MODELAGEMDOSISTEMACIRCULATÓRIOHUMANONAPRESENÇADEUMCORAÇÃO ARTIFICIALEPROJETODEUMCONTROLADORFISIOLÓGICOPARAAUXILIARAFUNÇÃO
CARDÍACA
THIAGO D.CORDEIRO,WALTER BARRA JR.,JOSÉ A.L.BARREIROS,ORLANDO F.SILVA Laboratório de Controle de Processos, Universidade Federal do Pará
Caixa Postal 8619, 66075-900, Belém, PA
E-mails: thiago237@gmail.com, walbarra@ufpa.br, barreiro@ufpa.br,
cartav@ufpa.br, orfosi@ufpa.br
Abstract This paper presents the development and validation of a simulation tool for the study of human circulatory system
dynamics. The simulation tool represents the dynamic of the human circulatory system in the presence of a left ventricular assist device. The tool was developed by using the Matlab/Simulink environment and can be useful for both: to simulate some circulatory system disease as well as to design embedded controllers for the electromechanical auxiliary devices for the circulatory system. By using a state space model, the study of several cases of the patients with congestive heart failure can be carried out. The main nonlinear characteristics of circulatory system were considered in the model, including some time-variant critical parameters. By means of changes in the parameters of the state space model, it is possible to simulate different physiological patient conditions, such as rest and physical activity conditions. In order to complement the simulation study, a digital controller was designed to regulate the mean value of the blood flow. The controller uses an electrical pump as the actuator subsystem. The simulation results showed a good performance of the developed simulation tool. The designed controller performed well, ensuring a safe level for the hemodynamic variables.
Keywords Modeling, Human Circulatory System Left Ventricular Assist Device, Simulation, Physiological Controller,
Physical Activities Levels.
Resumo Neste artigo apresenta-se o desenvolvimento e validação de uma ferramenta para simulação e estudo da dinâmica do
sistema circulatório humano. A ferramenta representa a dinâmica do sistema circulatório na presença de um dispositivo auxiliar para o ventrículo esquerdo, tendo sido desenvolvida utilizando-se o ambiente Matlab/Simulink. Tal tipo de ferramenta pode ser útil tanto para simular patologias quanto para projetar e testar controladores para uso em dispositivos auxiliares ao sistema circulatório. Utilizando-se uma modelagem baseada em espaço de estados, pode-se realizar o estudo de diversos casos de pacientes com insuficiência cardíaca. As principais características não-lineares do sistema circulatório foram representadas no modelo, incluindo alguns parâmetros críticos, cujo comportamento é variante no tempo. Através de variações nos parâmetros do modelo, é possível simular diferentes condições fisiológicas do paciente, tais como as situações de repouso e de atividade física. Para complementar os estudos de simulação, um controlador foi projetado para regular o valor médio do fluxo sanguíneo. O controlador utiliza, como seu subsistema de atuação, uma bomba acionada por motor elétrico. Os resultados dos estudos de simulação mostraram tanto o bom desempenho da ferramentade simulação quanto do controlador projetado, garantindo que as variáveis hemodinâmicas ficassem em um nível seguro.
Palavras-chave Modelagem, Sistema Circulatório humano, Dispositivo de Assistência ao Ventrículo Esquerdo, Simulação,
Controlador Fisiológico, Níveis de Atividade Física. 1 Introdução
O sistema cardiovascular humano (SCH) transporta substâncias de excreção para descarte e conduz hormônios e nutrientes por todo o corpo, mantendo condições ótimas de sobrevivência e de funcionamento das células (Guyton, 2002). Pacientes com deficiências no coração são candidatos a transplantes cardíacos. Contudo, alguns não possuem os requisitos para este tipo de operação e o número de doadores é limitado. Com isso, têm-se utilizado os chamados corações artificiais, geralmente Dispositivos de Assistência ao Ventrículo Esquerdo (DAVE) (Wu, 2004), implantados entre o ventrículo esquerdo e a Aorta (Figura 1).
Pesquisadores têm explorado o uso desses dispositivos para aumentar o tempo de vida de pacientes em uma etapa anterior ao transplante, juntamente com o desenvolvimento de um sistema de controle capaz de alterar a velocidade de rotação do DAVE, mediante alterações nos níveis de atividade física. Do ponto de vista de controle, o sistema
cardiovascular tem sido representado com um modelo elétrico dinâmico, representando o comportamento do SCH em diferentes condições fisiológicas, pela manipulação dos parâmetros deste modelo (Wu, 2004).
Figura 1. Configuração de um DAVE (Fonte:
http://www.tmc.edu/thi/thoratec_heartmateii.html).
Neste artigo, o SCH é representado por um modelo de quinta ordem não linear e variante no tempo (Simaan, 2009), tornando-se de sexta ordem com a inserção do DAVE. Uma síndrome conhecida como Insuficiência Cardíaca Congestiva foi simulada através da manipulação de parâmetros e, por fim, um modelo baseado na velocidade de rotação e no fluxo
sanguíneo através da bomba foi identificado e utilizado para projetar um controlador fisiológico, a fim de melhorar a resposta dinâmica do SCH.
2 Modelo do Sistema Circulatório Humano
Em (Simaan, 2009) foi desenvolvido um modelo de 5ª ordem que reproduz a hemodinâmica do SCH (Figura 2). Os parâmetros desse modelo são encontrados em (Simaan, 2009).
Figura 2. Circuito elétrico de 5ª ordem análogo ao sistema
cardiovascular humano (adaptado de (Simaan, 2009)).
O comportamento variante no tempo de C(t) é o inverso da função elastância (E(t) = 1/C(t)), a qual descreve a relação entre a pressão e o volume do ventrículo (Stergiopulos, 1996).
(1) onde En(tn), elastância normalizada, é dada por (2):
(2)
onde tn = t/Tmax=0.2+ tc0.15, tc = 60/HR é o intervalo do ciclo cardíaco e HR é a freqüência cardíaca (Simaan, 2009). A Figura 3 mostra a curva desta função com Emax=1.4 mmHg/ml e Emin=0.06 mmHg/ml.
As variáveis de estado do modelo da Figura 2 estão na Tabela 1 e sua realização em espaços de estado é dada por:
(3) onde: € Ac(t) = − ˙ C (t) C(t) 0 0 0 0 0 −1 RSCR 1 RSCR 0 0 0 1 RSCS −1 RSCS 0 1 CS 0 0 0 0 −1 CA 0 0 −1 LS 1 LS −RC LS
O vetor p(x) modela o comportamento não-linear dos diodos e a função r(x) representa os estados dos diodos (conduzindo ou não).
Figura 3. Função Elastância do ventrículo esquerdo.
Tabela 1. Variáveis de estado do sistema cardiovascular. Variáveis Nome Significado Fisiológico
x1(t) PVE(t) Pressão no ventrículo esquerdo (mmHg)
x2(t) PAE(t) Pressão no átrio esquerdo (mmHg)
x3(t) PA(t) Pressão Arterial (mmHg)
x4(t) PAo(t) Pressão aórtica (mmHg)
x5(t) QT(t) Fluxo Total (ml/s)
3 Simulação e validação
Na Figura 5, a curva em cor preta representa a pressão aórtica em um adulto saudável em repouso e com freqüência cardíaca de 75 batimentos por minuto (bpm) (Guyton, 2002). Esta simulação utilizou a ferramenta desenvolvida neste trabalho, através do ambiente Matlab/Simulink (Figura 4).
Figura 4. Simulador desenvolvido no ambiente Matlab/Simulink. A maioria das falhas no funcionamento do SCH é causada por deficiências na função sistólica do ventrículo esquerdo. A insuficiência cardíaca, por exemplo, é uma síndrome na qual uma anormalidade na função cardíaca é responsável pela inabilidade do coração em bombear um volume sanguíneo que atenda às necessidades metabólicas dos tecidos. Em corações não saudáveis, o valor da elastância é menor, a freqüência cardíaca aumenta naturalmente para tentar compensar a saída cardíaca e os vasos periféricos se contraem para que o fluxo sanguíneo principal se desloque para órgãos vitais, como o coração e o cérebro. Isto resulta em um aumento da resistência sistêmica total mantendo a pressão arterial em níveis normais (Cecil, 2005).
Com base nestas informações, para a simulação de um paciente com disfunção cardíaca, foram
alterados os seguintes parâmetros: Emax = 1.2 mmHg/ml, RS = 1.6 mmHg.s/ml e freqüência
cardíaca de 90 bpm (o valor de RS utilizado na simulação para uma pessoa saudável foi de 1.4 mmHg.s/ml). Percebe-se na Figura 5, que os níveis máximos da pressão aórtica diminuem e que os mínimos aumentam, simulando bem a degradação da função de elastância do ventrículo esquerdo.
Figura 5. Pressão aórtica: coração saudável e com insuficiência.
4 Modelagem do DAVE
Adicionando o DAVE ao modelo, tem-se uma sexta variável de estado x6(t), representando o fluxo sanguíneo através deste dispositivo (Figura 6). Os componentes Ri, RO, Li e Lo representam as resistências e as indutâncias na entrada e na saída do DAVE, respectivamente. O fenômeno de sucção, que será explicados posteriormente, é modelado através do parâmetro Rk (Simaan, 2009):
(4)
Figura 6. Circuito elétrico de 6ª ordem análogo ao sistema
cardiovascular humano (adaptado de (Simaan, 2009)).
A variável H representa a diferença de pressão gerada pelo DAVE, com a seguinte equação:
(5)
onde β0, β1 e β2 são parâmetros específicos do DAVE utilizado neste trabalho com os seguintes valores respectivamente: -0.17070, -0.02177 e 9.9025*10-5. Com a adição do DAVE a nova realização em espaço de estados é escrita como:
˙
x = A(t)x + P(t) p(x) + bu(t) (6)
onde:
Os parâmetros LL e RR são descritos como:
(7) Nesta nova realização, a variável de controle é a velocidade de rotação do DAVE, , cujo valor será alterado, através de um controlador fisiológico, de acordo com o nível de atividade física que o paciente se encontra. O nível do fluxo sanguíneo pode se tornar inadequado se a velocidade de rotação do DAVE for muito baixa, o que pode ocasionar um fluxo retrógrado através da bomba. Seguindo o mesmo raciocínio, quando a velocidade de rotação do DAVE é muito elevada, excedendo o retorno venoso ao ventrículo esquerdo, ocorre o fenômeno da sucção, caracterizado quando a parede interna do ventrículo esquerdo é sugada pela entrada da bomba.
A velocidade de rotação do DAVE foi alterada de acordo com uma função rampa, iniciando em 9600 rpm e com inclinação de 10.472, durante 80 segundos. A sucção ocorre em aproximadamente 75 segundos (Figura 7). Para valores muito elevados de velocidade, o fluxo do DAVE para de convergir e o sistema se torna instável, caracterizando o fenômeno de sucção.
Figura 7. Fluxo através do DAVE com variação da velocidade. Através de simples observações pode-se definir os limites da zona segura de operação com base nos fenômenos de sucção e regurgitação. A idéia é definir tais limites próximos a esses pontos críticos,
não permitindo que o controlador opere fora dessa faixa. Ressalta-se que cada paciente terá valores diferentes para estes limites, dado que cada um apresenta diferentes problemas cardíacos.
5 Identificação
O uso do fluxo sanguíneo através do DAVE, como sinal para controlar a velocidade de rotação da bomba, ainda não foi amplamente explorado. Uma abordagem de controle utilizando a envoltória mínima deste sinal como variável de realimentação foi desenvolvida em (Simaan, 2009). Neste trabalho, a média do sinal de fluxo sanguíneo através do DAVE será utilizada como sinal de realimentação para o controlador. O valor médio do fluxo é obtido através do cálculo da média móvel, baseada no uso de um filtro digital de 1ª ordem, do tipo passa-baixas, na forma:
€
yk= −a1yk−1+ b0uk (8)
onde: uk é o valor do fluxo sangüíneo, medido no instante de amostragem k , e yk é o respectivo valor da média móvel, estimado no instante de amostragem
k.
A equação a diferenças (8) pode ser representada na forma da seguinte função de transferência pulsada:
(9)
A constante de tempo para esse filtro digital pode ser calculada aproximadamente por :
(10)
onde Ts é o período de amostragem selecionado. O período de amostragem utilizado nos testes de simulação foi Ts = 0.1 segundos e a constante de tempo do filtro foi selecionado para τ ≅ 20 segundos.
Através de métodos determinísticos, um modelo que descreve o comportamento dinâmico da planta foi identificado. Modelos de primeira ordem são da forma (Aguirre, 2007):
(12)
onde K é o ganho e τ a constante de tempo.
Registrando resposta a um degrau de amplitude
A, K é dado por , sendo o valor em regime permanente de y(t) e o valor inicial de y(t) (Aguirre, 2007).
Na curva preta da Figura 7, para y(0-) = 100,
tem-se que a reposta a um degrau de amplitude
A=0,3.170.2π resulta em y(∞) = 143. Portanto, K =
0,1342. No intervalo de tempo correspondente a uma constante de tempo, y(t) sai de um valor inicial e chega a 63,2% da variação total devida ao degrau, ou
seja, , supondo que
o degrau foi aplicado em t = 0 (Aguirre, 2007). Da resposta ao degrau, na Figura 7, tem-se que
y(τ) = 127.176 e τ = 19.57 segundos. Assim, tem-se o seguinte modelo de primeira ordem:
(13)
O projeto do controlador digital depende dos parâmetros do modelo discreto do sistema. Usando o
método de Tustin, onde: e sendo T o período de amostragem. O equivalente discreto da equação (13) fica:
(14) Para validação do modelo de primeira ordem obtido, foi realizada uma comparação entre a saída do sistema e a saída do modelo estimado. A comparação foi feita no domínio do tempo e analisa apenas o comportamento do desvio da saída em relação a uma variação degrau de amplitude 0,3.170.2π aplicado na entrada do modelo e do sistema, no instante 10 segundos (Figura 8).
Figura 8. Média do fluxo sanguíneo obtida através do modelo e
do sistema para entrada degrau com amplitude de 0,3.170.2π.
Percebe-se que o comportamento do modelo (curva vermelha), com relação ao desvio na saída, é quase idêntico ao comportamento do sistema (curva preta). Assim, para o projeto do controlador, utilizando cenários próximos a este ponto de operação, o modelo identificado possui um elevado grau de confiabilidade.
6 Projeto do controlador fisiológico
No projeto de um controlador PID digital com estrutura RST para regular o fluxo sanguíneo através do DAVE, a planta a ser controlada é:
(15) onde d é o número inteiro de períodos de amostragem contidos no atraso de tempo e:
A função de transferência em malha fechada desse tipo de sistema com estrutura RST é:
(16)
onde , define os pólos
de malha fechada do sistema (Landau, 2006). Os parâmetros p1 a pn podem ser obtidos a partir de um modelo de segunda ordem normalizado e contínuo no tempo, possibilitando que um tempo de subida ou de acomodação e um máximo sobre-sinal sejam obtidos de acordo com especificações. Com isso, os parâmetros ω0 (freqüência natural) e ζ (coeficiente de amortecimento) desse sistema podem ser calculados (Landau, 2006).
De acordo com (Kuo, 2003), quando ζ = 0.7, sistemas de segunda ordem possuem baixo sobre-sinal, característica importante para o SCH pois não modifica bruscamente a saída cardíaca e os níveis de pressão de um paciente. O instante no qual ocorre o máximo sobre-sinal é definido como (Kuo, 2003):
(17)
Considerando que tmax = 50 segundos seja um
intervalo de tempo suficiente para que o controlador atinja o máximo sobre-sinal, tem-se ω0 = 0.088. Com os valores de ω0 e ζ, calcula-se os parâmetros do polinômio P(q-1). De acordo com (Landau, 2006):
(18)
onde: e . Substituindo os
valores de ω0 e ζ nas equações (18) e depois em (16), tem-se:
Especificado o polinômio P(q-1), os polinômios R(q-1) e S(q-1) resultam da identidade de Bezout:
(19) sendo nA e nB o grau dos polinômios A(q-1) e B(q-1), respectivamente, então:
(20)
onde nR = nA – 1 e nS = nB + d - 1 são os graus dos polinômios R(q-1) e S(q-1), respectivamente (Landau, 2006). Para resolver a equação (19), tais polinômios são colocados na seguinte forma matricial:
(21)
onde a matriz M tem a seguinte forma:
sendo:
O vetor x, que contém os coeficientes dos polinômios R(q-1) e S(q-1), é obtido com a inversão da
matriz M (Landau, 2006):
(22) Se um erro nulo em regime é desejado para um degrau na referência ou para um distúrbio do tipo degrau, um integrador no caminho direto é necessário o que corresponde a inclusão de um termo (1-q-1) no polinômio S(q-1) (Landau, 2006). Assim, os
polinômios R(q-1) e S(q-1) ficam: (23) onde: (24)
Assim, para o cálculo dos novos parâmetros dos polinômios R(q-1) e S(q-1), a nova função de transferência de malha fechada será:
Resolvendo esta equação e utilizando os termos
HS(q-1) = (1-q-1) e HR(q-1) = 1, obtêm-se os seguintes parâmetros para os polinômios R(q-1) e S(q-1):
(26)
De acordo com (Landau, 2006), fazendo T(q-1)= R(q-1) é necessário apenas o cálculo dos polinômios R(q-1) e S(q-1) para obter o controlador. Aplicando um degrau com amplitude de 0,3*170*2π na entrada
de nosso sistema podemos visualizar o comportamento em malha fechada bem como o desempenho do controlador (Figura 9).
Figura 9. Desempenho do controlador em malha fechada, com um
degrau aplicado em sua entrada.
Para simular mudanças nos níveis de atividade física, simulou-se um paciente em atividade física moderada entrando bruscamente em repouso. Numa alteração deste tipo, a resistência periférica é simulada por uma variação do tipo rampa durante 5 segundos (mudança brusca) (Simaan, 2009):
O controlador projetado foi colocado em malha fechada com o sistema cardiovascular e esta mudança foi aplicada no sistema (Figura 10). Percebe-se que o sinal de fluxo sanguíneo é mantido no valor de referência (100 ml) mesmo com a alteração no valor da resistência periférica do paciente, o que valida nosso controlador para esta situação. Vale ressaltar que os valores utilizados nesta simulação servem apenas para validar o controlador desenvolvido, uma vez que para cada paciente, os valores das variáveis hemodinâmicas são diferentes e a presença de médicos especialistas é indispensável para uma escolha precisa das especificações do controlador, com relação ao seu desempenho e resposta.
Figura 10. Sinal referente a média do fluxo sanguíneo, sendo
mantida no valor de 100 ml apóscerta alteração na resistência periférica de um paciente.
7 Conclusão
Neste trabalho foi realizado um estudo sobre o sistema cardiovascular humano na presença de um dispositivo de assistência ao ventrículo esquerdo, DAVE. Neste estudo, um modelo elétrico desenvolvido em (Siman, 2009) foi estudado e utilizado como base. Em seguida foi realizada a modelagem da insuficiência cardíaca e da dinâmica do DAVE. Com relação às mudanças nos níveis de atividade física, o maior benefício é a possibilidade
de simular vários cenários, conhecendo melhor a variação dos níveis de pressão. O objetivo de se alterar a velocidade de rotação do DAVE é com base nessas mudanças é alcançar melhores níveis de pressão para o paciente na tentativa de permitir que este possa realizar algumas de suas atividades.
Para o projeto do controlador fisiológico, foi projetado um filtro com média móvel para o sinal de fluxo sanguíneo através do DAVE. Assim, um controlador digital com estrutura RST e baseado em posicionamento de pólos foi projetado e adicionado ao sistema para manter o fluxo sanguíneo em um valor de referência, garantindo melhores condições a pacientes com mudanças nos níveis de atividades física.
Estes resultados preliminares serão muito importantes para que a pesquisa nesta área possa ser continuada, adicionando-se cada vez mais funcionalidades ao modelo do sistema cardiovascular e elaborando novas e mais modernas técnicas de controle para otimizar a resposta do sistema.
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