AVALIAÇÃO DE PERFORMANCE DE CARTEIRAS OTIMIZADAS: UMA ABORDAGEM PRÁTICA DA TEORIA DE MARKOWITZ. Aquiles Poletti Moreira 1

V

V

S

S

E

E

M

M

E

E

A

A

D

D

E

E

S

S

T

T

U

U

D

D

O

O

D

D

E

E

C

C

A

A

S

S

O

O

F

F

I

I

N

N

A

A

N

N

Ç

Ç

A

A

S

S

AVALIAÇÃO DE PERFORMANCE DE CARTEIRAS OTIMIZADAS: UMA ABORDAGEM

PRÁTICA DA TEORIA DE MARKOWITZ

Aquiles Poletti Moreira

Daniela Grácio Soares Moita

R

Este artigo visa apresentar ferramentas de análise de investimento aplicadas à Teoria de

Portfólios em Excel. O trabalho consiste em avaliar carteiras otimizadas segundo índices de

desempenho amplamente difundidos no mercado financeiro. É uma abordagem que une a teoria à

prática a partir do momento que busca operacionalizar os conceitos teóricos. Procurou-se mostrar que a

diversificação de ativos melhora o desempenho de um investimento, ao contrário do que ocorre com o

investidor que aplica todo o seu capital em um único ativo. Além disso, aliado à essa teoria,

procurou-se tornar a tomada de decisão mais consistente através da análiprocurou-se dos diversos indicadores de

desempenho.

1 _{Graduando do terceiro ano de Administração de Empresas, da Faculdade de Economia, Administração e Contabilidade da Universidade de São Paulo e} Vice-Líder da equipe de monitores do Laboratório de Finanças da FIA-FEA/USP. E-mail: aquiles@labfin.com.br

2 _{Graduanda do terceiro ano de Economia, da Faculdade de Economia, Administração e Contabilidade da Universidade de São Paulo e Líder da equipe de} monitores do Laboratório de Finanças da FIA-FEA/USP. E-mail: danimoita@uol.com.br

Introdução

A partir da Teoria de Portfólio de Markowitz o risco passou a fazer parte na análise de investimento e o conceito de diversificação melhor aplicado. Segundo a teoria, por meio da diversificação um investidor conseguiria obter melhores retornos com mesmo nível de risco. Além da análise de retorno e risco , surgiram indicadores complementares para melhor avaliar um investimento, como sharpe, treynor, modigliani, beta, entre outros. Este estudo visa aplicar a teoria de portfólio de Markowitz conjuntamente com os índices de performance procurando tornar mais consistente a análise de investimentos

Para isso foi desenvolvido um programa no excel que otimiza e calcula os índices de qualquer carteira ou ativo. Para ilustrar o processo de diversificação e de formação de carteira foram escolhidas cinco ações nas quais foram calculados todos os índices do estudo para cada ativo. Junto a isso foram formadas cinco carteiras com o mesmo nível de risco dos ativos e foram calculados os índices para cada carteira. O objetivo disso foi confrontar o desempenho das carteiras com o desempenho dos ativos individuais e concluir sobre os benefícios da diversificação e a eficiência no uso dos indicadores de desempenho na avaliação de investimento.

Fundamentação Teórica

Um dos primeiros acadêmicos a incluir a análise de risco na gestão de investimentos foi Harry Markowitz.

A partir de seus estudos surgiu a Moderna Teoria de Portfolios, que passou a apresentar o risco como fator inerente a decisões de investimento, ressaltando a importância e os benefícios decorrentes da diversificação dos ativos.

Para o desenvolvimento desta teoria, Markowitz estabeleceu algumas premissas tais como:

1. Investidores avaliam portfólios apenas com base no valor esperado e na variância (ou desvio-padrão) das taxas de retorno sobre o horizonte de um período.

2. O investidor é racional e sempre escolherá a carteira de maior retorno dentre as carteiras de mesmo risco. 3. O investidor sempre escolherá a carteira de menos risco dentre as carteiras de mesmo retorno.

4. Os ativos individuais são infinitamente divisíveis, significando que o investidor pode comprar a fração de ação se assim desejar.

5. Existe uma taxa livre de risco, na qual um investidor pode, tanto emprestar quanto tomar emprestado. 6. Custos de transição e impostos são irrelevantes

7. Os investidores estão de acordo quanto à distribuição de probabilidades das taxas de retornos dos ativos, o que assegura a existência de um único conjunto de carteiras eficientes.

As únicas expressões relevantes são a média e o desvio dados por:

Retorno

(

)





















=

∑

w

w

R

R

w

R

...

...

[

]

[ ]





















=

∑

w

w

w

w

w

w

ar

.

...

cov

...

cov

Formação de carteiras

Supondo distribuição dos ativos como uma normal, podemos definir a distribuição de probabilidades de uma ação, título ou fundo a partir de apenas 2 parâmetros: média e variância. A partir disso podemos escolher quais possuem a melhor relação risco x retorno. Traçando-se um gráfico podemos verificar isso: A figura 1 mostra o princípio de que quanto maior o risco, maior o retorno exigido pelo investidor. Dentre estes ativos, o investidor com perfil avesso ao risco escolherá o ativo A Na figura 2 podemos verificar o princípio da dominância. Dentro do princípio da racionalidade do investidor ele nunca escolheria o ativo D, pois este possui risco maior e retorno menor que C. Portanto, C tem dominância sobre D. O investidor racional escolheria C. Fig.1 risco

retorno

retorno

A idéia da teoria de carteiras é combinar uma série de carteiras de forma a reduzir o risco através da diversificação. Para disso pode-se reduzir o risco combinando ativos que possuem oscilações contrárias em seus preços.

Partiu-se da idéia de que o retorno de uma carteira composta por dois ativos possui um retorno dado pela média ponderada dos pesos de cada um multiplicador pelos seus respectivos retornos. Já o risco é dado não só pelos riscos individuais mas também pelo grau de relação entre estes ativos, dado pela covariância. Então, teríamos que a relação entre eles é dado por uma hipérbole.

∑

=

R

w

R

ar

w

w

Risco

=

∑

cov

Dado dois ativos com Retorno = R1 e R2 e Risco : σ12e σ22 e grau de relação : cov1,2, teríamos:

Rc=R1.w1+R2.w2

Riscoc2 = w1.w2.cov1,2+w21.var1+w22.var2 De onde se pode concluir que:

2 , 1 2 1

ρ

σ

σ

×

=

Cov

=

×

+

×

+

×

×

σ

×

σ

×

ρ

w

w

var

w

var

w

Risco

Sendo que ρ1,2 é a correlação entre os dois ativos e ele pode variar entre –1 e +1.

Se ρ1,2 for 1, não há o processo de diversificar, porque Risco = w1.σ1+ w2.σ2 e a relação é dada por uma reta. Se ρ1,2 for –1, há o processo de diversificação total pois risco = w1.σ1- w2.σ2.

Se ρ1,2 estiver entre –1 e 1 ocorre também redução do risco.

A MTP revelou que uma diversificação bem feita pode reduzir ou eliminar completamente os riscos únicos. De forma simples, se o preço do petróleo aumentar pode prejudicar os resultados de uma transportadora. Um investidor poderá reduzir ou anular esse risco (refletido no valor das ações) através da compra de ações (com ρ1,2 negativa) de uma empresa

petrolífera que teria seus resultados melhorados em função do aumento no preço do petróleo.

Além do mais, o processo de diversificação não ocorre simplesmente em “colocar os ovos em vários cestos, diferentes”. Ele ocorre efetivamente somente se os ativos combinados tiveram correlações negativas ou diferentes de 1, pois se não o possuírem estavam atuando como se estivesse num único cesto.

Pode-se perceber o efeito e a importância da diversificação através da decomposição do risco total do Portfólio. A equação do risco da carteira pode ser rescrita da seguinte forma:

∑

×

+

∑ ∑

×

×

=

w

w

w

cov

_σ

σ

Supondo que os ativos estejam igualmente distribuídos no portfólio( ou seja, possuem a mesma participação), a equação anterior pode ser rescrita da seguinte forma:

____ 2 2 2 2

cov

1

1

cov

1

1

n

n

n

n

n

−

+

=

+

=

σ

σ

σ

Pode-se perceber que quanto maior o número de ativos, ou seja, n→ ∞ teremos que o risco individual de cada ativo dado pela variância perde importância e o que passa a ter importância é a inter-relação dos ativos, dado pela covariância, que é o risco sistêmico, conjuntural, comum a todos os ativos do mesmo mercado. Em outras palavras, a medida que se aumenta a diversificação de uma carteira, os riscos individuais perdem importância frente a covariância média dos retornos. O que modifica não é o valor das variâncias dos ativos, mas a importância relativa deles, dada por:











 ×

1

n

σ

Nºde Ativos Ris co da Car teir a Risco Diversificável Risco não-diversificável

Os investidores, objetivando reduzir o risco total das suas aplicações deveria manter carteiras diversificadas em vez de concentradas em poucos ativos. O grau de redução do risco vai depender de quão negativamente correlacionados são os ativos da carteira. Quanto menor o nível das correlações, maiores as reduções obtidas.

Entretanto, existem os riscos que não podem ser reduzidos pela diversificação, e estes são chamados de ricos sistêmicos e afetam todos os ativos de mercado. Os valores dos títulos de empresas locais tenderiam a variar em conjunto porque seriam afetados pelos mesmos fatores econômicos nacionais, tais como oscilações da oferta de moeda, de taxa de juros, mudança de política fiscal e variações da taxa de crescimento da economia.

Com isso surge a idéia de “Fronteira Eficiente” , que seria a curva onde estariam focalizados todos os ativos ou carteiras que possuem a melhor relação risco – retorno, ou seja, dado um nível de retorno obtêm-se a carteira com maior retorno.

Retorno

Risco

Conj. De Ativos com Risco

σ R Maior retorno com mesmo risco Menor risco com mesmo retorno Fronteira Eficiente Fronteira Eficiente

Considerando as premissas de mercado eficiente, percebe-se que a curva da fronteira eficiente contém as carteiras com menor nível de risco e maior nível de retorno.

Dentro desta curva pode-se encontrar diferentes perfis de risco – retorno e estes devem se adequar ao perfil d investidor. A curva representa as melhores carteiras para diferentes perfis de risco.

Assim, uma vez estimados os parâmetros dos ativos, ou seja, os retornos, riscos (variâncias) e as covariâncias, podemos encontrar uma série de carteiras só alterando os valores das composições wi.

É importante ressaltar dois aspectos:

• A obtenção da fronteira eficiente de ativos de risco independe do tipo de investidor. Ela resulta tão somente da aplicação do Princípio de Dominância à relação R(σ), que por sua vez depende apenas dos ativos considerados.

• A solução final, isto é, a carteira ótima, é que depende do comportamento do investidor. Ela é obtida varrendo a região factível ( a fronteira eficiente de ativos de risco) com as curvas de utilidade particulares dos investidor.

Processo de Construção de Carteiras

De acordo com Markowitz, o processo de construção de portfólios ou carteiras de ativos é caracterizada por três elementos fundamentais:

1. A informação referente aos ativos sobre os quais se baseia.

2. Os critérios para classificação dos melhores e piores portfólios, que definem os objetivos da análise.

3. Os procedimentos computacionais, através dos quais os portfólios que atendem aos critérios em (2) são obtidos a partir dos inputs em (1).

Ferramentas de Análise de Investimentos

A partir da Moderna Teoria de Portfolios pode-se concluir que o desempenho de uma carteira de investimento não está apenas ligado ao retorno que a mesma oferece. Deve-se considerar para avaliação e escolha de composição de portfólio, o grau de incerteza em relação a determinado investimento através da medida de risco.

Alguns autores buscaram, através de índices de desempenho, ajustar o risco ao retorno e mais que isso, avaliar a consistência da política de investimento dos fundos e seus gestores.

Medidas de retorno ajustado ao risco foram desenvolvidas por Treynor (1965), Sharpe (1966) e Jensen (1968). São medidas amplamente difundidas no mercado para avaliação de fundos. Para avaliar o gestor do fundo, podemos utilizar os índices timing, SS e Jensen.

Neste artigo detalharemos alguns índices, em geral os mais utilizados e conhecidos no mercado.

Índice de Sharpe

O índice de Sharpe avalia a relaçao risco x retorno da carteira. É a relação entre o prêmio pago pelo risco que o investidor assume e o risco total do investimento, representado da seguinte forma:

F

Rf

RF

IS

σ

−

=

Rf : Retono do Ativo Livre de Risco (risk free) σF : Risco do Fundo

Sendo assim, o índice apresenta o prêmio que o ativo paga para cada valor percentual de risco assumido. Quanto maior IS, maior o será o prêmio e, portanto, melhor o fundo.

Pode-se representar o índice de Sharpe da seguinte forma:

E(R

)

R

R

σ

M

Reta do Mercado de Capitais

σ

O índice corresponde à inclinação da Reta do Mercado de Capitais (Capital Market Line), que passa pelo ponto do retorno do ativo livre de risco (risk free) e pelo ponto (σM, RM).

Entretanto, o índice de Sharpe, a partir do momento em que considera o ativo totalmente livre de risco, não leva em consideração o risco do país onde o ativo está sendo negociado. Por esta razão foi criado o índice de Sharpe modificado, que não será objeto de estudo deste artigo.

Índice de Consistência (SS)

O índice SS avalia o grau de consistência do gestor do fundo.

Calcula-se o retorno médio mensal do período, define-se um intervalo móvel para as observações e para cada um desses intervalos calcula-se a média e o desvio dos retornos.

∑

−

+

−

=

R

RF

S

RF

n

)

(

)

(

1

λ

onde: RFµj: retorno médio do fundo em cada intervalo móvel de observações RFsj: devio-padrão do fundo para cada intervalo móvel de observações N: número de intervalos móveis de observações

R*: retorno referencial do fundo S*: risco referencial do fundo

Considerando o par (R*, S*) o centro de referência em determinado período de tempo, o valor do SS corresponde à média das distâncias dos pares (RFµj, RFsj) a esse centro. Quanto menor esse valor, maior o estreitamento entre os níveis de risco e retorno. Quanto menor o SS, maior a consistência da administração do fundo durante determinado período de tempo.

VTM (Valor Teórico Mínimo)

O VTM é o valor teórico mínimo que o cotista terá ao fim do período de 1 mês, com 95% de probabilidade, no caso de uma aplicação de R$ 1.000,00.

O cálculo do VTM é feito através da seguinte fórmula:

)]

)

95

,

0

(

(

1

[

1000

R

DistribNor

mal

VTM

=

+

−

σ

Em síntese, o Índice M2, apresentado por Franco e Leah Modigliani em artigo escrito em 1997,informa se determinado Portfólio apresenta retorno superior ou inferior ao mercado, representado no caso brasileiro pelo Ibovespa.

( )

'

(

)

BV

R

P

R

M

=

−

R(P’) = retorno da carteira formada pelo portfólio em análise e o ativo livre de risco R(BV)= retorno do mercado

O Índice M2 é obtido através da construção de uma carteira formada pelo Portfólio em questão e um ativo livre de risco, como demonstrado por Securato em artigo escrito em 1998, de modo que esta carteira apresente risco equivalente ao de mercado. A diferença entre o retorno alcançado por esta carteira e o retorno do mercado determina o Índice M2,como se segue abaixo:

(

RF

Rf

) ( )

S

BV

(

R

( )

BV

Rf

)

M

−

−

×

−

=

σ

RF = retorno do portfólio em análise Rf = retorno do ativo livre de risco σF = risco do portfólio em análise

R(BV) = retorno do mercado

Como podemos representar o Índice de Sharpe por:

F

Rf

RF

IS

σ

−

=

( )

(

R

BV

Rf

)

BV

S

IS

M

=

×

(

)

−

−

O coeficiente Beta, no modelo CAPM, indica o risco sistemático de determinado ativo. Ele é definido como o coeficiente angular ou inclinação de uma reta de regressão linear.

Em síntese, esse coeficiente mostra a aderência de determinado ativo às oscilações do mercado, ou seja, indica a capacidade do ativo de acompanhar as tendências do mercado. Quanto mais elevado o Beta, maior o risco do ativo analisado.

O coeficiente Beta pode assumir os seguintes valores:

β>1: quando o ativo tem comportamento mais agressivo que o mercado.

β=1: quando o ativo acompanha perfeitamente as oscilações do mercado.

β<1: quando o ativo tem comportamento conservador em relação ao mercado.

β<0: quando o ativo se movimenta em direção contrária ao mercado. O coeficiente Beta pode ser expresso pela seguinte fórmula:

RM RM RF

var

cov

=

β

cov

var

Avaliação de Carteiras Otimizadas em Excel:

• Operacionalização

Para operacionalizar a avaliação de carteiras de investimento, apresentamos um programa desenvolvido em Excel pelo Laboratório de Finanças da FIA-FEA/USP que avalia carteiras otimizadas. Sua operação é bastante simples e oferece ao investidor uma série de indicadores que possibilitam uma abordagem prática e consistente da análise de investimentos. O programa atua em duas etapas: Otimização de Carteiras e Avaliação.

A otimização de carteiras é feita com base na Teoria de Portfolios de Markowitz. A planilha calcula os retornos médios e riscos dos ativos individualmente, a covariância entre eles e, por meio de multiplicação de matrizes dos pesos pelas covariâncias, obtém o risco da carteira. O mesmo ocorre para o cálculo do retorno total da carteira, que é o resultado da multiplicação da matriz dos pesos pelos retornos de cada ativo.

Através da ferramenta Solver, é possível otimizar o retorno e minimizar o risco da carteira. Para tanto, foram inseridas algumas restrições. A primeira consiste na limitação dos pesos, definindo a participação máxima e o mínima de cada ativo na carteira. Em seguida, assume-se que o valor investido é 100% do capital, portanto a soma dos pesos será 1. A última restrição está relacionada aos valores individuais da participação de cada ativo, que deve ser maior que zero, caso contrário estaríamos obtendo uma carteira alavancada1. Após esse procedimento, a carteira otimizada já pode ser obtida.

A avaliação das carteiras otimizadas segue a metodologia de cálculo dos índices apresentados anteriormente. Uma vez otimizadas as carteiras, o programa calcula, simultaneamente, os índices para cada composição sugerida.

• Utilização

- Escolha dos ativos que deverão compor a carteira, no máximo 35; - Inserir dados (cotações) dos ativos;

- Determinar prazo e período (diário ou mensal) para o cálculo; - Definir referência ou não de benchmarks;

- Existem 4 opções de otimização: a) retorno,

b) risco

c) porcentagem de risco ou retorno de benchmarks d) Índice de Sharpe;

- Definir participação mínima e máxima do ativo na carteira; - Otimizar a carteira.

- Se desejar, salvar a carteira.

A operação pode ser repetida para diferentes ativos através da retirada dos dados anteriores. Insere-se novo conjunto de ativos de interesse e reinicia-se o processo.

Aplicação Prática

Para os exemplos abaixo foram escolhidas 5 ações, com liquidez negociadas na Bovespa. São elas: 1) Petrobrás PN - PETR4

2) Globo Cabo PN - PLIM4 3) Banco do Brasil PN - BBAS4 4) Brahma PN - BRHA4 5) Acesita PN - ACES4

1 _{De acordo com Gitman (1997), alavancagem é o uso de ativos ou recursos com custo fixo a fim de aumentar retornos.}

Segundo Ross (1995), carteiras alavancadas correspondem à situação de um indivíduo que toma emprestado para aumentar seu investimento.

Se todo o capital fosse investido individualmente em cada ativo seriam obtidos os seguintes índices: 100% PETR4 100% PLIM4 100% BBAS4 100% BRHA4 100% ACES4 RETORNO 4,96% 12,12% -0,77% 4,89% 1,97% RISCO 19,81% 40,26% 11,89% 15,33% 19,90% BETA IBOVESPA 1,1881 0,7470 0,5307 0,6659 0,7682 BETA CDI 14,28 -13,21 1,98 2,11 -1,01 SHARPE MODIFICADO 0,1588 0,2545 -0,2208 0,1993 0,0063 SHARPE 0,1571 0,2552 -0,2200 0,1988 0,0063 TIMING -0,67 -0,27 -0,33 -0,45 -0,45 VTM - (EM $) 723,74 458,97 796,79 796,70 692,30 TREYNOR (IBOVESPA) 0,026 0,138 -0,049 0,046 0,002 M2 1,150% 2,537% -4,181% 1,740% -0,981% SS 0,5030 1,1959 0,2465 0,3771 0,6051 SORTINO 0,1537 0,1778 -0,2010 0,1913 0,0052 JENSEN 0,0149 0,0994 -0,0232 0,0295 -0,0027 As carteiras, a seguir, foram obtidas a partir do nível de risco de cada ativo, da seguinte forma : Carteira A = risco PETR4

Carteira B = risco PLIM4 Carteira C = risco BBAS4 Carteira D = risco BRHA4 Carteira E = risco ACES4

CARTEIRA A CARTEIRA B CARTEIRA C CARTEIRA D CARTEIRA E RETORNO 7,95% 12,12% 3,76% 6,59% 7,98% RISCO 19,81% 40,26% 11,89% 15,33% 19,90% BETA IBOVESPA 0,7575 0,7470 0,6669 0,7819 0,7571 SHARPE MODIFICADO 0,3075 0,2545 0,1614 0,3095 0,3072 SHARPE 0,3084 0,2552 0,1611 0,3094 0,3081 TIMING -0,40 -0,27 -0,42 -0,45 -0,40 VTM - (EM $) 753,71 458,97 842,09 813,65 752,37 TREYNOR (IBOVESPA) 0,081 0,138 0,029 0,061 0,081 M2 3,289% 2,537% 1,207% 3,303% 3,285% SS 0,5435 1,1959 0,2508 0,3377 0,5472 JENSEN 0,0575 0,0994 0,0182 0,0431 0,0577 Composição petr4 10,98% 0,00% 4,70% 18,59% 10,85% plim4 42,25% 100,00% 7,53% 23,31% 42,58% bbas4 0,00% 0,00% 26,53% 0,00% 0,00% brha4 46,77% 0,00% 55,12% 58,10% 46,57% aces4 0,00% 0,00% 6,11% 0,00% 0,00% TOTAL 100% 100% 100% 100% 100%

Avaliação das Carteiras Otimizadas

A carteira A teve seu retorno otimizado para um risco de 19,81% a.m., que foi o risco registrado pela ação preferencial da Petrobrás no período. Pode-se observar que, para a carteira composta de 100% de ações PETR4 o retorno atingido foi de 4,96% a.m., bastante inferior ao obtido pela carteira A, 7,95% a.m.. Isso ocorre pelo fato de que, diversificando o portfólio, o investidor agregou ao seu invesimento o risco e retono das ações PLIM4 e BRHA4, obtendo maior retorno para o mesmo nível de risco.

A aderência da carteira às oscilações do Ibovespa, medida pelo Beta, diminuiu de 1,1881 para 0,7575, o que significa que a carteira deverá responder às variações do índice de mercado, porém de forma mais conservadora. Esse comportamento deve-se à maior participação na composição da carteira de ações com valor para o índice beta bastante inferior a 1, como por exemplo BRHA4, 0,6659.

O índice de Sharpe obteve considerável melhora, passando de 0,1571 para 0,3075, o que significa que a carteira diversificada conferiu ao investidor um maior prêmio pelo risco corrido em relação à aplicação de 100% na ação PETR4.

O Valor Teórico Mínimo aumentou de R$ 723,74 para R$ 753,71, significando menor possibilidade de perda para o investimento.

O índice M2 apresentou-se sensivelmente melhor ao passar de 1,15% na carteira composta por 100% de ações da PETR4 para 3,29% na nova composição. Esse comportamento demonstra que a relação risco-retorno melhorou, ou seja, que o investidor ganhou mais por investir em determinado nível de risco.

Por ser um portfólio fixo, não existe razão para avaliar a habilidade de escolha de ativos (timing), da mesma forma que o índice de consistência de gestão não se aplica ao exemplo.

Sendo o nível de risco da ação PLIM4 muito elevado se comparado ao das demais que compõe o exemplo, não foi possível obter melhor retorno para risco de 40,26%a.m.

As demais carteiras, C, D e E, obtiveram melhor desempenho do que as carteiras correspondentes, respectivamente, 100% BBAS4, 100% BRHA4, 100% ACES4. É só observar que o retorno da carteira C é de 3,76% a.m para o mesmo nível de risco do portfólio com 100% de ações BBAS4, que obteve -0,77% a.m., e assim por diante.

Considerações Finais

Os resultados apresentados neste trabalho mostram a eficiência da diversificação de ativos partindo-se do pressuposto de que o objetivo do investidor é maximizar seu retorno minimizando o seu risco. Deve-se ressaltar que o desempenho atingido no período não garante o desempenho futuro dos ativos, e portanto não se deve restringir o processo de tomada de decisão à otimização de carteiras. É bastante razoável essa afirmação, uma vez que o desempenho de um ativo está ligado a diversos fatores que não só o comportamento passado, dado o dinamismo do mercado em geral.

Bibliografia:

GITMAN, Lawrence J. Princípios de Administração Financeira. 7ª edição. São Paulo: editora Harbra Ltda., 1997.

MARKOWITZ, Harry M. – Portfolio Selection. Basil Blackwell, Cambridge, Massachusets, 1991.

ODA, André Luiz., SENGER, Maria Carlota Morandin., CHARÁ, Alexandre Noboru - (1995) “Avaliação de Desempenho de Fundos de Investimento: O Guia de Fundos da FEA-USP”. III SEMEAD.

ROSS, Stephen A., WESTERFIELD, Radolph W. e JAFFE, Jeffrey F. – Administtração Financeira. 3ª edição. São Paulo: Editora Atlas S.A., 1995.

SECURATO, José Roberto – Decisões financeiras em condições de risco. Atlas, São Paulo, SP, 1996.

SECURATO, José Roberto. – (1995) “Índice M2 de F. Modigliani e L. Modigliani para Avaliação da Performance de Fundos – O Índice de MM – Modigliani Modificado ”. III SEMEAD.