Controle de posição de um gerador de ondas utilizando um servo-mecanismo hidráulico

Texto

(1)UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO - UFRJ ´ ESCOLA POLITECNICA ˆ ˜ - DEL DEPARTAMENTO DE ELETRONICA E DE COMPUTAC ¸ AO. ˜ DE UM GERADOR DE ONDAS UTILIZANDO UM CONTROLE DE POSIC ¸ AO ´ SERVO-MECANISMO HIDRAULICO. Autor: Rodrigo Martins Vila¸ca. Banca Examinadora:. Orientador: Fernando Cesar Lizarralde, D. Sc.. Co-orientador: F´ abio Nascimento de Carvalho, M. Sc.. Examinador: Jomar Gozzi, M. Sc.. Examinador: Alessandro Jacoud Peixoto, M. Sc.. DEL Novembro de 2005.

(2) Ao meu grande amor Nathalie.. ii.

(3) Agradecimentos Os seguintes agradecimentos devem ser feitos às pessoas que contribu´ıram de alguma forma com a realiza¸cão deste projeto: • aos meus pais, que não contribu´ıram de forma direta com este projeto, mas realizaram o trabalho mais importante de todos, que foi a minha forma¸cão; • ao meu orientador Fernando Lizarralde, por ter tido toda a paciência necessária para ag¨ uentar os meus constantes sumi¸cos e por ter fornecido dicas, conselhos e conhecimentos técnicos de grande importˆ ancia; • ao meu co-orientador e chefe F´ abio Nascimento, também pela enorme paciência com que aguardou o fim do trabalho, mas principalmente pela confian¸ca que teve em mim; • ao funcion´ ario do LIOc Luiz Antônio Ferreira, pela imensa ajuda durante as incont´ aveis montagens do equipamento do sistema de gera¸cão de ondas; • a Gustavo Carvalho, pelas muitas e valiosas dicas de LATEX.. iii.

(4) Resumo Este trabalho apresenta a descri¸cão do projeto e da implementa¸cão de um sistema de controle em malha fechada para um sistema de gera¸cão de ondas de um canal de testes, onde o atuador é um servo-mecanismo hidr´ aulico composto de uma servo-v´ alvula e um cilindro hidr´ aulico. A etapa de projeto iniciou-se com a modelagem matemática do servo-mecanismo hidr´ aulico, descrito por equa¸cões não-lineares que foram posteriormente linearizadas visando a utiliza¸cão de controle linear. Concomitantemente, foi aplicado ao sistema real um algoritmo de identifica¸cão que tinha como objetivo obter sua curva de resposta em freq¨ uência. Com este conjunto de informa¸cões foi poss´ıvel chegar a poss´ıveis modelos finais que foram utilizados para simula¸cões no computador.. Na etapa de projeto de controladores foi implementado um controlador digital do tipo PID, sintonizado a partir de simula¸cões utilizando os modelos obtidos durante o processo de identifica¸cão. Em seguida, foi elaborado um controlador adaptativo que teve como objetivo principal contornar o problema da existência de incertezas paramétricas e varia¸cão temporal lenta dos parˆ ametros do sistema, o que não poderia ser alcan¸cado através da utiliza¸cão do controlador PID convencional. Para ambos os controladores foi feita uma série de simula¸cões com o objetivo de fazer uma previsão acerca do comportanto do sistema de malha fechada antes de uma poss´ıvel implementa¸cão real.. A implementa¸cão dos algoritmos de controle PID e adaptativo foi feita inteiramente sob a forma digital, através de um computador. Além disso, foi criado um aplicativo que gerencia todo o processo de gera¸cão de ondas e que utiliza os algoritmos de controle desenvolvidos durante o projeto. Todo o software foi escrito utilizando linguagem de programa¸cão gr´ afica LabVIEW.. iv.

(5) Palavras-chave Gera¸cão de ondas, sistemas hidr´ aulicos, servo-v´ alvulas, ondas regulares e irregulares, resposta em freq¨ uência, modelagem matemática e identifica¸cão de sistemas dinâmicos, sistemas nãolineares, lineariza¸cão de sistemas, controle digital, controladores PID, controle adaptativo e LabVIEW.. v.

(6) Sum´ ario Agradecimentos. iii. Resumo. iv. Palavras-chave Sum´ ario. v vi. 1 Introdu¸ c˜ ao. 1. 1.1. Breve hist´ orico do canal de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2. 1.2. Objetivo do projeto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2. 1.3. Organiza¸cão deste documento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. 2 Descri¸ c˜ ao do sistema 2.1. 2.2. 2.3. Gerador de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4. 2.1.1. Sistema hidr´ aulico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. 2.1.2. Sensor de posi¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6. 2.1.3. Filtro passa-baixas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7. 2.1.4. Sensores de parada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8. Sistema de controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8. 2.2.1. Planta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10. 2.2.2. Sinais de referência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10. 2.2.3. Requisitos de desempenho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 11. Programa de gera¸cão de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 12. 2.3.1. Funcionalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 12. 2.3.2. Linguagem de programa¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 14. 3 Identifica¸ c˜ ao do sistema 3.1. 4. 16. Modelo matem´ atico do sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 16. 3.1.1. Cilindro hidr´ aulico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 16. 3.1.2. Servo-v´ alvula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 19. 3.1.3. Sensor de posi¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 22. 3.1.4. Filtro passa-baixas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 23 vi.

(7) 3.1.5. Modelo completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 24. 3.2. An´ alise do modelo matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 25. 3.3. Processo de identifica¸cão do sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 28. 3.3.1. Sensor de posi¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 28. 3.3.2. Verifica¸cão da propriedade de superposi¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 28. 3.3.3. Algoritmo de identifica¸cão n˜ ao-paramétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 31. 3.3.4. Aplica¸cão do algoritmo ao filtro passa-baixas . . . . . . . . . . . . . . . . .. 34. 3.3.5. Aplica¸cão do algoritmo ao sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 35. Dinˆ amicas não-modeladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 37. 3.4.1. Satura¸cões. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 38. 3.4.2. Zona morta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 39. 3.4.3. Influência da temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 40. 3.4.4. Vazamento de o´leo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 41. 3.4.5. Atraso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 42. Modelo para projeto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 42. 3.5.1. Modelo cont´ınuo no tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43. 3.5.2. Modelo ZOH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 44. 3.4. 3.5. 4 Controle PID. 46. 4.1. Vers˜ ao teórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 47. 4.2. Vers˜ ao pr´ atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 47. 4.3. Discretiza¸cão do PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 49. 4.4. Implementa¸cão em software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 50. 4.5. Método de sintonia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 52. 4.6. Simula¸cões. 53. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5 Controle adaptativo. 57. 5.1. Conceito de controle adaptativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 57. 5.2. Motiva¸cão de uso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 58. 5.3. Controle adaptativo por modelo de referência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 58. 5.4. Controle adaptativo de sistemas lineares utilizando realimenta¸cão de sa´ıda . . . . .. 60. Sistemas de 1a ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 63. 5.4.1. a. Sistemas de 2 ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 66. 5.5. Implementa¸cão em software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 72. 5.6. Simula¸cões. 73. 5.4.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6 Conclus˜ oes. 80. A Fundamentos te´ oricos. 82. A.1 Sistemas lineares e não-lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 82. A.1.1 Lineariza¸cão de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 82 vii.

(8) A.2 Propriedades de sistemas lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 84. A.2.1 Propriedade de superposi¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 84. A.2.2 Resposta a uma entrada senoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 86. A.3 Representa¸cão de sistemas lineares com atraso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 88. A.3.1 Aproxima¸cão de Padé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 89. A.3.2 Preditor de Smith . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 89. A.4 Representa¸cão de sistemas amostrados no tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 92. A.4.1 Modelo ZOH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 92. A.4.2 Sistemas com atraso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 95. viii.

(9) Cap´ıtulo 1. Introdu¸ c˜ ao Nos u ´ ltimos anos assistimos a` retomada do crescimento da ind´ ustria naval e offshore no Brasil, especialmente no Estado do Rio de Janeiro. A reativa¸cão deste setor, constru´ıda com investimentos de capital nacional e também estrangeiro, pˆ ode ser notada através do crescimento de ofertas de emprego, da moderniza¸cão de portos e da volta ao funcionamento de estaleiros que anteriormente encontravam-se desativados. Na verdade, o setor naval é estratégico para qualquer pa´ıs que possua um extenso litoral, como no caso do Brasil, e portanto o investimento neste setor é mandatório.. No entanto, é necessário que os investimentos não sejam destinados apenas aos setores comercial e industrial, mas sim que os mesmos atinjam também os grandes centros de pesquisa, sejam eles privados ou p´ ublicos. Estes sim s˜ ao os verdadeiros alavancadores do progresso, pois desenvolvem as tecnologias necess´ arias para o crescimento de um pa´ıs. Felizmente, no caso do Brasil, os investimentos chegaram com for¸ca aos centros de pesquisa do pa´ıs, muitos deles localizados dentro de universidades, como é o caso da UFRJ.. Um exemplo de investimento numa atividade de pesquisa do setor offshore é o projeto de reativa¸cão do canal de testes da COPPE, conhecido principalmente como canal de ondas. Trata-se de uma estrutura em forma de um longo canal capaz de armazenar um grande volume de a´gua dentro de si, com o objetivo de reproduzir um ambiente offshore. A principal atividade do canal é a realiza¸cão de ensaios (testes) em escala reduzida com modelos de plataformas, navios e estruturas offshore em geral, com o objetivo de obter maiores informa¸cões acerca de seu comportamento em situa¸cões reais no mar. O p´ ublico alvo do canal s˜ ao os alunos do curso de Engenharia Naval da UFRJ, que realizam os experimentos pr´ aticos como atividade complementar das disciplinas te´ oricas de seu curso.. Como o objetivo principal do canal é reproduzir as condi¸cões reais do mar em escala reduzida, ele possui em uma de suas extremidades um equipamento capaz de produzir ondas,.

(10) chamado de gerador de ondas. Inicialmente, ap´ os a sua instala¸cão, o gerador de n˜ ao possu´ıa nenhuma espécie de sistema de controle e muito menos uma interface1 homem-máquina para que pudesse ser operado com facilidade. A partir deste fato surgiu o tema do presente trabalho: a elabora¸cão de um sistema de controle de simples opera¸cão para o gerador de ondas do canal de testes.. 1.1. Breve hist´ orico do canal de ondas O canal de ondas da COPPE fica situado nos fundos do bloco C do Centro de Tecnologia. (CT). Possuindo 32 metros de comprimento, 1 metro de largura e 1 metro de altura2 , ele comporta o volume total de 32 mil litros (32 m3 ) de água.. Ele foi constru´ıdo na década de 70 com o mesmo objetivo que possui até hoje, ou seja, o de ser local de experimentos acadêmicos e cient´ıficos em escala reduzida. J´ a naquela época ele possuia um sistema de gera¸cão de ondas rudimentar, que s´ o permitia a gera¸cão de ondas regulares3, e mesmo assim com limita¸cões de opera¸cão. A interface homem-máquina era bastante rudimentar, feita através de alguns bot˜ oes e potenciômetros de controle.. Ap´ os alguns poucos anos de uso o canal tornou-se obsoleto e foi praticamente abandonado. No ano de 2001 foi iniciado o projeto de revitaliza¸cão que j´ a foi citado anteriormente, que visava restaur´ a-lo e principalmente moderniz´ a-lo para que viesse a ser usado pelos alunos novamente. O projeto previa também a substitui¸cão completa do gerador de ondas por um novo e mais moderno, o que foi feito no mesmo ano.. Em 2002 foi desenvolvido o primeiro sistema de controle para o novo gerador de ondas do canal. Tratava-se de um controlador do tipo PID implementado digitalmente. O controlador funciona bem até hoje, porém seus parâmetros foram ajustados empiricamente, sem nenhum embasamento teórico ou qualquer conhecimento da dinˆ amica da planta, o que faz com que eles tenham que ser reajustados freq¨ uentemente.. 1.2. Objetivo do projeto O objetivo do presente trabalho é, portanto, projetar e implementar um sistema de con-. trole para o gerador de ondas do canal, tornando-o operacional para que possa vir a ser utilizado como laboratório de testes para pesquisas desenvolvidas na UFRJ, especialmente pelos alunos dos 1A. palavra interface é um neologismo e j´ a consta nos dicion´ arios atuais de l´ıngua portuguesa.. 2 Altura 3A. relativa ` a parede do canal. A altura da lˆ amina d’´ agua ´ e de aproximadamente 0,8 metros.. defini¸c˜ ao deste tipo de onda ser´ a apresentada no cap´ıtulo 2.. 2.

(11) cursos de gradua¸cão e p´ os-gradua¸cão do PENO - Programa de Engenharia Naval e Oceˆ anica.. Trata-se de um projeto de ordem essencialmente prática, onde a meta principal é criar um sistema que seja funcional, porém busca-se um conhecimento maior da dinâmica da planta, um modelo teórico aceitável e a utiliza¸cão de técnicas de controle que sejam devidamente justificadas pela teoria.. 1.3. Organiza¸ c˜ ao deste documento A documenta¸cão deste trabalho é organizada da seguinte forma: no cap´ıtulo 2 s˜ ao descritos. o sistema do gerador de ondas e as diversas partes que compõem seu sistema de controle, o que inclui sensores, hardware digital e software. Tal descri¸cão é necessária para entender o funcionamento geral do sistema de gera¸cão de ondas.. Posteriormente, no cap´ıtulo 3, é feito o processo de identifica¸cão da planta do gerador de ondas, que envolve as etapas de modelagem matemática e de identifica¸cão através de medi¸cões em campo. A partir dos resultados destas etapas obtém-se modelos matemáticos de representa¸cão da planta que ser˜ ao utilizados nos cap´ıtulos seguintes.. No cap´ıtulo 4 é apresentada uma versão de um controlador PID que foi implementada através de software e que pode ser utilizada para controlar a planta descrita no cap´ıtulo 3. O cap´ıtulo descreve as formula¸cões teóricas e pr´ aticas do controlador, os métodos de discretiza¸cão u ´ tilizados, alguns detalhes de implementa¸cão e por fim apresenta simula¸cões.. O cap´ıtulo 5 apresenta um controlador adaptativo como solu¸cão para contornar os problemas de incerteza paramétrica e de varia¸cão temporal de parˆ ametros da planta, apresentados principalmente no cap´ıtulo 3. S˜ ao apresentadas formula¸cões teóricas de controladores adaptativos e suas versões discretizadas, apropriadas para implementa¸cão em software. O cap´ıtulo termina com a realiza¸cão de simula¸cões.. Por fim, o cap´ıtulo 6 apresenta uma an´ alise cr´ıtica dos principais resultados obtidos durante a realiza¸cão deste trabalho.. 3.

(12) Cap´ıtulo 2. Descri¸c˜ ao do sistema No presente cap´ıtulo, o sistema de gera¸cão de ondas ser´ a descrito em detalhes. Ele engloba o gerador de ondas do canal e seu sistema de controle. Naturalmente, estes dois sistemas principais também podem ser subdivididos em sub-sistemas que ser˜ ao apresentados e descritos ao longo do texto. O transcorrer do cap´ıtulo ocorrer´ a da seguinte maneira: inicialmente, ser´ a feita a apresenta¸cão da estrutura do canal de ondas e do gerador de ondas presente numa de suas extremidades. Em seguida, ser˜ ao descritos os componentes que juntos formam o sistema de controle do gerador de ondas. Por fim, serão apresentadas alguma caracter´ısticas do programa (software) que implementa os algoritmos do sistema de controle e que gera a interface para que o operador utilize o gerador de ondas. Um n´ umero maior de informa¸cões a respeito das caracter´ısticas técnicas assim como de projeto dos sistemas hidráulico e mecânico do gerador de ondas pode ser encontrado na referência [1].. 2.1. Gerador de ondas O gerador de ondas é composto por outros três sub-sistemas principais: um sistema. hidr´ aulico, que inclui uma servo-v´ alvula e um cilindro hidr´ aulico; um sistema mecˆ anico, que engloba uma p´ a mecânica (conhecida principalmente como batedor), que efetivamente gera as ondas no canal e um sistema elétrico, que é responsável pela alimenta¸cão da v´ alvula e demais equipamentos. Há ainda um sensor de posi¸cão preso a` p´ a mecânica e dois sensores de parada, que limitam o movimento dela a um determinado espa¸co f´ısico, garantindo assim que ela nunca atinja sua excursão máxima. Esses sensores funcionam como uma prote¸cão, no caso de algum problema que ocasione a perda de controle sobre o batedor. Além disso, há também um filtro do tipo passa-baixas para elimina¸cão de ru´ıdo proveniente da rede elétrica ou de outras fontes. A figura 2.1 mostra um esbo¸co do canal em conjunto com o gerador de ondas.. O funcionamento geral do gerador de ondas ocorre da seguinte maneira: ao ser excitada com um determinado sinal de tensão, a servo-v´ alvula gera uma enorme press˜ ao no seu fluido in-.

(13) Sensor de posição. Válvula e atuador. Onda Haste. Pá mecânica Água. Figura 2.1: esbo¸co do canal de ondas.. terno que é imediatamente aplicada ao cilindro hidr´ aulico, pois este se encontra acoplado a` primeira através de mangueiras. Tal pressão faz com que haja um deslocamento do cilindro, que por estar preso mecanicamente ao batedor, faz com que este também se movimente. Por fim, tal movimento é transmitido diretamente para a água do canal, gerando ondas ao longo deste.. O gerador de ondas pode operar de duas formas distintas, no que diz respeito a` maneira como o batedor se movimenta. No modo flap ou pivotado a extremidade deste é afixada ao fundo do canal, fazendo com que se movimente de forma similar a um pêndulo invertido; no modo pist˜ ao o batedor opera com as extremidades livres, permanecendo na posi¸cão vertical durante o tempo todo e deslocando-se apenas horizontalmente. Ambos os modos, ilustrados na figura 2.2, permitem que sejam geradas ondas de ´ aguas profundas, onde o movimento das part´ıculas fluidas se dá apenas na superf´ıcie, sem atingir totalmente o fundo do canal (ou do mar, numa situa¸cão real) e também ondas de ´ aguas rasas, onde o movimento é sentido também fundo. A alternˆ ancia entre os dois modos é feita alterando os encaixes de algumas partes mecânicas do sistema, sem que haja a necessidade de se esvaziar o canal para realizar tal procedimento.. 2.1.1. Sistema hidr´ aulico O conjunto formado pela servo-v´ alvula e o cilindro hidr´ aulico recebe o nome de planta ou. sistema hidr´ aulico. Atuadores de natureza hidr´ aulica apresentam algumas vantagens em rela¸cão a outros sistemas de naturezas diferentes, mas que podem ser usados em aplica¸cões semelhantes. Algumas dessas vantagens s˜ ao [2]: • são capazes de desenvolver grandes potências ou torques, e no entanto possuem tamanho relativamente pequeno; • seu pr´ oprio fluido interno age como lubrificante;. 5.

(14) movimento. cilindro hidráulico. extremidade fixa. movimento. extremidade livre. Modo flap. Modo pistão. Figura 2.2: modos de opera¸cão do sistema de gera¸cão de ondas.. • possuem grande velocidade de resposta, seja para partidas, paradas ou revers˜ oes rápidas de velocidade; • podem ser operados sob condi¸cões cont´ınuas de reversão e parada repentina, sem sofrer avarias; • n˜ ao alteram muito sua resposta mesmo quando ocorre uma mudan¸ca muito grande no valor da carga; • existem muitos atuadores lineares e rotativos, o que pode facilitar o projeto. Em contrapartida, sistemas hidr´ aulicos podem sofrer muitas restri¸cões quanto ao seu uso, devido a algumas desvantagens [2]: • possuem custo muito elevado, se comparados a outros tipos sistemas; • são suscet´ıveis a fogo e explos˜ oes, quando o fluido interno é inflam´ avel; • nomalmente é dif´ıcil mantê-los livres de vazamentos, que se acumulam com o passar do tempo, deteriorando o desempenho do sistema; • sua resposta é influenciada pela temperatura do fluido interno; • seu projeto pode ser consideravelmente mais complexo, nos casos onde há fortes n˜ ao-linearidades.. 2.1.2. Sensor de posi¸ c˜ ao A fun¸cão do sensor de posi¸cão é fornecer ao sistema de controle do gerador de onda a. posi¸cão do batedor a cada instante de tempo. Seu transdutor interno é um LVDT (Linear Variable Differential Transformer ) e sua interface é feita através de uma espécie de régua que possui um mecanismo deslizante acoplado, cuja posi¸cão gera diferentes valores de sa´ıda ao longo dela. O tamanho da régua é de aproximadamente 52 cm, correspondendo a uma excursão de 4 a 20 mA. 6.

(15) de corrente de sa´ıda.. Um resistor de precis˜ ao de valor nominal 249,9 Ω é colocado em série com a sa´ıda do sensor para gerar um sinal de tensão entre 1 e 5 V, o que torna o sinal de sa´ıda pass´ıvel de ser lido pelo conversor analógico-digital da placa de aquisi¸cão de dados, cuja entrada trabalha apenas com sinais de tensão, como ser´ a visto na se¸cão 2.2.. A caracter´ıstica mais desejável em instrumentos desta natureza é a linearidade, pois os torna muito mais simples de serem calibrados e utilizados. Como será visto na se¸cão 3.3.1, a calibra¸cão deste sensor revela que sua linearidade é muito boa, fato que recomenda fortemente a sua utiliza¸cão.. 2.1.3. Filtro passa-baixas O gerador de ondas possui um filtro passa-baixas cuja fun¸cão é a de eliminar os sinais. de ru´ıdo que possam porventura contaminar o sistema. São diversas as fontes de sinais de ru´ıdo, mas no caso do canal de ondas a pr´ opria rede elétrica local é responsável por grande parte de sua gera¸cão, manifestado através do sinal de 60 Hz caracter´ıstico de redes elétricas, transientes e harmˆ onicos de ordens superiores. A n˜ ao utiliza¸cão de uma filtragem de ru´ıdos inviabiliza a utiliza¸cão do sistema de gera¸cão, fato que foi comprovado através de testes realizados sem a presen¸ca do filtro.. O filtro passa-baixas também é fabricado pela National Instruments (NI), e faz parte de um sistema de condicionamento de sinais chamado SCC, que possibilita uma total integra¸cão com o hardware do mesmo fabricante. O SCC permite a escolha de módulos de filtragem com diferentes especifica¸cões, incluindo a freq¨ uência de corte dos filtros, dentre os quais foi escolhido o modelo SCC-AI13, que possui freq¨ uência de corte (3 dB) nominal de 4 Hz.. A estrutura interna do SCC-AI13 é composta por um módulo de amplifica¸cão seguido de outro de filtragem. Ambos s˜ ao constitu´ıdos de amplificadores operacionais, o que significa que o filtro passa-baixas é anal´ ogico e ativo. Além disso, ele é linear (na sua regi˜ ao de opera¸cão) e invariante no tempo. Sabe-se também que ele é de terceira ordem, pois contém três pólos. Todas essas informa¸cões podem ser encontradas em seu manual do usu´ ario. Os valores de cada p´ olo são entretanto desconhecidos, pois não são fornecidos pelo manual e este n˜ ao faz nenhuma referência a algum tipo de filtro espec´ıfico, como Butterworth ou El´ıptico, por exemplo. Portanto, a melhor maneira de contornar o problema do desconhecimento dos valores dos pólos é utilizar algum processo de identifica¸cão, o que ser´ a feito no cap´ıtulo 3.. 7.

(16) 2.1.4. Sensores de parada Os sensores de parada, chamados também de chaves de fim de curso, têm como objetivo. limitar o movimento da p´ a mecânica da planta, como j´ a foi citado anteriormente. A p´ a possui uma excursão simétrica de aproximadamente 25 cent´ımetros, contados a partir da posi¸cão vertical, o que significa que os dois sensores ficam afastados por cerca de 50 cent´ımetros. O sensor de parada é na verdade um sensor indutivo de proximidade, que funciona como uma chave que tem seu estado alternado quando algum objeto met´ alico, no caso o batedor, se encontra a uma distˆ ancia menor do que a chamada distˆ ancia sensora, que é de 1,5 cent´ımetros. Portanto, o posicionamento dos sensores tem que ser feito de forma que ao atingir algum dos limites m´ aximos de excursão, o batedor esteja localizado a menos de 1,5 cent´ımetros de algum deles (dependendo do sentido do movimento), ocorrendo uma comuta¸cão de estado que faz com a que a alimenta¸cão da servo-v´ alvula seja cortada e o movimento do batedor cesse. Isso evita qualquer tipo de choque mecˆ anico entre as pe¸cas do sistema, coibindo também poss´ıveis vazamentos de óleo através das mangueiras.. 2.2. Sistema de controle O sistema de controle do gerador de ondas é composto de um computador pessoal (PC),. uma placa de aquisi¸cão de dados (DAQ board ) e uma planta, que neste caso é dividida em planta hidr´ aulica, sensor de posi¸cão e filtro passa-baixas. A figura 2.3 mostra a disposi¸cão de cada uma destas partes no contexto geral do sistema, assim como o fluxo de informa¸cões dentro deste.. O funcionamento do sistema ocorre da seguinte forma: no computador é instalado um programa respons´ avel pelo controle total do sistema. O programa é denominado SISCOGEO (Sistema de Controle do Gerador de Ondas) e suas principais fun¸cões são fornecer uma interface gr´ afica amigável para os usuários do canal, exercer o controle sobre a placa de aquisi¸cão de dados, ou qualquer outro dispositivo quando poss´ıvel e, principalmente, executar o algoritmo de controle da planta. A comunica¸cão entre a placa de aquisi¸cão e o computador é feita através de seu barramento PCI interno. A placa possui um processador interno que trabalha em tempo real (RT), o que garante que a temporiza¸cão do sistema seja extremamente confiável, isto é, as opera¸cões de leitura e escrita são executadas precisamente nos instantes de tempo para os quais são programadas. Ao ser inicializado, o SISCOGEO é automaticamente carregado para a memória RAM da placa de aquisi¸cão, e então é executado pelo processador RT, o que significa que o programa é executado em um processador dedicado. Esta é a grande vantagem da plataforma de tempo real. Desta forma, o computador pessoal gerencia apenas os processos do sistema operacional e dos demais aplicativos.. A placa de aquisi¸cão possui um conversor digital-anal´ ogico responsável pela gera¸cão do sinal do atuador, que é calculado pelo algoritmo de controle. Este sinal é aplicado a` planta hidr´ aulica, que em seguida tem seu movimento medido por um sensor de posi¸cão. O sinal de sa´ıda deste é 8.

(17) PC. Barramento PCI. Placa de aquisição de dados A/D. sinal do. Processador D/A Real Time. Filtro passa−baixas. atuador. sinal de posição da planta. Planta hidráulica. Sensor de posição. Figura 2.3: esquema do sistema de gera¸cão de ondas.. filtrado e entregue ao conversor anal´ ogico-digital, que o digitaliza. O ciclo se repete a partir de um novo c´ alculo para o sinal do atuador.. A utiliza¸cão de controle digital neste projeto tem sua escolha justificada por uma série de vantagens que circuitos digitais apresentam sobre os anal´ ogicos, dentre as quais podem ser destacadas: • circuitos digitais possuem um custo menor do que seus equivalentes anal´ ogicos; • podem ser reprogramados de acordo com a aplica¸cão, sem a necessidade de troca de componentes, o que gera uma grande flexibilidade; • possuem maior precisão; • permitem que uma grande quantidade de dados sejam armazenados; • permitem que sejam efetuadas opera¸cões matemáticas de maior complexidade, tornando poss´ıvel a elabora¸cão de algoritmos de controle mais complexos. A placa de aquisi¸cão de dados utilizada pertence a` fam´ılia de placas de tempo real da National Instruments (NI). Todos os modelos desta fam´ılia s˜ ao na verdade um conjunto de dois sistemas, um contendo um processador de tempo real e memória RAM e o outro respons´ avel pela aquisi¸cão de dados, sendo os modelos diferenciados pela capacidade de processamento, quantidade. 9.

(18) de memória, n´ umero de canais, dentre outros.. As principais caracter´ısticas do modelo utilizado no projeto, a placa RT-7030/6030E, s˜ ao: • processador AMD 486 DX5 com arquitetura de 32 bits e clock de 133 MHz; • memória para programas de 8 MB; • utiliza barramento PCI; • conversor digital-anal´ ogico com 2 canais de sa´ıda e range de ± 10 V; • conversor analógico-digital com 16 canais de entrada (8 diferenciais) e range de ± 10 V; • resolu¸cão de 16 bits para ambos os conversores; • freq¨ uência máxima de amostragem de 100 mil amostras por segundo (100 kS/s) para uma aquisi¸cão utilizando um u ´ nico canal; • 8 entradas/sa´ıdas (I/O) digitais. A resolu¸cão de 16 bits dos conversores produz um degrau de quantiza¸cão de 0,3 mV para o sinal do atuador, cujo range é de 20 V e de 61 μV para o sinal proveniente do sensor de posi¸cão, que possui 4 V de range. Isso significa que para a presente aplica¸cão os erros devido a` quantiza¸cão dos sinais podem ser negligenciados. Além disso, a freq¨ uência máxima de amostragem possui um valor muito maior do que os das freq¨ uências m´ aximas dos sinais presentes no sistema, como será visto na se¸cão 2.2.3.. 2.2.1. Planta ´ muito importante definir neste momento o que é a planta que se deseja controlar. Tal E. defini¸cão ser´ a feita com o aux´ılio da figura 2.3, onde nota-se que o sinal calculado pelo algoritmo de controle executado pelo processador RT é aplicado diretamente ao sistema hidr´ aulico, através do convesor digital-anal´ ogico. J´ a o sinal de realimenta¸cão do sistema é obtido na sa´ıda do filtro passa-baixas e digitalizado pelo conversor anal´ ogico-digital. Portanto, a planta a ser controlada é dada pelo conjunto formado pelo sistema hidr´ aulico (servo-v´ alvula e cilindro), sensor de posi¸cão e filtro. ´ importante observar que tal sistema é portanto classificado como SISO (single input E single output), e sua entrada é o sinal de excita¸cão da servo-v´ avula e sua sa´ıda é o sinal da sa´ıda do filtro passa-baixas.. 2.2.2. Sinais de referˆ encia Como o objetivo principal do canal de ondas é reproduzir ondas em escala reduzida, é de. se esperar que os sinais de referência do sistema de controle possuam formas semelhantes a`s de 10.

(19) ondas. De fato, o sinal de referência do sistema nunca será do tipo degrau, por exemplo. Isto faz com que o problema de controle seja de rastreamento, e n˜ ao de regula¸cão. De acordo com a teoria linear de ondas proveniente da a´rea da hidrodinˆ amica, os poss´ıveis sinais de referência do sistema de controle s˜ ao: • ondas regulares: são sinais com forma puramente senoidal, possuindo uma u ´ nica freq¨ uência (sinais monocrom´ aticos) e amplitude fixa. A equa¸cão que representa este tipo de sinal é:. r(t) = A sin (ωt − φ). (2.1). onde A é a amplitude do sinal, ω é sua freq¨ uência angular em rad/s e φ é uma defasagem em rad. Por possu´ırem um u ´ nico componente de freq¨ uência, ondas regulares s˜ ao de interesse apenas acadêmico, j´ a que estão longe de ser uma representa¸cão da dinˆ amica das ondas no mar. • ondas irregulares: são formadas a partir da composi¸cão de ondas regulares com diferentes amplitudes, freq¨ uências e defasagens. São, portanto, descritas pela seguinte equa¸cão:. r(t) =. n . Ai sin (ωi t − φi ). (2.2). i=1. onde n representa o n´ umero de componentes de freq¨ uência do sinal. Essa formula¸cão é bem mais realista do que a primeira, embora ainda não seja a melhor representa¸cão poss´ıvel para ondas reais. Esses são os u ´ nicos tipos de sinal de referência porque a primeira fase do projeto de reativa¸cão do canal de ondas prevê a gera¸cão de ondas utilizando apenas a teoria linear de primeira ordem, que são as de maior interesse acadêmico. Representa¸cões mais pr´ oximas de ondas reais podem ser conseguidas através da utiliza¸cão de teorias de ordens superiores.. Há restri¸cões quanto ao valor das freq¨ uências e das amplitudes dos sinais de entrada. O sistema de gera¸cão foi projetado para trabalhar com sinais com freq¨ uências entre 0,2 e 2 Hz (per´ıodos entre 0,5 e 5 segundos). Já foi observado em testes que o sistema é capaz de responder a sinais mais rápidos, mas estes n˜ ao ser˜ ao aqui considerados. Portanto, todos os sinais de entrada ser˜ ao limitados em banda. Além disso, as amplitudes m´ aximas deles estarão limitadas a`s distˆ ancias entre a posi¸cão inicial da p´ a, vertical, e os sensores de parada. Essa distância corresponde a uma excursão simétrica de aproximadamente 25 cm.. 2.2.3. Requisitos de desempenho Como foi enfatizado anteriormente, a natureza dos sinais de referência do sistema de con-. trole fazem com que o problema estudado neste projeto seja de rastreamento. Este fato impossibilita que o desempenho do sistema de controle possa ser medido através de parâmetros classicamente 11.

(20) Saída com atraso constante 4 sinal de entrada sinal de saída 3. 2. Amplitude (cm). 1. 0. −1. −2. −3. −4. 0. 0.5. 1. 1.5. 2. 2.5 Tempo (s). 3. 3.5. 4. 4.5. 5. Figura 2.4: sinais de entrada e sa´ıda com atraso constante.. utilizados na a´rea de controle, como o percentual de sobrepasso (overshoot ), o tempo de subida e o tempo de assentamento, por exemplo. ´ bastante intuitivo perceber que, neste caso em particular, deseja-se obter um sinal de E sa´ıda com o menor erro de rastreamento poss´ıvel, mas admitindo atrasos puros, isto é, a existência de um intervalo de tempo finito entre o sinal de entrada e o de sa´ıda é totalmente aceit´ avel, desde que tal intervalo seja constante, como exemplificado pela figura 2.4.. 2.3. Programa de gera¸ c˜ ao de ondas Como j´ a foi citado anteriormente, o software responsável pelo gerenciamento do sistema. completo é denominado SISCOGEO - Sistema de Controle do Gerador de Ondas. Suas fun¸cões vitais s˜ ao controlar as opera¸cões de leitura e escrita dos conversores da placa de aquisi¸cão RT e executar o algoritmo de controle de malha fechada, mas ele também possui uma série de outras funcionalidades que devem ser destacadas.. 2.3.1. Funcionalidades As principais caracter´ısticas e funcionalidades do SISCOGEO podem ser resumidas nos. seguintes itens: ´ poss´ıvel iniciar o processo de • possui interface gráfica muito simples, com poucas telas. E gera¸cão de ondas rapidamente, apenas escolhendo o tipo de onda que se deseja gerar e em seguida acionando o bot˜ ao que d´ a in´ıcio à gera¸cão. Uma vez iniciado este processo, a u ´ nica a¸cão poss´ıvel é interrompê-lo, utilizando o bot˜ ao de parada de emergência; 12.

(21) Exemplo de mecanismo fade in/out 2.5. 2. 1.5. Amplitude (cm). 1. 0.5. 0. −0.5. −1. −1.5. −2. −2.5. 0. 1. 2. 3. 4 Tempo (s). 5. 6. 7. 8. Figura 2.5: sinal de onda regular com fade in/out.. • efetua o c´ alculo de ondas regulares, utilizando a formula¸cão apresentada na equa¸cão 2.1. Para tanto, basta que sejam fornecidos os valores de freq¨ uência ou per´ıodo1, amplitude e dura¸cão da onda; • permite que sejam lidos arquivos que contenham séries temporais de ondas, sejam regulares ou irregulares. O arquivo deve ser do tipo texto (*.txt), com formata¸cão ASCII. Ao ser aberto, ele é analisado para verificar se as amplitudes das ondas n˜ ao extrapolam as m´ aximas excursões de movimento do batedor; • aplica um mecanismo de fade in/out às séries temporais de ondas, sejam as geradas pelo pr´ oprio programa ou as lidas por intermédio de um arquivo. A figura 2.5 ilustra a aplica¸cão deste mecanismo a uma onda regular, onde o tempo de fade in/out, cujo valor pode ser escolhido no programa, é de 2 segundos. Este recurso funciona como uma espécie de prote¸cão, pois for¸ca os sinais de referência a crescerem gradativamente, evitando que o batedor se desloque bruscamente tanto no in´ıcio quanto no final do processo de gera¸cão de ondas; • utiliza sa´ıdas digitais da placa de aquisi¸cão de dados para emitir sinais que s˜ ao ligados aos acionamentos das alimenta¸cões da servo-válvula e da bomba, tornando poss´ıvel lig´ a-las ou desligá-las remotamente; • possui uma rotina que quando executada faz com que o batedor retorne sua posi¸cão inicial vertical, nos casos onde porventura ele esteja localizado em outra posi¸cão que n˜ ao esta ao fim de um processo de gera¸cão de ondas, como por exemplo quando ocorrer uma parada de emergência ou o batedor atingir fim de curso; 1 Na. ´ area de Engenharia Naval e Oceˆ anica costuma-se fazer referência ao per´ıodo da onda, e n˜ ao a sua freq¨ uˆ encia.. 13.

(22) • possui estrutura que permite que sejam utilizados diversos algoritmos de controle, isto é, qualquer implementa¸cão de uma nova lei de controle pode ser facilmente inserida no programa, e este permite que seja escolhido o algoritmo que será utilizado durante a gera¸cão de ondas; • possui uma janela de gráfico (strip chart ) que mostra em tempo real os sinais importantes da malha de controle, como o sinal de referência, o de controle e o proveniente do sensor de posi¸cão; • permite que, ao final do processo de gera¸cão de ondas, caso desejado, os sinais mostrados na janela de gráfico possam ser gravados no disco r´ıgido, em dois formatos: o primeiro é um arquivo padr˜ ao de Matlab (*.mat), e o segundo é do tipo texto (*.txt).. 2.3.2. Linguagem de programa¸ c˜ ao O SISCOGEO foi inteiramente desenvolvido na linguagem de programa¸cão LabVIEW,. que é a principal plataforma de desenvolvimento da NI. Trata-se de uma linguagem inteiramente gr´ afica, onde o c´ odigo dos programas n˜ ao é descrito através de linhas, e sim de diagramas de blocos, que indicam o fluxo dos dados. Apesar disso, é importante lembrar que ao serem compilados, os programas gerados s˜ ao transformados, assim como em qualquer linguagem de programa¸cão, em linguagem de m´ aquina (assembly language). Ela é uma linguagem estruturada, mas atualmente existem alguns módulos que possibilitam o seu uso com ferramentas de orienta¸cão a objetos.. A programa¸cão gr´ afica é mais intuitiva do que a escrita, e normalmente produz resultados mais rápidos. Atualmente é poss´ıvel, utilizando LabVIEW, fazer praticamente tudo o que uma linguagem como C permite. Quando n˜ ao é poss´ıvel realizar determinada tarefa, existe ainda a possibilidade de executar a partir do ambiente do LabVIEW uma determinada rotina ou biblioteca escrita em C que o fa¸ca. Na verdade, os casos em que isso se torna necess´ ario são rar´ıssimos. Na programa¸cão gr´ afica também é muito mais simples evitar e corrigir poss´ıveis erros, pois o fluxo dos dados é muito mais f´ acil de ser visualizado. O processo de an´ alise passo a passo para corre¸cão (debug) também possui uma série de ferramentas, que permitem visualizar o conte´ udo de vari´ aveis em tempo de execu¸cão do aplicativo, execut´ a-lo num ritmo mais lento ou inserir pontos de parada (breakpoints), por exemplo.. A grande motiva¸cão da escolha de LabVIEW como linguagem de programa¸cão é que ela possui um conjunto de bibliotecas (NI-DAQ) de drivers, escritos em C, que são respons´ aveis pelo controle de todo o equipamento de hardware fabricado pela NI, incluindo placas de aquisi¸cão e condicionadores de sinais, o que possibilita uma grande velocidade no desenvolvimento de aplicativos, pois o uso dos drivers no ambiente gr´ afico é muito simples.. O SISCOGEO foi inicialmente desenvolvido utilizando-se LabVIEW 6.1, em conjunto com 14.

(23) a versão 6.9 da biblioteca NI-DAQ. Recentemente, ele foi atualizado para a vers˜ ao 7.1 de LabVIEW, e a biblioteca de drivers sofreu uma reformula¸cão completa, tornando-se mais eficiente em termos de desempenho e de simplicidade de uso, sendo conhecida atualmente pelo nome de NI-DAQmx, e sua versão utilizada é a 7.3.. 15.

(24) Cap´ıtulo 3. Identifica¸ c˜ ao do sistema No cap´ıtulo 2 foi feita uma descri¸cão completa do sistema de gera¸cão de ondas, que incluiu a planta hidr´ aulica, composta da servo-v´ alvula e do cilindro hidr´ aulico, o sensor de posi¸cão e o filtro passa-baixas. No entanto, tal descri¸cão foi apenas qualitativa, com o intuito de apresentar o sistema e descrever de forma sucinta o seu funcionamento. O presente cap´ıtulo tem como objetivo ampliar o conhecimento a respeito desses subsistemas, através de modelagens matemáticas assistidas de dados obtidos em medi¸cões. Portanto, o cap´ıtulo é divido em duas partes principais: na se¸cão 3.1 é feita a modelagem matemática da planta, utilizando as equa¸cões dinˆ amicas que descrevem o seu comportamento; e na se¸cão 3.3 é apresentado um algoritmo de identifica¸cão n˜ ao-paramétrico, que tem por objetivo complementar as informa¸cões obtidas na etapa de modelagem. No final do cap´ıtulo s˜ ao definidos modelos de representa¸cão da planta, cont´ınuos e discretos no tempo.. 3.1. Modelo matem´ atico do sistema O processo de modelagem matemática da planta ser´ a divido em partes, de acordo com cada. subsistema que a compõe. Ap´ os a obten¸cão de cada modelo individual, eles serão unidos de modo a gerar o modelo completo da planta, fato que ocorrer´ a na se¸cão 3.1.5. A abordagem utilizada ser´ a a de representa¸cões por fun¸cões de transferência, ou seja, a planta ser´ a tratada como um sistema linear e invariante no tempo, sempre que poss´ıvel. As principais referências consultadas para a confeçcão desta se¸cão são [2] e [3], que abordam o tema de modelagem matemática de servo-sistemas hidr´ aulicos, em especial a segunda.. 3.1.1. Cilindro hidr´ aulico Como foi salientado na se¸cão 2.1.1, o cilindro hidr´ aulico é simétrico e está conectado a`. v´ alvula através de duas mangueiras, que s˜ ao respons´ aveis por manter o fluxo do o´leo. Além disso, o cilindro est´ a preso a uma determinada carga, que varia de acordo com seu movimento, isto é, quando o cilindro de desloca da esquerda para a direita, a carga total empurrada é a massa do batedor de ondas acrescida da massa da água contida na sua frente; e no movimento de sentido.

(25) carga. pistão. y. haste. Pa. Pb M. câmara A. atrito. câmara B. Qa. Qb. Figura 3.1: funcionamento interno do cilindro hidr´ aulico.. contr´ ario, quando o batedor é puxado pelo cilindro, ele empurra a massa de a´gua contida atr´ as de si, que é muito menor do que no primeiro caso. Portanto, a massa da carga deslocada pelo cilindro varia ao longo do tempo, de acordo com o sentido de movimenta¸cão do batedor de ondas.. Como pode ser visto na figura 3.1, o cilindro possui em seu interior um pistão que divide sua a´rea interna em duas cˆ amaras distintas. A câmara a` esquerda do pist˜ ao ser´ a denotada de A, e portanto sua pressão interna ser´ a chamada de Pa . Analogamente, a câmara a` direita, B, possui pressão Pb . A movimenta¸cão do pist˜ ao, e consequentemente da carga, ocorre quando há uma diferen¸ca entre os valores das pressões nas câmaras, pois passa a existir um desequil´ıbrio de ao e carga se deslocam para a direita, e o for¸cas atuando no pist˜ ao. No caso em que Pa > Pb , pist˜ ´til gerada pelo atuador movimento se dá no sentido contr´ ario quando Pa < Pb . A chamada for¸ca u é dada pela seguinte equa¸cão: F = Ap (Pa − Pb ). (3.1). ao subtra´ıda da a´rea da se¸cão onde Ap representa à área da coroa do pistão, isto é, a área do pist˜ transversal da haste. Supondo que a massa da carga é constante e vale M unidades, a figura 3.1 sugere que seja utilizada a equa¸cão da 2a Lei de Newton para que seja determinada a rela¸cão entre a for¸ca u ´ til gerada pelo cilindro e a posi¸cão y(t) da carga. Procedendo desta forma e substituindo o resultado na equa¸cão 3.1, obtém-se o seguinte resultado:. Ap Pc (t) = M. d2 y(t) dy(t) +B 2 dt dt. (3.2). ao de carga e B é o coeficiente de atrito viscoso da carga. onde Pc = Pa − Pb é denominada press˜ Lembrando que esta é composta do batedor mais parte da a´gua do canal, ent˜ ao existe atrito entre o batedor e as paredes do canal, e em seus pontos de fixa¸cão; e também há atrito entre a a´gua e as paredes e entre a água e o fundo do canal.. Outro conceito importante que será introduzido aqui é o de vaz˜ ao de controle, Qc , que possui valor igual a` vazão do fluido que entra na cˆ amara A, Qa (ver figura 3.1). Como esta vaz˜ ao é a princ´ıpio igual a`quela do fluido que deixa a cˆ amara B, ent˜ ao conclui-se que Qc = Qa = Qb . 17.

(26) O pr´ oximo passo agora é encontrar a equa¸cão matemática que relaciona a pressão de carga Pc com a vazão de controle Qc . Tal equa¸cão deve descrever o seguinte fenômeno: inicialmente, o oleo proveniente da servo-válvula é introduzido por uma das mangueiras em uma das cˆ ´ amaras do cilindro, adicionando-se ao o´leo j´ a ali encontrado e portanto criando uma diferen¸ca de pressão entre as câmaras do cilindro. Quando esta pressão for suficientemente alta para movimentar o pist˜ ao e a carga, a adi¸cão de o´leo na câmara passa a ser feita de forma a manter este movimento, sem no entanto aumentar o valor da press˜ ao de carga. Note que caso não seja adicionado o´leo continuamente na cˆ amara, haver´ a descompressão desta devido ao movimento do batedor, o que far´ a com que o valor da press˜ ao de carga diminua e o movimento do pistão cesse. A equa¸cão que representa a dinâmica descrita acima é a seguinte:. Qc (t) =. Vt dPc (t) dy(t) + Ap 4βe dt dt. (3.3). onde Vt é o volume total de óleo contido em ambas as mangueiras, e βe é um coeficiente conhecido como m´ odulo efetivo de elasticidade, que corresponde ao inverso do coeficiente de compressibilidade do o´leo. Um valor nominal t´ıpico deste coeficiente para óleos utilizados em sistemas hidr´ aulicos é 17·108 Pa, porém costuma-se adotar um valor cerca de 40 a 60% menor, pois fatores como a presen¸ca de ar no cilindro, misturando-se ao o´leo, e a existência de elasticidade nos materiais que compõem o cilindro e as tubula¸cões fazem com que o valor nominal seja bastante reduzido.. Analisando a equa¸cão 3.3 com um pouco mais de cuidado, nota-se que o primeiro termo do seu lado direito corresponde à varia¸cão da pressão de carga ao longo do tempo, ocasionada pela introdu¸cão de ´ oleo na câmara. Ap´ os o in´ıcio do movimento do pistão o valor de Pc rapidamente torna-se constante, e este termo da equa¸cão se anula, pois P˙c (t) = 0. J´ a o segundo termo representa a velocidade do pist˜ ao gerada pela quantidade de o´leo por unidade de tempo que entra na cˆ amara, preenchendo o espa¸co criado a partir do movimento dele. Como a press˜ ao de carga é constante durante o movimento, a vaz˜ ao de controle ser´ a fun¸cão apenas da velocidade do pistão.. Tomando os parˆ ametros Ap , M , D, Vt e βe como constantes, pode-se aplicar a Transformada de Laplace às equa¸cões 3.2 e 3.3 e reorganizá-las, dando origem ao seguinte par de fun¸cões:. Y (s) =. Pc (s) =. Ap Pc (s) M s2 + Bs. Qc (s) − Ap sY (s) Vt s 4βe. (3.4). (3.5). que permitem que seja constru´ıdo o diagrama de blocos mostrado na figura 3.2, que representa a fun¸cão de transferência total do sistema formado pelo cilindro hidr´ aulico, e que possui a vaz˜ ao de controle Qc como entrada e a posi¸cão y da carga como sa´ıda.. 18.

(27) Qc(s). 4βe Vts. Pc(s). Ap + Bs. Y (s). M s2. Aps. Figura 3.2: diagrama de blocos do cilindro hidr´ aulico.. Qa. Qb. 1. 4. Pr. 2. 3. 5. Ps. 6. Pr. Figura 3.3: funcionamento interno da servo-v´ alvula.. 3.1.2. Servo-v´ alvula A figura 3.3 mostra a estrutra interna de uma v´ alvula piloto simétrica, cujos ressaltos são. subpostos, isto é, possuem larguras inferiores aos seus respectivos pórticos. Quando isto acontece, é normal a presen¸ca de vazamentos de óleo através dos ressaltos da válvula, o que faz com que haja uma ligeira melhora na sua sensibilidade e linearidade. Quando o carretel desloca-se para o lado direito, ocorre uma comunica¸cão entre a linha de pressão de suprimento (Ps ) e a câmara A do cilindro hidr´ aulico, feita através dos orif´ıcios 1 e 3. Da mesma forma, a linha de pressão de retorno (Pr ) e a câmara B se comunicam através dos orif´ıcios 2 e 6. Este fenômeno gera um fluxo de o´leo entre a v´ alvula e o cilindro (através das mangueiras), promovendo uma diferen¸ca de pressão entre suas cˆ amaras e consequentemente impondo uma determinada for¸ca à carga, como detalhadamente descrito na se¸cão 3.1.1. Analogamente, quando o deslocamento do carretel ocorre da direita para a esquerda, criam-se caminhos de comunica¸cão entre os orif´ıcios 1 e 4 para suprimento e 2 e 5 para retorno, com o movimento da carga ocorrendo também no sentido contr´ ario. O valor das vaz˜ oes de óleo dos dois caminhos internos é igual e definido como vaz˜ ao de controle Qc , apresentada na se¸cão 3.1.1.. O objetivo neste momento é encontrar a equa¸cão que relaciona a vazão de controle Qc (t) com o deslocamento do carretel, x(t). A figura 3.4 mostra uma amplia¸cão da v´ alvula da figura 3.3, na regi˜ ao pr´ oxima aos orif´ıcios 3 e 5. O ressalto central é mostrado na posi¸cão xo , que corresponde ao caso em que a válvula est´ a fechada. Ao deslocar-se para a direita, por exemplo, de x unidades, o. 19.

(28) x. 3. 5. xo +x 2. xo −x 2 Ps. Figura 3.4: amplia¸cão do funcionamento interno da v´ alvula.. ressalto provoca a abertura da v´ alvula e altera a largura dos orif´ıcios de passagem de óleo, situa¸cão ilustrada na figura 3.4 através do ressalto delineado com linhas tracejadas. Chamando de A3 , A4 , A5 e A6 as áreas, e de Q3 , Q4 , Q5 e Q6 as vazões através dos orif´ıcios de numera¸cão correspondente, sabe-se que A4 = A5 e A3 = A6 , pois a v´ alvula é simétrica. Os valores destas a´reas são dadas pelas seguintes expressões:. A3 = A6 = l. A4 = A5 = l. x. o. 2 x. o. 2. +x. (3.6). −x. (3.7). onde l é uma constante com unidade de comprimento, necessária para tornar compat´ıveis as unidades das equa¸cões acima. Supondo que a pressão de retorno Pr seja pequena a ponto de ser desprezada, as vazões através dos orif´ıcios são dadas por: Q3 = c1 A3. x 2g o (Ps − P3 ) = C1 Ps − P3 +x γ 2 . xo 2g (P3 − Pr ) = C2 P3 −x γ 2. (3.9). x 2g o (Ps − P5 ) = C2 Ps − P5 −x γ 2. (3.10). Q4 = c2 A4 Q5 = c2 A5. (3.8). Q6 = c1 A6. xo 2g (P5 − Pr ) = C1 P5 +x γ 2. (3.11). onde g representa a intensidade da acelera¸cão da gravidade, γ = ρg é o peso espec´ıfico do o´leo, 20.

(29) onde ρ é sua densidade, c1 e c2 são constantes adimensionais, C1 = c1 l. 2g γ. e C2 = c2 l. 2g γ .. Todas. as rela¸cões acima são obtidas através da aplica¸cão da Equa¸c˜ ao de Bernoulli às regi˜ oes dos orif´ıcios.. A vazão através do orif´ıcio 1, que interliga a servo-v´ alvula a` câmara A do cilindro, é dada pela diferen¸ca entre as vazões dos or´ıficios 3 e 4: Qa = Q3 − Q4 = C1. x xo o + x − C2 P3 −x Ps − P3 2 2. (3.12). Da mesma forma, a diferen¸ca entre as vazões dos orif´ıcios 5 e 6 equivale àquela do orif´ıcio 2, cuja mangueira está ligada a` câmara B do cilindro: Qb = Q6 − Q5 = C1. x xo o + x − C2 Ps − P5 −x P5 2 2. (3.13). O fluxo de o´leo que transita pelas mangueiras deve ser igual, e portanto os valores das vazões Qa e Qb apresentados nas equa¸cões 3.12 e 3.13 são iguais. De acordo com o que foi visto na se¸cão 3.1.1, este valor também corresponde ao da vazão de controle Qc , logo Qc = Qa = Qb . Em ambas express˜ oes acima, o valor de Qc é fun¸cão da posi¸cão x do carretel e de uma press˜ ao de um orif´ıcio (P3 ou P5 ), entretanto deseja-se obter Qc em fun¸cão de x e da pressão de carga Pc , isto é, Qc = f (x, Pc ). Para atingir tal objetivo, inicialmente igualam-se os valores das express˜ oes acima, o que gera o seguinte resultado:. Ps = P3 + P5. (3.14). A pressão de carga é definida como Pc = P3 − P5 , e a partir da rela¸cão acima podem ser encontradas formula¸cões para P3 e P5 em fun¸cão de Pc :. P3 =. Ps + Pc 2. P5 =. Ps − Pc 2. (3.15). A substitui¸cão dos valores acima nas equa¸cões 3.12 e 3.13 produz uma u ´ nica expressão para Qc , dada em fun¸cão de x e Pc : Qc = f (x, Pc ) = C1. Ps − Pc xo Ps + Pc xo + x − C2 −x 2 2 2 2. (3.16). A expressão acima é claramente n˜ ao-linear, devido a presen¸ca de termos com raiz quadrada. A fim de se obter uma fun¸cão de transferência para o sistema da servo-válvula, ser´ a o utilizado o procedimento de lineariza¸ c˜ ao, descrito na se¸cão A.1.1. O ponto de opera¸cão mais intuitivo a ser escolhido é aquele onde x = 0 e Pc = 0, isto é, onde o deslocamento do carretel da v´ alvula é nulo, assim como a press˜ ao de carga, o que significa que n˜ ao h´ a movimento do pist˜ ao interno do cilindro hidr´ aulico. Naturalmente, esta escolha est´ a baseada na hip´ otese de que o deslocamento do carretel será pequeno e ocorrer´ a em torno de sua posi¸cão central. Tomando como referência a equa¸cão A.1, a forma linearizada da equa¸cão 3.16 ser´ a dada por:. 21.

(30) ∂f ∂f Qc = f (x, Pc ) ≈ f (x = 0, Pc = 0) + x+ Pc ∂x (x=0,Pc =0) ∂Pc (x=0,Pc =0). (3.17). onde o primeiro termo normalmente é desprezado e os valores das derivadas parciais s˜ ao: ∂f Ps = = (C1 + C2 ) ∂x (x=0,Pc =0) 2. (3.18). ∂f xo =− = (C1 + C2 ) √ ∂Pc (x=0,Pc =0) 4 2Ps. (3.19). Kqo. Kco. Os valores das express˜ oes acima são sempre positivos e recebem as denomina¸cões especiais de Kqo e Kco , que são encontradas frequentemente na literatura referente a atuadores hidr´ aulicos. Finalmente, a equa¸cão linear procurada é: Qc (t) = Kqo x(t) − Kco Pc (t). (3.20). A rela¸cão acima mostra que a intensidade da vazão de controle fornecida pela válvula aumenta diretamente com a amplitude do deslocamento do seu carretel, e que diminui com o aumento da pressão de carga, cujo valor é proporcional ao valor da massa da carga acoplada ao cilindro hidr´ aulico.. A rela¸cão entre o sinal de tens˜ ao u(t) da entrada do solen´ oide da v´ alvula (acionamento) e a posi¸cão x(t) de seu carretel também é dada através de uma constante multiplicativa:. x(t) = Kd u(t). (3.21). Substituindo a rela¸cão acima na equa¸cão 3.20 chega-se a` u ´ ltima rela¸cão procurada, dada por: Qc (t) = Keqo u(t) − Kco Pc (t). (3.22). onde Keqo = Kqo Kd . A aplica¸cão da Transformada de Laplace a` equa¸cão acima gera o resultado mostrado abaixo, representado através do diagrama de blocos correspondente ilustrado na figura 3.5. Qc (s) = Keqo U (s) − Kco Pc (s). 3.1.3. (3.23). Sensor de posi¸ c˜ ao O sensor de posi¸cão possui o modelo matemático mais simples dentre todos os subsistemas. da planta. Seja y(t) o sinal de posi¸cão do batedor, ent˜ ao a equa¸cão que o relaciona com o sinal de tensão ys (t) presente na sa´ıda do sensor de posi¸cão é a seguinte: 22.

(31) U (s) Keqo Qc(s). Pc(s) Kco. Figura 3.5: diagrama de blocos da servo-v´ alvula.. S(s). Y (s). Ys(s). Ks. Figura 3.6: diagrama de blocos do sensor de posi¸cão.. ys (t) = Ks y(t). (3.24). onde Ks é o ganho do sensor, cuja unidade é de tensão por unidade de comprimento. A fun¸cão de transferência S(s) do sensor é dada pela equa¸cão abaixo, cujo diagrama de blocos é ilustrado pela figura 3.6.. S(s) =. 3.1.4. Ys (s) = Ks Y (s). (3.25). Filtro passa-baixas Como descrito na se¸cão 2.1.3, o filtro passa-baixas é constitu´ıdo de um circuito eletrônico. anal´ ogico que possui 3 pólos e nenhum zero. Seja ys (t) o sinal de entrada do filtro, que corresponde ao sinal de sa´ıda do sensor de posi¸cão, e yf (t) o seu sinal de sa´ıda, a fun¸cão de transferência de relaciona as representa¸cões no dom´ınio da freq¨ uência destes sinais é de terceira ordem e pode ser representada por:. F (s) =. Yf (s) Ys (s). =. =. s3. + a2. Kf + a1 s + K f. s2. p1 p2 p3 (s + p1 )(s + p2 )(s + p3 ). (3.26). (3.27). onde −p1 , −p2 e −p3 são os p´ olos do filtro. A igualdade dos numeradores resulta do fato de o filtro produzir uma resposta com ganho unitário para sinais de entrada contantes, isto é, quando s = jω = 0. Os valores exatos de cada p´ olo são desconhecidos, porém sabe-se que são todos 23.

(32) F (s). p1 p2 p3 (s + p1)(s + p2)(s + p3). Ys(s). Yf (s). Figura 3.7: diagrama de blocos do filtro passa-baixas.. Kco. U (s). Qc(s) Keqo. 4βe Vts. Pc(s). Ap + Bs. Y (s). M s2. Aps. Figura 3.8: diagrama de blocos do sistema hidr´ aulico.. superiores a 25 rad/s, pois a freq¨ uência de corte nominal do filtro é de 4 Hz. A figura 3.7 mostra o diagrama de blocos correspondente.. 3.1.5. Modelo completo Ap´ os a obten¸cão do modelo matemático de cada subsistema da planta, torna-se poss´ıvel. chegar a sua fun¸cão de transferência total. Antes, entretanto, ser˜ ao utilizadas as equa¸cões referentes à servo-válvula e ao cilindro hidr´ aulico para determinar a express˜ ao da chamada fun¸c˜ ao de transferência hidr´ aulica, H(s), que relaciona as transformadas dos sinais u(t), que representa a tensão da entrada do solen´ oide da v´ alvula, e y(t), o deslocamento da carga acoplada ao cilindro hidr´ aulico. Tal fun¸cão pode ser calculada através da realiza¸cão de manipula¸cões algébricas nas equa¸cões 3.4, 3.5 e 3.23, ou ainda encontrando o diagrama de blocos resultante que relacione as vari´ aveis U (s) e Y (s) a partir dos diagramas parciais apresentandos anteriormente nas figuras 3.2 e 3.5. Procedendo de qualquer destas formas chega-se ao diagrama de blocos apresentado na figura 3.8, que representa a fun¸cão de transferência H(s), mostrada abaixo:. H(s) =. Y (s) Ap Keqo. = M Vt 3 BVt U (s) s + M Kco + s2 + (BKco + A2p )s 4βe 4βe. (3.28). A fun¸cão de transferência total da planta, P (s), relaciona o sinal de entrada do solenóide da servo-v´ alvula com o sinal da sa´ıda do filtro passa-baixas, e é obtida através do produto das fun¸cões de transferências do sistema hidr´ aulico, H(s), do sensor de posi¸cão, S(s), e do filtro passa-baixas, F (s) (ver figura 3.9): 24.

(33) H(s). U (s). F (s). S(s). ApKeqo. BVt 2 M Vt 3 s + M Kco + s + (BKco + A2p)s 4βe 4βe. Y (s). Ks. Ys(s). p1 p2 p3 (s + p1)(s + p2)(s + p3). Yf (s). P (s). Figura 3.9: diagrama de blocos do modelo completo.. P (s) =. Yf (s) = H(s)S(s)F (s) U (s). (3.29). O modelo linear para o sistema completo é portanto uma fun¸cão de transferência de sexta ordem, pois H(s) e F (s) possuem três pólos cada e S(s) é apenas um ganho.. 3.2. An´ alise do modelo matem´ atico O presente objetivo é fazer uma an´ alise prévia do comportamento do sistema. Mais espe-. cificamente, deseja-se avaliar a dinâmica dos pólos do sistema, o que é alcan¸cado através do estudo das equa¸cões caracter´ısticas das fun¸cões H(s) e F (s). No entanto, os valores exatos de diversos parˆ ametros da planta são até o momento desconhecidos, o que inviabiliza o c´ alculo dos valores dos coeficientes das equa¸cões caracter´ısticas e consequentemente de suas ra´ızes. Portanto, a an´ alise aqui apresentada ser´ a feita de forma predominantemente qualitativa.. A equa¸cão caracter´ıstica da fun¸cão de transferência hidr´ aulica H(s) é mostrada abaixo na sua forma mˆ onica:. s3 +. 4βe M Kco + BVt M Vt. s2 +.

(34) 4βe BKco + A2p s=0 M Vt. (3.30). s3 + bs2 + cs = 0. (3.31). s(s2 + bs + c) = 0. (3.32). A equa¸cão acima tem como uma de suas ra´ızes o valor s1 = 0, independente de quais forem os valores dos parâmetros da planta. As outras duas ra´ızes claramente dependem destes parˆ ametros, porém é poss´ıvel fazer uma estimativa acerca de seus valores. Estes podem ser encontrados a partir da solu¸cão da equa¸cão de 2o grau em s, dada por: √ −b ± Δ s 2 , s3 = 2. (3.33). 25.

(35) onde Δ = b2 − 4c. Tomando como base o Sistema Internacional de Unidades (SI), valores t´ıpicos para os parˆ ametros Kco e βe são da ordem de grandeza de 10−12 m3 /Pa·s e 108 Pa, respectivamente (ver [3]). A partir desta informa¸cão, nota-se que é poss´ıvel aproximar os valores dos coeficientes b e c por:. b=. 4βe M Kco + BVt B ≈ M Vt M.

(36). 4βe BKco + A2p 4βe A2p c= ≈ M Vt M Vt. (3.34). (3.35). pois 4βe M Kco BVt e BKco A2p . A massa M da carga vale no m´ aximo algumas centenas de quilogramas, ao passo que o coeficiente de atrito B é da ordem de 104 N·s/m, o que significa que c b, devido ao alto valor do parˆ ametro βe presente no numerador do termo c. Portanto, deduz-se automaticamente que o valor de Δ será negativo, e as duas solu¸cões da equa¸cão ser˜ ao ra´ızes complexas conjugadas. A parte real das ra´ızes ser´ a sempre negativa, pois b é sempre positivo. A parte complexa, dada por. √ Δ 2 ,. possuir´ a um valor extremamente alto, como conseq¨ uência. dos fatos j´ a apresentados. O resultado final é que as ra´ızes da equa¸cão caracter´ıstica, ou seja, os p´ olos de H(s), estão localizados nas seguintes posi¸cões do plano complexo: o primeiro está sempre posicionado sobre a origem dos eixos; os outros dois s˜ ao conjugados e possuem parte complexa de elevado valor, fazendo com que fiquem simetricamente afastados do eixo real, e ao mesmo tempo bastante afastados do eixo imagin´ ario, pois sua parte real é sempre negativa. De fato, este é um resultado comum a todos os servo-sistemas hidr´ aulicos compostos de uma válvula e um cilindro hidr´ aulico acoplado a uma massa, pois eles s˜ ao constru´ıdos de modo a possuir fun¸cão de transferência pr´ oxima a de um integrador.. A figura 3.10 mostra o gr´ afico do lugar das ra´ızes para H(s) utilizando valores de parˆ ametros retirados da referência [3], onde fica clara a disposi¸cão usual dos pólos no plano complexo considerando uma massa M de algumas centenas de quilogramas. Por possu´ırem constantes de tempo pequenas, quando comparadas a` do p´ olo localizado na origem, e além disso parte complexa de elevado valor, os p´ olos complexos podem ser desconsiderados, isto é, suas presen¸cas são pass´ıveis de serem ignoradas, desde que a condi¸cão de que eles nunca passem a ser reais seja sempre satisfeita, caso contr´ ario o sistema passará a ter um p´ olo na origem e outros dois sobre o eixo real, sendo que um deles caminhanho em dire¸cão a` origem e outro tendendo para infinito, no gr´ afico de lugar das ra´ızes correspondente. Esta condi¸cão pode ocorrer caso a massa da carga possua um valor muito alto, fato que anula as aproxima¸cões feitas na equa¸cões 3.34 e 3.35, mas como j´ a foi citado, sistemas deste tipo s˜ ao constru´ıdos para funcionarem como integradores, e o c´ alculo de todos os parˆ ametros é feito um fun¸cão do valor da massa que se deseja deslocar. Isso significa que H(s) pode ser considerada um integrador simples com um ganho, desde que haja a garantia de que uma retroalimenta¸cão negativa com ganho, por exemplo, n˜ ao a instabilize, como mostra o gr´ afico do lugar das ra´ızes da figura 3.10. Em termos matemáticos, a aproxima¸cão feita desconsiderando a 26.