DIM DPLL e teorias DIM / 39

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DIM0436

23. DPLL e teorias

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Sumário

1 Provadores SAT

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1 Provadores SAT

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Exemplo de árvore binária de decisão

Φ = (¬A ∨ B) ∧ (¬B ∨ C )

Árvore de decisão

A B C v1 1 v2 0 1 C v3 1 v4 0 0 1 B C v4 1 v6 0 1 C v7 1 v8 0 0 0

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FNC

∆ = CNF (Φ) = {{¬A, B}, {¬B, C }} ∆ | A, ¬B = {{⊥, ⊥}, {>, C }}} = A B C v1 1 v2 0 1 C v3 1 v4 0 0 1 B C v4 1 v6 0 1 C v7 1 v8 0 0 0 F

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Melhorada possível

∆ = CNF (Φ) = {{¬A, B}, {¬B, C }} ∆ | ¬A, ¬B = {{>, ⊥}, {>, C }}} =

Todas as cláusulas são subsumidas uma vez que {A 7→ 0, B 7→ 0} A B C v1 1 v2 0 1 C v3 1 v4 0 0 1 B C v4 1 v6 0 1 C v7 1 v8 0 0 0 F S

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DPLL(∆, d)

if ∆ = {} then return {} else if {} ∈ ∆ then

returnUNSAT

else if L= DPLL(∆|Pd +1, d +1) 6= UNSAT then

return L ∪ Pd +1

else if L= DPLL(∆|¬Pd +1, d +1) 6= UNSAT then

return L ∪ ¬Pd +1

else

returnUNSAT

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Resolução unitária

Problema

Seja ∆ = {{¬A, B}, {¬B, ¬C}, {C, ¬D}} ∆|A = {{B}, {¬B, ¬C }, {C , ¬D}} Nesse ponto ∆ 6= {} ∧ {} 6∈ ∆ Mas poderíamos já declarar sucesso

Propagação unitária

Antes do teste de sucesso/falha, propagar cláusulas unitárias A fase de resolução unitária produz dois resultados

I I : literais presentes como cláusulas unitárias ou derivados por resolução

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Exemplos

1 _{∆ = {{¬A, ¬B}, {B, C }, {¬C , D}, {A}}} I I = {A, ¬B, C , D} I Γ = {} 2 _{∆ = {{¬A, ¬B}, {B, C }, {¬C , D}, {C }}} I I = {C , D} I Γ = {{¬A, ¬B}}

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Algoritmo DPLL

_Unit

(∆)

(I , Γ) ← UNIT − RESOLUTION(∆) if Γ = {} then return I

else

if {} ∈ Γ then returnUNSATISFIABLE

else

choose a literal L in Γ

if L= DPLL(Γ|L) 6= UNSATISFIABLE then return L ∪ I ∪ {L}

else if L= DPLL(Γ|¬L) 6= UNSATISFIABLE then return L ∪ I ∪ {¬L}

elsereturnUNSATISFIABLE

end if end if end if

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Backtracking cronológico

Se os dois valores duma variável ao nível n geram uma contradição, o algoritmo DPLLUnit volta ao nível n − 1

Se o backtracking voltar até o nível 0 a FNC é incoerente.

Diferenças

Mudar do nível corrente a um nível inferior é backtracking

Se o backtracking ao nível n for feito só após tentar os 2 valores ao nível n +1, é backtracking cronológico

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Exemplo

∆ = 1 _{{A, B}} 2 _{{B, C }} 3 {¬A, ¬X , Y } 4 _{{¬A, X , Z }} 5 _{{¬A, ¬Y , Z }} 6 _{{¬A, X , ¬Z }} 7 _{{¬A, ¬Y , ¬Z }} A B C X 0|1 1 X 0|1 0 1 X 0|1 0 1 {}

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Backtracking não cronológico

Conjunto de conflito

Backtracking não cronológico pode ser usado após identificação de toda valoração que contribui à derivação da cláusula vazia.

Esse conjunto é o conjunto de conflito

Em vez de um backtracking até a última variável mudada, o algoritmo volta à variável de decisão mais recente do conjunto de conflito.

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Exemplo

∆ = 1 _{{A, B}} 2 _{{B, C }} 3 _{{¬A, ¬X , Y }} 4 {¬A, X , Z } 5 _{{¬A, ¬Y , Z }} 6 _{{¬A, X , ¬Z }} 7 _{{¬A, ¬Y , ¬Z }} 1 _{{A 7→}1, B 7→ 1, C 7→ 1, X 7→ 1} 2 Por resolução unitária, Y 7→ 1, Z 7→ 1} 3 Cláusula ?? vira vazia

4 O conjunto de conflito é

{A 7→1, X 7→ 1, Y 7→ 1, Z 7→ 1}

5 Vamos dar um outro valor a X 6 Outro conflito :

{A 7→1, X 7→ 1, Z 7→ 1}

7 Como não tem mas valores para X ,

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Pista de melhorada

∆ = 1 _{{A, B}} 2 _{{B, C }} 3 _{{¬A, ¬X , Y }} 4 _{{¬A, X , Z }} 5 _{{¬A, ¬Y , Z }} 6 _{{¬A, X , ¬Z }} 7 _{{¬A, ¬Y , ¬Z }}

Cada vez que a resolução unitária descobre uma contradição, tem a possibilidade de identificar uma cláusula implicada pela FNC

Essa cláusula permitiria a realização de novas implicações pela resolução unitária (assim {¬A, ¬X } é uma consequência da FNC acima)

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Grafo de implicação

Como ler o grafo

3/Y = 1: a variável Y é valorada a verdadeira ao nível 3, usando cláusula 3, A 7→1, X 7→ 1 0/A 7→ 1 1/B 7→ 1 2/C 7→ 1 3/X 7→ 1 3/Y 7→ 1 3/Z 7→ 1 3/{} 5 3 3 5 7 7 7 0/A 7→ 1 0/X 7→ 0 0/Z 7→ 1 0/{} 4 8 6 4 6 6

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Calcular uma cláusula conflito

Todo corte do grafo de implicação define um conjunto de conflito enquanto o corte separa as variáveis de decisão da contradição.

Todo nó com uma aresta saindo cruzando o corte faz parte do conjunto de conflito.

Após a identificação de um conjunto de conflito, a cláusula de conflito é calculada a partir da negação da valoração do conjunto de conflito

Assim se ele for {A 7→ 1, B 7→ 0, C 7→ 0}, a cláusula de conflito é {¬A, B, C} Uma cláusula de conflito gerada a partir de cortes que contem exatamente uma variável valorada nesse nível são asserting.

I Cláusulas asserting são necessárias para a completude

I O nível de asserção é o segundo maior nível da cláusula de conflito, -1 se não

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Cortes

0/A 7→ 1

1/B 7→ 1

2/C 7→ 1

3/X 7→ 1

3/Y 7→ 1

3/Z 7→ 1

3/{}

5

3

5

7

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Algoritmo DPLL+

D ← () . sequência vazia de decisões

Γ ← {} .nenhuma cláusula aprendida

whiletrue do

if Unit-resolution acha uma contradição em ∆, Γ, D then

if D = () then .contradição sem decisão

returnUNSAT

else .backtracking

α ←cláusula assertinda m ←nível de asserção de α

D ←primeiras m decisões de D . apagar decisões lm+1, . . .

Γ ← {α} ∪ Γ end if

else .sem contradição por resolução unitária

if l é um literal ∧ nem l nem ¬l são implicadas por resolução unitária (∆, Γ, D) then

D← D; l . nova decisão l em D

else

returnSAT end if

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Exemplo final

∆ = 1 {A, B} 2 _{{B, C }} 3 _{{¬A, ¬X , Y }} 4 _{{¬A, X , Z }} 5 _{{¬A, ¬Y , Z }} 6 _{{¬A, X , ¬Z }} 7 _{{¬A, ¬Y , ¬Z }} 1 _{D = (), Γ = {}} 2 Suponha que D = (A 7→1, B 7→ 1, C 7→ 1, X 7→ 1)

3 _{Cláusula de conflito {¬A, ¬X }}de nível 0 4 _Backtrackingao nível de asserção :

D = (A 7→1), Γ = {{¬A, ¬X }}

5 _{Resolução unitária}acha um conflito, gerando

{¬A}com nível (-1).

6 _Backtracking: D = (), Γ = {{¬A, ¬X }, {¬A}} 7 . . .

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Exemplo final

D = (A 7→1), Γ = {{¬A, ¬X }}

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Exemplo final

3 _{Cláusula de conflito {¬A, ¬X }}de nível 0

4 _Backtrackingao nível de asserção :

D = (A 7→1), Γ = {{¬A, ¬X }}

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Exemplo final

D = (A 7→1), Γ = {{¬A, ¬X }}

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Exemplo final

D = (A 7→1), Γ = {{¬A, ¬X }}

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Exemplo final

D = (A 7→1), Γ = {{¬A, ¬X }}

6 _Backtracking: D = (), Γ = {{¬A, ¬X }, {¬A}}

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Exemplo final

D = (A 7→1), Γ = {{¬A, ¬X }}

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1 Provadores SAT

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Teoria de primeira ordem

Definição

Uma teoria de primeira ordem T é definida por

uma assinatura Σ: um conjunto de constantes, funções e símbolos de predicados

um conjunto de axiomas A, um conjunto de fórmulas de primeira ordem nas quais só constantes, funções e predicados de Σ aparecem.

Uma Σ-fórmula contem constantes, funções e predicados de Σ bem como conectivos lógicos e quantificadores.

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Igualdade

1 _{∀x x = x}

2 _{∀x, y x = y ⇒ y = x}

3 ∀x, y , z x = y ∧ y = z ⇒ x = z

4 para todo inteiro positivo n e símbolo de função f de aridade n

∀¯x , ¯y ,V

ixi = yi ⇒ f (¯x ) = f (¯y )

5 para todo inteiro positivo n e símbolo de predicado p de aridade n

∀¯x , ¯y ,V

(30)

Aritmética de Peano

Assinatura

ΣPA= {0, 1, +, ∗, =}

Axiomas

1 _{∀x ¬(x +}1 = 0) 2 _{∀x, y x +}1 = y + 1 ⇒ x = y 3 _{F (}0) ∧ ∀x; (F (x) ⇒ F (x + 1)) ⇒ ∀x F (x) 4 _{∀x x +}0 = x 5 _{∀x, y (x + (y +}1) = (x + y) + 1) 6 _{∀x x ∗}0 = 0 7 _{∀x, y x ∗ (y +}1) = x ∗ (y + x)

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Interpretação e decidibilidade

Interpretação: α

I αI[0] . =0_N αI[1] . =1_N αI[+] . = +_N αI[∗] . = ∗_N αI[=]==. _N

Decidibilidade

Satisfazibilidade e validade em TPA é indecidível.

O primeiro teorema de incompletude de Gödel implica que a aritmética de Peano não captura a "aritmética verdadeira".

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Aritmética de Presburger

Assinatura

Σ_N= {0, 1, +, =}

Axiomas

1 ∀x ¬(x +1 = 0) 2 _{∀x, y x +}1 = y + 1 ⇒ x = y 3 _{F (}0) ∧ ∀x; (F (x) ⇒ F (x + 1]) ⇒ ∀x F (x) 4 _{∀x x +}0 = x 5 _{∀x, y (x + (y +}1) = (x + y) + 1)

Observação sobre indução

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Interpretação e decidibilidade

Interpretação : α

I αI[0] . =0_N αI[1] . =1_N αI[+] . = +_N αI[=] . ==_N

Decidibilidade (Presburger)

T_Né decidível.

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Usar a aritmética de Presburger para Z

Considere a fórmula F0= ∀w , x ∃y , z (x +2y − z − 13 > −3w − 5)

Introdução de diferenças

F1= ∀wn, wp, xn, xp∃yn, yp, zn, zp (xp− xn+2(yp− yn) − (zp− zn) −13 > −3(wp− wn) −5)

Eliminação de −

F2= ∀wn, wp, xn, xp∃yn, yp, zn, zp $(xp + 2yp+ zn) + 3wp + 5 > xn+ 2yn + zp + 3wn + 13 $

Eliminação de ∗

F3= ∀wn, wp, xn, xp∃yn, yp, zn, zp∃u ¬(u =0) ∧ (xp+ yp+ yp+ zn+ wp+ wp+ wp+ u =

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(36)

Eliminação dos quantificadores

Admissibilidade

Uma teoria T admite eliminação dos quantificadores se existir um algoritmo que, dado uma Σ-fórmula F , calcula uma fórmula G sem quantificadores

T-equivalente a F .

Exemplo

Seja F = ∃x · 2x = y.

Se F for uma ΣQ-fórmula, G = >

Se F for uma ΣZ-fórmula, G =??

Predicado de divisibilidade

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Método de Cooper

Objetivo

A entrada uma cΣ_Z-fórmula ∃x F (x), com F uma fórmula sem quantificador, mas com outras variáveis livres que x.

O algoritmo vai construir uma cΣ_Z-fórmula sem quantificador c T_Z-equivalente a ∃x F (x).

Etapa 1

Calcular a NNF de F (x), chamada de F1(x ). ∃x F (x) ≡ c TZ ∃x F1(x )

(38)

Método de Cooper (etapa 2)

Reescrita de literais

1 _{s = t → s < t +}1 ∧ t < s + 1 2 _{¬(s = t) → s < t ∨ t < s} 3 _{¬(s < t) → t < s +}1

Análise da saida

A saída ∃x F2(x ) ≡_c_T

Z ∃x F1(x )e contem só literais da forma

s < t, k|t ou ¬(k|t)

Exemplo

(39)

Método de Cooper (etapa 3)

Descrição

Reunir os termos contendo x, para que os literais tiverem a forma hx < t, t < hx, k|hx + t ou ¬(k|hx + t) com x ¬∈ t

Saída

∃x F3(x ) ≡_T_c

Z ∃x F2(x )

Exemplo

(40)

Método de Cooper (etapa 4)

Descrição

Seja δ = mmc{h|hcoeficientedexemF3(x )}. 1 _{hx < t → δx < h}0_t _h0_{h = δ} 2 _{t < hx → h}0_{t < δx} _h0_{h = δ} 3 _{k|hx + t → h}0_{k|δx + h}0_t _h0_{h = δ} 4 _{¬(k|hx + t) → ¬(h}0_{k|δx + h}0_t) _h0_{h = δ}

Análise da saída

h0k| · ¬k|· A fórmula obtida é F0 3 1 _{Seja F ”}₃_{= F}₃0_{{δx 7→ x}0_} 2 _∃x0_F₄_(x0_{) = ∃x}0_{F ”}₃_(x0_{) ∧ δ|x}0

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Método de Cooper (etapa 5)

Descrição

Construir a projeção esquerda infinita F−∞(x0)de F4(x0)

Reescrita de

1 _x0_{< a → >} 2 _{b < x}0_{→ ⊥}

Seja

I γ = mmc{h dos literais h|x0+ c, k dos literais k|x0+ d }

I B = {b dos literais (B)}

Construir F5=Wγ_{j =1}F−∞(j ) ∨Wγj =1

W

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Exercícios

Assunto

Transforme com o método de Cooper as fórmulas abaixo:

1 _∃x 3x − 2y + 1 > −y ∧ 2x − 6 < z ∧ 4|5x + 1

2 _∃x 2x = y

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Resumo

1 Provadores SAT

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Referências

Armin Biere, Marijn Heule, Hans van Maaren, and Toby Walsh (eds.), Handbook of Satisfiability, IOS Press, 2009.

Aaron R. Bradley and Zohar Manna, The Calculus of Computation: Decision Procedures with Applications to Verification, Springer-Verlag New York, Inc., Secaucus, NJ, USA, 2007.

Daniel Kroening and Ofer Strichman, Decision Procedures: An Algorithmic Point of View, 1 ed., Springer Publishing Company, Incorporated, 2008.

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