Escoamento Cisalhante Livre

Escoamento Cisalhante Livre

 São escoamentos afastados de

paredes.

 Jatos, esteiras, camadas de mistura  Turbulência se desenvolve devido a

diferenças de velocidades

Brown & Roshko, 1974

Freymuth, 1966

Camada cisalhante turbulenta entre 2 correntes de gases diferentes. Alto Reynolds. Re200.000

Desenvolvimento inicial a baixo Reynolds de descontinuidade de velocidade.

 Regime permanente  Simetria angular

 Escoamento governado pelo

número de Reynolds: Re = r U_j d / m

Jato Circular

Campo de Velocidade Média

x/d > 25 Região de desenvolvimento 0 < x/d < 25 <U> simétrico <W>=0

Velocidade da linha de centro: U

_o

 Velocidade na linha de centro <U(x,0,0)> =U_o (x) decai a medida que se afasta do bocal.

 A meia largura do jato r_1/2(x) é definida tal que :

<U(x,r_1/2,0)> = ½ U_o. Jato de alarga com a distância.

Após uma distância de desenvolvimento do escoamento x/D > 30, observa-se que o campo de velocidade é similar, isto é, possui a mesma forma, a velocidade <U> normalizada pela velocidade na linha de centro U_o, colapsa em uma única curva. O perfil de velocidade média é auto-similar (self-similar)

Dados experimentais

 Variação do inverso da velocidade da linha de centro ao longo da

direção axial

A interseção dessa linha com a abscissa define uma origem virtual, denominada de x_o

A linha reta corresponde a

onde B é uma constante empírica.

d

x

x

B

U

x

U

o j o

/

)

(

)

(





Taxa de alargamento S do jato

Estimativa:

'

/

_v

Dt

r

D



2 1

x

r

U

Dt

r

D

_{1 2} o 2 1







/ /

S

cte

x

r

_{1 2}

_

_





_/

x

r

S







1/2 v' >0 v’ L du/dr

Porém a derivada substantiva também pode se escrita como

então o o

_U

r

U

r

r

u

L

Dt

r

D













2 1 2 1 2 1 / / /

A taxa de alargamento na região auto-similar é

= cte  o jato se alarga linearmente

O número de Reynolds local é definido por

Como r_1/2 varia linearmente com x e U_o com o inverso de x,

Re_o independe de x.

dx

dr

S



1/2

r

1/2



S

(

x



x

o

)



o o

U

x

r

x

)

(

)

(

Re



1/ 2

A constante B e a taxa de alargamento S também independem do número de Reynolds

Panchapakekan e Lumley (1993)

Hussein et al (1994) hot wire data

Hussein et al (1994) laser-doppler data

Re 11000 95500 95500

S 0,096 0,102 0,094

B 6,06 5,9 5,8

Apesar do Reynolds afetar fortemente o escoamento e as estruturas do jato, a velocidade média e a taxa de alargamento independem do Reynolds. Para altos números de Reynolds (Re > 104₎ recomenda-se S=0,094 e B=5,8

Similaridade

 Considere uma quantidade Q(x, y) com escalas características: Q_o(x) e d(x)

 Adimensionalizando:

 Se então Q(x,y) é auto-similar

)

(

)

,

(

)

,

(

~

;

)

(

Q

x

y

x

Q

x

Q

x

y

o







d



)

(

ˆ

)

,

(

~

_

_

Q

x

Q



)

(

/

)]

(

)

,

(

[

)

,

(

~

x

Q

x

Q

y

x

Q

x

Q







_{ o}

)

(

ˆ

_

Q

 Obs:

 As escalas Q_o(x) e d(x) devem ser cuidadosamente escolhidas,

usualmente apresentam dependência em potência de x

 Ocasionalmente,

 O comportamento auto-similar é observado em somente uma

faixa de x

 Se Q(x,y) é governado por uma equação diferencial parcial,

então Q_o(x) ; d(x) e são governados por equações

2 1/

r

r





)

(

x

x

_o

r







)

(

)

,

(

)

(

)

(

x

U

r

x

U

f

f

o















S

 Variáveis de similaridade: ou   e  são independentes de x.

 As duas variáveis são relacionadas

através de (S ~0,1) ;

 A velocidade média auto-similar é:

dx

dr

S



1/2

Velocidade lateral

 A variável lateral do jato circular self-similar pode ser determinada

pela equação da continuidade. 0 1 _      r V r r x U 0 1        







V x x x U f o o ) ( 0 1          







V x x x f U x U f o o o ) ( x x          ) ( ) ( o o o j o x x U x x U B d x U         2







)

(

)

(

o j o

x

x

U

d

B

x

U

Vimos que

Sabemos que sendo

2 ) (x x_o r x               ) (x x_o x ) (x x_o r   

0 1           











V x x f x x U x x U f o o o o o ) ( ) ( ) (

Substituindo na equação de continuidade

<V>/U_o é menor que U_o for um fator de 40. Note que <V> é negativo na borda do jato, indicando que o fluido ambiente escoa para dentro do jato, entrando (entrained)

o U h V  () 2 _  0      











f h f U V f S h S como h f _{     }      ) ( ) ( _{ }      Definindo:

Tensões de Reynolds u = flutuação da velocidade



























2 2 2

0

0

0

0

w

v

v

u

v

u

u

u

u

_{i j} o o

x

U

u

(

)

/

0



 w

v

w

u

Simetria angular:

Tensões normais são pares Tensão cisalhante é impar

No centro: v 2 w2

tende para um valor constante , logo

u_o(x) e U_o(x) caem com x-1

Após a região de desenvolvimento, as

tensões de Reynolds são auto-similares

)

(

)

(

x



u

2

em

r



0

u

_o

 Na linha de centro a rms da velocidade é da ordem de 25% da

velocidade média

 Apesar da tensão de Reynolds na

extremidade do jato cair com o

aumento de r/r_1/2, a razão da rms em relação a média local é ilimitada

 As tensões de Reynolds são altamente

anisotrópicas, o que pode ser

observado pelas tensões cisalhantes e diferença de tensões normais

2 1 2 2 ₎ / (u v v u uv  r

 A magnitude da tensão cisalhante

pode ser quantificada em função de k e do coeficiente de correlação de

u-v, r_uv. As curvas apresentam a mesma forma. Platô em r_uv0,4 e <uv>/k 0,27

 Uma vez que a tensão de Reynolds é positiva quando <U>/r é

negativo, e tende a zero quando <U>/r tende a zero, pode-se definir uma viscosidade turbulenta positiva _t=m_t/r tal que

r

U

v

u

_t











)

(

ˆ

)

(

)

(

_/







_t



U

_o

x

r

_{1 2}

x

_t

 Como os perfis de <u v> e <U>/r são

auto-similares, o perfil da viscosidade turbulenta também é

é aproximadamente uniforme (0,028) para 0,1 < r/r_1/2< 1,5, e cai a zero na

extremidade do jato



'

u

t





t



ˆ

 A viscosidade turbulenta tem dimensão de

velocidade vezes comprimento

 O comprimento de escala  é uma quantidade derivada, não sendo

medido diretamente e nem possuindo significado físico claro

 Os comprimentos de escala integrais obtidos das correlações de

velocidades de dois pontos são mensuráveis e caracterizam a

distância na qual o campo de velocidade flutuante é correlacionada.

2 1 2 2 1

2

1

2

1

2

1

2

1

/

]

)

,

,

/

(

)

,

,

/

(

[

)

,

,

/

(

)

,

,

/

(

)

,

,

(





























r

s

x

u

r

s

x

u

r

s

x

u

r

s

x

u

s

r

x

R

 Comprimento de escala integral

2 1 2 2 2

2

1

2

1

2

1

2

1

/

]

)

,

/

,

(

)

,

/

,

(

[

)

,

/

,

(

)

,

/

,

(

)

,

,

(





























s

r

x

u

s

r

x

u

s

r

x

u

s

r

x

u

s

r

x

R

   0 2 22 x r R x r s ds L ( , ) ( , , )    0 1 11 x r R x r s ds L ( , ) ( , , ) L₁₁/r_1/2  0,7 ; L₂₂/r_1/2  0,3 para  > 0,1 r_1/2

Exemplos de

escoamentos

cisalhantes livres

 Todos os escoamentos ilustrados

apresentam uma direção de

escoamento médio dominante podendo ser analisado com as equações de

camada limite em vez das equações completas de Navier- Stokes

Equação média de conservação de

quantidade de movimento linear

(I) (II)

y

v

u

x

u

x

p

y

U

x

U

y

U

V

x

U

U





































































2 2 2 2 2

1

r

r

m

y

v

x

v

u

y

p

y

V

x

V

y

V

V

x

V

U





































































2 2 2 2 2

1

r

r

m

0

























y

V

x

U

 Analisando eq. de momentum

 Lado esquerdo

 Ambos os termos da mesma ordem de grandeza

equações de camada limite

L

U

V

V

L

U

y

V

x

U

c c c c

d

d



































0

0

   d d d c c U L U c c c c U V L U U y U V x U U       

 De forma análoga ao realizado para uma camada limite laminar, pode-se

através de uma análise de ordem de grandeza, simplificar as equações de conservação, derivando equações de camada limite para os diversos tipos de escoamento de cisalhamento:

 Seja U_c a velocidade característica e d a espessura característica

 Pela equação da continuidade podemos estimar a ordem de grandeza

Analisando lado direito da eq. de momentum: termo difusivo



2 0 2 2 2 2 2 2 2

d

c c

U

L

U

pois

y

U

y

U

x

U





































Analisando lado direito da eq. de momentum: termo de tensões de Reynolds. Vimos que

então os dois termos são da mesma ordem de grandeza A equação de momentum axial fica

d

c c c c c c c

v

u

L

u

u

y

v

u

x

u

então

v

u

v

u

u

u





















2 2 2

y

v

u

x

u

x

p

y

U

y

U

V

x

U

U































































2 2 2

1

r

r

m

Antes de analisar o termo da pressão, vamos analisar a ordem de grandeza da eq. transversal

Note que os termos convectivos e difusivos podem ser desprezados. Desprezando ainda a derivada axial da tensão de Reynolds em relação ao gradiente transversal, temos

d

r

d

d

d

r

m

d

d

d

d

r

r

m

c c c c c c c c c c v v L u v y p L U L L U L U L U L L U U y v x v u y p y V x V y V V x V U            _        _                                   1 1 2 2 2 2 2 2 2 / / / /

y

p

y

v















r

1

0

2

 Na corrente livre (y  ), a pressão p p_o(x) e

logo integrando

 e o gradiente de pressão axial é

 Em geral, o gradiente de pressão axial é determinado em função

da velocidade da corrente livre, pela equação de Bernoulli.

 Para fluidos em repouso, o gradiente de pressão axial é nulo.  A equação resultante para a direção axial

2

v

p

p

_

_o

_

r

r

x

v

x

p

x

p

_o

















2

1

1

r

r

x d U d U x p cte U p_{o } o   _       r 2 r 2 1

0

2

_

v

0    x p_o

x

v

u

y

v

u

x

p

y

U

y

U

V

x

U

U

o

































































2 2 2 2

1

r

r

m

 Para fluidos em repouso, o gradiente de pressão é nulo e o último

termo da equação anterior também pode ser desprezado, resultando

 Em escoamentos turbulentos livres

onde d é a largura característica do jato e U_s é a diferença de velocidade característica

 Para escoamentos próximo à paredes, em uma camada limite

turbulenta, as derivadas da velocidades são muito grandes e não escalam com U_s e d, e o termo viscoso é o principal termo da equação de momentum

0 1 2 2 2      Re d  r m U_s y U

y

v

u

y

U

y

U

V

x

U

U



















































2 2

r

m

2 2 y U   r m

 Escoamento estatisticamente axi-simétrico, permanente, sem

rotação (como jato circular ou esteira atrás de esfera), as equações da camada limite turbulenta são

r v u r r x u r U r r r x U x p r U V x U U                                            ) ( ) ( 1 1 1 2 2 2 r m r 0 1 _      r V r r x U (II) (I) r w r v r r x v u r V r r r x V r p r V V x V U ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 1 1 1                                             

r

m

r

(III)

 Desprezando o termos de difusão axial da Eq. (II) e r v u r r r U r r r r U V x U U                                1 1 ( ) r m (IV)  Considerando

_{V }

_U











 r o

_dr

r

w

v

v

p

p

'

'

)

(

2 2 2

r

r

0

2 2 2 2

_































 r

dr

r

w

v

v

u

x

'

'

)

(

Fluxo da Massa, Quantidade de Movimento e Energia Cinética

 Desprezando o termo viscoso da eq. (II), combinando as duas

equações (I) e (II) e multiplicando a equação resultante por r, obtém-se

integrando com relação ao raio

já que para grandes valores de r, vai mais rapidamente para zero do que r-1._.

0

2















r

v

u

r

V

U

r

x

U

r

)

(

)

(





₀

0

0 2

_

_

_

_







 

v

u

r

V

U

r

dr

U

r

x

V U

 A taxa de quantidade de movimentos do escoamento médio é







0 2

2

r

U

dr

x

M



(

)



r

  o 1 2 o r x U x) ( ) / ( Re









0 2 2 2 1 2

2

U

r

f

d

cte

x

M



(

)



r

_{o /}



(



)



 A conservação de quantidade de movimento implica em r_1/2 (x) U_o (x)

independe de x.

 As variações de r_1/2 ~ x e U_o (x) ~ x-1 são acopladas,

conseqüentemente, o número de Reynolds local Re_o é independente de x

Vimos que o fluxo de quantidade de movimento se conserva Lembrando que então ) ( ) , ( ) ( ) ( x U r x U f f o    

 fluxo de massa  energia cinética

x

d

f

r

U

r

dr

U

r

x

m







_o





  0 2 1 2 1 0

2

2



r



r

(

)



(



)



)

(

_{/ /}



1 0 3 3 2 1 2 1 0 3

2

1

2

  







_

U

r

_

f

d

x

r

dr

U

r

x

E

(

)



r



r

(

_{o /}

)



(



)



/



Viscosidade Turbulenta Constante

 As equações da camada limite turbulenta exibem o problema do

fechamento. Temos três incógnitas , e e duas equações de conservação: continuidade e quantidade de movimento.

 O sistema de equações pode ser fechado com a especificação da

viscosidade turbulenta

 Para o problema auto-similar do jato circular, vimos que

;

 Vimos também que

 logo é razoável investigar a solução das equações da camada limite com

a viscosidade turbulenta constante, independente de  r U v u _t    



)

(

ˆ

)

(

)

(

_/







_t



U

_o

x

r

_{1 2}

x

_t 028 0, ) ( ˆ  _ _t

cte

x

r

x

U

_o

(

)

_{1/ 2}

(

)



U

_V

_{u v}













































r

U

r

r

r

r

U

V

x

U

U



t r m  t t 

 Schlichting (1933) resolveu as eqs. de momentum e continuidade  Introduzindo a função corrente, a equação de continuidade é

automaticamente satisfeita x r V r r U        1



; 1



 considerando a origem virtual igual a zero (x_o=0)

 a função corrente é 0 1 1 1 _                            x r r r r x r V r r x U





x

r





) ( ) ( ) ( ) ( ) (           F x F x cte x xU d f x U x dr U r t o o r           0 2 0 o

U

U

f

(



)



 As velocidades podem ser avaliadas, sabendo que                                





























F F x x F r x r F x xF r x r V F x x r r U t t t t t ) ( ; 1 1 1 1 1 2 x r x x r x / / / / / 1 2         







) (    _t x F

x

r





 Substituindo na eq. de momentum Obtém-se











































_



















_

_









F

F

F

x

x

F

F

x

F

F

x

F

x

F

x

t t t t t t



























"

2 2 2 2 2



F

x

x

F

F

x

x

F

F

x

x

x

U

_t x t t t

_

_























_

















































 2 2 2

1



















 /

















_





















_























F

F

x

F

x

x

r

U

_{t t} 2 2

1

                         _                       _                 F F F x F F x F F x x r U r r t t t            " 2 2 2 2













































r

U

r

r

r

r

U

V

x

U

U



t

x

r





A constante de integração é zero, pois para que a velocidade transversal seja nula no eixo, F(0)=F’(0)=0

A equação acima pode ser escrita como

Integrando e aplicando a condição de contorno resulta em

Integrando novamente, obtém-se

                      _     F F F F F F F F      2 2 2                        _     F F F F F F F F











2 2 2 FF F F F F F F  _{    }                      

)

(

























F

F

F

2



2

1

₂







1

2

1

2

1

2

2

1

2 2

_











d

F

d

F

F

F

F

F

(

)

C

F

F

_

_















ln



ln

4

2

1

Definindo a=e2c _{a solução é}

 A velocidade média pode ser obtida derivando esta expressão

logo

e o perfil auto similar é

 A viscosidade turbulenta _t e a constante a podem ser relacionadas à taxa de alargamento S=r_1/2/x

Note que quando r=r_1/2 → =S A definição de r_1/2 implica em f(S) = 1/2 levando a

A viscosidade turbulenta

2 2 1 4







a a F   ) ( 2 2 1 1 8 ) (





a x a U t   x a x U_o( )  8



t 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 ) ( ) ( a aS U U f o        a  ( 2 1)/ S2 ˆ ) ( _1/2     S U_o x r _t t S t







2 2 1 1 ) ( a



U U f o      Uo(x) x



 Resumindo: Schlichting (1933) resolveu as eqs. de monentum e continuidade  definindo  A solução é 2 2 2 2 1 1 1 S a a f ; ( ) / ) ( ) (    





) ( ; ) ( o o x x r U U f   





S=0,094 Discrepância somente na região onde



 número de Reynolds turbulento

0  ) ( ˆ  _t 028 0 094 0 1 2 8 , ˆ , ˆ ) (     t t se S S





35 1 2 1 _{ }  t t o t x r x U





ˆ ) ( ) ( Re /

Vimos que tanto a parte isotrópica, como anisotrópica das tensões de Reynolds são proporcionais à energia cinética turbulenta k, o que

mostra que essa grandeza é de grande importância

Vamos então analisar os processos do escoamento turbulento que geram e dissipam energia cinética turbulenta

u u , U U ) , ( ) , ( ) , ( U U ) , ( U U ) , (                2 1 2 1 2 1 2 1

k

k

t x E t x E t x E t x E t x E Energia Cinética

A evolução da energia cinética instantânea pode ser obtida da equação de Navier-Stokes                     i j j i ij ij ij ij i ij j x U x U S S p x t D U D 2 1 e 2 onde



d

r





r

) (U ; U U E t E t D E D t D D t D E D _{ }      ji ij





                                         j i ji i j ij i ij j i j ij i ij j i ij j j j x U x U x U x U x U x U t D U D U







r





r



r

2 1 1 1 ) ( ) (           _{ij ij} i ij j j j S x U t D DU U





r

) ( 1 mas

Substituindo a tensão para fluido Newtoniano Definindo Então para tem-se







_{i j ij} i

U

p

U

S

T

/

r

2



ij ij S S t D E D

_

2      T





                                                      ij ij ii i ij j i i ij ij ij ij ij j i j j S S S p x S U x p U S S p S p U x t D U D U



r



r



d

r



d

r

2 2 2 2 ) / (

Mas S_ii=0 pela continuidade para r = constante

t D D t D E D U U  ij ij ij p

d

r



S



   2

A integral da equação da energia em um volume de controle é

Dissipação viscosa representa a conversão de energia mecânica em energia térmica Energia Cinética













 







_



   

t

d

E

d

S

S

d

E

dissipa ij ij



 



 



0 sempre viscosa, ção

2



T)

(U

.

ij ij ij ij E S S t E S S E t E _{ } 2 2                 T ) U ( T) (U ) (U E t E t D E D _{ }    onde

























 

d

S

S

dA

E

Ed

t

_A

(U

T)

n

2



ij ij

Definindo:

dissipação devido ao escoamento médio:

em geral é desprezível por ser proporcional à Re-1 dissipação turbulenta: ij ij ij ij S s s S E E t E

_

_

2 2               T ) u ( ) U (                             i j j i ij i j j i ij x u x u s x U x U S 2 1 2 1 ; ij ij S S





 2 ij ij s s    2





              T ) u ( ) U ( E E t E





              T ) u ( ) U ( E E t E t D E D          ij j i i

U

p

U

S

T



/

r



2















T

_i

U

_i

p

/

r

2



U

_j

S

_ij ij j ij j i i i

U

p

u

p

U

S

u

s

T



r





r



2





2





/

/

)

u

u

(

)

u

(

E







E



E







ij j i j i j i

U

u

u

U

p

U

S

T





/

r



2



 definindo ij j i j j i i

u

u

u

u

p

u

s

T









/

r



2



onde:

é a produção de energia cinética turbulenta



k



             T T t D D t D E D j i j i x U u u     

Energia Cinética do Escoamento Médio e Turbulenta

ij j i j i j i

U

u

u

U

p

U

S

T





/

r



2



ij j i j j i i

u

u

u

u

p

u

s

T









/

r



2



A ação do gradiente de velocidade média atuando sobre as tensões de Reynolds, remove energia cinética do escoamento

médio (- na equação para ) e transfere para o campo flutuante de velocidade (+ na equação para k ).

PRODUÇÃO

(i) Somente a parte simétrica do tensor gradiente de velocidade afeta a produção

(ii)Somente a parte anisotrópica do tensor de Reynolds afeta a produção

(iii) De acordo com a hipótese de viscosidade turbulenta a produção é

Note que esta expressão é a mesma de , com _t no lugar de  (iv) Com a hipótese de camada limite, a produção é

(v) De acordo com a hipótese de viscosidade turbulenta, com a aproximação de camada limite, a produção é

ij j i u S u    ij ij S a    ij j i ij u u a k d 3 2   0 2    _t S_ij S_ij  y U v u      2           y U t 

DISSIPAÇÃO

 Na equação de k , o sorvedouro  é a dissipação da energia

cinética turbulenta ou simplesmente dissipação.

 O gradiente das velocidades flutuantes  u_i / x _j trabalha contra

a tensor deviatórico de flutuações ( 2  s_ij) e transforma a energia cinética em energia interna.

 A dissipação é sempre positiva.

r U U r U v u r U e U_{o o o o}        1 2 2 2 1 3 2 / / / ˆ k 2 o j i o e u u U U U / /

 Vamos considerar novamente o jato circular. Vimos que

são auto-similar (função de =r/r_1/2) e independentes de Reynolds. Logo,

 Na equação de k , Dk/Dt e  escalam com , e portanto

 também, isto é,

é auto-similar e independente de Reynolds.

 Considere dois experimentos com mesmo d e U_j, e com fluidos

diferentes, resultando em Reynolds diferentes. Na região auto-similar, para a mesma coordenada x, a velocidade U_o e r_1/2 são iguais, conseqüentemente a dissipação  é igual nos dois

experimentos.

 A dissipação depende da viscosidade

 Apesar da viscosidade ser diferente, a dissipação  é a

mesma, indicando que o caso com número de Reynolds mais elevado possui uma escala mais fina de pequenas estruturas e portanto gradientes mais acentuados e altos valores de s_ij

2 1 3 / / ˆ r U_o    2 1 3 / / r U_o ij ij s s    2

Escalas de Kolmogorov

 Razão entre as escalas de Kolmogorov e escalas do escoamento

médio: depende de Re_o ( é auto-similar e independe de Re_o)

 Note que Isto indica que o movimento destas escalas é

fortemente afetado pela viscosidade

 Note também que indicando que o gradiente de

velocidade escala de tal forma que  é independente de . A taxa de deformação média escala com  -2 _{. (inversamente proporcional}

a ), tal que  independe de Re_o

 

1 4 2 1 4 1 3 / / / ; ;         _                 u ˆ 1    u_       _        2 2 u 4 1 4 1 2 1 2 1 2 1 4 1 4 3 2 1 / / / / / / / / ˆ Re ; ˆ Re / ; ˆ Re      _   _   _  o o o o o U u U r r

2 1 3 / / r U_o Balanço de k normalizado com

• através do jato: dissipação domina

• Pico de produção em r/r_1/2 0,6 (/0,8

•Em r =0, a produção é devido a contribuição das tensões normais

Já que

•Na extremidade do jato /→0 , transporte 



k

_{   } T t D D t D D

k

T













0









uv

U

/

y

x U v u     ( 2 2) /

Pseudo Dissipação

Sendo relacionada com a dissipação com

onde j i j i x u x u     





~ j i j i

x

x

u

u











2







~

                            i j j i i j j i ij ij x u x u x u x u s s 2 1 2  