EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES (página 472)

M a n u a l d o P ro fe ss o r

• Ao primeiro termo é acrescentado um número que também é múltiplo de 4: 4n (para n ù 2).

• Cada número pode ser escrito como um produ-to de três faprodu-tores, em que o primeiro faprodu-tor é 2 (todos os números são pares), o segundo fator indica a posição da figura na sequência, e o terceiro é consecutivo do segundo.

4 5 2 ? 1 ? 2 12 5 2 ? 2 ? 3 24 5 2 ? 3 ? 4 40 5 2 ? 4 ? 5

Assim, se cada lado da figura tiver n palitos, então o total de palitos na figura será: 2 ? n ? (n 1 1). Os alunos poderão, ainda, completar outras sequên-cias. O importante no momento da socialização é explorar todas as possibilidades, analisar as conjecturas e verificações realizadas.

2. Deixando um quadrado de fora

Uma estratégia possível é testar os três números qua-drados cuja soma está indicada ao lado do quadrado. Como o canto superior esquerdo já está preenchido, deve-se iniciar pela primeira linha ou pela primei-ra coluna. Paprimei-ra isso, subtprimei-rai-se 1 de 81, obtendo 80 (soma de 64 com 16), ou subtrai-se 1 de 91, obtendo 90 (soma de 81 com 9). A partir daí, fazem-se as com-binações possíveis, até que todas as somas indicadas sejam obtidas. A solução é:

81 64 1 16 9 91 49 101 81 4 36 121

EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES

(página 472)

1. ABCDEF ù WXYZUV Elementos congruentes: AB ù WX ∠A ù ∠W BC ù XY ∠B ù ∠X CD ù YZ ∠C ù ∠Y DE ù ZU ∠D ù ∠Z EF ù UV ∠E ù ∠U FA ù VW ∠F ù ∠V nRST ù nPMN Elementos congruentes: RT ù PN ∠R ù ∠P TS ù NM ∠T ù ∠N SR ù MP ∠S ù ∠M nKLJ ù nHGI Elementos congruentes: KL ù HG ∠K ù ∠H L J ù GI ∠L ù ∠G JK ù IH ∠J ù ∠I

2. a) Ângulos congruentes não garantem congruência entre dois triângulos.

b) Os dois triângulos são congruentes pelo caso LLL. c) Dois triângulos que possuem dois de seus lados

congruentes e um ângulo (não formado por esses lados) também congruente não são necessaria-mente congruentes.

3. nABC ù nLNM

As congruências correspondentes são:

AB ù LN ∠A ù ∠L

BC ù NM ∠B ù ∠N

CA ù ML ∠C ù ∠M

XYWZ ù HIKJ

As congruências correspondentes são:

XY ù HI ∠X ù ∠H

YZ ù I J ∠Y ù ∠I

WZ ù K J ∠Z ù ∠J

XW ù HK ∠W ù ∠K

nDEF ù nSRT

As congruências correspondentes são:

DE ù SR ∠D ù ∠S

EF ù RT ∠E ù ∠R

FD ù TS ∠F ù ∠T

4. a) ALA b) LAL

5. a) nPQR ù nPSR, pelo caso LLL ( PR é lado comum). b) nHFG ù nHIJ, pelo caso LAAo (∠FHG e ∠IHJ

são o.p.v.). 6. 3a 5 2a 1 10°

a 5 10° 5b 5 b 1 48° b 5 12°

7. A resolução deste exercício exige um sistema de equações. Como os alunos ainda não aprenderam a resolvê-lo algebricamente, eles poderão fazê-lo por tentativas. 5 5 1 x 2y 2x 3y 8    x 5 16 e y 5 8

8. 3y 1 5 5 35 y 5 10 2x 2 6 5 22 2x 5 28 x 5 14

Resposta: A razão entre os perímetros é 1, pois a razão entre as medidas de lados correspondentes de dois triângulos congruentes é 1.

9. n_{ABC ù nDEC, pois:}

• Se C é ponto médio de BE, então BC ù CE;

• ∠BCA ù ∠ECD, pois são o.p.v.;

• ∠CBA ù ∠CED, pois ambos são retos. Logo, o caso de congruência é ALA. 10. a) Determinada. S 5 5 6

{ }

b) Indeterminada. S 5 Q c) Impossível. S 5 [ d) Impossível. S 5 [ e) Indeterminada. S 5 Q f) Determinada. S 5 3 2

{ }

11. a) 5 d) 4 g) y x b) 8 7 e) 2 3 h) x c) 1 5 f) não existe 12. a) x 5 3 5 b) x 5 7 4 c) x 5 4 3 d) x 5 2 5 13. a) Equação: _x1 x 5 3 90° [ x 5 67°30' Resposta: Os ângulos medem 67°30' e 22°30'. b) Equação: x 1 4x 5 180° [ x 5 36°

Resposta: Os ângulos medem 36° e 144°. c) Equação: 7x 2 100° 5 170° 2 2x [ x 5 30°

Resposta: Cada ângulo mede 110°. d) Equação: 4x 2 20° 5 3x 1

2 10° [ x 5 12° Resposta: Cada ângulo mede 28°.

e) Equação: ₆₀ 1 m 1

2 150

° ° 2 m 5 180°

[ _{m 5 60°}

Resposta: Os ângulos medem 90°. f) Equação: _8x 2₄₅ 5₁₀ 2 x

3

° °

[ _{x 5 6°36'}

Resposta: O ângulo mede 15°36'.

14. a) x 5 18° b) x 5 50° c) x 5 25° d) x 5 26°40' 15. Moda: 5,0 Mediana: 5,0 Média: 5,6

16. a) O gráfico possui 17 intervalos de classe, sendo um deles aberto (80 anos ou mais).

b) Sim. Os intervalos de classe fechados têm a mes-ma amplitude 5 (note que, apesar de a subtração entre os extremos de cada intervalo resultar em 4, quando dizemos “de 5 a 9 anos”, estamos dizendo “maior ou igual a 5 e menor que 10 anos”). c) Respostas pessoais. Análises possíveis:

• Há um achatamento da pirâmide, indicando que a população brasileira vai se concentrar na faixa etária de 25 a 49 anos.

• Há indicação de que o número de mulheres idosas (acima dos 70) será quase o dobro do número de homens idosos em 2025.

• Na faixa etária de 65 a 69 anos, o número de homens e mulheres será praticamente o mesmo em 2025.

17. a) A variável do gráfico é quantitativa contínua. b) Sim, esse gráfico de colunas poderia ser de curvas,

pois analisa o desmatamento no período de 1988 a 2016.

c) De 2004 a 2007 a criação do PPCDAm contribuiu para a redução do desmatamento, mas, em 2008, ele voltou a crescer e depois registrou redução até 2012, voltando a crescer em 2013, com redução em 2014. A partir de 2015 voltou a crescer, com aumento significativo em 2016. Portanto, pode-se dizer que esse plano não teve o sucesso que de-veria ter.

d) Respostas pessoais. Socialize-as no momento da correção. Algumas possibilidades de abordagem que podem estar relacionadas às questões elabo-radas pelos alunos:

• Em 1995 houve o maior desmatamento na Ama-zônia Legal.

• A criação do PPCDAm foi necessária, pois, de-pois de dois anos de redução do desmatamento (1996 e 1997), houve um aumento significativo até 2004, quando foi instituído o Plano.

M a n u a l d o P r o f e s s o r

18. a) A variável da tabela é qualitativa ordinal. b) Respostas pessoais. Algumas possibilidades:

• O Brasil ainda não conseguiu eliminar o analfa-betismo, visto que 4,8% da população com idade igual ou superior a 16 anos ainda é analfabeta.

• O país ainda tem um percentual muito baixo (6,9%) de eleitores com ensino superior com-pleto.

• Mesmo com a obrigatoriedade do ensino fun-damental no país, desde a década de 1970, ainda há 7% dos eleitores com apenas o ensino fundamental completo.

• A maioria dos eleitores brasileiros (28,3%) não completou o ensino fundamental.

19. a) O gráfico é de barras.

b) O gráfico apresenta o total e a porcentagem de eleitores brasileiros, com idade igual ao superior a 16 anos, por faixa etária.

c) Sim, o gráfico é apresentado por intervalo de classes. Há 4 intervalos fechados e dois abertos (16 anos e superior a 79 anos). Os intervalos fechados não têm a mesma amplitude de classe. Observe que há uma barra que não se caracteriza como um intervalo de classes – refere-se à barra de respostas inválidas. d) A variável do gráfico é quantitativa discreta. e) Respostas pessoais. Algumas possibilidades:

• Ainda é pequeno o percentual de jovens eleito-res com 16 anos – apenas 0,72%.

• O maior número de eleitores brasileiros está na faixa etária de 25 a 44 anos.

• O número de eleitores com mais de 79 anos é superior ao de jovens de 16 anos.

20. a) 3 5 4 2 2 5 4 3 2 5 3 4 2 4 3 5 Algarismo das dezenas

Algarismo das unidades

b) Espaço amostral: {(2,3), (2,4), (2,5), (3,2), (3,4), (3,5), (4,2), (4,3), (4,5), (5,2), (5,3), (5,4)}.

c) 6 números (23, 24, 25, 32, 34, 35).

d) Informação verdadeira, pois em ambos os casos há 3 possibilidades em 12: 23, 43, 53 e 25, 35,45. 21. a) 3 12 ou 1 4 b) 6 12 ou 1 2 c) 3 12 ou 1 4

d) Zero, pois todos os números são iguais ou menores que 54.

22. Construções pessoais. Apresentamos uma construção possível para cada item:

a) 2x² 1 3x x2 _x2 _{x x x} b) 2x 1 3y 1 6 x x y y y 1 1 1 1 1 1 c) 2x² 1 y² 1 xy x2 _x2 y2 _xy d) 2xy 1 3x 1 3y xy y y y x y x x x e) 3y² 1 xy 1 2y xy y y y2 _y2 _y2 f ) 6x 1 3xy 1 2y 1 6 x x x 1 1 1 xy xy xy y y x x x 1 1 1

23. As respostas dependem das construções feitas. Apre-sentamos a resposta para as construções sugeridas. a) P 5 6x 1 6 b) _{P 5 2x 1 14} c) P 5 8x 1 2y d) P 5 4x 1 2y 1 12 e) _{P 5 2x 1 8y 1 4} f) P 5 6x 1 2y 1 12 24. a) x(5x 1 3y 1 12) b) a(9x² 1 3a 1 1) c) _{b(12a 2 3 1 a²b)} d) 4(3m 2 p) e) p(9pq 2 12q² 2 3 2 5q) f ) _{ab(13 2 4ab 1 4a 2 b)} 25. a) x(y 2 3) 1 2(y 2 3) 5 (y 2 3)(x 1 2) b) (7a 2 b)(2y 1x) c) (6a 2 x)(1 2 x) d) _{(12 2 a)(b 1 1)} e) (4xy 2 1)(1 2 a) f ) (3 2 a)(5 2 b) g) _{(2a 2 b)(3 2 a)} h) (2m 2 n)(n 1 m) i) (4p 1 a)(2a 1 1) j) (r 2 2)(210p 1 r) 26. a) 9x2 1 42x 1 49 b) y6 1 10 my3 1 25m2 c) 1 2 1 36 2x 9 4x 9 2 d) x y 2 1 a 2a xy ax a x 2 4 2 2 2 4 2 5 5 x y 2 1 a 2ay a x 2 4 2 2 4 2 e) a b 2 1 c 6a bc ac 9c a 4 2 4 2 2 2 2 5 5 a b 2 1 c 6ab c 9c a 4 2 4 2 2 f ) 16b ₂12b ₁ 9 4 2 g) x _{2 1} y 8 16y x 2 2 2 2 h) y _{2 1} 9 x y 6 x 16 4 2 2 4 i) 9f² 2 36fh² 1 36h4 j) x6_y2 2 2x4_y4 1 x2_y6 27. a) (x 1 11)² b) (ab 2 c)² c) (t3 2 1)² d) _{(5a² 2 c³)²} e) (p 2 6q)² f ) (4m² 2 1)² g)   2  b 3 a 5 2 h) _7t2 1_ 2 2 i) (3g³1 3w²)² j) (9b 2 1)² 28. B C A D

Observando as bissetrizes traçadas, os alunos devem concluir:

a) As bissetrizes de dois ângulos opostos são para-lelas entre si.

b) As bissetrizes de dois ângulos adjacentes são per-pendiculares entre si.

c) A figura determinada pelos pontos de interseção das bissetrizes é um retângulo.

29. Do mesmo modo:

P

S Q

R

Observando as bissetrizes traçadas, os alunos devem concluir que:

a) As bissetrizes de dois ângulos opostos são para-lelas entre si.

b) As bissetrizes de dois ângulos adjacentes são per-pendiculares entre si.

c) A figura determinada pelos pontos de interseção das bissetrizes é um quadrado.

30. M

N L

P

Observando as bissetrizes traçadas, os alunos devem concluir que as bissetrizes relativas aos ângulos opos-tos são coincidentes, e que as bissetrizes relativas aos ângulos adjacentes são perpendiculares entre si. Além disso, devem observar que as bissetrizes se intercep-tam num único ponto, que é o centro do quadrado.

M a n u a l d o P r o f e s s o r

31. a) Sim, um dos lados mede 5 cm 1 4 cm, ou seja, 9 cm. b) e c) Após as instruções dadas nos itens b e c,

espera-se obter o desenho abaixo.

d) O triângulo obtido está desenhado a seguir.

Sim, esse triângulo é congruente ao de Camila, pelo caso ALA.

32. O ângulo do vértice mede 28°. 33. O ângulo FDH mede 130°. 34. O ângulo do vértice mede 20°. 35. a) O C1 b) O C2 36. O ângulo mede 140°.

37. Colocam-se 3 moedas em cada prato de uma balança e reservam-se 2 moedas. Se os pratos se equilibrarem, entenderemos que a moeda mais pesada (falsa) é uma das duas que foram separadas. Realiza-se a segunda pesagem, colocando cada uma dessas moedas em um prato. A mais pesada é a falsa. Se na primeira

pesagem os pratos se desequilibrarem, retiram-se as 3 moedas que pesaram menos, guardando-as com as 2 primeiras que estavam separadas. Das 3 que apre-sentaram maior peso, colocamos 1 moeda em cada prato. Se nessa pesagem os pratos se equilibrarem, a moeda falsa é a que ficou de fora; caso se desequi-librarem, a moeda falsa é a mais “pesada”.

38. Na situação inicial, as portas de todos os armários estavam fechadas. Então, se o “estado” de uma porta for mudado um número ímpar de vezes, essa porta estará aberta no final; ao contrário, se o “estado” de uma porta for mudado um número par de vezes, essa porta estará fechada no final.

Agora só falta descobrir a numeração das portas cujo “estado” será mudado um número ímpar de vezes, isto é, quais são os números naturais (de 1 a 100) que têm uma quantidade ímpar de divisores; a resposta é que tais números são (exclusivamente) os quadra-dos perfeitos. Só eles têm uma quantidade ímpar de divisores. De fato, ao verificarmos os divisores de um número, observamos que eles se apresentam aos pares. Por exemplo:

• divisores de 10: 1 e 10; 2 e 5

• divisores de 12: 1 e 12; 2 e 6; 3 e 4

• divisores de 18: 1 e 18; 2 e 9; 3 e 6

• divisores de 20: 1 e 20; 2 e 10; 4 e 5

Do número 36, porém: 1 e 36; 2 e 18; 3 e 12; 4 e 9; 6 (são nove divisores).

Assim, a porta cuja numeração é 36 ficará aberta no final, pois os divisores do número 36 são os nove elementos do conjunto: {1, 36, 2, 18, 3, 12, 4, 9, 6} Resposta: Após as 100 pessoas terem percorrido o corredor, ficarão abertos os armários: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 e 100.

Na estante

• EVES, H. Introdução à história da Matemática. Cam-pinas: Unicamp, 1995.

• PASSOS, Cármen L. B. Materiais manipuláveis como recursos didáticos na formação de professores de matemática. In: LORENZATO, Sergio (Org.). O la-boratório de ensino de matemática na formação de professores. 2. ed. Campinas, SP: Autores Associados, 2009. v. 1. p. 77-92.

• SHAUGHNESSY, J. M. Research in Probability and Statistics: Reflections and Directions. In: GROUWS, D. A. (Ed.). Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning. USA: NCTM, 1992. p. 465-494.

• VAN DE WALLE, J. Matemática no Ensino Fundamen-tal: formação de professores e aplicação em sala de aula. 6. ed. Porto Alegre: Artmed , 2009.