UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA CENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E EXATAS CURSO DE MATEMÁTICA BACHARELADO. Eduardo Henrique Philippsen

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA CENTRO DE CIˆENCIAS NATURAIS E EXATAS

CURSO DE MATEM ´ATICA BACHARELADO

Eduardo Henrique Philippsen

T ÓPICOS AVANÇ ADOS EM ÁLGEBRA LINEAR UTILIZANDO ´

ALGEBRA ABSTRATA

Santa Maria, RS 2016

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ALGEBRA ABSTRATA

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Curso de Matemática Bacharelado da Universidade Federal de Santa Maria (UFSM,RS), como requisito parcial para obten¸cão do grau de Bacharel em Matemática.

Orientador: Prof. Dr. Dirceu Bagio

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Eduardo Henrique Philippsen

ALGEBRA ABSTRATA

Trabalho de Conclusão de Curso apresen-tado ao Curso de Matemática Bacharelado da Universidade Federal de Santa Maria (UFSM,RS), como requisito parcial para obten¸cão do grau de Bacharel em Ma-temática.

Aprovado em 07 de Dezembro de 2016:

Dirceu Bagio, Prof. Dr. (Orientador)

Oscar Marquez, Prof. Dr. (UFSM)

Pedro Fusieger, Prof. Dr. (UFSM)

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ALGEBRA ABSTRATA

AUTOR: EDUARDO HENRIQUE PHILIPPSEN ORIENTADOR: DIRCEU BAGIO

Neste trabalho realizaremos um estudo sobre os operadores lineares em espa¸cos vetorias de dimensão finita. Vamos apresentar a demonstra¸cão dos teore-mas da decomposi¸cão c´ıclica, da decomposi¸cão primária e consequentemente a forma de Jordan de um operador linear. Particularmente, obtemos a existência de uma base na qual a matriz associada é uma matriz diagonal em blocos. Palavras Chaves: Operadores Lineares, Subespa¸cos Invariantes, Subespa¸cos C´ıclicos e Forma de Jordan.

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ABSTRACT

ADVANCED TOPICS IN LINEAR ALGEBRA USING ABSTRACT ALGEBRA

AUTHOR: EDUARDO HENRIQUE PHILIPPSEN ADVISOR: DIRCEU BAGIO

In this work we will study linear operators on vector spaces of finite dimension. We will present the proofs of the theorems of the cyclic decomposition, the primary decomposition and consequently the Jordan form of a linear operator. Particularly we obtain a basis on which the associated matrix is a diagonal block matrix. Keywords: Linear Operators, Invariant Subspaces, Cyclic Subspaces and Jordan Form.

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1 INTRODUC¸ ˜AO . . . 6

1.1 Conven¸c˜oes . . . 7

2 DOM´INIOS DE INTEGRIDADE . . . 8

2.1 Dom´ınio de Fatora¸c˜ao ´Unica . . . 8

2.2 Dom´ınio de Ideais Principais . . . 12

2.3 Dom´ınio Euclidiano . . . 14

3 O TEOREMA DA DECOMPOSIÇ ÃO PRIM ÁRIA . . . 16

3.1 Diagonaliza¸c˜ao . . . 16

3.1.1 Polinˆomio Caracter´ıstico . . . 16

3.1.2 Polinˆomio minimal . . . 19

3.2 Somas Diretas e Invariantes . . . 20

3.3 Teorema da Decomposi¸c˜ao Prim´aria . . . 27

4 O TEOREMA DA DECOMPOSIÇ ÃO CÍCLICA . . . 32

4.1 Subespa¸cos C´ıclicos e Anuladores . . . 32

4.2 O Teorema da Decomposi¸c˜ao C´ıclica. . . 36

5 FORMA RACIONAL DE JORDAN . . . 43

5.1 Matriz companheira de um operador nilpotente . . . 43

5.2 Forma de Jordan . . . 44

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6

1

INTRODUC¸ ˜AO

´

Algebra linear é uma ferramenta fundamental para o desenvolvimento de pesquisa em diversas áreas da ciência, e principalmente, em matemática pura e aplicada. Por esta razão, dominar os conceitos de álgebra linear e saber aplicá-los, é imprescind´ıvel na forma¸cão de um bacharel em matemática.

Operadores lineares aparecem frequentemente nas pesquisas desenvolvidas por matemáticos. Por exemplo, na teoria de representa¸cões de álgebras, os opera-dores lineares tem um papel central. Também aparecem com frequência em análise funcional, equa¸cões diferenciais, geometria diferencial e em matemática aplicada. Em geral, um operador linear definido sobre um espa¸co vetorial de dimensão finita não é diagonalizável. No entanto, podemos representá-lo em uma base na qual a matriz associada é uma matriz diagonal em blocos. Tal representa¸cão facilita o es-tudo das propriedades do operador e é chamada de forma de Jordan do operador linear.

Neste trabalho, apresentamos a demonstra¸cão da forma de Jordan de um operador linear sobre um espa¸co vetorial de dimensão finita. Isso será feito no Cap´ıtulo 4. Para isso, usaremos o teorema da decomposi¸cão primária e o teorema da decomposi¸cão c´ıcilica, os quais são provados nos Cap´ıtulos 2 e 3 respectivamente. Estes teoremas são demonstrados usando como referência [2]. Neste livro, os autores dão um enfoque algébrico para a álgebra linear. Mais precisamente, diversos resul-tados de álgebra linear são provados com o aux´ılio de resultados de álgebra abstrata. Por esta razão, no Cap´ıtulo 1 revisamos alguns dos principais resultados de álgebra abstrata necessários para o entendimento dos teoremas apresentados no restante do trabalho.

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1.1 Conven¸

c˜

oes

Em todo este trabalho, N = {0, 1, . . .} denota o conjunto dos n´umeros na-turais e N0 _{= {1, 2, . . .}. Dado um anel com unidade R, o conjunto dos elementos}

invers´ıveis ser´a denotado por R∗.

A menos que seja mencionado algo contr´_{ario, k denotar´a sempre um corpo} algebricamente fechado e k× = k − {0}. Todos os espa¸cos vetoriais considerados neste trabalho s˜ao de dimens˜_{ao finita e sobre o corpo k.}

Dado um operador linear T : V → V e v ∈ V , usaremos indistintamente T · v e T (v) para indicar a imagem do vetor v pelo operador T . Se S : V → V é outro operador linear, denotaremos a composi¸cão de S e T por ST ao invés de S ◦ T . O operador identidade de V será denotado simplesmente por I.

Sejam V um espa¸co vetorial, X = {w1, . . . , wr} e Y = {v1, . . . , vs}

sub-conjuntos de V . Seguindo a nota¸c˜ao de [2], Z = (X, Y ) denotar´a o conjunto {w1, . . . , wr, v1, . . . , vs}.

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2 DOM´INIOS DE INTEGRIDADE 8

2

DOM´INIOS DE INTEGRIDADE

Neste cap´ıtulo apresentaremos alguns conceitos e resultados de álgebra abs-trata que serão utilizados no desenvolvimento deste trabalho. Mais precisamente, trataremos sobre as no¸cões de dom´ınio Euclidiano, dom´ınio de ideais principais e dom´ınios de fatora¸cão única. As demonstra¸cões omitidas neste cap´ıtulo podem ser vistas em [3].

2.1 Dom´ınio de Fatora¸

c˜

ao ´

Unica

Nesta se¸cão introduziremos o conceito de dom´ınio de fatora¸cão única, abor-daremos alguns exemplos e, em seguida, apresentaremos uma caracteriza¸cão destes dom´ınios.

Iniciamos relembrando que um anel comutativo com unidade D é dito um dom´ınio (ou dom´ınio de integridade) se D não possui divisores de zero, ou seja, dados a, b ∈ D tais que a · b = 0, então a = 0 ou b = 0.

Dado um dom´ınio D, denotaremos por D∗o grupo dos elementos invers´ıveis de D. Lembremos que um elemento p ∈ D ´e dito irredut´ıvel se p 6= 0, p /∈ D∗ _{e vale:}

p = a · b, com a, b ∈ D ⇒ a ∈ D∗ ou b ∈ D∗.

Defini¸cão 2.1. Um dom´ınio de fatora¸cão única (DFU) D é um dom´ınio tal que todo elemento a ∈ D, tal que a 6= 0 e a não é a unidade, satisfaz as seguintes condi¸cões:

(i) existem n ∈ N e elementos irredut´ıveis p1, . . . , pn∈ D tais que a = p1·p2. . . pn,

(ii) esta decomposi¸cão é única, a menos de reordena¸cão e multiplica¸cão por ele-mentos invers´ıveis, isto é, se a = q1· q2. . . qm, m ∈ N, é outra decomposi¸cão

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de a em elementos irredut´ıveis de D ent˜ao m = n e existe uma permuta¸c˜ao σ ∈ Sn tal que qi = uipσ(i), onde cada ui ∈ D∗.

Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 2.2. O anel Z dos números inteiros é um dom´ınio de fatora¸cão única. De fato, Z é um dom´ınio de integridade e, além disso, o teorema fundamental da aritmética garante que todo elemento não nulo e não unidade é um produto de números primos (irredut´ıveis) e essa fatora¸cão é única.

Exemplo 2.3. Dado um corpo k, considere o anel de polinômios k[x] com coefici-entes no corpo k. É f´_{acil verificar que k[x] é um dom´ınio de integridade que possui} fatora¸cão única, ou seja, é um dom´ınio de fatora¸cão única. Veremos mais adiante que k[x] é um dom´ınio Euclidiano e que todo dom´ınio Euclidiano é um dom´ınio de fatora¸cão única.

Defini¸c˜ao 2.4. Seja D um dom´ınio. Dois elementos a, b ∈ D s˜ao ditos associados se existe um elemento invers´ıvel u ∈ D tal que a = u · b.

Exemplo 2.5. Considere o subanel Z[√5i] := {a + b√_{5i : a, b ∈ Z} de C. Ent˜ao} Z[

√

5i] é um dom´ınio. E f´´ acil verificar que 2 +√5i, 2 − √5i e 3 são elementos irredut´ıveis de Z[√5i] e não associados, isto é, não diferem pelo produto de um invers´ıvel. Como 9 = 3 · 3 = (2 +√5i) · (2 − √_{5i), segue que Z[}√5i] não é um dom´ınio de fatora¸cão única.

Teorema 2.6. Se D é um dom´ınio de fatora¸cão única então o anel de polinômios D[x] é um dom´ınio de fatora¸cão única.

A seguir estudaremos uma caracteriza¸cão dos dom´ınios de fatora¸cão única. Iniciamos com a defini¸cão de ideal principal.

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Seja R um anel comutativo com unidade. Um ideal I de R é dito um principal se I é gerado por um único elemento, isto é, existe a ∈ I tal que

I = aR = Ra = {x · a : x ∈ R}.

Um ideal principal I de R gerado por a ser´a denotado por I = (a). Agora apresentamos a condi¸c˜ao de cadeia ascendente.

Defini¸c˜ao 2.7. Um dom´ınio D satisfaz a condi¸c˜ao de cadeia ascendente de ideais principais (CCAP) se sempre que existem elementos ai ∈ D, i ∈ N, com

(a1) ⊆ (a2) ⊆ (a3) ⊆ · · · ⊆ (ai) ⊆ · · ·

ent˜_{ao existe k ∈ N de modo que (a}i) = (ai+1) para i ≥ k.

O teorema a seguir fornece uma caracteriza¸c˜ao de dom´ınios de fatora¸c˜ao ´

unica.

Teorema 2.8. Seja D um dom´ınio. Ent˜ao D ´e um (DFU) se, e somente se, D satisfaz a (CCAP).

Demonstra¸c˜ao. Suponha que D ´e (DFU) e sejam ai ∈ D, i ∈ N tais que (a1) ⊆

(a2) ⊆ (a3) ⊆ · · · ⊆ (ai) ⊆ · · · . Notar que ai+1 | ai para todo i pois: ai ∈ (ai+1) ⇒

ai = b · ai+1, para algum b ∈ D. Em particular ai | a1 para todo i. Assuma que a1

seja não nulo e que não seja unidade. Então, por D ser um (DFU), sabemos que a1 = pr11· p

r2

2 · · · p r_m1

m1 , onde cada pj ´e um elemento irredut´ıvel em D e ri ∈ N, ri > 0.

Como ai | a1 para todo i ≥ 1 ent˜ao cada ai ´e da forma

ai = ui· p ri 1 1 · p ri 2 2 · · · p ri mj mj

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Logo, existe kj ∈ N tal que ri+1j = rji sempre que i ≥ kj. Desta forma, para

i suficientemente grande (basta tomar i maior que o m´aximo entre os k0_js) temos ai = ui·p r1i 1 ·p ri2 2 · · · p ri mj m1 e ai+1 = ui+1·p r1i 1 ·p ri2 2 · · · p ri mj

m1 . Assim obtemos ai = ui·u

−1 i+1·ai+1.

Portanto ai e ai+1 diferem pelo produto de um invers´ıvel, o que nos garante que os

ideais gerados por eles s˜ao iguais, ou seja, (ai) = (ai+1) para i suficientemente

grande.

Reciprocamente, suponhamos que D satisfaz (CCAP) e vamos provar que D é um dom´ınio de fatora¸cão única. Para isso tomamos um elemento a0 não nulo e

que n˜ao ´e uma unidade e definimos o conjunto

DF = {g ∈ D : g ´e produto de irredut´ıveis de D}

Vamos provar que a0 ∈ DF. Suponhamos por contradi¸c˜ao que a0 ∈ D/ F. Ent˜ao a0

é um elemento não irredut´ıvel e da forma a0 = a1· b1, com a1, b1 ∈ D \ D∗. Além

disso a1 ∈ D/ F ou b1 ∈ D/ F pois, caso contr´ario, a0 pertenceria a DF. Consideremos,

sem perda de generalidade, que a1 ∈ D/ F. De modo an´alogo temos a1 = a2 · b2

onde a2, b2 ∈ D \ D∗ com a2 ∈ D/ F ou b2 ∈ D/ F. Seguindo este processo de modo

indutivo obtemos ai, bi ∈ D \ D∗, ambos n˜ao nulos, de forma que ai = ai+1· bi+1

com ai+1, bi+1∈ D \ D∗. Agora observamos que, por constru¸c˜ao ai+1 | ai. Assim os

ideais gerados por eles satisfazem (a1) ⊆ (a2) ⊆ (a3) ⊆ · · · ⊆ (ai) ⊆ · · · . Al´em disso,

afirmamos que (ai+1) 6= (ai). De fato, se tiv´essemos a igualdade ent˜ao ai+1 = ci· ai

para algum ci ∈ D. Consequentemente ai = ci · bi+1· ai. Dado que D ´e dom´ınio,

isto implica que ci· bi+1 = 1. Logo bi+1 ´e um elemento invers´ıvel, o que contradiz o

fato que cada bi ∈ D/ ∗. Portanto n˜ao podemos ter igualdades nesta cadeia de ideais,

contrariando a condi¸c˜ao de cadeia ascendente de ideais principais. Conclu´ımos que a0 deve pertencer a DF. Assim cada elemento de D admite uma fatora¸c˜ao por

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2.2 Dom´ınio de Ideais Principais

Nesta se¸cão apresentamos o conceito de dom´ınio de ideais principais, anali-samos a rela¸cão que existe entre eles e os dom´ınios de fatora¸cão única e em seguida apresentamos exemplos.

Defini¸cão 2.9. Um dom´ınio é dito dom´ınio de ideais principais (DIP) se todos os seus ideais são principais.

O teorema abaixo estabelece a rela¸cão existente entre (DIP) e (DFU). Teorema 2.10. Se D é (DIP) então D é (DFU).

Demonstra¸c˜ao. Seja D um dom´ınio de ideais principais. Conforme verificamos no Teorema 2.8, ´e suficiente mostrar que D satisfaz a (CCAP). Para isso, consideramos elementos ai ∈ D, i ∈ N, que formam uma cadeia ascendente de ideais principais,

ou seja,

(a1) ⊆ (a2) ⊆ (a3) ⊆ · · · ⊆ (ai) ⊆ · · ·

Vamos provar que esta cadeia ´e estacion´aria. Considere I :=S

i∈N(ai). Desde que

(ai) ⊆ (ai+1) para todo i ≥ 1, segue que I ´e um ideal de D. Como D ´e um (DIP),

ent˜ao I ´e um ideal principal, ou seja, existe a ∈ D de modo que I = (a). Assim a ∈ (ak) para algum k ∈ N. Desde que (ak) ⊆ (aj) segue que a ∈ (aj), para todo

j ≥ k. Logo (a) ⊆ (aj) para todo j ≥ k. Por constru¸c˜ao, (aj) ⊆ (a), para todo

j ∈ N. Portanto (ak) = (a) = (aj) sempre que j > k.

Vejamos um exemplo de um ideal que n˜ao ´e principal.

Exemplo 2.11. No anel de polinˆ_{omios Z[x] considere o ideal gerado pelos} po-linˆomios 2 e x, isto ´_{e, I = {2 · u(x) + x · v(x) : u(x), v(x) ∈ Z[x]}. Vamos provar}

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que I não é principal. De fato, note primeiramente que I não é igual ao conjunto Z[x] pois se a identidade pertence a I então tem-se 1 = 2 · h(x) + x · h0(x), onde h(x), h0_{(x) ∈ Z[x]. Isto só acontece se h}0(x) = 0 e 1 = 2 · h(x). Desta forma

0 = ∂(1) = ∂(2 · h(x)) = ∂(2) + ∂(h) = ∂(h).

Assim h(x) = c, c 6= 0. Consequentemente 1 = 2 · c, implicando que 2 ´e um elemento invers´ıvel de Z[x]. Mas sabemos que n˜ao existe u ∈ Z[x] tal que u · 2 = 1. Portanto 1 /∈ I.

Agora observamos que I não pode ser gerado por um único elemento. Para isso suponha por contradi¸cão que I = (u(x)) e considere o elemento 2 + x ∈ I. Tem-se 2 + x = u(x) · v(x), para algum v(x) ∈ Z[x]. Da´ı 1 = ∂(2 + x) = ∂(u) + ∂(v) , ou seja,    ∂(u) = 0 ∂(v) = 1 ou    ∂(u) = 1 ∂(v) = 0

Portanto u(x) = a · x + b e v(x) = c · x + d, com ac = 0 pois pelo menos um dos polinˆomios deve ter grau 0. Ent˜ao u(x) · v(x) = ac · x2_{+ (ad + bc) · x + db = x + 2.}

Analisemos separadamente cada caso. Se a = 0 então tem-se b · c = 1 e da´ı b = ±1. Consequentemente (u(x)) = (0 · x ± 1) = (±1) = Z[x], que é um absurdo, conforme vimos inicialmente. Se c = 0 então a · d = 1 e b · d = 2 e segue que a = ±2 e b = ±2. Assim u(x) = ±x ± 2 e I é gerado por algum destes elementos. Novamente temos um absurdo pois 2 ∈ I e 2 /∈ (u(x)). De fato, se 2 ∈ (u(x)) então 2 = u(x)r(x), r(x) ∈ Z[x] donde ∂(2) = ∂(u) + ∂(r). A igualdade 0 = 1 + ∂(r) nos dá o absurdo. Observa¸cão 2.12. A rec´ıproca do teorema anterior não é verdadeira. De fato, considere o anel de polinˆ_{omios Z[x]. Como Z é um (DFU), pelo Teorema 2.6 temos} que Z[x] é um (DFU). No entanto, o Exemplo 2.11 mostra que Z[x] não é (DIP).

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Exemplo 2.13. O anel dos n´_{umero inteiros Z é um exemplo de um (DIP). De fato,} considere um ideal I de Z. Se I = 0 então I é gerado pelo 0. Se I não é zero, considere o menor elemento positivo a0 que pertence ao ideal I (notar que existe).

Usando o algoritmo da divis˜ao prova-se que I = (a0).

2.3 Dom´ınio Euclidiano

Agora apresentaremos a defini¸c˜ao de dom´ınio Euclidiano e veremos sua rela¸c˜ao com os dom´ınios de ideais principais.

Defini¸c˜ao 2.14. Um dom´ınio D ´e dito um dom´ınio Euclidiano (DE) se existe uma fun¸c˜_{ao δ : D \ {0} → N de forma que para quaisquer f, g ∈ D, com g 6= 0, existem} q, r ∈ D tais que

f = q · g + r e δ(r) < δ(g)

Exemplo 2.15. O algoritmo da divis˜_{ao de Euclides nos garante que o anel Z dos} n´umeros inteiros com a fun¸c˜_{ao δ : Z → N, dada por δ(a) = |a|, ´e um dom´ınio} Euclidiano.

Exemplo 2.16. Considere o anel de polinˆ_{omios k[x] e δ : k[x] → N dada por} δ(f ) = deg (f), isto é, δ(f ) é igual ao grau do polinômio f . Estamos convencionando que o grau do polinômio nulo é zero. Novamente, o algoritmo da divisão de Euclides sobre k[x] assegura que k[x] é um dom´ınio Euclidiano via a fun¸cão grau.

O próximo teorema estabelece uma implica¸cão importante dos (DE). Teorema 2.17. Todo dom´ınio Euclidiano é um dom´ınio de ideais principais.

Demonstra¸cão. Seja D um (DE) e I um ideal de D. Vamos verificar que I é prin-cipal. Se I = 0 então I é ideal principal gerado por 0. Suponha I não nulo e tome

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um elemento b ∈ I de forma que

δ(b) = min{δ(x) : x 6= 0, x ∈ I}

onde δ : D → N. Afirmamos que I = (b). De fato, para qualquer elemento y ∈ (b) tem-se y = b · d, d ∈ D. Assim y ∈ I e temos I ⊂ (b). Dado a ∈ I, a defini¸cão de dom´ınio Euclidiano nos garante que existem q, r ∈ D tal que a = b · q + r com 0 ≤ δ(r) < δ(b). Suponha que r 6= 0. Então r = a − q · b e desta forma r ∈ I pois a, b · q ∈ I. Tem-se então δ(r) < δ(b) e r ∈ I, o que contradiz o fato de que δ(b) = min{δ(x) : x 6= 0, x ∈ I}. Logo r = 0 e a = b · q ∈ (b). Portanto I = (b) é um ideal principal gerado por b.

Observa¸cão 2.18. A rec´ıproca do teorema anterior não é verdadeira. A maioria dos exemplos de dom´ınios de ideais principais que não são dom´ınios Euclidiano aparecem na teoria de números. Por isso, apresentá-los aqui demandaria desenvolver vários conceitos, os quais não são o objeto de estudo deste trabalho. No entanto, o leitor interessado pode consultar a referência [1] para tal exemplo.

Por Teorema 2.10 e 2.17, estudados neste cap´ıtulo, temos as seguintes im-plica¸c˜oes:

(DE) ⇒ (DIP) ⇒ (DFU).

Em particular, temos que todo dom´ınio Euclidiano é um dom´ınio de fatora¸cão única. Ressaltamos também que o Exemplo 2.11 e a Observa¸cão 2.18 nos dizem que não valem nenhuma das rec´ıprocas das implica¸cões acima.

(17)

3 O TEOREMA DA DECOMPOSIÇ ÃO PRIM ÁRIA 16

3

O TEOREMA DA DECOMPOSIÇ ÃO PRIM ÁRIA

O objetivo deste cap´ıtulo é demonstrar o Teorema da Decomposi¸cão Primária. Este teorema estabelece, para certos operadores T : V → V , uma decomposi¸cão do espa¸co vetorial V em subespa¸cos que possuem propriedades importantes. Todas as demonstra¸cões omitidas neste cap´ıtulo podem ser vistas em [2].

3.1 Diagonaliza¸

c˜

ao

Veremos nesta se¸cão caracteriza¸cões para que um operador linear definido sobre um espa¸co vetorial de dimensão finita seja diagonalizável.

Iniciamos recordando as no¸cões de autovalor e autovetor. Considere V um espa¸co vetorial de dimens˜_{ao finita sobre k e T : V → V um operador linear. Dizemos} que um escalar α ∈ k é um autovalor de T se existe um vetor v ∈ V , com v 6= 0, tal que T · v = α · v. Neste caso, o vetor v é chamado de autovetor de T associado à α. O conjunto de todos vetores v ∈ V que satisfazem T · v = α · v é um subespa¸co de V . Este subespa¸co é chamado de autoespa¸co associado ao autovalor α e denotado por Vα.

3.1.1 Polinˆomio Caracter´ıstico

Veremos agora como encontrar os autovalores e autovetores de um operador. Para isso, observamos que se α ∈ k e v ∈ V satisfazem T · v = α · v ent˜ao

0 = α · v − T · v ⇒ 0 = (α · I − T )v.

Fixe uma base β de V e defina o polinˆomio pT(x) := det(x · I − [T ]β). ´E

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é chamado de polinômio caracter´ıstico de T . Note que α é um autovalor de T se e somente se pT(α) = 0. Além disso, note que o núcleo do operador (T − α · I) é o

conjunto dos autovetores associados ao autovalor α.

Exemplo 3.1. Seja T : R2 → R2 _{um operador linear que ´}_{e representado na base}

canˆ_{onica do R}2 _{pela matriz}

T =   2 6 1 1   Ent˜ao pT(x) = det(x · I − T ) = x − 2 −6 −1 x − 1 = (x − 2)(x − 1) − 6,

ou seja, pT(x) = x2 − 3x − 4. Portanto os autovalores de T s˜ao −1 e 4. Agora

vamos encontrar os autovetores associados a −1 e 4. Primeiramente consideramos o operador T + I e calculamos o seu n´ucleo.

  3 6 1 2  ·   x y  =   0 0      3x + 6y = 0 x + 2y = 0 ⇒    x + 2y = 0 x + 2y = 0 ⇒    x = −2y y = y Assim V−1 = [(−2, 1)]. Agora calculemos o n´ucleo de (T − 4 · I).

  −2 6 1 −3  ·   x y  =   0 0      −2x + 6y = 0 x + −3y = 0 ⇒    x = 3y y = y

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Portanto V4 = [(3, 1)].

Operadores lineares que admitem uma base formada por autovetores s˜ao operadores lineares “comportados”.

Defini¸cão 3.2. Sejam V um espa¸co vetorial de dimensão finita e T : V → V um operador linear. Dizemos que T é diagonalizável se existe uma base de V formada por autovetores de T .

Suponhamos que β = {v1, v2, . . . , vn} ´e uma base de V formada por

auto-vetores de T associados aos autovalores c1, c2, . . . , cn respectivamente (n˜ao estamos

assumindo que os autovalores são distintos). Portanto, T · vi = ci · vi. Então T é

representado na base β pela matriz diagonal

[T ]β =         c1 0 . . . 0 0 c2 . . . 0 .. . ... . .. 0 0 0 . . . cn         .

Exemplo 3.3. Considere o operador linear do Exemplo 3.1. Desde que os auto-vetores formam uma base β = {(−2, 1), (3, 1)} do espa¸co vetorial R2, temos que o operador ´e diagonaliz´avel. Note que

[T ]β =   −1 0 0 4  .

O teorema a seguir fornece algumas caracteriza¸c˜oes dos operadores diago-naliz´aveis.

Teorema 3.4. Seja T um operador linear sobre um espa¸co de dimens˜ao finita V . Sejam c1, c2, . . . ck os autovalores distintos de T e Wi o autoespa¸co associado `a ci,

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para i = 1, 2, . . . k. S˜ao equivalentes:

(i) T ´e diagonaliz´avel;

(ii) o polinˆomio caracter´ıstico de T ´e da forma

pT(x) = (x − c1)d1· · · (x − ck)dk

onde cada di ´e a dimens˜ao do autoespa¸co Wi;

(iii) dim W1 + · · · + dim Wk= dim V .

3.1.2 Polinˆomio minimal

Seja T um operador linear sobre um espa¸co de dimens˜ao finita V . Considere

IT := {u(x) ∈ k[x] : u(T ) = 0}.

Verifica-se que IT é um ideal de k[x]. Então pelo Teorema 2.17, IT é um ideal

principal, ou seja, existe um polinˆomio que gera este ideal. Seja mT(x) o ´unico

polinômio mônico que gera o ideal IT. Tal polinômio é chamado de polinômio

minimal de T . Note que mT(x) é o polinômio mônico e de menor grau que anula o

operador T .

Os próximos dois teoremas estabelecem as rela¸cões entre o polinômio carac-ter´ıstico e o polinômio minimal de um operador linear.

Teorema 3.5. O polinˆomio minimal e o polinˆomio caracter´ıstico tem as mesmas ra´ızes, a menos de multiplicidade.

Teorema 3.6 (Cayley-Hamilton). Se pT é o polinômio caracter´ıstico de T , então

(21)

Por Cayley-Hamilton, pT pertence ao ideal IT, o qual ´e gerado por mT.

Portanto mT | pT, ou seja, o polinˆomio minimal divide o caracter´ıstico.

Finalizamos esta se¸cão apresentando uma caracteriza¸cão de operadores di-agonalizáveis via polinômio minimal.

Teorema 3.7. Seja V um espa¸co vetorial de dimens˜_{ao finita sobre k e T um operador} linear sobre V . Então T é diagonalizável se, e somente se, o polinômio minimal de T é da forma

mT(x) = (x − c1) · · · (x − ck),

onde c1, . . . , ck ∈ k s˜ao os autovalores distintos de T .

3.2 Somas Diretas e Invariantes

Seja T um operador linear sobre V . Dizemos que um subespa¸co vetorial W de V ´e T-invariante se para todo vetor w ∈ W tem-se T · w ∈ W . Veremos mais adiante que, para certos operadores lineares T sobre V , podemos decompor o espa¸co vetorial V em soma direta de subespa¸cos T -invariantes. Come¸camos introduzindo o conceito de subespa¸cos vetoriais independentes.

Defini¸c˜ao 3.8. Seja V um espa¸co vetorial. Dizemos que os subespa¸cos vetoriais W1, W2, . . . Wk de V s˜ao independentes se dados wi ∈ Wi, 1 ≤ i ≤ k, tal que

w1+ w2+ · · · + wk= 0,

ent˜ao wi = 0, para qualquer 1 ≤ i ≤ k.

O Lema 3.9 apresenta caracteriza¸c˜oes dos subespa¸cos vetoriais independen-tes.

(22)

Lema 3.9. Sejam V um espa¸co vetorial e W := W1+ W2+ · · · + Wk, onde cada Wi

´e um subespa¸co vetorial de V . S˜ao equivalentes:

(i) W1, W2, . . . Wk s˜ao independentes;

(ii) Wj ∩ (W1+ W2+ · · · + Wj−1) = {0} sempre que 2 ≤ j ≤ k;

(iii) A união das bases dos subespa¸cos vetoriais Wi é uma base para W , isto é, se

βi é uma base de Wi, então β = (β1, . . . , βk) é base de W ;

Demonstra¸c˜ao. (i) ⇒ (ii) Suponha que W1, W2, . . . Wk s˜ao subespa¸cos

independen-tes e considere um vetor v ∈ Wj ∩ (W1 + W2 + · · · + Wj−1). Devemos mostrar

que v = 0. Para isso observamos que, em particular, v ∈ W1 + W2 + · · · + Wj−1,

ou seja, existem vetores wi ∈ Wi de forma que v = w1 + w2 + · · · + wj−1. Assim

0 = w1+ w2+ · · · + wj−1+ (−v) + 0 + · · · + 0. Como os subespa¸cos s˜ao independentes,

tem se w1 = w2 = · · · = wj−1 = v = 0.

(ii) ⇒ (i) Considere uma combina¸c˜ao w1+ w2 + · · · + wk = 0 com cada wi ∈ Wi.

Suponha que exista algum wi 6= 0 e considere j o maior dos ´ındices i tal que wi 6= 0.

Ent˜ao w1 + w2 + · · · + wj + 0 + · · · + 0 = 0. Logo, wj = −w1 − w2 − · · · − wj−1 e

consequentemente wj ∈ Wj ∩ (W1+ W2+ · · · + Wj−1) = {0}. Portanto, wj = 0 e

temos um absurdo.

(i) ⇒ (iii) Considere W1, W2, . . . Wk subespa¸cos independentes e βi base de Wi.

Vamos provar que β = (β1, . . . , βk) ´e base de W . Como βi gera Wi, segue que β

gera W . Considere uma combina¸cão linear dos vetores de β igual ao vetor nulo. Então teremos que esta combina¸cão linear é da forma w1 + . . . + wk = 0 onde cada

wi ∈ Wi é combina¸cão linear dos vetores da base βi. Por hipótese, wi = 0 para todo

1 ≤ i ≤ r. Usando a independˆencia linear das bases βi conclu´ımos que os escalares

(23)

(iii) ⇒ (i) Considere w1 + . . . + wk = 0 onde cada wi ∈ Wi. Usando que β ´e base

de W temos que w1+ . . . + wk ´e uma combina¸c˜ao linear dos vetores de β igual ao

vetor nulo. Portanto os escalares que aparecem nesta combina¸c˜ao devem ser nulos e consequentemente cada wi = 0 ´e zero.

Se V ´e um espa¸co vetorial e W = W1 + W2 + · · · + Wk s˜ao subespa¸cos

vetoriais independentes de V ent˜ao dizemos que W ´e soma direta destes subespa¸cos e denotamos

W = W1⊕ W2⊕ · · · ⊕ Wk.

Exemplo 3.10. Considere V = R3e W1, W2, W3os subespa¸cos gerados pelos vetores

canˆonicos e1, e2, e3, respectivamente. Desde que β = (e1, e2, e3) ´e base de V , segue

por Lema 3.9 (iii) que V = W1⊕ W2⊕ W3.

Somas diretas em espa¸cos vetoriais nos possibilitam definir operadores line-ares com carater´ısticas particulline-ares e importantes.

Defini¸cão 3.11. Seja V um espa¸co vetorial. Um operador E : V → V é dito uma proje¸cão de V se E2 _{= E.}

Observa¸cão 3.12. Sejam E : V → V uma proje¸cão de V , R := Im(E) o subespa¸co vetorial de V formado pela imagem de E e N := Ker(E) o subespa¸co vetorial de V formado pelo núcleo de E. Então V = R ⊕ N . De fato, dado v ∈ V temos que v = E · v + (v − E · v). Note que E(v − E(v)) = E(v) − E2(v) = E(v) − E(v) = 0. Assim, (v − E · v) ∈ N . Mais ainda, se v ∈ R ∩ N então v = E · u, para algum u ∈ V , e E · v = 0. Assim, 0 = E · v = E2· u = E · u = v.

O teorema seguinte estabelece uma caracteriza¸c˜ao dos operadores proje¸c˜oes a partir de somas diretas de subespa¸cos vetoriais.

Teorema 3.13. Se V = W1⊕. . .⊕Wkent˜ao existem k operadores lineares E1, . . . , Ek

(24)

(i) E2

i = Ei, para todo 1 ≤ i ≤ k;

(ii) EiEj = 0, se i 6= j;

(iii) I = E1+ . . . + Ek;

(iv) a imagem de Ei ´e igual a Wi.

Reciprocamente, se existem k operadores lineares E1, . . . , Ek de V satisfazendo (i),

(ii) e (iii) e a imagem de Ei ´e denotada por Wi, ent˜ao V = W1⊕ . . . ⊕ Wk.

Demonstra¸c˜ao. Seja V = W1 ⊕ . . . ⊕ Wk. Para cada 1 ≤ j ≤ k definimos um

operadorEj em V da seguinte forma: Ej(w) = wj, onde w ∈ V se decomp˜oe (de

forma única) como w = w1+ w2 + · · · + wk. Por constru¸cão, a imagem de Ej é o

subespa¸co Wj. Desde que Ej(w) = wj segue que

E_j2(w) = Ej(Ej(w)) = Ej(wj) = wj.

Note que Ker(Ej) = W1 + · · · + Wj−1+ Wj+1 + · · · + Wk. Como a imagem de Ei

´e Wi e Wi ⊂ Ker(Ej) segue que EjEi = 0 quando i 6= j. Para verificar o item (iii)

observe que dado w ∈ V tem-se w = E1(w) + · · · + Ek(w).

Reciprocamente, considere k operadores lineares E1, . . . , Ek em V que

sa-tisfazem (i), (ii), (iii) e (iv). Pelo item (iii), para qualquer vetor w ∈ V temos w = E1(w) + · · · + Ek(w) = w1+ · · · + wk, onde wi = Ei(w). Portanto

V = W1+ · · · + Wk.

Falta mostrar que esta soma é direta. Para isto vamos verificar que a decomposi¸cão de w ∈ V é única. Suponhamos que exista outra decomposi¸cão w = v1+ · · · + vk

(25)

onde cada vi = Ei(ui) com ui ∈ V . Tem-se

Ej(w) = Ej(v1+ · · · + vk) = Ej(E1(u1) + · · · + Ek(uk)).

Utilizando os itens (i) e (ii) obtemos Ej(w) = Ej(Ej(uj)) = Ej(uj) = vj. Por outro

lado Ej(w) = wj. Portanto vj = wj, para 1 ≤ j ≤ k, e a decomposi¸cão é única.

Vejamos uma condi¸c˜ao para que um soma direta seja invariante.

Teorema 3.14. Sejam T : V → V um operador linear, W1, W2, . . . Wk subespa¸cos

vetoriais de V tais que V = W1 ⊕ . . . ⊕ Wk e E1, E2, . . . Ek as proje¸c˜oes associadas

a estes subespa¸cos conforme o Teorema 3.13. Então uma condi¸cão necessária e suficiente para que cada Wi seja invariante sobre T é que o operador T comute com

cada proje¸c˜ao, isto ´e, T Ei = EiT , para qualquer 1 ≤ i ≤ k.

Demonstra¸c˜ao. Suponha que Wi ´e invariante por T , para qualquer 1 ≤ i ≤ k.

Dado w ∈ V , temos que w = E1(w) + E2(w) + · · · + Ek(w). Consequentemente

T (w) = T (E1(w)) + T (E2(w)) + · · · + T (Ek(w)). Por hip´otese, se Ei(w) ∈ Wi ent˜ao

T (Ei(w)) ∈ Wi, ou seja, T (Ei(w)) = Ei(ui) com ui ∈ V . Aplicando o operador Ej

obtemos Ej(T (w)) = Ej(T (E1(w)) + · · · + T (Ek(w))) = Ej(E1(u1)) + · · · + Ej(Ek(uk)) = Ej(Ej(uj)) = T (Ej(w)) Portanto T Ej = EjT .

Reciprocamente, suponha que o operador T comuta com cada proje¸c˜ao e considere v ∈ Wi. Ent˜ao Ei(v) = v e por isso T (v) = T (Ei(v)) = Ei(T (v)) ∈ Wi.

(26)

Logo cada Wi ´e invariante por T .

Veremos a seguir um resultado para o caso particular de operadores diago-naliz´aveis.

Teorema 3.15. Seja T um operador linear diagonaliz´avel em V . Se c1, . . . , ck s˜ao

os autovalores distintos de T , ent˜ao existem k operadores lineares E1, . . . , Ek em V

tais que

(i) T = c1E1 + . . . + ckEk;

(ii) I = E1+ . . . + Ek;

(iii) EiEj = 0, se i 6= j;

(iv) E_i2 = Ei;

(v) a imagem de Ei ´e o autoespa¸co de T associado a ci.

Reciprocamente, se existem k operadores lineares E1, . . . , Ek e escalares c1, . . . , ck

satisfazendo (i), (ii) e (iii) então T é diagonalizável, os escalares são autovalores distintos de T e valem os itens (iv) e (v).

Demonstra¸c˜ao. Suponha T diagonaliz´avel e c1, . . . , ck os autovalores distintos de

T . Considere Wi o autoespa¸co de T associado a ci. Por defini¸c˜ao de operador

diagonaliz´avel e por Lema 3.9 temos V = W1⊕ · · · ⊕ Wk. Dada esta soma direta, o

Teorema 3.13 garante que existem k operadores proje¸c˜ao E1, . . . , Ekem V associados

aos subespa¸cos Wi e satisfazendo (ii), (iii), (iv) e (v). Resta verificar que T = c1E1+

. . . + ckEk. Para isto tome v ∈ V . Ent˜ao v = E1(v) +· · · + Ek(v). Consequentemente

T (v) = T (E1(v)) + · · · + T (Ek(v)) = c1E1(v) + · · · ckEk(v).

Reciprocamente, pelo item (ii) obtemos Ei = Ei(E1+. . .+Ek) = Ei2. Ent˜ao

(27)

que dos itens (i) e (iii) segue que T Ei = ciEi. Assim (T − ciI)Ei = 0 , ou seja,

todo vetor na imagem de Ei esta no n´ucleo do operador (T − ciI). Logo cada

ci ´e um autovalor de T . Verifica-se facilmente que estes escalares s˜ao todos os

autovalores de T . Como todo vetor (n˜ao nulo) na imagem de Ei ´e autovetor de T

e vale (ii) então os autovetores de T geram V . Desta forma, existe um conjunto de autovetores (que é l.i., pois são autovetores associados a autovalores distintos) que geram V . Logo, temos uma base de V formada por autovetores de T . Portanto T é um operador diagonalizável. Ainda resta verificar que qualquer autovetor de T pertence a imagem de algum Ei. Tome v um autovetor de T associado a ci.

Ent˜ao T (v) = ci· v. Por outro lado, T (v) = c1E1(v) + · · · + ckEk(v). Desta forma,

(c1− ci)E1(v) + · · · + (ck− ci)Ek(v) = 0. Como cada parcela ´e 0, segue que Ej(v) = 0

se j 6= i. Assim v = E1(v) + · · · + Ek(v) = Ei(v).

Finalizamos esta se¸cão afirmando que os operadores proje¸cão dados no te-orema acima são polinômios em T . De fato, se T = c1E1 + . . . + ckEk então para

qualquer polinˆ_{omio g(x) com coeficientes no corpo k temos que}

g(T ) = g(c1)E1+ . . . + g(ck)Ek,

pois EiEj = 0 se i 6= j e Ein= Ei para n ≥ 1. Em particular, considere o polinˆomio

pj(x) = Y i6=j (x − ci) (cj− ci) ∈ k[x], 1 ≤ j ≤ k. Ent˜ao pj(T ) = pj(c1)E1 + . . . + pj(ck)Ek. Mas pj(ci) = 0, se i 6= j e pj(cj) = 1.

(28)

3.3 Teorema da Decomposi¸

c˜

ao Prim´

aria

Seja T um operador linear sobre o espa¸co vetorial V . Por Teorema 3.7, se o polinômio minimal de T se fatora como produto de polinômios de grau 1 então o operador é diagonalizável. Usando o Teorema 3.15 obtemos uma decomposi¸cão do espa¸co vetorial V como soma direta dos autoespa¸cos de T , ou seja, em subespa¸cos T -invariantes. O teorema a seguir estabelece uma decomposi¸cão para V no caso geral, onde o polinômio minimal do operador esta em sua forma primária.

Teorema 3.16 (Teorema da Decomposi¸cão Primária). Seja T : V → V um operador linear, mT o polinômio minimal de T e assuma que

mT = mr11· · · m rk

k ,

onde os mi’s são polinômios mônicos, irredut´ıveis e distintos sobre k, e os ri’s são

inteiros positivos. Considere Wi := Ker (mi(T )ri), 1 ≤ i ≤ k. Ent˜ao:

(i) V = W1⊕ · · · ⊕ Wk;

(ii) cada Wi ´e invariante por T ;

(iii) Se Ti := T |Wi : Wi → Wi, então o polinômio minimal para Ti é m

ri

i .

Será utilizada a seguinte estratégia para a demonstra¸cão: usamos a iden-tidade de B´_{ezout em k[x] para encontrar proje¸cões E}1, . . . , Ek que satisfazem os

itens do Teorema 3.13; através destas obtemos uma decomposi¸cão do espa¸co veto-rial V . Em seguida vamos provar que esta decomposi¸cão é exatamente a soma direta apresentada no teorema.

(29)

Demonstra¸c˜ao. (i) Considere os polinˆomios

fi(x) = mT(x) mi(x)ri =Y j6=i mj(x)rj ∈ k[x], 1 ≤ i ≤ k.

Note que se i 6= j ent˜ao fi(x)fj(x) = mT(x)r(x) para algum polinˆomio r(x) ∈ k[x],

ou seja, o polinˆomio minimal divide fifj. Al´em disso, observamos que f1, f2, . . . , fk

s˜ao primos entre si, pois mr1

1 , m r2

2 , . . . , m rk

k s˜ao irredut´ıveis e distintos. Assim a

identidade de B´ezout para polinˆomios nos garante que existem g1, . . . , gk ∈ k[x] tais

que

f1(x)g2(x) + · · · + fk(x)gk(x) = 1.

Denotemos fi(x)gi(x) = hi(x) e consideramos o operador Ei = hi(T ). Afirmamos

que E1, . . . , Ek s˜ao operadores proje¸c˜ao que satisfazem os itens (i), (ii) e (iii) do

Teorema 3.13. De fato, por constru¸c˜ao temos E1+ · · · + Ek = I. Como mT | fifj

quando i 6= j ent˜ao mT | hihj, isto ´e, existe q ∈ k[x] tal que hihj = mTq. Assim

EiEj = hi(T )hj(T ) = mT(T )q(T ) = 0 sempre que i 6= j, visto que mT ´e o polinˆomio

minimal de T .

Multiplicando (compondo) E1+ · · · + Ek= I por Ej obtemos Ej2 = Ej. Logo estes

operadores são proje¸cões e temos a seguinte decomposi¸cão de V associada

V = Im(E1) ⊕ · · · ⊕ Im(Ek).

(30)

v ∈ Im(Ei). Ent˜ao v = Ei(v) e

mi(T )ri(v) = mi(T )ri(Ei(v))

= mi(T )rifi(T )gi(T )(v)

= mT(T )gi(T )(v)

= 0.

Logo v ∈ Ker(mi(T )ri). Reciprocamente tome u ∈ Ker(mj(T )rj). Como m rj

j | figi

se i 6= j ent˜ao figi = m rj

j p para algum polinˆomio p(x) ∈ k[x]. Consequentemente

Ei(T )(u) = fi(T )gi(T )(u) = mj(T )rjp(T )(u) = 0, se i 6= j. Conclu´ımos ent˜ao que

u = E1(u) + · · · + Ek(u) = Ej(u).

(ii) Considere u ∈ Wi = Ker(mi(T )ri). Note que

mi(T )ri(T (u)) = T (mi(T )ri(u)) = T (0) = 0.

Logo Wi ´e invariante por T .

(iii) Seja Ti o operador T restrito ao subespa¸co Wi. Como Wi ´e T -invariante e

Wi = Ker(pi(T )ri), temos pi(Ti)ri = 0, ou seja, prii pertence ao ideal do polinˆomios

que anulam Ti, o qual denotamos por ITi. Pelos resultados vistos sobre dom´ınios

de ideais principais, resta verificar que pri

i é o polinômio mônico de menor grau

que pertence a este ideal. Considere g ∈ ITi, ent˜ao g(T )fi(T ) = 0. De fato, para

qualquer v ∈ V , temos que v = v1 + · · · + vk onde vi ∈ Ker(mi(T )ri). Assim

fi(T )(v) = fi(T )(v1+ · · · + vk) = fi(T )(vi). Logo g(T )fi(T )(v) = g(T )fi(T )(vi) = 0

j´a que vi ∈ Wi. Assim gfi ∈ IT =< mT >, ou seja, mT divide gfi. Mas mT = mriifi,

o que implica que mri

i | g. Resumindo, m ri

i anula o operador Ti e divide qualquer

outro polinômio g que anula Ti. Então mrii é o polinômio minimal de Ti.

(31)

s ≥ 1, tal que Ns _{= 0.}

No caso em que os fatores m1, . . . , mk do polinômio minimal são polinômios

de grau 1 podemos decompor o operador linear T como soma de um operador diagonaliz´avel com um nilpotente.

Teorema 3.18 (Decomposi¸cão de Jordan). Seja T um operador linear em V . Se o polinômio minimal de T é produto de fatores lineares então existe um único operador diagonalizável D em V e um único operador nilpotente N em V tais que

(i) T = D + N ; (ii) DN = N D.

Demonstra¸cão. (Existência) Suponha que o polinômio minimal mT de T satisfaz

mT(x) = m1(x)r1· · · m_krk, onde mi(x) = (x − ci), para escalares ci ∈ k. Usando o

teorema da decomposi¸c˜ao prim´aria, temos que V = W1 ⊕ · · · ⊕ Wk onde cada Wi

é o espa¸co nulo do operador mi(T )ri = (T − ciI)ri. Além disso, existem proje¸cões

E1, . . . , Ek de V tais que Im(Ei) = Wi. Defina D = c1E1+ · · · + ckEk : V → V e

N = T − D : V → V . Afirmamos que D é diagonalizável e N é nilpotente.

Os operadores E1, . . . , Ek são proje¸cões. Então, por Teorema 3.15, conclu´ımos que

D é diagonalizável. Além disso, de I = E1 + · · · + Ek temos T = T E1+ · · · + T Ek.

Logo N = (T − c1I)E1+ · · · + (T − ckI)Ek. Como EiEj = 0 se i 6= j ent˜ao

Ns = (T − c1I)sE1+ · · · + (T − ckI)sEk.

Mas Im(Ei) = Ker(T − ciI)ri. Assim, se s = ri ent˜ao (T − ciI)sEi = 0. Tomando

s > max{r1, . . . , rk} temos Ns = 0.

Para verificar o item (ii) note que os operadores proje¸cão obtidos através do teorema da decomposi¸cão primária são polinômios em T . Consequentemente D e N também

(32)

s˜ao polinˆomios em T . Portanto vale DN = N D.

(Unicidade) Suponha que existam outros operadores D0 diagonalizável em V e N0 nilpotente com T = D0+ N0 e D0N0 = N0D0. Vamos provar que D0 = D e N0 = N . Temos D + N = D0 + N0 ou seja D − D0 = N0− N . Além disso, multiplicando as igualdades T = D + N e T = D0+ N0 por qualquer um dos operadores conclu´ımos que D, D0, N, N0 comutam com o operador T . Observamos que D e D0 são diago-nalizáveis e comutam, pois ambos comutam com o operador T . Assim D − D0 é diagonalizável. Note também que os operadores N e N0 também comutam. Logo,

(N0− N )r ₌ r X j=0   r j  (N 0 )r−j(−N )j.

Ent˜_{ao existe t ∈ N tal que (N}0− N )t_{= 0 e este operador ´}_{e nilpotente. Como D − D}0

´e diagonaliz´avel e igual ao operador nilpotente N0 − N , segue que D − D0 _{= 0.}

(33)

4 O TEOREMA DA DECOMPOSIÇ ÃO CÍCLICA 32

4

O TEOREMA DA DECOMPOSIÇ ÃO CÍCLICA

Neste cap´ıtulo provaremos o Teorema da Decomposi¸cão C´ıclica. Este teo-rema estabelece, para operadores lineares T : V → V com propriedades espec´ıficas, uma decomposi¸cão do espa¸co vetorial V em subespa¸cos T -c´ıclicos. Todas as de-monstra¸cões omitidas neste cap´ıtulo podem ser vistas em [2].

4.1 Subespa¸

cos C´ıclicos e Anuladores

Nesta se¸cão estudaremos propriedades dos subespa¸cos c´ıclicos bem como do ideal de k[x] formado pelos polinômios que anulam um operador linear fixado. Defini¸cão 4.1. Sejam V um espa¸co vetorial e v ∈ V . O subespa¸co vetorial Z(v; T ) = {g(T )(v) : g(x) ∈ k[x]} é dito o subespa¸co c´ıclico de T gerado por v, ou simplesmente subespa¸co T -c´ıclico. Quando Z(v; T ) = V dizemos que v é um vetor c´ıclico de T .

Note que Z(v; T ) ´e gerado pelos vetores v, T (v), T2(v), . . ., isto ´e,

Z(v; T ) = hv, T (v), T2(v), . . .i.

O subespa¸co Z(v; T ) ´e T -invariante.

Exemplo 4.2. Para qualquer operador linear T sobre o espa¸co vetorial V o T -c´ıclico gerado pelo vetor nulo ´e o subespa¸co nulo de V .

Exemplo 4.3. Considere o operador identidade I sobre um espa¸co vetorial V . Tome v ∈ V . Ent˜ao I(v) = v, I2_{(v) = v, I}3_{(v) = v, . . .. Assim, para qualquer vetor de V}

o subespa¸co T - c´ıclico gerado por v é Z(v; I) =< v >, cuja dimensão é 1. Portanto este operador não possui vetores c´ıclicos se dim(V ) > 1.

(34)

Exemplo 4.4. Seja T o operador linear sobre R2 _{representado na base canˆ}_onica pela matriz [T ] =   0 1 0 0   e seja v = [ 0 1 ]T. Ent˜ao T v = [ 1 0 ]T, T2v = 0, . . . , Tkv = 0, . . .. Portanto {v, T (v), T2_{(v), . . . , T}k_{(v), . . .} =}      0 1     1 0     

Defini¸cão 4.5. Sejam T : V → V um operador linear e v ∈ V . O conjunto de todos os polinˆ_{omios g(x) ∈ k[x] tais que g(T )(v) = 0, que será denotado M(v; T ), é} chamado o T -anulador de v.

O conjunto M (v; T ) ´_{e um ideal de k[x]. De fato, note inicialmente que para} quaisquer g, h ∈ M (v; T ), tem-se (h−g)(T )(v) = h(T )(v)−g(T )(v) = 0. Al´em disso, se f ∈ k[x] e g ∈ M (v; T ) ent˜ao temos (f · g)(T )(v) = f (T )g(T )(v) = f (T )(0) = 0.

Desde que k[x] é um dom´ınio Euclidiano, por Teorema 2.17, k[x] é um dom´ınio de ideais principais. Então existe um polinômio pv ∈ M (v; T ) que é mônico

e irredut´ıvel em k[x] e que gera o ideal M (v; T ), ou seja, M(v; T ) = pv(x)k[x].

Chamaremos tal polinˆomio de polinˆomio T -anulador de v.

Observa¸cão 4.6. Observe que o polinômio T -anulador de v divide o polinômio minimal de T . De fato, o polinômio minimal mT(x) ∈ M (v; T ). Assim pv(x) divide

mT(x).

O teorema a seguir apresenta as rela¸c˜oes entre o ideal M (v; T ) e o subespa¸co c´ıclico Z(v; T ) de v.

Teorema 4.7. Seja V um espa¸co vetorial e v ∈ V . Se pv ´e o polinˆomio T -anulador

de v ent˜ao:

(35)

(ii) Se δ(pv) = k ent˜ao β = {v, T (v), . . . , Tk−1(v)} ´e base para Z(v; T );

(iii) Se Tv é o operador T restrito a Z(v; T ), então o minimal de Tv é pv.

Demonstra¸c˜ao. (i) Suponha que δ(pv) = k. Dado um polinˆomio g ∈ k[x], pelo

algo-ritmo de Euclides, existem q, r ∈ k[x] tais que g = pvq +r com r = 0 ou δ(r) < δ(pv).

Desta forma g(T )(v) = pv(T )q(T )(v) + r(T )(v) = r(T )(v) pois pv(T ) = 0. Como

δ(r) < k então r(T )(v) é combina¸cão dos vetores v, T (v), . . . , Tk−1(v). Consequen-temente qualquer vetor de Z(v; T ) é gerado por v, T (v), . . . , Tk−1_{(v). Resta provar}

que estes vetores s˜ao linearmente independentes. Suponha, por contradi¸c˜ao, que v, T (v), . . . , Tk−1_{(v) s˜}_{ao linearmente dependentes. Ent˜}_{ao existe uma combina¸c˜}_ao

não nula resultando em 0, ou seja, gerando um polinômio n˜_{ao nulo g ∈ k[x] tal} que g(T )(v) = 0. Desta forma δ(g) < δ(pv), o que é um absurdo. Segue então que

dim(Z(v; T )) = k e β = {v, T (v), . . . , Tk−1(v)} é uma base de Z(v; T ). (ii) É imediato a partir da demonstra¸cão do item anterior.

(iii) Sejam Tv o operador T restrito ao subespa¸co Z(v; T ) e pv o polinˆomio T -anulador

de V . Considere g ∈ k[x] e note que pv(Tv) = pv(T ). Ent˜ao

pv(Tv)g(T )(v) = pv(T )g(T )(v) = g(T )pv(T )(v) = 0

Portanto pv(Tv) leva qualquer vetor de Z(v; T ) em 0, ou seja, ´e o operador nulo.

Al´_{em disso, se h ∈ k[x] com δ(h) < k ent˜ao h(T}v) n˜ao pode ser 0 pois, caso

con-trario ter´ıamos h(Tv)(v) = 0 = h(T )(v) e δ(h) < δ(pv), o que n˜ao pode acontecer.

Consequentemente pv ´e o polinˆomio minimal de Tv.

Observa¸cão 4.8. Se T tem um vetor c´ıclico, então o polinômio minimal de T é igual ao caracter´ıstico de T . De fato, se Z(v; T ) = V e mT é o polinômio minimal

de T ent˜ao (pelo teorema acima) pv = mT. Logo δ(pv) = δ(mT) = dim(V ) ent˜ao

(36)

Vejamos agora uma propriedade dos operadores que possuem vetor c´ıclico que será utilizada mais adiante. Considere T um operador linear em V que pos-sui um vetor c´ıclico, isto é, existe v ∈ V tal que V = Z(v; T ). Então β = {v, T (v), . . . Tk−1_{(v)} ´}_{e base de V . Observe que}

T (v) = 0 · v + 1 · T (v) + 0 · T2(v) + · · · 0 · Tk−1(v) T2(v) = 0 · v + · · · 1 · T3(v) + · · · 0 · Tk−1(v)

.. .

Tk−1(v) = 0 · v + 0 · T (v) + 0 · T2(v) + · · · 1 · Tk−1(v)

Para calcular Tk(v), note que o polinômio minimal pv é mônico, de gau k e vale

pv(T )(v) = 0. Ent˜ao ele ´e da forma pv(x) = a0+ a1x + · · · + ak−1xk−1+ xk e vale

0 = pv(T )(v) = a0v + a1T (v) + · · · + ak−1Tk−1(v) + Tk(v). Isolando Tk(v) obtemos

Tk_{(v) = −a}

0v + a1T (v) + · · · + ak−1Tk−1(v). Ent˜ao a matriz de T na base β ´e da

forma [T ]β_β =            0 0 0 · · · 0 −a0 1 0 0 · · · 0 −a1 0 1 0 · · · 0 −a2 .. . ... ... ... ... 0 0 0 · · · 1 −ak−1            .

Chamamos a matriz de [T ]β_β acima de matriz companheira do polinˆomio mˆonico pv.

Finalizamos esta se¸c˜ao apresentando o conceito de ideal T -condutor, o qual necessitaremos na se¸c˜ao seguinte.

Defini¸c˜ao 4.9. Sejam T : V → V um operador linear e W ⊂ V um subespa¸co T -invariante. O ideal T -condutor de V em W ´e o conjunto

(37)

O gerador deste ideal será denotado por s(v; W ) e chamado de polinômio T -condutor de v em W . Um cálculo direto mostra que efetivamente S(v, W ) ´_{e um ideal de k[x].}

4.2 O Teorema da Decomposi¸

c˜

ao C´ıclica

O objetivo nesta se¸cão é obter, para certos operadores T : V → V , uma decomposi¸cão do espa¸co vetorial V como soma direta de subespa¸cos c´ıclicos, ou seja, queremos escrever V na forma

V = Z(v1; T ) ⊕ · · · ⊕ Z(vk; T ).

Veremos mais adiante que esta decomposi¸cão é importante para descrever o operador T como soma de operadores que possuem vetor c´ıclico. Como estes operadores são representados pela matriz companheira em determinada base, podemos trabalhar com as propriedades destas matrizes.

Pergunta: Dado um operador linear T : V → V e W um subespa¸co T -invariante de V , existe um subespa¸co T -invariante W0 de V tal que V = W ⊕ W0 ? Ou seja, W admite um complemento T -invariante?

Defini¸c˜ao 4.10. Um subespa¸co vetorial W de V ´e dito T -admiss´ıvel se

(i) W ´e invariante sobre T ;

(ii) Se f (T )(v) ∈ W para algum f ∈ k[x] e v ∈ V , ent˜ao existe w ∈ W tal que f (T )(v) = f (T )(w).

Vamos agora estabelecer uma rela¸c˜ao entre a pergunta acima e a defini¸c˜ao de subespa¸co T -admiss´ıvel

(38)

Demonstra¸c˜ao. Suponha que V = W ⊕ W0. Ent˜ao para qualquer v ∈ V tem-se v = w + w0 com w ∈ W e w0 ∈ W0_{. Al´}_{em disso, para qualquer polinˆ}

omio g ∈ k[x] temos que f (T )(w) ∈ W e f (T )(w0) ∈ W0 pois W e W0 s˜ao T -invariantes. Desta forma f (T )(v) ∈ W se e somente se f (T )(w0) = 0. Ou seja, f (T )(v) = f (T )(w). Logo, W ´e T -admiss´ıvel.

Uma das consequências do teorema da decomposi¸cão c´ıclica é a rec´ıproca desta proposi¸cão. Teremos então que W é T -admiss´ıvel se e somente se W admite um complemento T -invariante.

Suponha agora que existem r vetores v1, . . . , vr ∈ V tais que

Wr= Z(v1; T ) ⊕ · · · ⊕ Z(vr; T ).

Veremos que existe um vetor vk+1 ∈ V de forma que Wk+1= Wk⊕ Z(vk+1; T ), desde

que Wk seja T -admiss´ıvel.

Observa¸c˜ao 4.12. Seja V um espa¸co vetorial e W um subespa¸co T -invariante. Ent˜ao existe v ∈ V tal que W ∩ Z(v; T ) = {0}.

De fato, tome v /_{∈ W e considere f ∈ k[x] o polinômio T -condutor de v em W .} Então f (T )(v) ∈ W . Se W é um subespa¸co T -admiss´ıvel então existe w ∈ W tal que f (T )(v) = f (T )(w). Assim f (T )(v − w) = 0. Tome u = v − w e considere Z(u; T ). Afirmamos que W ∩Z(u; T ) = {0}. Note que f (T )(u) = 0 e v −u ∈ W pois w ∈ W . Ent˜_{ao para g ∈ k[x] qualquer, g(T )(v) ∈ W se, e somente se, g(T )(u) ∈ W .} Ou seja, o polinômio T -condutor de v em W é igual ao polinômio T -condutor de u em W . Mas f (T )(u) = 0 implica que g(T )(u) ∈ W se, e somente se, g(T )(u) = 0. Desta forma, se g(T )(u) ∈ W ∩ Z(u; T ) então g(T )(u) = 0 e estes subespa¸cos são independentes.

(39)

Teorema 4.13 (Teorema da Decomposi¸cão C´ıclica). Sejam V um espa¸co vetorial, T um operador linear em V e W0 um subespa¸co próprio T -admiss´ıvel de V . Então

existem r vetores n˜ao nulos v1, . . . , vr ∈ V com respectivos T -anuladores p1, ..., pr

tais que:

(i) V = W0⊕ Z(v1; T ) ⊕ · · · ⊕ Z(vr; T );

(ii) pk divide pk−1, k = 2, ..., r.

A demonstra¸c˜ao ser´a feita em 3 passos: encontramos r vetores b1, . . . , br ∈ V , de

forma que se tenha uma soma

V = W0+ Z(b1; T ) + · · · + Z(br; T );

em seguida vamos provar que os subespa¸cos

Wk = W0+ Z(b1; T ) + · · · + Z(bk; T )

para k ≤ r, s˜ao T -admiss´ıveis; e no passo 3 vamos obter, a partir destes, os vetores para os quais se tem a soma direta do item (i).

Demonstra¸c˜ao. Passo 1: Vamos mostrar que existem vetores b1, . . . , br ∈ V tais que

(a) V = W0+ Z(b1; T ) + · · · + Z(br; T );

(b) se

Wk= W0+ Z(b1; T ) + · · · + Z(bk; T ), 1 ≤ k ≤ r,

ent˜ao o polinˆomio T -condutor pk= s(bk; Wk−1) de bk em Wk−1 tem grau dado

(40)

Verificamos inicialmente que o conjunto {δ(s(v; Wk−1)) : v ∈ V } possui valor

máximo. Note que dado v ∈ V , s(v; Wk−1) é o polinômio gerador do ideal S(v; T ).

Sabemos que s(v; T ) divide o polinˆomio minimal mT de T e vimos que o polinˆomio

minimal divide o caracter´ıstico, que tem grau igual a dimens˜ao do espa¸co vetorial V . Segue que δ(s(v; T )) ≤ dim(V ). Portanto existe um valor m´aximo.

Note tamb´em que 0 < max{δ(s(v; Wk−1)) : v ∈ V }. De fato, considere v ∈ V − W

e suponha, por contradi¸cão, que δ(s(v; W )) = 0, ou seja, s(v; W ) = c 6= 0. Então (cI)(v) = c · v ∈ W . Logo 1_c· (c · v) = v ∈ W o que não pode acontecer pois v /∈ W . (a) Como W0 ( V é T -invariante, então

0 < max{δ(s(v; W0)) : v ∈ V } ≤ dim(V ).

Considere o vetor b1 ∈ V que possui o polinˆomio T -condutor a W0 de grau m´aximo,

ou seja, δ(s(b1; W0)) = max{δ(s(v; W0)) : v ∈ V }. Fixe W1 = W0 + Z(b1; T ).

Observe que W1 ´e T -invariante e dim(W0) < dim(W1) ≤ dim(V ). De maneira

an´aloga, considere o vetor b2 ∈ V que possui o polinˆomio T -condutor a W1 de maior

grau, ou seja, δ(s(b2; W1)) = max{δ(s(v; W1)) : v ∈ V }. Ent˜ao agora fixamos

W2 = W0 + Z(b1; T ) + Z(b2; T ). Continuando este processo (no m´aximo dim(V )

vezes), obtemos V = W0+ Z(b1; T ) + · · · + Z(br; T ).

(b) Segue da demonstra¸c˜ao do item (a).

Passo 2: Sejam b1, . . . , br ∈ V vetores que satisfazem (a) e (b). Fixe um k entre 1 e

r. Sejam b ∈ V e f o T -condutor de b em Wk−1. Para provar que os subespa¸cos Wk

do passo 1 s˜ao T -admiss´ıveis, vamos verificar primeiramente a seguinte propriedade: se f (T )(b) ∈ Wk−1, ou seja,

(41)

onde gi ∈ k[x] e bi ∈ Wi, ent˜ao f divide cada polinˆomio gi e b0 = f (T )(c0) para

algum c0 ∈ W0.

De fato, se k = 1 temos f (T )(b) = b0 e b0 ∈ W0. Como W0 ´e T -admiss´ıvel, ent˜ao

existe c0 ∈ W0 tal que f (T )(b) = f (T )(c0). Seja k > 1. Pelo algoritmo da divis˜ao

existem polinˆomios qi, ri ∈ k[x] tais que

gi = f qi+ ri onde ri = 0 ou δ(ri) < δ(f ) .

Para que f divida cada polinˆomio gi devemos mostrar que ri = 0 para 1 ≤ i ≤ k.

Para isso vamos supor que algum ri 6= 0. Antes considere o vetor

c = b − q1(T )(b1) − · · · − qk−1(T )(bk−1).

Note que

c − b = −q1(T )(b1) − · · · − qk−1(T )(bk−1) ∈ Z(b1; T ) + · · · + Z(bk−1; T ) ∈ Wk−1

Assim s(c; Wk−1) = s(b; Wk−1) = f . Al´em disso,

f (T )(c) = f (T )(b) −

k−1

X

i=1

(f qi)(T )(bi).

Desde que f (T )(b), segue que

f (T )(c) = b0+ k−1 X i=1 (gi − f qi)(T )(bi) = b0+ k−1 X i=1 ri(T )(bi).

Suponha, por contradi¸c˜ao, que algum ri 6= 0 e tome j = max{i : ri 6= 0}. Ent˜ao

f (T )(c) = b0 + j

X

i=1

(42)

com δ(rj) < δ(f ). Seja p = s(c; Wj−1). Como Wj−1 ⊂ Wk−1 ent˜ao f = s(c; Wk−1)

divide o polinˆomio p. _{Ou seja, p = f · g para algum g ∈ k[x]. Desta forma,} multiplicando por g(T ) obtemos

p(T )(c) = g(T )(b0) + j−1

X

i=1

g(T )ri(T )(bi) + g(T )rj(T )(bj)

Como p(T )(c) ∈ Wj−1, temos g(T )(b0) ∈ Wj−1 e a soma tamb´em pertence a Wj−1.

Segue que o termo g(T )rj(T )(bj) ∈ Wj−1, ou seja, o polinˆomio grj leva bj em Wj−1.

Mas pj é o polinômio de menor grau que conduz bj a Wj−1, então

δ(grj) ≥ δ(pj) = δ(s(bj; Wj−1))

Utilizando o item (b) do passo 1, temos

δ(grj) ≥ δ(s(bj; Wj−1)) ≥ δ(s(c; Wj−1)) = δ(p) = δ(f g).

Logo δ(rj) ≥ δ(f ), o que n˜ao pode acontecer. Portanto ri = 0 para 1 ≤ i ≤ k. Assim

gi = f qi e o polinômio f divide cada polinômio gi. Além disso f (T )(c) = b0 e o

fato de W0 ser T -admiss´ıvel garante que existe c0 ∈ W0 tal que f (T )(c0) = f (T )(c).

Essa propriedade nos mostra que os subespa¸cos W1, . . . , Wr s˜ao T -admiss´ıveis. De

fato, se

f (T )(b) = b0+ g1(T )(b1) = · · · + gk−1(T )(bk−1),

onde f divide cada gi e b0 = f (T )(c0), ent˜ao gi = f hi, para algum hi ∈ k[x]. Assim

f (T )(b) = f (T )(c0+ h1(T )(b1) = · · · + hk−1(T )(bk−1)).

Logo, f (T )(b) = f (T )(d), onde d = c0+ h1(T )(b1) = · · · + hk−1(T )(bk−1).

(43)

que satisfazem as condi¸c˜oes (i) e (ii) do teorema. Considere b1, . . . , br vetores como

no passo 1. Fixe 1 ≤ k ≤ r. Aplicamos o passo 2 no vetor b = bk e obtemos que o

T -condutor f = pk = s(bk; Wk−1) de bk em Wk−1 satisfaz pk(T )(bk) = pk(T )(c0+ k−1 X i=1 hi(T )(bi)),

para algum c0 ∈ W0 e h1, . . . , hk−1∈ k[x]. Considere os vetores

vk = bk− c0− k−1

X

i=1

hi(T )(bi)

Afirmamos que estes vetores satisfazem os itens (i) e (ii). Note que bk− vk ∈ Wk−1.

Consequentemente s(vk; Wk−1) = s(bk; Wk−1) = pk. Ent˜ao, pela constru¸c˜ao do passo

1, tem se

V = W0+ Z(v1; T ) + · · · + Z(vr; T ).

Al´em disso pk(T )(vk) ∈ Z(vk; T ). Segue que pk(T )(vk) ∈ Wk−1 ∩ Z(vk; T ). Mas

pk(T )(vk) = 0. Ent˜ao Wk−1∩ Z(vk; T ) = {0}. Portanto

V = W0⊕ Z(v1; T ) ⊕ · · · ⊕ Z(vr; T ).

Para verificar o item (ii) vamos utilizar o passo 2. Desde que pi(T )(vi) = 0, para

i = 1, . . . , r, tem-se pk(T )(vk) = 0 + k−1 X i=1 pi(T )(vi).

(44)

5

FORMA RACIONAL DE JORDAN

Neste cap´ıtulo apresentamos a forma racional de Jordan usando os teoremas da decomposi¸c˜ao prim´aria e c´ıclica.

5.1 Matriz companheira de um operador nilpotente

Esta se¸cão é dedicada ao estudo das matrizes companheiras associadas à operadores lineares nilpotentes com o aux´ılio do teorema da decomposi¸cão c´ıclica. Suponha que um operador linear T : V → V satisfa¸ca as condi¸cões do teorema da decomposi¸cão c´ıclica e W0 = {0} ( V . Então existem vetores v1, . . . , vr ∈ V com

respectivos T -anuladores p1, . . . , pr tais que

V = Z(v1; T ) ⊕ · · · ⊕ Z(vr; T ).

Pelo Teorema 4.7, cada Z(vi; T ) tem uma base βi = {vi, T (vi), . . . , Tki−1(vi)}, onde

ki = dim(Z(vi; T )) = δ(pi), 1 ≤ i ≤ r. Considere a base de V formada pela uni˜ao

das bases βi, ou seja, β = (β1, . . . , βr). Vamos representar o operador T nesta base.

Para isso, lembramos que o operador T restrito a um dos subespa¸cos Z(vi; T ) ´e

representado pela matriz companheira na base βi. Ent˜ao

[T ]β_β =         A1 0 . . . 0 0 A2 . . . 0 .. . ... . .. ... 0 0 . . . Ar         ,

onde cada Ai = [T ]ββii é a matriz companheira do polinômio mônico pi. Como

δ(pi) = ki, ent˜ao Ai ´e uma matriz ki × ki. A matriz [T ] β

β ´e chamada deforma

(45)

5 FORMA RACIONAL DE JORDAN 44

Vamos determinar a forma racional de um operador nilpotente. Iniciamos com a seguinte observa¸c˜ao.

Observa¸cão 5.1. Se N é um operador nilpotente em V e dim(V ) = n, então o polinômio caracter´ıstico de N é f (x) = xn_{. De fato, se existe m ∈ N tal que} Nm _{= 0, ent˜}_{ao o polinˆ}_{omio x}m _{anula N . Logo o polinˆ}_{omio minimal m}

T divide xm.

Assim a única raiz do polinômio caracter´ıstico é 0. Além disso, δ(f ) = dim(V ). Portanto f (x) = xn_.

Suponha N nas condi¸c˜oes do Teorema 4.13. Ent˜ao existem v1, . . . , vr ∈ V tais que

V = Z(v1; N ) ⊕ · · · ⊕ Z(vr; N ).

Como cada polinômio N -anulador divide o polinômio minimal mN(x) = xk, então

pi(x) = xki. E o item (ii) do teorema nos diz que k = k1 ≥ k2 ≥ · · · ≥ kr, com

k1 + · · · + kr = n. Assim, as matrizes companheiras de um operador nilpotente

respectivas a cada polinˆomio pi s˜ao

Ai =            0 0 . . . 0 0 1 0 . . . 0 0 0 1 . . . 0 0 .. . ... . .. ... ... 0 0 . . . 1 0            .

5.2 Forma de Jordan

Esta se¸c˜ao finaliza o nosso trabalho. Vamos unir os resultados da se¸c˜ao anterior para construir a forma de Jordan de um operador linear.

(46)

polinômio caracter´ıstico é f (x) = (x − c1)d1· · · (x − ck)dk onde c1, . . . , ck são as

distintas ra´ızes de f (x). Consequentemente o polinˆomio minimal ´e mT(x) = (x −

c1)r1· · · (x−ck)rk, com rj ≤ djpara todo j = 1, . . . , k. Pelo teorema da decomposi¸c˜ao

prim´aria temos V = W1⊕ · · · ⊕ Wk onde Wi = Ker((T − ciI)ri) e o operadot Ti (T

restrito ao subespa¸co Wi) tem polinˆomio minimal mi(x) = (x − ci)ri, 1 ≤ i ≤ k.

Considere Ni = Ti − ciI : Wi → Wi. Ent˜ao Niri = 0. Portanto cada Ni

é um operador nilpotente e o seu polinômio minimal é mNi(x) = x

ri_{. Note que}

Ti = Ni + ciI, ou seja, o operador T restrito ao subespa¸co Wi coincide com um

operador nilpotente somado com um m´ultiplo da identidade. Al´em disso, T = T1+ · · · + Tk, onde Ti = Ni+ ciI.

Vamos aplicar o teorema da decomposi¸c˜ao c´ıclica a cada um destes operadores Ti.

Conforme visto no inicio desta se¸c˜ao, aplicando o teorema obtemos uma base β de Wi na qual a matriz do operador Ti se escreve como soma direta de matrizes

Bi = [Ti]ββ =         A(i)₁ 0 . . . 0 0 A(i)₂ . . . 0 .. . ... . .. ... 0 0 . . . A(i)r         .

Cada A(i)_j ´e a matriz companheira de um operador nilpotente somado com um m´ultiplo da identidade. Assim

A(i)_j =            cj 0 . . . 0 0 1 cj . . . 0 0 0 1 . . . 0 0 .. . ... . .. ... ... 0 0 . . . 1 cj            kj×kj .

(47)

5 FORMA RACIONAL DE JORDAN 46

A matriz A(i)_j ´e chamada de um bloco de Jordan kj× kj associado ao autovalor cj e

denotamos A(i)_j por J_j(i). Unindo as bases dos subespa¸cos Wi’s, obtemos uma base

α de V na qual o operador T ´e representado por

[T ]α_α =         B1 0 . . . 0 0 B2 . . . 0 .. . ... . .. ... 0 0 . . . Bk         ,

onde cada Bi ´e da forma

Bi = [Ti] β β =         J₁(i) 0 . . . 0 0 J₂(i) . . . 0 .. . ... . .. ... 0 0 . . . Jr(i)         .

A matriz [T ]α_α ´e chamada a forma de Jordan do operador T .

Exemplo 5.2. Seja T : R5 _{→ R}5 _{um operador linear cujo polinˆ}_{omio caracter´ıstico}

é f (x) = (x − 2)3(x + 7)2 e cujo polinômio minimal é mT(x) = (x − 2)2(x + 7). Note

que este operador não é único. Os autovalores de T são c1 = 2 e c2 = −7. Pelo

teorema da decomposi¸cão primária obtemos a seguinte decomposi¸cão

R5 = W1⊕ W2

onde W1 = Ker((T − 2I)2) e W2 = Ker((T + 7I)2). Agora consideramos os

opera-dores nilpotentes N1 = T1− 2I e N2 = T2+ 7I. Ent˜ao T1 = N1+ 2I e T2 = N2− 7I,

onde T1 = T |W1, T2 = T |W2. Aplicando o teorema da decomposi¸c˜ao c´ıclica para

(48)

[T1] β1 β1 =   J₁(1) 0 0 J₂(1)  , e J₁(1) =   2 0 1 2  e J (1) 2 = [2].

Tamb´em existe uma base β2 de W2na qual o operador T2´e representado pela matriz

[T2]β_β2₂ =   J₁(2) 0 0 J₂(2)  , e J₁(2) = [−7] e J₂(2)= [−7]

Portanto, unindo estas bases de W1 e W2 obtemos uma base α = (β1, β2) de V onde

[T ]α_α =            2 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 −7 0 0 0 0 0 −7            .

Conclusão: A partir dos teoremas da decomposi¸cão primária e da decomposi¸cão c´ıclica, garantimos a existência de uma base do espa¸co vetorial na qual operadores lineares sobre este espa¸co, não necessariamente diagonalizáveis, são representados nesta base por uma matriz “diagonal em blocos”.

(49)

REFER ˆENCIAS 48

Referˆ

encias

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