COV250 – Comportamento Hidrodinâmico de Plataformas Oceânicas I 3ª Lista de Exercícios

COV250 – Comportamento Hidrodinâmico de Plataformas Oceânicas I

3ª Lista de Exercícios

1) Demonstre que as linhas de corrente ψ(r,θ) em coordenadas polares das equações abaixo são ortogonais às linhas equipotenciais φ(r,θ).

r r

v r

r v_r

∂ ∂ − = ∂ ∂ = ∂

∂ = ∂ ∂

= ψ

θ φ θ

ψ φ

θ

1 1

2) O escoamento permanente da figura tem os componentes de velocidades polares vθ=Ωr e vr=0. Determine a circulação Γ sobre o caminho mostrado.

3) Usando coordenadas cartesianas, mostre que cada componente de velocidade (u,v,w) de um escoamento potencial satisfaz a equação de Laplace separadamente.

4) A função 1/r é um potencial de velocidade legítimo em coordenadas polares plana? Se for, qual será a função corrente ψ(r,θ) associada?

5) Considere o campo de velocidade bidimensional u=-By, v=Bx, onde B é uma constante. Se esse escoamento tiver uma função corrente, encontre a sua forma. Se tiver um potencial de velocidade, encontre-o também. Calcule a velocidade angular local do escoamento, se houver, e descreva o que esse escoamento pode representar.

6) Um escoamento incompressível tem potencial de velocidade φ=2Bxy, onde B é uma constante. Determine a função corrente desse escoamento, esboce algumas linhas de corrente e interprete o padrão.

7) Considere o escoamento bidimensional u=-Ax, v=Ay, onde A é uma constante. Calcule a circulação Γ sobre a curva fechada retangular definida por (x,y)=(1,1), (4,1), (4,3) e (1,3). Interprete seu resultado, especialmente diante do potencial de velocidade.

8) Uma relação matemática às vezes usada em mecânica dos fluidos é o teorema de Stokes, onde A é qualquer superfície e C é a curva que envolve tal superfície. O vetor ds _{é o comprimento de arco diferencial ao longo de C e} n _{é o vetor unitário}

exterior normal a A. Como essa relação se simplifica para o escoamento irrotacional e como a integral de linha resultante relaciona-se com o potencial de velocidade.

(

V

)

ndA s

d V C

r r v

r

⋅ × ∇ =

⋅

_∫∫

9) Encontre o vetor velocidade resultante induzido no ponto A da figura pela corrente uniforme, pelo vórtice e pela fonte bidimensionais.

10)Considere o escoamento fonte/vórtice simulando um tornado, como na figura. Admita que a circulação em torno do tornado seja Γ=8500 m2/s e que a pressão em r=40 m seja 2200 Pa abaixo da pressão do campo não-perturbado (distante). Considerando escoamento não-viscoso com massa específica ao nível do mar, avalie: (a) a intensidade adequada da fonte – m, (b) a pressão em r=15 m e (c) o ângulo β com o qual as linhas de corrente atravessam o circulo em r=40 m.

11) Um semicorpo de Rankine é formado como mostra a figura. Para a velocidade da corrente e as dimensões do corpo mostradas, calcule (a) a intensidade da fonte m em m2/s, (b) a distância a (c) a distância h e (d) a velocidade total no ponto A.

13)Uma oval de Rankine de 2 m de comprimento e 1 m de altura é imersa em um escoamento com U∞= 10 m/s, como na figura. Avalie (a) a velocidade no ponto A e (b) a localização do ponto B onde uma partícula que se aproxima do ponto de estagnação atinge a sua máxima desaceleração.

14)Um cilindro é montado por fixação de dois canais semicilíndricos com pinos internos, como mostra a figura. Existem 10 pinos por metro de largura de cada lado, e a pressão interna é 50 kPa (manométrica). Aplicando a teoria potencial para a pressão externa, calcule a força de tensão em cada pino sabendo que o fluido externo é ar ao nível do mar.

16) Vento a U∞ e p∞ escoa em torno de uma cabana Quonset, que é um semicilindro de raio a e comprimento L, conforme a figura. A pressão interna é pi. Aplicando

a teoria não-viscosa, deduza uma expressão para a força para cima sobre a cabana devida à diferença entre pi e ps. A que ângulo θ sobre a cabana deve-se

perfurar um orifício de modo que a força de pressão seja zero segundo a teoria não-viscosa?

17)Um aerofólio bidimensional tem 2% de arqueamento e 10% de espessura. Se C=1,75 m, avalie a sustentação por metro quando imerso em água a 20°C com α = 6° e U = 18 m/s.

18)O avião ultraleve Gossamer Condor foi o primeiro a completar, em 1977, o percurso em forma de oito do Kremer Priza sob tração humana. A envergadura da asa era de 29 m, com corda média Cméd = 2,3 m e massa total de 95 kg. O

coeficiente de arrasto era aproximadamente 0,05. O piloto era capaz de fornecer ¼ hp para propulsionar o avião. Avalie (a) a velocidade de cruzeiro atingida, (b) o coeficiente de sustentação e (c) a potência em hp necessária para se atingir uma velocidade de 7,65 m/s.

19)Uma asa de 2% de arqueamento, 127 mm de corda e 762 mm de envergadura é testada com um certo ângulo de ataque em um túnel de vento com ar em condições padrões ao nível do mar a 61 m/s, medindo-se uma sustentação de 134 N e um arrasto de 6,7 N. Avalie pela teoria da asa (a) o ângulo de ataque, (b) o arrasto mínimo da asa e o ângulo de ataque no qual ele ocorre e (c) a máxima razão sustentação/arrasto.

20)Um avião tem massa de 20000kg e voa a 175 m/s a 5000 m de altura padrão. A asa retangular tem uma corda de 3 m e um aerofólio simétrico a 2,5° de ângulo de ataque. Avalie (a) a envergadura da asa, (b) a razão de aspecto e (c) o arrasto induzido.

21)Um barco fluvial com 400 kg de massa é suportado por um hidrofólio retangular com razão de aspecto 8, 2% de arqueamento e 12% de espessura. Se o barco navega a 8 m/s e α=3,5º, avalie (a) o comprimento da corda, (b) a potência requerida se CD∞=0,01 e (c) a velocidade máxima se o barco for reequipado com

22)Considere o ar escoando sobre um hemisfério assentado sobre uma superfície plana, como na figura. Se a pressão interna é pi, encontre uma expressão para a

força de pressão sobre o hemisfério. Em que ponto A sobre o hemisfério deve-se perfurar um orifício de modo que a força de pressão seja zero segundo a teoria não-viscosa?

23)Uma esfera de 1 m de diâmetro está sendo rebocada à velocidade V em água doce a 20°C, como na figura. Admitindo a teoria não-viscosa, com uma superfície livre não-distorcida, avalie a velocidade V em m/s na qual a cavitação se inicia sobre a superfície da esfera. Onde a cavitação terá início? Para essa condição, qual será a pressão no ponto A sobre a esfera, a 45° acima da direção do deslocamento?

24)Considere um cilindro de raio a movendo-se à velocidade U∞ através de um fluido parado, como na figura. Plote as linhas de corrente da perturbação causada pelo deslocamento do cilindro. Obtenha a energia cinética e a massa hidrodinâmica de um cilindro.

FORMULÁRIO

Escoamento bidimensional

Coordenadas polares esféricas com simetria axial y p y v v x v u t v x p y u v x u u t u y v x u ∂ ∂ − = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ − = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ ρ ρ 1 1 0

U y

U x

ψ

φ

∞ ∞

=

=

_{( )}

2 ln 2 q q r ψ θ π φ π = =

( )

ln 2 2 r ψ π φ θ π Γ = − Γ = 2 2 1 1 2 2

p+

ρ

V = p_∞ +

ρ

U_∞

x y v y x u ∂ ∂ − = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ψ φ ψ φ r r θ λ φ θ λ ψ cos sin = − = r r v r r v_r ∂ ∂ − = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ψ θ φ θ ψ φ θ 1 1

(

)

( )

c h c t c_l 2 tan sin 77 , 0 1 2 = + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + =

β

β

α

π

AR C c C AR c C L d D l L π 2 2 1 + = + = 2

2

1

∞ ∞

−

=

U

p

p

c

_p

ρ

r r v r vr ∂ ∂ = ∂ ∂ − = ψ θ θ ψ θ θ sin 1 sin 1 2 θ φ θ ψ cos sin 2

1 _{2 2}

r U r U ∞ ∞ = − = r Q Q π φ θ π ψ 4 cos 4 − = = 2 2 cos sin r r θ λ φ θ λ ψ = = θ θ θ θ π π d c C d c C p L p D sin 2 1 cos 2 1 2 0 2 0

∫

∫

− = − = S Fr = −

∫∫

pdSr

( )

1

( )

0

1 = ∂ ∂ + ∂ ∂ θ θ v r rv r r r 0 1 1 2 2

2 ∂ =

∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ θ φ φ r r r r r

(

2 sin

)

(

sin

)

=0 ∂ ∂ + ∂ ∂ _θ θ

θ rvθ

v r

Viscosidade e massa específica da água a 1 atm

Viscosidade e massa específica do ar a 1 atm

Propriedades de gases comuns a 20ºC e 1 atm

TABELA: Derivadas, Integrais

e Identidades Trigonom´

etricas

•

Derivadas

Sejam u e v fun¸c˜oes deriv´aveis de x e n con-stante.

1. y =un _⇒y′ = n un−1u′. 2. y =uv _⇒y′ =u′v+v′u. 3. y = u

v ⇒y′ =

u′_v−v′_u

v2 .

4. y =au _⇒y′ =au(lna)u′, (a >0, a₆= 1). 5. y =eu _⇒y′ =euu′.

6. y = log_au _⇒y′ = u′

u logae.

7. y = lnu _⇒y′ = 1_uu′.

8. y =uv _⇒y′ =v uv−1 u′+uv(lnu)v′. 9. y = senu _⇒y′ =u′cos u.

10. y= cos u _⇒y′ =₋u′senu. 11. y= tgu _⇒y′ =u′sec2u. 12. y= cotgu _⇒y′ =₋u′cosec2u. 13. y= sec u _⇒y′ =u′sec utgu.

14. y= cosecu _⇒y′ =₋u′cosecucotgu. 15. y=arcsenu _⇒y′ = √u′

1−u2. 16. y=arc cos u _⇒y′ = −u′

√

1−u2. 17. y=arctgu _⇒y′ = u′

1+u2. 18. y=arc cotg u _{⇒ 1+}−u_u′2. 19. y=arc sec u, _|u_|>1

⇒y′ = u′

|u|√u2₋₁,|u|>1. 20. y=arccosecu,_|u_|>1

⇒y′ = −u′

|u|√u2₋₁,|u|>1.

•

Identidades Trigonom´

etricas

1. sen2_{x+ cos}2_{x= 1.}

2. 1 + tg2x= sec2x. 3. 1 + cotg2x= cosec2x. 4. sen2_x= 1−cos 2x

2 .

5. cos2x= 1+cos 2₂ x. 6. sen 2x= 2 senx cos x.

7. 2 senx cos y= sen (x₋y) +sen(x+y). 8. 2 senxseny= cos (x₋y)₋cos (x+y). 9. 2 cos x cos y= cos (x₋y) + cos (x+y). 10. 1_±senx= 1_±cos¡_π

2 −x

¢

.

•

Integrais

1. R

du=u+c. 2. R

undu= u_nn₊₁+1 +c, n₆=₋1. 3. R _du

u = ln|u|+c.

4. R

audu= au

lna +c, a >0, a6= 1.

5. R

eudu=eu+c. 6. R

senu du=₋cos u+c. 7. R

cos u du= senu+c. 8. R

tgu du= ln_|sec u_|+c. 9. R

cotgu du= ln_|senu_|+c. 10. R

sec u du= ln_|sec u+ tgu_|+c. 11. R

cosecu du= ln_|cosecu₋cotgu_|+c. 12. R

sec utgu du= sec u+c. 13. R

cosecucotgu du=₋cosecu+c. 14. R

sec2_{u du= tgu+c.}

15. R

cosec2u du=₋cotgu+c. 16. R _du

u2_+a2 = 1_aarctgu_a+c. 17. R _du

u2_−a2 =₂1_aln

¯ ¯ ¯

u₋a u+a ¯ ¯ ¯+c, u

2_{> a}2_.

18. R _du

√

u2_+a2 = ln

¯ ¯ ¯u+

√ u2+a2

¯ ¯ ¯+c.

19. R _du

√

u2

−a2 = ln

¯ ¯ ¯u+

√

u2_−a2¯¯ ¯+c.

20. R _du

√

a2

−u2 =arcsen

u

a+c, u2< a2.

21. R _du u√u2_−a2 =

1

aarc sec ¯ ¯u_a

¯ ¯+c.

•

F´

ormulas de Recorrˆ

encia

1.R

sennau du=₋senn₋1_{au cosau}

an

+¡_n−1 n

¢ R

senn−2_{au du.}

2. R

cosn_{au du=} sen au cosn₋1_au

an

+¡_n−1 n

¢ R

cosn−2_{au du.}

3. R

tgnau du= tg_a(n_n−₋1₁₎au₋R

tgn−2au du.

4. R

cotgnau du=₋cotg_a(nn₋−₁₎1au₋R

cotgn−2au du.

5. R

secn_{au du=} secn₋2_{au tg au}

a(n₋1)

+³n_n−₋2₁´R

secn−2_{au du.}

6. R

cosecnau du=₋cosecn_a−₍2_nau cotg au₋₁₎ +³n−2

n−1

´ R