Publicações do PESC Dedução Natural e Cálculo de Seqüentes para Geralmente

(1)

(2)

para ‘Geralmente’ [Rio de Janeiro] 2008 VII, 320 p. 29,7 cm (COPPE/UFRJ, D.Sc., Engenharia de Sistemas e Com-puta¸c˜ao, 2008)

Tese – Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE 1. Lógica de “Geralmente” 2. Dedu¸cão Natural 3. Normaliza¸cão 4. Cálculo de Seqüentes 5. Elimina¸cão do corte

I. COPPE/UFRJ II. T´ıtulo (s´erie)

(3)

DEDUÇ ÃO NATURAL E C ÁLCULO DE SEQ ÜENTES PARA “GERALMENTE”

Leonardo Bruno Vana

Mar¸co/2008

Orientadores: M´ario Roberto Folhadela Benevides Sheila Regina Murgel Veloso

Programa: Engenharia de Sistemas e Computa¸c˜ao

As lógicas de “geralmente” (LG’s) foram introduzidas para tratar de maneira formal e precisa afirma¸cões com no¸cões vagas, tais como, “geralmente”, “muitos” etc, que ocorrem freqüentemente em linguagem natural e em muitos ramos da ciência. As LG’s capturam as distintas no¸cões de “geralmente”, isto é, constrói-se uma lógica espec´ıfica para cada uma das no¸cões de “geralmente”. Nesta tese apresentamos sistemas dedutivos no estilo de dedu¸cão natural e cálculo de seqüentes para as LG’s, mostramos o resultado de nor-maliza¸cão e a consistência para os diferentes sistemas de dedu¸cão natural e examinamos o resultado de elimina¸cão do corte para os diversos cálculos de seqüentes.

(4)

NATURAL DEDUCTION AND SEQUENT CALCULUS FOR “GENERALLY”

Leonardo Bruno Vana

March/2008

Advisors: M´ario Roberto Folhadela Benevides Sheila Regina Murgel Veloso

Department: Systems Engineering and Computer Science

Logics for ‘generally’ (LG’s) were introduced for handling assertions with vague notions (e.g. ‘generally’, ‘most’, ‘several’), which occur often in ordinary language and in science. LG’s provide a framework for distinct notions of ‘generally’: one builds a specific logic for the notion one has in mind. In this thesis we present deductive systems, in natural deduction and sequent calculus style for LG’s. We show that these natural deduction systems are normalizable and consistent. We examine cut elimination in the several sequent calculi.

(5)

1 Introdu¸c˜ao 1

2 No¸c˜oes B´asicas 7

2.1 Dedu¸cão Natural . . . 7 2.2 Cálculo de Seqüentes . . . 13 3 Lógicas de “Geralmente” 18 3.1 Motiva¸cão . . . 18 3.2 Sintaxe . . . 19 3.3 Semântica . . . 20

3.4 Sistemas Axiom´aticos para as LG’s . . . 22

4 Fórmulas Marcadas 24 5 Sistemas de Dedu¸cão Natural 26 5.1 Sistemas de Dedu¸cão Natural para a Lógica Básica de “Geralmente” . . . 27

5.2 Sistemas de Dedu¸cão Natural para as Lógicas Espec´ıficas de “Geralmente” 31 6 Normaliza¸cão e Consistência 35 6.1 Normaliza¸cão: Lógica Minimal + LG’s . . . 39

6.1.1 Normaliza¸c˜ao para o Sistema ML(B) . . . 39

6.1.2 Normaliza¸c˜ao para os Sistemas Espec´ıficos ML(Ω) . . . 48 v

(6)

6.2.2 Normaliza¸c˜ao para os Sistemas Espec´ıficos IL(Ω) . . . 59

6.3 Normaliza¸cão: Lógica Clássica + LG’s . . . 61

6.3.1 Normaliza¸c˜ao para o Sistema CL(B)∗ _{. . . 64}

6.3.2 Normaliza¸c˜ao para os Sistemas Espec´ıficos CL(Ω)∗ _{. . . 67}

6.3.3 Estrutura de uma deriva¸c˜ao normal . . . 69

6.3.4 A consistˆencia dos sistemas para as LG’s . . . 73

7 Cálculo de Seqüentes 75 7.1 Cálculos de Seqüentes para Lógica Básica de “Geralmente” . . . 76

7.2 Cálculos de Seqüentes para as Lógicas Espec´ıficas de “Geralmente” . . . 78

8 Elimina¸c˜ao do corte 81 8.1 Elimina¸c˜ao do corte para SC(B) . . . 83

8.2 Elimina¸c˜ao do corte para SC(Ω) (com Ω∗ _{⊆ {(>}∗_{a), (⊥}∗_{c)}) . . . 88}

8.3 Elimina¸c˜ao do corte para SC(Ω) (com Ω∗ _{6⊆ {(>}∗_{a), (⊥}∗_{c)}) . . . 90}

9 Controle da Regra de Equivalˆencia 100 9.1 Alternativa de normaliza¸c˜ao . . . 100

9.2 Propriedade de subf´ormulas . . . 103

9.2.1 Sistema ND(B) . . . 106

9.2.2 Sistema ND(P)= ND(B)∪{(>∗_{I), (⊥}∗_{E)} . . . 109}

9.2.3 Sistema ND(S)= ND(B)∪{(∧∗_{E)} . . . 110}

9.2.4 Sistema ND(L)= ND(B)∪{(∧∗_{I), (∨}∗_{I)} . . . 117}

(7)

A Provas de Resultados 133

A.1 Resultado do cap´ıtulo 2 . . . 133

A.2 Resultados do cap´ıtulo 5 . . . 144

A.2.1 Resultado da se¸c˜ao 5.1 . . . 144

A.3.1 Resultado da subse¸c˜ao 6.1.1 . . . 163

A.3.3 Resultados da se¸c˜ao 6.2 . . . 173

A.3.4 Resultados da se¸c˜ao 6.3 . . . 200

A.3.5 Resultados da subse¸c˜ao 6.3.1 . . . 228

A.4.2 Rasultado da se¸c˜ao 7.2 . . . 255

A.5.2 Rasultados da se¸c˜ao 8.2 . . . 284

A.5.3 Rasultados da se¸c˜ao 8.3 . . . 292

(8)

(9)

Introdu¸c˜

ao

Afirma¸cões que contêm no¸cões vagas, tais como “geralmente”, “muitos”, “raramente” etc. ocorrem freqüentemente em linguagem natural e em vários ramos da ciência. Diversos tratamentos para tais no¸cões são encontradas na literatura, como, por exemplo, lógicas de “geralmente” [1, 2], lógica fuzzy [3], lógica default [4] e enfoques lógico-lingü´ısticos [5]. Nesta tese utilizamos como tratamento para as no¸cões vagas as lógicas de “geralmente” (LG’s). O objetivo é desenvolver sistemas dedutivos no estilo de dedu¸cão natural e cálculo de seqüentes e estudar a estrutura das provas e as propriedades dos sistemas.

A escolha das LG’s como tratamento para as no¸cões vagas foi motivada pelo fato que as LG’s são extensões conservativas da lógica de primeira ordem (FOL) que possuem algumas propriedades caracter´ısticas da FOL, tais como, a propriedade de interpola¸cão [6] e de Löwenheim-Skolem [2].

As LG’s captam as distintas no¸cões de “geralmente”, são lógicas monotônicas e são obtidas estendendo a FOL pela introdu¸cão de um novo quantificador ∇ para representar ‘geralmente’, ‘muitos’ etc. Intuitivamente, o quantificador ∇ é utilizado para expressar “objetos geralmente têm uma dada propriedade”.

A semântica das LG’s é obtida a partir do acréscimo de fam´ılias de conjuntos a uma estrutura usual para a FOL, dando o significado para o novo quantificador ∇. Os valores

(10)

de verdade nas LG’s são verdadeiro ou falso, como na FOL. Diferentemente das LG’s, na lógica fuzzy temos, verdade, muito verdade, não muito verdade, falso etc. como valores de verdade e a lógica default é não-monotônica.

Inicialmente, foram desenvolvidos sistemas axiomáticos corretos e completos [2] para as LG’s, estendendo-se o sistema axiomático para a lógica de primeira ordem. Estes sistemas se caracterizam por introduzir esquemas e axiomas espec´ıficos à manipula¸cão de fórmulas com o quantificador ∇ como s´ımbolo lógico principal, denominadas de fórmulas

generalizadas, a um sistema axiom´atico para FOL. Os esquemas e axiomas espec´ıficos

correspondem `as propriedades caracter´ısticas das fam´ılias de conjuntos.

A obten¸cão de procedimentos de constru¸cão de provas, muitas vezes chamados prova-dores automáticos de teoremas, tem sido objeto de estudo de pesquisaprova-dores em diversas áreas da computa¸cão, revelando aplica¸cões em questões envolvendo verifica¸cão de pro-gramas, bases de dados dedutivas, sistemas baseados em conhecimentos entre outras. Diferentes formalismos lógicos têm sido utilizados como base para provadores, tais como cálculo de seqüentes, dedu¸cão natural e os métodos de resolu¸cão e de tableaux.

Com a motiva¸cão de obter sistemas dedutivos mais adequados à automa¸cão, nesta tese desenvolvemos um arcabou¸co de dedu¸cão natural e de cálculo de seqüentes para as LG’s. Inicialmente adaptamos o método geral de obten¸cão de sistemas dedutivos corretos e completos, desenvolvido na constru¸cão dos sistemas axiomáticos para as LG’s, para obtermos os sistemas dedutivos no estilo de dedu¸cão natural para as diferentes no¸cões de “geralmente”. Em seguida, demonstramos o resultado de normaliza¸cão, estudamos a estrutura das provas e demonstramos a consistência dos sistemas de dedu¸cão natural.

Os cálculos de seqüentes para as LG’s são obtidos a partir da tradu¸cão das regras dos sistemas de dedu¸cão natural para as LG’s em regras no estilo de cálculo de seqüentes e a introdu¸cão destas regras no cálculo de seqüentes para a lógica clássica, intuicionista e minimal de primeira ordem [8]. Os resultados de corretude e completude dos cálculos de

(11)

seqüentes para as LG’s são obtidos em rela¸cão ao cálculo de seqüentes para a lógica de primeira ordem.

Em [7] foram desenvolvidos sistemas de dedu¸cão natural corretos e completos para a lógica de ultrafiltros e para a lógica de filtros, que a princ´ıpio se aplicam apenas a essas duas interpreta¸cões de “geralmente”. Estes sistemas se caracterizam principalmente pela utiliza¸cão de fórmulas rotuladas por seqüências de variáveis.

Os sistemas desenvolvidos em [7] são construidos a partir da reescrita das regras do sistema de dedu¸cão natural para a lógica clássica de primeira ordem para a manipula¸cão das seqüências de variáveis e da introdu¸cão de novas regras para o quantificador genera-lizado ∇. Assim sendo, nestes sistemas as regras e suas respectivas restri¸cões determi-nam o gerenciamento da manipula¸cão de fórmulas e o gerenciamento da manipula¸cão das seqüências de variáveis.

Diferentemente dos sistemas em [7], nos sistemas dedutivos desenvolvidos para as LG’s utilizamos uma abordagem de modo a não existir a necessidade de um gerenciamento de seqüências de variáveis.

Tanto a nossa constru¸cão do sistema de dedu¸cão natural quanto o de cálculo de seqüentes foram feitos de maneira modular. Estruturamos as diversas lógicas a serem tratadas como parametrizadas: um parâmetro se refere à lógica subjacente (minimal, in-tuicionista ou clássica) e o outro percorre as distintas no¸cões de “geralmente” (e.g. básica, reticulados etc). Construimos um sistema de dedu¸cão natural e um cálculo de seqüentes que se instanciam a cada uma dessas lógicas.

A seguir tecemos alguns comentários sobre a obten¸cão desses sistemas e a análise de algumas de suas propriedades.

A constru¸cão dos sistemas de dedu¸cão para as LG’s consiste em introduzir novas regras a um sistema de dedu¸cão natural, originalmente desenvolvido para a lógica de primeira

(12)

ordem [9, 8].

Intuitivamente, os sistemas de dedu¸cão natural para as LG’s são construidos do seguinte modo. Inicialmente acrescentamos regras a um dado sistema de dedu¸cão natural para a FOL que correspondem ao significado extensional do quantificador ∇, obtendo assim, um sistema de dedu¸cão natural para a lógica de “geralmente” em que a fam´ılia de conjuntos não possui restri¸cões, denominado de lógica básica de “geralmente”. Posterior-mente, introduzimos novas regras ao sistema de dedu¸cão natural para a lógica básica de “geralmente”. As regras correspondem a restri¸cões ou propriedades impostas à fam´ılia de conjuntos.

As regras introduzidas em um dado sistema de dedu¸cão natural para a FOL na cons-tru¸cão dos sistemas de dedu¸cão natural para as LG’s correspondem à tradu¸cão dos esque-mas e axioesque-mas espec´ıficos dos sisteesque-mas axiomáticos para as LG’s.

Os resultados de corretude e completude dos sistemas de dedu¸cão natural para as LG’s são obtidos em rela¸cão ao sistema de dedu¸cão natural para a Lógica de Primeira Ordem. O método de constru¸cão dos sistemas de dedu¸cão natural e as caracter´ısticas das LG’s nos remetem a examinar as propriedades dos sistemas de dedu¸cão natural nos sistemas dedutivos desenvolvidos para as LG’s: analizamos o resultado que garante a existência de deriva¸cões normais (sem ocorrências de ‘redundâncias’ ou ‘desvios’), propriedade de subfórmula e a consistência dos sistemas de dedu¸cão para as LG’s.

Em [9, 10] o resultado de normaliza¸cão para os sistema de dedu¸cão natural para a lógica intuicionista utiliza uma estratégia de restringir as aplica¸cões da regra de absurdo intuicionista a fórmulas atômicas, ou seja, as aplica¸cões da regra de absurdo intuicionista têm apenas fórmulas atômicas como conclusão, simplificando a obten¸cão do resultado de normaliza¸cão (i.e. sem a necessidade de considerar ‘desvios’ envolvendo aplica¸cões da regra de absurdo intuicionista). Adaptamos essa estratégia para a normaliza¸cão dos

(13)

sistemas de dedu¸cão natural para as LG’s obtidos a partir do sistema de dedu¸cão natural para a lógica intuicionista de primeira ordem: restringimos as aplica¸cões da regra de absurdo intuicionista apenas a fórmulas atômicas ou generalizadas.

Nos sistemas de dedu¸cão natural para as LG’s obtidos, a partir da introdu¸cão de regras no sistema de dedu¸cão natural para a lógica clássica de primeira ordem, o resultado de normaliza¸cão é demonstrado utilizando uma estratégia análoga a de transformar provas em deriva¸cões que contêm no máximo uma aplica¸cão da regra de absurdo clássico, como desenvolvida em [11, 12].

A partir do resultado de normaliza¸c˜ao caracterizamos a estrutura das provas normais nos diferentes sistemas de dedu¸c˜ao natural para as LG’s.

Para demonstrarmos a consistência dos sistemas de dedu¸cão natural utilizamos o fato que toda deriva¸cão em um dado sistema de dedu¸cão natural para uma lógica de “geral-mente” pode ser transformada, em uma deriva¸cão em um sistema de dedu¸cão natural para FOL. Em [7] o resultado de normaliza¸cão é demonstrado apenas para o sistema de dedu¸cão natural para a lógica de ultrafiltros.

Como já mencionado, constru´ımos nossos sistemas dedutivos acrescentando regras (que intuitivamente captam distintos significados de “geralmente”) a sistemas da lógica subjacente. Essa constru¸cão transfere algumas propriedades sem contudo, transferir todas as propriedades estruturais. Assim sendo, podemos garantir a propriedade da subfórmula e o resultado de elimina¸cão do corte para alguns sistemas, como por exemplo a lógica básica de “geralmente”.

Para os sistemas dedutivos sem a propriedade de subfórmulas apresentamos um resul-tado que controla a aplica¸cão da regra que gera ocorrências de fórmulas que não satisfazem a propriedade de subfórmulas. Nos cálculos de seqüentes em que não temos o resultado de elimina¸cão do corte, caracterizamos exatamente as ocorrências de aplica¸cão da regra

(14)

do corte que n˜ao podem ser eliminadas.

As principais contribui¸cões desta tese são: a constru¸cão de sistemas dedutivos no estilo de dedu¸cão natural e cálculo de seqüentes para as diferentes no¸cões de “geralmente” e uma análise das propriedades carcter´ısticas de cada um dos sistemas dedutivos.

A estrutura da tese é descrita a seguir. No Cap´ıtulo 2 serão apresentados no¸cões básicas sobre sistema de dedu¸cão natural e cálculo de sequentes e no Cap´ıtulo 3 serão apresentadas as lógicas de “geralmente” (motiva¸cão, sintaxe, semântica e sistemas axiomáticos). No próximo cap´ıtulo será introduzida a idéia de fórmula marcada e serão apresentados os sistemas de dedu¸cão natural para as LG’s. No Cap´ıtulo 6 serão demonstrados o resultado de normaliza¸cão e a consistência para os diferentes sistemas de dedu¸cão natural para as LG’s. No Cap´ıtulo 7 serão apresentados os cálculos de sequentes para as LG’s e no próximo cap´ıtulo examinaremos o resultado de elimina¸cão do corte para os cálculos de sequentes para as LG’s. No Cap´ıtulo 9 será examinado a propriedade de subfórmulas para os sistemas dedutivos e serão apresentados resultados que controlam a aplica¸cão de regra que gera ocorrências de fórmulas que não satisfazem a propriedade de subfórmulas. As conclusões obtidas, como também uma previsão de trabalhos futuros e correlacionados, serão apresentados no Cap´ıtulo 10.

(15)

No¸c˜

oes B´

asicas

Gentzen desenvolveu formaliza¸cões para a no¸cão de dedu¸cão baseadas em sistemas de regras, buscando se aproximar da prática dos matemáticos em suas diversas áreas de atua¸cão e buscando enunciar e demonstrar o resultado denominado Hauptsatz, que garantia a existência de dedu¸cões “livres de redundâncias”, distintamente de Frege, Russell e Hilbert que desenvolveram formalismos baseados em sistemas axiomáticos.

Inicialmente, Gentzen apresenta um sistema de regras denominado Cálculo de Dedu¸cão Natural, com versões para a Lógica Clássica e para a Lógica Intuicionista, que se mostrou não muito adequado para os seus objetivos. Convém ressaltar que, anos mais tarde, Prawitz [9] demonstrou um problema análogo no Cálculo de Dedu¸cão Natural para a Lógica Minimal, Intuicionista e Clássica, enunciado a partir da no¸cão de forma normal para dedu¸cões.

2.1 Dedu¸c˜

ao Natural

Nesta se¸cão é apresentado o Sistema de Dedu¸cão Natural para a Lógica de Primeira Ordem [8, 9].

Dada uma assinatura ρ, L(ρ) é a linguagem usual de primeira ordem da assinatura ρ. No sistema de dedu¸cão natural, as fórmulas A ↔ B e ¬A, são definidas respectivamente

(16)

como (A → B) ∧ (B → A) e A → ⊥, tomando como conectivos: ∧, ∨, →, quantificadores:

∀, ∃ e constante l´ogica: ⊥ (absurdo).

A no¸cão de ocorrência de variável livre (f ree(A)) em uma fórmula A é a usual. Usa-se a nota¸cão occ[A] para o conjunto de variáveis que ocorrem em uma fórmula A e f ree[Γ] para o conjunto de variáveis que ocorrem livres em alguma fórmula do conjunto de fórmulas Γ. Usaremos a nota¸cão A[x/y] para a no¸cão de substitui¸cão das ocorrências da variável livre x pela variável y em uma fórmula A.

A seguir, é apresentado o conjunto de regras do sistema de dedu¸cão natural contendo regras de elimina¸cão (E) e introdu¸cão (I) para cada um dos conectivos e quantificadores. Utilizamos as seguintes conven¸cões:

•

Γ ...

α

representa uma deriva¸c˜ao de α a partir de Γ; e

• (R)

Γ, [A]i

...

B

C i representa o descarte da hip´otese A pela aplica¸c˜ao da regra

(R) (com i ∈ IN). Regras de inferˆencia: (∧I)A B A ∧ B (∧E) A ∧ B A A ∧ B B (∨I) A A ∨ B B A ∨ B (∨E) A ∨ B Γ, [A]i ... C ∆, [B]i ... C C i (→ I) [A]i ... B A → Bi (→ E) A A → B B

(17)

(∀I) A ∀xA[a/x] (∀E) ∀xA A[x/t] (∃I)A[x/t] ∃xA (∃E) ∃xA Γ, [A[x/a]]i ... B B i (Abs)⊥ A (RaA) Γ, [¬A]i ... ⊥ A i

As seguintes restri¸cões são impostas sobre as aplica¸cões das regras: regra (∀I): a não ocorre livre em qualquer hipótese da qual A depende, regra (∃E): a não ocorre em ∃xA, nem em B e nem em Γ,

regra (Abs): A ´e diferente de ⊥,

regra (RaA): A n˜ao tem a forma B → ⊥.

Denota-se por (A1, ..., An/B) uma aplica¸c˜ao de uma regra de inferˆencia (R) onde

1 ≤ n ≤ 3, A1, ..., An são denominadas de premissas e B é a conclusão da aplica¸cão

da regra (R). Deste modo, numa aplica¸cão da regra (→ E): (A, A → B/B), ou numa aplica¸cão da regra (∨E): (B ∨ C, A, A/A) ou numa aplica¸cão da regra (∃E): (∃xB, A/A), a premissa A é denominada de premissa menor. Uma premissa que não é dita ser menor é uma premissa maior.

O sistema de dedu¸cão natural para a lógica minimal (ML) contém todas as regras de introdu¸cão e elimina¸cão para os conectivos e quantificadores apresentadas anteriormente. O sistema de dedu¸cão natural para a lógica intuicionista (IL) contém as regras de ML e a regra (Abs). O sistema de dedu¸cão natural para a lógica clássica (CL) é obtido a partir

(18)

da inclus˜ao da regra (RaA) ao sistema de dedu¸c˜ao natural IL.

A seguir define-se a no¸cão de deriva¸cão ou prova e posteriormente a no¸cão de compri-mento de uma deriva¸cão nos sistemas ML, IL e CL.

Defini¸c˜ao 2.1.1 Uma deriva¸cão ou prova consiste em um número finito (não nulo) de

fórmulas dispostos em forma de árvore e combinadas de acordo com aplica¸cões das re-gras de inferência, de tal modo que cada fórmula (com exce¸cão da fórmula final) é uma premissa de pelo menos uma regra de inferência cuja conclusão também está na prova.

Defini¸c˜ao 2.1.2 Seja π uma deriva¸c˜ao. Ent˜ao, o comprimento de π, denotado por l(π),

é o número de ocorrências de fórmulas em π. Mais precisamente, l(π) é definido por indu¸cão, como segue:

(i) se π é constitu´ıda de apenas uma única fórmula, então l(π) = 1,

(ii) se π = Σ1 ... Σn

C , ent˜ao l(π) = l(Σ1) + ... + l(Σn) + 1; n ≤ 3.

Em [9, 10] demonstra-se a existência de deriva¸cões “livres de redundâncias”, a partir da no¸cão de forma normal para deriva¸cões, como definido a seguir.

Defini¸c˜ao 2.1.3 Seja π uma deriva¸cão. Então, π é uma deriva¸cão normal se, e somente

se, π não contém ocorrência de segmento maximal e aplica¸cão supérflua de (∨E) ou de

(∃E).

A seguir definem-se as no¸c˜oes de caminho, segmento e segmento maximal.

Defini¸c˜ao 2.1.4 Seja π uma deriva¸c˜ao em ND ∈ {ML, IL, CL}. Ent˜ao, um caminho

em π é uma seqüência A1, ..., An de ocorrências de fórmulas tais que:

(i) A1 é uma hipótese que não é descarregada por uma aplica¸cão de (∨E) e nem de

(19)

(ii) se Ai não é uma premissa menor de (→ E), não é premissa maior de (∨E) e de

(∃E) e nem é a fórmula final de π, então Ai+1é a fórmula que ocorre imediatamente abaixo de Ai;

(iii) se Ai é premissa maior de uma aplica¸cão de (∨E) ou de (∃E), então Ai+1é qualquer hipótese descarregada em fun¸cão destas aplica¸cões;

(iv) Ané premissa menor de uma aplica¸cão de (→ E) ou é a fórmula final da deriva¸cão.

Defini¸c˜ao 2.1.5 Seja π uma deriva¸cão em ND ∈ {ML, IL, CL}. Uma sequência A1, ..., An de ocorrências consecutivas em um caminho de π é um segmento se, e somente se,

• A1 não é a conclusão de uma aplica¸cão de (∨E) ou (∃E);

• ∀i < n Ai é uma premissa menor de uma aplica¸cão de (∨E) ou (∃E); e • An não é premissa menor de uma aplica¸cão de (∨E) ou (∃E).

Defini¸c˜ao 2.1.6 Seja π uma deriva¸c˜ao em ND ∈ {ML, IL, CL}. Ent˜ao, um segmento

A1, ..., Ande π é um segmento maximal se, e somente se, A1é conclusão de uma aplica¸cão

de regra de introdu¸cão ou (Abs) ou (RaA) e An é premissa maior de uma aplica¸cão de regra de elimina¸cão.

Intuitivamente, uma aplica¸cão (α) de (∨E) ou de (∃E) é dita supérflua se existe uma subderiva¸cão de uma premissa menor de (α) a partir de Γ tal que Γ não contém hipótese descarregada na aplica¸cão de (α).

(20)

Exemplo 2.1.1 Seja π uma deriva¸c˜ao de A → B a partir de B ∨ C e ¬(A ∧ ¬B). π =(∨E) B ∨ C (→ I)(RaA) (→ I) (∧I)[A]1 [¬B]2 A ∧ ¬B ¬(A ∧ ¬B) ⊥ B 2 (A → B)∗ 1 (→ I) [B]3 A → B A → B 3

Note que, o conjunto de hipóteses Γ = {¬(A ∧ ¬B)} da subderiva¸cão da premissa menor (A → B)∗ _{da aplica¸cão de (∨E) não contém hipóteses descarregadas na aplica¸cão} da regra (∨E). Portanto, a aplica¸cão da regra (∨E) é uma aplica¸cão supérflua.

Teorema 2.1.1 Seja o sistema de dedu¸c˜ao natural ND ∈ {ML, IL, CL} e seja π uma

deriva¸cão de A a partir de Γ em ND. Então, existe uma deriva¸cão normal π0 _{de A a} partir de Γ em ND.

Para os sistemas de dedu¸cão natural ML e IL, a prova do teorema acima, apresentada em [9, 10], é feita por indu¸cão sobre o par (d, n) onde d é o mais alto grau de um segmento maximal1 _{e n é o número de fórmulas de grau d que pertence a um segmento maximal.}

No sistema CL a prova do teorema anterior é feita de modo similar [11, 12]. Porém, para minimizar as complica¸cões envolvendo aplica¸cões da regra de absurdo clássico (RaA) demonstra-se o teorema a seguir para o sistema de dedu¸cão natural CL∃ _{obtido a partir}

da exclusão das regras de introdu¸cão e elimina¸cão para o quantificador universal (∀). Teorema 2.1.2 Seja π uma deriva¸cão de A a partir de Γ em CL∃_{. Então, π pode ser} transformado em uma deriva¸cão π0 _{de A a partir de Γ em CL}∃ _{tal que π}0 _{contém no} máximo uma aplica¸cão (α) de regra de absurdo clássico e, caso esta aplica¸cão ocorra, (α) é a última inferência de π0_.

A prova do teorema acima é feita por indu¸cão sobre o comprimento de uma deriva¸cão.

1_{Se S um segmento maximal em uma deriva¸cão π, então o grau de S é o grau da fórmula que ocorre}

(21)

2.2 C´

alculo de Seq¨

uentes

Nesta se¸cão apresentaremos o cálculo de seqüentes para a lógica de primeira ordem [8].

O cálculo de sequentes foi apresentado por Gentzen como um formalismo mais ade-quado que o Cálculo de Dedu¸cão Natural para enunciar e demonstrar o resultado deno-minado Hauptsatz, que garantia a existência de dedu¸cões “livres de redundâncias”.

Dada uma assinatura ρ, L(ρ) ´e a linguagem usual de primeira ordem da assinatura

ρ tomando como conectivos: ¬, ∧, ∨, →, quantificadores: ∀, ∃ e constante l´ogica: ⊥

(absurdo).

Um seq¨uente tem a seguinte forma:

A1, ..., An⇒ B1, ..., Bk

onde as partes esquerdas e direita do seqüente, em rela¸cão ao separador ⇒, são seqüências possivelmente vazias de fórmulas, sendo chamadas de antecedente e de conseqüente, res-pectivamente.

Intuitivamente, um seq¨uente A1, ..., An ⇒ B1, ..., Bk da L´ogica de Primeira Ordem

pode ser lido como a possibilidade de derivar B1∨ ... ∨ Bk a partir de A1∧ ... ∧ An. Ent˜ao,

• se o conseqüente e o antecedente de um seqüente não são vazios, ou seja, o seqüente

tem a forma A1, ..., An⇒ B1, ..., Bk, então o seqüente pode ser lido como a fórmula A1∧ ... ∧ An→ B1∨ ... ∨ Bk.

• se o antecedente de um seqüente é vazio, ou seja, o seqüente tem a forma ⇒ B1, ..., Bk, então o seqüente pode ser lido como a fórmula B1∨ ... ∨ Bk.

(22)

A1, ..., An ⇒, então o seqüente pode ser lido como a fórmula ¬(A1 ∧ ... ∧ An) ou

(A1∧ ... ∧ An) → ⊥.

• se o antecedente e o conseqüente de um seqüente são vazios, então o seqüente pode

ser lido como ⊥, ou seja, proposi¸c˜ao falsa.

Cálculos de seqüentes possuem um conjunto de regras de inferências escritas do seguin-te modo:

S1, ..., Sm S

onde S1, ..., Sm, m ≥ 1, e S são seqüentes, sendo que S1, ..., Smsão denominados seqüentes

superiores e S seq¨uente inferior.

Apresentaremos a cole¸cão de regras do cálculo de sequentes para a lógica de primeira ordem, considerando-se que Γ, ∆, Π, Λ são seqüências de fórmulas e A e B são fórmulas.

Regras Estruturais Atenua¸cão: Γ ⇒ ∆ A, Γ ⇒ ∆ (Aa) Γ ⇒ ∆ Γ ⇒ ∆, A (Ac) Contra¸cão: A, A, Γ ⇒ ∆ A, Γ ⇒ ∆ (Ca) Γ ⇒ ∆, A, A Γ ⇒ ∆, A (Cc) Permuta¸cão: ∆, A, B, Γ ⇒ Λ ∆, B, A, Γ ⇒ Λ (P a) Γ ⇒ ∆, A, B, Λ Γ ⇒ ∆, B, A, Λ (P c) Regras Lógicas Γ ⇒ ∆, A ¬A, Γ ⇒ ∆(¬a) A, Γ ⇒ ∆ Γ ⇒ ∆, ¬A(¬c)

(23)

A, Γ ⇒ ∆ A ∧ B, Γ ⇒ ∆(∧a1) B, Γ ⇒ ∆ A ∧ B, Γ ⇒ ∆(∧a2) Γ ⇒ ∆, A Γ ⇒ ∆, B Γ ⇒ ∆, A ∧ B (∧c) A, Γ ⇒ ∆ B, Γ ⇒ ∆ A ∨ B, Γ ⇒ ∆ (∨a) Γ ⇒ ∆, A Γ ⇒ ∆, A ∨ B(∨c1) Γ ⇒ ∆, B Γ ⇒ ∆, A ∨ B(∨c2) Γ ⇒ ∆, A B, Π ⇒ Λ A → B, Γ, Π ⇒ ∆, Λ(→ a) A, Γ ⇒ ∆, B Γ ⇒ ∆, A → B(→ c) A[x/t], Γ ⇒ ∆ ∀xA, Γ ⇒ ∆ (∀a) Γ ⇒ ∆, A Γ ⇒ ∆, ∀xA[a/x](∀c) A, Γ ⇒ ∆ ∃xA[a/x], Γ ⇒ ∆(∃a) Γ ⇒ ∆, A[x/t] Γ ⇒ ∆, ∃xA (∃c) As seguintes restri¸cões são impostas sobre as aplica¸cões das regras: regra (∀c): a não ocorre livre em Γ e ∆.

regra (∃a): a n˜ao ocorre livre em Γ e ∆.

Regra do Corte

Γ ⇒ ∆, A A, Π ⇒ Λ

Γ, Π ⇒ ∆, Λ (corte)

O cálculo de seqüentes para a lógica clássica (SCCL) contém todas as regras de inferência apresentadas anteriormente. O cálculo de seqüentes para a lógica intuicionista (SCIL) contém as regras de SCCL e o conseqüente de um seqüente contém no máximo uma fórmula. O cálculo de seqüentes para a lógica minimal (SCML) é obtido a partir da exclusão da regra (Ac) (atenua¸cão no conseqüente) do cálculo de seqüentes SCIL.

(24)

Defini¸c˜ao 2.2.1 Uma deriva¸cão ou prova consiste em um número finito (não nulo) de

seqüentes dispostos em forma de árvore e combinados de acordo com aplica¸cões das regras de inferência, de tal modo que:

(i) Os seqüentes iniciais de uma deriva¸cão são seqüentes iniciais da forma A ⇒ A onde

A ´e uma f´ormula.

(ii) Cada seqüente (com exce¸cão do seqüente final) é um seqüente superior de uma regra

de inferência cujo seqüente inferior também está na prova.

A nota¸c˜ao

Γ ⇒ Θ

∆ ⇒ Λ é usada para representar a deriva¸cão do seqüente ∆ ⇒ Λ a partir do seqüente Γ ⇒ Θ por aplica¸cões de regras estruturais.

Apresentaremos a seguir a no¸cão de comprimento de uma deriva¸cão em cálculo de seqüentes.

Defini¸c˜ao 2.2.2 Seja π uma deriva¸c˜ao. O comprimento de π, denotado por l(π), ´e o

número de ocorrências de seqüentes em π. Mais precisamente, l(π) é definido por indu¸cão, como segue:

(i) se π é constitu´ıda de apenas um único seqüente, então l(π) = 1,

(ii) se π = Σ1 ... Σm

S , ent˜ao l(π) = l(Σ1) + ... + l(Σm) + 1; m ≤ 2.

Na proposi¸cão a seguir mostraremos que o sistema de dedu¸cão natural e o cálculo de seqüentes para a lógica minimal têm o mesmo poder dedutivo.

Proposi¸c˜ao 2.2.1 Existe uma deriva¸c˜ao de A a partir de Γ em ML se, e somente se,

(25)

A prova da proposi¸cão 2.2.1 é feita por indu¸cão sobre o comprimento da deriva¸cão e é apresentada no apêndice.

Ao considerarmos a instância mais simples da regra do corte (A, B e C são fórmulas)

A ⇒ B B ⇒ C

A ⇒ C (corte)

destaca-se que ela é a única regra, em compara¸cão com as demais, onde uma fórmula, chamada de fórmula de corte B, pode desaparecer sem deixar qualquer tra¸co na conclusão. Em termos do formalismo de seqüentes, seria mais adequado dizer que em todas as ou-tras regras, necessariamente, as fórmulas que ocorrem nos seqüentes superiores ocorrem também nos inferiores ou são subfórmulas de fórmulas que lá ocorrem.

Assim, costuma-se dizer que provas que envolvem aplica¸cões da regra do corte são “provas indiretas”, visto que dependem da obten¸cão de duas outras provas para seqüentes que envolvem uma fórmula completamente estranha ao seqüente original. Assim, o

Haupt-satz, como enunciado por Gentzen [8], estipula que cada deriva¸c˜ao pode ser transformada

em uma deriva¸cão com o mesmo seqüente terminal que não possui aplica¸cões da regra do corte. Esse resultado passou a ser conhecido como Teorema de Elimina¸cão do corte, que é encontrado freqüentemente com a seguinte formula¸cão:

Teorema 2.2.1 Se existe uma deriva¸c˜ao π para um sequente S, ent˜ao existe uma

deri-va¸c˜ao livre de corte, π0_{, para S.}

A prova é feita por indu¸cão sobre o par (gr(π), r(π)) onde gr(π) é o grau e r(π) é o rank da deriva¸cão π [8, 30]2_.

2_{Note que a prova do resultado de Hauptsatz para SCM L é análoga à prova deste resultado para}

(26)

L´

ogicas de “Geralmente”

Neste cap´ıtulo apresentaremos as l´ogicas de “geralmente” (LG’s) e os seus sistemas axiom´aticos como desenvolvidos em [13, 2].

3.1 Motiva¸c˜

ao

No¸cões vagas, tais como “geralmente”, “raramente”, “muitos” etc. aparecem fre-quentemente em afirma¸cões e argumentos em linguagem natural e em alguns ramos da ciência. As LG’s foram desenvolvidas para capturar as distintas no¸cões de “geralmente”. Agora ilustraremos esta idéia.

Em primeiro lugar, considere o universo dos brasileiros e imagine que são aceitas as seguintes afirma¸cões: (α) “Brasileiros geralmente ganham um salário m´ınimo” e (β) “Brasileiros geralmente comem bacalhau três vezes por ano1_{”. Neste caso, provavelmente}

tamb´em aceitamos a seguinte afirma¸c˜ao:

(∪) “Brasileiros geralmente ganham um salário m´ınimo ou gostam de futebol”; mas provavelmente, não aceitamos a seguinte afirma¸cão;

(∩) “Brasileiros geralmente ganham um sal´ario m´ınimo e comem bacalhau trˆes vezes por ano”.

1_{O Brasil ´e o maior consumidor mundial de bacalhau.}

(27)

Agora, considerando o universo dos números naturais, imaginemos que são aceitas as seguintes afirma¸cões: (γ) “Os números naturais geralmente são maiores que quinze” e (δ) “Os números naturais geralmente não dividem doze”. Então, podemos provavelmente aceitar também as seguintes afirma¸cões:

(∨) “Números naturais geralmente são maiores que quinze ou são pares”; e (∧) “Números naturais geralmente são maiores que quinze e não dividem doze”.

Note que, nos exemplos acima temos dois tipos distintos de conseqüências lógicas en-volvendo “geralmente”: no exemplo mais abaixo teremos (∧), porém no primeiro exemplo não desejamos ter (∩).

As LG’s estabelecem uma maneira formal e precisa para capturar as distintas no¸cões intuitivas de “geralmente”. A idéia básica é: constrói-se um lógica espec´ıfica de “geral-mente” dependendo da no¸cão de “geral“geral-mente” que temos em mente. Assim, teremos um sistema que permite inferir (∪) (mas não podemos obter (∩)) a partir de {α, β} e um outro sistema que permite concluir (∨) e (∧) a partir de {γ, δ}, embora (∩) e (∧) tenham estruturas sintáticas similares.

Expressões envolvendo “geralmente”, ou no¸cões vagas similares, ocorrem freqüente-mente em afirma¸cões e argumentos, como nos exemplos acima. Deseja-se expressar tais afirma¸cões de uma maneira formal e precisa. Para expressar “objetos geralmente têm uma dada propriedade”, adiciona-se à Lógica de Primeira Ordem (FOL) um novo quantificador

∇ para representar “geralmente”.

3.2 Sintaxe

A sintaxe das LG’s s˜ao obtidas adicionando-se o novo quantificador ∇ `a sintaxe usual para FOL.

(28)

quantificador ∇. As fórmulas da linguagem L∇ _{são contru´ıdas pelas regras de forma¸cão}

usuais [14], acrescidas de uma nova regra para fórmulas generalizadas: se v é uma variável e A é uma fórmula de L∇_{, então ∇vA também é uma fórmula de L}∇_.

3.3 Semˆ

antica

Intuitivamente, a afirma¸cão “Brasileiros geralmente ganham um salário m´ınimo” é entendida como “Brasileiros que ganham um salário m´ınimo formam um subconjunto de tamanho considerável do universo dos brasileiros”. Assim, afirma¸cões tais como “Objetos geralmente têm a propriedade P ”podem ser entendidas como “o conjunto de objetos que têm a propriedade P é importante (entre os subconjuntos do universo em discussão)”. Então, dá-se a semântica para “geralmente” adicionando-se fam´ılias de conjuntos (que são considerados os subconjuntos importantes) a uma estrutura usual de primeira ordem e estende-se a defini¸cão de satisfa¸cão para ∇.

Uma estrutura modulada MK _{= hM, Ki consiste em uma estrutura usual de primeira}

ordem M e um complexo K: uma fam´ılia de subconjuntos do universo M de M. Como é usual, a no¸cão de satisfa¸cão de uma fórmula numa estrutura está associada à atribui¸cão de valores s : V → M a suas variáveis livres. Para uma fórmula ∇vA define-se:

MK_{|= ∇vA[s] sse {b ∈ M : M}K_{|= A[s(v 7→ b)]} pertence ao complexo K.}

Outros conceitos, tais como o conceito de modelo (MK_{|= A e M}K _{|= Γ), s˜ao como de}

costume.

Por outro lado, o conceito de consequência lógica depende da no¸cão espec´ıfica de “geralmente” envolvida. Por exemplo, dadas as afirma¸cões “Amantes de esportes as-sistem SporTV”e “Meninos geralmente adoram esportes”, pode-se inferir que “Meninos geralmente assistem SporTV”. Isto será correto se os complexos forem fechados sob super-conjuntos, o que é razoável no caso de ‘muitos’. Mais precisamente, diz-se que uma

(29)

fórmula A é consequência lógica sob superconjuntos de um conjunto Γ de senten¸cas se, e somente se, MK _{|= A sempre que M}K _{|= Γ, para todo modelo M}K _{cujo complexo K}

é fechado sob superconjuntos (do seu universo). Usa-se a nota¸cão Γ |=S A, onde S é a

classe dos complexos fechados superiormente.

Deste modo, cada no¸cão de “geralmente” dá origem a uma rela¸cão de conseqüência correspondente. Assim, dada uma classe dos complexos (módulo) C, tem-se uma rela¸cão de conseqüência |=C: Γ |=C A se, e somente se, para todo complexo K em C, MK |= A

sempre que MK _{|= Γ.}

Além do módulo básico B (complexos sem restri¸cões), também são considerados alguns módulos espec´ıficos, dados pelas suas propriedades caracter´ısticas.

A tabela abaixo mostra algumas propriedades dos complexos2_.

Nome Propriedade não-vazio ∅ 6∈ K universo M ∈ K interse¸cão S ∈ K e T ∈ K ⇒ S ∩ T ∈ K união S ∈ K e T ∈ K ⇒ S ∪ T ∈ K super-conjunto S ∩ T ∈ K ⇒ S ∈ K e T ∈ K primo S ∪ T ∈ K ⇒ S ∈ K ou T ∈ K rejei¸cão S ∈ K ⇒ S 6∈ K atra¸cão S 6∈ K ⇒ S ∈ K

Em princ´ıpio, cada combina¸cão de propriedades da tabela acima pode ser usada para definir uma no¸cão de “geralmente”, originando uma rela¸cão de conseqüência lógica. Al-guns destes módulos são familiares. Entre estes pode-se destacar:

• Pr´oprio (P): universo (M ∈ K) e n˜ao-vazio (∅ 6∈ K). • Fechado superiormente (S): superconjunto.

• Reticulados (L): interse¸c˜ao e uni˜ao.

(30)

• Filtro Próprio (F): universo, não-vazio, interse¸cão e superconjunto. • Ultrafiltro Próprio (U): filtro próprio que é primo (ou tem atra¸cão)3_.

3.4 Sistemas Axiom´

aticos para as LG’s

Os Sistemas Axiomáticos para as LG’s são obtidos a partir de um sistema axiomático para FOL adicionando-se novos axiomas e esquemas envolvendo o quantificador ∇ [2]. A seguir indica-se como isto é feito. Cada propriedade caracter´ıstica dos complexos pode ser expressa por meio de um axioma/esquema correspondente, como mostrado na tabela abaixo4_{. Por exemplo, [∇∧] expressa a propriedade de interse¸cão.}

Nome Axioma/Esquema

n˜ao-vazio ¬∇v⊥

universo [∇>]:∇v(A → A)

interse¸cão [∇∧]: (∇vA ∧ ∇vB) → ∇v(A ∧ B) união [∇∨]: (∇vA ∧ ∇vB) → ∇v(A ∨ B) superconjunto [∧∇]: ∇v(A ∧ B) → (∇vA ∧ ∇vB) primo [∨∇]: ∇v(A ∨ B) → (∇vA ∨ ∇vB) rejei¸cão [¬∇]: ∇v¬A → ¬∇vA atra¸cão [∇¬]: ¬∇vA → ∇v¬A Considere também os dois esquemas abaixo

• [↔ ∇]: ∀v(A ↔ B) → (∇vA → ∇vB)

• [∇α]: ∇xA ↔ ∇yA[x/y] (y ´e uma vari´avel nova para A: y 6∈ occ[A]).

Os esquemas [↔ ∇] e [∇α], denotados por [B] axiomatizam a lógica básica para “geralmente”, isto é, os esquemas [↔ ∇] e [∇α] adicionados a um sistema axiomático (correto e completo) para FOL, fornecem uma axiomatiza¸cão correta e completa com respeito à classe B de todos os complexos (sem restri¸cão): Γ |=BA sse Γ∪[B]`F OL A.

3_{As propriedades primo e atra¸cão são equivalentes para Filtro Próprio se a lógica subjacente é clássica.} 4_{¬∇v⊥ é axioma e [∇>], [∇∧], [∇∨], [∧∇], [∨∇], [¬∇] e [∇¬] são esquemas de axiomas.}

(31)

Sistemas axiomáticos corretos e completos para as outras LG’s são obtidos adicionando-se a [B] os axiomas/esquemas correspondentes às propriedades dos adicionando-seus complexos [2]. Denotaremos estas axiomatiza¸cões por B(Ω).

(32)

F´

ormulas Marcadas

Neste cap´ıtulo introduzimos o conceito de f´ormula marcada e estendemos a linguagem

L∇_.

Uma fórmula marcada tem a forma hA( )i e pretende ser um representante da fórmula generalizada ∇xA(x). Intuitivamente, “ ” representa um objeto genérico e os s´ımbolos “h” e “i” enfatizam que A(x) está no escopo de um quantificador generalizado.

Mais formalmente, consideremos um novo s´ımbolo “ ” (i.e. “ ” n˜ao pertence a L∇_).

Dada uma fórmula A e uma variável v de L∇_{, uma instancia¸cão genérica da fórmula} A com respeito à variável v é o resultado (denotado por A[v/ ]) de trocarmos todas as

ocorrˆencias livres de v em A, se alguma, pelo novo s´ımbolo “ ”.

Exemplo 4.0.1 Por exemplo, dada a f´ormula α = ∇v(P (v) ∧ ∀yQ(y, v)) temos que

P ( ) ∧ ∀yQ(y, ) é uma instancia¸cão genérica da fórmula P (v) ∧ ∀yQ(y, v).

O dialeto genérico associado a L∇_{consiste em todas as instancia¸cões genéricas A[v/ ],}

para uma fórmula A de L∇ _{e uma variável v. No dialeto genérico associado a L}∇_,

per-mitimos a substitui¸c˜ao do novo s´ımbolo “ ”: note que A[v/ ][ /w] = A[v/w]. Assim, uma

fórmula marcada tem a forma hAi, onde A é uma fórmula do dialeto genérico associado

(33)

a L∇_.

Note que no exemplo acima, a fórmula P ( ) ∧ ∀yQ(y, ), (a instancia¸cão genérica de

P (v) ∧ ∀yQ(y, v)), pode ser lida como sendo a conjun¸cão das instancia¸cões genéricas das

fórmulas P (v) e ∀yQ(y, v), isto é, P ( ) ∧ ∀yQ(y, ) é interpretada como sendo a fórmula

∇vP (v) ∧ ∇v∀Q(y, v) e não a fórmula original α. Então, para evitar esta ambigüidade

utilizamos os s´ımbolos “h” e “i” para marcar o escopo de um quantificador generalizado.

Seja L∇ _{o conjunto contendo todas as f´ormulas marcadas associadas a L}∇_.

Adi-cionamos L∇ _{a L}∇_{e obtemos L}∇∗

, isto ´e, L∇∗

= L∇_{∪ L}∇ _{. Note que em L}∇∗

as fórmulas são marcadas ou não, e.g. hAi ∧ hBi não é uma fórmula em L∇∗

.

As fórmulas marcadas têm o mesmos significado dado às fórmulas generalizadas, isto é, MK_{|= hAi se, e somente se, {b ∈ M : M}K_{|= A[s( 7→ b)]} pertence ao complexo K.}

Estendemos a familiar defini¸cão recursiva de grau de uma fórmula A (nota¸cão gr(A)) em L∇∗

do seguinte modo:

Defini¸c˜ao 4.0.1 Seja A uma f´ormula em L∇∗

. Ent˜ao,

(Base) se A é uma fórmula atômica ou ⊥, então gr(A) := 0; (¬) se A = ¬B, então gr(A) := gr(B) + 1;

(b) se A = (B1bB2) e b é um conectivo binário, então gr(A) := gr(B1) + gr(B2) + 1;

(hi) se A = hB[v/ ]i, ent˜ao gr(A) := gr(B) + 0.5;

(34)

Sistemas de Dedu¸c˜

ao Natural

Neste cap´ıtulo apresentaremos sistemas dedutivos no estilo de dedu¸cão natural para as lógicas de “geralmente”. Enfatizaremos o tratamento das fórmulas generalizadas.

Em [7] foram apresentados sistemas de dedu¸cão natural para a Lógica de ultrafiltros e para a Lógica de filtros, que aparentemente só são aplicáveis a essas lógicas. Nosso sistema dedutivo se aplica a diferentes lógicas de “geralmente”: lógica de filtros, lógica de reticulados etc., apropriadas à manipula¸cão de diferentes interpreta¸cões para “geralmente” tais como “muitos”, “a maioria” etc.

Ainda, diferentemente do sistema apresentado em [7], a linguagem intermediária u-sada na aplica¸cão das regras para tratar fórmulas generalizadas é bastante simples. Nos sistemas desenvolvidos nesta tese, utilizaremos “fórmulas marcadas” devido à necessidade de gerenciamento de aninhamento dos quantificadores ∇’s nas fórmulas.

Inicialmente, tomamos um sistema de dedu¸cão natural para a lógica subjacente F OL e estendemos este sistema para tratar as fórmulas generalizadas e as novas fórmulas, estas denominadas de “fórmulas marcadas”. A estrutura de uma deriva¸cão é definida no cap´ıtulo 2 se¸cão 2.1, com manipula¸cão local de ∇.

Os sistemas de dedu¸cão natural para as LG’s terão dois parâmetros:

• um sistema de dedu¸c˜ao natural ND para a l´ogica de primeira ordem subjacente

(35)

(conservando seus conectivos e quantificadores originais) apresentados no cap´ıtulo 2, se¸c˜ao 2.1; e

• uma l´ogica particular de “geralmente”.

Mais precisamente, consideraremos a Lógica Clássica, Intuicionista ou Minimal como lógicas subjacentes de primeira ordem [9]. Usaremos as seguintes versões de sistemas de dedu¸cão natural ND para as lógicas subjacentes de primeira ordem:

(ML) L´ogica Minimal: ML,

(IL) Lógica Intuicionista: IL = ML ∪ {(Abs)}, (CL) Lógica Clássica: CL := IL ∪ {(RaA)};

5.1 Sistemas de Dedu¸c˜

ao Natural para a L´

ogica

B´

asica de “Geralmente”

Apresentaremos a seguir as regras dos sistemas de dedu¸cão natural para a lógica básica de “geralmente” (complexos sem restri¸cão).

Iniciaremos com um sistema de dedu¸cão natural ND para a lógica clássica, intu-icionista ou minimal [9] e estenderemos o sistema ND para tratar fórmulas generalizadas e marcadas, obtendo, o sistema ND(B).

Estenderemos algumas regras de elimina¸cão de ND para a obten¸cão de fórmulas mar-cadas como conclusão. Mais especificamente, as regras de elimina¸cão para a disjun¸cão (∨E) e para o quantificador existencial (∃E), permitem uma fórmula marcada como con-clusão, obtendo o sistema estendido ND∗_.

(36)

(∨E)A ∨ B Γ, [A]i Σ1 M ∆, [B]i Σ2 M M i (∃E) ∃xA Γ, [A]i Σ M M i

M denota que M pode ser uma fórmula marcada ou não. Estendemos esta nota¸cão, de

maneira usual, para um conjunto Γ de f´ormulas em L∇∗

:

se Γ = {γ1, ..., γn}, ent˜ao Γ = {γ1, ..., γn}.

Assim sendo, no sistema ND∗ _{as ´unicas regras que permitem ter como conclus˜ao uma}

fórmula marcada ou uma fórmula não marcada, são as regras (∨E) e (∃E). Para todas as outras regras, teremos apenas fórmulas não-marcadas como conclusão.

Teremos regras de introdu¸cão e elimina¸cão para ∇ (para entrar e sair de um ambiente onde se faz a manipula¸cão de fórmulas marcadas). As regras abaixo correspondem ao esquema [∇α]:

(∇E) ∇vA

hA[v/ ]i (∇I)

hAi ∇zA[ /z]

restri¸c˜ao da regra (∇I): z 6∈ occ[A]

Teremos, também, uma regra de substitui¸cão de equivalência para fórmulas marcadas, que correspondem ao esquema [↔ ∇]. A regra de equivalência (m) é:

(m) Γ, [A]i Σ1 B hA[v/ ]i ∆, [B]i Σ2 A hB[v/ ]i i

restri¸c˜ao da regra (m): v 6∈ f ree(Γ ∪ ∆)

Em (m), a fórmula marcada hA[v/ ]i é denominada de premissa maior e as fórmulas não-marcadas A e B são denominadas de premissas menores.

(37)

(B) ={(∇I), (∇E), (m)}.

Podemos agora, apresentar o sistema b´asico ND(B) = ND∗_{∪(B). Mais precisamente,}

obtemos os três sistemas básicos, dependendo da lógica de primeira ordem subjacente:

• ML(B) = ML∗_{∪ (B);}

• IL(B) = IL∗_{∪ (B); e} • CL(B) = CL∗_{∪ (B).}

Exemplo 5.1.1 Por exemplo, em um sistema básico ND(B)1 _{= ND}∗ _{∪ (B), temos a} deriva¸cão de ∇x∇yB(x, y) a partir de ∀x∀y(A(x, y) ↔ B(x, y))2 _{e ∇x∇yA(x, y), isto é,}

∀x∀y(A(x, y) ↔ B(x, y)) , ∇x∇yA(x, y) `N D(B)∇x∇yB(x, y) como mostrado a seguir.

1. Seja π uma deriva¸c˜ao de B(x, y) a partir de ∀x∀y(A(x, y) ↔ B(x, y)) e A(x, y) e seja π0 _{uma deriva¸c˜ao de A(x, y) a partir de ∀x∀y(A(x, y) ↔ B(x, y)) e B(x, y).}

π = (→ E) A(x, y)

(∧E) (∀E)

(∀E)∀x∀y(A(x, y) ↔ B(x, y))

∀y(A(x, y) ↔ B(x, y)) A(x, y) ↔ B(x, y) A(x, y) → B(x, y) B(x, y) π0 _{= (→ E)} B(x, y) (∧E) (∀E)

(∀E)∀x∀y(A(x, y) ↔ B(x, y))

∀y(A(x, y) ↔ B(x, y)) A(x, y) ↔ B(x, y) B(x, y) → A(x, y) A(x, y)

1_{N D ∈ {M L}∗_{, IL}∗_{, CL}∗_}

(38)

2. Da´ı, constru´ımos a deriva¸c˜ao ρ de ∇yB(x, y) a partir de ∀x∀y(A(x, y) ↔ B(x, y)) e ∇yA(x, y) (onde C = ∀x∀y(A(x, y) ↔ B(x, y))).

ρ = (∇I) (m) C, [A(x, y)]1 π B(x, y) (∇E)∇yA(x, y) hA(x, )i C, [B(x, y)]1 π0 A(x, y) hB(x, )i 1 ∇yB(x, y)

3. De mesmo modo, podemos construir uma deriva¸c˜ao ρ0 _{de ∇yA(x, y) a partir de} ∀x∀y(A(x, y) ↔ B(x, y)) e ∇yB(x, y).

4. Com as deriva¸c˜oes ρ e ρ0_{, construimos uma deriva¸c˜ao de ∇x∇yB(x, y) a partir de} ∀x∀y(A(x, y) ↔ B(x, y)) = C e ∇x∇yA(x, y):

(∇I) (m) C, [∇yA(x, y)]3 ρ ∇yB(x, y) (∇E)∇x∇yA(x, y) h∇yA( , y)i C, [∇yB(x, y)]3 ρ0 ∇yA(x, y)) h∇yB( , y)i 3 ∇x∇yB(x, y) .

Outros exempos de ND(B)-deriva¸cões aparecem na prova d0 Teorema 5.1.1 a seguir. Mostraremos que cada um dos sistemas básicos ML(B), IL(B) e CL(B) é equivalente à lógica básica de “geralmente” correspondente. Para isto, usaremos uma tradu¸cão

T : L∇∗

→ L∇ _{(que desmarca as f´ormulas marcadas), dada por:} T (A) =

(

∇zF [ /z], se A = hF i; A, caso contrário. onde z é a primeira variável nova, tal que z /∈ occ[F ].

Teorema 5.1.1 Para um conjunto de f´ormulas Γ e uma f´ormula M em L∇∗

:

Γ `N D(B) M se, e somente se, T (Γ)∪[B]3 `N D∗T (M).

(39)

Para demostrarmos que se T (Γ)∪[B] `N D∗T (M), ent˜ao Γ `_{N D(B)}M basta mostramos

que toda instância dos esquemas em [B] pode ser demonstrada em ND(B). Por outro lado, a prova de que se Γ `N D(B)M, então T (Γ)∪[B] `N D∗T (M) é feita por indu¸cão sobre

o comprimento de uma deriva¸c˜ao.

A prova do teorema 5.1.1 ´e apresentada no apˆendice.

5.2 Sistemas de Dedu¸c˜

ao Natural para as L´

ogicas

Es-pec´ıficas de “Geralmente”

Nesta se¸cão apresentaremos os sistemas dedutivos no estilo de dedu¸cão natural para as diversas lógicas espec´ıficas de “geralmente”.

Os sistemas de dedu¸cão natural para as lógicas espec´ıficas de “geralmente” são obti-das estendendo-se o sistema básico ND(B) com regras apropriaobti-das, ou seja, ND(B) é estendido com regras que correspondem aos axiomas/esquemas que axiomatizam as LG’s apresentados anteriormente [16].

Desejamos criar novas regras que correspondem aos esquemas espec´ıficos (c.f. 3.4). A constru¸c˜ao baseia-se em adicionar novas regras para tratar f´ormulas marcadas.

Para introduzir a idéia básica, considere a propriedade de fechamento sobre interse¸cão, expressado pelo esquema [∇∧] : (∇vA ∧ ∇vB) → ∇v(A ∧ B). O esquema [∇∧] pode ser formulado como a regra:

(∇∧)∇vA ∇vB

∇v(A ∧ B).

A regra (∇∧) pode ser facilmente reformulada como a seguinte regra (∧∗_{I) para introdu¸c˜ao}

da conjun¸c˜ao em um ambiente marcado.

(∧∗_I) hA[v/ ]i hB[v/ ]i h(A ∧ B)[v/ ]i

De modo an´alogo, podemos obter regras correspondentes para os esquemas em 3.4. Por exemplo, correspondendo ao axioma n˜ao-vazio ¬∇v⊥, obtemos a seguinte regra de

(40)

elimina¸c˜ao para absurdo marcado:

(⊥∗_E) h⊥i ⊥

Consideremos as seguintes regras operacionais que correspondem às propriedades dos complexos. Introdu¸cão Elimina¸cão (>∗_I) hF → F i (⊥ ∗_E) h⊥i ⊥ (∧∗_I) hF i hGi hF ∧ Gi (∧∗E) hF ∧ Gi hF i hF ∧ Gi hGi (∨∗_I) hF i hGi hF ∨ Gi (∨∗E) hF ∨ Gi Γ, [hF i]i . . . M ∆, [hGi]i . . . M M i (¬∗_I) Γ, [hF i]i . . . ⊥ h¬F i i (¬ ∗_E) hF i h¬F i ⊥

A correspondˆencia entre axioma ou esquemas e regras ´e como descrito abaixo:

axioma esquemas

¬∇v⊥ ∇> ∇∧ ∇∨ ∇¬ ∧∇ ∨∇ ¬∇

(⊥∗_E) _(>∗_{I) (∧}∗_{I) (∨}∗_I) _(¬∗_I) _(∧∗_{E) (∨}∗_{E) (¬}∗_E)

(41)

• uma l´ogica subjacente L; e

• uma l´ogica espec´ıfica de “geralmente”, axiomatizada por B(Ω) (cf.3.4).

Podemos construir um sistema de dedu¸c˜ao natural para esta l´ogica espec´ıfica con-siderando:

• um sistema de dedu¸c˜ao natural ND para L; e

• a extens˜ao de ND(B) pelas regras Ω∗ _{correspondentes aos esquemas em Ω.}

Ω∗ _{= {(>}∗_{I), (⊥}∗_{E), (∧}∗_{I), (∨}∗_{I), (¬}∗_{I), (∧}∗_{E), (∨}∗_{E), (¬}∗_E)}

Assim, obtemos o sistema ND(Ω) = ND(B) ∪ Ω∗_.

Por exemplo, para a lógica fechada superiormente adicionamos as regras de elimina¸cão (∧∗_{E) para obter ND(S), e para a lógica dos filtros próprios adicionamos as regras}

es-pec´ıficas (>∗_{I), (⊥}∗_{E), (∧}∗_{I) e (∧}∗_{E) para obter ND(F).}

Exemplo 5.2.1 No sistema espec´ıfico ND(S), teremos uma deriva¸c˜ao π de ∇vB a partir

de ∀v(A → B) e ∇vA. π = (∇I) (∧∗_E) (m) [A]1_{, ∀v(A → B)} Σ A ∧ B (∇E) ∇vA hA[v/ ]i (∧E) [A ∧ B]1 A h(A ∧ B)[v/ ]i 1 hB[v/ ]i ∇vB onde Σ = (∧I) [A] 1 (→ E) [A]1 (∀E) ∀v(A → B) A → B B A ∧ B

Teorema 5.2.1 Para um conjunto de f´ormulas Γ e uma f´ormula M em L∇∗

(42)

Γ `N D(Ω)M se, e somente se, T (Γ)∪B(Ω) `N D∗ T (M).

Similarmente, ao teorema 5.1.1, na dire¸cão (⇐) é suficiente mostrarmos que toda instância dos esquemas em B(Ω) pode ser demonstrado em ND(Ω) e na dire¸cão (⇒), por indu¸cão sobre o comprimento de uma deriva¸cão, podemos mostrar que para toda deriva¸cão π em ND(Ω), existe uma deriva¸cão correspondente T (π) em ND∗_.

A prova do teorema 5.2.1 ´e apresentada no apˆendice.

Estendemos o conceito de premissa maior e menor [9] para as regras com f´ormulas marcadas. Dada uma aplica¸c˜ao da regra (∨∗_E)

(∨∗_E)hA ∨ Bi Γ, [hAi]i . . . C ∆, [hBi]i . . . C C i

hA ∨ Bi ´e a premissa maior de (∨∗_{E) enquanto que C ´e premissa menor.}

Dada uma aplica¸cão da regra (¬∗_{E), h¬Ai é a premissa maior enquanto que hAi é}

(43)

Normaliza¸c˜

ao e Consistˆ

encia

Neste cap´ıtulo apresentaremos a prova do resultado de normaliza¸c˜ao para os sistemas de dedu¸c˜ao natural para as LG’s.

Para os sistemas com a Lógica Minimal (ML) ou a Lógica Intuicionista (IL) como lógica subjacente, demonstraremos o resultado de normaliza¸cão utilizando a estratégia de prova apresentada em [9, 10] para ML e IL. Por outro lado, os sistemas com a Lógica Clássica (CL) como lógica subjacente, utilizaremos a estratégia de prova apresentada em [11, 12] para CL.

Intuitivamente, o resultado de normaliza¸cão garante a existência de deriva¸cões sem ocorrências de redundâncias ou desvios, denominado de segmento maximal.

A seguir definiremos as no¸c˜oes de caminho e segmento de uma deriva¸c˜ao em ND(Ω)1

e posteriormente a no¸c˜ao de segmento maximal.

Defini¸c˜ao 6.0.1 Seja π uma deriva¸cão em ND(Ω). Então, um caminho em π é uma

seqüência A1, ..., An de ocorrências de fórmulas tais que:

(i) A1 é uma hipótese que não é descarregada por uma aplica¸cão de (∨∗E), nem de

(∨E) e nem de (∃E);

1_{Note que, N D ∈ {M L}∗_{, IL}∗_{, CL}∗_{} e se Ω = ∅, ent˜ao N D(Ω) =N D(B).}

(44)

(ii) se Ai não é uma premissa menor de (→ E) ou (m) ou (¬∗E), não é premissa maior de (∨∗_{E), (∨E), (∃E) e nem é a fórmula final de π, então A}

i+1 ´e a f´ormula que ocorre imediatamente abaixo de Ai;

(iii) se Ai é premissa maior de uma aplica¸cão de (∨∗E), (∨E) ou (∃E), então Ai+1 é qualquer hipótese descarregada em fun¸cão destas aplica¸cões;

(iv) An é premissa menor de uma aplica¸cão de (→ E) ou de (m) ou de (¬∗E) ou a fórmula final da deriva¸cão.

Defini¸c˜ao 6.0.2 Seja π uma deriva¸cão em ND(Ω). Uma seqüência A1, ..., An de fórmu-las em um caminho é um segmento se, e somente se:

(i) A1 = ... = An

(ii) A1 não é conclusão de uma aplica¸cão de (∨E), nem de (∨∗E) e nem de (∃E);

(iii) Para todo i < n, se Ai é premissa menor de (∨E) ou (∨∗E) ou (∃E), então Ai+1 é a fórmula que ocorre imediatamente abaixo de Ai; (iv) An não é premissa menor de (∨E), nem de (∨∗_{E) e nem de (∃E).}

Exemplo 6.0.2 Na deriva¸cão abaixo as três ocorrências consecutivas da fórmula hG∧Hi

formam um segmento. (∧∗_E) (∨∗_E) hF ∨ F0i (∃E) ∃yC (m) [C]1_{, [hF i]}2_{, [A]}3 Σ1 G ∧ H hAi [C]1_{, [hF i]}2_{, [G ∧ H]}3 Σ2 A hG ∧ Hi 3 hG ∧ Hi 1 [hF0_i]2 Σ3 hG ∧ Hi hG ∧ Hi 2 hGi

Defini¸c˜ao 6.0.3 Seja π uma deriva¸c˜ao em ND(Ω) e seja S um segmento em π. S ´e

(45)

• a primeira fórmula de S é conclusão de uma aplica¸cão de regra de introdu¸cão e a fórmula final de S é premissa maior de uma aplica¸cão de regra de elimina¸cão. • S = A1, ..., An (com n > 1), A1 é conclusão de uma aplica¸cão de regra (Abs) ou

(RaA) ou (m) e An é premissa maior de uma aplica¸cão de regra de elimina¸cão. • S = A1, ..., An (com n > 1), A1 é conclusão de uma aplica¸cão de uma regra de

introdu¸cão ou da regra (m) e An é premissa maior de uma aplica¸cão da regra (m). • S = A, A é conclusão de uma aplica¸cão de regra (Abs) ou (RaA) e A é a premissa

maior de uma aplica¸c˜ao de regra de elimina¸c˜ao de ND∗_.

• S = A, A é conclusão de uma aplica¸cão da regra (m) e a A é premissa maior de uma aplica¸cão da regra (m).

Exemplo 6.0.3 O segmento do exemplo 6.0.2 ´e um segmento maximal S = A1, A2, A3

tal que A1 = A2 = A3 = hG ∧ Hi, A1 é conclusão de uma aplica¸cão da regra (m) e A3 é

premissa maior de uma aplica¸c˜ao da regra de elimina¸c˜ao (∧∗_E).

Nas deriva¸cões em ND(Ω) podem ocorrer um outro tipo de redundância denominada de aplica¸cão supérflua de (∨E), (∃E) ou (∨∗_{E). Uma aplica¸cão (α) da regra (∨E), (∃E)}

ou (∨∗_{E) é dita supérflua se existe uma subderiva¸cão de uma premissa menor de (α) a}

partir de Γ tal que Γ não contém hipótese descarregada na aplica¸cão (α).

Exemplo 6.0.4 Seja π uma deriva¸c˜ao de hA∧Bi a partir de hB ∨Ci, hAi e ∀x(A ↔ B).

(∨∗_E) hB ∨ Ci (∧∗_I) hAi (m) [A]1 ∀x(A ↔ B) A ↔ B A → B B hAi [B]1 ∀x(A ↔ B) A ↔ B B → A A hBi 1 (hA ∧ Bi)∗ (∧ ∗_I)hAi [hBi]2 hA ∧ Bi hA ∧ Bi 2

Note que, o conjunto de hipóteses Γ = {∀x(A ↔ B), hAi} da subderiva¸cão da premissa menor (hA ∧ Bi)∗ _{da aplica¸cão de (∨}∗_{E) não contém hipóteses descarregadas na aplica¸cão} da regra (∨∗_{E). Portanto, a aplica¸cão da regra (∨}∗_{E) é uma aplica¸cão supérflua.}

(46)

Defini¸c˜ao 6.0.4 Seja π uma deriva¸cão em ND(Ω). Então, π é uma deriva¸cão normal

se, e somente se, π não contém ocorrência de segmento maximal e nem aplica¸cão supérflua de (∨E), (∃E) ou (∨∗_E).

No lema a seguir demonstraremos que as aplica¸cões supérfluas podem ser eliminadas. Lema 6.0.1 Seja π uma deriva¸cão de A a partir de Γ em ND(Ω). Então, π pode ser

transformada em um deriva¸cão π0 _{de A a partir de Γ em ND(Ω) sem ocorrências de} aplica¸cões supérfluas de (∨E), (∃E) ou (∨∗_E).

A prova do lema 6.0.1 é feita por indu¸cão sobre o número de aplica¸cões supérfluas e é apresentada no apêndice.

A seguir, definiremos algumas no¸c˜oes utilizadas na prova do resultado de norma-liza¸c˜ao.

Defini¸c˜ao 6.0.5 Seja π uma deriva¸c˜ao em ND(Ω) e seja S um segmento maximal em

π. Então, o grau de S, denotado por gr(S), é o grau da fórmula que ocorre em S.

Defini¸c˜ao 6.0.6 Seja π uma deriva¸c˜ao em ND(Ω). Ent˜ao, o grau de π, denotado por

g(π), é o mais alto grau de um segmento maximal de π, ou seja, g(π) = 0 se π não tem segmento maximal e caso contrário, g(π) = max{gr(S)/ S é segmento maximal em π}.

Defini¸c˜ao 6.0.7 Seja π uma deriva¸c˜ao em ND(Ω). O rank de π, denotado por r(π),

é o par (d, n) onde d = g(π) e n é o número de fórmulas que pertencem aos segmentos maximais de π de grau d.

Note que se π não tem segmento maximal, então r(π) = (0, 0). A ordem sobre r(π) é lexicográfica: (d, n) < (d0_{, n}0_{) se, e somente se, d < d}0 _{ou (d = d}0 _{e n < n}0_).

Nas se¸cões posteriores mostraremos o resultado de normaliza¸cão para os diversos sis-temas de dedu¸cão natural para as LG’s.

(47)

6.1 Normaliza¸c˜

ao: L´

ogica Minimal + LG’s

Nesta se¸cão, mostraremos o resultado de normaliza¸cão para o sistema ML(B), uti-lizando a estratégia de prova apresentada em [9, 10] para ML e estenderemos o resultado para os sistemas de dedu¸cão natural para as lógicas espec´ıficas de “geralmente” ML(Ω).

6.1.1 Normaliza¸c˜

ao para o Sistema ML(B)

Inicialmente, examinaremos os segmentos maximais e as suas respectivas redu¸c˜oes no sistema ML(B).

Em adi¸c˜ao aos segmentos maximais de ML∗_{, os seguintes novos tipos de segmentos}

maximais podem ocorrer em uma deriva¸c˜ao em ML(B).

• O segmento maximal S contém uma única fórmula.

(m) Chamamos de (m); (m) um segmento maximal que cont´em uma f´ormula marcada

hB[x/ ]i que é conclusão de uma aplica¸cão da regra (m) e premissa maior de

uma aplica¸c˜ao da regra (m):

(m) Γ2, [B[x/y]]j Σ3 C (m) Γ1, [A]i Σ1 B Π1 hA[x/ ]i ∆1, [B]i Σ2 A hB[x/ ]i k hB[x/y][y/ ]i i ∆2, [C]j Σ4 B[x/y] hC[y/ ]i Π2 j

onde x 6∈ f ree(Γ1∪ ∆1) e y 6∈ f ree(Γ2 ∪ ∆2).

(∇) Chamamos de (∇I); (∇E) um segmento maximal que contém uma fórmula generalizada ∇vA[ /v] que é conclusão de uma aplica¸cão da regra (∇I) e pre-missa de uma aplica¸cão da regra (∇E):