Dinâmica do emaranhamento tripartido - Influência do estado inicial

4.3 Influência do estado inicial

4.3.2 Dinâmica do emaranhamento tripartido

Nesta seção estudaremos o caso de três átomos acoplados a uma cavidade microtoroi- dal. Neste caso, exploramos os estados iniciais do tipo W ((|eggi + |gegi + |ggei)/√3) e produto (|eggi). Para descrever a dinâmica do emaranhamento tripartido, utilizamos a negatividade tripartida como proposta por Sabín [102]:

N123 = (N1−23N2−13N3−12)1/3 (4.6)

onde as negatividades bipartidas são definidas como mostrado no Capítulo 2 (seção 2.2) e a transposição parcial de ρ123 com respeito ao subsistema átomo 1 é dado por

hi1, j23|ρT I123|k1, l23i = hk1, j23|ρ123|i1, l23i. Por simplicidade, assumimos que os três átomos

estão acoplados simetricamente aos dois WGMs, isto é, g1 = g2 = g3 = g e com o mesmo

DDI (Ω1,2 = Ω2,3 = Ω1,3 = Ω).

Na Fig. 4.6, ilustramos a negatividade tripartido como função do tempo normalizado τ = gt para o estado inicial do tipo W (Figs.4.6(a) e 4.6(b)), e estado produto |eggi (Figs.4.6(c) e 4.6(d)) para Ω = J = 0.1g. Os parâmetros escolhidos foram: (a) - (c) γ = 0.1g e κ = 0.5g; (b) - (d) γ = 0.5g e κ = 0.1g. Pelas Figs.4.6(a) e 4.6(b) observamos

4.3. Influência do estado inicial 69

(a) (b)

Figura 4.6: Negatividade tripartite como função do tempo normalizado τ . Os três átomos estão preparados em um estado do tipo W (|eggi + |gegi + |ggei)/√3 em (a) e (b); e num estado produto |eggi em (c) e (d). Os modos da cavidade estão preparados num estado de vácuo. Os parâmetros escolhidos foram (a) e (c) γ = 0.1g e κ = 0.5g; (b) e (d) γ = 0.5g e κ = 0.1g para Ω = J = 0.1g.

que, mesmo para o caso de três átomos, as perdas da cavidade quando comparado à taxa de decaimento atômico, não é um fator dominante para a perda do emaranhamento tripartido. Nota-se também que, o grau do emaranhamento tripartido é menor quando comparado ao grau do emaranhamento bipartido (compare as Figs.4.5 e 4.6), o que é consistente com a monogamia do emaranhamento [103]. Ademais, quando os átomos estão preparados em um estado produto, ocorre uma preservação do emaranhamento em relação quando os átomos estão preparados em um estado W (ver Figs.4.6 (c) e 4.6(d)).

4.3.3 Conclusões deste trabalho

Neste quarto capítulo da tese, exploramos como a preparação do estado inicial influ- encia na dinâmica de emaranhamento entre dois e três átomos de dois níveis com DDI acoplados simetricamente ou assimetricamente a uma cavidade microtoroidal. Conside- ramos dois tipos de estados iniciais, emaranhados e estado do produto entre os átomos. Mostramos que os efeitos do estado inicial no emaranhamento atômico são notáveis. Sig- nificativamente, para os estados iniciais emaranhados e no regime simétrico, ajustando-se tanto a interação entre os modos quanto a DDI, a morte súbita e o resnascimento, bem

microtoroidal 70 como a estabilização do emaranhamento, podem ser obtidos. Nossos resultados mostraram que o emaranhamento máximo é mais suscetível à variação na interação entre os modos do que a DDI. Para o regime de acoplamento assimétrico, mostramos que o emaranhamento máximo entre dois átomos depende da localização atômica e pode ser melhorado ajustando a interação entre os modos. Além disso, mostramos que quando os modos da cavidade estão desacoplados dos átomos, a dinâmica do emaranhamento atômico é mais favorável quando κ γ, mesmo para o caso de três átomos acoplados a uma cavidade microtoroidal.

Capítulo 5

Preparação e monitoração de estados

emaranhados em uma cavidade

microtoroidal

Este capítulo da tese foi dedicado ao estudo de um esquema dissipativo para preparar estados estacionários maximamente emaranhandos em um sistema composto por um par de átomos de dois níveis interagentes acoplados simultaneamente aos dois WGM’s de uma cavidade microtoroidal, independente do estado inicial e do controle preciso do tempo de interação na evolução do sistema. Mostramos como o estado estacionário deste sistema composto pode ser monitorado via medidas de transmissão e reflexão do campo de prova, sem pertubar o estado atômico (bombeando a cavidade) ou o estado dos campos da cavidade (bombeando um dos átomos), isto é, fazendo o uso de uma medicão quântica não-demolidora (QND). Além disso, também investigamos a geração de emaranhamento de cada subsistema e sob quais condições pode-se transferir um estado emaranhado de dois qubits dos dois átomos para os dois modos e vice-versa. Tais resultados também podem ser conferidos em [104].

5.1 Introdução

A preparação de estados emaranhados via engenharia dissipativa tem atraído grande interesse nos últimos anos [105–108]. Diferentemente dos esquemas baseados em dinâmica unitária, tais propostas usam a decoerência como um recurso para o processo de prepa- ração do estado, sem destruir o emaranhamento quântico [109]. Em [110], os autores mostram que o decaimento da cavidade desempenha um papel essencial na preparação

microtoroidal 72 de um estado maximamente emaranhado de dois átomos de três níveis acoplados a uma cavidade óptica. Na Ref. [111], os autores usam o relaxamento da energia de um qubit supercondutor acoplado a duas linhas de transmissão separadas espacialmente para gerar um estado emaranhado entre dois modos. Na Ref [112] a geração de um estados emaranhados de dois modos foram vistos no procedimento de teletransporte. Além disso, a geração de um estado GHZ (Greenberger-Horn-Zeilinger) entre duas cavidades tem sido proposta em [113].

Por outro lado, a identificação de um estado quântico é geralmente realizada por tomo- grafia de estados quânticos [114]. No entanto, este método executa diretamente uma série de medições projetivas em muitas cópias idênticas do estado quântico, inevitavelmente, perturbando o estado do sistema. Para contornar este problema, as medições quânticas não-demolidoras [115] são projetadas para evitar a ação de volta da medição no observável detectado. Recentemente, propostas para realizar medições quânticas não-demolidoras de um qubit supercondutor [116], par de amostras atômicas [117] e estado não-clássico de um objeto massivo [118] foram demonstrados.

Neste capítulo, propomos um esquema dissipativo para preparar estados estacionários maximamente emaranhandos em um sistema composto por um par de átomos de dois níveis interagentes acoplados simultaneamente aos dois WGM’s de uma cavidade microtoroidal, independente do estado inicial e do controle preciso do tempo de interação na evolução do sistema. O estado estacionário do sistema é uma mistura de três estados: (i) ambos átomos e modos em seus estados fundametais, (ii) átomos em um estado maximamente emaranhado e modos no estado de vácuo e (iii) átomos no estado fundamental e os modos em um estado maximamente emaranhado. Para este sistema, tanto a emis- são espontânea quanto o decaimento da cavidade são utilizados como um recurso para projetar o estado alvo. A preparação do estado emaranhado dos dois átomos é baseada no processo de decaimento da cavidade, enquanto que a dissipação dos átomos contribui para gerar um estado emaranhado de dois modos. Além disso, para sondar esses estados sem perturbá-los, realizamos medidas de transmissão e reflexão de um campo incidente fraco aplicado sobre o sistema átomo-toroide de duas formas: (i) bombeando o modo de cavidade e (ii) bombeando um único átomo. Para esta proposta, tanto a cavidade microtoroidal quanto os átomos estão acoplados à fibra ópticas e detectores distintos. Através do controle do campo de prova, podemos determinar se os dois átomos (bombeio sobre a cavidade) ou dois modos (bombeio sobre um único átomo) estão em um estado maximamente emaranhado via cliques no detector (medidas de transmissão e reflexão), sem perturbar o estado atômico ou estado dos campos da cavidade. Assim, um dos detectores

5.2. Modelo 73 atua como testemunha da preparação do estado atômico emaranhado e o outro detector do estado de campo maximamente emaranhado. Note que, nosso objetivo não é encontrar uma maneira de preparar simultaneamente dois estados emaranhados, mas empregar a possibilidade de obter, seletivamente, um estado maximamente emaranhado entre dois átomos ou entre dois modos, sob certas condições.

Comparando com propostas anteriores, o presente esquema indica uma possibilidade de preparar um estado atômico emaranhado, bem como um estado de dois modos emaranhados em um mesmo sistema [119] e utiliza a dissipação como um recurso útil para projetar tais estados [120]. Também investigamos a dinâmica do emaranhamento de cada subsistema, isto é, átomo-átomo e modo-modo, e sob quais condições pode-se transferir um estado emaranhado de dois qubits de um subsistema para o outro.

5.2 Modelo

Iniciaremos nossa investigação, mais uma vez, considerando um par de átomos de dois níveis interagentes via dipolo-dipolo acoplados individualmente e ressonantemente aos dois WGM’s de uma cavidade microtoroidal (veja Fig.5.1). O Hamiltoniano do sistema átomo-toroide é dado por (em unidades de ~) [27,34,121]:

H = ωa 2 (σ z 1 + σ z 2) + ωc(a†a + b†b) + g1(a†σ−1 + aσ + 1) + g1(b†σ−1 + ˆbσ + 1) + g2(a†σ2−+ aσ + 2) + g2(b†σ2−+ bσ + 2 ) + Ω(σ + 1σ − 2 + σ − 1σ + 2) + J (a † b + ab†). (5.1)

A dinâmica desse sistema, a temperatura zero, é governada pela equação mestra (em unidades de ~) [27,34,121]: ˙ ρ(t) = −i[H, ρ(t)] + (γ/2) 2 X i=1 D[σi −]ρ(t) + κD[a]ρ(t) + κD[b]ρ(t), (5.2)

onde γ é a taxa de emissão expontanea dos átomos, κ é a taxa de dissipação intracavidade e D[O]ρ(t) ≡ 2Oρ(t)O†− O†_{Oρ(t) − ρ(t)O}†_O.

Similar ao modelo de Jaynes Cummings [10], os autoestados deste sistema são ca- racterizados pela troca coerente de n excitações entre os dois átomos e os dois modos da cavidade. Considerando n = {0, 1} a estrutura dos autoestados (estados vestidos) deste sistema pode ser representado por três subespaços independentes, como descreve- remos a seguir. Iremos, por simplicidade, assumir que Ω = J = 0a_{. Para n = 0, a}

microtoroidal 74

Figura 5.1: Sistema átomo-toroide proposto. A cavidade microtoroidal possui dois WGM’s que acoplam simultaneamente dois átomos identicos e interagentes via interação dipolo-dipolo.

autoenergia e o autoestado associado são, respectivamente, E0 = 0 e |E0i = |gg00i =

|Gi ⊗ |V i, onde |Gi = |ggi e |V i = |00i. Para n = 1, o Hamiltoniano (5.1), na base {|eg00i, |ge00i, |gg10i, |gg01i}, pode ser escrito na forma matricial como

H =          0 0 −ig1 −ig1 0 0 −ig2 −ig2 −ig1 −ig2 0 0 −ig1 −ig2 0 0          ,

Note que quando g1 = g2 a solução para |E11i é um produto tensorial dos átomos em um

estado maximamente emaranhado e os campos no estado de vacuo e, a solução para |E2 1i

é um produto tensorial dos átomos no estado fundamental e os campos em um estado função desses parametros, no entanto, ainda teriamos os autoestados |E1

1i = 1 √ g2 1+g22 g1|eg00i − g2|ge00i e |E2 1i = 1 √ g2 1+g22

5.2. Modelo 75

Figura 5.2: Diagrama de níveis de energia do sistema átomo-toroide com taxas coletivas de decaimento e campos de prova.

maximamente emaranhado,

|E1

1ig1=g2 = 1 √

2(|egi − |gei) ⊗ |00i = |ψ

− , V i (5.3a) |E2 1ig1=g2 = |ggi ⊗ 1 √ 2(|10i − |01i) = |G, φ −_i (5.3b) onde |ψ−i = _√1 2(|egi − |gei) e |φ −_{i =} _√1

2(|10i − |01i). O diagrama de níveis de energia do

sistema átomo-toroide com as devidas transições e taxas de decaimento, via regra de ouro de Fermib _[₁₂₂_{], e os campos de prova (que serão tratados mais adiante) é apresentado}

na Fig.5.2. Note pelo diagrama de energias que existe uma divisão de três subespaços independentesc dados, basicamente, por {|G, V i, |E₁±i}, {|ψ−_{, V i} e {|G, φ}−_{i}. Além}

disso, considerando dissipações no sistema, as taxas de decaimento coletivo d _{dos átomos}

Γa (γ = 0) ou dos modos Γc (κ = 0) ainda mantém a independência dos subespaços.

Neste estudo, consideraremos apenas os autoestados de menor energia do sistema, pois estamos interessados em seu estado estacionário, que é uma mistura desses estados para qualquer estado inicial do sistema. Assim, o estado estacionário do sistema é uma mistura

b_{Sem perdas por emissão expontanea (γ = 0), as taxas de decaimento coletivo são dadas por Γ} c= κ/2

e Γ±_c = κ. De forma semelhante, sem perdas pela cavidade (κ = 0), as taxas de decaimento coletivo são dadas por Γa= γ/4 e Γ±c = γ/2 [122].

c_{Estes subespaços são ditos independentes porque não existe transições energéticas entre eles, isto é,}

o Hamiltoniano eq.5.1não promove transições entre subestados distintos.

d_{Com a finalidade de evitar transições entre subespaços distintos e para preservar os estados emara-}

nhados, assumiremos que tanto os átomos quanto os modos decaem coletivamente, isto é, estão acoplados à reservatórios coletivos [123,124]. Neste cenário, o decaimento coletivo dos átomos (ΓaD[Piσ

−

i ]ρ) ou

microtoroidal 76 dos autoestados de menor energia de cada subspaço:

onde Pspont é a projeção do estado inicial atômico no estado |ψ−i e Pcav é a projeção do

estado inicial dos campos no estado |φ−i. A eq.(5.4) acima pode ser obtida diretamente da eq.(5.2) para t → ∞ ( ˙ρ = 0). Observando cada termo de ρss notamos que existe

uma probabilidade de ocorrência do sistema, no estado estacionário, está em (i) ambos átomos e campos no estado fundamental com probabilidade (1 − Pspont− Pcav) , (ii) um

estado atômico maximamente emaranhado e campos no estado de vácuo com probabili- dade Psponte (iii) átomos no estado fundamental e os campos maximamente emaranhados

com probabilidade Pcav. Seguindo o método descrito na Ref [119], para discriminar esses

estados sem pertubá-los, devemos monitorar o sistema através de um campo de prova fraco, mantendo o sistema, ainda, com no máximo um fóton. Para o nosso caso, devemos adotar dois procedimentos distintos para monitorar o sistema via campo de prova: (i) bombear o modo da cavidade para distinguir dentre os estados atômicos |Gi e |ψ−i, restrito ao intervalo de tempo κ/g2 _{t < 1/γ [}₁₂₅_{]; e (ii) bombear um único átomo}

para distinguir dentre os estados dos campos |V i e |φ−i no intervalo de tempo κt 1 e g2_{t/γ 1. Em ambos os casos, tal discriminação dos estados consiste na leitura da}

transmissão e reflexão do campo incidente, sem pertubar o sistema atômico (caso i) ou os modos da cavidade (caso ii).

No documento Transferência, geração e monitoração de emaranhamento quântico em sistemas compostos por átomos acoplados a cavidades microtoroidais (páginas 68-76)