Universidade Estadual de Campinas
Instituto de Física Gleb Wataghin
Emílio Henrique dos Santos Sousa
Transferência, geração e monitoração de emaranhamento
quântico em sistemas compostos por átomos acoplados a
cavidades microtoroidais
Campinas
2019
Transferência, geração e monitoração de emaranhamento
quântico em sistemas compostos por átomos acoplados a
cavidades microtoroidais
Tese apresentada ao Instituto de Física Gleb Wataghin da Universidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do título de Doutor em Ciências.
Orientador: Prof. Dr. Jose Antonio Roversi
ESTE EXEMPLAR CORRESPONDE À VERSÃO FINAL DA TESE DEFENDIDA PELO ALUNO EMÍLIO HENRIQUE DOS SANTOS SOUSA E ORIENTADA PELO PROF. DR. JOSE ANTONIO ROVERSI
Campinas
2019
Ficha catalográfica
Universidade Estadual de Campinas Biblioteca do Instituto de Física Gleb Wataghin Lucimeire de Oliveira Silva da Rocha - CRB 8/9174
Sousa, Emílio Henrique dos Santos,
So85t SouTransferência, geração e monitoração de emaranhamento quântico em sistemas compostos por átomos acoplados a cavidades microtoroidais / Emílio Henrique dos Santos Sousa. – Campinas, SP : [s.n.], 2019.
SouOrientador: José Antonio Roversi.
SouTese (doutorado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Física Gleb Wataghin.
Sou1. Emaranhamento quântico. 2. Átomos de dois níveis. 3. Cavidades microtoroidais. I. Roversi, José Antonio, 1947-. II. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Física Gleb Wataghin. III. Título.
Informações para Biblioteca Digital
Título em outro idioma: Transfer, generation and monitoring of quantum entanglement in
systems composed by atoms coupled to microtoroidal cavities
Palavras-chave em inglês:
Quantum entanglement Two-level atoms
Microtoroidal cavities
Área de concentração: Física Titulação: Doutor em Ciências Banca examinadora:
José Antonio Roversi [Orientador] Francisco Paulo Marques Rouxinol Felippe Alexandre Silva Barbosa Ruben Auccaise Estrada
Salomon Sylvain Mizrahi
Data de defesa: 18-07-2019
Programa de Pós-Graduação: Física
Identificação e informações acadêmicas do(a) aluno(a)
- ORCID do autor: https://orcid.org/0000-0002-9984-2915 - Currículo Lattes do autor: http://lattes.cnpq.br/8798262952163248
MEMBROS DA COMISSÃO JULGADORA DA TESE DE DOUTORADO DE EMÍLIO HENRIQUE DOS SANTOS SOUSA RA: 151610 APRESENTADA E APROVADA AO INSTITUTO DE FÍSICA “GLEB WATAGHIN”, DA UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS, EM 18/07/2019.
COMISSÃO JULGADORA:
- Prof. Dr. José Antonio Roversi - (Orientador) - IFGW/Unicamp - Prof. Dr. Francisco Paulo Marques Rouxinol - IFGW/Unicamp - Prof. Dr. Felippe Alexandre Silva Barbosa - IFGW/Unicamp
- Prof. Dr. Ruben Auccaise Estrada – Universidade Estadual de Ponta Grossa - Prof. Dr. Salomon Sylvain Mizrahi– Universidade Federal de São Carlos
A Ata de Defesa, assinada pelos membros da Comissão Examinadora, consta no processo de vida acadêmica do aluno.
CAMPINAS 2019
Dedico esta tese ao meu filho Bryan Lorenzo, à minha esposa Fabiana Silva, ao meu irmão Paulo Henrique, aos meus pais Rita Santos e Amaro Sousa e in memorian a
Agradecimentos
Agradeço, primeiramente, a Deus por ter me concedido simplesmente a vida e a famí-lia que tenho. A todos aqueles que colaboraram e incentivaram para a realização deste trabalho que, sem essas pessoas nas quais dividiram comigo descobertas, emoções e en-riquecimento, não seria possível. Todo o conhecimento até aqui adquiridos se devem a estas pessoas que agradeço com enorme satisfação:
• Á minha esposa Fabiana por todos os bons momentos de felicidade, carinho e amor ao longo, não só destes seis anos de Doutorado, mas por todos esses anos que estamos juntos.
• Ao meu filho Bryan Lorenzo por me proporcionar o que a vida simplesmente tem de melhor.
• Á toda minha família, em especial, a minha mãe Rita Maria, ao meu pai Amaro Sousa e ao meu irmão Paulo Henrique.
• Ao professor e orientador Dr. Jose Antonio Roversi pela competência, dedicação e seriedade ao longo deste trabalho.
• Ao Prof. Dr. Antonio Vidiella Barranco pelas sugestões para o desenvolvimento deste trabalho nos encontros do Grupo de Óptica Quântica e aos professores do IFGW pelos ensinamentos, esforços e dedicação.
• Aos secretários(as) da Pós-graduação: Armando, Luciana e Miguel pela ajuda em todos os assuntos burocráticos e a todos os colegas e amigos que conheci na Unicamp. Agradeço enormemente as agências de fomento. O presente trabalho foi realizado com o apoio da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - Bra-sil (CAPES) - Código de financiamento 001 (processo 1504581/2015). Agradeço tam-bém ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico- CNPq (processo 140039/2016-3) pela bolsa de doutorado concedida.
Resumo
Nesta tese estudamos três sistemas constituídos por átomos de dois níveis acopla-dos a cavidades microtoroidais. Em particular, a cavidade suporta um par de moacopla-dos contra-propagantes de galeria sussurrante (WGM’s). Cada átomo está interagindo indivi-dualmente e simultaneamente com os dois WGM’s via campos evanescentes. Na primeira parte, investigamos a transferência de estado quântico entre dois átomos de dois níveis localizados em cavidades microtoroidais distintas. Assumimos que o acoplamento entre os microtoroides ocorre via campos evanescentes. Neste caso, mostramos que é possível transferir com alta fidelidade um estado de superposição de um átomo que está acoplado a uma cavidade microtoroidal a um segundo átomo que está acoplado a uma outra cavidade microtoroidal, considerando perdas por emissão espontânea dos átomos e decaimento das cavidades. Além disso, observamos que o grau de emaranhamento atômico pode ser pre-servado ajustando certos parâmetros do sistema. Na segunda parte, investigamos como o estado inicial do sistema influência na geração de emaranhamento entre dois e três átomos interagentes via interação dipolo-dipolo (DDI) acoplados simétrica e assimetricamemte a uma cavidade microtoroidal. Primeiramente, mostramos que dependendo da preparação do estado inicial, fenômenos como a morte e renascimento súbito do emaranhamento, bem como a estabilização do emaranhamento entre os dois átomos, pode ser obtido ajustando-se tanto a DDI quanto a interação entre os modos intracavidade. Notamos também que, no regime assimétrico, o máximo emaranhamento entre os átomos depende da localização atômica e, ainda, pode ser melhorado através da interação entre os modos. No caso de três átomos acoplados à cavidade, mostramos que as perdas da cavidade não contribui significamente para a degradação do emaranhamento tripartido. A última parte da tese é dedicada a preparação e monitoração de estados estacionários maximamente emara-nhados em um sistema composto por um par de átomos acoplados aos dois WGM’s de uma cavidade microrotoidal. Mostramos que é possível preparar, seletivamente, tanto um estado maximamente emaranhado entre dois átomos bem como um estado maxima-mente emaranhado entre dois modos. Tal preparação consiste na leitura da transmissão
possível determinar se os dois átomos (bombeio sobre a cavidade) ou dois modos (bom-beio sobre um único átomo) estão em um estado maximamente emaranhado via cliques no detector. Além disso, investigamos para cada subsistema, isto é, os dois átomos e os dois modos, a dinâmica de emaranhamento e sob quais condições pode-se transferir um estado emaranhado de dois qubits de um subsistema para o outro.
Palavras-Chave: Emaranhamento quântico, átomos de dois níveis, cavidades micro-toroidais.
Abstract
In this thesis, we studied three systems consisting of two-level atoms coupled to micro-toroidal cavities. In particular, the cavity supports a pair of whispering gallery counter-propagating modes (WGM’s). Each atom is interacting individually and simultaneously with the two WGM’s via evanescent fields. In the first part, we investigated the transfer of quantum state between two two-level atoms located in distinct microtoroidal cavities. We assume that the coupling between the microtoroids occurs via evanescent fields. In this case, we have shown that it is possible to transfer with high fidelity a superposition state of an atom which is coupled to a microtoroidal cavity to the second atom which is coupled to another microtoroidal cavity, taking into account losses by spontaneous emis-sion and decay cavities. In addition, we observe that the degree of entanglement between the atoms, considering the separated atomic initial states and entangled, can be preser-ved by adjusting certain parameters of the system. In the second part, we investigated the influence of the initial state on the entanglement generation in a system composed of two and three atoms interacting via dipole-dipole interaction (DDI) coupled symme-trically and asymmesymme-trically to a microtoroidal cavity. First, we show that depending on the preparation of the initial state of the system, phenomena such as sudden death and birth, as well as the stabilization of the entanglement between the atoms, can be obtai-ned by adjusting both the DDI and the interaction between the intracavity modes. We also note that, in the asymmetric regime, the maximum entanglement between the two atoms depends on the atomic location and also can be improved through the interaction between the modes. In the case of three atoms coupled to the cavity, we show that the tripartite entanglement dynamics, considering the separate atomic initial states and the type W , is more favorable when the cavity loss is greater than the spontaneous emission of the atoms. The last part of the thesis is devoted to the preparation and monitoring of stationary states maximally entangled in a system composed of a pair of atoms coupled to the two WGM’s of a microtoroidal cavity. We have shown that it is possible to selectively prepare both a maximally entangled state between two atoms and a maximally entangled
flection of a test field applied to the atom-toroid system so that it is possible to determine whether the two atoms (driven the cavity mode) or two-modes (driven the single atom) are in a maximally entangled state via clicks on the detector. In addition, we investigate for each subsystem, two atoms and the two-modes, the generation of entanglement and under what conditions we can transfer two qubits entangled state from one subsystem to the other.
Lista de Figuras
2.1 Escala anarmônica de Jaynes-Cummings. À esquerda é mostrado os
ní-veis de energia do átomo de dois níní-veis e do modo da cavidade com suas frequências de ressonância supostas iguais. À direita é mostrado os níveis de energia do sistema átomo+campo desacoplado (estados nus - g = 0) e
acoplado (estados vestidos - g 6= 0, em vermelho). . . . 28
2.2 Sistema átomo-cavidade microtoroidal. . . 29
3.1 Esquema de duas cavidades toroidais acopladas onde cada cavidade esta
interagindo com um átomo de dois níveis. As cavidades estão acopladas via campos evanescente com constante de acoplamento λ. A interação dos átomos e dos toróides com o ambiente (reservatório) são descritos pela
taxa de emissão espontânea dos átomos (γa) e pela taxa de decaimento da
cavidade (κ). . . . 46
3.2 Evolução temporal da fidelidade em relação ao estado desejado | ˜ψ1i como
função do tempo normalizado (τ = gt) e θ. Os parâmetros escolhidos foram ω/g = 20 e φ = 0. . . . 52
3.3 Evolução temporal da fidelidade em relação ao estado |ψ(0)i como função
do tempo normalizado (τ = gt) para θ = π/4. Os parâmetros escolhidos
foram ω/g = 20 e φ = 0. . . . 52
3.4 Evolução temporal da fidelidade em relação ao estado | ˜ψ1i como função
do tempo normalizado (τ = gt) para θ = π/4. Os parâmetros escolhidos
foram (a) κ = 3 × 10−2g e γ = 5 × 10−3g, (b) κ = 1 × 10−1g e γ = 5 × 10−2g
e (c) κ = 6 × 10−1g e γ = 3 × 10−1g; com ω/g = 20 e α = 0. Em
(d) a fidelidade é mostrada no intervalo 2.14 < τ < 2.26 com os mesmos
normalizado τ = gt quando os átomos estão preparados em um estado
separado (|egi). Os parâmetros escolhidos foram em (a) κ = 5 × 10−1g e
γ = 1 × 10−3g (curva azul), 1 × 10−2g (curva preto) e 1 × 10−1g (curva
vermelha) e em (b) γ = 5 × 10−3 e κ = 1 × 10−3g (curva azul), 1 × 10−2
(curva preta) e 1 × 10−1g (curva vermelha). . . . 56
3.6 Evolução temporal da concorrência entre os átomos como função do tempo
normalizado τ = gt quando os átomos estão preparados em um estado
emaranhado ((|egi + |gei)/√2). Os parâmetros escolhidos foram em (a)
κ = 5 × 10−1g e γ = 1 × 10−1g (curva azul), 5 × 10−1g (curva preta) e
1.0g (curva vermelha) e em (b) γ = 5 × 10−3 e κ = 1 × 10−1g (curva azul),
5 × 10−1 (curva preta) e 1.0g (curva vermelha). . . . 57
4.1 Representação esquemática do sistema átomo-toroide. O sistema consiste
em uma cavidade microtoroidal WGM (toróide cinza) acoplado a múltiplos átomos idênticos de dois níveis (esfera verde) com DDI. A perda intrínseca de cada WGM e de cada átomo é dado por κ e γ, respectivamente. A
inserção apresenta a configuração de níveis dos átomos. . . 61
4.2 Evolução temporal da negatividade entre os átomos como função do tempo
normalizado τ = gt e da interação dipolar Ω para J = 0 em (a) e (c); e interação entre os modos J para Ω = 0 em (b) e (d). Em (a) e (b) os átomos estão inicialmente preparados em um estado emaranhado (|gei +
|egi)/√2. Em (c) e (d) os átomos estão inicialmente preparados em um
estado separado |egi. Os modos da cavidade estão preparados no estado
de vácuo |00i. . . 64
4.3 Máxima negatividade entre os átomos como função de θ e da interação
dipolar Ω para J = 0 em (a); e da interação entre os modos J para Ω = 0 em (b). Máxima negatividade como função de θ para três valores diferentes do par (Ω,J ) em (c). Em todos os gráficos, os modos da cavidade estão
4.4 Evolução temporal da negatividade entre os átomos como função do tempo t e da intensidade da constante de acoplamento g2:(a)-(d) J = 0, (b)-(e) J = 0.2 e (c)-(f) J = 0.5, quando os modos da cavidade estão preparados num estado vácuo |00i. Em (a), (b) e (c) os dois átomos são inicialmente
preparados em um estado emaranhado (|egi + |gei)/√2 e em (d),(e) e (f)
num estado de produto |egi. Os parâmetros escolhidos foram g1 = 1.0. . . 66
4.5 Evolução temporal da negatividade com função do tempo normalizado τ
quando os átomos estão preparados em um estado emaranhado em (a) e (b), e em um estado separado em (c) e (d). Os parâmetros escolhidos foram: Ω/g = 0.2; J/g = 0 (linha azul) e Ω/g = 0; J/g = 0.2 (linha vermelha) e
para (a) e (c ) κ = 0.5g e γ = 0.1g e para (b) e (d) κ = 0.1g e γ = 0.5g. . . 67
4.6 Negatividade tripartite como função do tempo normalizado τ . Os três
átomos estão preparados em um estado do tipo W (|eggi+|gegi+|ggei)/√3
em (a) e (b); e num estado produto |eggi em (c) e (d). Os modos da cavidade estão preparados num estado de vácuo. Os parâmetros escolhidos foram (a) e (c) γ = 0.1g e κ = 0.5g; (b) e (d) γ = 0.5g e κ = 0.1g para
Ω = J = 0.1g. . . . 69
5.1 Sistema átomo-toroide proposto. A cavidade microtoroidal possui dois
WGM’s que acoplam simultaneamente dois átomos identicos e interagentes
via interação dipolo-dipolo.. . . 74
5.2 Diagrama de níveis de energia do sistema átomo-toroide com taxas coletivas
de decaimento e campos de prova. . . 75
5.3 Representação esquemática do sistema átomo-toroide proposto, onde a
ca-vidade está acoplada a uma fibra óptica. Os operadores de modos continuos
da fibra são dados por {ain, bin, aout, bout}. A leitura da transmissão
(refle-xão) do campo de prova é feita via detector Da(Db).. . . 81
5.4 (a) Transmissão e (b) reflexão normalizada dos modos da cavidade como
função da dessintonia entre o campo de prova e do sistema átomo-toroide
para o regime de acoplamento forte κex {κin, J } e ωc= ωa. Os
parâme-tros escolhidos foram {, κex, κin, Ω, J, Γc, g}/2π = {10, 20, 0.2, 0, 0, 5.2, 45}MHz.
Em (a) e (b), as linhas tracejadas correspondem a ρatss → |ψ−ihψ−| e as
li-nhas sólidas para ρat
pulação do estado excitado atômico como função de g no regime de
aco-plamento forte κex {κin, J } e ωc = ωa = ωP. Os parâmetros escolhidos
foram {, κex, κin, J, Γc}/2π = {10, 20, 0.2, 0, 5.2}MHz. Em (a) e (b) Ω = 0
(linha tracejada), Ω = 20MHz (linha ponto-traço) e Ω = 40MHz (linha
sólida). . . 82
5.6 Representação esquemática do sistema átomo-toroide proposto, onde os
átomos estão acoplados a uma fibra óptica. Os operadores de modos con-tinuos da fibra são dados por {σ1,in, σ2,in, σ1,out, σ2,out}. A leitura da
trans-missão (reflexão) do campo de prova é feita via detector D1,at(D2,at). . . . 83
5.7 (a) Transmissão e (b) reflexão normalizada dos átomos como função da
dessintonia entre o campo de prova e do sistema átomo-toroide para o
regime de acoplamento forte γex {γin, Ω} e ωc = ωa. Os parâmetros
escolhidos foram {γex, γin, Ω, J, Γc}/2π = {40, 0.2, 0, 0, 5.2}MHz. Em (a) e
(b), as linhas tracejadas correspondem a ρc
ss → |φ
−ihφ−| e as linhas sólidas
para ρcss → |V ihV |. . . . 84
5.8 (a) Transmissão e reflexão normalizada dos átomos e (b) população do
número de fótons na cavidade como função de g no regime de acoplamento
forte γex {γin, Ω} e ωc = ωa = ωP. Os parâmetros escolhidos foram
{η, γex, γin, Ω, Γc}/2π = {10, 40, 0.2, 0, 5.2}MHz. Em (a) e (b) J = 0 (linha
tracejada), J = 10MHz (linha ponto-traço) e J = 20MHz (linha sólida). . . 85
5.9 (a) Negatividade dos átomos (azul) e dos modos (vermelho) e (b) pureza
do sistema atômico como função do tempo escalado κt para o estado inicial
|ψ(0)i1 = |eg00i. Os parametros escolhidos foram γ = 10−3κ e Ω = J = 0
para g = 0.2κ (linha tracejada), g = 0.4κ (linha ponto-traço) e g = 0.6κ
(linha sólida). . . 86
5.10 (a) Negatividade dos modos (vermelho) e dos átomos (azul) e (b) pureza dos
modos como função do tempo escalado γt para o estado inicial |ψ(0)i2 =
|gg10i. Os parametros escolhidos foram κ = 10−3γ e Ω = J = 0 para
g = 0.2γ (linha tracejada), g = 0.4γ (linha ponto-traço) e g = 0.6γ (linha
5.11 Negatividade dos átomos (azul) e dos campos (vermelho) como função do
tempo escalado gt para os estados iniciais: (a) |φ(0)i1 = √12(|eg00i+|ge00i)
e (b) |φ(0)i2 = √12(|gg10i + |gg01i). Os parametros escolhidos foram γ =
0.01g e Ω = J = 0 para κ = 0.01g (linha sólida), κ = 0.5g (linha
ponto-traço) e κ = 1.0g (linha tracejada). . . . 88
5.12 Negatividade dos átomos (azul) e dos campos (vermelho) como função do
tempo escalado gt para os estados iniciais: (a) |φ(0)i1 = √12(|eg00i+|ge00i)
e (b) |φ(0)i2 = √12(|gg10i + |gg01i). Os parametros escolhidos foram κ =
0.01g e Ω = J = 0 para γ = 0.01g (linha sólida), γ = 0.5g (linha
Sumário
1 Introdução 18
2 Conceitos Fundamentais 23
2.1 Quantização do campo eletromagnético . . . 23
2.2 Eletrodinâmica Quântica de Cavidades . . . 26
2.2.1 Hamiltoniano de Jaynes-Cummings . . . 26
2.2.2 Hamiltoniano de um átomo de dois níveis acoplado a uma cavidade microtoroidal . . . 28
2.2.3 Sistema átomo-cavidade microtoroidal com bombeio . . . 29
2.3 Correlações em Sistemas Quânticos . . . 31
2.3.1 Emaranhamento . . . 31
2.3.2 Medidas de emaranhamento . . . 32
2.4 Sistemas Quânticos Abertos . . . 34
2.4.1 Equação Mestra Markoviana . . . 34
2.4.2 Equação mestra para o sistema átomo-cavidade microtoroidal . . . 40
2.4.3 Teoria input-output . . . 41
3 Transferência de estados quânticos em um sistema de cavidades micro-toroidais acopladas 44 3.1 Introdução . . . 44
3.2 Modelo. . . 45
3.2.1 Diagonalização do Hamiltoniano das cavidades toroidais acopladas . 47 3.2.2 Dinâmica do sistema . . . 48
3.3 Transferência do estado quântico: caso ideal . . . 49
3.4 Transferência do estado quântico: caso dissipativo . . . 53
3.5 Dinâmica do emaranhamento . . . 56
4 Geração de emaranhamento entre átomos acoplados a uma cavidade
microtoroidal 59
4.1 Introdução . . . 59
4.2 Modelo. . . 60
4.3 Influência do estado inicial . . . 62
4.3.1 Dinâmica do emaranhamento bipartido . . . 62
4.3.2 Dinâmica do emaranhamento tripartido. . . 68
4.3.3 Conclusões deste trabalho . . . 69
5 Preparação e monitoração de estados emaranhados em uma cavidade microtoroidal 71 5.1 Introdução . . . 71
5.2 Modelo. . . 73
5.3 Sondando os estados estacionários . . . 76
5.3.1 CASO I: Sondando o sistema via bombeio na cavidade . . . 80
5.3.2 CASO II: Sondando o sistema via bombeio em um átomo . . . 83
5.4 Dinâmica e transferência de emaranhamento . . . 85
5.4.1 Dinâmica do emaranhamento . . . 85
5.4.2 Transferência de emaranhamento . . . 87
5.5 Conclusões deste trabalho . . . 89
Capítulo 1
Introdução
A mecânica quântica tornou-se a teoria mais bem-sucedida e a mudança revolucionária sobre o entendimento de fenômenos envolvidos na natureza do ponto de vista microscó-pico. Desenvolvida em meados do século XX, suas características notáveis e ao mesmo tempo contra-intuitivas marcaram a história das ciências naturais [1]. A teoria da me-cânica quântica leva em conta não apenas as limitações da física clássica, mas também proporciona avanços em aplicações tecnológias [2]. Nesse âmbito, diversas pesquisas tem sido realizadas com o propósito de utilizar as leis das mecânica quântica para criar meios que possam manipular, explorar e controlar o processamento de informação de forma efi-ciente [3–5]. Nesse sentido, a Óptica Quântica (OQ) tem se mostrado uma ferramenta amplamente difundida para este propósito [2,6].
Em especial, a Eletrodinâmica Quântica de Cavidadesa (EQCs) fornecou, nos últimos
anos, uma plataforma extensivamente promissora para aplicações em áreas da comunica-ção quântica à ciência da informacomunica-ção quântica [7,8]. A EQCs descreve a interação entre campo eletromagnético quantizado (fótons) e matéria (átomos), em geometrias confinadas (ressonadores ópticos) [7]. Em 1946, E. M. Purcell mostrou que o espectro de emissão de um átomo pode ser alterado quando colocado em uma cavidade ressonante [9]. Neste caso, dois regimes de acoplamento átomo-campo podem ser tratatos: regime de acopla-mento fraco e regime de acoplaacopla-mento forte. No regime de acoplaacopla-mento fraco, o fóton emitido pelo átomo escapa pela cavidade antes que ele possa ser reabsorvido pelo átomo, ocasionando em um processo irreversível. Logo, a emissão espontânea de um átomo pode ser inibida ou aprimorada. Este processo é comumente conhecido como efeito Purcell. No regime de acoplamento forte, onde o fóton é reabsorvido pelo átomo mais rápido do que perdido pela cavidade, a troca coerente de um quantum de energia entre átomo-campo
19 à frequência de Rabi, possibilita uma descrição da separação de modos devido ao forte acoplamento. Tal processo foi estudado teoricamente por Jaynes e Cummnings [10] e proposto experimentalmente para átomos individuais em [11].
Os fundamentos da EQCs não apenas circunscreve ao estudo da interação radiação-matéria, mas também ao controle coerente de sistemas quânticos individuais para a dis-tribuição do processamento quântico, contribuindo, desta forma, para uma possível im-plementação do computador quântico [12,13]. Historicamente, a computação quântica teve início quando, em 1982, Richard Feynman propôs um computador que funcionasse de acordo com as leis da mecânica quântica em vez das leis da mecânia clássica [1]. Três anos depois, em 1985, tal idéia começou a ganhar forma quando David Deutsch [14] esbo-çou os princípios básicos de um computador quântico que poderia, em princípio, resolver problemas que não são eficientemente solucionáveis por um computador clássico. Idea-lizavelmente, um computador quântico pode ser entendido como um conjunto de redes quânticas. Redes quânticas, geralmente, consistem de "nós"distantes conectados por ca-nais de comunicação quântica. A informação quântica é gerada, processada e armazenada em um nó quântico e distribuida pela rede via canais de processos reversíveis e irreversí-veis [15]. Diversas propostas têm sido realizadas tanto teóricas quanto experimentais -para a implementação de átomos acoplados a cavidades ópticas -para torná-los "nós"que compõem uma rede quântica [16]. Neste caso, as cavidades ópticas acopladas por meios físicos (campos evanescentes ou fibras ópticas) podem ser implementadas como canais quânticos [17].
O estudo de geométrias ópticas que aprisionam campos eletromagnéticos também tem sido tema de intensa investigação, devido a necessidade de cavidades com alto fator de qualidade e, ainda, melhorias no controle das técnicas experimentais. No trabalho pi-oneiro de Braginsky e Ilchenko [18] é demonstrado que cavidades ópticas na forma de modos de galeria sussurrante (WGMb), tais como microesféricas, microdiscos e
micro-cilíndros, são capazes de atingir altos fatores de qualidade. Neste contexto, como uma alternativa em relação as convencionais cavidades do tipo Fabry-Perot (FB), a cavidade microtoroidal [19–22] tem atraído considerável atenção para a investigação de processos físicos fundamentais que vão desde o estudo básico dos fenômenos da EQCs [23] a óptica não-linear [24]. A cavidade microtoroidal suporta WGM com ultra fator de qualidade (Q ≈ 108−9) e volume de modo muito pequeno (V
m < 100µm3) comparado a cavidade
microesférica, permitindo, assim, a interação forte entre sistemas atômicos e campos ele-tromagnéticos [25]. Este tipo de cavidade pode ser fabricada por uma combinação de
litografia padrão, técnica de gravura a seco e processo de refluxo seletivo [21]. Além disso, a forma da cavidade permite um nível extra no controle geométrico em relação a cavidade microesférica, levando à alta repetibilidade experimental e ao controle dos modos da cavi-dade. Os WGM da cavidade permitem, ainda, a redução drástisca da energia necessária para a observação de efeitos não-lineares [22]. Ademais, a cavidade microtoroidal possui, tipicamente, dois WGM’s contrapropagantes, isto é, um modo no sentido horário (CWc)
e outro modo no sentido anti-horário (CCWd), que acoplam entre si devido ao
retroes-palhamento induzido por imperfeições na cavidade ou rugosidade da superfície [26,27]. Esses dois WGMs tem a mesma polarização e frequência degenerada. Próximo à super-fície do toroide, átomos (ou pontos-quânticos, por exemplo) acoplam simultaneamente com os dois WGMs através de campos evanescentes. Com uma fibra óptica acoplada aos WGMs a eficiência para acoplar campos quânticos dentro e fora da cavidade microtoroidal é próxima de 0.99-0.999 [22,28]. Baseado na interação forte entre microtoroides e átomos alguns esquemas como transistor de fótons individuais [29], dinâmica de fótons regulados por um átomo [30], porta lógica quântica de fase-controlada [31], switching óptico [32,33] e roteamento de fótons [34,35] foram relatados teoricamente e experimentalmente.
Por outro lado, o processamento de informação quântica, tal como a transferência de estado quântico, é um procedimento fundamental em redes de comunicações quânti-cas [36] e tem sido proposto no contexto da EQC’s [17,37]. Diferente das cavidades do tipo FB, as cavidades microtoroidais possuem um grande potencial para ser utilizado na construção de comunicações quânticas em larga escala [38] e um sistema de duas cavida-des microtoroidais acopladas é um primeiro passo para compreendermos e manipularmos redes em larga escala. Nesse âmbito, na primeira parte dessa tese, investigamos a di-nâmica da transferência de estado quântico entre átomos de dois níveis localizados em cavidades microtoroidais distintas. Neste caso, assumimos que os toroides estão acopla-dos por campos evanescentes. Dessa forma, estudamos a transferência de um estado de superposição entre um átomo que está acoplado a um microtoróide a um outro átomo que está acoplado a um segundo microtoróide. Incluímos em nossa investigação efeitos de perdas, tais como emissão espontânea dos átomos e dissipação das cavidades. Além disso, também investigamos a dinâmica do emaranhamento entre os átomos acoplados às cavidades microtoroidais.
Embora os microtoróides sejam aplicavéis para a transferência de estados quânticos devido às qualidades apresentadas acima, há possibilidades de explorarmos, também, o
cDo inglês Clockwise dDo inglês Counterclockwise
21 acoplamento entre os dois WGM’s quando deformações estruturais estão presentes ou mesmo quando um átomo (ou um quantum dot) esteja próximo a superfície do toróide. Na Ref. [39] os autores exploraram a possibilidade do acoplamento entre dois WGM’s usando luz dispersiva em nanopartículas que interagem com a superficie do microtoróide rompendo a simétria de rotação permitindo, assim, a interação entre os modos intra-cavidade. Com o mesmo propósito, Park et. al. [40] deformaram intencionalmente os microtoróides para quebrar a simetria circular. Neste caso, os autores conseguem pro-mover o acoplamento entre os modos através da pressão de radiação impulsionada por oscilações mecânicas. Por outro lado, a interação entre os modos também proporcionam efeitos positivos para compensar as perdas de emaranhamento devido a interação com o ambiente [27]. Na Ref. [41], os autores demonstram como os mecanismos de perdas con-duzem assintoticamente a um estado estacionário maximamente emaranhado entre dois átomos de dois níveis interagentes via interação dipolo-dipolo acoplados a uma cavidade. No entanto, dentre estes trabalhos citados, não é mencionado a relação do estado inicial do sistema com os parâmetros do sistema na geração do emaranhamento atômico.
Neste âmbito, motivado pelos trabalhos citados acima e dentre outros [42–44], na segunda parte dessa tese, estudamos como o estado inicial influência na dinâmica do ema-ranhamento entre dois e três átomos de dois nivéis interagentes via interação dipolo-dipolo (DDI) que estão acoplados a uma cavidade microtoroidal. Cada átomo está individual-mente e simultaneaindividual-mente acoplado aos dois WGM’s na forma simétrica e assimétrica. Exploramos dois tipos de estados iniciais atômicos: (i) emaranhado e (ii) separado. A influência do estado inicial teve uma peculiaridade importante para a observação de di-versos comportamentos da dinâmica do emaranhamento. Fatores como a intensidade da DDI, regimes de acoplamento átomo-campo e a interação entre os modos intracavidade foram determinantes para a geração de emaranhamento máximo entre os átomos.
Apesar da possível utilização de átomos acoplados aos dois WGM’s de uma cavidade microtoroidal para o estudo da geração de emaranhamento atômico, a preparação e a detecção de estados emaranhados tem sido amplamente implementada em [45–47], per-mitindo novos rumos para o processamento da informação quântica [2]. De fato, estados emaranhados tornaram-se um recurso fundamental e desempenham um papel importante para a ciência da computação quântica [48,49] e teletransporte quântico [50]. No entanto, uma das principais dificuldades que emergem para o seu uso está diretamente ligada à sua fragilidade devido a interação incontrolável com ambiente. Por outro lado, diversas abordagens tem sido propostas para reduzir ou usar os efeitos do ambiente para gerar esta-dos emaranhaesta-dos em sistema quântico abertos [51]. Um exemplo é o considerado em [52],
onde o emaranhamento entre átomos distantes pode ser obtido via emissão espontânea dos átomos e perdas da cavidade. Outros exemplos em que a geração de estados emaranhados podem ser obtidos são dados por sistemas opto-mecânicos [53,54]. A geração de estados coerentes emaranhados de dois modos sob flutuação do vácuo foi investigado no regime não Markoviano [55]. Por outro lado, o processo de medição em sistemas quânticos não é uma tarefa fácil. O que ocorre, de fato, no momento da medição, é uma interação bastante sútil entre a coleta de informação e a perturbação do estado do sistema. Nesse contexto, algumas propostas como a medição quântica não-destrutiva (QND) buscam reduzir essa pertubação no sistema [56]. Na Ref. [57] os autores fazem o uso da medição QND quanto ao número de fótons através do efeito Kerr em uma cavidade microtoroidal. Um esquema de medição QND para um ensemble de átomos emaranhados foi implementado quando eles estão restritos em duas cavidades acopladas em [58].
Neste cenário, a terceira e última parte desta tese, consiste na preparação e monito-ração de estados estacionários maximamente emaranhados em um sistema composto por um par de átomos de dois níveis acoplados aos dois WGM’s de uma cavidade microto-roidal. Diferentemente dos trabalhos citados acima, nosso esquema pode ser utilizado, seletivamente, para preparar tanto um estado emaranhado entre dois átomos bem como um estado de dois modos emaranhados. Mostramos como monitorar estes estados sem pertubar o estado atômico ou o estado dos modos da cavidades fazendo o uso de uma me-dição QND. Além disso, discutimos a dinâmica do emaranhamento dos dois subsistemas, isto é, átomo-átomo e modo-modo, e a possibilidade da transferência de emaranhamento de um subsistema para o outro.
Essa tese esta organizada da seguinte maneira. No Capítulo2discutimos os conceitos fundamentais da óptica quântica, tais como o modelo de Jaynes-Cummings, extensão deste modelo e as testemunhas de emaranhamento utilizadas nesta tese. A teoria de sistemas quânticos abertos e o formalismo da teoria input-output são apresentados. No Capítulo3é apresentado o estudo da dinâmica da transferência e do emaranhamento entre dois átomos de dois níveis acoplados a cavidades microtoroidais distintas. No Capítulo 4, mostramos a dinâmica do emaranhamento entre dois e três átomos de dois nivéis interagentes via DDI acoplados simultaneamente a um cavidade microtoroidal. O Capítulo5é dedicado a preparação e monitoração de estados estacionários maximamente emaranhados entre um par de átomos bem como um par de modos em uma cavidade microtoroidal. No Capítulo
23
Capítulo 2
Conceitos Fundamentais
Antes de apresentarmos o nosso sistema de interesse é conviniente revisar alguns con-ceitos de Óptica Quântica. Desta forma, este capítulo será dedicado a uma breve revisão das bases teóricas relacionadas a quantização do campo eletromagnético, modelo de inte-ração radiação-matéria (Hamiltoniano de Jaynes-Cummings) e do sistema átomo-cavidade microtoroidal. Em seguida, discutiremos sobre correlações quânticas e algumas medidas de emaranhamento. Após termos desenvolvido a base teórica para descrevermos a inte-ração entre um átomo de dois níveis e um campo quantizado em um sistema fechado, iremos considerar sistemas quânticos abertos, isto é, assumindo a interação do sistema com o ambiente ao seu redor (reservatório). Este estudo é de suma importância, pois, em um sistema real, a dissipação sempre está presente. Apresentaremos a derivação da equação mestra de sistemas quânticos abertos e, logo em seguida, como um exemplo, apresentaremos a equação mestra governada pela interação de um átomo de dois níveis acoplado a uma cavidade microtoroidal. Em seguida, apresentaremos, brevemente, o for-malismo da teoria input - output que será utilizado quando tratarmos o caso em que o toróide está acoplado a uma fibra óptica com a finalidade de medirmos a transmissão e a reflexão de um campo de prova aplicado.
2.1
Quantização do campo eletromagnético
Partindo da teória clássica da radiação, o campo elétrico ( ~E) e o campo magnético ( ~B) podem ser obtidos resolvendo as equações de Maxwell [59]:
~ ∇ × ~E = −∂ ~B ∂t ; ~ ∇ · ~E = σ 0
~ ∇ × ~B = µ00 ∂ ~E ∂t + µ0 ~ J ; ∇ · ~~ B = 0; (2.1)
onde σ é a densidade de cargas, 0 é a permissividade elétrica no vácuo, µ0 é a
perme-abilidade magnética do vácuo e ~J a densidade de corrente. As grandezas ~J e σ estão relacionadas pela equação de continuidade:
∇ · ~J + ∂σ
∂t = 0. (2.2)
Com o intuito de simplificarmos as equações de Maxwell, podemos definir, ainda, um potencial vetor ~A e um potencial escalar φ tais que:
~
∇ × ~A = ~B; ∂ ~A
∂t − ~∇φ = ~E. (2.3)
Inserindo as eqs.(2.3) em eq.(2.1) e, ainda, utilizando o Calibre de Coulomb ( ~∇· ~A = 0), obtemos duas relações, sendo, respectivamente, uma vetorial e outra escalar:
−∇2A +~ 1 c2 ∂2A~ ∂t2 + 1 c2 ∂ ∂t∇φ = µ0 ~ J (2.4) −∇2φ = σ 0 (2.5) onde c = (0µ0)−1/2 é a velocidade da luz no vácuo. Sendo ~J (densidade de corrente) uma
grandeza vetorial, pelo teorema de Helmoltz [60] onde qualquer vetor pode ser decomposto por duas partes, divergente nulo (componente transversal) e rotacional nulo (componente longitudinal), podemos reescrevê-lo da seguinte forma:
~
J = ~JT + ~JL; ∇ × ~~ JL= 0; ∇ · ~~ JT = 0; (2.6)
Pelas equações 2.5 e2.2 temos:
~ JL= 0 ∂ ∂t ~ ∇φ. (2.7)
Dessa forma, as equações 2.4 e 2.5 podem ser reescritas como:
−∇2A +~ 1
c2
∂2A~
2.1. Quantização do campo eletromagnético 25
−0∇2φ = σ. (2.9)
Lembrando que, numa região sem cargas, ~JT = 0 e σ = 0. Dessa forma, numa região
cúbica de aresta L, o potencial vetor pode ser expandido em uma serie de Fourier: ~
A(~r, t) =X
k
h ~
A~k(t)ei~k·~r+ ~A∗~k(t)e−i~k·~r
i
(2.10)
onde as componentes do vetor de onda ~k assumem, devido as condições de contorno, os valores:
ki=x,y,z =
2πni
L ; ni = ... − 1, 0, 1, ... (2.11) Todas as componentes (modo) satisfazem a eq.2.8, tal que:
∂2A~
~k(t)
∂t2 + ω 2
~kA~~k(t) = 0. (2.12)
onde ω~k= c|~k| é a frequência do modo, cuja solução é dada por ~A~k = ~A~ke−iω~kt. A eq.2.12
é análoga a equação do oscilador harmônico, tal que, o nosso objetivo, é obtermos a quan-tização do campo através de uma conversão dessa equação para um oscilador harmônico quântico. De posse da solução da eq.2.12, podemos expressar os vetores ~A, ~B e ~E da seguinte forma: ~ A(~r, t) =X k h ~
A~k(t)e−iω~kt+i~k·~r+ ~A∗~k(t)eiω~kt−i~k·~r
i
(2.13)
~
B(~r, t) =X
k
i~k ×hA~~k(t)e−iω~kt+i~k·~r− ~A~∗k(t)eiω~kt−i~k·~r
i (2.14) ~ E(~r, t) =X k iω~k h ~
A~k(t)e−iω~kt+i~k·~r− ~A~∗k(t)eiω~kt−i~k·~r
i
(2.15)
A energia média contida em um único modo k é dada por:
¯ U~k = 1 2 Z V h 0E~k2+ B2 ~ k µ0 i dV. (2.16)
Logo, substituindo as eqs. 2.14 e 2.15 em eq.2.16, obtemos: ¯
U~k = 20V ω~k2A~~k· ~A∗~k. (2.17)
grandezas escalares p e q pelos respectivos operadoresa. Portanto, igualando a energia
média ¯U~k de um único modo do campo à energia de um oscilador harmônico clássico,
obtemos: 20V ω~k2A~~k· ~A~∗k = 1 2(p 2 ~ k+ ω 2 ~kq~k2) (2.18) tal que ~ A~k = q 40V ω~2k(ip~k+ ωk~q~k)ˆ~k; A~ ∗ ~ k = q 40V ω~2k(−ip~k+ ω~kq~k)ˆ~k; (2.19)
onde ˆ~k é um vetor unitário na direção de ~A~k. Dessa maneira, substituindo os operadores
quânticos ~ A~k = v u u t ~ 20V ω~k a~k (2.20)
onde os a~k descrevem os operadores de aniquilação do campo (seu hermitiano conjugado
a~†
k descrevem os operadores de criação do campo)
b. Portanto, o Hamiltoniano do campo
quantizado é dado como:
H =X
k
~ω~k(a~†ka~k+
1
2) (2.21)
2.2
Eletrodinâmica Quântica de Cavidades
2.2.1
Hamiltoniano de Jaynes-Cummings
A dinâmica composta por um átomo de dois níveis interagindo com um único modo do campo eletromagnético é descrito pelo Hamiltoniano de Jaynes Cummings [10], na aproximação de ondas girantes, como (em unidade de ~):
H = ωa
2 σz+ ωca
†
a + g(a†σ−+ aσ+) (2.22)
onde, respectivamente, o primeiro e o segundo termo representam a evolução livre do átomo e do campo da cavidade, e o terceiro termo descreve a interação de dipolo; os operadores de criação e aniquiliaçõ do modo da cavidade são representados por a† e a; os operadores atômicos de levantamento e abaixamento são dados por σ± = (σx ± iσy)/2,
onde σx,y,z são os operadores de Pauli; o átomo (cavidade) possui uma frêquencia ωa
(ωc); a troca coerente de um quantum de energia entre o átomo e o campo é escalado
a
Seguindo a relação de comutação [q, p] = i~.
bA relação de comutação entre estes operadores é dada como: [a ~ k, a † ~ k0] = δk,k 0, [a~ k0, ak~00] = [a † ~ k0, a † ~ k00] = 0.
2.2. Eletrodinâmica Quântica de Cavidades 27 pelo acoplamento átomo-campo g = dqωc
2V com d sendo o momento de dipolo eletrico,
a permissividade elétrica e V o volume da cavidade. Em particular, considerando o caso resonante (ωa = ωc = ω), os autoestados deste sistema são caracterizados pela troca
coerente de uma excitação entre átomo de dois níveis e o modo quantizado da cavidade. No caso em que o sistema átomo-cavidade estejam desacoplados (isto é, g = 0), os estados nus |gi ⊗ |ni = |g, ni e |ei ⊗ |n − 1i = |e, n − 1i (com n ≥ 1, onde n representa o número de excitações no sistema e o estado fundamental e excitado do átomo denotado por |gi e |ei, respectivamente) são degenerados com energia En = (n − 1/2)ω, exceto o
estado fundamental denotado por |g, 0i que possui energia E0 = −ω/2. Por outro lado,
considerando o acoplamento átomo-cavidade (g 6= 0), a interação acopla os estados |g, ni e |e, n − 1i para n ≥ 1, mas não associa quaisquer outros estados, de modo que,
H|g, ni = n − 1 2 ω|g, ni + g√n|e, n − 1i (2.23) H|e, n − 1i = n − 1 2 ω|e, n − 1i + g√n|g, ni, (2.24) portanto, podemos considerar cada subespaço Hn = {|g, ni, |e, n−1i} independentemente
e, assim, escrever o Hamiltoniano como [61,62]:
H =X
n
Hn (2.25)
onde Hn atua apenas em Hn e pode ser escrito, na forma matricial, como:
Hn = (n − 12)ω g√n g√n (n − 12)ω .
Diagonalizando este hamiltoniano, encontramos os autovalores e os correspondentes au-tovetores, En± = n − 1 2 ω ± g√n |En±i = √1 2(|g, ni ± |e, n − 1i).
Estes autoestados de energia são superposições dos estados |g, ni e |e, n−1i, sendo por isso denominados de estados vestidos. Os autovalores de energia formam a escada anarmônica de Jaynes-Cummings, como mostra a Figura 2.1. Note que há uma separação de modos que inicia no primeiro grau da escada anarmônica, denominada vaccum Rabi splitting, com magnitude determinada pela constante de acoplamento átomo-campo dada por E = 2g√n.
Figura 2.1: Escala anarmônica de Jaynes-Cummings. À esquerda é mostrado os níveis de energia do átomo de dois níveis e do modo da cavidade com suas frequências de ressonância supostas iguais. À direita é mostrado os níveis de energia do sistema átomo+campo desacoplado (estados nus - g = 0) e acoplado (estados vestidos - g 6= 0, em vermelho).
2.2.2
Hamiltoniano de um átomo de dois níveis acoplado a uma
cavidade microtoroidal
Um ressonador microtoroidal consiste de uma cavidade óptica composta por dois WGMs (veja a Fig.2.2). Diferente do modelo de Jaynes-Cummings, existe um termo extra no Hamiltoniano que descreve a interação entre os dois WGMs. Os dois WGMs são descritos em termos dos operadores de criação (aniquilação) a†(a) e b†(b) com frequência
comum ωc. Esses dois modos degenerados estão acoplados um com o outro devido ao
retroespalhamento induzido pela imperfeição da cavidade com constante de acoplamento J . Um átomo de dois níves, com frequência de transição atômica ωa, próximo a superficie
externa do toroide é capaz de interagir, simultaneamente, com os dois modos a e b via campos evanescente com constante de acoplamento
gtw = gtw0 f (ρ, z)e ±ikx
(2.26)
onde ρ é a distancia radial do átomo à superfície do toroide, x é a posição atômica em torno da circunferência do toroid, e z é a coordenada verticalc. O símbolo ± refere-se
à propagação dos modos horário (+) e anti-horário (−). O Hamiltoniano do sistema
cDe acordo com a Ref. [63], os autores utlizam o sistema de coordenadas cilíndricas para descrever o
2.2. Eletrodinâmica Quântica de Cavidades 29
Figura 2.2: Sistema átomo-cavidade microtoroidal.
átomo-cavidade microtoroidal é dado por (em unidades de ~) [25,30,63]: HS = ωa 2 σz+ ωc(a † a + b†b) + J (a†b + ab†) + (2.27) (gtw∗ a†σ−+ gtwaσ+) + (gtwb†σ−+ g∗twbσ +)
onde assumimos que gtw = g0twf (r)eikx. Note que este hamiltoniano é uma extensão do
modelo de Jaynes-Cummings, de modo que, neste caso, foi adicionado um segundo modo b (contrapropagante) e o termo de interação entre os modos a e b. Em toda a tese, assumimos a interação entre átomos de dois níveis acoplados simultaneamente aos dois WGMs de uma cavidade microtoroidal, tal que, o Hamiltoniano acima é essencialmente a base para todos os casos estudados nesta tese.
2.2.3
Sistema átomo-cavidade microtoroidal com bombeio
Em alguns casos estudados nesta tese, com a finalidade de obtermos informações acerca do sistema átomo-cavidade, assumimos que a cavidade microtoroidal ou o átomo são bombeados por um campo clássico externo coerente (um laser, por exemplo) com frequência ωL e amplitude quando bombearmos a cavidade, e frequência ωP e amplitude
η quando bombearmos o átomo. O Hamiltoniano dependente do tempo que descreve o bombeio no modo a da cavidade e o bombeio no átomo é dado por (em unidades de ~) [64]:
HD = (aeiωLt+ a†e−iωLt) + η(σ+eiωPt+ σ−e−iωPt). (2.28)
Note que, devido a dependência temporal, a energia do sistema não é mais conservada, isto é, fótons podem ser permutados com o campo incidente. Portanto, é conveniente eliminar a dependência temporal do Hamiltoniano total HT = HS + HD, tal que, isso
é feito mudando o referencial do sistema para o quadro de rotação do campo de prova, através de uma transformação unitária [65].
• Bombeio na cavidade (η = 0).
Neste caso, a transformação unitária é dada por
U = exp[−iωLt(a†a + b†b + σz/2)], (2.29)
que conduz o Hamiltoniano para
H = ∆L,c(a†a + b†b) + ∆L,a 2 σz + J (a † b + ab†) + +(gtw∗ a†σ−+ gtwaσ+) + (gtwb†σ−+ gtw∗ bσ +) + +(a + a†) (2.30) onde ∆L,c= ωc− ωL e ∆L,a = ωa− ωL. • Bombeio no átomo ( = 0).
Neste outro caso, a transformação unitária é dada por
U = exp[−iωPt(a†a + b†b + σz/2)], (2.31)
que conduz o hamiltoniano para
H = ∆P,c(a†a + b†b) + ∆P,a 2 σz+ J (a † b + ab†) + +(gtw∗ a†σ−+ gtwaσ+) + (gtwb†σ−+ gtw∗ bσ+) + +η(σ++ σ−) (2.32) onde ∆P,c = ωc− ωP e ∆P,a = ωa− ωP.
A seguir, iremos tratar as correlações quânticas, em especial, as medidas de emaranha-mento Negatividade e Concorrência para sistemas bipartitos que serão utilizadas nesta tese.
2.3. Correlações em Sistemas Quânticos 31
2.3
Correlações em Sistemas Quânticos
2.3.1
Emaranhamento
Emaranhamento é uma característica marcante da mecânia quântica e, em particu-lar, estados emaranhados apresentam notavelmente comportamentos contra-intuitivos. Isso, nos primórdios da mecânica quântica, levou à discussão do paradoxo de Einstein-Podolsky-Rosen (EPR) [66]. Um estado emaranhado está relacionado com o fato de que dois subsistemas (ou n subsistemas) representados em termos de estados, não puderem ser descritos como um produto de estados bipartidos (ou multipartidos) separavéis. Ma-tematicamente, um sistema bipartido, dado em termos da matriz densidade ρAB, está
emaranhado se, e somente se, ele não puder ser decomposto como um produto das matri-zes densidades de cada subsistema:
ρAB 6= X k pkρkA⊗ ρ k B (2.33)
onde as probabilidades pk satisfazem a Pkpk = 1 e pk ≥ 1. Para sistemas compostos
descritos por estados puros (por exemplo, |ψiS), todas as correlações são devidas ao
emaranhamento e, assim, a eq.2.33 pode ser reescrita como:
|ψiS 6=
Y
k
|ψik
S. (2.34)
Além disso, o emaranhamento é uma condição indispensável para qualquer estado quântico possuir características não-locais e, portanto, viola alguma das desigualdades de Bell [67]. Uma classe de estados emaranhados para sistemas bipartites, bem conhecidos, são os denominados estados de Bell:
|ψ±i = √1
2(|01i ± |01i) (2.35)
|φ±i = √1
2(|11i ± |00i) (2.36)
Estes estados são ditos maximamente emaranhados e exibem perfeitamente as corre-lações não-locais. Ademais, estes vetores, sendo linearmente independentes no espaço de Hilbert, formam uma base ortonormal.
2.3.2
Medidas de emaranhamento
Um possivél criteiro para verificar se um sistema biparite de dimensão 2⊗2 ou 2⊗3 está emaranhado ou não, é o criterio do transposto parcial positivo (PPT) [68,69]. Considere, por exemplo, dois subsistemas de dois níveis A e B, isto é, cada subsistema no espaço de Hilbert possui dimensão 2⊗2, representados pela matriz densidade ρAB. Se a transposição
parcial é realizada sob o subsistema Ad:
MT ⊗ ρAB = X k pk(ρkA) T ⊗ ρk B, (2.37)
onde hiA, jB|ρAB|kA, lBi = hkA, jB|ρTABA|iA, lBi, todos os estados com transposição parcial
positiva (PPT) são ditos separáveis e todos os estados com transposição parcial nega-tiva (NPT) são ditos emaranhados [68,69]. Na forma matricial, na base computacional {00, 10, 01, 11}, esta operação pode ser vista como:
ρAB = ρ0000 ρ0010 ρ0001 ρ0011 ρ10 00 ρ1010 ρ1001 ρ1011 ρ01 00 ρ0110 ρ0101 ρ0111 ρ1100 ρ1110 ρ1101 ρ1111 → ρTA AB = ρ0000 ρ0100 ρ0001 ρ0110 ρ00 01 ρ1010 ρ0011 ρ1011 ρ01 00 ρ1100 ρ0101 ρ1110 ρ1001 ρ1110 ρ1011 ρ1111
Após termos definido o critério de separabilidade ou transposto parcial positivo pro-posto por Peres-Horodecki que nos diz se um estado está emaranhado ou não, daremos enfase, agora, para as medidas de emaranhamento, em especial, negatividade e concor-rência.
Negatividade
Prosposta por Vidal e Wener [70], a negatividade para sistemas bipartidos quantifica o grau em que a matriz densidade do sistema viola o critério TPP. Como demonstrado em [70], a negatividade é definida como a soma absoluta dos autovalores negativos da transposição parcial em relação ao subsistema Ae:
N (ρAB) = ||ρT AAB|| − 1 =
4
X
k=1
|λk| − λk (2.38)
dA transposição parcial feita sobre o subsistema B é equivalente.
eA eq.2.38difere da prosposta original dada por Vital e Wener por um fator 2 para que o máximo
2.3. Correlações em Sistemas Quânticos 33 onde os λk’s correspondem aos autovalores da matriz ρT AAB e ||.|| equivale a norma do traço
da matriz transposta definida como kAk = √A†A, em que A é um operador hermitiano
qualquer. Vital e Werner provaram que a negatividade é uma medida monotônica e, assim, uma boa medida de emaranhamento. Ademais, a eq.2.38 possui valor máximo igual a 1 (para estados maximamente emaranhados) e valor mínimo igual a 0 (para estados separados).
Concorrência
Proposta por Wootters [71], a concorrência para sistemas bipartidos quantifica também o quão estão emaranhados dois subsistemas. Como demonstrando em [71], a concorrência é definida como: C(ρ) = max{0, q λ1− q λ2− q λ3− q λ4} (2.39)
onde os λ’s são os autovalores, numerados em ordem decrescente, da matriz R = ρ(σy ⊗
σy)ρ∗(σy⊗ σy) em que ρ∗ é a matriz complexa conjugada de ρ e σy é a matriz de Pauli.
A concorrência diferente de zero significa que os dois subsistemas estão emaranhados, tal que, se o valor for igual a 1 significa que os dois subsistemas estão maximamente emaranhados, e se for igual a 0 estão separados. Além disso, é importante notar que para matrizes densidades que possuem uma distribuição dos seus elementos da forma
ρ = ρ0000 0 0 ρ0011 0 ρ10 10 ρ1001 0 0 ρ01 10 ρ0101 0 ρ1100 0 0 ρ1111
conhecidos como estados-Xf [72], a concorrênciag tem como solução analítica dada por:
C(ρX) = 2max{0, 0, λ 0 , λ00} (2.40) onde λ0 = |ρ00 11| − q ρ10 10ρ0101 e λ 00 = |ρ10 01| − q ρ00
00ρ1111. Nesta tese, as matrizes densidades
reduzidas do sistema de interesse são do tipo estados-X, tal que, para o nosso caso, a eq.2.40 pode ser ainda mais simplificada, dado que ρ11
11= 0.
fEste nome está associado ao fato de que a distribuição dos elementos da matriz lembra a letra X do
alfabeto.
gNo caso de sistemas puros em que a matriz densidade é do tipo estados-X, a negatividade e a
2.4
Sistemas Quânticos Abertos
Após termos desenvolvido os fundamentos matemáticos que descreve a interação radiação-matéria, em particular, um sistema de dois níveis interagindo com um campo quantizado, no caso ideal, além das correlações quânticas, iremos tratar, agora, situações realísticas em que o sistema físico interage com o ambiente. Neste âmbito, demonstraremos a de-dução matemática da equação mestra markoviana e, em seguida, o formalismo da teoria input-output.
2.4.1
Equação Mestra Markoviana
Inicialmente, considere um sistema S em contato com um reservatório térmico R. O sistema S, sendo o sistema de interesse, é um oscilador harmônico descrito pelo operador de aniquilação (criação) a (a†) com frequência ω0. O reservatório R é modelado como um
conjunto de osciladores harmônicos representado pelos operadores de aniquilação (criação) rj (r
†
j) com frequências ωj. O Hamiltoniano total do sistema-reservatório é dado por:
H = HS+ HR+ HSR (2.41)
onde
HS = ~ω0a†a (2.42)
é a evolução livre do sistema,
HR =
X
j
~ωjr†jrj (2.43)
é a evolução livre do reservatório e
HSR= X j ~(kj∗ar † j + kja†rj) = ~(aΓ†+ a†Γ) (2.44)
descreve a interação entre o sistema e o reservatório com Γ = P
jkjrj e os kj são as
constantes de acoplamento.
Supondo que o reservatório encontra-se em equilíbrio térmico à temperatura T , a matriz densidade é dada por:
R0 =
Y
j
(1 − e−~ωj/kBT)e−~ωjrj†rj/kBT (2.45)
2.4. Sistemas Quânticos Abertos 35 do sistema S com o reservatório R é denotado por χ(t)h. Aqui, o nosso objetivo é estudar
apenas a dinâmica do sistema S. Para isso, devemos traçar sobre os estados do reservatório e obter o operador densidade reduzido,
ρ(t) = T rR[χ(t)]. (2.46)
No entanto, precisamos, ainda, resolver a dinâmica do sistema composto que é gover-nada pela equação de von Neumann [74]:
˙
χ(t) = −i
~[H, χ(t)], (2.47)
onde H é dado pela eq.(2.41). Primeiramente, iremos mudar para a representação de interação para separar as oscilações rápidas geradas por HS + HR das oscilações lentas
geradas por HSR, usando a seguinte transformação
˜
χ(t) = e~i(HS+HR)tχ(t)e−
i
~(HS+HR)t (2.48)
e inserindo na equação de von Neumann (eq.2.47), temos: ˙˜
χ(t) = −i ~
[ ˜HSR(t), ˜χ(t)], (2.49)
onde ˜HSR(t) é explicitamente dependente do tempo, dado por
˜ HSR(t) = e i ~(HS+HR)tH˜SR(t)e− i ~(HS+HR)t. (2.50)
Integrando a eq.2.49 em ambos os lados,
˜ χ(t) = ˜χ(0) − i ~ Z t 0 [ ˜HSR(t0), ˜χ(t0)]dt0 (2.51)
Substituindo esta solução na eq.2.49 obtemos a forma integro-diferencial da equação de von Neumann: ˙˜ χ(t) = −i ~ [ ˜HSR(t), ˜χ(0)] − 1 ~2 Z t 0 [ ˜HSR(t), [ ˜HSR(t0), ˜χ(t0)]]dt0. (2.52)
Até aqui, simplesmente, reformulamos a eq.(2.47) em uma forma mais conveniente, a
hDevido a efeitos dissipativos do sistema, não podemos representa-lo por um vetor de estado e,
partir da qual podemos construir uma equação de movimento para o operador densidade reduzido do sistema S, realizando algumas aproximações apropriadas.
Aproximação de Born
Com a finalidade de obter a equação mestra para o operador densidade reduzido, traçamos sobre os graus de liberdade do reservatório,
˙˜ ρ(t) = −i ~T rR [ ˜HSR(t), ˜χ(0)] − 1 ~2 Z t 0 T rR [ ˜HSR(t), [ ˜HSR(t0), ˜χ(t0)]] dt0. (2.53)
O próximo passo é assumir que o sistema e o reservatório térmico estão serapados no tempo t = 0, de modo que, o operador densidade para o sistema composto, ˜χ(0), pode ser fatorado como:
˜
χ(0) = χ(0) = R0ρ0, (2.54)
onde R0 é o operador densidade inicial do reservatório dado pela eq.(2.45). Ainda,
assu-mimos que T rR[ ˜HSR(t)R0] = 0. Com essas aproximações, podemos simplificar a equação
mestra (2.55), ˙˜ ρ(t) = − 1 ~2 Z t 0 T rR [ ˜HSR(t), [ ˜HSR(t0), ˜χ(t0)]] dt0. (2.55)
Para uma interação do tipo fraca entre o sistema e o reservatório, isto é, quando o sistema perturba, apenas, ligeiramente o reservatórioi, podemos expandir o operador
densidade do sistema composto em termos do hamiltoniano de interação,
˜
χ(t) = R0ρ + O(H˜ SR) (2.56)
Assim, para uma aproximação apropriada, podemos desprezar os termos na equação mestra de segunda ordem em HSR, e, logo, o operador densidade ˜χ(t), pode ser escrito
efetivamente como um estado produto. Essa aproximação é chamada de aproximação de Born devido a sua semelhança com uma aproximação encontrada na teoria do espa-lhamento. A interpretação física dessa aproximação é a suposição de que o sistema S e o reservatório R permanecem não-correlacionados em todos os tempos. Além disso, o estado do reservatório não muda com o tempo. No entanto, essa hipótese só é razoável se o reservatório for muito grande comparado com o sistema de interesse e, ainda, se o
iDevido a robustez e a grande quantidade de graus de liberdade do reservatório, podemos assumir que
com o mesmo não ocorre mudanças significativas dada pela interação com o sistema S, devido a interação fraca entre eles. Por outro lado, esperamos que o sistema S seja significamente afetado pelo reservatório
2.4. Sistemas Quânticos Abertos 37 seu estado for dificilmente influenciado pela interação com o sistema. Logo, substituindo a eq.(2.56) na eq.(2.55), obtemos a equação mestra na aproximação de Born,
˙˜ ρ(t) = −1 ~2 Z t 0 T rR [ ˜HSR(t), [ ˜HSR(t0), R0ρ(t˜ 0)]] dt0. (2.57)
No entanto, essa ainda é uma equação complicada, em particular, não é Markoviana pois contém efeitos de memóriaj, ou seja, a evolução futura de ˜ρ(t) depende do seu passado
histórico por meio da integração sobre ˜ρ(t0). Para eliminar os efeitos de memória, devemos realizar mais uma aproximação, denominda aproximação de Markov.
Aproximação de Markov
Como mencionado anteriormente, o reservatório é um sistema que possui muitos graus de liberdade e que está em equilíbrio térmico. Assim, o reservatório não é afetado pelo sistema e as perturbações induzidas pelo sistema decaem rapidamente. Isso significa que o tempo de correlação do reservatório é muito menor do que o tempo escalado para que ocorram mudanças significativas do sistema. Nesse caso, a evolução do sistema é independente do seu passado, de modo que podemos despresar a história do sistema. Nós assumimos essa aproximação substituindo ˜ρ(t0) na equação (2.56) por ˜ρ(t). Esta suposição é chamada de aproximação de Markov. A evolução do operador densidade reduzido, ˜ρ(t), é, então, governada pela equação mestra na aproximação de Born-Markov,
˙˜ ρ(t) = −1 ~2 Z t 0 T rR [ ˜HSR(t), [ ˜HSR(t0), R0ρ(t)]]˜ dt0. (2.58)
Expandindo a eq.(2.58), temos: ˙˜
ρ(t) = − Z t
0
[aa ˜ρ(t0) − a ˜ρ(t0)a]e−iω(t+t0)h˜Γ†(t)˜Γ†(t0)iR+ h.c.
+[a†a†ρ(t˜ 0) − a†ρ(t˜ 0)a†]eiω(t+t0)h˜Γ(t)˜Γ(t0)iR+ h.c.
+[aa†ρ(t˜ 0) − a†ρ(t˜ 0)a]e−iω(t−t0)h˜Γ†(t)˜Γ(t0)iR+ h.c.
+[a†a ˜ρ(t0) − a ˜ρ(t0)a†]eiω(t−t0)h˜Γ(t)˜Γ†(t0)iR+ h.c.
, (2.59)
onde as funções de correlação do reservatório, explicitamente, são:
h˜Γ†(t)˜Γ†(t0)iR= T rR ˜ Γ†(t)˜Γ†(t0)R0 = 0, (2.60)
h˜Γ(t)˜Γ(t0)iR= T rR ˜ Γ(t)˜Γ(t0)R0 = 0, (2.61) h˜Γ†(t)˜Γ(t0)iR= T rR ˜ Γ†(t)˜Γ(t0)R0 =X j |kj|2eiωj(t−t 0) ¯ n(ωj, T ), (2.62) h˜Γ(t)˜Γ†(t0)iR= T rR ˜ Γ(t)˜Γ†(t0)R0 =X j |kj|2eiωj(t−t 0) ¯ n[ωj, T ) + 1], (2.63) com ¯ n(ωj, T ) = e−~ωj/k BT 1 − e−~ωj/k BT . (2.64)
As equações2.62e2.63envolvem uma somatória sobre os osciladores do reservatório. Para simplifica-las, podemos trocar a somatória por uma integral introduzindo a densidade de estados g(ω), tal que g(ω)dω é o número de osciladores com fequências no intervalo entre ω e ω + dω, X j → Z ∞ 0 g(ω)dω. (2.65)
Fazendo a mudança de variavél,
τ = t − t0, (2.66)
a eq.(2.59) pode então ser reescrita como:
˙˜
ρ(t) = − Z t
0
[aa†ρ(t − τ ) − a˜ †ρ(t − τ )a]e˜ −iωτh˜Γ†(t)˜Γ(t − τ )iR+ h.c.
+[a†a ˜ρ(t − τ ) − a ˜ρ(t − τ )a†]eiωτh˜Γ(t)˜Γ†(t − τ )iR+ h.c.
, (2.67)
onde as funções de correlação diferente de zero, utilizando a integração dada pela eq.(2.65), são: h˜Γ†(t)˜Γ(t − τ )iR= Z ∞ 0 g(ω)|k(ω)|2eiωj(τ )¯n(ω, T ), (2.68) h˜Γ(t)˜Γ†(t − τ )iR= Z ∞ 0 g(ω)|k(ω)|2eiωj(τ )[¯n(ω, T ) + 1]. (2.69)
Se consideramos que τ é pequeno, ou seja, o tempo de correção do reservatório é muito menor comparado com o tempo de decaimento do sistema, e isto é favorável de acordo
