Comparação entre programação linear e teoria das restrições no
cálculo do mix de produtos: um exemplo real
Angelo Antonio de Miranda Freitas (UFRJ) angelofreitas@brflash.com.br
Flávio Chedid Henriques (UERJ) flaviochedid@hotmail.com
Rodrigo Teófilo Mansur (UERJ) rtmansur@bol.com.br
Resumo: Este artigo compara a programação linear, a teoria das restrições e a teoria das restrições revisada no cálculo do mix de produtos sob diferentes condicionantes. Como os exemplos já propostos na literatura não conseguem reproduzir a escala e a complexidade de uma situação concreta, este artigo confronta os procedimentos supracitados num exemplo real.
Palavras-chave: Programação linear; Teoria das restrições; Plano de produção.
1. Introdução
Para realizar o plano de produção quando a demanda supera a capacidade produtiva e quando nem todas as ordens de produção são feitas contra pedido, é necessário calcular a quantidade a ser produzida de cada produto final, de forma que o lucro operacional da companhia seja maximizado.
Os métodos empregados no cálculo do mix de produtos resumem-se, em geral, à: programação linear (PL) e teoria das restrições (TOC). A discussão sobre estes métodos tem se limitado a exemplos teóricos, que serviram para confirmar que a TOC é uma heurística, capaz de alcançar a solução ótima apenas em casos particulares. Fredendall e Lea (1997) revisaram a TOC, melhorando o desempenho do método para condições mais gerais.
Assim, o objetivo deste trabalho é comparar o desempenho da PL, da TOC e do método revisado de TOC no planelamento de produção de uma indústria, onde as condições gerais do problema possam ser exploradas simultaneamente.
As condições gerais que se pretende estudar são apresentadas na discussão sobre otimização do problema, principal motivação deste artigo. Nesta seção é possível identificar a generalidade que o exemplo real deve ter para apresentar alguma contribuição às discussões anteriores.
Entretanto, a dificuldade em obter autorização para realizar um estudo de caso numa empresa, cujo processo produtivo satisfizesse a generalidade necessária, forçou à investigação de um exemplo na literatura que servisse ao propósito do estudo e dispusesse de todas as informações necessárias para realizá-lo.
Devido à escala do problema de otimização, o processo produtivo é apresentado de forma resumida, com omissão dos dados que não são relevantes para a análise. Em seguida, os resultados obtidos pelos diferentes métodos são apresentados e avaliados quanto a sua: eficácia, eficiência, utilização dos recursos críticos, simplicidade e poder de análise.
2. Programação linear
A programação linear é uma técnica de otimização que serve de instrumental em várias áreas científicas. Modelos de PL aplicáveis ao planejamento da produção (RAMALHETE et al., 1984) consistem de uma função objetivo de maximização do lucro, sujeita a restrições de capacidade e restrições de mercado. Tais modelos são solucionáveis pelo algoritmo simplex,
disponível em vários aplicativos, como o MS Excel.
Quando é imperativo que a solução seja inteira, restrições de integralidade são acrescentadas, o que resulta na seguinte formulação:
∑
= = n j j j q m Maxz 1 Sujeito a:∑
= = ∀ ≤ n j ij j i k i c q t 1 2 1 ,...,, (restrições de capacidade) n j d qj j 1,2,..., 0≤ ≤ ∀ = (restrições de mercado) 0 ≥ j q e inteiro onde:mj – margem bruta do produto j;
qj – quantidade de produto j a ser fabricado;
tij – tempo de processamento do produto j no recurso i;
ci – capacidade do recurso i;
dj – demanda pelo produto j.
Contudo, a solução de problemas de programação linear inteira (PLI) nem sempre é obtida em tempo polinomial, ou seja, num tempo de processamento que possa ser expresso como função polinomial do número de restrições e variáveis envolvidas. Pela similaridade com o problema da mochila pode-se inferir que o problema de planejamento da produção também é NP-árduo. 3. Teoria das restrições
Embora seja uma filosofia de produção abrangente, com aplicações nas áreas de contabilidade, produção, suprimento, qualidade, administração e educação (RAHMAN, 1998), o uso da TOC no cálculo da combinação ótima de produtos vêm sendo freqüentemente relatado em periódicos e livros didáticos.
O método utilizado faz parte dos cinco passos de melhoria contínua propostos por Goldratt e descritos por Luebbe e Finch (1992):
− Identificar o gargalo do sistema;
− Decidir como utilizar plenamente a capacidade do gargalo do sistema; − Subordinar as demais decisões à solução encontrada no passo anterior; − Aumentar a capacidade nos gargalos do sistema;
− Caso algum dos gargalos tenha sido eliminado, retornar ao passo 1. Não deixar que a inércia torne-se o próximo gargalo.
O cálculo da combinação ótima de produtos consiste apenas dos dois primeiros passos. No primeiro, verifica-se em qual recurso há maior escassez de capacidade em relação a uma dada demanda. Em seguida, calcula-se a razão (Ri) entre a margem bruta e o tempo de
planejar a produção a partir do produto que oferece a maior margem por unidade de recurso (por exemplo, horas) utilizado no gargalo. Produz-se a maior quantidade possível entre a demanda e a disponibilidade de recursos no gargalo, repetindo-se este procedimento para os demais produtos em ordem não crescente de margem por unidade de recurso, calculado anteriormente, até que a capacidade do gargalo tenha sido plenamente utilizada.
4. Discussão sobre otimazação no cálculo da combinação ótima de produtos
Apesar de não ter sido o objetivo do artigo, Luebbe e Finch (1992) ao compararem PL e TOC na obtenção da combinação ótima de produtos, induziram os leitores a supor que a mesma solução poderia ser obtida por ambos os métodos. Na sua comparação ressaltou, ainda, as vantagens da TOC no que se refere à análise de pós-otimização, o que é um equívoco, e à simplicidade da TOC, o que facilita a sua implementação e comunicação.
Entretanto, os exemplos propostos por Luebbe e Finch (1992) eram bastante particulares por possuirem apenas um gargalo, ou seja, uma única restrição ativa; as demais eram redundantes. Além disso, nestes exemplos todos os produtos competiam por todos os recursos, o que Fredendall e Lea (1997) consideram como uma das condições necessárias para obter a solução ótima por TOC.
Lee e Plenert (1993) e Plenert (1993) generalizaram o exemplo proposto e mostraram que a TOC falha em obter a solução ótima quando não é possível utilizar plenamente a capacidade do gargalo, devido ao fato de que a disponibilidade restante é insuficiente para fabricar uma unidade adicional do produto planejado. Quando a produção é discreta, uma solução fracionária não é admissível e, então, a solução obtida por PLI é superior à solução por TOC. Balakrishnan e Cheng (2000) acrescentam que a dificuldade combinatória de obter a melhor solução inteira elimina a praticidade da TOC sobre a PLI.
Em crítica a Lee e Plenert (1993), Posnack (1994) argumenta que soluções inteiras não são necessárias. Maday (1994) acrescenta que considerar uma solução inteira, mesmo no planejamento de um único período resulta em redução de lucro no planejamento de múltiplos períodos. Estas críticas não são válidas, pois um produto não acabado (intermediário) não tem o mesmo valor de venda que um produto acabado e, portanto, não pode ser computado na função objetivo com a mesma margem bruta. Ademais, concluir a produção deste produto no período posterior de planejamento implica em consumir tempo do gargalo produzindo um produto que não possui necessariamente a maior margem por unidade de recurso, à revelia das previsões de demanda deste novo período.
Para contornar esta dificuldade, Fredendall e Lea (1997) propuseram a substituição de produtos na solução inicial encontrada pela TOC, ou seja, a redução de um produto pelo acréscimo do produto seguinte na hierarquia de planejamento, respeitadas as restrições de utilização de recursos e de demanda dos produtos.
Contudo, mesmo quando uma solução inteira não é necessária, a TOC pode falhar em obter a solução ótima caso a solução ótima não seja um equilíbrio apenas entre o gargalo e as restrições de mercado (BALAKRISHNAN e CHENG, 2000). Neste caso, diz-se que existem múltiplos gargalos (PLENERT, 1993).
Tais exemplos levaram a Balakrishnan e Cheng (2000) questionarem se um gargalo deve ser definido como o recurso mais sobrecarregado, conforme definido no procedimento de cálculo do mix de produtos por TOC, ou como o recurso que se esgota mais rápido. Fredendall e Lea (1997) consideram ambos na revisão da heurística da TOC. Quando nem todos os recursos são disputados por todos produtos, o gargalo passa a ser o recurso que se esgota mais rápido. Caso contrário, o gargalo é definido a priori como na heurística da TOC.
Por tratar-se de uma técnica de otimização que avalia as compensações entre as diversas restrições de recursos e demandas, a programação linear identifica o gargalo apenas a posteriori, como os recursos que são esgotados na obtenção da solução ótima.
5. Estudo de caso
O estudo de caso escolhido foi realizado por Teixeira (1968) numa indústria farmacêutica com foco na produção de diversos medicamentos. A produção química que serve de insumo para a produção farmacêutica não foi analisada. A escolha baseou-se na amplitude da linha de produtos (108 medicamentos) e na disponibilidade dos dados necessários, o que supostamente permitiria avaliar um caso real com diversas condicionantes, até então apenas exploradas separadamente por meio de exemplos didáticos.
Cada tipo de medicamento pode utilizar embalagens de diferentes volumes, apresentando custos e receitas distintos e, portanto, define-se como produto final o medicamento embalado num volume específico. Assim, as amostras grátis produzidas também serão tratadas como produtos à parte, pois mesmo que tenham volume ou custos de produção iguais a outros medicamentos, diferem no lucro unitário obtido.
A indústria apresenta em sua produção farmacêutica quatro seções principais, que destinam-se a transformar a matéria-prima proveniente da produção química nos medicamentos, que serão posteriormente embalados e lançados no mercado. São elas: seção de xaropes, cremes e pomadas, seção de encapsulamento, seção de pós e comprimidos, e seção de pós em frasco.
Figura 1 – Representação gráfica do processo produtivo
Na seção de xaropes, cremes e pomadas a indústria possui um tanque de fabricação de 1.000 litros (T1000) e dois tanques de 200 litros, sendo que destes últimos, um se destina à produção de líquidos (TL200) e outro para cremes e pomadas (TP200). Cada tanque possui
MP XAR POMMP MP CREM MP CAPS MP COMP MP MIST. TL200 T1000 T1000 TP200 ENCH. XAR ENCH. POM.CREM. TP200 ENCH. POM.CREM. ENCART ENCART ENCART
XAR POM CREM
MIST.V MIST.1 MOIN.1 SEC. ROT. ROT. ENCART CAPS MIST.V MIST.1 MOIN.1 COMP. 1 E 2 MP PFRAS COMP. 3 COMP. 4 ROT. ENCART COMP ESTUF MIST.V ESTUF MOIN.1 ROT. ENCART ENCH. POM.CREM. MIST. PFRAS
disponibilidade de 8 horas/semana e 22 dias/mês (vide tabela 1). Entretanto, os tanques de 200 litros não podem funcionar simultaneamente por restrições operacionais.
Ainda na seção de xaropes, cremes e pomadas há uma etapa de enchimento dos volumes. Para essa atividade existem duas máquinas de enchimento sendo que uma para líquidos e outra para cremes e pomadas. A disponibilidade de ambas as máquinas de enchimento também é de 176 horas/mês (vide tabela 1).
Na seção de pós e comprimidos são fabricados, como medicamentos finais, os comprimidos e misturas. Também são produzidos os pós para a seção de cápsulas e as misturas intermediárias usadas em produtos da própria seção e da seção de xaropes, cremes e pomadas. Esta seção contém os seguintes recursos: misturador V, misturador 1, quatro máquinas de compressão, moinho 1 e a estufa. As disponibilidades são apresentadas na tabela 1.
A seção de encapsulamento recebe a matéria-prima proveniente da seção de pós e comprimidos para fabricar cápsulas que, em seguida, são secadas, lavadas e secadas novamente, antes de serem rotuladas e embaladas. O único recurso específico desta seção é a câmara de secagem, que opera continuamente (24 horas por dia e 30 dias por mês).
A matéria-prima dos pós em frascos é recebida da indústria química e, então, envasada em frascos por meio de uma máquina de enchimento com disponibilidade total de 612000 seg/mês (vide tabela 1).
Tabela 1 – Disponibilidade dos recursos produtivos
O último processo produtivo da indústria farmacêutica é o processo de embalagem, que é composto por enchimento de frascos (exceto os pós em frascos), rotulagem e encartuchagem (processo de se colocar os frascos nas caixas junto com suas respectivas bulas).
6. Análise comparativa
Com o auxílio do Excel, foram definidos os planos de produção, utilizando as técnicas já mencionadas. Para a resolução por PLI foi utilizada a ferramenta Solver do MS Excel.
Os métodos serão comparados pelos seguintes critérios: − Eficácia (capacidade de obter a solução ótima);
Recursos Produtos processados Disponibilidade mensal (em segundos) T1000 Xaropes; pomadas 633.600 T0200 Xaropes; pomadas; cremes 633.600 Enchimento de xaropes Xaropes 633.600 Enchimento de cremes e pomadas Pomadas; cremes 633.600 Secagem Cápsulas 2.592.000 Estufa Comprimidos;mistura 1.893.600 Misturador V Cápsulas; comprimidos; misturas 592.800 Misturador 1 Cápsulas; comprimidos 603.600 Moinho 1 Cápsulas; comprimidos; misturas 597.600 Máquina de compressão 1 e 2 Comprimidos 620.100 Máquina de compressão 3 Comprimidos 630.000 Máquina de compressão 4 Comprimidos 630.000 Enchimento de pós em frasco Pós em frascos 612.000 Rotulagem Xaropes; cápsulas; misturas 633.600 Encartuchagem
Xaropes; pomadas;cremes; cápsulas;
− Eficiência (tempo de processamento computacional para obter a solução); − Utilização dos recursos críticos;
− Visibilidade do processo de otimização; − Poder de análise de pós-otimização.
Os lucros e o percentual de utilização dos recursos críticos, isto é, aqueles cuja capacidade disponível não atende à demanda, são apresentados na tabela 2.
PLI TOC TOCR
Solução (MM $) 697,078 684,602 688,460 Dif. Percentual 100,00% 98,21% 98,76%
Utilização dos recursos críticos (%)
T1000 0,863 0,860 1,000
Secagem 1,000 1,000 1,000
Mist V 1,000 0,895 1,000 Encartuchagem 1,000 0,998 1,000
Tabela 2 – Resultados
Percebe-se que a PLI resulta num lucro aproximadamente 1,8% maior que a TOC. Isto se deve à melhor utilização dos recursos críticos por parte da PLI, o que pode ser constatado na tabela 2. Por considerar todas as restrições simultaneamente, a PLI otimiza a utilização dos recursos críticos e conseqüentemente o lucro.
A diferença entre o lucro da PLI e da TOC revisada (TOCR), proposta por Fredendall e Lea (1997), é de apenas 1,2%. O desempenho do algoritmo da TOCR é superior ao da TOC por considerar todos os recursos restritivos no planejamento, o que pode ser verificado pela plena utilização de recursos que esta solução proporcionou. Contudo, a TOCR não foi capaz de obter a solução ótima por falhar na avaliação das compensações entre os recursos restritivos. Como o misturador V seria o recurso mais sobrecarregado no atendimento à demanda, é considerado como gargalo pela TOC. Apesar disso, nota-se que o plano de produção gerado por este método é inviável, pois o recurso secagem se esgota mais rápido que o misturador V. Assim, a solução viável obtida subutiliza o gargalo (89,5% da capacidade), o que pode ser verificado na tabela 2. Este resultado contradiz o segundo passo do método (preencher a capacidade do gargalo do sistema).
Aliás, o fato de se esgotar mais rápido que os demais recursos torna a secagem o recurso mais restritivo deste sistema de produção, razão pela qual este recurso é plenamente utilizado por todos os métodos.
Os planos de produção por TOC e por PLI diferiram em apenas 13 casos. Foi observado que as diferenças concentram-se nos recursos que utilizam o misturador V (suposto gargalo pela TOC) e devem ter sido causadas pelos ajustes que foram realizados para viabilizar o plano de produção por TOC, os quais resultaram na subutilização deste recurso. As diferenças entre o plano ótimo e o plano calculado pela TOCR chegaram a 17 produtos, na sua maioria xaropes, que utilizam o tanque de 1000 litros. Tal fato resulta do sequenciamento incorreto dos recursos restritivos proposto por esta heurística.
Quanto à visibilidade do processo, tanto a TOC quanto a TOCR permite uma melhor percepção da lógica do processo de otimização, podendo ser desenvolvida em uma simples planilha eletrônica, ou mesmo com o auxílio de uma calculadora. Tal simplicidade possibilita maior aceitação dos planos propostos e, portanto, facilita a sua implementação.
Apesar disso, atualmente, os recursos computacionais permitem que modelos de PL sejam construídos de forma rápida e simples. Cabe ressaltar que este modelo de PLI demorou aproximadamente 90 minutos para ser resolvido com um processador de 1,4GHz. Porém, devido à ordem de grandeza das demandas (milhares de produtos), a PL poderia ser empregada para resolver o problema sem grande prejuízo para o planejamento da produção, dado que a diferença entre as soluções de PL e PLI foi desprezível. O problema foi resolvido por PL em menos de 10 segundos, com uma diferença no mix de produtos de apenas 8 medicamentos em relação ao plano ótimo.
A análise de sensibilidade possibilita verificar qual seria o impacto na função objetivo de reduções ou aumentos marginais de capacidade nos recursos restritivos. Assim, é aplicável apenas quando soluções fracionárias são admitidas. Quando soluções inteiras são necessárias, nenhum dos métodos abordados foi capaz de avaliar diretamente a melhor opção de aumento de capacidade dos recursos, devido ao grande número de combinações possíveis. Contudo, procedimentos eficientes como a TOC e a TOCR podem ser calculados repetidamente para avaliar os diversos cenários de planejamento, dispensando uma análise de pós-otimização. 7. Conclusões
O estudo permitiu verificar as diferenças entre os métodos num exemplo real, tanto em escala, quanto em complexidade. O exemplo tratado abrangeu a existência de múltiplos recursos restritivos (vide tabela 1), a ocorrência de folgas no gargalo (conforme definido pela TOC) e condições gerais de compartilhamento de recursos de produção pelos produtos. Além disso, a existência de diferenças na ordem de grandeza das capacidades dos recursos, revelou uma fragilidade na TOCR em hierarquizar recursos restritivos, que ainda não havia sido explorada em exemplos da literatura.
Os métodos TOC e TOCR falharam em encontrar a solução ótima, obtida por PLI. Por outro lado, mostraram-se bastante eficientes em relação à PLI, propiciando a geração de planos de produção com grande rapidez., mesmo com recursos computacionais escassos.
A tentativa de utilizar a solução viável obtida por TOC como solução inicial para o PLI não resultou numa diminuição significativa no tempo de processamento. Assim, não há vantagem em combinar os métodos de cálculo do mix de produtos.
Embora não tenha alcançado a solução ótima, a TOCR apresentou maior performance por apresentar as mesmas vantagens da TOC no que concerne à eficiência e visibilidade do processo de otimização, e alcançar plena utilização dos recursos restritivos, em especial do misturador V (gargalo pela TOC) e da secagem (recurso que se esgota mais rápido).
Para pesquisas futuras sobre o assunto, sugere-se estudar as modificações na TOCR que permitiriam que ela alcançasse a solução ótima sob condições mais gerais. Outra linha de pesquisa seria a investigação de métodos exatos de maior eficiência, aplicáveis ao problema de planejamento da produção por PLI, dada a sua similaridade com o problema da mochila. Outro tema útil seria o estudo de caso do planejamento de produção em diversas indústrias, o que permitiria levantar as dificuldades práticas da substituição e implementação de um método, o que ainda não foi especificamente abordado nos estudos sobre o assunto.
Referências
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TEIXEIRA, N. C. (1968) - Programação linear aplicada à indústria farmacêutica – Dissertação de mestrado – COPPE/UFRJ, Rio de Janeiro.
