Entropia Topológica e Aplicações à Teoria de Nós

Texto

(1)Entropia Topológica e Aplicações à Teoria de Nós Maria Alice Bertolim 1. Orientador: Prof. Dr. Oziride Manzoli Neto. Dissertação apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação da Universidade de São Paulo, como parte dos requisitos para obtenção do título de "Mestre em Ciências - Área de Matemática".. USP - São Carlos Janeiro - 1999. lEste trabalho teve suporte financeiro do CNPq.

(2) "Para tudo há um tempo, para cada coisa há um momento debaixo dos céus..." Ecle. 84.

(3) À minha grande família.

(4) Agradecimentos Agradecer é uma tarefa difícil... É chegado o momento de lembrar das pessoas que de alguma forma contribuíram para que eu tivesse condições de chegar até aqui. São muitas as pessoas que compartilharam esses momentos, mas agradeço em especial: Ao Dide (Prof. Dr. Oziride Manzoli Neto) pela orientação, dedicação, incentivo, paciência, compreensão, e acima de tudo pela amizade, uma pessoa que sem dúvida mais que um orientador foi um grande amigo durante esse período. Aos meus pais, Casemiro e Santina, meus irmãos Edson e Wilson, minhas cunhadas Shirlei e Mirian, minha avó Maria, enfim, à toda a minha família que mesmo distantes demonstraram seu apoio, carinho e compreenderam a minha ausência. Amo vocês! Aos professores e funcionários da E.E.P.S.G."Ferdinando Ienny" de Ouro Verde onde iniciei os meus estudos. Ao pessoal do Centro Cultural de Ouro Verde, com quem trabalhei por muitos anos. Aos professores e funcionários da UNESP de Presidente Prudente pelo incentivo para que eu continuasse os estudos e aos amigos que lá encontrei, em especial à Régia e Pedro Henrique, que jamais os esquecerei. Aos professores do ICMC-USP, em especial à Ires, Washington, Maria Aparecida, Plácido, A. Conde, Biasi e Maria do Carmo, com os quais muito aprendi, e aos funcionários deste mesmo Instituto, em especial à Beth, Laura e Manta, pela atenção. À Priscila pelos ensinamentos de Inglês. Agradeço do fundo do coração à minha "segunda famflia": Luciana, Fernando e Vera, e aos amigos: Eliane, Márcio, José, Ana Cláudia, Alexandra, Regiiene, Marcão, Aninha, José Hilário, Luis, Claudemir, Cláudia, Marcelo Polezzi, Rogério, Daniela, Kátia, Marta, Pedro, Victor, Monica, Miguel, Daniela Rebolho, Andréa, ... pelo convívio e amizade mesmo nos momentos em que conviver comigo foi tarefa difícil. Aos pequenos: Gabriela, Felipe, Alessa e Mayna que sempre sorriram pra mim e tornaram esses dias mais bonitos. Às pessoas que direta ou indiretamente colaboraram com esse trabalho. Agradeço enfim a Deus por estar presente a cada dia e por todas as oportunidades..

(5) Resumo Nesta dissertação apresentamos com bastante detalhes e exemplos a noção de entropia topológica e razão de crescimento exponencial, bem como relações entre estes conceitos. Baseados nestas noções é definida a entropia de um nó e apresentadas algumas propriedades deste invariante..

(6) Abstract In this work we present the notion of topological entropy and the exponential growth rate as well as the relations between these concepts with many details and examples. Based on these notions the entropy of a knot is defined and some properties of this invariant are presented..

(7) Sumário Introdução. 1. 1 Preliminares. 3. 2 Entropia Topológica. 12. 2.1 Definições e Propriedades Gerais . 12. 2.2 Teoremas Gerais. 21. 2.3 Cálculo de entropia em espaços métricos . 29. 3 Entropia em Espaços Métricos e Razão de Crescimento Exponencial. 42. 3.1 Entropia em Espaços Métricos . 42. 3.2 Razão de Crescimento Exponencial . 48. 4 Entropia de Nós. 53. Referências Bibliográficas. 67.

(8) Introdução A possibilidade de um estudo matemático de nós provavelmente foi primeiro reconhecida por K. F. Gauss. Suas investigações de eletrodinâmica (1833) juntamente com uma formulação analítica do número de enlaçamentos, foram ferramentas básicas para a teoria de nós e outros ramos da topologia. A primeira tentativa da classificação de nós foi feita por um grupo inglês cerca de 50 anos mais tarde. O desenvolvimento de nós e enlaçamentos teve que esperar pelo desenvolvimento da topologia e topologia algébrica, iniciado por H. Poincaré por perto da virada do século. Por sua vez, a teoria de nós proporciona considerável estímulo para o desenvolvimento de muitas idéias importantes na topologia algébrica, teoria de grupos e outros campos. Recentemente, a teoria de nós tem atraído interesses renovados devido ao grande progresso da teoria em dimensões altas, bem como novas aplicações. O estudo de nós baseia-se fortemente na obtenção de invariantes. O objetivo principal deste trabalho é o estudo detalhado de um invariante de nó, hK , chamado entropia do nó. No capítulo 1 daremos definições básicas e alguns resultados necessários para o desenvolvimento do trabalho. A principal referencia deste capítulo é o livro "Knots and Links" de D. Rolfsen. No capítulo 2 introduziremos a noção de entropia como um invariante para funções contínuas. Consideraremos espaços topológicos compactos e todas as definições, propriedades e teoremas, serão feitos em função de coberturas. No final do capítulo daremos exemplos do cálculo de entropia em espaços métricos, 1.

(9) utilizando a definição dada por meio de coberturas. A referência básica deste capítulo é o artigo "Topological Entropy" de R. L. Adler, A. G. Konheim and M. H. McAndrew. No capítulo 3 definiremos entropia topológica por meio de medidas, para conjuntos bem distribuídos e separados. Estudaremos também quando a definição dada no capítulo anterior coincide com a atual definição e daremos alguns exemplos do cálculo de entropia a fim de que haja um maior entendimento de suas propriedades. Também será definida a razão de crescimento exponencial (EGR(a)) de um endomorfismo a de um grupo, preparando para uma análise de como EGR pode estimar a entropia de um nó (hK ) que será feita no capítulo 4. Este capítulo tem como referência básica o artigo "Knot invariants from topological Entropy" de Daniel S. Silver. No capítulo 4 definiremos a entropia de um nó (hK ). Relacionaremos EGR com hK , apresentando dois teoremas que não serão demonstrados por envolverem resultados fortes de homeomorfismo pseudo-Anosov. Apresentaremos também uma forma de definir entropia para nós não fibrados. A partir do conceito de nós satélites definimos um sistema reduzido de nó. Assumiremos mais alguns resultados de homeomorfismo pseudo-Anosov para demonstrar o Teorema 4.0.3. A referência básica também foi o artigo "Knot invariants from topological Entropy" de Daniel S. Silver.. 2.

(10) Capítulo 1 Preliminares Este capítulo contém notações básicas, definições e alguns resultados básicos necessários nos capítulos posteriores e que serão apresentados sem demonstração. Todas as variedades consideradas serão diferenciáveis (C") ou terão estrutura "Piecewise Linear" (PL).. Definição 1.0.1. Seja X um espaço topológico cuja hornologia é zero a partir de um certo no E N. A característica de Euler x(X) é definida por no. x(x)=E(---i)frankHi(x)), i=0. onde H(X) é o i-ésimo grupo de homologia de X.. Proposição 1.0.1. (Teorema da Classificação de Superfícies Orientadas) [20J Toda superfície conexa, orientada, compacta e sem bordo é horneomorfa à esfera ou à soma conexa de toros (51 x 51 ) (número finito). Duas superfícies compactas, conexas, orientadas e com bordo serão homeomorfas se o número de componentes de bordo forem o mesmo e suas superfícies sem bordo associadas forem horneomorfas. 3.

(11) Definição 1.0.2. O número de toros (51 x Sl) como na Proposição 1.0.1 é chamado genus da superfície.. Observação 1.0.1. A tabela abaixo mostra as superfícies, seus genus e características de Euler.. O. C-). superfície S2. T2. o • • •• T2 liT2. .... T. ..T2. gentis. O. 1. 2. •••. O. X. 2. O. -2. .... 2-2g. Definição 1.0.3. Um toro sólido V é um espaço homeomorfo a SI x D2. Um homeomorfismo fixado f : x D2 V é chamado um framing de V.. Proposição 1.0.2. 1201 Seja V um toro sólido com bordo av e J uma curva fechada simples essencial (não homotopicamente trivial) em av. Então são equivalentes as condições: (a) J é homologicamente trivial em V (V=toro sólido), (b) J é homotopicamente trivial em V (c) J borda um disco D em V, (d) para algum framing f : S1 x D2 V, J = f({1} x 81)2).. Definição 1.0.4. Uma curva simples fechada em av satisfazendo as condições da Proposição 1.0.2 é chamada um meridiano de V. Uma longitude de V é qualquer curva fechada simples em av da forma f (Si x {1}), para algum framing f de V.. 4.

(12) Definição 1.0.5. Um nó em um espaço topológico X é um subespaço K C. X homeornorfo a alguma esfera SP. Um enlaçamento é um subespaço de X hom,eornorfo à urna reunião disjunta (finita) de esferas 41 u... u S. Dois nós ou enlaçamentos K1 e 1<2 em X são equivalentes se existe um homeomorfismo f : X X tal que f(K) = 1<2 ; neste caso usaremos a notação (X, Kl ) 1=--1- (X, 1<2 ). Outras definições de equivalência também aparecem na literatura, por exemplo: Se fi : —› X e f2 : —+ X são mergulhos de. Sk que definem Kle 1<2, podemos definir que fie f2 são equivalentes se forem isotópicos. No caso de enlaçamentos de duas ou mais componentes podemos determinar uma ordem fixa fias componentes e exigir que f respeite esta ordem. A classe de equivalência de um nó ou enlaçamento é chamada seu tipo de nó ou tipo de enlaçamento. (Na maioria das vezes tomaremos X = R" ou X = 5"). Muitas vezes olhamos para o nó como sendo K c X, outras vezes olhamos para o mergulho f :5k —+ X que o define. Podemos considerar 93 como Sl*S1 (join). Os pontos da forma (x, y,. cons-. tituem um toro T( 54 x SI) em 53. Dados p e g primos entre si, consideremos o mergulho Tp,q : S1 51 * da forma Tp,q (0) = (pl gO , Definição 1.0.6.. Tpa. (ou sua imagem) em 53 é chamado nó toral (pois está. contido no toro padrão T) do tipo (p, q). Observe que se fixarmos os geradores padrões de T o nó. 71 p. dá p voltas na. direção longitudinal e g voltas na direção do meridiano ("dependendo da situação do observador"). Por exemplo o nó trefoil é do tipo (2,3). É fácil calcular o grupo destes nós usando-se a decomposição do seu complementar subjacente a decomposição de 53 pelo toro padrão acima e o teorema de Van Kampen. Obtemos Gps = lx, y :9 = yqi, o grupo do nó T„,q.. 5.

(13) Proposição 1.0.3. /20.1 Dado um nó K" C S7H-2 existe uma variedade compacta, conexa e orientável M"1 C 5'1-2 tal que am"-E , = K.. Definição 1.0.7. Qualquer variedade da forma acima é chamada Variedade de Seifert para o nó K. Veja exemplo abaixo: (a) Para o nó trefoil abaixo a superfície desenhada (Faixa de Maius) não é uma superfície de Seifert para o trefoil, pois não é orientável.. (b) O nó abaixo é o trefoil e a superfície que o borda (constituída por dois discos /4 e /4 colados por 3 retângulos torcidos) é orientável, e portanto é uma superfície de Seifert para o trefoil.. 6.

(14) Definição 1.0.8. O genus de um nó ou enlaçamento K l em R3 ou 53 é o. menor genus de todas as superfícies Seifert do nó. Escreva g(K i ) para este valor. Genus é um invariante do nó. Observação 1.0.2. O genus de urna superfície com bordo é o genus de sua su-. perfície associada (isto é, a superfície fechada obtida colando-se um disco em cada componente de bordo).. Teorema 1.0.1. (Teorema do Toro Sólido) [20] Todo toro (Si x Si) mergu-. lhado em 53, divide este espaço em duas componentes conexos e o fecho de pelo menos uma delas é um tom sólido (51 x 132 ).. Definição 1.0.9. (Espaços Lenticulares) Sejam dois toros sólidos V1 e V2 e. um hotneotnorfistrto f: 8172 813.. A colagem VI Uh 14 = M3 é urna variedade compacta, conexa, orientóvel sem bordo de dimensão 3, que é chamada Espaço Lenticular. Observação 1.0.3. Fixando-se longitude e meridiano padrões h e m1 para 813.,. e l2 e m2 para 8172, podemos escrever f. (m) = ph+ qmi onde p e q são inteiros coprimos. O espaço lenticular obtido é denotado L(p,q).. Em outras palavras, uma 3-variedade é um espaço lenticular se e somente se contém um toro sólido cujo fecho do complemento é também um toro sólido. Alguns escritores não consideram 53 e 2 x 51 como espaços lenticulares.. Definição 1.0.10. Seja Mm urna subvariedade de dimensão m de urna variedade. N" de dimensão n. Então existe urna vizinhança de Mr" em IV' que localmente. 7.

(15) é da forma U x Dn-n. onde U é aberto de Mm. Esta vizinhança é chamadr vizinhança tubular de Mm em Nn.. Quando o fibrado normal de M'n em Nn é trivial, então podemos obter uma vizinhança da forma Ar x. Dn-m.. Observação 1.0.4. Nem sempre a vizinhança tubular de uma subvariedade M C N é trivial, isto é, nem sempre é da forma M x Dk. Por exemplo na faixa de àbius, se tomarmos uma vizinhança tubular do círculo central da faixa, obtemos uma outra faixa de Màbius, ao passo que se tomarmos um círculo (hornotópico à constante) na faixa de Màbius, obteremos um cilindro. Seja M uma variedade com bordo. am( o). am é. subvariedade, porem. não possui vizinhança tubular, contudo possui urna "meia vizinhança tubular" chamada usualmente de colarinho. Definição 1.0.11. Dada uma variedade M com bordo am um mergulho f :. amx. [O, co) —> M tal que f (x,O) = x é chamado um colarinho de am em M.. Proposição 1.0.4. (Teorema do Colarinho) [IV Para toda variedade M com bordo. am existe um colarinho, e dois colarinhos são isotópicos.. 8.

(16) Definição 1.0.12. Seja M3 uma variedade de dimensão 3 e seja V um toro. sólido em M3 , isto é, V é a vizinhança tubular de um nó em M3 . Removendo o toro de M3 e colando-o novamente por um homeomorfismo no bordo, obtemos uma outra variedade N3. (Dependendo do homeomorfismo pode-se obter a mesma M3 ). Esta operação é chamada de Dehn twist.. Definição 1.0.13. (Homeomorfismo Pseudo-Anosov) Assuma que f : S —r. S seja um certo homeomorfismo, que preserva orientação, de uma superfície orientada, compacta e conexa. O homeomorfismo f é redutível se f (C) = para alguma união não vazia C de curvas fechadas simples disjuntas essenciais tal que duas curvas não são homotópicas e nenhuma curva é homotópica a uma componente de bordo de S. Chamamos C uma 1-variedade redutora para f. Após uma isotopia podemos assumir que f fixa uma vizinhança N(C) de C consistindo de anéis fechados disjuntos. Cada componente Si de S-intN(C) é invariante em relação à uma iteração mínima fk . Chamamos ri s; : si uma componente. de f, e denotamos por b. Se f não é redutível, então olhamos b(= f) :8 —r S como a única componente. Um homeomorfismo f :5 —r 5 de uma superfície S compacta, conexa e orientável com característica de Euler negativa e possivelmente com bordo é pseudo-Anosov se existe um par transverso de folheações f-invariantes mensuráveis tendo um numero finito de singularidades (com restrições a tipo de singularidades no interior de 5) tal que f expande unifomemente as folhas de uma folheação pelo fator A e a outra folheação pelo fator )r-1. O fator está bem definido, e é chamado a dilatação de f.. Proposição 1.0.5. [231 Seja f :5 —r 8 um homeomorfismo que preserva ori-. entação de uma superfície compacta, conexa e orientada com característica de Euler negativa e possivelmente com bordo. Após uma isotopia conveniente de f, uma das seguintes condições ocorre:. (i) f é periódica; 9.

(17) (ii) f é pseudo-Anosov; f é redutível, e cada componente de f é periódica ou pseudo-Anosov. Além disso, sobre cada componente de N(C) uma última iteração de f que deixa componente invariante é um Dehn twist.. Observação 1.0.5. Se a 1-variedade redutora C na Proposição anterior (iii). é mínima no sentido que ela não contém subvariedades próprias satisfazendo a conclusão da Proposição, então C é única a menos de isotopia.. Definição 1.0.14. Seja M uma 3-variedade e F uma superfície que está propria-. mente mergulhada em M ou contida em ani. Ditemos que F é incompressível em M se nenhuma das seguintes condições ocorre:. (i) F é uma 2-esfera que borda uma 3-célula homotópica em M, ou F é uma 2-célula e, ou F C áM ou existe uma 3-célula homotópica X c M com ax. c F U am, ou. (iii) existe uma 2-célula D C M com D n F = aD e com ar) não contraível em F.. Definição 1.0.15. Um sistema dinâmico (clássico) é um par E = (X, ç),. onde X é um espaço não vazio, compacto e Hausdorff, e o- : X —> X é uma aplicação contínua. E é um sistema inversível se o- é inversível.. Definição 1.0.16. Um sistema dinâmico E = (X,o- ) é equicontínuo se a. coleção {o' : n E Z} de transformações de X é equicontínua.. Proposição 1.0.6. (Teorema de Tychonoff): Um produto arbitrário de es-. paços compactos é compacto na topologia produto. 10.

(18) Proposição 1.0.7. [9] Seja (an)„>1 e (bn)tt>1 duas sequências com a,„ b„> O e k > O. Temos: (i) lira sup log(an + b„) = max(lim sup log a„, um sup log b„); (ii) lira sup log kan = Um sup log an; um sup log ar, G fim sup k log(al + + an) max(0, fim sup log a„).. 11.

(19) Capítulo 2 Entropia Topológica O conteúdo deste capítulo teve como referência básica o artigo [].]. Foram detalhadas algumas demonstrações e feitos alguns exemplos. A proposta deste capítulo é introduzir a noção de entropia como um invariante para aplicações contínuas.. 2.1 Definições e Propriedades Gerais Seja X um espaço topológico compacto. Definição 2.1.1. Para qualquer cobertura aberta ft de X, seja N(1L) o número de conjuntos em uma subcobertura de cardinalidade mínima. Uma subcobertura de uma cobertura é mínima se nenhuma outra contém menos membros. Como X é compacto e ft é uma cobertura aberta, existe sempre uma subcobertura finita. Chamamos H(1L) = log N(ft) a entropia de. Definição 2.1.2. Para quaisquer duas coberturas li, 9 3, a cobertura ft V 93 a• {AnBIAEll,BE93} chama-se join de fte93.. 12.

(20) Definição 2.1.3. Uma cobertura 03 é dita um refinamento de uma cobertura Si, e denotamos 41-< 03, se todo membro de 03 é um subconjunto de algum membro de IL. Temos as seguintes propriedades básicas. Propriedade 2.1.1. A operação V é comutativa e associativa. Demonstração: Comutativa: Sejam li, 03 duas coberturas de X. Temos que: 51V 03 a- : {An.131,4651,B 603} {EnAl.13603,AESI} 03 V Si Portanto, 51V 03 03 Vil. Associativa: Sejam li, 03 , C coberturas de X. Temos que: (51V03)Vit{(AnB) I A ElleBE03}VCE {(AnB)nC I (AnB) E ilV03 e CEC} .a:{(ilf1B)11CIAESI,BE03eCEC}{Arl(Br1C)IAESI,BE03 eCEC}={An(BnC)1AESie(BnC)E03vit}51v(03vit). Portanto, (5.1 V 03) V C Si V (03 V C). Propriedade 2.1.2. A relação -< é uma ordem parcial reflexiva sobre a família de coberturas abertas de X. Demonstração: Seja 03 uma cobertura aberta de X, temos que 03 -‹ 03 , logo vale a propriedade reflexiva. Sejam agora 03, li, C coberturas abertas de X tal que Si -‹ 03 e C -‹ 51-<03 -\/Be 03 , 9AESIIBCA it-<51VAE11,9CECIACC. Assim V B E 03 , 3C ECIBC C. Logo C -‹ 03. Portanto, a relação -‹ é uma ordem parcial reflexiva.. 13.

(21) Propriedade 2.1.3. ti -< ti', 93 -< 93' 11V 93 -< ti' V 93'. Demonstração: Considere A' n 13' E fil V 93', onde A' E 11' e /3' E 93'. Por hipótese temos que ft -< li' e 93 -< 93', assim existe A E ti e B E 93 tal que A' C A, B' C B . Assim AlflECAr1BondeAr1B EILV93. Portanto ft V 93 -< ft' V 93'. Observação 2.1.1. Com as próprias substituições de li, 93 e a cobertura X no enunciado acima (Propriedade 2.1.3) obtemos 41 -< tiV93 e93-</iV93 que revela que a família de coberturas abertas é um conjunto ordenado com respeito à relaçsio -<. 11 -< 41 , 41 -< 11 -< .41V93. -< 93 -< /IV 93.. Propriedade 2.1.4. 11 -< 93 N(4.1) < N(93), Mit) .S H(93). Demonstração: Seja {Bi, ...,BN(w )} uma subcobertura mínima de 93. Como ft -< 93, existe uma subcobertura {A1, AN(»)} de li, tal que Bi C Ai, B2 C A2, BAr(si) C AN(»). Logo UBi C UAi, i = 1, 2, ..., N(93) e como UBicobre X temos que UAicobre X. Mas {A1, riamente é mínima.. AN(»)} não necessa-. Portanto N(41) < N(93). Como log é função .crescente, logN(41) < log N(93) e assim temos que H(4.1) S H(93).. 14. •.

(22) . Propriedade 2.1.5. ft -< 93 Mit V 93) = N(93) e H(ft V 93) = H(93). Demonstração: Pela Propriedade 2.1.3, temos que 93 -< ft V 93 e assim pela Propriedade 2.1.4 temos que N(93) < N(ILV 93). Por outro lado, por hipótese ft -< 93 e sabemos que 93 -< 93, assim fIV 93 -< B. Portanto, novamente, pela Propriedade 2.1.4, temos que N(II V 93) < N(93). Logo N(II V 93) = N(93). Como H(ft V 93) log N(II V 93) e H(93) = log N(93), temos H(ft V 93) = H(93).. •. Propriedade 2.1.6. Mit V 93) < N(ft).N(93) e H(ft V 93) < H(II) + H(93). Demonstração: Sejam {A1 , ...,ANg} uma subcobertura de ft e {B1 , —,BN(93)} uma subcobertura de B. Então {Ain E.; i = = 1, ..., N(93)} é urna subcobertura de II V 93. Consequentemente N(ft V 93) < N(11).N(93). Como log é função crescente temos que log N(ft V 93) < log[N(ft).N(93)] = log N(11) + log N(93) log Mit V 93) < log N(II) + log N(93). Portanto, H(11 V 93) < H(/..0 + H(93).. Seja 92 : X X uma aplicação contínua. Seja ft urna cobertura aberta de X então da continuidade de cp, a família de cp-11.1 = { w- lA 1 A E .f.i} é novamente uma cobertura aberta.. 15.

(23) Propriedade 2.1.7. ft -{ 93 cp-111 -{ cp-193. Demonstração: Temos que:. ço'it = {ço'AA Eit}, c/9 -193 = {cp-1B I B E 93}. Seja cp-1B cp-193. Como II -{ 93 dado B E 93,3A E II tal que B c A. cp-1B C cp-1A, onde cp-1A E cp-111. Portanto, cp-11.1-{ cp-193.. e. Propriedade 2.1.8. cp-1(11V 93) = cp-111V cp-193. Demonstração: Temos que:. ilv 9 3 {An B A Ell,B E 93}, cp-1(11V 93) = {cp-1(AnB), onde A nil 93} e cp-11.1=- {cp-1A A Eil} e cp-193 = {cp-1B I B EB}. Assim, cp-111 V cp-193 = {w-lAn(p-1B I cp-1A e cp-111 e cp-1B e cp-193}. = {w-1(AnB) I AnBeilV93}=w-1(11V93). Portanto w-111 V cp-193 = w-1(ft V 93).. e. Propriedade 2.1.9. N > N(cp-111). Demonstração: Seja {A1,..., Atkro.0} uma subcobertura mínima de Il. Como {cp-1211,..., cio-Uni)} é urna cobertura, possivelmente não mínima, temos. N(cp-111) 5_ N(11).. e. Observação 2.1.2. Quando cp é sobrejetora então N(11) = N(cp-lil), pois neste. caso a cobertura {cp-1211,...,cp-I AN(ji)} é mznima já que se fosse possível eliminar um de seus elementos a sua imagem também poderia ser eliminada de {Ai, Am0.01.. 16.

(24) Propriedade 2.1.10. n-1 H ( V (rica) 1) 11(1.1 V cp-la V ... V w1) k=0 — fim lim n-éco 7/ n-écso existe e é finito. Demonstração: -m-n+110 H(1.1 V ... V (to. H(Ll V ... V cp-m+1S1V cp-9.1 V cp-m-111 V ... V cp-m-n+15...0 = H(1.1 v ... v cp—m±la V cp—m(1.1 V cria V ... V cp—n1-1.1.1)) < H (li V ... V cp—rn+1.5.1) + H(cp—m(11V ...V cp—n+111)) < H (il V ... V cp-m+111) ± H (li V ... V cp-n+111).. A segunda igualdade segue da Propriedade 2.1.8; a próxima desig-ualdade da Propriedade 2.1.6; e a desigualdade final da Propriedade 2.1.9. Portanto, H(51V... V cp-m-n+1.11) < H(11 V ... V cp-m+11.1) H(S1V ... V cp-n+1.11). Seja Hn = H(1.1 V ... V cp-n+1.4.4. Assim temos Hm+n < Hm ± Hn e Hn > O, para todo inteiro positivo m, ri. Basta mostrar que um — n-Poo 72, existe e é finito. Observemos que Hin,„ <. k Hm pois, por hipótese sabemos que. < Hm + H, para qualquer m, n. Em particular quando ri = m. Assim, H,n+,„ = H2,n < Hif, ± Hm = 2H,, H2m < H2m+,, = H3,, < H2,n < 2H,, ± Hm = 3H,,. H31„ < 3H,,,. H(c-i)m±m = H km 11(k-i)m± Hm < (k —1) Hm + Hm = k Hm = Hkit, < kHm.. 17.

(25) . Fixe m > O. Para cada j > O seja j = km + n onde O < n <m. Então H,24.km. < H„ Hk„, H„ kg-a H„ H, + — —+ — • < + j n -E km km km km km km m Portanto, H • H < nH m j — km m Temos que m está fixo e n varia entre O e m, e quando j Assim lim sup. 11 ;. ao temos k --è ao.. ) um sup + —) = lim sup + — = • k—.00 K rn, 771 771 771 Km. H. Hm H. Hm Portanto, hm sup < — e daí Hm sup < inf , pois se é menor ou j—.00 3 igual que qualquerntié menor ou igual ao inf. Hm H • Por definição liminf Hn = sup inf Hk. Logo, inf — < Hm inf 4 já que do n k>n. 77/ /—.00 3. lado esquerdo da desigualdade temos o inf e do lado direito o sup dos inf. Assim temos que: H • Hm Hi lim sup < inf — < lim inf — m j. H • H • lim sup < lim inf 4. j-too. Além disso, sabemos que lim inf< um sup =. Assim temos que 3 5,00 3 Hi 14 H H H. lim inf — = lim sup —. Portanto temos, lim inf = inf = lim sup. j—too 3. j—k,o. j—*c.o 3 771. H• Assim concluímos que lim existe e é igual a inf. 18.

(26) . Definição 2.1.4. A entropia h(ç,11) de uma aplicação ço com respeito a uma cobertura Si é definida corno H(S.1 V cp-lit V ... V cp-n+111) h(cp,11) = fim n—too. 71. Propriedade 2.1.11. h(cp,II) < H(g. Demonstração: Temos que:. h(cp,if) = lim. H(11 v yo-lítV ...V ço-n±lit). n—too. 12. log N(11V 111V ... V yo-n+111) — lim 11-00 71. 1 < lim — 1 [log [N (11).N (w-141)...N( p'±141)]] S fi m — [log[N(41).N(41)...Ngli n—roo n n 1 1 = lim — [nlog N(11)] lim — [log N(.51)1 n--.co 7/. 12. = lim log N(41) = log N(SI) = H(11). n—.00 Portanto, hep,11) H(SI).. Observemos que a primeira desigualdade segue da Propriedade 2.1.6 e a segunda desigualdade segue da Propriedade 2.1.9.. 19.

(27) . Propriedade 2.1.12. 11 -< 93 h(cp,11) < h(cp, 93). Demonstração: Como por hipótese II -< 93 temos pela Propriedade 2.1.7 que cp-lít w-193. Assim pela Propriedade 2.1.3 temos que II') cp-lít 93 V cp-193. Podemos também generalizar 41 V w-lit V ... V w-n+141 -‹ 93 V w-193 V... V iso-n+1,3. Pela Propriedade 2.1.4, temos que: H(li V cp-lítV ...V cp-n+111)< H(93 V w-193 V ... V w-n+193). Logo H(93 V w-193 V ... V w-11+193) lim H(liV cp-111V ...V cp-n+1.£) < nlim —.co. n —.o°. h(cp,11) 5_. Propriedade 2.1.13. Se cp é um homeomorfismo, então h(ç,41)=. h(',41). Demonstração: Temos que: H(41 V ... V cp' 444.1) ,H(cpn-1(ítV ...V cp-"14.1)) = H(pn-14.1V ...V cp-" ld-rt-lit). =- H(it V (sag V ... V yon-141) = H(41 V (w-1 )-141V ...V (cp-1)-11+141). H(ÁV ...V cp-"141). HOÁV (cp-1)-141V ...V (w-1)-"141).. Assim, cp-1 ()-n+141) H(41 V ... V w-11+14,0 11(41V (cp-1 )-lítV ...V lim — lira. n —.o°. 71 -• 00. h(cp,11) = h(ço-1,41),. onde a primeira igualdade segue da Propriedade 2.1.9.. 20.

(28) Definição 2.1.5. A entropia h(çp) de uma aplicação cp é definida como o sup h(yo,Lt),. onde o supremo é tomado sobre toda cobertura aberta il.. Definição 2.1.6. Uma sequência {.5.1n 1 n = 1,2,...} de coberturas abertas. é refinada se (1) lin -‹ 11,114, (2) Para toda cobertura aberta 93 existe it„ tal que 93 -‹ Uma sequência refinada de coberturas, quando existe, simplifica o cálculo de entropia como a próxima Propriedade revela.. Propriedade 2.1.14. Se {i n } é uma sequência refinada de coberturas,. h(p) = lim h(p,it„). Demonstração: Como {14} é uma sequência refinada, temos que lin -{ 11„4.1 e V93,354, 1 Assim, pela Propriedade 2.1.12, temos que h(yortin) 5_ h(yo,itn+i) e h(yo, 93) 5_ h(yo,itn ), V93. Então h(,93) < h(cp,itn) h(çp,14+1). Portanto sup h(yo, 1.4) = Em hep,14) . n—too. e. 2.2 Teoremas Gerais Teorema 2.2.1. Entropia é um invariante por conjugação , ou seja, h(iftrtft-1) =. h(cp), onde : X X é contínua, : X X' é um homeomorfismo de X para algum X'. 21.

(29) Demonstração: Seja ft cobertura aberta de X. Como itft é um homeomorfismo temos que 011 é cobertura aberta de X1. Além disso, 11V ço-ift V ... V ço-n±at= Oft V (o-10-1)Oft V ... V etftrn+10-1)0/1. De fato: Seja {Ai, As, E ilV ÇO-111 V ... V ço-n+Ift, onde Ai U U A, = X. Temos que Ai =-Rnsn...nT, onde R E ft, S E rift,...,T E (p-n+111. Como (p é um homeomorfismo temos que 0,4.1 U 2M.2 U U /PA, = e 2PAi = O(R) n iift(s) n n 0(T), onde Ift(R) E 0(54 0(S) E (1P,o— 10-1)011, • ••,0 (T) E (IPY-71+10-1)011. Assim temos que, h(iip(pzp-1,2pu)=-- ilin n—,co. Moa v . v (.p-1)-n-Flou) 12. (*) miou v eipp-1-0-1)2puv ... V (zft(p-n+i,,p-i),,pil n-.00 12. = n—poo. mu v ço—lit V ... V ÇO—n+Iil) my,il).. Portanto, h(', '½!) = h(ç, ft), para uma cobertura genérica. Logo h(zftcpzP-1) = hep).. (*) (24.0-1)k = (IPT70-1)(0tor')... (or') = Otokiirl•. Teorema 2.2.2. h(pk ) = kh(ç), para todo k, inteiro positivo. Demonstração: Temos por definição que: H atVy-3.11V... \içoh(c,o,11) — n+15-1'1 e h(y) = sup h(p,51). n-,co 12 Assim, h(pk ) h(pk ,5_1V (p-15_1. V ...V (p-k+15.1) 22.

(30) . w -k-H.L0 v = Um -[H(.4.1 1 V cio-1U V ... V 99-"14.1 V (pk )-1(.4.1V cio -14.1V ... V 71-00 n. ...V (pk)-"±1 (4.1V cp-14.1V ...V cp-k+1.£1))1. = k lim. HW V ço-lit V ... V 99-k+14.1 V 99-al V ... V w -2k+isi v ... v nk. w-el-1)/11.V ... V 99-nk+1.4.1. = khep,f1). Então h(pk ) kh(ç,i.1) para qualquer cobertura SI Logo, h(ç k )?. khep).. Por outro lado, temos que v. ((pk) .. 1.11. V. V. ((pk)'+Ill. II. V. V. V. w -nk-Elit. Logo,. H(4.1V ço-ISIV ...V cp-m+1.4.1) H(.41V Cio/0 -141V ...V epk)-n+1/0 hep,LI)= lim > hm n-wo nk n-.00 nk. =. 1 H(.4.1V epk)-1.41V ...V eia /0'1+1 LO 1 k. = hep 1cn00 k. E isso implica que h(p,LI) h(çok ,LI), para qualquer cobertura aberta Li. Assim kh(c,o) h(çk). Portanto h(pk) = kh(p).. 23.

(31) Corolário 2.2.1. Se q, é um homeomorfismo, então h(çok) = jkili(ço); para qualquer inteiro k.. Demonstração: Se k > O segue diretamente do Teorema 2.2.2. Se k < O temos que —k > O, assim pelo Teorema 2.2.2 temos que h(c,ok) = kli(p), mas —k = kl já que k < O, logo 101 = Vk inteiro. Teorema 2.2.3. Sejam X eY dois espaços topológicos compactos e : X X e ç02 : Y Y aplicações contínuas. Então h(c,oi x cp2 ) = heih) + h(992),. onde (' Xq)2): X x Y —> X x Y definida por (th x (p2)(x,Y) = (991.(x),(1)2(Y))•. Demonstração: Coberturas abertas de X x Y da forma li>< 93 {A x .8 tal que A E .41,B E 93} têm a propriedade que Nxx y(4.1 x 93) = Nx(41).Ny(93) e (4.1 x 93) V (41' x 93') = (uva') x (93 V 93'), onde 41,41' são coberturas de X e 93,93' são coberturas de Y. De fato: Provemos inicialmente que N x x y (4.1 x 93) = Nx(.41)•NY (93 )• Escolhamos subcobertura de .4.1 minimal para X, ou seja, ela tem N x (41) elementos, que denotaremos por A1, ...,ANic o.o. Escolhamos também subcobertura de 93 minimal para Y, que denotaremos por BI, ...,BNx(93 ). Então (444 x é cobertura de X x Y, possui Nx(4.1.).Ny (93) elementos e é uma subcobertura de .4.1x 93. Portanto temos que N x x y(li x 93) < N x (.41) • NY (93) • Verifiquemos que nenhum elemento pode ser eliminado: Considere o elemento Aio x B 0 dessa subcobertura de .4.1. x 93, temos que: 3xi0 E Aio e xio 0 A , i io (senão Ainão seria minimal) 3yi0 E Bjc, e yio 0 B , j. jo (senão Bi não seria minimal).. 24.

(32) Portanto, o elemento (rio, yi0 ) E Aio x Bio não pertence a nenhum outro x E3 , isto é, nenhum elemento dessa subcobertura de 41 x 93 pode ser eliminado. Portanto Nx x y (it )< 93) = Nx (1) .Ny (93) . Provemos agora que (SI x 93) V (111' x 93') -= (it V 4.9) x (93 V 93'). De fato: Qualquer membro de (41 x 93) V (41' x 93') é da forma (A x B)n (A' x '), onde (AxB) EUx93e(A'xi3')EU'x93',porém (AxB)n(A'xB')=(AnA')x. (B n B'), onde (A n A') E (it Vitt) e (B nB') (1 V 411) x (93 V 93'). •. (93 V 93') (41x 93) V (41' x 93') C. Analogamente, qualquer membro de (UVW) x (93 V 93') é da forma (A n A') x. (BnB') = (Ax B)n(A' x.13') e assim temos (UVW) x (93 V931) C (itx 93)V(it' x 93'). COMO. Nx xy. (it X 93) = Nx(41).Ny (93), temos que. Hx x. Y (it X 93) = (I) +. Hy (93). Consequentemente,. h(soi x y2 , x 93) = h/0p1 ,i° h(so2 , 93). Observe que do lado esquerdo da igualdade temos uma cobertura de uma dada forma que no caso é o produto cartesiano das duas coberturas, e do lado direito da igualdade temos coberturas genéricas. Logo,. h(soi x so2 ) h(soi ) h(so2 ). Para estabelecer a desigualdade no outro sentido precisamos apenas mostrar que para uma cobertura arbitrária C de X x Y existe um refinamento da forma SI x 93, onde 41 é uma cobertura de X e 93 é uma cobertura de Y. Como todo subconjunto aberto de X xYé uma união de conjuntos da forma A x B, A subconjunto aberto de X, B subconjunto aberto de Y, que denominaremos para facilidade "retângulos", escolhemos um refinamento de C consistindo apenas de 25.

(33) "retângulos" abertos e desta escolha obtemos uma subcobertura minimal C', isto ' (e) } e e e'. é, €' = x x BN Seja Az a intersecção de todos conjuntos de Si' que contém o elemento x E X e By a intersecção de todos conjuntos de 93' que contém o elemento y E Y. Estes conjuntos definidos são ainda abertos, e podemos escolher um número finito de pontos x i ,...,x„, em X e em Y tal que {Az„ ...,Az„,} e 93 = {By„...,By } são coberturas de X e Y respectivamente. Considere qualquer conjunto Az, x Byj E 5.1 x 93. Como C' é uma cobertura de X x Y, (x4, yd) E A$, x IA para algum inteiro k entre 1 e N(€'), e portanto, x4 E kl, e yiE BL. Segue que Az, C Atk e By, C IA, isto é, ./4„ x Byi c Aik x 13L o que implica que C C' x 93. Obtemos, portanto, um refinamento da cobertura genérica por uma cobertura da forma /I x 93. Teorema 2.2.4. Sejam X1 e X2 dois subconjuntos fechados de X tal que X = XI I. X2 eçoX . CX1, yoX2 C X2 para yo : X X contínua. Então h(w) = max{h(wi), onde (PI = (Pixi e (P2 = Wix2. Demonstração: Seja i = 1 ou 2. Para qualquer cobertura aberta Si de X a família (U)4 = {A n X4 1 A E ft} define uma cobertura aberta de X4, aberta no subespaço topolOgico X. Empregando índices à N para indicar o espaço cuja cobertura está sendo contada, temos Ar4((g4) < N(11). Para coberturas abertas /I e 93 de X temos também (ft V 93)4 = V pois, para C E (11. V 93)i, temos que C = (A n B) n X4, onde (A n B) E Si V 93. Mas C = (A n B) n xi = (A n xi) n (B n xi ) E (51), V (93)i. Além disso, cp4-1(U)4 = (w-15_1)4. Seja 5.1.4 uma cobertura aberta arbitrária de X4, aberta no subespaço topológico X-4 (cada elemento B desta cobertura é da forma A n x-4, 26.

(34) . onde A é aberto de X). Considerando estes A's e mais o aberto X — Ai obtemos uma cobertura aberta 11 de X tal que @Ai =1.1i, isto é, a =11; U (X — Xi), onde os elementos de II; são abertos de X que interceptados com Xinos definem os abertos de 14. n-1. Ni. (V. 92i -k. n-1. n-1. k=0. k=0. ) = Ni (V (92-1%9i ) = Ni ((V. k=0. n-1. 92-k11))N. (n-1. V 92-k1.1). k=0. n-1. N (V. Portanto, Ni (V 92».1.4) k=0. 92-191).. k=0. Assim h(92i,5.1i) h(92,11). Logo h(924 ) h(92). Por outro lado, para qualquer cobertura aberta 1.1 de X temos. N 92-k11) M (V (92-19-01)+ N2 k=0 C. k=0. k=0. e como anteriormente ( n-1. n-1. Ni V SO- kil Ni k=0. V Sei -k (1)i 3 i — 1, 2;. k=0. assim,. (. n-1. n-1. n-1. V 92-191) 5_ Ni(V (Pi k (Uh) + N2 (V (P2 k(102) •. N k=0 Consequentemente,. k=0. n-1. log N (V 92-k11). k=0. n-1. n-1. log [Ni (V (92i-k gi) + N2 (V (92/ k (102)1 •. k=0. k=0. k=0. Agora passando o limite e aplicando o Lema 1.0.7, temos. 27.

(35) . h(cp, max{ Wh), (1-)2)}. Tomando o supremo, temos h(cp) = max{h(ep1) , h(ç2)} •. e. Teorema 2.2.5. Seja — uma relação de equivalência sobre um conjunto compacto X. Seja cp : X —+ X uma aplicação contínua, tal que se x y ç(x) cp(y). Se ç3 : --+ X/r.P definida por (ror = irço onde ir : X —+ é a projeção, então h(To) h(cp). Demonstração: Seja ft uma cobertura aberta de XI Então clit é uma cobertura aberta de X, já que ir é contínua e sobrejetora. Assim = Nxt...(f1). Portanto, h(ç,ir -lã) = h(ç,f1). Logo, h(ç) = sup h(ç,U). 11. sup hep, = sup h(,5,ft) = Li. Portanto h(ç) h(çà ).. 28. iii. e.

(36) 2.3 Cálculo de entropia em espaços métricos Nesta seção X é um espaço métrico compacto com a métrica d. Definição 2.3.1. O diâmetro d(f1) de uma cobertura it de X é definido por d (ft) = sup d (A) AEll. onde d(A) é o diâmetro do conjunto A.. Proposição 2.3.1. (Lema da Cobertura de Lebesgue) Para toda cobertura aberta li de um espaço métrico compacto X existe e > O tal que se A é um conjunto com d(A) < e, então A está contida em um dos membros de it. O supremo de todos tais números e é chamado o número de Lebesgue de fl.. Corolário 2.3.1. Se ft e 93 são coberturas abertas de X e se d(93) é menor que o número de Lebesgue de li, então ft --< B.. Corolário 2.3.2. Se Sin é uma sequência de coberturas abertas tal que (2) 414. O, quando ri oo,. então 51,„. é uma sequência de coberturas refinada. Demonstração: Por definição, uma sequência {ff.,‘ 1 n = 2,...} de coberturas abertas é refinada se (1). -<. (2) Para toda cobeitura aberta 93 existe 14, tal que 93 --< A primeira condição do Corolário segue da definição.. 29.

(37) Sejam 93 uma cobertura aberta e 5 o seu número de Lebesgue. Como. d(íln) —) O, 3n0 I d(u1„0 ) < 1, denotamos esta cobertura {tenso } e temos •. 93 -‹ no •. Observação 2.3.1. O corolário 2.3.2 assegura a existência de sequências refi-. nadas em espaços métricos. Por exemplo, a sequência {i n }, onde 14 é o conjunto de todas as bolas de diâmetro menor que k, é refinada. Além disso, dada qualquer sequência {93} de coberturas satisfazendo a condição (2) do corolário 2..9.2, podemos construir {11.„} tal que 14 = V 93k que satisfaz (1) e (2) e assim k=0. é refinada.. Vamos agora dar alguns exemplos do cálculo de entropia de funções em espaços métricos. Exemplo 2.3.1. Se cp : X —) X é uma isometria (sobrejetora), então h(ç) = 0. Demonstração: Seja up a família de todos os conjuntos abertos de diâmetro menor que 1. Uma tal família possui a propriedade que Ur V /fp = £1,, , pois qualquer membro de ui, V Ur é da forma U n U', onde U, U' E 1.11, , ou seja,. U n U' tem diâmetro menor que 1, logo U n U' E lir, portanto .4.17, Vil,, C lir . Analogamente, lir V1.11, D Ur. Como cp é uma isometria, cp-11.12 = Ur . Isto implica que up ..tip V 92-11,12 V ... V 99-n+11.12, pois cio-lup = up e ui, V £1,, = Então. H(111, V yo-15.17, V ... V cp-12+15.17,) H(5.1p ) hep,11p ) = lim =lim n~co. log = lim =0. n--•oo. Portanto, hep, = 0. 30.

(38) Como {ftp } é uma sequência de coberturas abertas tal que (1) /ir -<4.17,±1, (2) d(ítp) O quando p —> oo, temos pelo Corolário 2.3.2, que flp é uma sequência refinada. Assim pela Propriedade 2.1.14, temos que h(w) = lim h(w,417,) = lim O = O. Logo h(w) = O.. •. Exemplo 2.3.2. Seja (X, w) um sistema dinâmico compacto equicontínuo, então h(w) = O. Demonstração: A métrica d' definida por d(x, y) = supd(wnx, wny) é equivanEZ lente a d. a) Provemos que dado Bd(xo,r) existe Bdi (xo, r) C Bd(xo,r). (Observe que d'(x,y) d(x,y)). Dado x E Bdi(xo,r) = {x E X f d'(xo,x) < r} temos que d'(xo,x) < r d(xo,x) <r x E Bd (xo,r).. b) Verifiquemos agora que Bd (xo,r) C. Bell (X0) 6) •. Observe que fixado x0 podemos construir a função e : (X, d) —> IR dada por e(x) = [d'(xo,x) — d(xo ,x)]. Por equicontinuidade e é continua. De fato: Já sabemos que d(xo , x) é continua, falta verificar que di(x0 , x) é continua. Para isso podemos definir a sequência dn(xo ,x) = sup d(Wi(xo),wi (x)) então —n<i<n. d'(xo ,x) = lim dn(x0 , x) =. n—too ieZ. Portanto, e = lim en, onde en(x) = [dn (x0 , x) — d(x0, x)]. n~oo. Observe que eind(ro,r) tem máximo igual a t. Seja x E Bd (xo,r) x E Dd(xo, r) = d'(xo, x) — d(xo,x) < t = d'(xo ,x) < d(xo,x) + t x E Bdi(xe, 6 ), onde 6 = d(xo,x) + t. Assim temos que d' é equivalente a d. 31.

(39) Com respeito a essa nova métrica, w é uma isometria:. d' (Y)) = sup d(Wn+1(x), 99+1(Y)) -co<n<i-co. sup. -00<u<+00. d(so'i(x),t(y)). Sendo so uma isometria temos, pelo Exemplo 2.3.1, que h(so)= O.. Exemplo 2.3.3. Seja X um grupo topológico compacto separável e g, : X X. definida por so(x) = axb, onde a,b E X. Então h(w) = O. Demonstração: X é metrizável, digamos com a métrica d . A "rotação" w é uma isometria com respeito a métrica d' definida por d'(x,y) = sup d(uxv, uyv) u,vax que é equivalente a d. Vejamos que so é isometria:. d(so(x),w(y)) =- sup d(uw(x)v,u5o(y)v) = sup d(UxT.2,17.y17) nivex nevEx = sup detixii,ityr7) = d'(x,y), onde "ft = ua e i7 = bv. Portanto,. d'ep(x),5o(y)) = d'(x,y). Logo, d' é isometria. Assim, pelo Exemplo 2.3.1, temos que h(w) = O.. Exemplo 2.3.4. Seja X o círculo unitário. Se c, o : X X é um homeomorfis-. mo, então h(w) = O. Demonstração: Seja uma cobertura de X por intervalos de comprimento de arco 1. A cobertura 11, V so-litp V ... V w-n+ intervalos e 32. é uma cobertura de X por.

(40) N(Up V (p-Ifip V ... V ço-n+atp) nN04). Assim, lim h(W)U)p — n—éco. = lim. H(11 V ço- aip V ... V w-n-Http ). log N(112, V (p-Ilip V ... V ço-n+1.lip) < lim log(nnip)) n—éco. 11-.00. = lim [log + log N(Up)] .. [l1ogn og N(fip)-1 =0. = lim 11. -PCO n—rco ri ri j Logo, h(w, Ui)) = 0. Como {112, 1 p = 1,2, ...} é refinada, temos pela Propriedade 2.1.14 que. h(w) = p1.1%) h(p,11p) = = 0. Portanto, h(w) = 0. Exemplo 2.3.5. Expressando o espaço das sequências de 'zeros e uns', indexa-. das em Z, por. onde X = {0, 1} e Xi com a topologia discreta, o espaço X é compacto na topologia do produto cartesiano pelo Teorema de Tychonoff. (Proposição 1.0.6) Podemos também expressar X como X -= x {0, 1} x {0, 1} x {0, 1} x Assim um elemento de X é da forma (...,1,0, 1, O, O, ...), onde o traço sob um dos valores determina a posição zero. Uma outra forma também usada é como função 00. quase-nula 95 Z —> U X:, onde X: = i x X. i=-00. 33.

(41) Seja (xi ) a i-ésima componente da sequência x E X. Então a topologia do produto cartesiano sobre X é a mesma que a determinada pela métrica d, onde d(x,y) =Ê I(x)i 1 ("1 , 21*1 Veja demonstração na Observação 2.3.4 no final desse Exemplo. Considere o horneornorfismo ço: X X chamado o "shift" (translação) e definida por ((px)i = (x) +i . É fácil ver que (p é horneornorftsmo. Seja it =- {A0 ,130 }, onde Ao = {(xi) 1 (x)o = O}, Bo = {(xi) 1 (x)0 = 1} e 11P = V k=-p. cpkit, p = O, 1, 2, ... .. Veremos que d(11p ) O quando p oo, e portanto a sequência {1.11,} é. refinada. De fato: Temos que: •. 21i1 21i1 Z-1 21111 - Z-1 21i1" Temos que A0n.B0 =O eil0 UB0 = X. Além disso, ‘`-‘ °) i=-00,i#o. 1. 111 + +. 4. + 2 2 4. Como d(x,y)-Ê 1(x)i E ci° F l e d(A0 )= sup{d(x,y),x,y E Ao}, -00 -00 temos que d(A0 ) = 2 e da mesma forma d(B0 ) = 2. Assim d(5.10 ) = sup{d(A0), d(B0)} = 2. Agora it1 = V = 99-151 V it V (01, ou seja, teremos k=-1. 99-IA0 V A0 V (pAo e (p-1.80 V Bo V (pB0 (todas as possíveis intersecções). Temos que: d(Ao fly'(Ao)fly(Ao)j=.+++... =1 e d(Bo n 99-1(B0) n 99(B0)) = 34.

(42) •• • + + + • • • = 1 e portanto d(1.11 ) = 1. 2. Para 112 = V (pkIl teremos k= -2. 2 A0 V (p- 1 "10 \I Ao V (pAo V (p2 Ao e (p-2 Bo V cp-1 Bo V 110V (pao V (,02 Bo•. Logo d(112 ) = 0,5. E assim sucessivamente, temos que d(117,) O quando p co. Como {gr } é refinada temos que. H (n. \. h((p,11) _5_ h((p,S1p ). P p-1. W kítV V. -= liM n-too. k gp). k=0. "ti v v V. k=-p k=-p-1 k=-p-n-1-1. wkil). Da Propriedade 2.1.5 e dos cálculos feitos na Observação M.E, após esse Exemplo segue que H(. \211. ("ti). h(W,111)) = nihn oo . =l1111 n-•00. V W. — lim. H CL-I-1. 7I-.00. h(cp,11). h(w, up) = h(w,11). 35.

(43) . Os "cálculos" feitos na Observação 2.3.3 mostram que -n+1 N V = 2". ( k=0 Portanto, -n+1 log N (V w-kft). 2" a1°g 2 k=0 log — hm lim. h(cp,U) = n-too n n-.00 n n-too n = lim,. log 2 = log 2, isto é, h(w,4.0 = log 2. Segue da Propriedade 2.1.14 e do fato que a sequência {Ur } é refinada que h(w) = log 2, pois h(w)= lim h(w,S.17,). P-.00 Observação 2.3.2. Temos que Agora. p-1 p-n+1 V W kitV V w ilIV ...V V W kit =. k=-p k=-p-1. k=-p-n-1-1. = V W-19±1li V ... Vil V Wil V ... V V ÇOI34 V[W-19-1li V W-Pit V ... V Ít V (MV ...V yoP-11V ...V [cp-P-n+lit v v v v v v ÇOP-n+liti = =. k=-p-n+1 Além disso,. -P O V çaki" V Wicit. k=-p-n+1 k=-n+1. 36.

(44) (n+ -- 1. Observação 2.3.3. Mostremos que N (Pkit). 2.. Precisamos calcular. k=0. N(II V c),-1 V ...V cp-n+111). Temos:. Bo = {*... * 1* ...*} Ao = {*... * O* ...*} = {Ao, Bo}. = {*... * 1* * ...*} ço-11.1 = {Ai , Bi } fn. —n {d +1cr. = B—n-1-1} A—n.+1 =. = {*„.1...***„.*}. (-n-t-1)-posição (-n+1)-posição Logo a intersecção de n elementos genéricos, usando apenas um de cada família (de dois) acima, terá a forma: (-n-/-1) (-n+2) -I O onde nas posições marcadas acima podemos escolher O ou 1, conforme a intersecção que escolhermos. Temos portanto 2' escolhas, o que nos dará N(5.1V cp-1 V ...V cp-71+111) = 2'.. Observação 2.3.4. Provemos que a topologia produto sobre X é a mesma que a determinada pela métrica d, onde d( s. y) =. 2I1. Demonstração: Seja Cp a topologia produto em X e seja Cd a topologia gerada pela métrica d. (i) Mostremos que Ç, C. çl•. Dado .5.1 um aberto básico de X na topologia produto, temos que :. 37.

(45) onde Aa„..., A n são abertos em Xai , X, respectivamente e Ai = X , para i ai. Dado um x E ff, então (x)i E Aipara cada i. Seja e < min*, j = 1, ..., n. Afirmamos que x E .13(x, e) C 11, De fato, dado y E B(x,e), temos que d(x,. < e i(x)i27.1 Mi!. —. <. < e,Vi.. Em particular, (Y)cti < 21 4. (x)ai. para j = 1,...,n. Então, como 1(x)„1 —. = O ou 1, temos que se. /(x)ar(Y)ai I < E, (x)as (y)ai para algum j = 1,...,n, então r — i L 2 l ai I 29 absurdo, pois e < mmn , j = 1, ...,n. Portanto, (x)„i= (y)as , Vj = 1, ...,n. Logo, (y)a, E Piai , j = 1, ...,n e como Ai = Xi, para i. ai temos que (y)i E Ai, Vi.. Portanto, yelle assim B(x, e) C li, logo ep C ed• (ii) Mostremos agora que Cd C Cp. Seja um aberto básico B(x,e) de X na topologia da métrica. +0° 1 x-1 , 1 +c° 1 e N 1 e < e E 57; < j. convergem, 3N > O tal que E i=0 i=-oo 4=Ar i=-co. C e. 2_, -. Assim. E iii>N+1. 1 211I. C e.. (*). Considere. 38.

(46) {—N, ...,N} e Ai.= {(x)i } para j Ø {—N,...,N}. Então 1.1 é um aberto na Topologia Produto e x E il.. onde Ai = Xi, para i. Mostremos que II c B(x, e). De fato: Dado y E U, temos que (y)i= (x)i para j E Assim l(x)i — = O para j E {—N N}. Logo, d(x,y ) =. 00. i(x)i. E i(x)i2;. i--00 2". (y)4 < E <e,. por N. Portanto y E B(x, 11 c B(x,e). Logo, Cd C Ç. Por (i) e (ii) temos Ç = C.d.. e. Observação 2.3.5. SeX = {0,1,...,N— 1} no exemplo anterior, então h(ço). log N. Além disso, se X i é algum espaço compacto Hausdorff contendo um número infinito de pontos, então h(,o). co.. Exemplo 2.3.6. Seja X um toro de dimensão 2, isto é, X = onde E2 é o plano euclidiano e é a relação de equivalência que identifica dois pontos no plano se suas coordenadas correspondentes diferem por inteiros. A métrica sobre X pode ser definida em termos da métrica sobre E2 tomando a distância entre dois pontos de X como a menor distância entre quaisquer representativos destes pontos em E2. Um automorfismo contínuo de grupos yo de X tem uma (. representação yo : (z,y) 4(ax by,CX 4- dy) (adição mod 1) onde (a b é c d) uma matriz unimodular A, isto é, uma matriz de inteiros com determinante ±1. Suponha que A tenha dois vetores característicos linearmente independentes a, /3, associados com valores característicos A e µ onde IAI > 1. Então h(w) = log. 39.

(47) . Demonstração: Considere uma cobertura de E2 por todos os paralelogramos abertos com lados paralelos aaefle tendo comprimento pl. Cada conjunto é um representativo de uma classe de equivalência de conjuntos em relação a -. Seja 11, uma cobertura aberta de X por estas classes de equivalência. Se A é um dos paralelogramos acima , então yo-n A é equivalente a um paralelogramo tendo lados de comprimento a'n e 2-'12 que são novamente paralelos aos vetores característicos. Considerando um paralelogramo equivalente a um dos conjuntos de 14, p> 1, podemos ver que "precisamos lAin-1" paralelogramos para cobri-1o, que são equivalentes aos conjuntos em cp-n+in 24 Assim "up. y. v w. -a+154) i .xia--1"u4. logp2INn-1 log N(./.4 V w-alp V ... V cp-n+1.117,). log IN(14). 2 log p+(n-1) log IÁI < log NalpVw-15.12,V ...Vw-n+111p ) 5._ (n-1) log +log N(5.13,). um. n—Poo. 2 logp (n - 1) log + n. N(./.4 V w-1.117, V ...V w-n+1112,) < fim log -. 1) log log Nair ) n—Poo. n n ). *log h(cp,14,) < log AI. hep, = log IN para p > 1. Como {14 1 p = 1, 2, ...} é uma sequência refinada temos. h(w) = plim h(w,112,) = Um log lAl =- log 1À1 h(w) = log 1À1.. 40.

(48) Observação 2.3.6. Se X é um toro n-dimensional e irb um automorfismo de X. determinado por uma matriz nx n unimodular tendo valores característicos reais A1, ..., 4 e n vetores característicos linearmente independentes, então com um. argumento similar temos. h(ç ) =. E log IA!.. Uma curiosidade baseada nas técnicas deste trabalho é a seguinte: Proposição 2.3.2. Seja X um espaço métrico compacto com um número infinito. de pontos. Seja (p : X -+ X uma aplicação contínua. Para qualquer cobertura aberta 11 existe um número 6> O (dependendo de II e (p) tal que d(p-111V (p-211V ...V (p-nit) > > O, para todo a Demonstração: Suponhamos d(p-111V (p-25.1V ...V (p-nít). O quando n ao.. Existe um inteiro N tal que se n > N então de9 -111V 99-211V ...V 99-111.0 < número de Lebesgue de Il. Portanto .41 -< (p-111V (p-211V ... V (p-91,n> N (Corolário do Lema Cob. de Lebesgue 2.3.1). l v ço-sa v v Assim N (.5.1 V ço- i. ço -n. =. "p ~. 1.5iV (p. -2.11V ... V W-nil) (pela. Propriedade 2.1.5). Mas pela Propriedade 2.1.9, Nep-1.51 V 99-211 V ... V 99-90 =-n-1-110. N(5.1 V 9cl/1V (p-25.1 V ... V 99. Por indução, MIIV(p-IIIV99-2.41V...V(p-91) = N(11V(p-lítV99-211V para n > N; isto é, N(11 V (p-111. V ço-2.5.1 V ... V ÇO-ní) é limitado, digamos pelo número M. Escolha M +1 pontos distintos x1,...,xm+1 e seja n tão grande que 4( V (p-lil v ço-silv v -nif) < min d(xi ,x j ). Isto é uma contradição, i<i<jcw+i pois para cobrir xl, ...,xm±i com conjuntos cujos diâmetros são menores que mm d(xi ,x j ) são necessários no mínimo M ici<jcw+i. 1 conjuntos.. Observação 2.3.7. N(11V (p-111V (p-2.5.1V ...V (p-( n-1).5.1) < N(.5.1V (p-111V (p-2.5.1V. ...V 99-n11) = N (99-111V ço-211V ...V 99-91) < Mil V W-1.11 V W-2.11 V ... V -'»'£0 (Propriedades 2.1.5 e 2:1.9). Portanto MU V (p-111 V 99-2.11 V ... V < Mil V 99-111V (p-211v 41.

(49) Capítulo 3 Entropia em Espaços Métricos e Razão de Crescimento Exponencial Este capítulo tem como referência básica o artigo [23]. Apresentaremos uma definição de Entropia Topológica para espaços métricos, a definição da Razão de Crescimento Exponencial e relações importantes entre estes conceitos. Também serão estudadas algumas relações entre as duas definições de Entropia Topológica.. 3.1 Entropia em Espaços Métricos Em 1965 Adler, Konheim e McAndrew em [1] introduziram o conceito de entropia topológica para uma aplicação contínua w: X iC de um espaço topolOgico compacto, que detalhamos no Capítulo 2. Veremos neste capítulo uma formulação devido a Bowen [5] no caso que X também é métrico. Definição 3.1.1. Sejam nENee> O. Um subconjunto E c X é dito (n,e)bem distribuído para ço se para todo ponto x E X, existe um ponto y E E tal que cl(sok(x),sok(y)) < e para O. k 42.

(50) A compacidade de X nos garante que E pode ser escolhido finito; denotamos a cardinalidade mínima de um tal conjunto E por r(n, e). A definição de Bowen para entropia é:. Definição 3.1.2. A entropia topológica h(w) de ço é definida corno. lim lim sup n-hro. 1 log r (n, E).. Daremos agora uma definição dual de entropia topológica. Esta definição usará a idéia de conjuntos separados que é dual a noção de conjuntos bem distribuídos.. Definição 3.1.3. Sejam nENeE>0. Um subconjunto Ec X é dito (n,e)separado para ço se x,y E. Qx y implica dn(x,Y) > E onde cl.„(x,y) = max d(wi (x),çoi (y)); denotamos a cardinalidade máxima de qualquer 0<i<n-1. subconjunto de X (n,,e)-separado por .s(n,e).. Proposição 3.1.1. r(n,e) < s(n,e) < r(n,e12) e logo s(n,e) < ao. Demonstração: Se E é um subconjunto (ti, e)-separado de X de cardinalidade máxima, então E é um conjunto (ti, e)-bem distribuído para X. Portanto r(n, e) < s(n,e). Para mostrar a outra desigualdade, suponha que E é um subconjunto (ti, e)-separado de X eF é um conjunto (ti, e/2)-bem distribuído para. X. Defina : I' escolhendo para cada x E E, algum ponto 0(x) E F com d(x , çb(x)) < E/2. Então çb é injetiva. De fato: Seja ei e2 E E. Provemos que A ----- 0(61) 0(62) = f2. 43.

(51) Temos:. d(621 f2) < d(ei, <. d(0(e2),0(.f2)) < d(0(ei.), O(A)) < • • •. <5 Se fi= f2, temos para k = 1, 2, ..., (n — 1) d(cfik cfik (e2)) d(c, (ei), 95k (h)) + (e2)) 95k (f2)) < + = 6' Mas max d(çbk(ei), 0(62)) > e. Absurdo! Como 95 é injetiva temos que a cardinalidade de E não é maior que a de F. • Logo, s(n, e) r (n, E/2). Observação 3.1.1. Se 61 <62 , então s(n,61 ) > s(n,62 ).. Definição 3.1.4. A entropia topológica h(w) de cp é definida neste caso como 1 fim lim sup — log s(n, e). e-,co n-.00 fl Logo, h(w) pode ser definida usando conjuntos bem distribuídos ou conjuntos separados. Bowen provou que h(w) não muda se a métrica sobre X é substituída por uma métrica equivalente. De fato: Teorema 3.1.1. [27J Quando X é compacto, a definição de Bowen (de entropia) coincide com a definição por cobertura aberta. Demonstração:. Seja hs(p,5.1) a entropia topolOgica de uma aplicação : X —> X contínua com respeito a uma cobertura aberta ft e h*(w) a entropia de ço, que ocorre na definição de entropia topológica por coberturas abertas. Seja ft = {A1, Ap} uma cobertura aberta de X e h(w) a definição dada acima. 44.

(52) Mostremos que hly , ff) < h(y) . Seja 5 um número de Lebesgue para SI Seja E um conjunto (n, 5/2)-bem distribuído para X de cardinalidade mínima. Para. y E E escolha Aio (y), (y) em SI tal que BI(yk(y)) C Ai, (y). Seja C(y) = Aio (Y) fl (P-iAii(v) n n (p(' -1)Ain_1(y), que é um membro de SI V y-14.1 V ... V y-fr4-1)4.1. Temos que X = U C(y), já que se x E X, 3y E E tal que o zigc d(yi (x), (y)) yEE. Logo, x E (1)-1° (13 f(yh (y))) C y- Ai, (y) , O k n —1; assim x E C (y). Como N (SI V cp-141 V ... V y-(11-1 )1.0 < lEi = r (n, 12) temos que log N(SI V y-141 V ... V y-frt-1)221 < logr (n,5 12) lim log N(SI V cp-141 V . < lim log r (n, 5/2) n-.00 n—.0o 1 lim — log N(SI V y-14.1 V ... V (p—(71-1)51) n1.1217 1 1log r (n, 5/2 n—kozi n, Logo h* (y , < lim sup — 1 log r (n, 5/2). n—roo. 71. h(y).. Portanto, h* (y) h(y) Para provar a recíproca, seja 5> O. Escolha uma cobertura aberta SI = {A1 , Av } de X tal que diam(A.) < para todo i. Seja F um subconjunto (n, 5)-separado de X com cardinalidade máxima. Dois membros de F não podem pertencer ao mesmo elemento de SI V n-1 y-14.1 V ... V (p—(n-1)51 pois se x, yE fl yA 3 , x,y E F, então j=0 max d(y) (x), (y)) < S e assim x = y. 0<j<n-1 Logo, N (SI y y-141 V ... V y- (n —1) > F¡ = s(n, á).. log N(SI V cp-141 V ... V y-(71-1)51) > log s (n, .5) 45.

(53) . Um log N(Lt V cp-In V ... V c,o±-1)51.) > Um log s(n,6) n—P00. n—too. 1 um 1log s(n, 6). Um — log NOI. V so-lit V ... V C,0—(n-1)10 > n—>co n. n—P00 71. Portanto,. 1. h* (so) > tt* (c,o , Si) Um — log s(n, 6). ,% co n. Fazendo 6 —) 0 temos 11*(w) Como, quando. h(4°)•. X é compacto, a definição de entropia topológica de Bowen. coincide com a definição por coberturas abertas, isto significa que, neste caso, a. h(w) é independente da métrica, ou seja, h(w) não muda se a métrica sobre X é substituída por uma métrica equivalente. entropia topológica. Podemos ver h(w) como uma medida da complexidade de c,o. É possível verificar que: (1) A entropia topológica de qualquer aplicação periódica é zero, (2) A entropia topológica de qualquer homeomorfismo de superfície pseudoAnosov é positiva. Vejamos alguns exemplos do cálculo de entropia com esta definição: Exemplo 3.1.1.. Consideremos X =10,1] , c,o = id id : [0, 1] [0, 1]. temos que h(c,o) = 0. Demonstração: Sejam e = e>0enE N. Tomemos E C. E— Temos que para todo. X tal que. 2 m. {m1+1' m+ 1"" m+ 1 j. x E X = [0,1] existe um ponto y E E tal que 46.

(54) d(id(x),id(y))= d(x, y) <e =. rn. = < _ pois d( M-1-12 M-1-1 In Assim temos: com 1 < i — < m• Basta tomar y = x e Se x E E, então x é da forma m+J. — teremos d(x, y) =-• O < e. Se x E X — E, então x E Cki, ej com 1 < i < rn. Bastatomary=41 e teremos d(x, y) < e. Portanto, E é (n, e)-bem distribuído. Temos também que r(n,. < m que é. a cardinalidade de E. Então um (um sup — 1 log r(n, e)) sup 6-0 n—too 71. 1. log rrt) = sup log rn). 1) 1 = Em (logrn. Em sup —) = lim (logrn. lim — m—).co n—poo. m—>co n--*co 71. = lim (logrn.0) lim 0 = 0. M—.00. 771.--P00. Portanto a entropia topológica h(cp)= 0.. e. Exemplo 3.1.2. Seja cp : [0,1] [0,1] definida por cp(x) = Co. Temos que h(w) = O. Demonstração: Sejam e .=. ,e>0enE N. Tomemos E como no exemplo. anterior. Temos que para todo x E X = [0,1], existe um ponto y E E tal que: d(cpk (x),"(Y)) =d(Co,Co) = O <E Portanto E é (n, 4-bem distribuído. Temos também que r(n, e) < rn, onde m é a cardinalidade de E. Então, como anteriormente h(cp)= 0.. 47.

(55) Entropia topológica tem muitas propriedades interessantes, entre elas, a invariância de h(cp) em relação a conjugação topológica (isto é, conjugação por um homeomorfismo) descrita pelo próximo lema. Os dois lemas a seguir estão em [1] e foram detalhados no capitulo 2. Lema 3.1.1. Seja cpi : X1 —> X1 e cp2 : X2 -> X2 aplicações contínuas de. espaços métricos compactos. Se existe g :X1 —> X2 contínua e sobrejetora tal que gcpi = cp2q, então h(csoi)> h(cp2). Em particular, se g é um horneornorfismo, então h(cpi ) = h(cp2 ).. Lema 3.1.2. Se cp : X —> X é um horneornorfisrno de um espaço compacto,. então h(csok) = lkih(cp) para qualquer inteiro k. Em particular, h(c1 ) = h(w). Observemos que por este lema, no Exemplo 3.1.1, a entropia h(Id) tem que ser zero, pois, se tivéssemos h(Id). O então pelo lema acima teríamos h(Id') =. ikili(Id), mas /dk = Id, então temos h(Id) = que só é válido se h(Id) = O.. 3.2 Razão de Crescimento Exponencial Bowen introduziu em [4] a razão de crescimento exponencial de endomorfismo de grupo para estimar entropia topológica. Uma versão logarítmica descrita por Fathi e Shub em [9] é revista aqui. Seja G grupo com um conjunto finito de geradores gl, g„, e seja a : (7 —, G um endomorfismo. A razão de crescimento exponencial EGR(a) é definida como 1 sup hm sup log lak (g)l, gEG IC. 48.

(56) . onde IgI denota o comprimento da menor palavra em , g„±1. representando g. Observemos que o supremo na definição pode ser substituído pelo máximo sobre os geradores gi, 1 < i < n. De fato: Sabemos que 1 1 sup lim sup - log lak(gi)I sup lim sup log Iah (g)I. gec k—nzo X. k. g:. Ou seja, - 1 1 max lim sup - log Iah (gi )I < sup lim sup - log Iak (g)I, k-too k 9EG k-nzo k gj já que supri, = maxra pois estamos considerando um número finito de geradores. Mostremos que: 1 1 k lim sup log lak (g)I max lim sup log Ia (g)I. gi. k—tco. k—.co X. Observe que existe índice 41, tal que 1 1 max lim sup - log ¡ah (gi)I = lim sup - log Iah (gio)I, para algum gio. gi. k—.co k . k. Seja g E G com IgI = r, então g = g:: .g: 22 ...g: " , onde ei E {-1, 1}. Temos que: 1 1 lim sup log (g)I = lim sup log I ak (g:: -0 = 1 k-.co X k—.co X 1 1 = lim sup log ¡ah (g:11 ).Cth (g:: )...ak (g:r)I < Hm sup logr Iak (gio )I k-.co X r k—nzo X = lim sup r log Iak (gio )1]. lim sup 1-" log ¡ah (gio) I = k-nzo X k-hoo k 1 = max lim sup - log ICek 91 k-tco k onde a intima igualdade é devido a observação. 49.

(57) EGR(a) é finito, independente do conjunto de geradores, e não muda se a é composto com um automorfismo interno de G. Também,. De fato: Vejamos inicialmente que EGR(a). é finito, independente do conjunto. dos geradores.. g E G, sejam a dois conjuntos de geradores de G, então pelo = {gi , ...,g,.} e Glyi = Dado um grupo G com apresentação igh I 92, • • • , gn : ri, ..., 7-si e. que observamos anteriormente temos que 1 log Iak. sup lim. 1. (g)I = max lim log lak (gi)1,. geG 1c—too A.. DiEGi k -+00. mas também temos sup lim. 1. log lak (g)I = max lim —log lak (ga I.. geG k--too k . k—woo. k. Portanto EGR(w) não depende do conjunto dos geradores, e este valor é finito, pois estamos trabalhando com um número finito de geradores. Mostremos agora que EGR(a) não muda se a é composta com um automorfismo interno de G.. g E G, defina gar i :C --> G por [gag-1 ](x) = ga(x)g-1. Mostremos que EGR(a) = EGR(gag-1 ). (AtenSe a : G é um endomorfismo e. ção:. (g ar. 1 )' (gang-1)). Se x E G temos:. (9019-1 )n(x) = (gag-i )n-1(ga(x)g-1 ) = (9019-1 ) 1-2 [9a(a(x)9-1 )9-1] = = (gar i ) -9.9(a(9)012(x)a(9-1))9-11= (gar l ) -3 [9a(ga(g)ce2(x)a(9-1)999-11= = (gart-3[9(a(g)a2(9)a3(x)422 (g-i)a(9-1))9-11 = = (gag-I)iga(ga(g)a(9)0/3(x)(12(9-1)0 (g-1)9-1)g-11 =. = (gag-i ) -4 [9a(9)a2(9)013(9)a4(x)013(9-1 )a2(9-1)a(9-1)9-19-11 = = ••• = ga(9)012(9)—(2!-1(9)an(x)an-1(9-1 )•••a2(9-1 )a(9-1 )9-1.. 50.

(58) (a) Suponhamos que a"(g) = e = &0 (g') = [a" (g)] -1 = e. Então para N >> no, temos que (gag-i(x) = ga(g)a2(g)...ano-i(g)an(x)ano-i(g-i)...a2(g-i)a(g-i)g-i. Logo, 1(gag-1)(x)IN = constante -Ele(x)1. Portanto pela Proposição 1.0.7 (i): lim sup log 1(gag-1)n (x)I lim sup log[ct+ 1 an(x)1] = max{lim sup log(ct), lim sup log l&(x)1} = lim sup log I&(x)I. (b) Se &(g) e para cada n > 1, temos an(g)1 > 1 para cada n > 1. Logo, limsup log lan(g)1 0. Temos que: l(gag-i)(x) IN = iga(g )a2(g )...aN-1(g )aN ( x )aN-1(g-1)...a2(g -1)a(g -l)g -11 < g- I. iaN(x)i a'(g )...& (g ')a(g')g < iga(g)a2(g)...aN-1 (g). I. +. Observemos que 1ga(g)a2(g)...aN-1(g)I _< igi la(g)1 la 1(g)j. Assim, pela Proposição 1.0.7 (i) e temos que: 11 lim sup log laN -1 (g)1 lim sup — log (1g1 1a(g)1 laN-1(g)1) N-•oo IV N N-.co max{0, lim sup 1 -log laN-1(g)1}. N-)co N Mas sabemos que limsup log lan(g)I 0. Logo, 1 1 max{0 hm sup — 1oglaN-1(g)l} = lim sup — log 1 aN-1 (g)I} Além disso, Iga(9)422(9)—aN-1(9)1 = laN-1(9-1).-422(9-1)a(9-1)9-11. Portanto, 1(gag-1)(x)IN 2Iga(g)a2(g)...aN-1(g)I laN (x)I. Logo, também pela Proposição 1.0.7, 1 1 lim sup — log 1(g ag-1)N (x)I < lim sup — log (2Iga(g)a2 (g)...aN-1 (g)I laN (x)i) N ->oo 71 N-)oo 71 1 lim sup — log [2IaN-1(g)I IaN (x)Il N-.00 n 1 1 < max{lim sup — log 1aN (g)l, lim sup — log laN(x)1}. n Assim temos que EGR(gag-1) < E GR(a) e por simetria, temos E GR(gag') = EGR(a), como queríamos. 51.

(59) Bowen, em [5], provou que se w : M -+ M é qualquer aplicação contínua em uma variedade compacta, então a razão de crescimento exponencial do endomorfismo induzido (mi : 7r1(M) -+ iri(M) é um lirnitante inferior da entropia topológica h(w). É tentador olhar razão de crescimento exponencial como entropia na categoria dos grupos finitamente gerados já que muitas propriedades da entropia topológica valem para razão de crescimento exponencial, como demonstra o lema seguinte análogo ao Lema 3.1.1. Lema 3.2.1. [9] Seja al :G1 -+ G1 e a2 : G2 -+ G2 endomorfismos de grupos. finitamente gerados. Se existe um epimorfismo : G1 -) G2 tal que fiai = a2 /3, então EGR(ai ) > EGR(a2 ). Em particular, se fl é um isomorfismo, então EGR(at ) = EGR(a2 ). Contudo nem todas as propriedades de entropia topológica valem para razão de crescimento exponencial. Por exemplo, se a : G -) G é um automorfismo de um grupo finitamente gerado, então EGR(a) não precisa ser igual a EGR(a-1 ). Observe outra diferença significante entre entropia topológica e razão de crescimento exponencial. Se w : X -+ X é uma aplicação contínua de um espaço compacto e A C Xé um subespaço fechado de X que é rinvariante (isto é,. w(A) C A), então h(wI A ) < h(w) [1] (Teorema 4). Por outro lado, se a: G G é um endomorfismo de um grupo finitamente gerado eHc Gé um subgrupo a-invariante finitamente gerado, então EGR(aI ll ) pode exceder EGR(a) (ver [22] (p.219). De fato: Mergulhe G em G* .< G,t I tgt-1 = a(g),g E G > e estenda a a um automorfismo a* : G* G",t t. Como (a* )k (9). cek (9) = thgrk para cada g E G, então EGR(&) = O .. Agora se a : G -) G é um endomorfismo de grupo livre eHc Gé um subgrupo finitamente gerado tal que a(H) C H, então EGR(a) > EGR(aIH)• 52.