PROBABILIDADE MATEMÁTICA. 1. Introdução e Iniciação ao estudo da Probabilidade

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PROBABILIDADE

1. Introdução e Iniciação ao estudo da Probabilidade

Ao acender o fogo para aquecer uma panela contendo água, podemos dizer por exemplo, dada a quantidade inicial de água e a intensidade do fogo, o tempo necessário para que a água atinja a temperatura de 50º C. A partir do momento que a experiência mostra esse resultado, mantidas as mesmas condições iniciais, podemos conjecturar que isso sempre acontecerá não importando o número de vezes que a mesma experiência seja realizada. Uma experiência pode também ser chamada de evento. No caso do exemplo citado o evento é dito determinístico.

Os eventos podem ser classificados em determinísticos ou aleatórios.

O caso da aleatoriedade é mais complicado. Para chegarmos ao atual estágio sobre essa questão foi necessário muito tempo. O conceito de aleatório surgiu juntamente com os jogos de azar. Estudos antropológicos indicam que a origem de vários jogos de azar está nos meios utilizados em quase todas as religiões para a adivinhação, o sortilégio, o agouro, o presságio.

Ao longo da história encontramos várias referências a utilização de jogos.

Soldados romanos jogavam o astrágalo, um osso do tornozelo com a forma quase cúbica. Na Bíblia Sagrada, Salmo 22, Versículo 18, encontramos: “Repartem entre si as minhas vestes e sobre a

minha túnica deitam sortes.”

O Antigo Testamento contém 39 livros divididos em quatro classes. A 1ª classe é atribuída a Moisés, que escreveu os cinco primeiros livros: O Pentateuco (do grego “os cinco rolos”) → Gênesis, Êxodo, Levítico, Números e Deuteronômio. É também chamado de Torá, uma palavra da língua hebraica com significado associado ao ensinamento, instrução e, especialmente, Lei. Em seu sentido mais amplo, os judeus usam a palavra Torá para referir-se a todo e qualquer tipo de ensino ou filosofia. O livro dos Números conta que, após realizar o censo dos israelitas, Moisés dividiu entre o povo as terras que existiam a oeste do Rio Jordão, de acordo com o número de letras de seus nomes.

Na cristandade o conceito de aleatório foi rejeitado. Santo Agostinho declarava que nada acontecia por acaso. Tudo era controlado pela vontade de Deus. Se algo parecesse aleatório, a aleatoriedade estaria ligada à ignorância do homem e não à natureza do evento. A estrutura social baseada no sagrado dificultava a aceitação de casos fortuitos, casuais. Havia resistência pois, tudo estava sob os cuidados das divindades. Um lance de dado indicava um desejo divino, um sinal a ser interpretado, nunca um evento probabilístico.

Povos da Antigüidade, como egípcios, romanos e chineses, estão entre os pioneiros no uso de jogos como loterias. Os primeiros embriões das loterias com prêmios em dinheiro, entretanto, teriam surgido em Roma, na Idade Média e se difundido pela Europa. Nesse período existiam as chamadas "Urnas da Fortuna", que consistiam em caixas de madeira colocadas em estabelecimentos comerciais, cheias de bilhetes dobrados onde estavam escritos os nomes de produtos comercializados no local. O cliente retirava um bilhete e recebia seu prêmio. Com as viagens marítimas os jogos e os sorteios chegariam a novos continentes.

A primeira loteria oficial do Brasil foi extraída ainda nos tempos coloniais, quando a Capitania de Minas Gerais promoveu um sorteio com o objetivo de arrecadar recursos para o término das obras da Casa de Câmara e Cadeia de Vila Rica, atual Ouro Preto. A partir de 1962 um decreto do presidente João Goulart definiu que as loterias federais passariam a ser administradas pela Caixa Econômica Federal. Através do cálculo de probabilidades é possível saber quais são suas chances de ganhar os prêmios. Atualmente, no verso do “volante” de cada jogo as chances de ganhar estão especificadas, assim como a porcentagem das verbas arrecadadas e suas respectivas utilizações.

Formalmente, devem-se aos algebristas italianos Pacioli, Cardano e Tartaglia (séc. XVI) as primeiras considerações matemáticas acerca dos jogos e das apostas. Eles limitaram-se, no entanto, a resolver alguns problemas concretos mas ainda sem demonstração de teoremas, embora já faziam comparação de frequência de ocorrências e estimativas de ganhos. No entanto, a contribuição decisiva para o início da Teoria das Probabilidades foi dada pela correspondência trocada entre os matemáticos franceses Blaise Pascal (1623 – 1662) e seu amigo Pierre de Fermat (1601 – 1665), em que ambos,

MATEMÁTICA

Nome Série Nº Junho 2013

3º

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por diferentes caminhos, chegam à solução correta do célebre problema da divisão da aposta em 1654. Este problema teria sido posto a Pascal pelo cavaleiro De Méré (considerado por alguns autores jogador inveterado e por outros, filósofo e homem de letras) quando viajava em sua companhia.

Sem que Pascal e Fermat o soubessem, este problema era basicamente o mesmo que, um século antes, interessara também Pacioli, Tartaglia e Cardano (no momento certo de nosso curso, você será convidado a resolver esse problema). Pascal e Fermat não publicaram as soluções encontradas para os diversos problemas que estudaram. A publicação desses problemas com os respectivos resultados foi feita por Jacques Bernoulli (1654-1705) num livro de edição póstuma intitulado "A Arte da Conjectura" (1713).

A palavra probabilidade deriva do Latim probare (provar ou testar). Informalmente, provável é uma das muitas palavras utilizadas para eventos incertos, sendo também substituida por algumas palavras como “sorte”, “risco”, “azar”, “incerteza”, “duvidoso”, dependendo do contexto.

A idéia de probabilidade está presente em diversas situações do nosso cotidiano, sendo uma ferramenta essencial ao estudo e compreensão de problemas estatísticos. Além disso, através de seus resultados numéricos podemos tomar decisões com um grau de maior ou menor certeza.

Vamos observar alguns exemplos:

a) Quais são as chances de as vendas decrescerem se aumentarmos o preço?

b) Qual é a plausibilidade (aceitabilidade) de um novo método de montagem aumentar a produtividade?

c) Quais são as probabilidades de um projeto terminar no prazo? d) Quais são as chances de um novo investimento ser lucrativo?

e) Quais são as chances de alguém ganhar na loteria com uma aposta simples? f) Como são calculadas as chances de um jogador na disputa do pôquer? g) Quais são as chances de que chova hoje?

A probabilidade é uma medida numérica da plausibilidade de que um certo evento ocorrerá. Assim, pode ser usada como medida para o grau de incerteza associado ao evento analisado. Os valores da probabilidade são sempre atribuídos em uma escala de 0 a 1. Quanto mais próximo de zero, mais improvável é a ocorrência do evento. A probabilidade próxima de 1 indica um evento quase certo. Se for igual a 0,5 o evento será tão provável quanto improvável. Geometricamente:

Plausibilidade crescente de ocorrência

0 0,5 1

A ocorrência do evento é tão provável quanto improvável

O grau de plausibilidade pode ser expresso por meio de um número decimal ou sua fração percentual correspondente.

Para lembrá-los, seguem alguns exemplos:

% 50 100 50 10 5 5 , 0 ; 20% 100 20 10 2 2 , 0 ; 12,5% 100 5 , 12 1000 125 125 , 0 , etc.

Para compreensão dos termos que serão utilizados em nossa apostila, precisaremos de um conjunto prévio de definições e termos técnicos:

a) Experimento (Evento): é qualquer processo que gera resultados bem definidos. Ao repeti-lo teremos sempre um e somente um resultado possível.

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Exemplos:

experimento Resultado do experimento - Lançar uma moeda - Cara, coroa

- Selecionar uma peça para inspeção - defeituosa, não defeituosa - Lançar um dado - 1, 2, 3, 4, 5, 6

- Jogar futebol - ganhar, perder, empatar

Obs: Um evento é um conjunto, classe ou grupo de resultados incertos. Eventos podem ser de dois tipos: composto, que pode ser decomposto em 2 ou mais sub-eventos e elementar, que não pode. Por exemplo: imagine que jogamos um dado. Sair “um número ímpar” é um evento composto, uma vez que ocorrerá se a face com os números 1, 3 ou 5 fique voltada para cima. No entanto, o evento “seis aparece para cima” é um evento elementar.

b) Espaço amostral: é o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento. Alguns livros utilizam a letra U outros a letra S. Usaremos a letra S. No experimento jogar futebol, o espaço amostral será dado por S = {ganhar, perder, empatar}.

c) Eventos equiprováveis: são aqueles que tem a mesma possibilidade de acontecer.

d) Eventos não equiprováveis: são aqueles que tem possibilidades diferentes de ocorrência. e) Eventos mutuamente exclusivos: são aqueles cuja ocorrência de um elimina a possibilidade de ocorrência do outro: chove ou não chove, par ou ímpar, homem ou mulher, etc.

f) Eventos complementares:Suponha a ocorrência de um evento

A

. O evento complementar de A (denotado por

____

A

) é constituído de todos os elementos amostrais que não estão em A. Temos

sempre que

1

____

A

.

g) Axioma ou postulado: O termo axioma é originário da palavra grega αξιωμα (axioma), que significa algo que é considerado ajustado ou adequado, ou que tem um significado evidente. Entre os filósofos gregos antigos, um axioma era uma reivindicação que poderia ser vista como verdadeira sem nenhuma necessidade de prova. No entanto, a palavra axioma como é usada na Matemática moderna, não é uma proposição auto-evidente. Simplesmente significa um ponto de partida num sistema lógico-formal.

Concluindo, devemos considerar (como em toda teoria matemática), que a Probabilidade possui bases para sustentar todo o conteúdo a ser desenvolvido. Essas bases servem como pontos de partida para toda a teoria e estão enunciados em três argumentos, chamados de “axiomas da probabilidade”.

São eles:

1. A probabilidade de qualquer evento é sempre não negativa. 2. A probabilidade do evento composto é sempre igual a 1.

3. A probabilidade de um ou outro dos dois eventos mutuamente exclusivos ocorrerem é igual à soma de suas duas probabilidades individuais.

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2. Cálculo de probabilidades em um espaço com eventos equiprováveis

Neste tópico pretendo que você desenvolva sua capacidade de leitura e interpretação de enunciados, adquirindo aptidão para:

- Escrever todos os elementos do espaço amostral de um experimento. - Discriminar os elementos de um determinado evento contido nesse espaço.

- Calcular o número que indica o grau de plausibilidade de ocorrência do evento, usando a fórmula: amostral espaço do elementos de número favoráveis elementos de número E P S n E n E

P , em que P(E) denota a probabilidade de ocorrência desse evento.

Atividade 1 de sala de aula:

Objetivos: Reconhecer, diferenciar e saber enumerar um evento (denotado pela letra E) e o espaço amostral (S) que o contém.

Exercícios

1) Escreva todos os elementos do espaço amostral observado ao lançar simultaneamente um dado e uma moeda honestos.

2) No experimento lançar duas vezes uma moeda e observar a seqüência de resultados, dê o conjunto que representa o espaço amostral.

3) Quantos elementos tem o espaço amostral do experimento lançar quatro vezes uma moeda e observar a face superior?

4) Jogando-se duas vezes um dado e observando, em cada vez, o número gravado na face superior, quantos elementos (pares ordenados) tem o espaço amostral?

5) Lança-se uma moeda três vezes e observa-se a face superior. Quais e quantos são os pontos amostrais do seguinte evento: a face observada é um número ímpar?

Objetivos: Reconhecer, diferenciar e enumerar um evento e seu espaço amostral. Calcular o número que indica a probabilidade de ocorrência do evento.

Exercícios

1) Numa sacola existem 3 bolas brancas, 4 pretas e 5 vermelhas. Retira-se ao acaso uma bola dessa sacola. Escreva o número que exprime a probabilidade de que a bola retirada seja branca.

2) (FUVEST) Uma urna contém três bolas pretas e cinco bolas brancas. Quantas bolas azuis devem ser colocadas nessa urna de modo que, retirando-se uma bola ao acaso, a probabilidade de ela ser azul seja igual a 2/3?

3) (UEL) Dois dados não viciados são lançados. Qual a probabilidade de que a soma dos pontos obtidos seja maior ou igual a 5?

4) (FUVEST) Escolhe-se ao acaso um elemento do conjunto dos divisores positivos de 60. Calcule o número que indica a probabilidade de que ele seja um número primo.

5) (FUVEST) Duas pessoas A e B jogam um dado alternadamente, começando com A, até que uma delas obtenha um “6”. A primeira que obtiver o “6” ganha o jogo. Qual a probabilidade de A ganhar o jogo?

6) Considere a equação do 1º grau, na variável x, dada por

a

2 x

4

. Se o número a for escolhido dentre os elementos do conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, qual é a probabilidade de que essa equação tenha:

a)uma única solução? b) uma solução inteira? c) nenhuma solução?

7) (FGV) Uma caixa contém 1.000 bolinhas numeradas de 1 a 1.000. Uma bolinha é sorteada. Qual a probabilidade de a bolinha sorteada ter um número múltiplo de 7?

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Tarefa mínima 1:

Objetivos: Reconhecer, diferenciar e enumerar um evento e seu espaço amostral. Calcular o número que indica a probabilidade de ocorrência do evento. Fixar os conhecimentos adquiridos, desenvolvendo habilidades para a resolução de novos exercícios.

Exercícios:

1) No lançamento de um dado equilibrado, qual a probabilidade de que a face voltada para cima tenha um número menor que 5? (Resp: 2/3)

2) Lançam-se dois dados honestos. Qual a probabilidade de a soma dos pontos obtidos ser um número múltiplo de 3? (Resp: 1/3)

3) Num jogo com um dado honesto, o jogador X ganha se tirar, no seu lance, um número de pontos maior ou igual ao lance do jogador Y. Determine a probabilidade de que X ganhe de Y. (Resp: 7/12)

4) Um professor deseja sortear um CD entre seus alunos. Na sua turma há 40 alunos e o número de rapazes excede o número de moças em 12. Qual a probabilidade de que o CD seja sorteado para um rapaz? (Resp: 13/20)

5) O Colégio COC pretende implementar uma nova metodologia para o aperfeiçoamento de seus professores. Essa metodologia será constituída de duas etapas: a primeira será destinada ao estudo da nova proposta pelos supervisores e coordenadores dos cursos do Colégio; a segunda será destinada à formação dos professores envolvidos. Uma equipe foi a campo para analisar a implementação dessa mesma metodologia em três diferentes Colégios. Os resultados obtidos mostraram que o Colégio A precisou de 2 meses para a instrução da equipe técnica e 6 meses para a formação dos professores. O colégio B precisou de 3 meses para a instrução da equipe técnica e 7 meses para a formação dos professores. O colégio C utilizou 4 meses para a instrução da equipe técnica e 8 meses para a formação dos professores. Levando em consideração somente as informações da pesquisa, qual a probabilidade de que esse projeto seja implementado no C.R.B. em 10 meses? (Resp: 1/3)

6) Uma moeda honesta é lançada três vezes sucessivamente. Qual é a probabilidade de observarmos duas caras e uma coroa? (Resp: 3/8)

7) Um pára-quedista planejou seu pouso em uma fazenda cujo terreno tem a forma de um retângulo de 300m de largura por 500m de comprimento. Nesse terreno, há um lago em forma de círculo com raio igual a 25m. Suponha que o local do pouso possa se tornar aleatório (devido ao vento, por exemplo) e que o pára-quedista cairá no terreno da fazenda. Qual a probabilidade de que ele caia no lago? Para efeito de cálculo, adote

3

. (Resp: 1/80)

8) Uma sacola contém x bolas brancas, x2 bolas vermelhas e 2x bolas pretas, todas do mesmo tamanho e peso. Quantas bolas brancas há nessa sacola, se, na retirada de uma bola ao acaso, a probabilidade de ela ser branca é igual a 12,5%? (Resp: 5)

3. Probabilidade da união de dois eventos

Além de interpretar enunciados, desejo que você desenvolva habilidades para:

- Distribuir dados numéricos de forma adequada usando diagramas lógicos de Venn (John Venn. Matemático inglês: 1834 – 1923).

- Resolver questões que evidenciam o conectivo “ou” associando-o com a lei da adição. Dados dois conjuntos não vazios A e B, dois fatos podem ocorrer:

1) A e B são disjuntos, isto é, não há elementos comuns entre eles. Se A denotar o conjunto de elementos amostrais de um evento e B o conjunto de elementos amostrais de um outro evento, sem que haja intersecção entre eles, dizemos que A e B são eventos mutuamente exclusivos.

Sendo n(A B) o número de elementos do conjunto união, n( A) o número de elementos de A e n(B) o número de elementos de B, temos: n(A B) n(A) n(B) P(A B) P(A) P(B)

Geometricamente:

A B

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2) A e B não são disjuntos, isto é, existem elementos comuns entre eles. Sendo n(A B) o número de elementos do conjunto união, n(A B) o número de elementos do conjunto intersecção,

) ( A

n o número de elementos de A e n(B) o número de elementos de B, temos:

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (A B n A n B n A B P A B P A P B P A B n Geometricamente: A B

A

B

Objetivos: Distribuir de forma correta os dados de um problema usando diagramas de Venn, observando as intersecções e calculando as probabilidades pedidas.

Exercícios:

1) Numa comunidade residem 100 pessoas. Uma pesquisa sobre hábitos alimentares dessa comunidade revelou que 25 pessoas consomem carnes e verduras, 83 pessoas comem verduras e 39 pessoas consomem carnes. Uma pessoa da comunidade é escolhida ao acaso. Qual a probabilidade de ela consumir exclusivamente carnes?

2) Uma urna contém 25 bolas numeradas de 1 a 25. Uma bola é retirada ao acaso dessa urna. Qual a probabilidade de o número sorteado ser múltiplo de 2 ou de 3?

3) Um dado honesto é lançado. Qual a probabilidade de sair múltiplo de 2 ou múltiplo de 5? 4) Em uma escola de idiomas estão matriculados 600 alunos assim distribuídos: 380 em inglês, 105 em espanhol, 45 em inglês e espanhol e os demais em outro curso. Escolhendo um aluno ao acaso para uma entrevista, qual a probabilidade de que ele estude somente inglês?

5) Um colégio tem 400 alunos. Destes, 100 estudam matemática; 80 estudam física; 100 estudam química; 20 estudam matemática, física e química; 30 estudam matemática e física; 30 estudam física e química e 50 estudam somente química. Qual a probabilidade de um aluno, escolhido ao acaso, estude matemática e química?

6) No cadastro de um comerciante estão registrados 70 clientes, assim distribuídos: 44 homens, 10 mulheres residentes no interior e 19 homens residentes na capital. Um nome do cadastro é escolhido ao acaso. Qual é a probabilidade de o nome escolhido ser de um homem ou residente no interior?

Objetivos: Distribuir corretamente os dados de um problema usando diagramas de Venn, observando as intersecções e calculando as probabilidades pedidas.

Exercícios:

1) Em um exame de seleção realizado na Universidade “Sinon Studards Thomas Paul”, com 1800 candidatos, obteve-se o seguinte resultado: 600 ficaram reprovados em matemática, 450 ficaram reprovados em português e 240 ficaram reprovados em matemática e português. Se um dos participantes for escolhido ao acaso, qual é a probabilidade de ele ter sido reprovado em matemática e aprovado em português? (Resp: 1/5)

2) (UNESP) Dois dados perfeitos e honestos são lançados ao acaso. Calcule o número que indica a probabilidade de que a soma dos resultados obtidos seja 3 ou 6. (Resp: 7/36)

3) (UNESP) Lançando-se simultaneamente dois dados não viciados, qual o número que expressa a probabilidade de que suas faces superiores exibam soma igual a 7 ou 9? (Resp: 5/18)

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4) (FEI) Em uma pesquisa realizada em uma Faculdade foram feitas duas perguntas aos alunos. Cento e vinte responderam "sim" a ambas; 300 responderam "sim" à primeira; 250 responderam "sim" à segunda e 200 responderam "não" a ambas. Se um aluno for escolhido ao acaso, qual é a probabilidade de ele ter respondido "não" à primeira pergunta? (Resp: 11/21)

4. Lei da multiplicação de probabilidades para eventos independentes

Ao final deste tópico pretendo que você esteja apto a:

- ler e interpretar enunciados mais complexos com mais rapidez e facilidade.

- mostrar que é possível resolver questões envolvendo produto de probabilidades, em especial quando conseguimos notar a presença do conectivo “e” separando claramente dois períodos.

- diferenciar e resolver questões envolvendo os conectivos “e”, “ou”.

Dois eventos são independentes quando a ocorrência de um não afeta a ocorrência do outro. Por exemplo: O fato de o primeiro filho de um casal ser um menino não significa nada em relação ao nascimento de um segundo filho.

Para solucionar problemas desta natureza, podemos abrir mão de duas opções: na primeira, construímos todo o espaço amostral e procuramos os pontos amostrais que correspondem ao enunciado e, na segunda, calculamos separadamente cada probabilidade e, após isso, usamos a lei da multiplicação.

Objetivos: Identificar a presença dos conectivos para utilizar corretamente as leis da multiplicação e da adição. Diferenciar exercícios que tem enunciados muito parecidos mas que possuem interpretações e resoluções distintas.

Exercícios:

1) Numa urna temos 4 bolas pretas e 2 brancas, todas indistinguíveis ao tato e com o mesmo peso. Retirando-se ao acaso duas bolas dessa urna, qual a probabilidade de que as duas sejam brancas?

2) Numa urna temos 4 bolas pretas e 2 brancas, todas indistinguíveis ao tato e com o mesmo peso. Retirando-se ao acaso duas bolas dessa urna, qual a probabilidade de que as duas sejam pretas?

3) Numa urna temos 4 bolas pretas e 2 brancas, todas indistinguíveis ao tato e com o mesmo peso. Retirando-se ao acaso duas bolas dessa urna, qual a probabilidade de que a primeira seja preta e a segunda branca?

4) Numa urna temos 4 bolas pretas e 2 brancas, todas indistinguíveis ao tato e com o mesmo peso Retirando-se ao acaso duas bolas dessa urna, qual a probabilidade de que sejam de cores diferentes?

5) Em uma cidade existem 3 grupos de teatro, A, B e C que encenam vários gêneros de peças. As comédias representam,respectivamente, 45%, 20% e 50% do número de apresentações de cada grupo. Se Cristina escolhe casualmente um deles para assistir a uma peça, qual a probabilidade de que ela não assista a uma comédia?

6) As probabilidades de três jogadores marcarem um gol cobrando um pênalti são, respectivamente, 1/2, 2/5 e 5/6. Se cada um bater um único pênalti, qual a probabilidade de todos errarem a cobrança?

7) Considere duas sacolas com bolas do mesmo peso e tamanho. Na sacola A temos 5 bolas brancas e 15 verdes. Na sacola B temos 7 bolas brancas e 13 verdes. Se escolhermos, ao acaso, uma sacola e, em seguida, retirarmos uma bola, qual a probabilidade de que esta bola seja branca?

8) A probabilidade de um indivíduo acertar um alvo é igual a 2/3. Se ele deve atirar até atingir o alvo pela primeira vez, qual a probabilidade de que sejam necessários cinco disparos?

9) (CESGRANRIO) Três moedas não viciadas são lançadas simultaneamente. Qual o número que indica a probabilidade de se obter duas caras e uma coroa?

10) (FEI) Uma caixa contém 3 bolas verdes, 4 bolas amarelas e 2 bolas pretas, todas do mesmo peso e indistinguíveis ao tato. Duas bolas são retiradas ao acaso e sem reposição. Qual a probabilidade de ambas serem da mesma cor?

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Objetivos: Identificar a presença dos conectivos para utilizar corretamente as leis da multiplicação e da adição. Diferenciar exercícios que possuem enunciados parecidos, mas que tem interpretações e resoluções distintas. Fixar conceitos e melhorar sua habilidade na resolução de problemas.

Exercícios:

1) Um casal deseja ter três filhos. Qual a probabilidade de que todos sejam homens? (Resp: 1/8)

2) Um casal deseja ter três filhos. Qual a probabilidade de que sejam os três do mesmo sexo? (Resp: 1/4)

3) Um casal deseja ter três filhos. Qual a probabilidade de que exatamente dois sejam meninos? (Resp: 3/8)

4) Um casal deseja ter três filhos. Qual a probabilidade de que os dois primeiros sejam meninos e a terceira menina? (Resp: 1/8)

5) Uma sala possui 3 “bocais” para lâmpadas. De uma caixa com 10 lâmpadas, das quais 6 estão boas, retiram-se 3 lâmpadas ao acaso e colocam-se as mesmas nos “bocais”. Qual a probabilidade de que todas acendam? (Resp: 1/6)

6) (MACK) Numa caixa A, temos um dado preto e outro branco e, numa caixa B, dois dados brancos e um preto. Escolhida ao acaso uma caixa, se retirarmos dela, também ao acaso, um dado, qual a probabilidade de termos um dado branco com o número 2? (Resp: 7/72)

7) (UNESP) Sabe-se que os pênaltis a favor de certa equipe de futebol são batidos pelos dois melhores cobradores da equipe, A e B, cujos índices de aproveitamento (conversão em gols) são, respectivamente, 85% e 90%. Sabe-se, ainda, que B cobra 75% dos pênaltis a favor da equipe. Acaba de ser marcado um pênalti a favor dessa equipe e, nesse momento, os jogadores A e B estão em campo. Qual a probabilidade de o pênalti ser convertido em gol? (Resp: 88,75%)

8) (UNESP) Um piloto de Fórmula 1 estima que suas chances de subir ao pódio numa dada prova são de 60% se chover no dia da prova e de 20% se não chover. O Serviço de Meteorologia prevê que a probabilidade de chover durante a prova é de 75%. Nessas condições, calcule a probabilidade de que o piloto venha a subir ao pódio. (Resp: 50%)

9) (FGV) Um recipiente contém 4 balas de hortelã, 5 de morango e 3 de anis. Se duas balas forem sorteadas sucessivamente e sem reposição, qual a probabilidade de que ambas sejam do mesmo sabor? (Resp: 19/66)

10) (UNESP) Para uma partida de futebol, a probabilidade de o jogador R não ser escalado é 0,2 e a probabilidade de o jogador S ser escalado é 0,7. Sabe-se que a escalação de um deles é independente da escalação do outro. Calcule a probabilidade de os dois jogadores serem escalados.

(Resp: 0,56)

5. Distribuição de probabilidades

Pretendo mostrar que é possível resolver todos os exercícios desse tópico sem a utilização de nenhuma fórmula. Entretanto, também é meu objetivo apresentar uma fórmula que faz com que o exercício seja resolvido acertadamente e com mais rapidez.

Às vezes, mesmo entendendo o enunciado da questão e usando os conectivos de forma adequada, somos forçados a despender um tempo muito grande para a obtenção da probabilidade pedida.

Quero deixar claro que não exijo a resolução seja feita desta ou daquela forma. Porém, como aprendiz, sugiro que você resolva (quando possível) o mesmo exercício de formas diferentes. Para entender o que estou dizendo, vou mostrar uma situação exemplo:

Ao lançar um dado honesto quatro vezes, qual a probabilidade de que a face 1 fique voltada para cima em exatamente duas vezes?

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Solução: É importante notar que o problema não diz em quais lançamentos a face 1 deve ficar voltada para cima, isto é: se é no primeiro lançamento, segundo, terceiro ou quarto. Sendo assim, devemos entender que a face 1 pode aparecer duas vezes em quaisquer dos quatro lançamentos. Isso nos levará a um conjunto de opções, em que os conectivos e/ou devem ser adequadamente situados. Utilizando a letra s (sucesso) para indicar que o número 1 aparece e a letra f (fracasso) para indicar que ele não aparece, teremos seis grupos de possibilidades para os quatro lançamentos desse dado:

(ssff) ou (sffs) ou (sfsf) ou (ffss) ou (fssf) ou (fsfs). Assim, a probabilidade pedida será dada por:

2 2 6 5 6 1 6 6 1 6 5 6 1 6 5 6 5 6 1 6 1 6 5 6 1 6 1 6 5 6 5 6 5 6 1 6 5 6 1 6 1 6 5 6 5 6 1 6 5 6 5 6 1 6 1 P

Ora, nesse exemplo, o número de lançamentos foi relativamente pequeno. E se quiséssemos saber a mesma probabilidade, porém para quarenta experimentos? Inviável.

Para driblar todo o tempo que o método anterior utiliza, vamos usar um atalho que possibilita chegar à mesma resposta. O atalho usado é a seguinte fórmula: p n p

f s p n

P , em que n indica o total de lançamentos, p a quantidade de sucessos que se deseja, s a probabilidade de sucesso e f a probabilidade de fracasso. Essa fórmula é conhecida como “fórmula para distribuição de possibilidades”. Sabendo que

n

4

, p 2, 6 1 s e 6 5

f , o exempllo pode diretamente ser resolvido assim:

2 2 2 2 2 2 6 5 6 1 6 6 5 6 1 ! 2 )! 2 4 ( ! 4 6 5 6 1 2 4 P

Obs: Fique atento pois, livros didáticos e apostilas de cursinho utilizam letras diferentes para a mesma fórmula.

Objetivos: Reconhecer a presença dos conectivos “e” e “ou”, aplicando adequadamente a fórmula da distribuição. Também é possível sempre resolver sem o uso dela (em alguns casos isso não é recomendável).

Exercícios:

1) Qual é a probabilidade de uma família com 6 filhos ter dois filhos homens, supondo que a chance de que nasça menino ou menina é a mesma?

2) Um exímio atirador acerta o alvo com probabilidade de 90% para cada tiro disparado. Determine a probabilidade de que, efetuados cinco disparos, ele tenha acertado exatamente dois.

3) Uma moeda honesta é lançada 10 vezes. Qual é a probabilidade de que se obtenha cara exatamente 4 vezes?

4) Se lançarmos um dado honesto três vezes, qual a probabilidade de que a face 5 fique voltada para cima em exatamente duas vezes?

5) Num teste de 7 questões do tipo classificar a sentença em verdadeiro ou falso, qual é a probabilidade de um candidato, respondendo todas ao acaso, acerte cinco questões?

Objetivos: Reconhecer a presença dos conectivos “e” e “ou”, aplicando adequadamente a fórmula da distribuição e também resolver alguns exercícios sem o uso dela.

Exercícios:

1) A probabilidade de que eu ganhe uma partida em um certo jogo é igual a 2/3. Se jogar quatro partidas desse jogo, qual é a probabilidade de que ganhe exatamente duas delas? (Resp: 8/27)

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2) (MACK) No lançamento de 4 moedas "honestas", qual a probabilidade de ocorrerem duas caras e duas coroas? (Resp: 3/8)

3) Uma família deseja ter 5 filhos. Qual a probabilidade de que três deles sejam homens? (Resp: 5/36)

4) Uma avaliação é constituída de 5 questões do tipo teste, sendo que cada questão tem cinco alternativas em que somente uma está correta. Se você chutar todas as questões (sem sequer ler os enunciados) qual a probabilidade de que:

a) acerte todas? Resp: (1/5)5 b) erre todas? Resp: (4/5)5

c) acerte exatamente quatro Resp: 4/625 6. Probabilidade Condicional

O objetivo central desse tópico é mostrar que, se forem dadas informações adicionais ao problema, o espaço amostral pode ser alterado de tal maneira que o óbvio pode tornar-se perigoso e um convite ao erro. Também será importante notar a relação de dependência criada entre os eventos (alguns autores usam o termo eventos dependentes e outros, eventos condicionados). Sugiro que a atenção e interpretação das questões seja a primeira etapa. Vá com calma! É possível resolver os exercícios sem auxílio de fórmula (recomendável). Durante os exemplos de aula, também mostrarei a utilização de uma fórmula e, a partir disso, você optará pelo melhor caminho.

Objetivos: Através da leitura atenciosa e interpretação correta do enunciado, verificar o impacto que uma informação adicional impõe sobre a solução do exercício.

Exercícios:

1) Um dado honesto é lançado. Se o número que tem a face voltada para cima é par, qual a probabilidade de que seja o número 2?

2) Um par de dados honestos é lançado. Alguém informa que os números observados são diferentes. Qual o número que expressa a probabilidade de a soma dos números ser um número primo? 3) Numa população de 500 pessoas, 260 são mulheres e 60 exercem a profissão de advogado, sendo 20 do sexo feminino. Escolhendo ao acaso uma dessas pessoas, qual é a probabilidade de que, sendo mulher, seja advogada?

4) Uma família planeja ter três crianças. Qual é a probabilidade de que a família tenha exatamente 2 meninas, sabendo que a primeira que nasceu já é uma menina?

5) (UNESP) Dois jogadores A e B vão lançar um par de dados. Eles combinam que se a soma dos números dos dados for 5, A ganha e se a soma for 8, B é quem ganha. Os dados são lançados. Sabe-se que A não ganhou. Qual a probabilidade de B ter ganho?

6) (UNESP) Numa comunidade formada por 1.000 pessoas, foi feita uma pesquisa para detectar a presença de uma doença. Como o teste não é totalmente eficaz, existem pessoas doentes cujo resultado do teste foi negativo e existem pessoas saudáveis com resultado positivo do teste. Sabe -se que 200 pessoas dessa comunidade são portadoras dessa doença. Esta informação e alguns dos resultados obtidos com o teste foram colocados na tabela seguinte:

Situação Positivo Negativo Total

Saudável (S) 40 800

Doente (D) 80 200

Total 1.000

Uma pessoa da comunidade é escolhida ao acaso e verifica-se que o resultado do teste foi positivo. Determine a probabilidade de que essa pessoa seja saudável.

(11)

Objetivos: Através da leitura atenciosa e interpretação correta do enunciado, verificar o impacto que uma informação adicional impõe sobre a solução do exercício.

Exercícios:

1) Um dado honesto é lançado. Alguém olha o número sem que você o veja e diz que ele é ímpar. Qual a probabilidade de que ele seja um número primo? (Resp: 2/3)

2) Dois dados perfeitos são lançados. Qual a probabilidade de sair soma 8, sabendo que ocorreu o número 3 no primeiro dado? (Resp: 1/6)

3)

(UNESP) Joga-se um dado honesto. O número que ocorreu (isto é, da face voltada para cima) é o coeficiente b da equação x2 + bx + 1 = 0. Determine a probabilidade de essa equação ter raízes reais, sabendo-se que ocorreu um número ímpar. (Resp: 2/3)

4) (UNESP) Os 500 estudantes de um colégio responderam a uma pergunta sobre qual a sua área de conhecimento preferidas, entre exatas, humanidades e biológicas. As respostas foram computadas e alguns dados colocados na tabela:

Área Masculino Feminino Total

Exatas (E) 120 200

Humanidades (H) 80 125

Biológicas (B) 100

Total 500

Um estudante é escolhido ao acaso. Sabendo que é do sexo feminino, dê a probabilidade de essa estudante preferir humanidades. (Resp: 16/47)

5) Uma companhia de seguros coletou uma amostra de 2.000 motoristas de uma cidade a fim de determinar a relação entre o número de acidentes (y) em um certo período e a idade em anos (x) dos motoristas. Os resultados estão na tabela abaixo:

y = 0 y = 1 y = 2 y > 2

x < 20 200 50 20 10

20 < x < 30 390 120 50 10 30 < x < 40 385 80 10 5

x > 40 540 105 20 5

Qual a probabilidade de um motorista ter exatamente 2 acidentes no período considerado, sabendo que ele tem menos de 20 anos? (Resp: 1/14)

7. Cálculo de probabilidades em um espaço com eventos não equiprováveis

O objetivo desse tópico é discutir e resolver questões que envolvem probabilidades em um espaço em que os eventos não possuem a mesma plausibilidade de ocorrência.

De uma forma geral, quando estamos analisando questões que envolvem disputas, sejam elas coletivas ou não (partida de futebol, truco, pôker, corrida de cavalos, corrida de cachorros, maratona, tiro ao alvo, xadrez) é quase impossível (melhor dizer improvável) que os agentes envolvidos tenham a mesma possibilidade de vitória. Através de “estudo de casos” é possível fazer previsões como: “Em uma disputa de xadrez entre os jogadores A e B, o jogador A tem 0,75 de chance de vitória, enquanto B tem 0,25”. É claro que existe a possibilidade de A perder. Mas a plausibilidade de que ele vença é maior.

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Para resolvermos problemas em que os eventos E1, E2, E3...En não são equiprováveis,

respeitando os axiomas da probabilidade, devemos usar a seguinte equação: P(E1) + P(E2)+ P(E3) + P(E4) +...+ P(En) = 1.

Objetivo: Após leitura e interpretação adequadas dos problemas, aplicar a fórmula para calcular o número que expressa a probabilidade de eventos não equiprováveis.

Exercícios:

1) Três carros A, B e C participam de uma corrida. O carro A tem duas vezes mais probabilidade de ganhar que B e B tem três vezes mais possibilidades de ganhar que C. Quais são as chances de vitória de cada carro?

2) Uma moeda foi fabricada de modo que a probabilidade de sair coroa num lançamento é uma vez e meia a probabilidade de sair cara. Dê essas probabilidades.

3) Três cavalos (“Manco”, “Perna Curta” e “Pônei Veloz”) disputam um páreo. Sabe-se que a probabilidade de “Manco” vencer é o dobro da probabilidade de “Pônei veloz” vencer e a probabilidade de “Perna Curta” vencer é uma vez e meia da probabilidade de “Pônei Veloz” vencer. Supondo que somente esses três fantásticos cavalos estejam na disputa, dê a probabilidade de vitória de cada um.

4) (FUVEST) Ao lançar um dado muitas vezes, uma pessoa percebeu que a face 6 saía com o dobro de freqüência da face 1, e que as outras faces saíam com a freqüência esperada em um dado não viciado. Qual a freqüência da face 1? (Resp: 1/9)

5) (FATEC) Suponha que, na região em que ocorreu a passagem do Furacão Katrina, somente ocorrem três grandes fenômenos destrutivos da natureza, dois a dois mutuamente exclusivos: os hidrometeorológicos (A), os geofísicos (B) e os biológicos (C). A probabilidade de ocorrer A é cinco vezes a de ocorrer B, e esta corresponde a 50% da probabilidade de ocorrência de C. Determinar essas probabilidades.

8. Vestibulares As questões deste tópico possuem um grau de complexidade um pouco maior. Procure resolvê-las sem a utilização de fórmulas. Somente recorra às fórmulas da análise combinatória em último caso.

Exercícios:

1) (FUVEST) Escolhem-se ao acaso dois números naturais distintos, de 1 a 20. Qual a probabilidade de que o produto dos números escolhidos seja ímpar?

a) 38 9 b) 2 1 c) 20 9 _d) 4 1 e) 25 8

2) (FUVEST) Uma urna contém bolas numeradas de 1 a 9. Sorteiam-se, com reposição, duas bolas. A probabilidade de que o número da segunda bola seja estritamente maior do que o da primeira é igual a: a) 81 72 b) 9 1 c) 81 36 d) 81 30 e) 81 45

3) (FUVEST) Um arquivo de escritório possui 4 pastas: a, b, c e d. Em cada gaveta cabem no máximo 5 pastas. Uma secretária guardou ao acaso 18 pastas nesse arquivo. Qual é a probabilidade de haver exatamente quatro pastas na gaveta a?

a) 10 3 b) 10 1 c) 20 3 d) 20 1 e) 30 1

4) (FUVEST) Escolhe-se ao acaso três vértices distintos de um cubo. A probabilidade de que estes vértices pertençam a uma mesma face é:

a) 14 3 b) 7 2 7 c) 14 5 d) 7 3 e) 18 13

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5) (UNESP) Após uma partida de futebol, em que as equipes jogaram com as camisas numeradas de 1 a 11 e não houve substituições, procede-se ao sorteio de dois jogadores de cada equipe para exame anti-doping. Os jogadores da primeira equipe são representados por 11 bolas numeradas de 1 a 11 de uma urna A e os da segunda, da mesma maneira, por bolas de uma urna B. Sorteia-se primeiro, ao acaso e simultaneamente, uma bola de cada urna. Depois, para o segundo sorteio, o processo deve ser repetido com as 10 bolas restantes de cada urna. Se na primeira extração foram sorteados dois jogadores de números iguais, a probabilidade de que aconteça o mesmo na segunda extração é de:

a) 0,09 b) 0,1 c) 0,12 d) 0,2 e) 0,25

6) (PUCSP) Os 36 cães existentes em um canil são apenas de três raças: poodle, dálmata e boxer. Sabe-se que o total de cães das raças poodle e dálmata excede o número de cães da raça boxer em 6 unidades, enquanto que o total de cães das raças dálmata e boxer é o dobro do número dos de raça poodle. Nessas condições, escolhendo-se, ao acaso, um cão desse canil, a probabilidade de ele ser da raça poodle é:

a) 4 1 b) 3 1 c) 12 5 d) 2 1 e) 3 2

7) (FUVEST) Um dado, cujas faces estão numeradas de um a seis, é dito "perfeito" se cada uma das seis faces tem probabilidade 1/6 de ocorrer em um lançamento. Considere o experimento que consiste em três lançamentos independentes de um dado perfeito. Calcule a probabilidade de que o produto desses três números seja par.

a) 8 7 b) 8 3 c) 8 5 d) 8 1 e) 4 1

8) (UEL) Uma urna tem 100 cartões numerados de 101 a 200. A probabilidade de se sortear um cartão dessa urna e o número nele marcado ter os três algarismos distintos entre si é de

a) 25 17 b) 100 71 c) 25 18 d) 100 73 e) 50 37

9) (UNIFESP) Tomam-se 20 bolas idênticas (a menos da cor), sendo 10 azuis e 10 brancas. Acondicionam-se as azuis numa urna A e as brancas numa urna B. Transportam-se 5 bolas da urna B para a urna A e, em seguida, transportam-se 5 bolas da urna A para a urna B. Sejam p a probabilidade de se retirar ao acaso uma bola branca da urna A e q a probabilidade de se retirar ao acaso uma bola azul da urna B. Então:

a) p = q b) p = 0,2 e q = 0,3 c) p = 0,3 e q = 0,2 d) p = 0,1 e q = 0,4 e) p = 0,4 e q = 0,1

10) (FGV) Em uma comunidade, 80% dos compradores de carros usados são bons pagadores. Sabe-se que a probabilidade de um bom pagador obter cartão de crédito é de 70%, enquanto que é de apenas 40% a probabilidade de um mau pagador obter cartão de crédito. Selecionando-se ao acaso um comprador de carro usado dessa comunidade, a probabilidade de que ele tenha cartão de crédito é de:

a) 56% b) 64% c) 70% d) 32% e) 100% 11) (MACK) Escolhe-se, ao acaso, um número de três algarismos distintos tomados do conjunto {1; 2; 3; 4; 5}. A probabilidade de nesse número aparecer o algarismo 2 e não aparecer o algarismo 4 é:

a) 0,6 b) 0,8 c) 0,3 d) 0,5 e) 0,7

12) Desafio! Tente resolver, como fizeram Pascal e Fermat, o problema da divisão da aposta proposto pelo cavaleiro De Merè em 1651:

“Dois cavalheiros estão jogando uma partida de dados onde cada um apostou 32 pistolas (quantia em dinheiro). Ganha aquele que acertar três vezes. A partida se inicia e depois de um certo tempo um jogador conseguiu acertar duas jogadas e o outro apenas uma. Neste momento, o jogo é interrompido porque um dos participantes é chamado por algo urgente. Como repartir as 64 pistolas apostadas no início do jogo?”