XV. INTEGRAL DEFINIDA

XV. INTEGRAL DEFINIDA

1.- Integral definida: sumas superiores e inferiores

A orixe do cálculo integral remóntase á época de Arquímedes (Grecia, 287-212 a.C.), que expón o método para calcular a área determinada por un segmento de parábola.

Baseábase en ir aproximando a área baixo unha curva pola de rexións poligonais ao aumentar o número de lados. Este método foi posteriormente formalizado matematicamente por Riemann (Georg Friedrich Berhnard R., matemático alemán, 1826-1866) para introducir o concepto de integral definida de calquera función.

Aínda que ligada ao cálculo de áreas, compre sinalar que a integral definida non é unha área, senón un número real asociado a unha función que pode interpretarse como a medida dunha certa superficie, sempre que definamos o que se entende por área.

Unha partición, P, dun intervalo cerrado [a,b] é un conxunto de puntos do intervalo,



t t tn



P 0, 1,..., tales que at0 t1...tn b. Chámase diámetro (ou norma) da partición a maior das diferenzas ti ti1 ti para i=1, 2, ..., n.

Dise que unha partición Q de [a,b] é mais fina que outra partición P de [a, b], se todo punto de P pertence a Q, é dicir, Q ten máis puntos que P. Represéntase por PQ

Sexa y f(x) unha función continua e positiva en [a,b] e sexan







t

t



i

n

x

x

f

M

n

i

t

t

x

x

f

m

i i i i i i

,...,

2

,

1

,

,

),

(

Max

,...,

2

,

1

,

,

),

(

min

1 1















 _{(existen polo teorema de Weierstrass)}

Chamamos suma inferior de f(x) para a partición P do intervalo [a,b] á suma:





               n i n i i i i i i n n n t t m t t m t m t t m t t m P f s 1 1 1 1 1 2 2 0 1 1.( ) .( ) ... .( ) .( ) . ) , (

Chamamos suma superior de f(x) para a partición P do intervalo [a,b] á suma:





               n i n i i i i i i n n n t t M t t M t M t t M t t M P f S 1 1 1 1 1 2 2 0 1 1.( ) .( ) ... .( ) .( ) . ) , (

Xeometricamente, as sumas inferior e superior miden a suma das áreas dos rectángulos que teñen por base os intervalos



ti1,ti



da partición e por alturas, mi e Mi respectivamente.

T

Se f(x) é continua en

 

a,b , para toda partición P do intervalo se verifica que ) , ( ) , (f P S f P s 

T

Se f(x) é continua en [a, b] e Q é unha partición do intervalo máis fina que outra partición P, se verifica que s(f,P)s(f,Q)S(f,Q)S(f,P).

Xeometricamente este teorema di que as sumas inferiores aumentan e as superiores diminú-en ao diminú-engadir puntos a unha partición, é dicir, ao pasar dunha partición a outra máis fina.

T

Se P1, P2, ..., Pn, ... son particións dun intervalo, cada unha máis fina ca anterior e de maneira que o diámetro da partición (t_i) tenda a cero, os mi e os Mi se aproximan e se obtén

I P f S P f s i t i ti i     

lim0 ( , ) lim0 ( , ) que representa a área do recinto, trapecio mixtilíneo,

determinado pola gráfica da función f(x), o eixe OX e as rectas x=a e x=b.

2.- Integral definida nun intervalo cerrado; interpretación xeométrica

A idea intuitiva que permitiunos obter a área dun trapecio mixtilíneo xeneralízase e permite definir o concepto de integral definida dunha función nun intervalo. Agora non se esixirá que a función tome soamente valores positivos.

Se a función f(x) é continua en

 

a,b pero non necesariamente positiva en dito intervalo, podemos definir do mesmo modo ao caso anterior as sumas superiores e inferiores, pero agora estas sumas non representan en xeral áreas, xa que a función pode tomar tamén valores negativos en certos subintervalos.

T

Se f(x) é continua en

 

a,b e ademais

a) P1, P2, ..., Pn, ... son particións de

 

a,b cada unha máis fina ca anterior b) ti 0 cando n

entón s f P S f Pn I

n n

nlim ( , )lim ( , ) (1)

Este número real I, límite común, recibe o nome de integral definida da función f(x) en

 

a,b , e se designa por



b

a f(x)dx

Os números a e b chámanse límites inferior e superior de integración, respectivamente, e a función f recibe o nome de integrando.

O cálculo do valor máximo ou mínimo en cada un dos subintervalos non sempre é fácil, por iso elixiremos, na práctica, o valor que toma a función f nun punto calquera do interior de cada intervalo.

Se ci é un número real calquera do intervalo [ti-1,ti], verifícase que

) ( ) ( ) ( 2 1 ) (c_i M_i i , ,...,n s f,Pn mi ti f ci Δti Mi ti S f,Pn f i m     



  



  e de aquí, i b a n i i n f c t dx x f  





   1 ) ( lim ) (

Esta teoría da integral definida así desenvolvida está deseñada para funcións continuas nun intervalo cerrado xa que neste caso se pode garantir a existencia do máximo e do mínimo en cada subintervalo da partición. Existen, sen embargo, outras funcións non continuas que tamén son integrables nun intervalo.

3.- Propiedades da integral definida

Como consecuencia de considerar os puntos (x, f(x)) nos distintos intervalos en que se divide

 

a,b e os signos das bases e das alturas dos rectángulos, se poden deducir as seguintes propiedades: 1) O signo do valor da integral definida depende dos valores que tome a función no intervalo

cerrado

 

a,b 2)



b 



a a b f x dx dx x f( ) ( ) e, en consecuencia,



a  a f(x)dx 0 3) Se c

 

a,b ,



b 







a c a b c f x dx dx x f dx x f( ) ( ) ( ) (aditividade)

4) Linearidade da integración, para dúas funcións f, g definidas en

 

a,b :



b  







a b a b a g x dx dx x f dx x g f )( ) ( ) ( ) (



b 



a b a f x dx k dx x kf)( ) . ( ) ( 5) Se f(x)g(x) entón



b 



a b ag x dx dx x f( ) ( ) 6)







b a b a f(x)dx f(x) dx Exercicio: Descompoñer a integral







    3 2 x 1 x 2 dx

4.- Teorema do valor medio do cálculo integral

T

Se f é unha función continua no intervalo

 

a,b , existe un c de dito intervalo para o que se

verifica que



b  

a f(x)dx f(c).(b a)

En efecto, por ser f continua en

 

a,b alcanzará o seu máximo M e o seu mínimo m no intervalo

 

a,b , e considerando a partición P

 

a,b ,

 

       



b





a b a b a M dx dx x f dx m b a x M x f m ( ) , , ( )







         b a b a f x dx M a b m a b M dx x f a b m( ) ( ) ( ) 1 ( ) 1

Como f é continua en

 

a,b toma tódolos valores comprendidos entre m e M, logo existirá un

 

a b c , tal que 



  b a f x dx a b c f( ) 1 ( )

Xeometricamente este teorema significa que a área do recinto limitado pola curva y f(x), o eixe de abscisas e as rectas x=a e x=b é igual a área dun rectángulo de base b-a e unha altura que está comprendida entre m e M, correspondente á ordenada do punto de abscisa x=c.

5.- Teorema fundamental do cálculo integral

T

Se f é continua en

 

a,b , a función 



x

a f t dt

x

F( ) ( ) , chamada función integral, é derivable

en

 

a,b e F'(x) f(x), x

 

a,b , é dicir F é unha función primitiva de f.





_

_

h x x c c f h x h x c f dt t f h f f f h dt t f dt t f h h x F h x F h x x x a h x x x a x a h x a                 _{ }         _    













   , ), ( ) ( ) ( ) ( 1 1 ) ( ) ( 1 ) ( ) (

Tomando límites '( ) lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) ( )

0 0 _h f c f c f x x F h x F x F x c h h         

Xeometricamente F(x) representa a área do recinto limitado por y f(t), o eixe t e as rectas t=a e t=x

6.- Regra de Barrow

(Isaac B., matemático e teólogo inglés, 1630-1677)

R

Se f é unha función continua en

 

a,b e G é unha primitiva de f en

 

a,b , entón ) ( ) ( ) (x dx G b G a f b a  



En efecto, posto que a función integral F é primitiva de f, ao ser F e G dúas primitivas de f nun intervalo, existe un número real C tal que F(x)G(x)C

                  ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 ) ( , ) ( ) ( , a G b G b F a G b G a F b F C a G a F a x C b G b F b x







    b a b a x G a G b G dx x f( ) ( ) ( ) ( ) Exercicio:

Calcular as integrais definidas, a)



3 /4 2 / 3   sen xdx b)



  0 1 2 ) 1 ( ln x dx c)



 3 3 x dx

7.- Cálculo de áreas planas

Trátase de achar a área de recintos limitados polas gráficas de funcións. Convén representar, sempre que sexa factible, o recinto correspondente.

a) Se f é continua nun intervalo cerrado

 

a,b , a área determinada pola gráfica da función, o eixe OX e as rectas x=a, x=b será:

0 ) (x  f



b a f(x)dx 0 ) (x  f



b  







a b a b a f x dx dx x f dx x f)( ) ( ) ( ) (

f(x) se anula e cambia de signo en c

 

a,b



c 











a b c c a b cf x dx dx x f dx x f dx x f( ) ( ) ( ) ( )

b) Se f e g son continuas en

 

a,b , a área do recinto limitado polas gráficas de ambas funcións e as rectas x=a e x=b, pode ser:

 g(x) f(x)

Se sumamos a cada unha das funcións f e g unha constante k>0 de tal maneira que as dúas gráficas se despracen verticalmente cara arriba ata colocarse por encima do eixe de abscisas, é evidente que as rexións R1 e R2 son

equivalentes e polo tanto as súas áreas.







b  



  a b a g k x dx dx x k f ( ) ( )( )







   



  b a b a f g x dx dx x k g k f ) ( )( ) ( )( ) (

 f e g cambian a relación de monotonía en c

 

a,b :







    b  d d c c a(g f)(x)dx (f g)(x)dx (g f)(x)dx Exercicios: 1. Área da elipse ₂ 1 2 2 2   b y a x

2. Calcular a área delimitada por ysenx, o eixe OX e as rectas x0, x2 3. Área da rexión determinada por 2yx2 0 e 2x y2 0

Integrais impropias

Se denominan integrais impropias ás integrais definidas



b

a f(x)dx tales que:

1) Os límites de integración non son finitos. É dicir: a e/ou b en cuxo caso chá-manse integrais impropias de primeira especie.

2) A función a integrar f(x) non está acotada en [a, b] en cuxo caso chámanse integrais

im-propias de segunda especie (non serán obxecto de estudo neste curso).

Se ocurre que algún límite de integración non é finito, definimos:





   m a m a f(x)dx lim f(x)dx









          m m n n m n n m f x dx f x dx f x dx dx x f 0 0 ) ( lim ) ( lim ) ( lim ) (





   b n n b dx x f dx x f( ) lim ( )

Cando existe o límite de integración (é finito), diremos que a integral impropia é converxente. Noutro caso, diremos que é diverxente

Exercicios: a)



 1 3 1 dx x b)



  1 2 1 1 dx x c)



    _dx x2 x2 d)



  _ 0 1 1 dx x

EXERCICIOS - A

1.

Calcular: 1)



   5 4 2 2 2 3 ) 9 )( 4 )( 1 (x x x dx x 2)



3 / 6 / _.cos   _{senx x} dx 3)



 1 0 3 . dx x e x x x 4)





 



1 0 2 2 .e dx x x ax 5)



4 / 0 .cos  dx x senx 6)



e e x dx / 1 ln 7)



 _{  } 0 63 3 1 1 x x dx 8)



 2 / 1 0 2 3 1 dx x x 9)



3 2 _{.(ln )}4 1 dx x x 10)



    a a x 1 dx 4, a 1 11) 2x.



x 1 1



dx 0  



12)



e dx x x 1 3 ln . 13)



   2 dx senx x 14)



 3 0 2 3 1 2 dx x x

2.

Demostrar, utilizando a regra de L'Hôpital e o teorema do valor medio do cálculo integral que



    1 0 ln lim a a x a _e dx x

3.

A. Comprobar, na integral



2  0 2 ) 1

(x dx a verificación do teorema do valor medio do cálculo integral.

B. Comprobar a verificación do teorema do valor medio do cálculo integral na función 1

)

(x  x

f no intervalo [0, 3].

C. Comprobar a verificación da tese do Teorema do Valor Medio do Cálculo Integral para 3 1 ) (    x x x f no intervalo



2,e3



.

D. ¿É aplicable o Teorema do Valor Medio do Cálculo Integral á función

2 1 ) ( x x x f  

no intervalo [0, 1]? En caso afirmativo, comproba a súa verificación.

E. Comproba que se verifica o Teorema do Valor Medio do Cálculo Integral para a función

senx x

f( ) , definida no intervalo

 

0, .

4. Achar o valor da suma I12I2 3I3...100I100 sendo 



2 / 0 cos  dx nx In .

5. Sexa f(x) cosx en (,), pídese:

a) ¿É aplicable o teorema do valor medio do cálculo diferencial? b) ¿É aplicable a fórmula do valor medio do cálculo integral?

En caso afirmativo, achar o valor medio que aparece no teorema e na fórmula.

6.

Achar o punto de [0, 2] no que



   x dt t t x f 0 ₁ 2 1 )

( alcanza o seu valor mínimo.

7.

Achar os máximos e mínimos en [2, 10] da función F x 



x tdt x

1 ln , 1

) (

8.

Dunha función integrable f definida en [-1, 1] sábese que en dito intervalo se ten

2

1 )

(x x

f   . Dos números -3, -2, -1, 2'5, 2'75, ¿cales poden ser os valores da integral



 1

9.

Sexa a función 2 2 2 ) ( _         x x x

f , onde o símbolo representa a raíz cadrada positiva.

1. Estuda a continuidade e a derivabilidade da función en x0 2. Determina os intervalos de crecemento da función.

3. Calcula



 3

3 3.f(x)dx

10.

a) Se p e q son enteiros positivos, demostra que



 



1 

0 1 0 x (1 x) dx x (1 x) dx p q q p b) Calcula



1  0 10 2 ) 1 ( x dx x

11.

Dada a función F x 



x t  et dt 0 2 2 ) 1 ( )

( , definida para todo número real,

a) Calcular F' x( ), estudar o crecemento de F(x) e achar as abscisas dos seus máximos e mínimos relativos.

b) Calcular F' x'( ), estudar a concavidade e convexidade de F(x) e achar as abscisas dos seus puntos de inflexión.

12.

Considera a función f(x)x2 x

a) Calcula os puntos nos que a gráfica corta ós eixes.

b) Calcula os extremos relativos, así como os intervalos de monotonía de f c) Debuxa a gráfica de f

d) Calcula



 2

1 f(x)dx

13.

Sexa f(x) unha función derivable en (0, 1) e continua en [0, 1], tal que f(1)0 e



1 

0 2xf'(x)dx 1. Utilizar a fórmula de integración por partes para achar



1 0 f(x)dx

14.

Sexa a función x senx x f cos 2 ) (   . Calcular:

a) O seu dominio de definición. Os seus máximos e mínimos no intervalo



0,2



b)



/3 0 ( )  dx x f

15.

Sexa a un número positivo menor que 4, calcular



    a a _{x 4x 25x 100}dx 1 2 3

16.

A función           8 se 4 32 8 0 se ) ( 2 x x x x ax x f é continua en



0,



.

a) Achar o valor de a que fai que esta afirmación sexa certa b) Calcula



10 0 f(x)dx

17.

Sexa 



2 1ln ) (x x tdt

F , con

x



1

. Calcular F' e( ). ¿É F' x'( ) unha función constante? Xustificar a resposta.

18.

A) Enunciar o teorema fundamental do cálculo

B) Calcular a derivada da función f x 



x t dt

0 2₎ cos( ) ( C) Calcular a integral



e dx x 1 2 ) ln(

EXERCICIOS – B (cálculo de áreas) 1. CON FUNCIÓNS POLINÓMICAS (en xeral)

1. Calcular a área limitada por yx3 6x2 8x

e o eixe OX

2. Achar a área limitada pola curva yx33x2 1 e a recta tanxente á mesma no punto no que alcanza o seu máximo relativo. Debuxa o recinto.

3. Calcular a área da rexión limitada pola curva y(x1)2.(x1) e as rectas 1 , 2 , 0    x x y . 4. Consideramos a función f x ax3bx2cxd )

( . Sabemos que dita función ten un

máximo no punto (1, 4) e unha tanxente de ecuación y6x no punto (0, 0). Calcular os valores que deben tomar os parámetros a, b, c e d.

¿Ten esta función algún punto de inflexión? Se a resposta é positiva, determinar a tanxente á curva nese punto.

Debuxar a gráfica da función e calcular a área comprendida entre a gráfica debuxada e o eixe OX situado no primeiro cuadrante.

5. Calcula a área da rexión limitada polas curvas yx5 x2 1 e yx5 x1

6. a) Para cada valor c0, calcular a área da rexión acoutada comprendida entre a gráfica da función: f(x)cx4 (1/c)x21, o eixe OX e as rectas x0,x1.

b) Achar o valor de c para o que a área obtida no apartado a) sexa mínima. 2. CON PARÁBOLAS

1. Encontrar as ecuacións das parábolas que pasan pola orixe, teñen un punto crítico en 1



x e a área que determinan co eixe de abscisas vale 4.

2. Achar a área encerrada pola parábola 2

4 y

x  e o eixe de ordenadas.

3. Calcula a área limitada polas curvas (9/2)(y2)x26x, y2.

4. Sexa a rexión D delimitada polas gráficas das funcións yx2, y1/x, xe

e o eixe

OX. Calcular a área de D.

5. Achar a área do recinto limitado polos eixes de coordenadas, a recta y2 e a curva de ecuación y x2

6. Calcular a área do recinto limitado pola parábola 2 2  2

x

y , o eixe de abscisas e a tanxente á parábola paralela á recta 2yx3. Facer un debuxo do recinto descrito.

7. Debuxar o recinto limitado por yx24x3, a súa recta tanxente no punto P(0, -3) e a recta yx3. Calcular a súa área.

8. Representar graficamente o recinto plano limitado pola curva yx2x

e a recta perpendicular á súa tanxente no punto (0, 0). Calcular a súa área.

9. Achar a área comprendida entre 2 2

/ 4 ,

5 y x

x

y   debuxando dito recinto.

10. Calcular a área positiva (só a que está na parte positiva do eixe Y), determinada polas gráficas das funcións: y6xx2, yx22x

11. Debuxar o recinto plano limitado pola gráfica da parábola yx2 4x, o eixe OX e as rectas x1 e x1. Calcular a área desa rexión.

12. Sexa  2 

x

y . Calcular o valor de  para que as tanxentes á curva nos puntos de abscisa de valor absoluto un, pasan pola orixe de coordenadas. Achar a área do recinto limitado pola curva e as dúas tanxentes.

13. A curva 2

2x

y divide ao cadrado de vértices A(0, 0), B(1, 0), C(1, 1) e D(0,1) en dous recintos. Debuxa ditos recintos e acha a área de cada un deles

14. Na figura aparece unha curva que representa a unha función polinómica de grao 2. Os puntos de intersección da curva co eixe OX son o (1, 0) e o (3, 0). Ademais, a área limitada pola curva e os dous eixes coordenados vale 3/4. Achar a expresión da función polinómica.

15. Nun plano, o trazado dunha estrada descorre segundo a ecuación y(x2 /4)x, sendo un río o eixe OX. No terreo entre o río e a estrada hai un piñeiral. Se expresamos as distancias en quilómetros, ¿canto vale o piñeiral se a hectárea se paga a 60 euros?

16. A área do recinto limitado polas curvas de ecuacións

a x y

2

 e y ax, con a>0, vale 3. Calcula o valor de a

17. Calcular o valor de a para que a rexión plana encerrada entre a parábola yx2 e a recta

a

y sexa o dobre da área da rexión limitada por dita parábola e a recta y1.

18. Sexa R o rectángulo do plano con vértices en V1=(0, 0), V2=(3, 0), V3=(3, 9) e V4=(0, 9).

Demostrar que para todo valor de A a curva de ecuación Y  Ax2(33A)x pasa polos vértices V1 e V3 e divide ao rectángulo en dúas rexións.

Calcular a área de ditas rexións e encontrar o valor de A para que a rexión situada por encima da curva teña un área dobre que a situada por debaixo da curva.

19. Calcular os valores de a para os que a área comprendida entre a gráfica da función

4 2

a x

y  e o eixe OX é de 256/3 unidades de superficie.

20. Esboce a gráfica da parábola

4 7

2 _{ }



 x x

y e ache a área da rexión do plano

determinada pola parábola e a recta que pasa polos puntos 

     4 1 , 0 e       0 , 6 1 21. Definimos as funcións f(x)a(1x2) e a x x g( ) 1 2 _  , con a0.

a) Comproba que a área do recinto limitado polas gráficas das funcións é:

a a 3 ) 1 ( 4  2

b) Calcula o valor do parámetro a para que este área sexa mínima

22. Calcule a área do recinto limitado pola gráfica da función

          1 3 4 1 12 4 ) ( ₂ x x x x x x f se se

, o eixe de abscisas e a recta x2

3.

CON FUNCIÓNS VALOR ABSOLUTO

1. Calcula a área do recinto determinado pola gráfica da función y x  x1 e a recta y2.

2. Calcula a área determinada polas gráficas das funcións y2 x, y x2 .

3. Calcular a área encerrada pola curva

1 1 2     x x y , o eixe OX e as rectas 2 3 , 2 1 _  x x .

4. Achar a área limitada por

1 2 1    x

y , o eixe de abscisas e as ordenadas x1 e x3

5. Calcula a área da rexión limitada polas funcións   22 3

x x

6. Sexan as funcións f :RR/xx3, g:RR/x x, h:RR/xsen(x) a) Estudar os intervalos de crecemento e decrecemento e os puntos de inflexión de f(x). b) Calcular a derivada de (f h)(x)

c) Obter a área do recinto limitado por f e g entre x0 e x1.

7. Sexa f:RR a función definida por f(x)xx1. a) Esboza a gráfica de f

b) Comproba que a recta de ecuación yx é a recta tanxente á gráfica de f no punto de abscisa x0

c) Calcula a área do recinto limitado pola gráfica de f e a de dita tanxente.

8. Sexa a función f(x) x2 x2

a) Achar os intervalos de crecemento e decrecemento, os de concavidade e convexidade e esbozar a súa gráfica.

b) Demostrar que non é derivable en x2

c) Calcular a área da rexión limitada por dita gráfica, o eixe OX e as rectas x2, 0



x

9. a) Exprese f(x)x x como unha función definida a trozos e debuxe a súa gráfica de forma aproximada.

b) Calcule a integral definida



  1

1 x x dx

c) Calcule a área do recinto plano limitado pola gráfica de f(x), o eixe OX, a recta 1

 

x e a recta x1

10. Sexa f:RR e g:RR as funcións definidas respectivamente por:

2 ) (x x f  e 2 1 1 ) ( x x g  

a) Esboza as gráficas de f e g sobre os mesmos eixes e calcula os puntos de corte entre ambas gráficas

b) Calcula a área do recinto limitado polas gráficas de f e g

4.

CON FUNCIÓNS EXPONENCIAIS

1. Achar a área limitada pola curva . x2

e x

y  , eixe de abscisas, a ordenada en x0 e a ordenada no máximo.

2. Calcular a área determinada pola curva _x

x e e x f ₂ 1 ) ( 

 entre os puntos de abscisas

0



x ,xln 3 e o eixe OX.

3. Calcular a área da rexión limitada pola gráfica da función ( )2  2x 1

e x x

f , o eixe X e

as rectas x1, x1.

4. Debuxando as gráficas das funcións f(x)ex, g(x)e2x, h(x)e2, calcula a área do recinto limitado polas mesmas.

5. Achar a área encerrada entre a gráfica da función f(x)xex, o eixe de abscisas e a recta 1



x .

6. Sexa a función y2e2x

a) Estúdese a súa monotonía, extremos relativos e asíntotas

b) Calcúlese a área da rexión plana comprendida entre a gráfica da función, as rectas 1



7. Calcular a área encerrada entre a gráfica da función f(x)ex e a corda á mesma que une os puntos de abscisas x1 e x1

8. Sábese que as dúas gráficas do debuxo corresponden á

función x e x ) x ( f  2

e á súa función derivada 'f

a) Indica, razoando a resposta, cal é a gráfica de f e cal a de 'f

b) Calcula a área da rexión sombreada

9. Sexa f :RR a función dada por f(x)e2x.

a) Xustifica que a recta de ecuación y2exé a recta tanxente á gráfica de f no punto de abscisa x1/2.

b) Calcula a área do recinto limitado pola gráfica de f, o eixe de ordenadas e a recta tanxente do apartado anterior.

5.

CON FUNCIÓNS LOGARÍTMICAS 1. Dada a función

x x x

f( )ln , calcular posibles máximos, mínimos e asíntotas horizontais. Obter a área da rexión acoutada por f, o eixe OX e a recta xe.

2. Calcular a área do recinto plano delimitado por yx2.lnx

, eixe X, e a recta x2.

3. Achar a área limitada polas curvas ylnx, y2 e os eixes coordenados.

4. Calcular a área encerrada polas curvas x

e y x

yln ,  e as rectas x1, xe. ¿Existe un punto m no intervalo

 

1,e tal que a área encerrada polas curvas anteriores e as rectas

m x

x1,  valga exactamente 2?

5. Achar a área da rexión do plano limitada pola curva de ecuación ylnx, a recta tanxente á súa gráfica no punto de abscisa 1, e a recta x3.

6. Calcular a área encerrada polas funcións f(x)1lnx e g(x)1/x e as rectas x1 e x2.

7. Calcular a área encerrada pola gráfica da función f(x)xln(x) para 1x2, a recta 2



x e o eixe X.

6.

CON FUNCIÓNS TRIGONOMÉTRICAS

1. Calcular as asíntotas oblicuas de f(x)x.arctgx. Determinar a área da rexión acoutada do plano delimitada pola gráfica de f, o eixe OX e as rectas x0, x1.

2. Calcular a área do recinto plano delimitado por y 2 x

cos

 , OX, x0, x .

3. Obtéñase a área da rexión plana acoutada polas rectas x0, x , e as gráficas das

funcións x x e x g senx e x f( ) . , ( ) .

4. Determinar a área limitada polo eixe OX, a curva de ecuación y2sen2x3cosx

e as abscisas x0, x .

5. Calcular a área encerrada pola función

       2 / 4 / se , cos 4 / 0 se , ) ( _  _ x x x senx x f e o eixe OX. 6. Dadas as funcións               g x x x x x x f 2 cos ) ( , 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 )

(  achar a área encerrada

7. Sexa a función f(x)xsenx. Determinar:

a) A área encerrada entre a gráfica e o eixe de abscisas entre as rectas x0 e x. b) A área encerrada entre a tanxente en x e os dous eixes coordenados.

8. Dadas as funcións f(x)sen(x) e g(x)x3x, encontra os tres puntos nos que se cortan e calcula a área da rexión do plano encerrada entre as gráficas de f(x) e g(x)

9. Considera a función f x  senx

2 1 ) (

a) Debuxa o recinto acoutado comprendido entre a gráfica de f(x), o eixe OX e as rectas 0  x e 2   x

b) Calcula a área do recinto anterior

7.

CON FUNCIÓNS RACIONAIS

1. Calcular a área encerrada pola curva

4 5 3 2    x x

y , o eixe de abscisas e as ordenadas

3 ,

2 

 x

x

2. Calcular a área que determina a curva

4 2 3   x x

y coa súa asíntota (oblicua) e coas rectas x1,x1.

3. Calcular a área do recinto delimitado por

x x x y 2 3 1 2 3    , OX, x3,x4.

4. Calcular a área do recinto plano delimitado pola gráfica da función

1 ) ( ₂   x x x f , o eixe X e a recta x1/2.

5. Calcular a área encerrada pola función

1 1 ) ( ₂ 3    x x x f e os eixes X e Y 6. A gráfica de x x x

f( )3 , desde x1 ata x4, é a seguinte: a) Calcula a ecuación das rectas tanxentes a esta función nos

puntos de abscisa x1 e x3

b) Debuxa o recinto limitado pola gráfica da función e as dúas rectas tanxentes que calculaches.

c) Encontra os vértices deste recinto d) Calcula a superficie do recinto anterior.

7. Calcule a área da rexión limitada pola curva ₂ 1 1 x y   e as rectas y0,xa,xb, onde a e b son as abscisas dos puntos de inflexión da curva. Faga un debuxo da rexión.

8. Sexa ( ) 1 ₂ x x x f   .

a) Determinar o seu dominio

b) Estudar se f(x) é unha función simétrica respecto á orixe de coordenadas c) Obter a área encerrada por f(x) e o eixe OX entre x1/4 e x3/4

8.

CON OUTRAS CÓNICAS

1. Calcular a área limitada pola curva y 1x2 , e as rectas

2 2 , 0 , 0    x x y

2. Achar a área do recinto limitado polas gráficas das funcións 80,  2, 1

y x y xy

3. Calcula a área do recinto limitado pola elipse 2 9 2 9

y x con 2 3  x e a recta 2 3  x .

4. Área limitada por

x

y1 e a circunferencia centrada na orixe e de radio 2 17

5. Achar a área da rexión acoutada comprendida entre a gráfica da función ₂

) 2 ( 1   x y e as rectas y1, x5/2

9.

Área limitada por y3 x

e as rectas y1, x8.

10.

Achar a área do recinto limitado polo eixe OX e a gráfica da función 2 4

)

(x x x

f   . Xustificar a resposta.

11.

As gráficas das funcións g x x h x x

x x f   , ( ) 8 ) ( , 1 )

( ₂ , delimitan unha rexión acoutada na

zona do plano onde x>0. Debuxar un esquema de dita rexión e calcular a área da mesma.

12.

Dada a función f(x)x. 32x, determinar o seu campo de definición e zonas de

crecemento e decrecemento. Calcular a área da rexión acoutada delimitada pola gráfica de f e o eixe OX.

13.

a) Calcula a e b para que yaxb8/x teña no punto (-2, -6) unha tanxente horizontal. b) Determina a área da porción de plano limitada pola gráfica da función, o eixe OX e as

rectas x1, x2.

14.

Acha a área do recinto sombreado que aparece na figura adxunta, sabendo que a parte curva ten como ecuación

x x y    1 2 2

15.

Considera a función definida por

       0 se 0 se ) ( ₂ x x bx x senx x f con

b



R

a) Calcula o valor de b para que f sexa derivable en x0

b) Para b2 e o intervalo



2,3



, determina os puntos de corte cos eixes, os extremos rela-tivos (máximos e mínimos), a curvatura e debuxa a gráfica da función f.

c) Calcula a área comprendida entre a curva ysen(x) e a recta y 0 no intervalo



2,0



16.

Calcula a área limitada pola curva y x x1, a recta y0, e a recta x1. Previamente,

fai un esquema do recinto do que se quere calcular a súa área.

17.

Se considera, no primeiro cuadrante, a rexión R do plano limitada por: o eixe X, o eixe Y, a

recta x2 e a curva ₂ 4 1 x y  

a)

Calcular razoadamente a área da rexión R.

b)

Encontrar o valor de  para que a recta x divida a rexión R en dúas partes,

A(esquerda) e B (dereita), tales que a área de A sexa o dobre que a de B.

18.

Dada a función f(x)x3 x, pídese:

a)

Achar a ecuación da recta tanxente á gráfica de f no punto (1, f(1))

b)

Determinar os puntos de intersección da recta achada no apartado anterior coa gráfica de f.

c)

Calcular a área da rexión acoutada que está comprendida entre a gráfica de f e a recta

ob-tida no apartado a).

19.

Sexa a función





2 1 ) ( x x e e x f  

a) Calcular un punto da súa gráfica tal que a recta tanxente en dito punto sexa paralela ao eixe OX. Escribe a ecuación da recta tanxente