Apostila Calculo I Parte II

Universidade de Mogi das Cruzes – UMC

Campos Villa Lobos

Cálculo Diferencial e Integral I

Parte II

Engenharia Civil Engenharia Mecânica

Prof. Marília Rocha – [email protected]

ÍNDICE

1. Derivada ... 3

1.1. Definição de derivada no ponto xo ... 3

1.2. Interpretação Geométrica da Derivada ... 6

1.3. Função Derivada ... 10

1.4. Derivada e Continuidade... 10

1.5. Derivada de funções elementares ... 11

1.6. Regras de Derivação ... 14

1.7. Derivada de funções trigonométricas ... 19

1.8. Derivada de Funções Compostas (Regra da Cadeira) ... 22

1.9. Derivada de outras funções trigonométricas ... 28

1.10. Derivada da função inversa ... 29

1.11. Derivada de funções trigonométricas inversas ... 38

1.12. Derivadas de algumas funções compostas ... 42

1.13. Derivadas Sucessivas ... 49 2. Interpretações da Derivada ... 51 2.1. Interpretação Cinemática... 51 2.2. Variação Média ... 51 2.3. Taxa de variação ... 52 2.4. Exercícios ... 52 3. Anexos ... 55 3.1. Plano Cartesiano (R2) ... 55 3.2. Trigonometria ... 56 3.2.1. Relações Trigonométricas ... 56 3.2.2. Ciclo Trigonométrico ... 56 3.3. Produtos Notáveis ... 57 3.4. Logaritmo ... 57 3.5. Tabela de Derivadas ... 58

3.6. Regras de Derivação – demonstrações ... 60

3.6.1. Derivada do produto de uma constante por uma função ... 60

3.6.2. Derivada da Soma ... 60

3.6.3. Derivada do Produto ... 60

3.6.4. Derivada do Quociente ... 61

1. Derivada

Segundo Iezzi, Murakami e Machado (1993), apresentamos as seguintes definições:

1.1. Definição de derivada no ponto x

o

Seja

f

uma função definida em um intervalo aberto

I

e

x

0 um elemento de

I

. Chama-se derivada de

f

no ponto

x

₀ o limite

0 0 0

( )

( )

lim

x x

f x

f x

x

x







se este existir e for finito.

Indicamos, também, por 0 0

0

(

)

( )

lim

x

f x

x

f x

x

 

  



,

  

x

x

x

0. Notação:

f x

'( )

₀ , 0 x x

df

dx

_













ou

Df x

( )

0 .

Exemplo: calculando a derivada, pela definição, de 2

( )

f x



x



x

no ponto

x

₀



1

: Usando a primeira fórmula, temos:

0 ' 0 0 0 2 2 2 2 ' 1 1 1 1 1 1

( )

( )

( )

lim

( )

(1)

(1

1)

1 1

2

(1)

lim

lim

lim

lim

1

1

1

1

(

1)(

2)

lim

lim(

2)

3

1

x x x x x x x x

f x

f x

f x

x

x

f x

f

x

x

x

x

x

x

f

x

x

x

x

x

x

x

x

      









 



  

 































Usando a segunda fórmula, temos:

' 0 0 0 0 2 2 ' 0 0 2 2 0 0 0 0

(

)

( )

( )

lim

(1

)

(1

)

(1

1)

(1

)

(1)

(1)

lim

lim

1 2

1

1 1

3

(3

)

lim

lim

lim

lim 3

3

x x x x x x x

f x

x

f x

f x

x

x

x

f

x

f

f

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

             

  







 

  







  

_

_











        

_

  

_



 

_

_{  }







Exercício: Calcule, pela definição, a função derivada das funções dadas: 1.

f x

( )



3

x

, no ponto

x

₀



2

2.

f x

( )



2

x



1

, no ponto

x

₀



2

3.

f x

( )

 

x

3

, no ponto

x

0

 

1

4. 2

( )

2

5

f x



x



x



, no ponto

x

₀



1

5. 2

( )

3

f x



x



x

, no ponto

x

₀



2

6. 2

( ) 1 4

f x

 

x

, no ponto

x

0

 

3

7. 2

( )

f x

 

x

x

, no ponto ₀

1

2

x



Ss 8. 3 2

( )

12

f x



x



x

, no ponto

x

₀



4

9.

f x

( )



x

, no ponto

x

₀



1

Respostas: 1.

f x

'( )



3

2.

f x

'( )



2

3.

f x

'( ) 1



4.

f x

'( )



4

5.

f x

'( )



7

6.

f x

'( )



24

7.

f x

'( )



0

8.

f x

'( )

 

48

9.

'( )

1

2

f x



1.2. Interpretação Geométrica da Derivada

A derivada de uma função

f

no ponto

x

0 é igual ao coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de

f

no ponto de abscissa

x

0.

A equação da reta tangente t ao gráfico de uma função

f

no ponto

P x y

( ,

0 0

)

, em que

f

é derivável, é dada por:

y



f x

( )

0



f x

'( ).(

0

x



x

0

)

.

Exemplo: a equação da reta tangente à curva 2

3

y



x



x

no seu ponto de abscissa

4 é:

Como

x

₀



4

, calculamos o ponto de

tangência

P

:

2 0

( )

4

3.4

4

f x







. Portanto

P

(4, 4)

Calculamos a derivada (coeficiente angular):

0 ' 0 0 0 2 2 ' 4 4 2 4 4 4

( )

( )

( )

lim

( )

(4)

3

(4

3.4)

(4)

lim

lim

4

4

3

4

(

4)(

1)

lim

lim

lim

1 5

4

4

x x x x x x x

f x

f x

f x

x

x

f x

f

x

x

f

x

x

x

x

x

x

x

x

x

     





































 





Calculando a equação reduzida da reta:

0 0 0

( )

'( ).(

)

4

5(

4)

5

16

y

f x

f x

x

x

y

x

y

x







 







Exercícios:

1. Determine, em cada caso, a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto

x

₀. Construa os gráficos de f(x) e da reta tangente t à f(x).

1.2. 2

( )

1.3. 2

( )

2

Respostas:

1.1.

y

 

x

1

1.3.

y

 

1

1.2.

y



6

x



9

1.3. Função Derivada

Seja

f

uma função derivável no intervalo aberto

I

. Para cada

x

₀ pertencente a

I

existe e é único o limite ' 0 0

0 0

(

)

( )

( )

lim

x

f x

x

f x

f x

x

 

  





. Portanto, definimos uma função

'

:

f

I



R

que associa a cada

x

₀



I

a derivada de f no ponto

x

₀. Esta função é chamada função derivada de

f

.

Notação: '

f

,

df

dx

ou

Df

.

A lei

f x

'( )

pode ser determinada a partir da lei

f x

( )

, aplicando-se a definição de derivada de uma função, num ponto genérico

x



I

: '

0

(

)

( )

( )

lim

x

f x

x

f x

f x

x

 

  





.

1.4. Derivada e Continuidade

Sejam a função

f A

:



R

e

x

₀



A

. Se

f

é derivável em

x

₀, então

f

é contínua em

x

₀. O recíproco é falso, ou seja, há funções contínuas em

x

₀ e não deriváveis em

x

₀.

1.5. Derivada de funções elementares

01 função constante

f x

( )

 

c

f x

'( )



0

,

c



R

Demonstração: Seja

f x

( )



c

,

c



R

. ' 0

(

)

( )

( )

lim

0

x

f x

x

f x

c c

f x

x

x

 

  













Exemplo:

f x

( )

 

3

f x

'( )



0

Exercícios: Calcule as derivadas: 1.

f x

( )

 

5

f x

'( )



2.

( )

4

'( )

3

f x

 

f x



3.

f x

( )

  

9

f x

'( )



4.

f x

( )



3



f x

'( )



1

02 função potência de expoente natural

( )

n

f x



x

, *

n



N

1

( )

n

'( )

.

n

f x



x



f x



n x

 Demonstração1_{: Seja}

_{( )}

n

f x



x

, *

n



N

. ' 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim n n x x f x x f x x x x f x x x               1 2 2 1 2 1 . .( ) ... 0 1 2 ( ) . ... . 1 2 n n n n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x n n n n x x x x x x x x x n x x                              _{     }    _{       }   _{ } _{ }   _{ }     _{     } 1 2

_.

_...

_.

1

1

2

n n n n

n

n

n

x

x

x

x

n

  

 

 

 



_{ }



_{ }

  

_{ }



 

 

 

' 1 1 1 1 0

(

)

!

.(

1)!

( )

lim

.

.

.

1

1!(

1)!

(

1)!

n n n n n n x

n

x

x

x

n

n n

f x

x

x

x

n x

x

n

n

     

 

 









_{ }









_{ }





1 _{Binômio de Newton:}





0 n n n k k k n x y x y k       _{ }  



.

Número Binomial: sejam

n

e

k

números naturais, e

n



k

, o número binomial

n

tomado

k

a

k

é dado por:

! !( )! n n k k n k      _   .

Fatorial: seja

n

um número natural,

n



N

,

n

fatorial (

n

!

) é um valor dado por:

!

1,

0

(

1)(

2)....1,

0

n

n

n n

n

n







_

_

_



.

Exemplo: 3 2

( )

'( )

3

f x

x

f x

x





S

Exercícios: Calcule as derivadas:

1. 6

( )

f x



x

'( )

f x



2. 5

( )

f x



x

'( )

f x



3.

f x

( )



x

'( )

f x



Hhh 03 função exponencial

f x

( )



a

x,

a



R

e

0

 



1

( )

x

'( )

x

.ln

f x



a



f x



a

a

,

a



R

e

0

 



1

Demonstração: Seja

f x

( )



a

x,

a



R

e

0

 



1

. ' 0 0 0 0 0

(

)

( )

(

1)

1

( )

lim

lim

lim

lim

. lim

x x x x x x x x x x x x

f x

x

f x

a

a

a a

a

f x

a

x

x

x

x

            

  























Lembrando que 0

1

lim

ln

x x

a

a

x





_

_{, temos} ' 0 0

1

( )

lim

. lim

.ln

x x x x x

a

f x

a

a

a

x

    









Exemplo:

( )

2

'( )

2 .ln 2

x x

f x

f x





Caso particular:

04 função exponencial de base

e

,

f x

( )



e

x

f x

( )



e

x



f x

( ) '



e

x

Demonstração: Seja

f x

( )



e

x.

Pelo item 3,

f x

( )



e

x

.ln

e



e

x

.1



e

x

1.

f x

( )



4

x

'( )

f x



2.

( )

1

4

x

f x

  

 

 

'( )

f x



Respostas:

Derivada da função constante:

1. 0 2. 0 3. 0 4. 0

Derivada da função potência 1. 5

6x

2.

5x

4 3.

1

Derivada da função exponencial 1.

4 .ln 4

x 2.

1

.ln

1

4

4

x

 

 

 

1.6. Regras de Derivação

01 Derivada do Produto de uma constante

c

,

c



R

,por uma função

( )

. ( )

'( )

. '( )

f x



c v x



f x



c v x

02 Derivada da Soma

f x

( )



u x

( )



v x

( )



f x

'( )



u x

'( )



v x

'( )

03 Derivada da Diferença

f x

( )



u x

( )



v x

( )



f x

'( )



u x

'( )



v x

'( )

04

A derivada da soma (ou diferença) pode ser estendida para uma soma de

n

funções:

' ' ' ' 1 2 1 2

( )

( )

( ) ...

_n

( )

( )

( )

( ) ...

_n

( )

f x



u x



u x

 

u x



f x



u x



u x

 

u x

Exemplo: 3 2 2

( )

2

2

4

3

'( )

6

4

4

f x

x

x

x

f x

x

x





 







Exercícios: Calcule as derivadas:

1. 2

( )

2

3

f x



x



'( )

f x



x 2. 4 2

( )

6

8

f x



x



x

'( )

f x



x 3.

1

5 4 3

( )

3

4

9

4

f x



x



x



x



( ) '

f x



x 4. 6 5

( )

2

3

f x



x



x



x

'( )

f x



x 5. 6 4 3 2

7

( )

9

5

3

2

f x

 

x



x



x



'( )

f x



Xss 6. 5

( )

3

2

x

4

x

f x



x



e



'( )

f x



sss

05 Derivada do Produto

_{f x}

_{( )}

_

_{u x v x}

_{( ). ( )}

_

_{f x}

_{'( )}

_

_{u x v x}

_{'( ). ( )}

_

_{u x v x}

_{( ). '( )}

Iii

06 A derivada do produto pode ser estendida para um produto de

n

fatores:

' ' ' ' 1 2 1 2 1 2 1 2

( )

( ). ( )... ( )

_n

( )

( ). ( )... ( )

_n

( ). ( )... ( ) ...

_n

( ). ( )... ( )

_n

f x



u x u x

u x



f x



u x u x

u x



u x u x

u x

 

u x u x

u x

Exemplos: 4 2 3 2 4 5 3 2 5 2 5 3 2

1. ( )

(

2 )(

4)

'( )

( 4

2)(

4) (

2 )(2 )

( 4

16

2

8) ( 2

4

)

6

16

6

8

f x

x

x x

f x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

  



 



   

 





  













W 5 4 4

2. ( )

6(

6 )

'( )

6.( 5

6)

30

36

f x

x

x

f x

x

x

  





  



4 6 4 5 3 20 3 23

3. ( )

(7

)

'( )

6.(7

) .(28 ) 1176.

.

1176

f x

x

f x

x

x

x

x

x









w 2 2 2 2 2 2 2 4 3 3 2 3 2 2 4 3 2

4. ( )

(4

1)(3

)(2 )

'( )

( )(3

)(2 ) (4

1)(6 )(2 ) (4

1)(3

)(2)

(3

)(2

) (4

1)(12

) (8

2)(3

)

(6

2

) (48

12

) (24

8

6

2 )

6

74

26

2

f x

x

x

x

x

f x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x



























































Exercícios: Derive as seguintes funções:

1. 2

( )

(

1)( 1

)

f x



x

  

x

'( )

f x



dd 2. 6 4 2

( )

5(

)

f x



x



x



x

'( )

f x



Fiii 3. 2 2

( )

(3

7)(

2 )

f x



x



x



x

( ) '

f x



ffx

4. 2 3

( )

(3

)(1

)

f x



x



x

 

x

x

( ) '

f x



x 5. 3

( )

.

x

f x



x e

'( )

f x



x 6. 4

( )

.

x

f x



x a

'( )

f x



x 7. 3 2 2

( )

(

1)(

2)

f x



x



x

 

x

x



'( )

f x



xss 8. 2 4 3

( )

(

)(1

)

f x



x x



x

 

x

x

'( )

f x



Xss 07 Derivada do Quociente





' ' ' 2

( )

( ). ( )

( ). ( )

( )

( )

( )

( )

u x

u x v x

u x v x

f x

f x

v x

v x









,

v x

( )



0

Exemplo: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

4

( )

2

2

(2 )(2

2) (

4)(2)

(4

4 ) (2

8)

4

4

2

8

2

4

8

( ) '

(2

2)

(2

2)

(2

2)

(2

2)

x

f x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

f x

x

x

x

x







 



































Exercícios: Derive as seguintes funções: 1.

( )

₂ x

e

f x

x



'( )

f x



ss 2. 2

1

( )

1

x

f x

x







'( )

f x



ss 3.

( )

₂

1

x

f x

x

x



 

'( )

f x



ss 4.

( )

1

1

x

f x

x







'( )

f x



ss 5. 2

3

1

( )

2

x

x

f x

x









'( )

f x



ss 6. 2 2

( )

1

x

f x

x





'( )

f x



Respostas: Derivadas da soma 1.

4x

2. 3

24

x



16

x

_3.

5

4 3 2

12

12

4

x



x



x

4. 5 4

6

x



5 2

x



3

5. 5 4 2

54

x

3 5

x

6

x







6. 4

15

x



2

e

x



4 ln 4

x Derivada do produto: 1. 2

3

x



2

x



1

2.

30

x

5



20

x

3



10

x

3.

12

x

3



18

x

2



14

x



14

4. 4 3 2

15

x



4

x



9

x



8

x



1

5. 2

(3

)

x

e x



x

6. 3

(4

ln )

x

a x



x

a

7. 4 3 2

5

x



4

x



9

x



6

x



2

8.

9

x

8



7

x

6



12

x

5



4

x

3



3

x

2 Derivada do quociente: 1.

(

₃

2)

x

e x

x



2. 2 2

2

1

(

1)

x

x

x







3.





2 2 2

1

1

x

x

x

 

 

4.





2

2

1

x





5.

_

_

2 2

4

7

2

x

x

x







6.



2



2

2

1

x

x



1.7. Derivada de funções trigonométricas

05 função seno x

f x

( )



senx



f x

'( )



cos

x

Cdd

Demonstração: Seja

f x

( )



senx

.

' 0 0

(

)

( )

(

)

( )

lim

lim

x x

f x

x

f x

sen x

x

senx

f x

x

x

   

  

  









Relações Trigonométricas:

2

.cos

2

2

p q

p

q

senp



senq



sen





'

0 0 0

2

.cos

2

.cos

(

)

2

2

2

2

( )

lim

lim

lim

x x x

x

x

x

x

x

x

x

x

sen

sen

x

sen x

x

senx

f x

x

x

x

     

  

  



















_



















  

_

_

_

_

_

_

_

_













' 0 0 0

2

2

( )

lim

.cos

lim

. lim cos

2

2

2

2

x x x

x

x

sen

sen

x

x

f x

x

x

x

x

     

















_

_

_





_

_

_











_

_



_



_

_



_









Lembrando que 0

lim

1

x

senx

x





, ' 0 0

2

( )

lim

. lim cos

1.cos

cos

2

2

x x

x

sen

x

f x

x

x

x

x

   











_

_

_







_

_



_









06 função cosseno x

f x

( )



cos

x



f x

'( )

 

senx

Demonstração: Seja

f x

( )



cos

x

.

' 0 0

(

)

( )

cos(

) cos

( )

lim

lim

x x

f x

x

f x

x

x

x

f x

x

x

   

  

  









Relações Trigonométricas:

cos

cos

2

.

2

2

p

q

p q

p



q

 

sen



sen



' 0 0 0

2

.

2

.

cos(

) cos

2

2

2

2

( )

lim

lim

lim

x x x

x

x

x

x

x

x

x

x

sen

sen

sen x

sen

x

x

x

f x

x

x

x

     

  

  























_

_

_

_



_



_

_

_

  

_

_

_

_

_

_

_

_













' 0 0 0

2

2

( )

lim

.

lim

. lim

2

2

2

2

x x x

x

x

sen

sen

x

x

f x

sen x

sen x

x

x

     





 







 













_

_

_

_

_



_

_

_{ }

_



_

_















_



_

_



_



_



_

_

_





































Lembrando que 0

lim

1

x

senx

x





, ' 0 0 0 2 2

( ) lim . lim . lim .1

2 2 2 2 x x x x x sen sen x x

f x sen x sen x senx senx

x x                  _{    } _{   }  _{ }       _  _{ }  _ _  _{ }                       Exemplo: 2

( )

3

cos

5

'( )

3cos

10

f x



senx



x



x



f x



x senx





x

Exercícios: 1. Calcule a derivada: 1.1.

f x

( )



senx



4

x



7cos

x

'( )

f x



X xssssç 1.2.

( )

cos

7

5

f x



senx



x



'( )

f x



xssssç 1.3.

f x

( )

senx

_x

a



'( )

f x



2. Calcule as derivadas das funções dadas e preencha a tabela: 2.1.

f x

( )



tgx

'( )

f x



2.2.

f x

( )



cot

gx

'( )

f x



A 07 função tangente x

_{f x}

_{( )}

_

_tgx

_

_{f x}

_{'( )}

_

a

08 função cotangente x

f x

( )



cotgx



f x

'( )



Respostas:

1.1.

f x

'( )



cos

x

 

4 7

senx

1.2.

f x

'( )



cos

x



senx

1.3.

cos

.ln

'( )

x

senx

_x

a

f x

a





Z 2.1. 2

( )

'( )

sec

f x



tgx



f x



x

2.2.

f x

( )



cotgx



f x

'( )

 

cos

sec x

2 cc

1.8.

Derivada de Funções Compostas

(Regra da Cadeira)

Se

y



g u

( )

,

u



f x

( )

e as derivadas

dy

du

e

du

dx

existem, então a função composta



( )



y



g f x

tem derivada dada por

dy

dy du

.

dx



du dx

ou

y x

'( )



g u f x

'( ). '( )

. Se

y



g u

( )

,

u



f x

( )

, temos

y



g f x



( )



.

dy

dy du

dx



du dx

Exemplo: 2 7 2

( )

x x

f x



e

 x 2

7

2

u



x



x

u

y



e

2 7 2

.

u

.(14

2)

(14

2).

x x

dy

dy du

e

x

x

e

dx

du dx







 



Exercícios: Derive as seguintes funções:

1. 2 10

( ) 10(3

7

3)

f x



x



x



u



y



.

dy

dy du

dx



du dx

2. 4

( )

3(9

4)

f x



x



u



y



.

dy

dy du

dx



du dx

3. 3 2 6

( )

2

x x

f x





u



y



.

dy

dy du

dx



du dx

4. 3 2 6 7

( )

2

x x

f x



e

 

u



y



.

dy

dy du

dx



du dx

5. 2 5

( )

(2 3

)

f x

 

x



x

u



y



.

dy

dy du

dx



du dx

6. 52

( )

(2

3)

f x



x



u



y



.

dy

dy du

dx



du dx

7.

f x

( )



e

3x

u



y



.

dy

dy du

dx



du dx

8. 4 2

( )

x

f x



x a

u



y



.

dy

dy du

dx



du dx

9. 6 3

( )

(5

2) (3

1)

f x



x



x



u



y



u



y



.

dy

dy du

dx



du dx



.

dy

dy du

dx



du dx



10.

f x

( )



sen x

4

u



y



.

dy

dy du

dx



du dx

11.

f x

( )

cos 7

x

x



u



y



.

dy

dy du

dx



du dx

12. 2

( )

cos(3

5)

f x



x

 

x

u



y



.

dy

dy du

dx



du dx

13. 3

( )

3

f x



sen x

u



y



u



y



.

dy

dy du

dx



du dx

.

dy

dy du

dx



du dx

14. 2

( )

sen x

f x



e

u



y



u



y



.

dy

dy du

dx



du dx



.

dy

dy du

dx



du dx



15.

f x

( )



sene

x

u



y



.

dy

dy du

dx



du dx

16.

f x

( )

 

x

3. 4

tg x

u



y



.

dy

dy du

dx



du dx

17.

f x

( )



cot (3

g

x



1)

u



y



.

dy

dy du

dx



du dx

Gg 18. 4

( )

f x



sen x

u



y



.

dy

dy du

dx



du dx

Gg 19. 5

( )

cos

f x



x

u



y



.

dy

dy du

dx



du dx

Gg

Respostas: 1. 2 9

(600

x



700)(3

x



7

x



3)

2.

108(9

x



4)

3 3. ₃ 2 ₆

2

x x

(6

x



6) ln 2

4.

(12

x



12).

e

3x2 6x 7 5. 2 4

(15 10 )(



x x



3

x



2)

6.

104(2

x



3)

51 7. 3

3

e

x 8.

2

a x

2x 3

(2



x

ln )

a

9. 5 2

(5

x



2) (3

x



1) (135

x



48)

10.

4cos 4x

11.

7 .cos 7

x

x

₂

cos 7

x

x





12. 2

(6

x

1).

sen x

(3

x

5)





 

13. 2

9.

sen

3 .cos3

x

x

14.

2.

e

sen x2

.cos 2

x

15.

e

x

.cos

e

x 16.

1 12.sec 4x



2 17. 2

3.cossec (3

x

1)





18. 3

4.

sen x

.cos

x

19. 4

5cos

x senx

.



1.9. Derivada de outras funções trigonométricas

1. Calcule as derivadas das funções dadas e preencha a tabela:

1.1.

f x

( )



sec

x

u



y



.

dy

dy du

dx



du dx

Dd 1.2.

f x

( )



cossec

x

u



y



.

dy

dy du

dx



du dx

a

09 função secante x

_{f x}

_{( )}

_

_sec

_x

_

_{f x}

_{'( )}

_

a

10 função cossecante x

f x

( )



cossec

x



f x

'( )



Respostas:

1.10. Derivada da função inversa

função inversa 1

( )

x



f



y

1

 

1

1

( )

'( )

'( )

x

f

y

f

y

f x

 







Demonstração: Seja a função

y



f x

( )

bijetora e derivável no intervalo

I

tal que

f x

'( )



0

para

x



I

.

Como a função

f

, sendo bijetora e derivável, decorre que

    

x

0

y

0

. Portanto, considerando

y

f x

(

x

)

f x

( )

x

x



_

  





, podemos escrever

1

x

y

y

x





_





. Sendo

f

derivável e,

portanto, contínua, se



x

tende a zero, então



y

também tende a zero.

Portanto, 1 ' 0 0 0 1 1 1 ( ) ( ) lim lim '( ) lim y x x x f y y y y f x x x                  . Logo: 1

 

1 1 ( ) '( ) '( ) x f y f y f x      . Ss 11 função logarítmica

1

( )

log

'( )

.ln

a

f x

x

f x

x

a







,

a



0

e

a



1

Demonstração: Pela definição de logaritmo, temos

y



log

_a

x

 

x

a

y. Pela derivada da

função exponencial. Vimos que

x



a

y

 

x

'

a

y

.ln

a

. Empregando a regra da derivada da

função inversa, temos

'

1

1

1

'

y

.ln

.ln

y

x

a

a

x

a







.

Caso Particular:

12 função logarítmica de base

e

1

( )

ln

'( )

f x

x

f x

x







Demonstração:

( )

ln

'( )

1

1

.ln

f x

x

f x

x

e

x









Exemplos: 2

( )

log

f x



x

1

'( )

.ln 2

f x

x



Exercícios: Derive as seguintes funções: 1.

f x

( )



log

₇

x

'( )

2.

f x

( )



log

₅

x

'( )

f x



3.

f x

( )



4log

₂

x



ln

x

'( )

f x



qq

13 função potência

f x

( )



x

n, com expoente real,

n



R

e

x



0

1

( )

n

'( )

.

n

f x



x



f x



n x

 Demonstração: Seja n

y



x

,

n



R

.

Empregando uma das consequências dos logaritmos ( ln x

e



x

), temos

 

ln ln n n x n x

y

x

y

e

y

e







Pela regra da cadeia:

ln

u



n

x

u

y



e

ln 1 1 1

1

.

u

.

n x

. .

n

. .

.

n

dy

dy du

e n

e

n x

x n x

n x

dx

du dx

x

  











Exemplos: 3 3 1 4 4

1. ( )

3

'( )

3

3

,

0

f x

x

f x

x

x

x

x

   



 

 

 



1 2

2. ( )

f x



x



x

1 1 2 1 1 2 2 2 1 2

1

1

1

1

1

'( )

,

0

2

2

2

2

2

f x

x

x

x

x

x

x

  













1 1 1 2 2

1

3. ( )

1

'( )

f x

x

x

f x

x

x

x

   

 

 

 

 

Exercícios: 1. Calcule a derivada: 1.1. 4 3

( )

f x



x

'( )

f x



1.2. 4 5

( )

f x



x

'( )

f x



1.3.

_{f x}

_{( )}



4

_x

'( )

f x



1.4. 3 2

( )

f x



x

'( )

f x



1.5.

f x

( )

2

₄

x



'( )

f x



1.6.

f x

( )

2

₇

x



'( )

f x



1.7. 5

( )

f x



x



'( )

f x



2 Calcule a derivada: 2.1. 1 3 5 2

( )

f x



x



x

'( )

f x



sss

2.2. 1 4 5 3

( )

2

f x



x





x

'( )

f x



ppp 2.3. 2 1 3 4

( )

2

6

f x



x



x



'( )

f x



x 2.4. 3 2

2

( )

6

x

f x

x

e

x







'( )

f x



x 2.5.

f x

( )

2

₃

4

x

x





'( )

f x



x 2.6. _{1 1} 2 3

2

5

( )

f x

x

x





'( )

f x



xssssç 2.7. 2 3 2 4 5

4

15

( )

x

x

f x

x

x

 



'( )

f x



X xssssç 2.8.

f x

( )

1

ln

x

x

 

'( )

f x



Lll 2.9. 3 2

( )

(

2

)(

)

f x



x



x

x



x

( ) '

f x



JJJ

3.Derive as seguintes funções:

3.1.

1

5 3 5

( )

(2

6

)

3

f x



x



x



u



y



.

dy

dy du

dx



du dx

3.2. 2 10 2

1

( )

(3

6 )

f x

x

x

x







u



y



.

dy

dy du

dx



du dx

3.3. 1 2 3

( )

(4

5

2)

f t



t

 

t



u



y



.

dy

dy du

dt



du dt

3.4.

1

3

( )

3

x

f x



e



u



y



.

dy

dy du

dx



du dx

3.5.

f x

( )



e

x

u



y



.

dy

dy du

dx



du dx

3.6. 2

( )

3

2

f x



x



x



u



y



.

dy

dy du

dx



du dx

3.7. 3

( )

1

f x



x



u



y



.

dy

dy du

dx



du dx

3.8. ₃ 2

( )

(

1)

f x



x



u



y



.

dy

dy du

dx



du dx

3.9. 1

( )

(

)

f x



senx



u



y



.

dy

dy du

dx



du dx

3.10. 3 2

7

1

( )

2

3

t

f t

t







 

_

_



_

u



y



.

dy

dy du

dx



du dx

Respostas:

Derivada da função logarítmica 1.

'( )

1

.ln 7

f x

x



2.

'( )

1

.ln 5

f x

x



3.

'( )

1

4

1

ln 2

f x

x







_



_





Derivada da função potência: 1.1. 1 3

4

3

x

1.2. ₁ 5

4

5x

1.3. ₃ 4

1

4x

1.4. ₁ 3

2

3x

1.5.

8

₅

x



1.6.

14

₈

x



1.7.

5

₆

x



2.1. ₄ 5

1

3

2

5

x

x



_2.2. 1 3 6 5

2

4

( )

3

5

x

f x

x

 



2.3. 3 5 4 3

1

4

( )

2

f x

x

x





2.4. 2 3

4

18

x

e

x

x







2.5.

6

₄

4

₂

x

x





2.6. _{3 4} 2 3

1

5

3

x

x





2.7. 3 5 3 4

1

24x

x





2.8.

f x

'( )

1

1

1

x

x







_

 

_





2.9. 3 2

3

2

5

2

x

x

x

 



SDD 3.1. 5 4 4 3 4

6

50

30

(2

) (

)

3

x

x

x

x





3.2. 2 9 3

2

(3

x

6 ) (60

x

x

60)

x







3.3. ₄ 2 ₃

8

5

3(4

5

2)

t

t

t

 

 

3.4. 3

3

x

e





3.5.

2

x

e

x

3.6. 2

2

3

2

3

2

x

x

x







3.7. 2 3

3

2

1

x

x



3.8. ₁ 3

2

3(

x



1)

3.9.

cos x

₂

sen x



3.10. 2 2 2 4

(7

1) ( 42

12

63)

(2

3)

t

t

t

t











S