e e t e m p e r a t u r a , s e r ã o m e l h o r e s t r a t a d o s a t r a v é s d e c o n j u n t o s fuzzy intervalar, p o i s , p o s s u e m u m a m a r g e m d e e r r o p a r a os v a l o r e s f o r n e c i d o s p e l o s e s p e c i a l i s t a s na c o n s t r u -ç ã o d e s s e s c o n j u n t o s . A s s i m os v a l o r e s d e e n t r a d a d o s i s t e m a s e r ã o m e l h o r d e f i n i d o s , p o i s , p e r m i t e m c o n s i d e r a r a o p i n i ã o d e vários e s p e c i a l i s t a s ao m e s m o t e m p o ( S I L V E I R A ; B E D R E G A L , 2 0 0 1 h ) ; d e s t a f o r m a , a u m e n t a a p r e c i s ã o d o s d a d o s d e s a í d a . A seguir, s e r á e s p e c i f i c a d o o suficiente p a r a ser a n a l i s a d o o d e s e n v o l v i m e n t o d e u m s i s t e m a fuzzy intervalar.

4 . 1 IDENTIFICAÇÃO DAS VARIÁVEIS OU CONJUNTOS FUZZY INTERVALAR

A v a r i á v e l l i n g ü í s t i c a d e e n t r a d a é a temperatura q u e p o s s u i os s e g u i n t e s atributos: g e l a d o , frio, m o r n o e q u e n t e e a variável umidade q u e tem c o m o atribu-tos: alto, m é d i o e b a i x o . A v a r i á v e l d e s a í d a é a velocidade do ventilador q u e p o s s u i os a t r i b u t o s : p a r a d o , b a i x o , m é d i o e alto.

4 . 2 F U N Ç Ã O DE PERTINÊNCIA

A e s c o l h a d a função d e p e r t i n ê n c i a é m u i t o i m p o r t a n t e para o d e s e m p e -n h o d o s i s t e m a . F u -n ç õ e s -n ã o l i -n e a r e s p o d e m ser u t i l i z a d a s , -n o e -n t a -n t o q u a -n d o se t ê m m u i t a s v a r i á v e i s , a u t i l i z a ç ã o d e s t a s f u n ç õ e s p o d e r e q u e r e r g r a n d e q u a n -tidade de m e m ó r i a no seu p r o c e s s a m e n t o . U m a alternativa para a m e n i z a r o esforç o d e p r o c e s s a m e n t o é a i n t e r p o l a esforç ã o d a s funesforções d e p e r t i n ê n c i a m a i s c o m p l e -xas, t r a n s f o r m a n d o - a s e m f u n ç õ e s l i n e a r e s . D e s t a forma, os c o n j u n t o s fuzzy i n t e r v a l a r s ã o b a s e a d o s e m funções t r i a n g u l a r e s , a d i c i o n a n d o u m a m a r g e m d e e r r o d e 0.5 p a r a os v a l o r e s d e m a i o r i n c e r t e z a e e s s a m a r g e m vai d i m i n u i n d o à m e d i d a q u e os v a l o r e s se a p r o x i m a m d a e x t r e m i d a d e , v i s t o q u e s ã o regiões q u e p o s s u e m u m m a i o r grau d e c e r t e z a s o b r e os v a l o r e s . O d o m í n i o d o c o n j u n t o fuzzy intervalar t e m p e r a t u r a é a t e m p e r a t u r a e m g r a u s F a r e n h a i t (°F) e seu univer-so d e d i s c u s s ã o e s t á e n t r e 0 ° F e 100°F (figura 4 ) . O d o m í n i o d o c o n j u n t o fuzzy i n t e r v a l a r u m i d a d e é a p e r c e n t a g e m d e v a p o r d ' á g u a c o n t i d a no ar e o u n i v e r s o c o m p r e e n d e e n t r e 0 % e 1 0 0 % (figura 5).

Figura 4 - Conjunto Fuzzy Intervalar Temperatura Figura 5 - Conjunto Fuzzy Intervalar Umidade

E n q u a n t o o d o m í n i o d o c o n j u n t o fuzzy i n t e r v a l a r v e l o c i d a d e d o v e n t i l a d o r é a v e l o c i d a d e e m r o t a ç õ e s p o r m i n u t o s ( R P M ) e seu u n i v e r s o e s t á e n t r e 0 R P M e 5 0 R P M (figura 6).

4 . 3 R E G R A S E M E C A N I S M O S DE INFERÊNCIA FUZZY INTERVALAR

A s r e g r a s são e l a b o r a d a s b a s e a d a s n o s c o n j u n t o s fuzzy i n t e r v a l a r defini-d o s a n t e r i o r m e n t e e s e r v i r ã o p a r a g e r a r as c o n c l u s õ e s a partir defini-d a s e n t r a defini-d a s defini-d o s i s t e m a . O c o n t r o l a d o r d e t e m p e r a t u r a d e s c r i t o a c i m a p o d e ser d e f i n i d o p e l a s s e g u i n t e s r e g r a s :

R I : If t e m p e r a t u r a is g e l a d a and u m i d a d e is alta Then vel__ventilador is alta.

R2; If temperatura is fria and u m i d a d e is alta Then vel_ventilador is media. R 3 : If t e m p e r a t u r a is m o r n a and u m i d a d e is alta Then vel__ventilador is baixa.

R. FARN, Natal. v . l . n.2, p. 1 0 1 - 1 1 5 ,jan./jun. 2002. 107

R 4 : p a r a d o .

If t e m p e r a t u r a is q u e n t e and u m i d a d e is alta Then v e i _ v e n t i l a d o r is

R 5 : If t e m p e r a t u r a is g e l a d a and u m i d a d e is m é d i a Then v e l _ v e n t i l a d o r is média.

R 6 : íf t e m p e r a t u r a is fria and u m i d a d e is m é d i a Then vel_.ventilador is baixa.

R 7 : / / t e m p e r a t u r a is m o r n a and u m i d a d e is m é d i a Then v e l _ v e n t i l a d o r is p a r a d o .

R 8 : If t e m p e r a t u r a is q u e n t e and u m i d a d e is m é d i a Then v e l _ v e n t i l a d o r is p a r a d o .

R 9 : If t e m p e r a t u r a is g e l a d a and u m i d a d e is b a i x a Then vel__ventilador is média.

R I O : If t e m p e r a t u r a is fria and u m i d a d e is b a i x a Then v e l _ v e n t i l a d o r is baixa.

R I 1: If temperatura is m o r n a and umidade is baixa Then vel_ ventilador is p a r a d o .

R I 2 : If t e m p e r a t u r a is q u e n t e and u m i d a d e is b a i x a Then vel__ventilador is p a r a d o .

E s t a s r e g r a s s e r ã o u t i l i z a d a s t a n t o pela função e limite inferior c o m o p e l a função d e limite superior. S e r á utilizada a inferência m i n - m a x intervalar (Silveira e Bedregal, 2 0 0 1 b ) .

5 EXECUÇÃO DO SISTEMA DE INFERÊNCIA FUZZY INTERVALAR

U m c o n t r o l a d o r fuzzy i n t e r v a l a r t r a b a l h a s e m e l h a n t e a u m s i s t e m a c o n -v e n c i o n a l : e l e a c e i t a u m -v a l o r d e e n t r a d a , d e s e n -v o l -v e a l g u n s c á l c u l o s e g e r a u m valor de saída. E s t e p r o c e s s o é c h a m a d o de s i s t e m a d e inferência fuzzy intervalar e t r a b a l h a c o m as três e t a p a s distintas. A e x e c u ç ã o d o s i s t e m a de inferência fuzzy i n t e r v a l a r é s e m e l h a n t e à e x e c u ç ã o d o s i s t e m a d e inferência fuzzy, A d i f e r e n ç a e s t á na u t i l i z a ç ã o d a s f u n ç õ e s d e limite inferior e superior, q u e s e r ã o t r a t a d a s c o m o d u a s f u n ç õ e s s e p a r a d a m e n t e c o n f o r m e g a r a n t e o t e o r e m a d a c o n t i n u i d a d e d i s c u t i d o a n t e r i o r m e n t e .

5 . 1 FUZZIFICAÇÂO INTERVALAR

P r i m e i r a m e n t e , os d a d o s de e n t r a d a s s ã o f o r n e c i d o s ao s i s t e m a , N e s t e c a s o , os d a d o s s ã o c a p t u r a d o s p e l o s s e n s o r e s d e t e m p e r a t u r a e u m i d a d e q u e s e r ã o t r a n s f o r m a d o s e m v a l o r e s fuzzy. A s e n t r a d a s f o r n e c i d a s ao s i s t e m a s e r ã o fuzzificadas e m intervalo d e pertinência, d e t e r m i n a d o s p e l a função de limite infe-rior e supeinfe-rior, r e s p e c t i v a m e n t e . P a r a o valor d a t e m p e r a t u r a igual a 78°F, t e m - s e o g r a u d e p e r t i n ê n c i a i n t e r v a l a r p a r a q u e n t e igual a [0.2;0.38 ] e p a r a m o r n o igual a [ 0 . 3 8 ; 0 . 7 4 ] . C o n f o r m e m o s t r a a figura 7, p a r a a u m i d a d e d e 7 0 % , o b t é m - s e o g r a u d e p e r t i n ê n c i a i n t e r v a l a r p a r a m é d i o de [0.2;0.5] e o grau de p e r t i n ê n c i a intervalar p a r a alto d e [ 0 . 5 ; 0 . 8 ] , c o m o m o s t r a a figura 8.

Figura 7 - Fuzzificaçâo Intervalar para 78°F Figura 8 - Fuzzificaçâo Intervalar para 7 0 % de umidade

5 . 2 AVALIAÇÃO DAS R E G R A S OU INFERÊNCIA FUZZY INTERVALAR

D u r a n t e a e t a p a d e inferência fuzzy intervalar, a função d e p e r t i n ê n c i a i n t e r v a l a r s e r á d e s m e m b r a d a n a s funções d e limite inferior e d e limite superior, p a r a s e r e m t r a b a l h a d a s s e p a r a d a m e n t e .

P a r a a função d e l i m i t e inferior, as r e g r a s s ã o a v a l i a d a s e a l g u m a s s ã o d i s p a r a d a s a p l i c a d a s e o b t é m - s e c o m o r e s u l t a d o o s e g u i n t e :

P e l a R 3 : A v e l _ v e n t i l a d o r é baixa c o m u m grau de p e r t i n ê n c i a i n t e r v a l a r inferior q u e é o m í n i m o e n t r e o grau d e p e r t i n ê n c i a inferior p a r a ter t e m p e r a t u r a m o r n a (0.38) e u m i d a d e alta (0.5). O u seja min(0.38;0.5)

Pela R 4 : A vel_ventilador é parado com grau de pertinência inferior min(0.2; 0.5).

P e l a R 7 : A v e l _ v e n t i l a d o r é parado c o m grau de p e r t i n ê n c i a inferior min(0.38; 0.2).

Pela R 8 : A vel_ventilador é parado c o m grau de pertinência inferior min(0.2;

C o m o r e s u l t a d o , o m í n i m o d e c a d a regra é p r o j e t a d o n o c o n j u n t o fuzzy inferior d o c o n s e q ü e n t e d a s r e g r a s , c o n j u n t o fuzzy inferior d a v e l o c i d a d e d o ventilador. C o m o m o s t r a a figura 9.

F i c a n d o - s e c o m a r e g i ã o m á x i m a d a p r o j e ç ã o das regras ilustrada na figura 10, a r e g i ã o fuzzy s o l u ç ã o inferior. P a r a a função de limite s u p e r i o r p r o c e d e - s e s e m e l h a n t e m e n t e .

Pela R 3 : A v e l _ v e n t i l a d o r é baixa c o m u m grau d e p e r t i n ê n c i a intervalar superior q u e é o m í n i m o entre o grau d e pertinência superior para t e m p e r a t u r a m o r n a (0.74) e u m i d a d e alta (0.8). O u seja min(0.74;0.8)

Pela R 4 : A vel_ventilador é p a r a d o c o m grau de pertinência superior min(0.38; 0,8)

Pela R 7 : A vel_ventilador é p a r a d o c o m grau de pertinência superior min(0.74; 0.5)

Pela R 8 : A vel_ventilador é p a r a d o c o m grau de pertinência superior min(0.38; 0.5) C o m o r e s u l t a d o o m í n i m o de c a d a regra é projetada n o c o n j u n t o fuzzy s u p e r i o r d o c o n s e q ü e n t e d a s r e g r a s , c o n j u n t o fuzzy s u p e r i o r d a v e l o c i d a d e d o ventilador. C o m o m o s t r a a figura 11.

0.2).

Figura 9 - Inferência Fuzzy Intervalar M i n - M a x Inferior Figura 10 - Região Fuzzy Solução Inferior

Figura 11 - Inferência F u z z y Intervalar M i n - M a x S u p e i o r

S u p e r i o r

Figura 12 - Região Fuzzy Solução

O b t e n d o - s e a r e g i ã o fuzzy s o l u ç ã o s u p e r i o r ilustrada na figura 12.

5 . 3 DEFUZZIFICAÇÃO INTERVALAR

A defuzzificação intervalar D é u m intervalo o b t i d o pela defuzzificação da r e g i ã o fuzzy inferior e superior, r e s p e c t i v a m e n t e , d e a c o r d o c o m a e q u a ç ã o :

D = [ m i n ( di, ds) ; m a x ( d , d ) ]

Defuzzificação d a região fuzzy inferior é u m valor a p r o x i m a d a m e n t e igual a 12.56 R P M , (ilustrado na figura 13).

A d e f u z z i f i c a ç ã o c e n t r ó i d e é d a d a p o r

d. = (0*0.2+8.1*0.2+11*0.38+19*0.38+21.9*0.2+25*0) / (0.2+0.2+0.38+0.38+0.2+0) d. = 12.79 RPM _i

E a d e f u z z i f i c a ç ã o d a r e g i ã o fuzzy d e limite s u p e r i o r é a p r o x i m a d a m e n t e igual a 12.33 R P M , (ilustrado na figura 14).

d = (0*0.5+8.5*0.5+11.2*0.74+18.4*.74+21.2*0.5+25*0) / (0.5+0.5+0.74+0.74+0.5+0)

Figura 13-Defuzzificação Intervalar Inferior Figura 14-Defuzzificação Intervalar Superior

A s s i m a defuzzificação intervalar é o intervalo D = [ 12.33; 12,79]

E n c o n t r a n d o o p o n t o m é d i o d o intervalo a c i m a , e n c o n t r a - s e um valor final para a defuzzificação, igual a:

D = 1 2 . 5 6

Este valor possui u m grau de p r e c i s ã o m a i o r q u e o fuzzy, pois foi d a d o u m a m a r g e m d e e r r o aos v a l o r e s d u r a n t e a c o n s t r u ç ã o d a função de p e r t i n ê n c i a , a s s i m c o m o n ã o foram d e s c a r t a d o s v a l o r e s c o m i n t e r p o l a ç ã o ou simplificações q u e p e r d e m v a l o r e s i m p o r t a n t e s p a r a o d e s e n v o l v i m e n t o d o sistema.

6 CONSIDERAÇÕES FINAIS

A p e s a r d e m u i t o s trabalhos e s t a r e m s e n d o p r o d u z i d o s utilizando intervalos na d e t e m i n a ç ã o d o grau de p e r t i n ê n c i a , este foi d e s e n v o l v i d o c o m o objetivo principal d e o b t e r u m s i s t e m a de inferência fuzzy intervalar, q u e é o p r o d u t o final deste artigo.

O e s t u d o d e c a s o foi d e s e n v o l v i d o e m p i r i c a m e n t e , s e m a a j u d a d e e s p e c i a l i s t a n a área, a s s i m c o m o a m a r g e m d e erro utilizada no e x e m p l o .

O s r e s u l t a d o s na defuzificação são b a s t a n t e p r ó x i m o s c o m r e l a ç ã o aos sistemas fuzzy ( 1 2 . 5 6 e 12.76). Este e x e m p l o , e m particular, não possui u m impacto g r a n d e m a s , c e r t a m e n t e , terá se for a p l i c a d o e m s i t u a ç õ e s o n d e a p r e c i s ã o de d é c i m o s ou até m i l é s i m o s sejam r e l e v a n t e s , c o m o e m p r o b l e m a s de e c o n o m i a ou e x t r a ç ã o d e p e t r ó l e o , o n d e u m a p e q u e n a diferença na fusão d e u m barril faz u m a g r a n d e d i f e r e n ç a q u a n d o se t e m m i l h a r e s d e barris de p e t r ó l e o .

REFERÊNCIAS

A P T R O N I X . F u z z y Inference D e v e l o p m e n t E n v i r o n m e n t Disponível em: <http:/ /www.aptronix.com/index-fuzzy.htm> A c e s s o e m : 30 m a i o 1999.

BOJ ADZJEy, G.; BOJADZIEV, M . Fuzzy Sets, Fuzzy Logic, Appficatíons. Singapore: World Scientific Publishing, 1996.

C O X , E. T h e Fuzzy S y s t e m s H a n d b o o k : the practitioner's guide to building, using, and m a i n t a i n i n g fuzzy s y s t e m s . C a n a d a : A c a d e m i c Press Professional, 1994. K R E I N O V I C H , V.; M U K A I D O N O , M . Intervals (Pairs of F u z z y Values), Triples, e t c : C a n W e T h u s G e t a n A r b i t r a r y O r d e r i n g ? , I n : I N T E R N A T I O N A L C O N F E R E N C E O N F U Z Z Y S Y S T E M S , 2000, San Antônio. Proceedings...

San A n t ô n i o , 2 0 0 0 . v. 1, p. 2 3 4 - 2 3 8 .

K R E I N O V I C H , V et al. F r o m Interval M e t h o d s of R e p r e s e n t i n g Uncertainty to a General Description of Uncertainty. In: Mohanty, Hrushikesha; Baral, Chitta (eds.). Trends in Information Technology. Tata McGraw-Hill, 2000.

N G U Y E N , H.T.; W A L K E R , E. A . A First Course in Fuzzy Logic.Rorida: Chapman and Hall, 1999.

R O C H A L. M . ; K R E I N O V I C H , V. C o m p u t i n g Uncertainty in Interval Based Sets. In: Keartfott, R. B . ; K r e i n o v i c h , V ( E d s . ) A p p l i c a t i o n s o f I n t e r v a l C o m p u t e r . Dordrecht: K l u w e r A c a d e m i c Press, 1996. p. 3 3 7 - 3 8 0 .

R O C H A , L. M . E v i d e n c e S e t s : C o n t e x t u a l C a t e g o r i e s . In: m e e t i n g o n c o n t r o l m e c h a n i s m s for c o m p l e x systems, 1997, N e w México. Proceedings... N e w México: N M S U Press, 1997. p. 3 3 9 - 3 5 7 .

. E v i d e n c e Sets: m o d e l l i n g subjective categories. I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l of G e n e r a l S y s t e m s , L o n d o n , v.27, p . 4 5 7 - 4 9 4 , 1 9 9 7 .

S I L V E I R A , M . M . M . T ; B E D R E G A L , B . R. C. T o w a r d an Interval Fuzzy System. In: I N T E R N A T I O N A L , C O N F E R E N C E O N A R T I F I C I A L I N T E L L I G E N C E . Las Vegas. Proceedings... L a s Vegas, 2 0 0 1 . V 1 , p. 931 - 9 3 7 .

. U m M é t o d o d e I n f e r ê n c i a M i n M a x F u z z y Intervalar. In: E N C O N T R O N A C I O N A L D E I N T E L I G Ê N C I A ARTIFICIAL,, 2 0 0 1 , Fortaleza.

. Conjunto Fuzzy Intervalar. In: E N C O N T R O R E G I O N A L D E M A T E M Á T I -C A A P L I -C A D A A -C O M P U T A Ç Ã O , 2 0 0 1 , Recife. Anais... Recife, 2 0 0 1 .

. Versões i n t e r v a l a r e s d e a l g u n s m é t o d o s d e inferência e defuzzificação fuzzy. In: C O N G R E S S O N A C I O N A L D E M A T E M Á T I C A C O M P U T A C I O N A L , 2 0 0 1 , B e l o Horizonte. R e s u m o s . . . B e l o H o r i z o n t e : S o c i e d a d e d e M a t e m á t i c a Apli-c a d a e C o m p u t a Apli-c i o n a l , 2 0 0 1 .

. C o n c e p ç ã o d e u m Sistema F u z z y Intervalar. Bate B y t e M a g a z i n e , n. 113,p. 4 - 5 . C o m p a n h i a de Informática d o Paraná, Brasil, 2 0 0 1 .

. A M e t h o d of Inference and Defuzzification F u z z y Interval. In: A R T I F I C I -A L I N T E L L I G E N C E -A N D -APPLIC-ATION, 2001, Marbella. Proceedings... Marbella: I A S T E D , p . 4 - 7 , 2 0 0 1 .

. U m a teoria d e conjuntos fuzzy intervalar. In: J O R N A D A S C H I L E N A S D E C O M P U T A Ç Ã O , Chile. A n a i s . . . Chile, 2 0 0 1 . 1 C D - R O M .

. U m m é t o d o d e s i m p l i f i c a ç ã o d e c o n j u n t o s fuzzy u s a n d o i n t e r v a l o s . In: C O N G R E S S O F L O G I C A P P L I E D T O T E C H N O L O G Y , 2 0 0 1 , São Paulo. A n a i s . . . S ã o P a u l o , 2 0 0 1 . v.2, p. 2 4 7 - 2 5 4 .

T U R K S E N , I. B . "Interval value fuzzy sets based on normal form. F u z z y Sets a n d S y s t e m s , A m s t e r d a m , 1986. n . 2 0 , p . 191-210.

Y A M , Y.; M U K A I D F O N O , M . ; K R E I N O V I C H , V. B e y o n d [0,1] to interval and further: d o w e ali n e w fuzzy values?. In: I F S A W O R L D C O N G R E S S , 1999, Taiwan. P r o c e e d i n g s . . . T a i w a n : I F S A , 1999. p. 143-146.

Z A D E H , L.A. Fuzzy Sets. I n f o r m a t i o n C o n t r o l , [s.l.], n . 8 , 1 9 6 5 .

Abstract

In fuzzy inference systems, the specification of membership degree is made by the mapping of the uncertainty degree in the interval [O,1 ]. However, that interval many times it is not enough modelling cases in that the precision of the data is very important for the problem. For that, it is necessary the specification of sub-intervals of the interval [0,1] for the membership degree, állowing obtaining of more necessary results. In this work, a fuzzy intervallic inference system is presented, and also an example.

K e y w o r d s : Fuzzy Logic; Interval Mathematics; Interval Fuzzy

Inference.