Técnico Bancário - BANESTES
BANESTES
BANCO DO ESTADO DO ESPÍRITO SANTO
TÉCNICO BANCÁRIO
ÍNDICE
Nível Médio
Língua Portuguesa
Fonologia: conceito, encontros vocálicos, dígrafos, ortoépia, divisão silábica, prosódia-acentuação e
ortogra-fia; ...21
Morfologia: estrutura e formação das palavras, classes de palavras; ...33
Sintaxe: termos da oração, período composto, conceito e classificação das orações, concordância verbal e nominal, regência verbal e nominal, crase e pontuação; ...50
Semântica: a significação das palavras no texto; ...27
Interpretação de texto. ...1
Ação gráfica, pontuação, masculino e feminino, antônimo e sinônimo, diminutivo e aumentativo. ...24
Raciocínio Lógico Princípio da Regressão ou Reversão. ...5
Lógica Dedutiva, Argumentativa e Quantitativa. ...6
Lógica matemática qualitativa, ...8
Sequências Lógicas envolvendo Números, Letras e Figuras. ...38
Geometria básica. ...77
Álgebra básica e sistemas lineares. ...60
Calendários. Numeração. ...101
Razões Especiais. ...90
Análise Combinatória e Probabilidade. ...46
Progressões Aritmética e Geométrica. ...94
Conjuntos; as relações de pertinência, inclusão e igualdade; operações entre conjuntos, união, interseção e diferença. Comparações. ...97
Noções de Informática Conceitos básicos do hardware e periféricos de um microcomputador. ...1
Browsers Internet Explorer, Firefox. Ferramentas e aplicações de informática. ...52
Ambientes Windows. ...18
Correio eletrônico. ...72
Procedimento para a realização de cópia de segurança (backup). ...9
Microsoft Office - Word e Excel. ...23
Conceitos de organização de arquivos e métodos de acesso. Conceitos e tecnologias. ...10 Conhecimentos Gerais
Domínio de tópicos relevantes de diversas áreas, tais como: política, economia, sociedade, educação, tec-nologia, energia, relações internacionais, desenvolvimento sustentável, segurança, artes e literatura e suas vinculações históricas, a nível regional, nacional e internacional. Pp 1 a 43
Matemática Financeira
Juros e Capitalização Simples: Conceitos de juro, capital e taxa de juros; Capitalização simples; Capitaliza-ção composta: montante e valor atual para pagamento único; Equivalência de taxas. Descontos: Conceito; Desconto simples (ou bancário ou comercial); Desconto composto. Classificação das Taxas de Juros: Intro-dução; Conceito e classificação das taxas de juros; Taxas equivalentes e proporcionais; Juros pagos
anteci-Matemática
A Opção Certa Para a Sua Realização
RACIOCÍNIO LÓGICO
ALGUMAS NOÇÕES DE LÓGICA António Aníbal Padrão
Introdução
Todas as disciplinas têm um objecto de estudo. O objeto de estudo de uma disciplina é aquilo que essa disciplina estuda. Então, qual é o objecto de estudo da lógica? O que é que a lógica estuda? A lógica estuda e sistematiza a valida-de ou invalidavalida-de da argumentação. Também se diz que estuda inferências ou raciocínios. Podes considerar que argumentos, inferências e raciocínios são termos equivalen-tes.
Muito bem, a lógica estuda argumentos. Mas qual é o in-teresse disso para a filosofia? Bem, tenho de te lembrar que a argumentação é o coração da filosofia. Em filosofia temos a liberdade de defender as nossas ideias, mas temos de sustentar o que defendemos com bons argumentos e, é claro, também temos de aceitar discutir os nossos argumen-tos.
Os argumentos constituem um dos três elementos cen-trais da filosofia. Os outros dois são os problemas e as teori-as. Com efeito, ao longo dos séculos, os filósofos têm procu-rado resolver problemas, criando teorias que se apoiam em argumentos.
Estás a ver por que é que o estudo dos argumentos é importante, isto é, por que é que a lógica é importante. É importante, porque nos ajuda a distinguir os argumentos válidos dos inválidos, permite-nos compreender por que razão uns são válidos e outros não e ensina-nos a argumen-tar correctamente. E isto é fundamental para a filosofia.
O que é um argumento?
Um argumento é um conjunto de proposições que utili-zamos para justificar (provar, dar razão, suportar) algo. A proposição que queremos justificar tem o nome de conclu-são; as proposições que pretendem apoiar a conclusão ou a justificam têm o nome de premissas.
Supõe que queres pedir aos teus pais um aumento da "mesada". Como justificas este aumento? Recorrendo a razões, não é? Dirás qualquer coisa como:
Os preços no bar da escola subiram; como eu lancho no bar da escola, o lanche fica me mais caro. Portanto, preciso de um aumento da "mesada".
Temos aqui um argumento, cuja conclusão é: "preciso de um aumento da 'mesada'". E como justificas esta conclusão? Com a subida dos preços no bar da escola e com o facto de lanchares no bar. Então, estas são as premissas do teu argumento, são as razões que utilizas para defender a con-clusão.
Este exemplo permite-nos esclarecer outro aspecto dos argumentos, que é o seguinte: embora um argumento seja um conjunto de proposições, nem todos os conjuntos de proposições são argumentos. Por exemplo, o seguinte con-junto de proposições não é um argumento:
Eu lancho no bar da escola, mas o João não. A Joana come pipocas no cinema.
O Rui foi ao museu.
Neste caso, não temos um argumento, porque não há nenhuma pretensão de justificar uma proposição com base nas outras. Nem há nenhuma pretensão de apresentar um conjunto de proposições com alguma relação entre si. Há apenas uma sequência de afirmações. E um argumento é, como já vimos, um conjunto de proposições em que se pre-tende que uma delas seja sustentada ou justificada pelas outras — o que não acontece no exemplo anterior.
Um argumento pode ter uma ou mais premissas, mas só pode ter uma conclusão.
Exemplos de argumentos com uma só premissa: Exemplo 1
Premissa: Todos os portugueses são europeus. Conclusão: Logo, alguns europeus são portugueses.
Exemplo 2
Premissa: O João e o José são alunos do 11.º ano. Conclusão: Logo, o João é aluno do 11.º ano.
Exemplos de argumentos com duas premissas: Exemplo 1
Premissa 1: Se o João é um aluno do 11.º ano, então es-tuda filosofia.
Premissa 2: O João é um aluno do 11.º ano. Conclusão: Logo, o João estuda filosofia.
Exemplo 2
Premissa 1: Se não houvesse vida para além da morte, então a vida não faria sentido.
Premissa 2: Mas a vida faz sentido.
Conclusão: Logo, há vida para além da morte. Exemplo 3:
Premissa 1: Todos os minhotos são portugueses. Premissa 2: Todos os portugueses são europeus. Conclusão: Todos os minhotos são europeus.
É claro que a maior parte das vezes os argumentos não se apresentam nesta forma. Repara, por exemplo, no argumento de Kant a favor do valor objectivo da felicida-de, tal como é apresentado por Aires Almeida et al. (2003b) no site de apoio ao manual A Arte de Pensar:
"De um ponto de vista imparcial, cada pessoa é um fim em si. Mas se cada pessoa é um fim em si, a felicida-de felicida-de cada pessoa tem valor felicida-de um ponto felicida-de vista impar-cial e não apenas do ponto de vista de cada pessoa. Da-do que cada pessoa é realmente um fim em si, podemos concluir que a felicidade tem valor de um ponto de vista imparcial."
Neste argumento, a conclusão está claramente identifi-cada ("podemos concluir que..."), mas nem sempre isto a-contece. Contudo, há certas expressões que nos ajudam a perceber qual é a conclusão do argumento e quais são as premissas. Repara, no argumento anterior, na expressão "dado que". Esta expressão é um indicador de premissa: ficamos a saber que o que se segue a esta expressão é uma premissa do argumento. Também há indicadores de conclu-são: dois dos mais utilizados são "logo" e "portanto".
Um indicador é um articulador do discurso, é uma palavra ou expressão que utilizamos para introduzir uma razão (uma premissa) ou uma conclusão. O quadro seguinte apresenta alguns indicadores de premissa e de conclusão:
Indicadores de
premis-sa Indicadores de conclu-são
pois porque dado que como foi dito visto que devido a a razão é que admitindo que sabendo-se que assumindo que por isso por conseguinte implica que logo portanto então daí que segue-se que pode-se inferir que consequentemente
É claro que nem sempre as premissas e a conclusão são precedidas por indicadores. Por exemplo, no argumento:
O Mourinho é treinador de futebol e ganha mais de 100000 euros por mês. Portanto, há treinadores de futebol que ganham mais de 100000 euros por mês.
A conclusão é precedida do indicador "Portanto", mas as premissas não têm nenhum indicador.
Por outro lado, aqueles indicadores (palavras e expres-sões) podem aparecer em frases sem que essas frases sejam premissas ou conclusões de argumentos. Por exem-plo, se eu disser:
Depois de se separar do dono, o cão nunca mais foi o mesmo. Então, um dia ele partiu e nunca mais foi visto. Admitindo que não morreu, onde estará?
O que se segue à palavra "Então" não é conclusão de nenhum argumento, e o que segue a "Admitindo que" não é premissa, pois nem sequer tenho aqui um argumento. Por isso, embora seja útil, deves usar a informação do quadro de indicadores de premissa e de conclusão criticamente e não de forma automática.
Proposições e frases
Um argumento é um conjunto de proposições. Quer as premissas quer a conclusão de um argumento são proposi-ções. Mas o que é uma proposição?
Uma proposição é o pensamento que uma frase declarativa exprime literalmente.
Não deves confundir proposições com frases. Uma frase é uma entidade linguística, é a unidade gramatical mínima de sentido. Por exemplo, o conjunto de palavras "Braga é uma" não é uma frase. Mas o conjunto de palavras "Braga é uma cidade" é uma frase, pois já se apresenta com sentido gramatical.
Há vários tipos de frases: declarativas, interrogativas, im-perativas e exclamativas. Mas só as frases declarativas exprimem proposições. Uma frase só exprime uma proposi-ção quando o que ela afirma tem valor de verdade.
Por exemplo, as seguintes frases não exprimem proposi-ções, porque não têm valor de verdade, isto é, não são ver-dadeiras nem falsas:
1. Que horas são? 2. Traz o livro.
3. Prometo ir contigo ao cinema.
4. Quem me dera gostar de Matemática.
Mas as frases seguintes exprimem proposições, porque têm valor de verdade, isto é, são verdadeiras ou falsas, ain-da que, acerca de algumas, não saibamos, neste momento, se são verdadeiras ou falsas:
1. Braga é a capital de Portugal. 2. Braga é uma cidade minhota. 3. A neve é branca.
4. Há seres extraterrestres inteligentes.
A frase 1 é falsa, a 2 e a 3 são verdadeiras. E a 4? Bem, não sabemos qual é o seu valor de verdade, não sabemos se é verdadeira ou falsa, mas sabemos que tem de ser ver-dadeira ou falsa. Por isso, também exprime uma proposição.
Uma proposição é uma entidade abstracta, é o pensa-mento que uma frase declarativa exprime literalmente. Ora, um mesmo pensamento pode ser expresso por diferentes frases. Por isso, a mesma proposição pode ser expressa por diferentes frases. Por exemplo, as frases "O governo demitiu o presidente da TAP" e "O presidente da TAP foi demitido pelo governo" exprimem a mesma proposição. As frases seguintes também exprimem a mesma proposição: "A neve é branca" e "Snow is white".
Ambiguidade e vagueza
Para além de podermos ter a mesma proposição expres-sa por diferentes frases, também pode acontecer que a mesma frase exprima mais do que uma proposição. Neste caso dizemos que a frase é ambígua. A frase "Em cada dez minutos, um homem português pega numa mulher ao colo" é ambígua, porque exprime mais do que uma proposição: tanto pode querer dizer que existe um homem português (sempre o mesmo) que, em cada dez minutos, pega numa mulher ao colo, como pode querer dizer que, em cada dez minutos, um homem português (diferente) pega numa mu-lher ao colo (a sua).
Por vezes, deparamo-nos com frases que não sabemos com exactidão o que significam. São as frases vagas. Uma frase vaga é uma frase que dá origem a casos de fronteira indecidíveis. Por exemplo, "O professor de Filosofia é calvo" é uma frase vaga, porque não sabemos a partir de quantos cabelos é que podemos considerar que alguém é calvo. Quinhentos? Cem? Dez? Outro exemplo de frase vaga é o seguinte: "Muitos alunos tiveram negativa no teste de Filoso-fia". Muitos, mas quantos? Dez? Vinte? Em filosofia deve-mos evitar as frases vagas, pois, se não comunicardeve-mos com exactidão o nosso pensamento, como é que podemos espe-rar que os outros nos compreendam?
Validade e verdade
A verdade é uma propriedade das proposições. A valida-de é uma propriedavalida-de dos argumentos. É incorrecto falar em proposições válidas. As proposições não são válidas nem inválidas. As proposições só podem ser verdadeiras ou fal-sas. Também é incorrecto dizer que os argumentos são verdadeiros ou que são falsos. Os argumentos não são ver-dadeiros nem falsos. Os argumentos dizem-se válidos ou inválidos.
Matemática
A Opção Certa Para a Sua Realização
Quando é que um argumento é válido? Por agora, referi-rei apenas a validade dedutiva. Diz-se que um argumento dedutivo é válido quando é impossível que as suas premis-sas sejam verdadeiras e a conclusão falsa. Repara que, para um argumento ser válido, não basta que as premissas e a conclusão sejam verdadeiras. É preciso que seja impossível que sendo as premissas verdadeiras, a conclusão seja falsa.
Considera o seguinte argumento:
Premissa 1: Alguns treinadores de futebol ganham mais de 100000 euros por mês.
Premissa 2: O Mourinho é um treinador de futebol. Conclusão: Logo, o Mourinho ganha mais de 100000 euros por mês.
Neste momento (Julho de 2004), em que o Mourinho é treinador do Chelsea e os jornais nos informam que ganha muito acima de 100000 euros por mês, este argumento tem premissas verdadeiras e conclusão verdadeira e, contudo, não é válido. Não é válido, porque não é impossível que as premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa. Podemos perfeitamente imaginar uma circunstância em que o Mouri-nho ganhasse menos de 100000 euros por mês (por exem-plo, o Mourinho como treinador de um clube do campeonato regional de futebol, a ganhar 1000 euros por mês), e, neste caso, a conclusão já seria falsa, apesar de as premissas serem verdadeiras. Portanto, o argumento é inválido.
Considera, agora, o seguinte argumento, anteriormente apresentado:
Premissa: O João e o José são alunos do 11.º ano. Conclusão: Logo, o João é aluno do 11.º ano.
Este argumento é válido, pois é impossível que a premissa seja verdadeira e a conclusão falsa. Ao contrá-rio do argumento que envolve o Mourinho, neste não po-demos imaginar nenhuma circunstância em que a pre-missa seja verdadeira e a conclusão falsa. Podes imagi-nar o caso em que o João não é aluno do 11.º ano. Bem, isto significa que a conclusão é falsa, mas a premissa também é falsa.
Repara, agora, no seguinte argumento: Premissa 1: Todos os números primos são pares. Premissa 2: Nove é um número primo.
Conclusão: Logo, nove é um número par.
Este argumento é válido, apesar de quer as premissas quer a conclusão serem falsas. Continua a aplicar-se a no-ção de validade dedutiva anteriormente apresentada: é im-possível que as premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa. A validade de um argumento dedutivo depende da conexão lógica entre as premissas e a conclusão do argu-mento e não do valor de verdade das proposições que cons-tituem o argumento. Como vês, a validade é uma proprieda-de diferente da verdaproprieda-de. A verdaproprieda-de é uma propriedaproprieda-de das proposições que constituem os argumentos (mas não dos argumentos) e a validade é uma propriedade dos argumen-tos (mas não das proposições).
Então, repara que podemos ter:
Argumentos válidos, com premissas verdadeiras e conclu-são verdadeira;
Argumentos válidos, com premissas falsas e conclusão falsa;
Argumentos válidos, com premissas falsas e conclusão verdadeira;
Argumentos inválidos, com premissas verdadeiras e con-clusão verdadeira;
Argumentos inválidos, com premissas verdadeiras e con-clusão falsa;
Argumentos inválidos, com premissas falsas e conclusão falsa; e
Argumentos inválidos, com premissas falsas e conclusão verdadeira.
Mas não podemos ter:
Argumentos válidos, com premissas verdadeiras e conclu-são falsa.
Como podes determinar se um argumento dedutivo é vá-lido? Podes seguir esta regra:
Mesmo que as premissas do argumento não sejam verda-deiras, imagina que são verdadeiras. Consegues imaginar alguma circunstância em que, considerando as premissas verdadeiras, a conclusão é falsa? Se sim, então o argumento não é válido. Se não, então o argumento é válido.
Lembra-te: num argumento válido, se as premissas forem verdadeiras, a conclusão não pode ser falsa.
Argumentos sólidos e argumentos bons
Em filosofia não é suficiente termos argumentos válidos, pois, como viste, podemos ter argumentos válidos com con-clusão falsa (se pelo menos uma das premissas for falsa). Em filosofia pretendemos chegar a conclusões verdadeiras. Por isso, precisamos de argumentos sólidos.
Um argumento sólido é um argumento válido com premissas verdadeiras.
Um argumento sólido não pode ter conclusão falsa, pois, por definição, é válido e tem premissas verdadeiras; ora, a validade exclui a possibilidade de se ter premissas verdadei-ras e conclusão falsa.
O seguinte argumento é válido, mas não é sólido: Todos os minhotos são alentejanos. Todos os bracarenses são minhotos. Logo, todos os bracarenses são alenteja-nos.
Este argumento não é sólido, porque a primeira premissa é falsa (os minhotos não são alentejanos). E é porque tem uma premissa falsa que a conclusão é falsa, apesar de o argumento ser válido.
O seguinte argumento é sólido (é válido e tem premissas verdadeiras):
Todos os minhotos são portugueses. Todos os bracarenses são minhotos. Logo, todos os bracarenses são portugue-ses.
Sócrates era grego. Logo, Sócrates era grego.
(É claro que me estou a referir ao Sócrates, filósofo gre-go e mestre de Platão, e não ao Sócrates, candidato a se-cretário geral do Partido Socialista. Por isso, a premissa e a conclusão são verdadeiras.)
Este argumento é sólido, porque tem premissa verdadei-ra e é impossível que, sendo a premissa verdadeiverdadei-ra, a con-clusão seja falsa. É sólido, mas não é um bom argumento, porque a conclusão se limita a repetir a premissa.
Um argumento bom (ou forte) é um argumento válido per-suasivo (perper-suasivo, do ponto de vista racional).
Fica agora claro por que é que o argumento "Sócrates era grego; logo, Sócrates era grego", apesar de sólido, não é um bom argumento: a razão que apresentamos a favor da conclusão não é mais plausível do que a conclusão e, por isso, o argumento não é persuasivo.
Talvez recorras a argumentos deste tipo, isto é, argu-mentos que não são bons (apesar de sólidos), mais vezes do que imaginas. Com certeza, já viveste situações seme-lhantes a esta:
—Pai, preciso de um aumento da "mesa-da".
—Porquê?
—Porque sim.
O que temos aqui? O seguinte argumento: Preciso de um aumento da "mesada". Logo, preciso de um aumento da "mesa-da".
Afinal, querias justificar o aumento da "mesada" (conclu-são) e não conseguiste dar nenhuma razão plausível para esse aumento. Limitaste-te a dizer "Porque sim", ou seja, "Preciso de um aumento da 'mesada', porque preciso de um aumento da 'mesada'". Como vês, trata-se de um argumento muito mau, pois com um argumento deste tipo não conse-gues persuadir ninguém.
Mas não penses que só os argumentos em que a conclu-são repete a premissa é que conclu-são maus. Um argumento é mau (ou fraco) se as premissas não forem mais plausíveis do que a conclusão. É o que acontece com o seguinte argu-mento:
Se a vida não faz sentido, então Deus não existe.
Mas Deus existe. Logo, a vida faz sentido.
Este argumento é válido, mas não é um bom argumento, porque as premissas não são menos discutíveis do que a conclusão.
Para que um argumento seja bom (ou forte), as premis-sas têm de ser mais plausíveis do que a conclusão, como acontece no seguinte exemplo:
Se não se aumentarem os níveis de exigência de estudo e de trabalho dos alunos no ensino básico, então os alunos conti-nuarão a enfrentar dificuldades quando chegarem ao ensino secundário.
Ora, não se aumentaram os níveis de exigência de estudo e de trabalho dos alunos no ensino básico.
Logo, os alunos continuarão a enfrentar dificuldades quando chegarem ao ensino secundário.
Este argumento pode ser considerado bom (ou forte), porque, além de ser válido, tem premissas menos discutíveis do que a conclusão.
As noções de lógica que acabei de apresentar são ele-mentares, é certo, mas, se as dominares, ajudar-te-ão a fazer um melhor trabalho na disciplina de Filosofia e, porven-tura, noutras.
Proposições simples e compostas
As proposições simples ou atômicas são assim caracteri-zadas por apresentarem apenas uma idéia. São indicadas pelas letras minúsculas: p, q, r, s, t...
As proposições compostas ou moleculares são assim ca-racterizadas por apresentarem mais de uma proposição conectadas pelos conectivos lógicos. São indicadas pelas letras maiúsculas: P, Q, R, S, T...
Obs: A notação Q(r, s, t), por exemplo, está indicando que a proposição composta Q é formada pelas proposições simples r, s e t.
Exemplo:
Proposições simples:
p: O número 24 é múltiplo de 3. q: Brasília é a capital do Brasil. r: 8 + 1 = 3 . 3
s: O número 7 é ímpar t: O número 17 é primo Proposições compostas
P: O número 24 é divisível por 3 e 12 é o dobro de 24. Q: A raiz quadrada de 16 é 4 e 24 é múltiplo de 3. R(s, t): O número 7 é ímpar e o número 17 é primo. Noções de Lógica
Sérgio Biagi Gregório 1. CONCEITO DE LÓGICA
Lógica é a ciência das leis ideais do pensamento e a ar-te de aplicá-los à pesquisa e à demonstração da verdade.
Diz-se que alógica é uma ciência porque constitui um sis-tema de conhecimentos certos, baseados em princípios universais. Formulando as leis ideais do bem pensar, a lógi-ca se apresenta como ciência normativa, uma vez que seu objeto não é definir o que é, mas o que deve ser, isto é, asnormas do pensamento correto.
A lógica é também umaarte porque, ao mesmo tempo que define os princípios universais do pensamento, estabe-lece as regras práticas para o conhecimento da verdade (1).
2. EXTENSÃO E COMPREENSÃO DOS CONCEITOS Ao examinarmos um conceito, em termos lógicos, deve-mos considerar a suaextensão e a sua compreensão.
Vejamos, por exemplo, o conceitohomem.
Aextensão desse conceito refere-se a todo o conjunto de indivíduos aos quais se possa aplicar a designação ho-mem.
Matemática
A Opção Certa Para a Sua Realização
Acompreensão do conceito homem refere-se ao
con-junto de qualidades que um indivíduo deve possuir para ser designado pelo termo homem: animal, vertebrado, mamífero, bípede,racional.
Esta última qualidade é aquela que efetivamente distin-gue o homem dentre os demais seres vivos (2).
3. JUÍZO E O RACIOCÍNIO
Entende-se porjuízo qualquer tipo de afirmação ou ne-gação entre duas idéias ou dois conceitos. Ao afirmarmos, por exemplo, que “este livro éde filosofia”, acabamos de formular um juízo.
O enunciado verbal de um juízo é denomina-doproposição ou premissa.
Raciocínio - é o processo mental que consiste em coor-denar dois ou mais juízos antecedentes, em busca de um
juízo novo, denominadoconclusão ou inferê . ncia
Vejamos um exemplo típico de raciocínio: 1ª) premissa - o ser humano é racional; 2ª) premissa - você é um ser humano; conclusão - logo, você é racional.
O enunciado de um raciocínio através da linguagem fala-da ou escrita é chamado deargumento. Argumentar signifi-ca, portanto, expressar verbalmente um raciocínio (2).
4. SILOGISMO
Silogismo é o raciocínio composto de três proposições, dispostas de tal maneira que a terceira, chamada conclusão, deriva logicamente das duas primeiras, chamadas premis-sas.
Todosilogismo regular contém, portanto, três proposi-ções nas quais três termos são comparados, dois a dois. Exemplo: toda a virtude é louvável; ora, a caridade é uma virtude; logo, a caridade é louvável (1).
5. SOFISMA
Sofisma é um raciocínio falso que se apresenta com a-parência de verdadeiro. Todo erro provém de um raciocínio ilegítimo, portanto, de um sofisma.
O erro pode derivar de duas espécies de causas: daspalavras que o exprimem ou das idé que o constitu-ias em. No primeiro, os sofismas depalavras ou verbais; no segundo, os sofismas deidé ouintelectuais.ias
Exemplo desofisma verbal: usar mesma palavra com
duplo sentido; tomar a figura pela realidade.
Exemplo desofisma intelectual: tomar por essencial o que é apenasacidental; tomar por causa um simples ante-cedente ou mera circunstância acidental (3).
LÓGICA
Lógica - do grego logos significa “palavra”, “expressão”, “pensamento”, “conceito”, “discurso”, “razão”. Para Aristóte-les, a lógica é a “ciência da demonstração”; Maritain a define como a “arte que nos faz proceder, com ordem, facilmente e sem erro, no ato próprio da razão”; para Liard é “a ciência das formas do pensamento”. Poderíamos ainda acrescentar: “É a ciência das leis do pensamento e a arte de aplicá-las corretamente na procura e demonstração da verdade.
A filosofia, no correr dos séculos, sempre se preocupou com o conhecimento, formulando a esse respeito várias questões: Qual a origem do conhecimento? Qual a sua es-sência? Quais os tipos de conhecimentos? Qual o critério da verdade? É possível o conhecimento? À lógica não interessa nenhuma dessas perguntas, mas apenas dar asregrasdo pensamento correto. A lógica é, portanto, uma disciplina propedêutica.
Aristóteles é considerado, com razão, o fundador da lógi-ca. Foi ele, realmente, o primeiro a investigar, cientificamen-te, as leis do pensamento. Suas pesquisas lógicas foram reunidas, sob o nome de Organon, por Diógenes Laércio. As leis do pensamento formuladas por Aristóteles se caracteri-zam pelo rigor e pela exatidão. Por isso, foram adotadas pelos pensadores antigos e medievais e, ainda hoje, são admitidas por muitos filósofos.
O objetivo primacial da lógica é, portanto, o estudo da in-teligência sob o ponto de vista de seu uso no conhecimento. É ela que fornece ao filósofo o instrumento e a técnica ne-cessária para a investigação segura da verdade. Mas, para atingir a verdade, precisamos partir de dados exatos e racio-cinar corretamente, a fim de que o espírito não caia em con-tradição consigo mesmo ou com os objetos, afirmando-os diferentes do que, na realidade, são. Daí as várias divisões da lógica.
Assim sendo, a extensão e compreensão do conceito, o juízo e o raciocínio, o argumento, o silogismo e o sofisma são estudados dentro do tema lógica. O silogismo, que é um raciocínio composto de três proposições, dispostos de tal maneira que a terceira, chamada conclusão, deriva logica-mente das duas primeiras chamadas premissas, tem lugar de destaque. É que todos os argumentos começam com uma afirmação caminhando depois por etapas até chegar à conclusão.Sérgio Biagi Gregório
A lógica matemática trata do estudo das sentenças de-clarativas também conhecidas como proposições e tem por objetivo elaborar procedimentos que permitam obter um raciocínio correto na investigação da verdade, distinguindo os argumentos válidos daqueles que não o são.
Regressão ou reversão
Regressão é uma técnica que permite explorar e inferir a relação de uma variável dependente (variável de resposta) com variáveis independentes específicas (variáveis explica-tórias).
Regressão designa uma equação matemática que des-creva a relação entre duas ou mais variáveis.
Para resolvermos tais problemas, basta “montar” uma equação algébrica.
Regressão ou reversão
Regressão é uma técnica que permite explorar e inferir a relação de uma variável dependente (variável de resposta) com variáveis independentes específicas (variáveis explica-tórias).
Regressão designa uma equação matemática que des-creva a relação entre duas ou mais variáveis.
Para resolvermos tais problemas, basta “montar” uma equação algébrica.
Lógica dedutiva, argumentativa e quantitativa
http://www.passosecompassos.com.br/matedanca/logica. htm
De uma maneira geral, temos que a lógica pode ser divi-dida em dois ramos principais: indutiva e dedutiva. Estes dois conceitos se distinguem por inúmeras características essenciais que serão abordadas mais adiante, entretanto, é preciso ressaltar que quando se fala em lógica contemporâ-nea, automaticamente se pensa no conceito de lógica dedu-tiva.
A estrutura lógica é composta por um argumento, funda-mentado por uma determinada quantidade de premissas e uma conclusão decorrente das mesmas. Um ponto interes-sante que pode surgir em um argumento é o que chamamos de Falácia ou Sofisma. Em linhas gerais, significa um argu-mento formado por premissa verdadeira, mas que por razões interpretativas podem levar a uma conclusão falsa. Um e-xemplo:
Todos os cearenses são brasileiros. Roberto não é cearense.
Logo Roberto não é brasileiro
Embora tenhamos duas premissas verdadeiras, por uma questão de interpretação, pode-se chegar a uma falsa con-clusão, o que torna o argumento incoerente. Como a lógica busca chegar a uma verdade através de argumentos, pode-mos extrair então duas condições para que um argumento seja válido: ter somente premissas verdadeiras e estabelecer uma interpretação coerente, pois como acabamos de ver, a falta do segundo pode conduzir a um equívoco. Esta possibi-lidade de articular as premissas que levam a uma conclusão foi denominada por Aristóteles de silogismo. Temos aqui um exemplo muito comum visto nos livros de matemática:
“A” é igual a “B” “B” e igual a “C” Logo “A” é igual a “C”
Com o intuito de determinar se um silogismo era válido ou um sofisma, Aristóteles pensou em algumas regras que pudessem evitar este problema. Dentre estas, podemos citar que se todas as premissas são afirmativas, sua conclusão deverá ser também afirmativa e se todas as premissas con-cernirem à casos particulares, não se pode tirar conclusão alguma.
Por volta de 1770, o matemático Leonarhd Eüler, formu-lou uma série de diagramas, a fim de exprimir e facilitar as regras de uma boa argumentação. Temos então o que ele determina de pertencimento total ou parcial e não pertenci-mento total ou parcial. Através destas idéias básicas foi possível elaborar teorias e análises bastante incrementadas de maneiras mais simples dentro da lógica.
Falemos um pouco agora das possíveis distinções entre os dois ramos da lógica citados anteriormente. Conside-rem-se dois argumentos que ocorrem em centenas de ma-nuais escolares:
1. Todos os homens são mortais. Sócrates é um homem. Logo, Sócrates é mortal.
2. O Sol nasceu todas as manhãs até hoje. Logo, (é pro-vável que) nasça amanhã.
O primeiro é um exemplo clássico de um argumento classificado como válido pela lógica dedutiva. O segundo é um argumento que não é classificado como válido pela
lógi-ca dedutiva. Contudo, o lógico indutivo deve atribuir ao últi-mo um estatuto favorável qualquer. Sem dúvida, as razões que as premissas do argumento dois nos dão a favor da sua conclusão são muito melhores do que as razões dadas pela mesma premissa de forma oposta:
3. O Sol nasceu todas as manhãs até hoje. Logo, (é pro-vável que) não nasça amanhã.
A lógica indutiva tem de se ocupar de uma relação que obtém num grau maior ou menor a força de suas premissas. Algumas razões não conclusivas são mais fortes do que outras. Assim, ao contrário da lógica dedutiva, que faz uma clara separação entre argumentos válidos e inválidos, a lógica indutiva irá distinguir um contínuo de casos, no qual o argumento do exemplo 2 talvez fique com uma alta classifi-cação, ao passo que o 3 fique bastante baixo
Enquanto que na lógica dedutiva a verdade de suas pre-missas aliada a uma argumentação coerente garante a ver-dade da conclusão, na lógica indutiva isto não seria neces-sariamente verdade. Podemos pensar no exemplo 2, embora ele tenha ótimas ou fortes razões para ser verdadeiro, não podemos ter absoluta garantia ao fazer tal afirmação. Se na lógica dedutiva a verdade das premissas torna a conclusão verdadeira, isto não se faz, necessariamente, desta forma dentro do paradigma de uma lógica indutiva. Temos o se-guinte argumento:
Em Junho temos o inverno. No inverno faz frio.
Em Junho faz frio.
Quando analisamos este argumento pelo prisma da lógi-ca indutiva, veremos que isto não necessariamente se faz verdade para todos os dias de Junho, no sentido de que há a possibilidade de que durante alguns dias deste mês não faça frio. Desta forma, seria mais interessante que este argumen-to fosse olhado por um ponargumen-to de vista estatístico, nos forne-cendo então, não uma resposta conclusiva, mas sim um campo de probabilidades para um possível diagnóstico, ou seja, uma resposta pelo viés do paradigma indutivo depende de outros fatores que ultrapassam a veracidade de suas premissas.
Muitos pensadores, como K. Popper se mostram bastan-te céticos quanto ao estudo da lógica indutiva, defendendo a idéia que não seria possível verdadeiramente classificar o grau de força em cada premissa de um argumento do siste-ma lógico-indutivo. Este e muitos outros pensadores trazem a idéia de que cada argumento desta lógica teria um extenso pano de fundo a ser analisado para que então se pensasse na validade de cada premissa, e mais, que estas nunca poderiam ser absolutas, mas sempre relativas a cada con-texto e situação diferente.
A validade na lógica dedutiva é entendida como monotó-nica. Isto é, se começarmos com um argumento dedutiva-mente válido, então, independentededutiva-mente das premissas que acrescentarmos, teremos no fim um argumento dedutiva-mente válido. A força da lógica indutiva não é monotónica. Se acrescentarmos premissas a um argumento indutivamen-te forindutivamen-te, podemos transformá-lo num argumento indutiva-mente fraco. Podemos tomar novaindutiva-mente como exemplo o argumento dois, que diz respeito ao nascer do sol.
Suponha-se que acrescentamos as seguintes premissas: há um meteoro enorme que está viajando em nossa direção e hoje à noite entrará no sistema solar, onde permanecerá numa órbita estável em torno do Sol ficando entre o Sol e a Terra, de modo que a Terra irá ficar permanentemente na sombra. Quando acrescentamos estas premissas, o
argu-Matemática
A Opção Certa Para a Sua Realização
mento que resulta está longe de ser forte, mesmo que a probabilidade de semelhante fato acontecer seja muito pe-quena. Grande parte do raciocínio cotidiano não é monotóni-co, a grande maioria das situações de nossa vida tem sua conclusão alterada a medida que vão surgindo novas pre-missas.
Concluímos refletindo que a lógica, assim como qualquer ciência, necessita sempre de críticas. A idéia de lógica vai muito além da lógica dedutiva, que, sem sombra de dúvida, tem uma importância ímpar no desenvolvimento de toda a ciência como um todo, mas não se pode perder de vista que muitas situações carecem de uma análise que precisa de outros recursos que não estes.
ARGUMENTO
Na lógica, umargumento é um conjunto de uma ou mais
sentenças declarativas, também conhecidas como
proposições, ou ainda, premissas, acompanhadas de uma outra frase declarativa conhecida comoconclusão.
Um argumento dedutivo afirma que a verdade de uma conclusão é uma consequência lógica daspremissas que a antecedem.
Um argumento indutivo afirma que a verdade da conclusão é apenas apoiada pelas premissas.
Toda premissa, assim como toda conclusão, pode ser apenas verdadeira ou falsa; nunca pode ser ambígua.
Em funçao disso, as frases que apresentam um argumento são referidas como sendo verdadeiras ou falsas, e em consequência, são válidas ou são inválidas.
Alguns autores referem-se à conclusão das premissas usando os termos declaração, frase, afirmação ou proposição.
A razão para a preocupação com a verdade é ontológica quanto ao significado dos termos (proposições) em particular. Seja qual termo for utilizado, toda premissa, bem como a conclusão, deve ser capaz de ser apenas
verdadeira ou falsa e nada mais: elas devem
ser truthbearers ("portadores de verdade", em português). Argumentos formais e argumentos informais
Argumentos informais são estudados na lógica informal. São apresentados em linguagem comum e se destinam a ser o nosso discurso diário. Argumentos Formais são estudados na lógica formal (historicamente chamada lógica
simbólica, mais comumente referida como lógica
matemática) e são expressos em uma linguagem formal. Lógica informal pode chamar a atenção para o estudo da argumentação, que enfatiza implicação, lógica formal e de inferência.
Argumentos dedutivos
Um argumento dedutivo é aquele cuja validade depende unicamente da sua forma lógica. Isto é, o argumento é válido se a conclusão for sustentada e apoiada logicamente pelas premissas. Mesmo que as premissas sejam falsas, supondo que são verdadeiras, se a conclusão que se segue for também verdadeira (sendo de facto falsa) o argumento é válido. A validade do argumento dedutivo não depende do conteúdo mas sim da forma lógica.
Validade
Argumentos tanto podem ser válidos ou inválidos. Se um argumento é válido, e a sua premissa é verdadeira, a conclusão deve ser verdadeira: um argumento válido não pode ter premissa verdadeira e uma conclusão falsa.
A validade de um argumento depende, porém, da real veracidade ou falsidade das suas premissas e e de sua conclusões. No entanto, apenas o argumento possui uma forma lógica. A validade de um argumento não é uma
garantia da verdade da sua conclusão. Um argumento válido pode ter premissas falsas e uma conclusão falsa.
A Lógica visa descobrir as formas válidas, ou seja, as formas que fazer argumentos válidos. Uma Forma de Argumento é válida se e somente se todos os seus argumentos são válidos. Uma vez que a validade de um argumento depende da sua forma, um argumento pode ser demonstrado como inválido, mostrando que a sua forma é inválida, e isso pode ser feito, dando um outro argumento da mesma forma que tenha premissas verdadeiras mas uma falsa conclusão. Na lógica informal este argumento é chamado de contador.
A forma de argumento pode ser demonstrada através da utilização de símbolos. Para cada forma de argumento, existe um forma de declaração correspondente, chamado de Correspondente Condicional. Uma forma de argumento é válida Se e somente se o seu correspondente condicional é uma verdade lógica. A declaração é uma forma lógica de verdade, se é verdade sob todas as interpretações. Uma forma de declaração pode ser mostrada como sendo uma lógica de verdade por um ou outro argumento, que mostra se tratar de uma tautologia por meio de uma prova.
O correspondente condicional de um argumento válido é necessariamente uma verdade (verdadeiro em todos os mundos possíveis) e, por isso, se poderia dizer que a conclusão decorre necessariamente das premissas, ou resulta de uma necessidade lógica. A conclusão de um argumento válido não precisa ser verdadeira, pois depende de saber se suas premissas são verdadeiras.Tal conclusão não precisa ser uma verdade: se fosse assim, seria independente das premissas. Exemplo: Todos os gregos são humanos e todos os seres humanos são mortais, portanto, todos os gregos são mortais. Argumento válido, pois se as premissas são verdadeiras a conclusão deve ser verdadeira.
Exemplos
Alguns gregos são lógicos e alguns lógicos são chatos, por isso, alguns gregos são chatos. Este argumento é inválido porque todos os chatos lógicos poderiam ser romanos!
Ou estamos todos condenados ou todos nós somos salvos, não somos todos salvos por isso estamos todos condenados. Argumento válido,pois as premissas implicam a conclusão. (Lembre-se que não significa que a conclusão tem de ser verdadeira, apenas se as premissas são verdadeiras e, talvez, eles não são, talvez algumas pessoas são salvas e algumas pessoas são condenadas, e talvez alguns nem salvos nem condenados!)
Argumentos podem ser invalidados por uma variedade de razões. Existem padrões bem estabelecidos de raciocínio que tornam argumentos que os seguem inválidos; esses padrões são conhecidos como falácias lógicas.
Solidez de um argumento
Um argumento sólido é um argumento válido com as premissas verdadeiras. Um argumento sólido pode ser válido e, tendo ambas as premissas verdadeiras, deve seguir uma conclusão verdadeira.
Argumentos indutivos
Lógica indutiva é o processo de raciocínio em que as premissas de um argumento se baseiam na conclusão, mas não implicam nela. Indução é uma forma de raciocínio que faz generalizações baseadas em casos individuais.
Indução matemática não deve ser incorretamente interpretada como uma forma de raciocínio indutivo, que é considerado não-rigoroso em matemática. Apesar do nome, a indução matemática é uma forma de raciocínio dedutivo e é totalmente rigorosa.
Argumentação convincente
Um argumento é convincente se e somente se a veracidade das premissas tornar verdade a provável conclusão (isto é, o argumento é forte), e as premissas do argumento são, de fato, verdadeiras. Exemplo:
Falácias e não argumentos
Uma falácia é um argumento inválido que parece válido, ou um argumento válido com premissas "disfarçadas". Em primeiro Lugar, as conclusões devem ser declarações, capazes de serem verdadeiras ou falsas. Em segundo lugar não é necessário afirmar que a conclusão resulta das premissas. As palavras, “por isso”, “porque”, “normalmente” e “consequentemente” separam as premissas a partir da
conclusão de um argumento, mas isto não é
necessariamente assim. Exemplo: “Sócrates é um homem e todos os homens são mortais, logo, Sócrates é mortal”. Isso é claramente um argumento, já que é evidente que a afirmação de que Sócrates é mortal decorre das declarações anteriores. No entanto: “eu estava com sede e, por isso, eu bebi” não é um argumento, apesar de sua aparência. Ele não está reivindicando que eu bebi por causa da sede, eu poderia ter bebido por algum outro motivo.
Argumentos elípticos
Muitas vezes um argumento não é válido, porque existe uma premissa que necessita de algo mais para torná-lo válido. Alguns escritores, muitas vezes, deixam de fora uma premissa estritamente necessária no seu conjunto de premissas se ela é amplamente aceita e o escritor não pretende indicar o óbvio. Exemplo: Ferro é um metal, por isso, ele irá expandir quando aquecido. (premissa descartada: todos os metais se expandem quando aquecidos). Por outro lado, um argumento aparentemente válido pode ser encontrado pela falta de uma premissa - um "pressuposto oculto" - o que se descartou pode mostrar uma
falha no raciocínio. Exemplo: Uma testemunha
fundamentada diz “Ninguém saiu pela portada frente, exceto o pastor, por isso, o assassino deve ter saído pela porta dos fundos”. (hipótese que o pastor não era o assassino).
Retórica, dialé tica e diálogos argumentativos
Considerando que os argumentos são formais (como se encontram em um livro ou em um artigo de investigação), os diálogos argumentativos são dinâmicos. Servem como um registro publicado de justificação para uma afirmação. Argumentos podem também ser interativos tendo como interlocutor a relação simétrica. As premissas são discutidas, bem como a validade das inferências intermediárias.
A retórica é a técnica de convencer o interlocutor através
da oratória, ou outros meios de comunicação.
Classicamente, o discurso no qual se aplica a retórica é verbal, mas há também — e com muita relevância — o discurso escrito e o discurso visual.
Dialética significa controvérsia, ou seja, a troca de argumentos e contra-argumentos defendendo proposições. O resultado do exercício poderá não ser pura e simplesmente a refutação de um dos tópicos relevantes do ponto de vista, mas uma síntese ou combinação das afirmações opostas ou, pelo menos, uma transformação qualitativa na direção do diálogo.
Argumentos em várias disciplinas
As declarações são apresentadas como argumentos em todas as disciplinas e em todas as esferas da vida. A Lógica está preocupada com o que consititui um argumento e quais são as formas de argumentos válidos em todas as interpretações e, portanto, em todas as disciplinas. Não existem diferentes formas válidas de argumento, em disciplinas diferentes.
Argumentos matemáticos
A base de verdade matemática tem sido objeto de um longo debate. Frege procurou demonstrar, em particular, que as verdades aritméticas podem ser obtidas a partir de lógicas puramente axiomáticas e, por conseguinte, são, no final, lógicas de verdades. Se um argumento pode ser expresso sob a forma de frases em Lógica Simbólica, então ele pode ser testado através da aplicação de provas. Este tem sido realizado usando Axioma de Peano. Seja como for, um argumento em Matemática, como em qualquer outra disciplina, pode ser considerado válido apenas no caso de poder ser demonstrado que é de uma forma tal que não possa ter verdadeiras premissas e uma falsa conclusão.
Argumentos políticos
Um argumento político é um exemplo de uma argumentação lógica aplicada a política. Argumentos Políticos são utilizados por acadêmicos, meios de comunicação social, candidatos a cargos políticos e funcionários públicos. Argumentos políticos também são utilizados por cidadãos comuns em interações de comentar e compreender sobre os acontecimentos políticos.
RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO
Gustavo Henn
Considero raciocínio lógico-quantitativo como aquela ma-temática que é possível fazer de cabeça (mas na hora da prova use a cabeça, o lápis, o papel e a borracha). Na sua maioria, são problemas matemáticos básicos que a gente resolvia de olho fechado no ensino médio
1. Duas secretárias devem endereçar 720 correspondên-cias cada 3uma. A primeira é mais rápida e endereça 18 envelopes a cada 5 minutos. A segunda endereça 12 enve-lopes a cada 5 minutos. No momento em que a primeira secretária acaba sua tarefa, quantas horas a segunda secre-tária ainda deve trabalhar para concluir o trabalho?
a 1/3h b 1h 2/3 c 2h d 3h 1/2 e 5h
Como diria um professor meu, essa questão está no livro “matemática de padaria para principiantes”. A funcionária X endereça 18 a cada 5. A Y, 12 a cada 5. Elas devem ende-reçar 720 envelopes cada uma. Como responer? Note que 720 é divisível tanto por 18 quanto por 12.
Então, vamos dividir 720/18. Dá 40. Ou seja, ela precisou levar 40 vezes 5 minutos para concluir seu serviço. 40 x 5 = 200. Então, a funcionária X levou 200 minutos.
Lógica matemática
Por influência do pensamento de Aristóteles, a lógica dizia respeito, tradicionalmente, apenas às proposições da linguagem verbal. A partir do século XIX, no entanto, seus princípios foram aplicados à linguagem simbólica da mate-mática.
Lógica matemática é o conjunto de estudos que visam a expressar em signos matemáticos as estruturas e opera-ções do pensamento, deduzindo-as de um pequeno núme-ro de axiomas, com o pnúme-ropósito de criar uma linguagem rigorosa, adequada ao pensamento científico, da qual este-jam afastadas as ambigüidades próprias da linguagem co-mum. Fundamenta-se na construção de sistemas formais, ou seja, modelos, para cuja definição se enunciam certos
Matemática
A Opção Certa Para a Sua Realização
axiomas (conceitos básicos) e métodos de dedução ou demonstração.
Evolução histórica. O termo "sistema" foi proposto por Laozi (Lao-tsé) 500 anos antes da era cristã, ao dizer que "uma carroça é mais que a soma de suas partes", ou seja, que a relação entre os diversos elementos que formam a carroça faz com que ela tenha propriedades especiais e diferentes da soma das propriedades de cada um de seus componentes em separado. Aristóteles já assinalara um princípio de abstração ao descrever sistema como um con-junto de funções, características e atributos que podem ser definidos. No entanto, o termo lógica matemática denota preferencialmente o conjunto de regras e raciocínios dedu-tivos elaborado a partir da segunda metade do século XIX. Mediante a eliminação das imprecisões e erros lógicos da linguagem comum e a adoção de critérios de formalização e emprego de símbolos, a lógica formal converteu-se numa disciplina associada à matemática.
Em 1854, George Boole descobriu que os conectivos, ou operadores, propostos por Aristóteles para as proposi-ções (do tipo "e", "ou", "não" etc.) seguiam regras similares às da soma e da multiplicação. Projetou, então, a chamada álgebra de Boole, que se baseia na lógica binária de "ver-dadeiro" e "falso" como alternativas para cada proposição.
Pouco depois, Georg Cantor criou a teoria dos conjun-tos e suas operações. Definiu conjunto como a união de objetos que satisfazem propriedades exprimíveis, e conjun-to de conjunconjun-tos como um novo conjunconjun-to que contém a si mesmo, sendo um de seus próprios elementos. Bertrand Russell detectou o paradoxo desse raciocínio e argumen-tou que um conjunto pertence à primeira categoria se não contém a si mesmo, e à segunda se contém a si mesmo como elemento. Assim, se o conjunto A tem como elemen-tos os conjunelemen-tos da primeira categoria, não pode, por de-dução, pertencer a nenhuma das duas categorias mencio-nadas, ainda que inicialmente se atribuísse uma categoria a cada conjunto.
Ernst Zermelo formulou em 1904 um axioma de escolha sobre conjuntos não-vazios, isto é, que contêm elementos. Numa família de conjuntos não-vazios, qualquer que seja seu tamanho, pode-se escolher ao mesmo tempo um ele-mento de cada conjunto e considerar o conjunto A, que não podia pertencer a nenhuma categoria, como constituído desses elementos. Com esse axioma puderam ser de-monstrados teoremas matemáticos clássicos carentes de lógica aparente, mas ao mesmo tempo começou a polêmi-ca quanto à validade dos teoremas demonstrados com ba-se nele, e a equiparação destes com aqueles que não ne-cessitam desse axioma para sua demonstração. Enfim, tor-nou-se prática indicar se em determinado teorema havia sido usado ou não o axioma de escolha.
Para Kurt Gödel, um sistema matemático que só fosse suficiente para a aritmética clássica seria necessariamente incompleto. Acrescentou que qualquer sistema pode ser coerente ao se lhe incorporar o axioma de escolha, e assim se mantém quando nele se inclui a negação desse mesmo axioma. A hipótese de continuidade geral também é coe-rente com a matemática comum, que mantém a coerência quando se lhe acrescentam simultaneamente o axioma de escolha e a hipótese de continuidade geral. Essa hipótese propõe uma explicação provável de um fato ou série de fatos cuja verdadeira causa se desconhece.
Sistemas e subsistemas lógicos. No século XX, define-se sistema como um conjunto cujos elementos estão em interação e no qual prevalecem as relações recíprocas en-tre os elementos, e não os elementos em si. Por sua pró-pria natureza, sistema é um conjunto de partes, o que signi-fica que pode ser analisado. O conjunto como um todo, po-rém, não pode ser obtido pela simples acumulação das par-tes. A trama das relações entre os elementos constitui a
estrutura do sistema, ou, o que é a mesma coisa, o meca-nismo de articulação de suas partes.
As grandezas tomadas para descrever um sistema não são sempre as mesmas. Se uma delas se comporta de forma particular, deve ter propriedades que suscitam tal comportamento e dêem lugar a certas regras de organiza-ção. Os sistemas têm limites precisos, de modo que é pos-sível determinar sem ambigüidades se um elemento pre-tence a um ou a outro sistema.
Os sistemas classificam-se em fechados, se não per-mutam matéria com o exterior, mesmo que haja permuta de energia para chegar ao equilíbrio, e abertos, se podem permutar matéria e energia com o exterior e tendem à es-tabilidade. Os últimos se caracterizam por um comporta-mento não plenamente determinado por uma cadeia cau-sal, nem por puro acaso. Os sistemas abertos tendem a se manter no estado em que melhor se adequam a possíveis perturbações. Essa tendência à estabilidade lhes permite alcançar um estado final característico a partir de estados iniciais distintos e caminhos diferentes. A atuação ou com-portamento de cada subsistema ou componente de um sis-tema se difunde pelo sissis-tema inteiro. Os sissis-temas são re-presentados formalmente mediante modelos, e chama-se simulação a geração de possíveis estados do sistema pelo modelo que representa.
Conceitos de lógica matemática. O processo dedutivo matemático exige rigor. O modelo tradicional de um siste-ma consiste na apresentação das assertivas principais em forma de teoremas, como já o fizera Euclides na Grécia antiga. Formalmente, dá-se o nome de teorema a uma pro-posição cuja validade se prova por demonstração. Assim, os axiomas, que se definem como primeiros teoremas e se admitem sem demonstração, pertencem a uma categoria lógica diferente. Os teoremas se demonstram a partir de outros teoremas, mediante procedimentos de dedução ou indução nos quais se encadeiam conseqüências lógicas. A axiomática da matemática, e das ciências em geral, consti-tui o elemento básico para a dedução de teoremas deriva-dos, e a escolha adequada dos axiomas é um dos pontos mais delicados na elaboração dos modelos de qualquer sistema. Um conjunto de axiomas é aceitável, do ponto de vista matemático, quando tem coerência lógica, o que im-plica que de um mesmo axioma não é possível deduzir dois teoremas contraditórios.
Desenvolvendo certo raciocínio, conclui-se que, além dos axiomas, as próprias regras de dedução deveriam es-tar sujeitas a variações. Quando os axiomas e regras de dedução são abertos, fala-se de sistema matemático, ou formal, que exige que o sistema seja coerente uma vez es-tabelecido o método. Quando se pode demonstrar uma proposição ou sua negativa, o sistema é completo. Se um sistema que contém um teorema se altera, a mesma pro-posição, ou a que corresponde à nova entidade, passa a ser duvidosa ou inteiramente falsa. Mesmo que sua valida-de se mantenha, seria preciso uma nova valida-demonstração, devido à possibilidade de que os axiomas ou as regras de dedução do sistema tenham perdido sua pertinência.
As regras básicas da lógica matemática exigem a for-mulação de enunciados, nos quais se definem previamente os conceitos da proposição, e predicados ou sentenças matemáticas que empregam os enunciados descritos ante-riormente.
A terminologia e a metodologia da lógica matemática ti-veram, ao longo do século XX, importante papel no pro-gresso das novas ciências da informática e cibernética. Desde as origens, elas adotaram as estruturas formais da lógica binária e da álgebra de Boole e empregaram a filoso-fia de enunciado-predicado em suas proposições, numa axiomática e num conjunto de regras hipotético-dedutivas
definidas previamente. ©Encyclopaedia Britannica do Brasil Publicações Ltda.
TESTES
01 - Sabe-se que existe pelo menos um A que é B. Sabe-se, também, que todo B é C. Segue-se, portanto, necessaria-mente que
a) todo C é B b) todo C é A c) algum A é C
d) nada que não seja C é A e) algum A não é C
02- Considere as seguintes premissas (onde X, Y, Z e P são conjuntos não vazios):
Premissa 1: "X está contido em Y e em Z, ou X está contido em P"
Premissa 2: "X não está contido em P"
Pode-se, então, concluir que, necessariamente a) Y está contido em Z
b) X está contido em Z
c) Y está contido em Z ou em P
d) X não está contido nem em P nem em Y e) X não está contido nem em Y e nem em Z
03- A operação Å x é definida como o dobro do quadrado de x. Assim, o valor da expressão Å 21/2 - Å [ 1Å 2 ] é igual a a) 0
b) 1 c) 2 d) 4 e) 6
04- Um crime foi cometido por uma e apenas uma pessoa de um grupo de cinco suspeitos: Armando, Celso, Edu, Juarez e Tarso. Perguntados sobre quem era o culpado, cada um deles respondeu:
Armando: "Sou inocente" Celso: "Edu é o culpado" Edu: "Tarso é o culpado"
Juarez: "Armando disse a verdade" Tarso: "Celso mentiu"
Sabendo-se que apenas um dos suspeitos mentiu e que todos os outros disseram a verdade, pode-se concluir que o culpado é: a) Armando b) Celso c) Edu d) Juarez e) Tarso
05- Três rapazes e duas moças vão ao cinema e desejam sentar-se, os cinco, lado a lado, na mesma fila. O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que as duas moças fiquem juntas, uma ao lado da outra, é igual a a) 2 b) 4 c) 24 d) 48 e) 120
06- De um grupo de 200 estudantes, 80 estão matriculados em Francês, 110 em Inglês e 40 não estão matriculados nem em Inglês nem em Francês. Seleciona-se, ao acaso, um dos 200 estudantes. A probabilidade de que o estudante selecio-nado esteja matriculado em pelo menos uma dessas disci-plinas (isto é, em Inglês ou em Francês) é igual a
a) 30/200 b) 130/200
c) 150/200 d) 160/200 e) 190/200
07- Uma herança constituída de barras de ouro foi totalmen-te dividida entre três irmãs: Ana, Beatriz e Camile. Ana, por ser a mais velha, recebeu a metade das barras de ouro, e mais meia barra. Após Ana ter recebido sua parte, Beatriz recebeu a metade do que sobrou, e mais meia barra. Coube a Camile o restante da herança, igual a uma barra e meia. Assim, o número de barras de ouro que Ana recebeu foi: a) 1
b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
08- Chama-se tautologia a toda proposição que é sempre verdadeira, independentemente da verdade dos termos que a compõem. Um exemplo de tautologia é:
a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo
d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo
e) se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo 09- Sabe-se que a ocorrência de B é condição necessária para a ocorrência de C e condição suficiente para a ocorrên-cia de D. Sabe-se, também, que a ocorrênocorrên-cia de D é condi-ção necessária e suficiente para a ocorrência de A. Assim, quando C ocorre,
a) D ocorre e B não ocorre b) D não ocorre ou A não ocorre c) B e A ocorrem
d) nem B nem D ocorrem e) B não ocorre ou A não ocorre
10- Ou A=B, ou B=C, mas não ambos. Se B=D, então A=D. Ora, B=D. Logo: a) B ¹ C b) B ¹ A c) C = A d) C = D e) D ¹ A
11- De três irmãos – José, Adriano e Caio –, sabe-se que ou José é o mais velho, ou Adriano é o mais moço. Sabe-se, também, que ou Adriano é o mais velho, ou Caio é o mais velho. Então, o mais velho e o mais moço dos três irmãos são, respectivamente: a) Caio e José b) Caio e Adriano c) Adriano e Caio d) Adriano e José e) José e Adriano
12- Se o jardim não é florido, então o gato mia. Se o jardim é florido, então o passarinho não canta. Ora, o passarinho canta. Logo:
a) o jardim é florido e o gato mia b) o jardim é florido e o gato não mia c) o jardim não é florido e o gato mia d) o jardim não é florido e o gato não mia e) se o passarinho canta, então o gato não mia
13- Três amigos – Luís, Marcos e Nestor – são casados com Teresa, Regina e Sandra (não necessariamente nesta ordem). Perguntados sobre os nomes das respectivas espo-sas, os três fizeram as seguintes declarações:
Matemática
A Opção Certa Para a Sua Realização
Luís: "Nestor está mentindo, pois a esposa de Marcos é Regina"
Marcos: "Nestor e Luís mentiram, pois a minha esposa é Sandra"
Sabendo-se que o marido de Sandra mentiu e que o marido de Teresa disse a verdade, segue-se que as esposas de Luís, Marcos e Nestor são, respectivamente:
a) Sandra, Teresa, Regina b) Sandra, Regina, Teresa c) Regina, Sandra, Teresa d) Teresa, Regina, Sandra e) Teresa, Sandra, Regina
14- A negação da afirmação condicional "se estiver choven-do, eu levo o guarda-chuva" é:
a) se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva b) não está chovendo e eu levo o guarda-chuva c) não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva d) se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva e) está chovendo e eu não levo o guarda-chuva
15- Dizer que "Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista" é, do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer que:
a) se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista b) se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro c) se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista d) se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista e) se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista 16- Se Frederico é francês, então Alberto não é alemão. Ou Alberto é alemão, ou Egídio é espanhol. Se Pedro não é português, então Frederico é francês. Ora, nem Egídio é espanhol nem Isaura é italiana. Logo:
a) Pedro é português e Frederico é francês b) Pedro é português e Alberto é alemão c) Pedro não é português e Alberto é alemão d) Egídio é espanhol ou Frederico é francês e) Se Alberto é alemão, Frederico é francês
17- Se Luís estuda História, então Pedro estuda Matemática. Se Helena estuda Filosofia, então Jorge estuda Medicina. Ora, Luís estuda História ou Helena estuda Filosofia. Logo, segue-se necessariamente que:
a) Pedro estuda Matemática ou Jorge estuda Medicina b) Pedro estuda Matemática e Jorge estuda Medicina c) Se Luís não estuda História, então Jorge não estuda Me-dicina
d) Helena estuda Filosofia e Pedro estuda Matemática e) Pedro estuda Matemática ou Helena não estuda Filosofia 18- Se Pedro é inocente, então Lauro é inocente. Se Roberto é inocente, então Sônia é inocente. Ora, Pedro é culpado ou Sônia é culpada. Segue-se logicamente, portanto, que: a) Lauro é culpado e Sônia é culpada
b) Sônia é culpada e Roberto é inocente c) Pedro é culpado ou Roberto é culpado d) Se Roberto é culpado, então Lauro é culpado e) Roberto é inocente se e somente se Lauro é inocente 19- Maria tem três carros: um Gol, um Corsa e um Fiesta. Um dos carros é branco, o outro é preto, e o outro é azul. Sabe-se que: 1) ou o Gol é branco, ou o Fiesta é branco, 2) ou o Gol é preto, ou o Corsa é azul, 3) ou o Fiesta é azul, ou o Corsa é azul, 4) ou o Corsa é preto, ou o Fiesta é preto. Portanto, as cores do Gol, do Corsa e do Fiesta são, respec-tivamente,
a) branco, preto, azul b) preto, azul, branco c) azul, branco, preto d) preto, branco, azul e) branco, azul, preto
20- Um rei diz a um jovem sábio: "dizei-me uma frase e se ela for verdadeira prometo que vos darei ou um cavalo veloz, ou uma linda espada, ou a mão da princesa; se ela for falsa, não vos darei nada". O jovem sábio disse, então: "Vossa Majestade não me dará nem o cavalo veloz, nem a linda espada".
Para manter a promessa feita, o rei: a) deve dar o cavalo veloz e a linda espada
b) deve dar a mão da princesa, mas não o cavalo veloz nem a linda espada
c) deve dar a mão da princesa e o cavalo veloz ou a linda espada
d) deve dar o cavalo veloz ou a linda espada, mas não a mão da princesa
e) não deve dar nem o cavalo veloz, nem a linda espada, nem a mão da princesa
GABARITO 01 C 02 B 03 C 04 E 05 D 06 D 07 E 08 A 09 C 10 A 11 B 12 C 13 D 14 E 15 A 16 B 17 A 18 C 19 E 20 B
LÓGICA SENTENCIAL E DE PRIMEIRA
ORDEM
Elementos de Lógica sentencial
1. A diferença entre a lógica sentencial e a lógica de pre-dicados
A lógica divide-se em lógica sentencial e lógica de predi-cados. A lógica sentencial estuda argumentos que não de-pendem da estrutura interna das sentenças. Por exemplo:
(1)
Se Deus existe, então a felicidade eterna é possível. Deus existe.
Logo, a felicidade eterna é possível.
A validade do argumento (1) depende do modo pelo qual as sentenças são conectadas, mas não depende da estrutu-ra interna das sentenças. A forma lógica de (1) deixa isso claro:
(1a)
Se A, então B. A.
Logo, B.
Diferentemente, a lógica de predicados estuda argumen-tos cuja validade depende da estrutura interna das
senten-ças. Por exemplo: (2)
Todos os cariocas são brasileiros. Alguns cariocas são flamenguistas. Logo, alguns brasileiros são flamenguistas. A forma lógica de (2) é a seguinte:
(2a) Todo A é B. Algum A é C. Logo, algum B é A.
A primeira premissa do argumento (2) diz que o conjunto dos indivíduos que são cariocas está contido no conjunto dos brasileiros. A segunda, diz que ‘dentro’ do conjunto dos cariocas, há alguns indivíduos que são flamenguistas. É fácil concluir então que existem alguns brasileiros que são fla-menguistas, pois esses flamenguistas que são cariocas serão também brasileiros. Essa conclusão se segue das premissas.
Note, entretanto, que as sentenças ‘todos os cariocas são brasileiros’ e ‘alguns cariocas são flamenguistas’ têm uma estrutura diferente da sentença ‘se Deus existe, a felici-dade eterna é possível’. Esta última é formada a partir de duas outras sentenças ‘Deus existe’ e ‘a felicidade eterna é possível’, conectadas pelo operador lógico se...então. Já para analisar o argumento (2) precisamos analisar a estrutu-ra interna das sentenças, e não apenas o modo pelo qual sentenças são conectadas umas às outras. O que caracteri-za a lógica de predicados é o uso dos quantificadores todo, algum e nenhum. É por esse motivo que a validade de um argumento como o (2) depende da estrutura interna das sentenças. A diferença entre a lógica sentencial e a lógica de predicados ficará mais clara no decorrer desta e da próxima unidade.
Usualmente o estudo da lógica começa pela lógica sen-tencial, e seguiremos esse caminho aqui. Nesta unidade vamos estudar alguns elementos da lógica sentencial. Na próxima unidade, estudaremos elementos da lógica de pre-dicados.
2. Sentenças atômicas e moleculares Considere-se a sentença
(1) Lula é brasileiro.
A sentença (1) é composta por um nome próprio, ‘Lula’, e um predicado, ‘... é brasileiro’. Em lógica, para evitar o uso de ‘...’, usamos uma variável para marcar o(s) lugar(es) em que podemos completar um predicado. Aqui, expressões do tipo x é brasileiro designam predicados. Considere agora a sentença (2) Xuxa é mãe de Sasha.
A sentença (2) pode ser analisada de três maneiras dife-rentes, que correspondem a três predicados diferentes que podem ser formados a partir de (2):
(2a) x é mãe de Sasha; (2b) Xuxa é mãe de x; (2c) x é mãe de y.
Do ponto de vista lógico, em (2c) temos o que é chamado de um predicado binário, isto é, um predicado que, diferen-temente de x é brasileiro, deve completado por dois nomes próprios para formar uma sentença.
As sentenças (1) e (2) acima são denominadas senten-ças atômicas. Uma sentença atômica é uma sentença for-mada por um predicado com um ou mais espaços vazios, sendo todos os espaços vazios completados por nomes próprios. Sentenças atômicas não contêm nenhum dos ope-radores lógicos e, ou, se...então etc., nem os quantificadores todo, nenhum, algum etc.
Sentenças moleculares são sentenças formadas com o auxílio dos operadores sentenciais. Exemplos de sentenças moleculares são
(3) Lula é brasileiro e Zidane é francês, (4) Se você beber, não dirija,
(5) João vai à praia ou vai ao clube.
3. A interpretação vero-funcional dos operadores senten-ciais
Os operadores sentenciais que estudaremos aqui são as partículas do português não, ou, e, se...então, se, e somente se. A lógica sentencial interpreta esses operadores como funções de verdade ou vero-funcionalmente. Isso significa que eles operam apenas com os valores de verdade dos seus operandos, ou em outras palavras, o valor de verdade de uma sentença formada com um dos operadores é deter-minado somente pelos valores de verdade das sentenças que a constituem.
Os operadores sentenciais se comportam de uma manei-ra análoga às funções matemáticas. Estas recebem números como argumentos e produzem números como valores. Os operadores sentenciais são funções porque recebem valores de verdade como argumentos e produzem valores de verda-de. Considere-se a seguinte função matemática:
(4) y
Dizemos que y
i-fica que o valor de y depende do valor atribuído a x. Quando x 1, y 2;
x 2, y 3; x 3, y 4,
e assim por diante. Analogamente a uma função mate-mática, uma função de verdade recebe valores de verdade como argumentos e produz valores de verdade como valo-res.
As chamadas tabelas de verdade mostram como os ope-radores da lógica sentencial funcionam.
No lado esquerdo da tabela de verdade temos as sen-tenças a partir das quais a sentença composta foi formada – no caso da negação, uma única sentença. O valor produzido pela função de verdade está na coluna da direita. As letras V e F representam os valores de verdade verdadeiro e falso.
4. A negação
Comecemos pelo operador sentencial mais simples, a negação. A tabela de verdade da negação de uma sentença A é
A não A V F F V
A negação simplesmente troca o valor de verdade da sentença. Uma sentença verdadeira, quando negada, produz uma sentença falsa, e vice-versa.
Há diferentes maneiras de negar uma sentença atômica em português. Considere a sentença verdadeira
(5) Lula é brasileiro. As sentenças
(6) Não é o caso que Lula é brasileiro, (7) Não é verdade que Lula é brasileiro e
(8) É falso que Lula é brasileiro
são diferentes maneiras de negar (5). Como (5) é uma sentença atômica, podemos também negar (5) por meio da sentença
