Variedades Instáveis e Centrais

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Curso de Pós-Graduação em Matemática Dissertação de Mestrado

Variedades Inst´

aveis e Centrais

Kleyber Mota da Cunha

Orientador: Prof. Dr. Vilton Pinheiro

Salvador-Bahia Dezembro 2006

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Variedades Inst´

aveis e Centrais

Kleyber Mota da Cunha

Disserta¸cão apresentada ao co-legiado do curso de Pós-Gradua¸cão em Matemática da Universidade Federal da Bahia, como requisito parcial para ob-ten¸cão do T´ıtulo de Mestre em Matemática.

Banca examinadora:

Prof. Dr. Vilton Pinheiro (Orientador)

Prof. Dr. Jos´e Ferreira Alves

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Orientador: Dr. Vilton Pinheiro (UFBA).

Disserta¸cão de Mestrado apresentada ao curso de Pós-graduacão em Ma-temática da UFBA, ?? páginas.

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Resumo

Neste trabalho, mostraremos que dada uma aplica¸cão Lipschitz f : D ⊂ E → E, onde E é espa¸co de Banach, bem próxima, na topologia Cr_{, de uma automorfismo linear}

hiperbólico, T : E → E, a variedade instável de f é bem próxima da variedade instável de

T.

´

E mostrado também que a variedade instável de f possui algumas propriedades em comum com a variedade instável de T , como ser f -invariante, e ser constitu´ıda dos pontos cujo os iterados para trás tende ao ponto fixo de f, neste conjunto. Em particular, mostraremos também que a variedade instável de f é lipschitz e tão diferenciável quanto f . Em seguida estenderemos este resultado para um caso mais geral, que é a variedade central.

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In this work, we will show that given an Lipschitz map f : D ⊂ E → E, where E is a Banach space, well close, in the Cr _{topology, of a hyperbolic automorphism linear map,}

T : E → E, the unstable manifold of f it is very close of the unstable manifold of T.

It is also shown that the unstable manifold of f has some properties in common with the unstable manifold of T, how to be f-invariante, and to be constituted of the points whose backwards iterates tends to the fixed point of f, in this set. In particular we will also show that the unstable variety of f is lipschitz and so differentiable as f .

Soon after we will extend this result for a more general case, that it is the central manifold.

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Sum´

ario

Resumo iv

Abstract v

Introdu¸c˜ao 1

1 Preliminares 3

2 Variedade Inst´avel 8

3 O caso f diferenci´avel 22

4 Variedades Centrais 34

4.1 A n˜ao unicidade da Variedade Central . . . 41

Referˆencias 53

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Dada uma aplica¸cão f : E → E, onde E espa¸co de Banach, nós definimos o conjunto instável de um ponto p ∈ E, em rela¸cão a f, sendo o conjunto dos pontos q ∈ E que são assintóticos a p no passado. Sob certas condi¸cões, nós mostraremos que esse conjunto possui certas propriedades interessantes.

Esta disserta¸c˜ao est´a estruturada em quatro cap´ıtulos.

No primeiro cap´ıtulo, apresentamos algumas defini¸cões e alguns resultados de Análise, que serão utilizados no decorrer da disserta¸cão. Omitiremos algumas demonstra¸cões por se tratarem de resultados conhecidos.

No segundo e terceiro cap´ıtulo, nós provamos, respectivamente, o Teorema da Va-riedade Instável na versão lipschitz, bem como sua versão diferenciável. Este teorema é mais geral que o teorema de Grobman-Hartman, pois este nos diz que se uma aplica¸cão

f : Rn _{→ R}n _{é bem próxima de uma aplica¸cão linear hiperbólica A : R}n _{→ R}n_{, então f}

é localmente topologicamente conjugada a aplica¸cão A. Este teorema mostra ainda que a variedade instável(estável) de f é um disco topológico tangente a variedade instável(estável) de A na origem. Mas, o mesmo, não mostra que a variedade instável(estável) é diferenciável. O Teorema da Variedade Instável(Estável) prova que a variedade instável(estável) é uma variedade mergulhada Ck _{que pode ser representada por um gráfico.}

Para provar este teorema, existem basicamente dois tipos de provas: o método da transforma¸cão do gráfico de Hadamard(1901) e o método da varia¸cão de parâmetros de Perron(1929). Nós seguiremos, na prova do teorema, a idéia de Hadamard.

Em seguida, no quarto cap´ıtulo, n´os provamos o Teorema da Variedade Central, que

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Introdu¸c˜ao 2

é uma modifica¸cão do Teorema da Variedade Instável, visto que, neste teorema a aplica¸cão linear possui autovalores sobre o c´ırculo unitário. A versão diferenciável também é provada. Ainda neste cap´ıtulo, mostraremos através de um exemplo simples, que ao contrário da variedade instável(estável), a variedade central não é única.

No apêndice mostramos o Teorema da se¸cão Cr_{, no qual diz que existe uma única}

se¸cão invariante diferenciável para uma determinada aplica¸cão que tem contra¸cão nas fibras. Este teorema é utilizado para provar a versão diferenciável do Teorema da Variedade Central.

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Preliminares

Neste cap´ıtulo, apresentaremos algumas defini¸cões, proposi¸cões, bem como alguns teoremas que serão de grande utilidade para o desenvolvimento deste trabalho.

1.1 Definição. Seja E e F espa¸cos de Banach. Dizemos que uma aplica¸cão f : E → F é Lipschitziana se existe k > 0 tal que, para quaisquer x, y ∈ E, tem-se k f (x) − f (y) k≤ k k x − y k. O menor valor de k para que a desigualdade anterior seja válida é chamada constante de Lipschitz, e denotada por Lip(f ). Quando Lip(f ) < 1, f é dita uma contra¸cão. 1.2 Observa¸cão. A continuidade de uma aplica¸cão pode ser definida da seguinte maneira: Uma aplica¸cão f : U ⊂ E → F é cont´ınua em p ∈ U se dado ε > 0, existe δ > 0 tal que

f (Bδ(p)) ⊂ Bε(f (p)).

1.3 Observa¸cão. Note que toda aplica¸cão Lipschitziana é cont´ınua, pois dado ε > 0, basta tomar δ = ε

k. Ent˜ao k x − y k< δ ⇒k f (x) − f (y) k≤ k k x − y k< k · ε k = ε.

1.4 Teorema. Seja f : E → F uma aplica¸cão, onde E e F são espa¸cos vetorias sobre um corpo F. Se o graf(f ) for um subespa¸co vetorial de E × F então f é linear.

Prova: Seja (x1, y1), (x2, y2) ∈ graf (f ) e λ ∈ F, ou seja, y1 = f (x1) e y2 =

f (x2). Como graf (f ) ´e subespa¸co linear, temos que (x1, y1) + λ(x2, y2) ∈ graf (f ), ou seja,

∃(x3, y3) ∈ graf (f ), tal que y3 = f (x3) e (x1, y1) + λ(x2, y2) = (x3, y3). Assim x3 = x1+ λx2

e y3 = y1+ λy2. Logo

y3 = f (x3) = f (x1+ λx2) = y1+ λy2 = f (x1) + λf (x2).

(10)

Preliminares 4

¥

1.5 Observa¸cão.A rec´ıproca deste Teorema não é verdadeira. Basta considerarmos o seguinte contra-exemplo:

f : R2 _{−→ R}2

v 7→ |v|2_{· v.}

Vemos que f leva subespa¸cos lineares do R2 _{em subespa¸cos lineares do R}2_{, mas f n˜ao ´e}

linear.

1.6 Definição (Ponto Fixo). Seja M um conjunto. Um ponto fixo de uma aplica¸cão f : M → M é um elemento x ∈ M satisfazendo f (x) = x.

1.7 Teorema (Ponto Fixo de Banach).Seja F um subconjunto fechado do espa¸co métrico completo (X, d). Se a aplica¸cão f : F → F é uma contra¸cão então f possui um, e somente um, ponto fixo.

Prova: Ver em [6].

1.8 Teorema (Pertuba¸cão da Identidade). Seja ϕ : U ⊂ F → F contra¸cão, U ⊂ F aberto, F espa¸co de Banach. A aplica¸cão f : U → F dada por f (x) = x + ϕ(x) é um homeomorfismo de U sobre o conjunto aberto f (U) ⊂ F . Além disso, se U = F , têm se f (U) = F

Prova: Ver em [5].

1.9 Lema. Sejam F um espa¸co de Banach, X um espa¸co m´etrico e f, g duas fun¸c˜oes cont´ınuas de X em F . Suponha que f seja injetiva e f−1 _{seja Lipschitz. Se g satisfaz}

a condi¸cão Lip(f − g) < [Lip(f−1_)]−1_{, então g também é injetiva e}

Lip(g−1_{) ≤ {[Lip(f}−1_)]−1_{− Lip(f − g)}}−1

= Lip(f

−1₎

1 − Lip(g − f )Lip(f−1₎

Prova: Como f ´e injetiva e f−1_{´e Lipschitz, obtemos para x = f}−1_{(z) e y = f}−1_(w):

k f−1_{(z) − f}−1_{(w) k ≤ Lip(f}−1_{)d(z, w) =⇒}

k f−1_{(z) − f}−1_{(w) k}−1 _{≥ Lip(f}−1₎−1_{d(z, w)}−1 _=⇒

d(x, y)−1 _{≥ Lip(f}−1₎−1 _{k f (x) − f (y) k}−1_=⇒

(11)

k g(x) − g(y) k = k g(x) − g(y) + f (x) − f (x) + f (y) − f (y) k

≥ k f (x) − f (y) k − k (g − f )(x) − (g − f )(y) k e por (1.1) ≥ [Lip(f−1_)]−1_{d(x, y) − Lip(f − g)d(x, y)}

= {[Lip(f−1_)]−1_{− Lip(f − g)}d(x, y)}

A última desigualdade nos dá que g é injetiva, pois se g(x) = g(y) ⇒k g(x) − g(y) k= 0 e usando o fato de que [Lip(f−1_)]−1_{− Lip(f − g) > 0, por hipótese, temos d(x, y) = 0 ⇒ x = y.}

Agora, sendo x = g−1_{(z) e g = f}−1_{(w), obtemos novamente da ´ultima desigualdade}

d(z, w) ≥ {[Lip(f−1)]−1− Lip(f − g)} k g−1(z) − g−1(w) k⇒

d(z, w)−1 ≤ {[Lip(f−1)]−1− Lip(f − g)}−1 k g−1(z) − g−1(w) k−1⇒ k g−1(z) − g−1(w) k ≤ {[Lip(f−1)]−1− Lip(f − g)}−1d(z, w). (1.2)

Assim de (1.2), obtemos o resultado.

¥

1.10 Teorema. Seja f um homeomorfismo de um subconjunto aberto U de um espa¸co de Banach E sobre um aberto V de um espa¸co de Banach F , cuja a inversa ´e Lipschitz. Seja h uma aplica¸c˜ao cont´ınua, Lipschitz de U em F satisfazendo Lip(h)Lip(f−1_{) < 1. Seja}

g = f + h. Ent˜ao g ´e um homeomorfismo de U sobre um subconjunto aberto de F , com inversa Lipschitz.

Prova: Seja ϕ = g ◦ f−1 _{= (f + h) ◦ f}−1 _{= id + hf}−1_{. Como h e f}−1 _{s˜ao Lipschitz}

temos que hf−1 _{´e Lipschitz e}

λ = Lip(hf−1_{) ≤ Lip(h)Lip(f}−1_{) < 1}

Assim hf−1 _{´e uma contra¸c˜ao. Logo pelo Teorema 1.8 (note que ϕ : f (U) ⊂ F → F )}

temos que ϕ é um homeomorfismo de f (U) sobre o conjunto aberto ϕ(f (U)). Obtemos assim que g é um homeomorfismo de U sobre g(U), pois composta de homeomorfismos é um homeomorfismo, e

(12)

Preliminares 6

Resta agora mostrarmos que g−1 _{´e Lipschitz. Para isto basta observamos que}

k ϕ(x) − ϕ(y) k = k x + hf−1_{(x) − y − hf}−1_{(y) k}

≥ k x − y k − k hf−1_{(x) − hf}−1_{(y) k}

≥ k x − y k −λ k x − y k

= (1 − λ) k x − y k

Da última desigualdade temos que ϕ é injetiva. Logo fazendo ϕ(x) = w e ϕ(y) = z temos: 1 k w − z k ≤ 1 1 − λ · 1 k ϕ−1_{(w) − ϕ}−1_{(z) k} =⇒ k ϕ−1_{(w) − ϕ}−1_{(z) k ≤} 1 1 − λ k w − z k =⇒ ϕ −1 _{é Lipschitz.}

Mas ϕ−1 _{= f ◦ g}−1 _{⇒ g}−1 _{= f}−1 _{◦ ϕ}−1_{. Como ϕ}−1 _{e f}−1 _{s˜ao Lipschitz, temos que g}−1 _´e

Lipschitz.

¥

1.11 Proposi¸c˜ao. Seja U um subconjunto aberto de um espa¸co de Banach E e g um home-omorfismo de U sobre um subconjunto aberto de um espa¸co de Banach F . Se g−1 _{´e Lipschitz}

com Lip(g−1_{) < λ, ent˜ao B}_r

λ(g(x)) ⊂ g(Br(x)).

Prova: Como g−1 _{´e Lipschitz, temos que g}−1 _{´e cont´ınua bastando tomar δ =}

ε

Lip(g−1₎, pela Observa¸c˜ao 1.3. Usando agora o fato de que g−1 ´e cont´ınua em g(x), pela

Observa¸c˜ao 1.2 temos que:

g−1(Br

λ(g(x))) ⊂ Br(x) ⇒ B r

λ(g(x)) ⊂ g(Br(x)) Passando agora o fecho, obtemos:

Br

λ(g(x)) ⊂ g(Br(x)).

Agora resta-nos mostrar que g(Br(x)) ⊂ g(Br(x)). De fato, seja

y ∈ g(Br(x)) ⇒ ∃yn ∈ g(Br(x)), tal que yn → y.

Agora

(13)

Usando agora o fato de que g−1 _{´e cont´ınua, temos:}

yn→ y ⇒ xn = g−1(yn) → g−1(y) ⇒ g−1(y) ∈ Br(x) ⇒ y ∈ g(Br(x)) ⇒

g(Br(x)) ⊂ g(Br(x))

(14)

Cap´ıtulo 2

Variedade Inst´

avel

Neste cap´ıtulo iremos provar o Teorema da Variedade Inst´avel Local para um ponto.

2.1 Definição. Seja T : E → E um endomorfismo linear, E um espa¸co de Banach. Dizemos que T é hiperbólico se e somente se existe uma decomposi¸cão em soma direta E = E1⊕ E2, onde E1 e E2 são invariantes por T e constantes c > 0 e λ < 1 tal que:

(1) A restri¸cão T1 de T a E1 é uma expansão, ou seja:

∀n ≤ 0, k Tn

1 k≤ cλ−n.

(2) A restri¸cão T2 de T a E2 é uma contra¸cão, ou seja:

∀n ≥ 0, k T₂nk≤ cλn.

2.2 Proposi¸cão (Norma adaptada). Seja T como acima. Então existe uma métrica C∞

em E e uma constante η, 0 < η < 1 tal que

k T |E2k < η e k T

−1 _|

E1k < η.

Prova: Ver em [8].

De agora em diante, denota-se por Ei(r), i = 1, 2 a bola fechada de raio r e centro

na origem em Ei.

(15)

2.3 Teorema (Teorema da Variedade Instável Local para um Ponto). Seja T : E → E um automorfismo hiperbólico de um espa¸co de Banach E com decomposi¸cão E = E1⊕E2 =

E1× E2 e suponha que a norma é adaptada, isto é, nós podemos encontrar 0 < λ < 1, tal

que

k T |E2k < λ e k T

−1 _|

E1k < λ.

Ent˜ao existe um ε > 0, que depende somente de λ, e constante δ = δ(λ, ε, r) tal que para toda aplica¸c˜ao Lipschitz f : E1(r) × E2(r) → E, com k f (0) k < δ e Lip(f − T ) < ε, existe

uma aplica¸cão g : E1(r) → E2(r) cujo o gráfico nos dá uma variedade instável para f .

Al´em disso g e seu gr´afico tem as seguintes propriedades:

(1) g é Lipschitz, com Lip(g) ≤ 1. Além disto, a restri¸cão de f−1 _{ao gráfico de g é}

contra¸c˜ao e deste modo tem um ponto fixo p sobre o gr´afico de g.

(2) O gr´afico de g ´e igual a T∞_n=0fn_(E

1(r), E2(r)). (Esta interseçcão é o conjunto estável

local de p, Wu loc(p).)

(3) Se f é Ck _{então g é C}k_.

(4) Se f é C1 _{com f (0) = 0, Df (0) = T , então o gráfico de g é tangente a E}

1 em 0.

(5) Se f (0) = 0 e f ´e invert´ıvel, o gr´afico de g consiste dos pontos em E1(r) × E2(r) cujo

os iterados para tr´as tende a 0.

(6) Se f (0) = 0, um ponto x pertence ao gr´afico de g se e somente se existe uma seq¨uencia xn, n ≥ 0, em E1(r) × E2(r), tendendo a 0 tal que fn(xn) = x.

N´os obtemos a variedade est´avel local trocando T por T−1_{, E}

1 por E2.

Antes de come¸carmos a demonstrar o Teorema, iremos fixar algumas nota¸c˜oes:

Ti = T |Ei, pi = proje¸c˜ao de E sobre Ei, fi = pi◦ f, i = 1, 2.

Nós usaremos, por conveniência, a norma box k kbox= sup(k kE1, k kE2), isto é,

(16)

Variedade Inst´avel 10

2.4 Observa¸cão. Usando o fato de que E = E1 ⊕ E2 = E1 × E2 e essa decomposi¸cão é

invariante por T, para x ∈ E1 e y ∈ E2, temos que:

T (x, y) = T (x ⊕ y) = T (x) ⊕ T (y) = T1(x) ⊕ T2(y) = (T1(x), T2(y)).

Iremos a partir de agora, estabelecer alguns resultados que utilizaremos para a demonstra¸c˜ao do Teorema 2.3.

2.5 Definição (Transformação de Gráfico). Suponhamos que nós temos uma σ : E1(r) → E2(r) para o qual f1 ◦ (id, σ) é injetiva e E1(r) ⊂ f1◦ (id, σ)(E1(r)). Definimos a

fun¸c˜ao Γf(σ) por:

Γf(σ) = f2◦ (id, σ) ◦ [f1◦ (id, σ)]−1 |E1(r) .

Isto ´e ilustrado na Figura 2.1.

E1 E2 -r r graf(g) f(graf(g)) x (x,g(x)) f(x,g(x)) p f(x,g(x))1

Figura 2.1: Transforma¸c˜ao de Gr´afico

Podemos notar que o gráfico de Γf(σ) é a interseçcão de f (graf de σ) com E1(r) ×

E2(r), por isso Γf é chamada Transforma¸cão de Gráfico. Note que a variedade instável de T

é E1 que é o único gráfico invariante sobre ΓT, assim existe uma esperan¸ca de encontrarmos

uma variedade instável de f, pois f é bem próxima de T no sentido Lip(f − T ) < ε, bem como um ponto fixo de Γf.

Seja Lip₁(E1(r), E2(r)) o conjunto das fun¸c˜oes Lipschitz cuja constante ´e menor ou

(17)

mostraremos que Γf é uma contra¸cão de Lip1(E1(r), E2(r)) na métrica C0 e usaremos o

Teorema da Contra¸c˜ao para garantir que Γf tem um ´unico ponto fixo g.

2.6 Lema. Se σ ∈ Lip1(E1(r), E2(r)) temos a seguinte estimativa:

Lip(f1◦ (id, σ) − T1) ≤ Lip(f − T ).

Prova: Note que f1◦ (id, σ) − T1 = p1 ◦ (f − T ) ◦ (id, σ). De fato,

p1◦ (f − T ) ◦ (id, σ)(x) = p1◦ (f − T ) ◦ (x, σ(x))

= p1◦ (f (x, σ(x)) − T (x, σ(x)))

= f1(x, σ(x)) − T1(x)

= [f1◦ (id, σ) − T1](x)

Assim,

Lip[f1◦ (id, σ) − T1] = Lip[p1◦ (f − T ) ◦ (id, σ)]

≤ Lip(p1)Lip(f − T )Lip(id, σ)

≤ Lip(f − T )

¥

2.7 Lema. Se ε > 0 ´e menor que 1

λ e Lip(f −T ) < ε, ent˜ao para todo σ ∈ Lip1(E1(r), E2(r)),

a aplica¸cão f1◦ (id, σ) é um homeomorfismo. Além disso, a inversa é uma fun¸cão Lipschitz

cuja constante Lipschitz satisfaz

Lip([f1◦ (id, σ)]−1) ≤

1

λ − ε

.

Prova: Pelo Lema 2.6 temos que Lip(f1◦ (id, σ) − T1) ≤ Lip(f − T ) ≤ ε < 1_λ <

k T−1

1 k−1.

Fazendo g = f1◦ (id, σ) e f = T1, podemos aplicar o Teorema 1.10 onde h = g − f ,

sendo assim conclu´ımos que g = f1 ◦ (id, σ) ´e um homeomorfismo. Agora pelo Lema 1.9,

pois Lip(f − g) < [Lip(T₁−1)]−1 ₌ 1

λ, obtemos: Lip[f1◦ (id, σ)]−1) ≤ ₁ 1 Lip(f−1₎− Lip(f − g) ≤ 1 k T−1 1 k−1 −Lip(f1◦ (id, σ) − T1) ≤ ₁ 1 λ − ε .

(18)

¥

2.8 Lema. Seja 0 < 2ε < 1

λ − 1. Suponha que Lip(f − T ) < ε e k f (0) k< r(λ1 − 1 − 2ε),

ent˜ao para todo σ ∈ Lip1(E1(r), E2(r)), E1(r) ⊂ f1◦ (id, σ)(E1(r))

Prova: Pelo Lema 2.7 temos que Lip([f1◦ (id, σ)]−1) ≤

1

λ − ε

.

Fazendo agora g = f1 ◦ (id, σ) na Proposi¸c˜ao 1.11 e usando o fato de que Br(0) =

E1(r) obtemos:

B_r(1

λ−ε)(f1◦ (id, σ)(0)) ⊂ f1◦ (id, σ)(E1(r)) ⇒

B_r(1

λ−ε)(f1(0, σ(0))) ⊂ f1◦ (id, σ)(E1(r)). Mostraremos agora que B_r(1

λ−ε)−kf1(0,σ(0))k(0) ⊂ Br(λ1−ε)(f1(0, σ(0))). Seja x ∈ B_r(1 λ−ε)−kf1(0,σ(0))k(0), logo k x k< r(1 λ − ε)− k f1(0, σ(0)) k⇒k x k + k f1(0, σ(0)) k< r( 1 λ − ε), mas k x − f1(0, σ(0)) k≤k x k + k f1(0, σ(0)) k< r( 1 λ − ε) ⇒ x ∈ Br(1λ−ε)(f1(0, σ(0))). Seja ρ = r(1

λ − ε)− k f1(0, σ(0)) k. Resta-nos mostrar que ρ ≥ r, pois assim

E1(r) = Br(0) ⊂ Bρ(0) ⊂ Br(1 λ−ε)(f1(0, σ(0))) ⊂ f1◦ (id, σ)(E1(r)). k f1(0, σ(0)) k ≤ k f1(0, 0) k + k f1(0, σ(0)) − f1(0, 0) k ≤ k f1(0, 0) k + k f1(0, σ(0)) − p1T (0, σ(0)) + p1T (0, σ(0)) −f1(0, 0) + p1T (0, 0) − p1T (0, 0) k ≤ k f1(0, 0) k + k (f1− p1T )(0, σ(0)) + p1T (0, σ(0)) − (f1 − p1T )(0, 0) −p1T (0, 0) k ≤ k f1(0, 0) k + k (f1− p1T )(0, σ(0)) − (f1− p1T )(0, 0) k . Como k (f1− p1T )(0, σ(0)) − (f1− p1T )(0, 0) k≤k (f − T )(0, σ(0)) − (f − T )(0, 0) k

(19)

e k f1(0, 0) k<k f (0, 0) k, pois estamos utilizando a norma do sup, temos: k f1(0, σ(0)) k ≤ k f (0, 0) k + k (f − T )(0, σ(0)) − (f − T )(0, 0) k ≤ k f (0, 0) k +Lip(f − T ) k (0, σ(0)) − (0, 0) k ≤ k f (0, 0) k +εr ≤ r(1 λ − 1 − 2ε) + εr = r(1 λ − 1 − ε) ⇒ 0 ≤ r(1 λ − ε)− k f1(0, σ(0)) k | {z } ρ −r ⇒ r ≤ ρ. ¥

2.9 Lema. Seja 0 < 2ε < 1−λ e δ < r min{1

λ−1−2ε, 1−ε−λ}. Se f satisfaz Lip(f −T ) < ε

e k f (0) k< δ, então para todo σ ∈ Lip₁(E1(r), E2(r)) a aplica¸cão Γf(σ) está bem definida

sobre E1(r) e Γf(σ) ∈ Lip1(E1(r), E2(r)).

Prova: Primeiro mostraremos que Lip([f1◦ (id, σ)]−1) ≤

1

λ − ε

< 1. Para isto note

que 1

λ − 1 > 1 − λ, pois 1λ > 1 e 0 < λ < 1. Agora, por hip´otese

2ε < 1 − λ ⇒ ε < 1 − λ 2 < 1 λ − 1 ⇒ 1 λ − ε > 1, como quer´ıamos.

Agora como Γf(σ) = f2◦ (id, σ) ◦ [f1◦ (id, σ)]−1 |E1(r), temos:

Lip(Γf(σ)) ≤ Lip(f2◦ (id, σ)) · Lip([f1◦ (id, σ)]−1)

≤ Lip(f2◦ (id, σ)) ≤ Lip(f2) · Lip(id, σ) ≤ Lip(f2) = Lip(T2+ p2(f − T )) ≤ Lip(T2) + Lip(p2(f − T )) ≤ Lip(T2) + Lip((f − T )) ≤ λ + ε ≤ 1, pois como 2ε < 1 − λ ⇒ ε < 1 − λ ⇒ ε + λ < 1.

Para mostrar que Γf(σ) ∈ Lip(E1(r), E2(r)), resta mostrar que Γf(σ)(E1(r)) ⊂

(20)

J´a sabemos pelo Lema 2.8 que E1(r) ⊂ f1◦ (id, σ)(E1(r)) ⇒ [f1◦ (id, σ)]−1(E1(r)) ⊂

E1(r), ent˜ao basta mostrar que f2 ◦ (id, σ)(E1(r)) ⊂ E2(r). Para isto seja x ∈ E1(r), ent˜ao:

k f2(x, σ(x)) k ≤ k f2(x, σ(x)) − p2T (x, σ(x)) + p2T (x, σ(x)) k ≤ k f2(x, σ(x)) − p2T (x, σ(x)) k + k p2T (x, σ(x)) k ≤ k f2(x, σ(x)) − p2T (x, σ(x)) k + k T2 kk σ(x) k ≤ k (f − T )(x, σ(x)) k +λr ≤ k (f − T )(x, σ(x)) − (f − T )(0, 0) k + k (f − T )(0, 0) k λr ≤ Lip(f − T ) k (x, σ(x)) k + k f (0) k +λr ≤ εr + δ + λr ≤ εr + r(1 − ε − λ) + λr ≤ r. Assim como f2(x, σ(x)) ∈ E2 e k f2(x, σ(x)) k< r ⇒ f2(x, σ(x)) ∈ E2(r). ¥

2.10 Lema. Seja (x, y) um ponto de E1(r) × E2(r) tal que f1(x, y) esteja em E1(r). Para

todo σ ∈ Lip(E1(r), E2(r)) a seguinte desigualdade vale:

k f2(x, y) − Γfσ(f1(x, y)) k≤ (λ + 2ε) k y − σ(x) k .

Este lema est´a ilustrado na Figura 2.2. Prova:

k f2(x, y) − Γfσ(f1(x, y)) k = k f2(x, y) − f2(x, σ(x)) + f2(x, σ(x)) − Γfσ(f1(x, y)) k

≤ k f2(x, σ(x)) − Γfσ(f1(x, y)) k + k f2(x, y) − f2(x, σ(x)) k

= k Γfσ(f1(x, σ(x))) − Γfσ(f1(x, y)) k

+ k f2(x, y) − f2(x, σ(x)) k,

pois Γf(σ) = f2◦(id, σ)◦[f1◦(id, σ)]−1 ⇒ Γf(σ)◦[f1◦(id, σ)] = f2◦(id, σ) ⇒ Γf(σ)(f1(x, σ(x))) =

f2(x, σ(x)).

Como p2 e f são Lipschitz, temos que f2 = p2◦ f também é Lipschitz. Logo

k f2(x, y) − Γfσ(f1(x, y)) k ≤ Lip(f2) k (x, y) − (x, σ(x)) k

(21)

Pelo Lema 2.9 temos que Lip(Γfσ) ≤ 1. Observe tamb´em que Lip(f2) = Lip(f2− p2T + p2T ) = Lip(T2) + Lip(p2(f − T )) ≤ Lip(T2) + Lip(f − T ) ≤ λ + ε. Ent˜ao k f2(x, y) − Γfσ(f1(x, y)) k ≤ (λ + ε) k y − σ(x) k + k f1(x, σ(x)) − f1(x, y) k ≤ (λ + ε) k y − σ(x) k + k f1(x, σ(x)) − p1T (x, σ(x)) +p1T (x, σ(x)) + p1T (x, y) − p1T (x, y) − f1(x, y) k ≤ (λ + ε) k y − σ(x) k + k (f1− p1T )(x, σ(x)) −(f1− p1T )(x, y) k + k p1T (x, σ(x)) − p1T (x, y) k ≤ (λ + ε) k y − σ(x) k +Lip(f1− p1T ) k (x, σ(x)) − (x, y) k + k T1(x) − T1(x) k ≤ {(λ + ε) + Lip(f − T )} k y − σ(x) k ≤ (λ + ε + ε) k y − σ(x) k ≤ (λ + 2ε) k y − σ(x) k . ¥ x (x,y) ä(x) f(x,y) f (x,y)1 f (x,1 ä(x)) (f (x,y),1 Gfäf (x,y))1 f(x,ä(x)) f (x,y)2 Figura 2.2: Lema 2.10.

2.11 Lema. Na situa¸cão anterior Γf contrai na distância C0 por um fator no máximo λ+2ε.

Prova: Seja σ1, σ2 ∈ Lip1(E1(r), E2(r)), z ∈ E1(r) e (x, y) = ([f1◦(id, σ1)]−1(z), σ1([f1◦

(22)

Aplicando o Lema 2.10 para σ = σ2 em (x, y) temos:

k f2(x, y) − Γfσ2(f1(x, y)) k≤ (λ + 2ε) k y − σ2(x) k .

Mas note que

Γfσ1(z) = f2◦ (id, σ1) ◦ [f_|1◦ (id, σ_{z1)]−1(z)_}

x

= f2◦ (id, σ1)(x)

= f2(x, σ1(x)) = f2(x, y)

e que

x = [f1◦ (id, σ1)]−1(z) ⇒ [f1◦ (id, σ1)](x) = z ⇒ z = f1(x, σ1(x)) = f1(x, y).

Ent˜ao k Γfσ1− Γfσ2 k = sup z∈E1(r) k Γfσ1(z) − Γfσ2(z) k ≤ (λ + 2ε) sup z∈E1(r) k σ1([f1◦ (id, σ1)]−1(z)) − σ2([f1◦ (id, σ1)]−1(z)) k ≤ (λ + 2ε) sup z∈E1(r) k σ1(z) − σ2(z) k = (λ + 2ε) k σ1− σ2 k,

onde na pen´ultima desigualdade utilizamos o fato de que [f1◦ (id, σ1)]−1(E1(r)) ⊂ E1(r) ⇒

sup z∈E1(r) k σ1([f1◦ (id, σ1)]−1(z)) k≤ sup z∈E1(r) k σ1(z) k. ¥

2.12 Proposi¸c˜ao. Se Lip(f − T ) < ε < 1 − λ

2 e k f (0) k≤ δ < r min ½ 1 λ − 1 − 2ε, 1 − ε − λ ¾

então a transforma¸cão de gráfico Γf tem um único ponto fixo g ∈ Lip1(E1(r), E2(r)).

Prova: Pelo Lema 2.11 temos que Lip(Γf) ≤ λ + 2ε < λ + 2 ·

1 − λ

2 = 1 ⇒ Γf ´e uma contra¸c˜ao.

(23)

De fato, utilizando a norma da convergˆencia uniforme, seja fn∈ Lip1(E1(r), E2(r)),

tal que fn → f . Assimu

k f (x) − f (y) k ≤ k f (x) − fn(x) k + k fn(x) − fn(y) k + k fn(y) − f (y) k

< ε

2+ k x − y k +2ε

< ε+ k x − y k .

Fazendo ε tender a zero, obtemos que

k f (x) − f (y) k≤k x − y k⇒ f ∈ Lip₁(E1(r), E2(r)).

Assim pelo Teorema do Ponto Fixo de Banach (Teorema 1.7) existe um ´unico ponto fixo de Γf em Lip1(E1(r), E2(r)). Chamemos de g este ponto fixo.

¥ Agora provaremos o resultado principal, que ´e o Teorema 2.3.

Prova: Por constru¸c˜ao sabemos que Lip(g) ≤ 1. Para ver que f−1_|

graf(g) ´e uma contra¸c˜ao, note que quando (x, g(x)) = f (y, g(y)) ⇒

x = f1(x, g(y)) = f1◦ (id, g)(y) = p1◦ f (y, g(y)) temos o seguinte:

(p1|graf(g))−1(x) = (p1|graf(g))−1(x) ◦ p1◦ f (y, g(y)) =⇒

(p1|graf(g))−1(x) = f (y, g(y)) = (x, g(x)) =⇒

f |graf(g)◦ (p1|graf(g))−1(x) = f (x, g(x)) =⇒

p1◦ f |graf(g)◦ (p1|graf(g))−1(x) = p1◦ f (x, g(x))

Pelo Lema 2.7 temos que f1◦ (id, g) ´e homeomorfismo, logo invert´ıvel, ent˜ao

(p1|graf(g))−1◦ p1◦ f |graf(g)◦ (p1|graf(g))−1(x) = (p1|graf(g))−1◦ f1(x, g(x)) =⇒

f |graf(g)◦ (p1|graf(g))−1(x) = (p1|graf(g))−1◦ f1(x, g(x))

Assim f |graf(g) ´e conjugado a p1◦ f (x, g(x)) via (p1|graf(g))−1.

Como p1◦ f (x, g(x)) é invert´ıvel então f |graf(g) é invert´ıvel.

Usando o fato de que p1|graf(g) ´e uma isometria com respeito a norma do sup (veja

Proposi¸c˜ao 2.14) e isometria preserva a constante de Lipschitz, conclu´ımos que Lip(f−1_|

graf(g)) <

(24)

Assim f−1_|

graf(g) : graf(g) → graf(g) ´e uma contra¸c˜ao.

Afirmamos que o graf(g) ⊂ E ´e fechado. De fato, considere a aplica¸c˜ao ϕ(x, y) =

y − g(x), que ´e cont´ınua, pois g ´e cont´ınua (g ∈ Lip1()E1(r), E2(r)). Observe agora que

graf(g) = ϕ−1_{(0). Como ϕ é cont´ınua e 0 é fechado conclu´ımos que graf(g) é fechado, já que}

a pré-imagem de fechado por uma aplica¸cão cont´ınua é fechado.

Ent˜ao temos que existe um ´unico ponto fixo, que denotamos por p, de f−1_|

graf(g).

Logo (1) est´a provado.

Para provar (2) considere (x0_{, y}0_{) ∈ E}

1(r) × E2(r) tal que f (x0, y0) ∈ E1(r) × E2(r),

para que possamos considerar os iterado de f . Pelo Lema 2.10, temos

k f2(x0, y0) − Γf(g)(f1(x0, y0)) k≤ (λ + 2ε) k y0 − g(x0) k .

Como g ´e ponto fixo de Γf, temos que Γf(g) = g, logo

k f2(x0, y0) − g(f1(x0, y0)) k≤ (λ + 2ε) k y0− g(x0) k . (2.1)

Repetindo-se o processo para os primeiros n iterados de f , (x0_{, y}0_{), f (x}0_{, y}0_{), . . . , f}n_(x0_{, y}0_{) =}

(x, y), temos: k y − g(x) k = k p2◦ fn(x0, y0) − g ◦ p1◦ fn(x0, y0) k = k p2◦ f (fn−1(x0, y0)) − g ◦ p1◦ f (fn−1(x0, y0)) k = k f2(fn−1(x0, y0)) − g ◦ f1(fn−1(x0, y0)) k ≤ (λ + 2ε) k p2◦ fn−1(x0, y0) − g ◦ p1◦ fn−1(x0, y0) k por (2.1) ≤ (λ + 2ε) k p2◦ f (fn−2(x0, y0)) − g ◦ p1◦ f (fn−2(x0, y0)) k ≤ (λ + 2ε) k f2(fn−2(x0, y0)) − g ◦ f1(fn−2(x0, y0)) k ≤ (λ + 2ε)2 _{k p} 2◦ fn−2(x0, y0) − g ◦ p1◦ fn−2(x0, y0) k por (2.1) ≤ (λ + 2ε)n _{k y}0_{− g(x}0_{) k} ≤ (λ + 2ε)n_{(k y}0 _{k + k g(x}0_{) k)} ≤ (λ + 2ε)n_2r Mas ε < 1 − λ

2 , pelo Lema 2.9, assim

(25)

∞

\

n=0

fn_(E

1(r) × E2(r)) ⊂ graf(g).

Resta-nos mostrar que graf(g) ⊂

∞

\

n=0

fn_(E

1(r)×E2(r)). Sabemos que graf(Γf(g)) = f (graf(g))∩

(E1(r) × E2(r)). Mas como g ´e o ponto fixo de Γf, temos que

graf(g) = f (graf(g)) ∩ (E1(r) × E2(r)) ⊂ E1(r) × E2(r) (2.2)

Da equa¸c˜ao (2.2), obtemos que

graf(g) ⊂ f (graf(g)) ⊂ E1(r) × E2(r). (2.3)

Aplicando f na equa¸c˜ao (2.3) temos que graf(g) ⊂ f2_(E

1(r) × E2(r)).

Repetindo-se o mesmo processo n vezes, temos que graf(g) ⊂ fn_(E

1(r) × E2(r)) ∀n.

Logo graf(g) ⊂T∞_n=0fn_(E

1(r) × E2(r)).

E assim fica demonstrado o ´ıtem (2).

Para demonstrar o ´ıtem (5), note que como f |−1

graf(g) ´e uma contra¸c˜ao e f−1(0) = 0,

então 0 é o único ponto fixo de f |−1

graf(g). Seja (x, y) ∈ graf(g), ent˜ao:

k f−n(x, y) − f−n(0) | {z } 0 k = k f−1(f−n+1(x, y)) − f−1(f−n+1(0)) k ≤ α k f−n+1(x, y) − f−n+1(0) k (2.4) ≤ αnk x k ≤ αnr,

onde α = Lip(f |−1_graf(g)) < 1. Logo

k f−n_{(x, y) k≤ α}n_r n→∞_{−→ 0 ⇒ f}−n_{(x, y)}n→∞_{−→ 0.}

2.13 Observa¸c˜ao. Note que como g ´e o ponto fixo de Γf, temos que graf(g) = f (graf(g)) ∩

(E1(r) × E2(r)). Como f ´e invert´ıvel por hip´otese, temos que f−1(graf(g)) ⊂ graf(g). Assim

(26)

Agora seja (x, y) ∈ E1(r) × E2(r) com f−n(x, y) → 0. Seja (xn, yn) = f−n(x, y), ou

seja fn_(x

n, yn) = (x, y). Assim x = p1◦ fn(xn, yn) e y = p2◦ fn(xn, yn). Logo, por (2.1)

k y − g(x) k = k p2◦ fn(xn, yn) − g(p1◦ fn(xn, yn)) k

≤ (λ + 2ε)n_{k y}

n− g(xn) k

Como (xn, yn) → 0, temos que xn→ 0 e yn → 0. Usando o fato de g ser cont´ınua temos que

g(xn) → g(0) = 0. Assim

k y − g(x) kn→∞−→ 0 ⇒ (x, y) ∈ graf(g),

e (5) est´a provado.

Agora para demonstrar (6), tomemos (x, y) ∈ graf(g), logo por (5), f−n_{(x, y) → 0.}

Fazendo (xn, yn) = f−n(x, y), temos que, fn(xn, yn) = (x, y), e (xn, yn) → 0. Por outro lado,

quando (xn, yn) ∈ E1(r) × E2(r), tal que (xn, yn) → 0 e fn(xn, yn) = (x, y), o resultado segue

diretamente por (5).

2.14 Proposi¸c˜ao. p1|Graf (g) : Graf (g) → E1 ´e uma isometria com a norma do sup.

Prova:

k p1(x, g(x)) − p1(y, g(y)) ksup=k x − y ksup= sup(k p1(x − y) kE1, k p2(x − y) kE2) =

sup(k x − y kE1, 0) =k x − y kE1

.

Resta mostrar que k (x, g(x)) − (y, g(y)) ksup=k x − y kE1. Mas

k (x, g(x)) − (y, g(y)) ksup = k (x − y, g(x) − g(y)) ksup

= sup(k p1(x − y) kE1, k p2(g(x) − g(y)) kE2)

= sup(k x − y kE1, k g(x) − g(y) kE2)

= k x − y kE1,

pois g ∈ Lip1(E1(r), E2(r)), ou seja, k g(x) − g(y) k≤k x − y k.

(27)

Os ´ıtens (3) e (4) são conhecidos como a versão diferenciável do Teorema da Varie-dade Instável, pois o leitor pode notar que nestes ´ıtens estamos supondo que f é diferenciável. ´

E necessário então ver alguns resultados sob esta hipótese para demonstrá-los. E isto é tarefa para o próximo cap´ıtulo.

(28)

Cap´ıtulo 3

O caso f diferenci´

avel

Neste cap´ıtulo mostraremos a versão diferenciável do Teorema da Variedade Instável. Ou seja, mostraremos que:

(3) Se f é Ck _{então g é C}k_.

(4) Se f é C1 _{com f (0) = 0, Df (0) = T , então o gráfico de g é tangente a E}

1 em 0.

A idéia da prova é a seguinte: Se existe uma fun¸cão g ∈ C1_{cujo gráfico é f invariante,}

então a derivada de f aplica o espa¸co tangente do gráfico no espa¸co tangente do gráfico, isto é:

f (x, g(x)) = (y, g(y)) ⇒ Df(x,g(x))(T(x,g(x))graf(g)) = T(y,g(y))graf(g) = Tf (x,g(x))graf(g)

ou

Df(x,g(x))· (id, Dgx) = (id, Dgy) = (id, Dgf1(x,g(x))) ⇒

Df(x,g(x))(graf(Dgx)) = graf(Dgf1(x,g(x))),

pois (id, Dgx) · v = (v, Dgx(v)) = graf(Dgx). Ver Figura 3.1.

Depois consideraremos uma nova transforma¸c˜ao de gr´afico (global e linear), em seguida usaremos o Teorema do Ponto Fixo de Banach (Teorema (1.7)) para encontrar uma

(29)

x g(x) f (x,g1 (x)) f (x,g2 (x)) graf Dgx graf Dgf1(x,g(x)) graf g Figura 3.1: Derivada de f .

fun¸cão σ : E1(r) → L1(E1, E2), onde L1(E1, E2) é o espa¸co das aplica¸cões lineares cont´ınuas

de E1 para E2 cuja norma ´e menor ou igual a 1, que tem a seguinte propriedade:

ΓDfσ(x) = σ(f1(x, g(x))).

E finalmente mostraremos que σ ´e a derivada de g.

Aqui e no que se segue, para simplificar a nota¸c˜ao n´os escreveremos Df para

Df(x,g(x)).

3.1 Lema. Existe um ε > 0, tal que quando k S − T k< ε, a transforma¸c˜ao de gr´afico

ΓS : L1(E1, E2) → L1(E1, E2) é bem definida. Além disso, ΓS é Lipschitz em L1(E1, E2) com

constante de Lipschitz menor ou igual a λ + 2ε.

Prova: Primeiro note que toda aplica¸c˜ao linear ´e Lipschitz, com constante de Lips-chitz igual a sua norma, ou seja, L1(E1, E2) ⊂ Lip1(E1(r), E2(r)) ∀r. Assim escolhendo ε

igual ao do Lema 2.9, n´os temos que ΓS est´a bem definida em Lip1(E1(r), E2(r)) para todo

r, logo em L1(E1, E2).

Sabemos que graf(ΓSσ) = S(graf(σ)). Como σ é uma aplica¸cão linear então graf(σ)

´e um subespa¸co linear. Sendo S linear, S leva subespa¸co linear em subespa¸co linear, logo

S(graf(σ)) é um subespa¸co linear. Conclu´ımos então que graf(ΓSσ) é subespa¸co linear.

Assim pelo Teorema 1.4 temos que ΓS ´e linear.

Finalmente, a constante de Lipschitz de ΓS ´e estimada pelo Lema 2.11.

(30)

O caso f diferenci´avel 24

3.2 Lema. Seja Uε uma vizinhan¸ca de T em L1(E1, E2). A aplica¸c˜ao Γ : Uε× L1(E1, E2) →

L1(E1, E2) dada por Γ(S, K) = ΓS(K) ´e cont´ınua.

Prova: Seja Si = pi◦ S. Sabemos que ΓS(K) = S2◦ (id, K) ◦ [S1◦ (id, K)]−1. Como

inversão e composi¸cão de aplica¸cões cont´ınuas são cont´ınuas sobre o espa¸co das aplica¸cões lineares, Γ é cont´ınua.

¥

Suponha agora que f ´e C1 _{bem pr´oxima de T , na topologia C}1 _{em E}

1(r) × E2(r),

ou seja, Lip(f − T ) < ε e k Df − T k< ε para todo z ∈ E1(r) × E2(r). Seja g a aplica¸c˜ao

de E1(r) para E2(r) cujo o gráfico é a variedade instável de f . Nós examinaremos o gráfico

da derivada de g, supondo que esta ´e diferenci´avel.

Seja h = f1 ◦ (id, g) : E1(r) → E1. O dois lemas precedentes nos permite definir

uma aplica¸c˜ao cont´ınua

F : E1(r) × L1(E1, E2) → E1× L1(E1, E2)

F : (x, L) 7→ (h(x), ΓDfL).

Al´em disso, F faz o seguinte diagrama de aplica¸c˜oes cont´ınuas comutar:

E1(r) × L1(E1, E2) F //

²²

E1× L1(E1, E2)

²²

E1(r) h //E1,

onde as aplica¸cões verticais são proje¸cões, sobre o primeiro fator.

3.3 Lema. k F (x, L) − F (x, K) k≤ (λ + 2ε) k L − K k, uniformemente sobre E1(r) e, al´em

disso, E1(r) ⊂ h(E1(r)), Lip(h−1) < 1.

Prova: k F (x, L) − F (x, K) k=k (h(x), ΓDfL) − (h(x), ΓDfK) k=

k ΓDfL − ΓDfK k≤k L − K k, pelo Lema 3.1. E pelos Lemas 2.7 e 2.8, conclu´ımos a

demonstra¸c˜ao.

(31)

Seja Γ0_(E

1(r), E1(r) × L1(E1, E2)) o espa¸co das se¸c˜oes cont´ınuas do fibrado trivial

E1(r) × L1(E1, E2) → E1(r), ou seja, Γ0(E1(r), E1(r) × L1(E1, E2)) = {σ : E1(r) → E1(r) ×

L1(E1, E2) \ σ(x) = (x, Π2σ(x))}, com a m´etrica uniforme, ou seja para se¸c˜oes σ1 e σ2:

d(σ1, σ2) = sup

x∈E1(r)

k Π2σ1(x) − Π2σ2(x) k,

onde Π2 ´e a proje¸c˜ao sobre o segundo fator de E1(r) × L1(E1, E2). Note que o espa¸co das

se¸cões cont´ınuas é isométrico, via composi¸cão com Π2, com o espa¸co completo das aplica¸cões

cont´ınuas de E1(r) para L1(E1, E2) e as imagens da se¸c˜oes correspondem aos gr´aficos. Assim

nós definimos uma nova transforma¸cão de gráfico ΓF sendo um automorfismo ΓF : τ 7→

F ◦ τ ◦ h−1 _{de Γ}0_(E

1(r), E1(r) × L1(E1, E2)); isto é, ΓFτ é uma se¸cão cuja a imagem é a

intersec¸c˜ao de F (imagem τ ) com E1(r) × L1(E1, E2).

3.4 Lema. ΓF tem um ´unico ponto fixo σ que satisfaz

ΓDf(Π2σ(x)) = Π2σh(x) = Π2σf1(x, g(x)).

Prova: Sejam τ1, τ2 se¸c˜oes. Logo

k ΓFτ1− ΓFτ2 k = sup z∈E1(r) k ΓFτ1(z) − ΓFτ2(z) k = sup z∈E1(r) k F ◦ τ1◦ h−1(z) − F ◦ τ2◦ h−1(z) k = sup z∈E1(r) k F (h−1(z), Π2τ1(h−1(z))) − F (h−1(z), Π2τ2(h−1(z))) k ≤ (λ + 2ε) sup z∈E1(r) k Π2τ1(h−1(z) − Π2τ2(h−1(z) k ≤ (λ + 2ε)d(τ1, τ2).

Como λ + 2ε < 1 ⇒ ΓF ´e contra¸c˜ao.

Seja σ a se¸cão que é o único ponto fixo de ΓF. Então

ΓFσ = σ ⇒ F σh−1 = σ ⇒ F σ = σh.

Assim

F σ(x) = F (x, Π2σ(x)) = σ(h(x)) = (h(x), Π2σh(x)).

Mas F (x, Π2σ(x)) = (h(x), ΓDfΠ2σ(x)), pela defini¸c˜ao da F . Logo

(32)

¥

Como um dos nossos objetivo é provar que o gráfico de g é tangente a E1 em zero,

iremos agora definir quando duas fun¸c˜oes s˜ao tangentes em um ponto.

3.5 Definição. Seja Y e Z dois espa¸cos métricos. Suponha que h1 e h2 são duas fun¸cões

de uma vizinhan¸ca de x em Y para Z, com h1(x) = h2(x). N´os dizemos que h1 e h2 s˜ao

tangentes em x se, e somente se,

Lip_x(h1, h2) = lim sup

y→x

d(h1(y), h2(y))

d(x, y) = 0. Isto é, a distância Lipschitz h1 para h2 em x é 0.

1 Exemplo. Se E1 e E2 são espa¸cos vetoriais normados e L1 e L2 são duas aplica¸cões

lineares cont´ınuas de E1 para E2, ent˜ao independente de x,

Lip_x(L1, L2) =k L1 − L2 k .

De fato,

Lip_x(L1, L2) = lim sup

y→x k L1(y) − L2(y) k k x − y k = lim sup y→x k L1(y) − L1(x) + L2(x) − L2(y) k k x − y k , pois L1(x) = L2(x) = lim sup y→x k L1(y − x) − L2(y − x) k k y − x k = lim sup y→x k (L1− L2)(y − x) k k y − x k = k L1− L2 k .

2 Exemplo. Se f : U ⊂ E1 → E2, onde U ⊂ E1 ´e aberto, E1 e E2 s˜ao espa¸cos de Banach

e L : E1 → E2 uma aplica¸c˜ao linear cont´ınua. L ´e a derivada de f em x se, e somente se

f (x + y) e f (x) + L(y) s˜ao tangentes em y = 0, isto ´e

lim

y→0

k f (x) − f (x + y) − L(y) k

k y k = 0.

Iremos provar agora uma proposi¸cão, na qual temos como conseqüência o ´ıtem (3) do Teorema da Variedade Instável (Teorema 2.3).

3.6 Proposi¸c˜ao. Quando f ´e C1_{, o ponto fixo g de Γ}

f ´e C1 com derivada Π2σ, onde σ ´e o

(33)

Prova: Observemos que

(Γfg)(h(x) + y) − g(h(x)) − ΓDf[Π2σ(x)](y) =

(Γfg)(h(x)+y)−g(h(x))−ΓDf[g◦(id+x)−g(x)](y)+ΓDf[g◦(id+x)−g(x)](y)−ΓDf[Π2σ(x)](y).

Assim

Lip₀[(Γfg)(h(x) + y), g(h(x)) − ΓDf[Π2σ(x)](y)] = (3.1)

lim sup y→0 k (Γfg)(h(x) + y) − g(h(x)) − ΓDf[Π2σ(x)](y) k k y − 0 k ≤ lim sup y→0 k (Γfg)(h(x) + y) − g(h(x)) − ΓDf[g ◦ (id + x) − g(x)](y) k k y k + lim sup y→0

k ΓDf[g ◦ (id + x) − g(x)](y) − ΓDf[Π2σ(x)](y) k

k y k =

Lip₀[(Γfg)(h(x) + y) − g(h(x)), ΓDf[g ◦ (id + x) − g(x)](y)] +

Lip₀[ΓDf[g ◦ (id + x) − g(x)](y), ΓDf[Π2σ(x)](y)] =

(I) + (II).

Primeiro iremos trabalhar com a equa¸c˜ao (II). Seja k = p1Df (id, g ◦(id+x)−g(x)).

Utilizando o Lema 2.7, substituindo f por Df e σ por g ◦ (id + x) − g(x), temos que k−1 _´e

uma contra¸cão e k é sobrejetiva. Isto é poss´ıvel, pois k Df − T k< ε e g ◦ (id + x) − g(x) ∈ Lip₁(E1(r), E2(r)), visto que

k g(y + x) − g(x) − (g(w + x) − g(x)) k=k g(y + x) − g(w + x) k≤k y + x − w − x k=k y − w k .

Agora, note que

k(0) = p1Df (0, g(x) − g(x)) = p1Df (0, 0) = 0.

Considere w0 _{tal que k(w}0_{) = y, isto ´e poss´ıvel pela sobrejetividade de k. Ent˜ao}

k y k=k k(w0) − k(0) k≥ [Lip(k−1)]−1 k w0− 0 k>k w0 k,

(34)

Aplicando o Lema 2.11, trocando f, σ1, σ2 por Df, g ◦ (id + x) − g(x), Π2σ(x),

res-pectivamente, observando que k = p1Df (id, g ◦ (id + x) − g(x)) = Df1(id, σ) e (x0, y0) =

(k−1_{(y), σ}

1(k−1)(y)) = (w0, σ1(w0)), temos

k ΓDf[g(id + x) − g(x)](y) − ΓDf[Π2σ(x)](y) k ≤ (λ + 2ε) k σ1(k−1(y)) − σ2(k−1(y)) k

= (λ + 2ε) k σ1(w0) − σ2(w0) k

= (λ + 2ε) k g(w0_{+ x) − g(x) − Π}

2σ(x)(w0) k .

Usando o fato de que k w0 _{k<k y k, temos}

k ΓDf[g(id + x) − g(x)](y) − ΓDf[Π2σ(x)](y) k

k y k ≤ (λ+2ε)

k g(w0_{+ x) − g(x) − Π}

2σ(x)(w0) k

k w0 _k .

Assim,

(II) = Lip₀[ΓDf[g ◦ (id + x) − g(x)](y), ΓDf[Π2σ(x)](y)]

= lim sup

y→0

k ΓDf[g(id + x) − g(x)](y) − ΓDf[Π2σ(x)](y) k

k y k ≤ (λ + 2ε) lim sup w0_→0 k g(w0 _{+ x) − g(x) − Π} 2σ(x)(w0) k k w0 _k = (λ + 2ε)Lip₀[g(w0_{+ x) − g(x), Π} 2σ(x)w0] = (λ + 2ε)Lip₀[g(w0_{+ x), g(x) + Π} 2σ(x)w0], isto ´e

(II) ≤ Lip₀[Π2σ(x), g(x + id) − g(x)]. (3.2)

Agora iremos mostrar que (I) = 0. Para isto, seja w, tal que h(x + w) = h(x) + y, isto ´e poss´ıvel, pois h ´e homeomorfismo. Observe que

k y k=k h(x + w) − h(x) k≥ [Lip(h−1)]−1 k (x + w) − x k≥k w k,

e que

(Γfg)(h(x) + y) = (Γfg)(h(x + w)) = (Γfg)(f1(x + w, g(x + w))) = f2(x + w, g(x + w)),

Pela escolha de w0_{, temos}

ΓDf[g(x + id) − g(x)](y) = p2Df (id, g(x + id) − g(x)) ◦ [p1Df (id, g(x + id) − g(x))]−1(y)

= p2Df (id, g(x + id) − g(x)) ◦ k−1(y)

= p2Df (id, g(x + id) − g(x))(w0)

(35)

Deste modo, n´os podemos expressar

(III) = k (Γfg)(h(x) + y) − g(h(x)) − ΓDf[g(id + x) − g(x)](y) k

= k p2◦ f (x + w, g(x + w)) − p2◦ f (x, g(x)) − p2Df (w0, g(x + w0) − g(x)) k

= k p2◦ Df (w, g(x + w) − g(x)) + p2◦ R[w, g(x + w) − g(x)]

−p2◦ Df (w0, g(x + w0) − g(x)) k

= k p2◦ Df (w − w0, g(x + w) − g(x + w0)) + p2◦ R[w, g(x + w) − g(x)] k,

onde, na pen´ultima igualdade, usamos o fato de que f (a + v) − f (a) = Df (a)v + R(v), onde

a = (x, g(x)) e v = (w, g(x + w) − g(x)).

Como k v k=k (w, g(x + w) − g(x)) k=k w k, pois como Lip(g) ≤ 1, k g(x + w) −

g(x) k≤k x + w − x k=k w k, pelo Teorema de Taylor

lim v→0 R(v) k v k = limw→0 R[w, g(x + w) − g(x)] k w k = 0. Assim (IV ) = (III) k y k ≤k p2Df k k w − w0 _k k y k + R[w, g(x + w) − g(x)] k y k .

Agora observe que (I) = lim sup

y→0

k [(Γfg)(h(x) + y) − g(h(x)) − ΓDf[g ◦ (id + x) − g(x)](y)] k

k y k

= lim sup

y→0 (IV ).

Note que lim

kyk→0 R[w, g(x + w) − g(x)] k y k ≤ limkwk→0 R[w, g(x + w) − g(x)] k w k = 0, pois k w k≤k y k e assim k y k→ 0 ⇒k w k→ 0.

Iremos agora mostrar que lim

kyk→0

k w − w0 _k

k y k = 0. Para isto, observe que y = h(x + w) − h(x) e h(x + w0_{) − h(x) = p} 1f (x + w0, g(x + w0)) − p1f (x, g(x)) = p1Df (w0, g(x + w0) − g(x)) + p1R(w0, g(x + w0) − g(x)), assim p1R(w0, g(x + w0) − g(x)) = h(x + w0) − h(x) − y = h(x + w0_{) − h(x) − h(x + w) + h(x)} = h(x + w0_{) − h(x + w),} mas k h(x + w0_{) − h(x + w) k≥ [Lip(h}−1_)]−1 _{k x + w}0_{− x − w k=k w − w}0 _k,

(36)

O caso f diferenci´avel 30 logo k w − w0 _{k≤k p} 1R(w0, g(x + w0) − g(x)) k . Ent˜ao lim kyk→0 k w − w0 _k k y k ≤ limkyk→0 k p1R(w0, g(x + w0) − g(x)) k k y k = 0 ⇒ limkyk→0 k w − w0 _k k y k = 0,

o que nos d´a (I) = 0.

Assim, por (3.1) e (3.2), temos

Lip₀[(Γfg)(h(x) + y), g(h(x)) − ΓDf[Π2σ(x)](y)]

≤ (λ + 2ε)Lip₀[g(x + y), g(x) + Π2σ(x)(y)]. (3.3)

Agora, usando o fato de que Γfg ≡ g e que ΓDf[Π2σ(x)] = Π2σh(x) (Lema 3.4),

temos

Lip₀[g(h(x) + y), gh(x) + Π2σh(x)(y)]

≤ (λ + 2ε)Lip₀[g(x + y), g(x) + Π2σ(x)(y)]. (3.4)

Como h−1_(E

1(r)) ⊂ E1(r) e x ∈ E1(r), vemos que h−n(x) ∈ E1(r) e ent˜ao por (3.4),

temos Lip₀[g(h−n_{(x) + y), gh}−n_{(x) + Π} 2σh−n(x)(y)] ≥ 1 λ + 2εLip0[g(h −n+1_{(x) + y), gh}−n+1_{(x) + Π} 2σh−n+1(x)(y)] ≥ 1 λ + 2ε· 1 λ + 2εLip0[g(h −n+2_{(x) + y), gh}−n+2_{(x) + Π} 2σh−n+2(x)(y)].

Repetindo-se esse processo n vezes, obtemos a seguinte estimativa: Lip₀[g(h−n_{(x) + y), gh}−n_{(x) + Π} 2σh−n(x)(y)] ≥ µ 1 λ + 2ε ¶_n

Lip₀[g(x + y), g(x) + Π2σ(x)(y)]. (3.5)

Queremos mostrar que Lip₀[g(x + y), g(x) + Π2σ(x)(y)] = 0. Suponhamos que n˜ao,

ent˜ao existe x ∈ E1(r) tal que Lip0[g(x + y), g(x) + Π2σ(x)(y)] = δ > 0, ou seja

lim sup

y→0

k g(x + y) − g(x) − Π2σ(x)(y) k

(37)

Logo existe seq¨uˆencia xn ∈ E1(r), tal que Lip0[g(xn+ y), g(xn) + Π2σ(xn)(y)] → ∞, ou seja

lim sup

y→0

k g(xn+ y) − g(xn) − Π2σ(xn)(y) k

k y k = ∞,

pois pela equa¸c˜ao (3.5) temos que seu segundo membro ´e infinito, visto que estamos supondo Lip₀[g(x + y), g(x) + Π2σ(x)(y)] = δ > 0 e

¡ ₁

λ+2ε

¢_n

→ ∞, pois 1

λ+2ε > 1.

Mas Lip(g) ≤ 1 e σ ∈ L1(E1, E2), ou seja, k σ k≤ 1, logo temos que k Π2σ(xn) k≤ 1.

Assim

Lip₀[g(xn+ y), g(xn) + Π2σ(xn)(y)] = lim sup y→0 k g(xn+ y) − g(xn) − Π2σ(xn)(y) k k y k ≤ lim sup y→0 k g(xn+ y) − g(xn) k

k y k + lim supy→0

k Π2σ(xn)(y) k

k y k ≤ lim sup

y→0

k xn+ y − xn k

k y k + lim supy→0 k Π2σ(xn) k

≤ 1 + 1 = 2,

o que contradiz o fato de que Lip₀[g(xn + y), g(xn) + Π2σ(xn)(y)] → ∞, logo n˜ao existe

x ∈ E1(r), tal que Lip0[g(x + y), g(x) + Π2σ(x)(y)] = δ > 0, ent˜ao

Lip₀[g(x + y), g(x) + Π2σ(x)(y)] = 0 ∀x ∈ E1(r).

Assim, como Π2σ(x) ´e linear, temos que Dg(x) = Π2σ(x).

¥

Para provar o ´ıtem (4) do Teorema 2.3, temos que f (0) = 0 e Df (0) = T . Pelo Lema 3.4, temos que ΓDf[Π2σ(x)] = Π2σf1(x, g(x)). Fazendo x = 0 temos que ΓT[Π2σ(0)] =

Π2σf1(0, g(0)) = Π2σ(0), ou seja, o gr´afico de Π2σ(0) ´e invariante por T . Mas sabemos que

o gráfico de E1 é o único invariante por ΓT. Assim

graf(Π2σ(0)) = graf(Dg(0)) = (E1, 0).

Portanto o gr´afico de g ´e tangente a E1 em zero.

(38)

De agora em diante, E(r) denota E1(r) × E2(r) e T E(r) = T E1(r) × T E2(r), o

fibrado tangente de E(r), ou seja, o conjunto {(x, v)/x ∈ E(r) e v ∈ TxE(r)}.

Definamos agora a fun¸c˜ao Tf : T E(r) → T E dada por, Tf(x, v) = (f (x), Df (x)v).

Note que:

(i) k Tf(0) k=k (f (0), Df (0)0) k=k f (0) k< δ.

(ii) Tf ´e Lipschitz.

Logo, pelo Teorema da Variedade Inst´avel, aplicado a Tf, existe uma aplica¸c˜ao

g : T E1(r) → T E2(r) cujo o gráfico é a variedade instável para Tf, ou seja, g é o ponto fixo

para a aplica¸cão ΓTf : Lip1(T E1(r), T E2(r)) → Lip1(T E1(r), T E2(r)) que é uma contra¸cão, pelo Lema 2.11.

Queremos encontrar quem é esse ponto fixo. E isto é feito pela seguinte proposi¸cão:

3.7 Proposi¸cão. A fun¸cão g : T E1(r) → T E2(r) dada por g(x, v) = (g(x), Dg(x)v) é o

ponto fixo de ΓTf.

Prova: Suponhamos que isto seja v´alido, logo

ΓTf(g)(x, v) = Tf2 ◦ (id, g) ◦ [Tf1 ◦ (id, g)]

−1_{(x, v).}

Seja [Tf1 ◦ (id, g)]−1(x, v) = (y, w). Assim

(g(x), Dg(x)v) = Tf2 ◦ (id, g)(y, w)

= Tf2 ◦ (y, w, g(y), Dg(y)w)

= Tf2((y, g(y)), (w, Dg(y)w))

= p2 ◦ Tf((y, g(y)), (w, Dg(y)w))

= p2(f (y, g(y)), Df (y, g(y)) · (w, Dg(y)w))

(39)

Mas

(x, v) = Tf1 ◦ (id, g)(y, w)

= Tf1 ◦ (y, w, g(y), Dg(y)w)

= p1◦ Tf((y, g(y)), (w, Dg(y)w))

= p1(f (y, g(y)), Df (y, g(y)) · (w, Dg(y)w))

= f (y, g(y)),

obtendo-se que x = f1(y, g(y)) e v = f2(y, g(y)). Substituindo estes valores na equa¸c˜ao (3.6)

temos

(g(f1(y, g(y))), Dg(f1(y, g(y))) · f2(y, g(y))) = Df (y, g(y)) · (w, Dg(y)w) ⇒

(f2(y, g(y)), Dg(f1(y, g(y))) · f2(y, g(y))) = Df (y, g(y)) · (w, Dg(y)w), (3.7)

pois no nosso caso f (y, g(y)) = (x, g(x)), visto que x = f1(y, g(y)).

Assim temos

Df (y, g(y)) · (grafDg(y)) = graf(Dg(f1(y, g(y)))),

como vimos no inicio do cap´ıtulo. Assim a equa¸cão (3.7) é satisfeita e nosso ponto fixo, é de fato, g(x, v) = (g(x), Dg(x)v).

¥ Note que

graf(g) = (x, v, g(x), Dg(x)v) = (graf(g), graf(Dg(x))) = (W₀u, T W₀u).

Já sabemos que se f é C1 _{então g é C}1_{. Suponhamos que o resultado seja válido}

para k − 1. Logo aplicando a hipótese de indu¸cão para Tf, temos que se Tf é Ck−1 então g

´e Ck−1_{. Sendo assim}

f ´e Ck_{⇒ T}

f é Ck−1 ⇒ g é Ck−1 ⇒ Dg é Ck−1⇒ g é Ck.

Isto prova o ´ıtem (4) e, por sua vez, o Teorema 2.3 est´a provado.

3.8 Observa¸c˜ao. O ´ıtem (4) do Teorema 2.3 tamb´em pode ser provado usando o Teorema

(40)

Cap´ıtulo 4

Variedades Centrais

Neste cap´ıtulo nós provaremos o Teorema da Variedade central que é uma genera-liza¸cão do Teorema da Variedade Instável.

4.1 Definição. Seja T : E → E uma aplica¸cão linear cont´ınua de um espa¸co de Banach E. T é ρ-pseudohiperbólico se existe uma decomposi¸cão em soma direta E = E1 ⊕ E2

T -invariante e constantes 0 < λ1 < ρ < µ1, e C1, C2 > 0 tal que:

(1) a restri¸c˜ao T1 de T a E1 ´e um isomorfismo e ∀n ≥ 0 e ∀v ∈ E1

k Tn

1(v) k≥ C1µn1 k v k;

(2) ∀n ≥ 0 e ∀v ∈ E2 e T2 a restri¸c˜ao de T a E2

k Tn

2(v) k≤ C2λn1 k v k .

Vemos claramente que uma aplica¸cão linear pseudohiperbólica é hiperbólica quando

ρ = 1. Se assumimos que a norma em E ´e adaptada para T , ent˜ao para 0 < λ < ρ < µ

temos:

(1) k T1(v) k> µ k v k para todo v 6= 0 em E1,

(2) k T2(v) k< λ k v k para todo v 6= 0 em E2.

(41)

4.2 Teorema. Seja T : E → E uma aplica¸cão linear cont´ınua ρ-pseudohiperbólica de um espa¸co de Banach E, com decomposi¸cão E = E1 ⊕ E2, métrica adaptada k k e constantes

0 < λ < ρ < µ tais que

k T1(v) k> µ k v k para todo v 6= 0 em E1,

k T2(v) k< λ k v k para todo v 6= 0 em E2.

Seja ε > 0 um número real tal que f : E → E é uma aplica¸cão lipschitz com f (0) = 0 e

Lip(f − T ) < ε, ent˜ao

(1) O conjunto W1 =

T

n≥0fnS1, onde S1 = {(x, y) ∈ E1× E2; k x k≥k y k} ´e o gr´afico de

uma fun¸c˜ao Lipschitz g : E1 → E2 com Lip(g) ≤ 1 e f (graf(g)) = graf(g).

(2) z ∈ W1 se, e somente se, existe a imagem inversa f−nz tal que k f−nz k /ρn → 0

quando n → ∞ ou quando k f−n_{z k /ρ}n _{→ 0 est´a limitado quando n → ∞.}

(3) Se f é Cr _{e µ}−j_{λ < 1 para 1 ≤ j ≤ r então g é C}r_{. Se f é diferenciável em 0 e se}

Df (0) = T então o gráfico de g é tangente a E1 em 0.

Para µ < 1, o gráfico de g é chamado de variendade instável central e denotado por

Wcu _{ou W}cu

f (0). Se λ > 1 o gráfico de g é chamado variendade instável forte e denotado por

Wuu _{ou W}uu f (0).

Se f ´e invert´ıvel ent˜ao considerando f−1 _{existe uma variedade invariante tangente}

a E2 em 0, que ´e a interse¸c˜ao

T

n≥0f−nS2, onde S2 = {(x, y) ∈ E1× E2; k x k≤k y k}. Essa

variedade é chamada de variedade centro estável se λ > 1 e variedade estável forte se µ < 1, e são denotadas por Wcs _{e W}ss _{respectivamente.}

Considere fun¸c˜oes g : E1 → E2 tais que g(0) = 0 e Lip(g) ≤ 1. Considere Df =



 A B

C K



, com E = E1 × E2, α = sup k A−1 k, k = sup k K k, b = sup k B k,

c = sup k C k . Quando k > 1, a transforma¸cão de gráfico, Γf, não é necessariamente uma

contra¸c˜ao na norma do sup, pois Γf(Lip1(E1, E2)) 6⊂ Lip1(E1, E2), como mostra o exemplo

abaixo.

3 Exemplo. Considere as seguintes fun¸c˜oes: f : R×R → R×R dada por f (x, y) = (4x, 10y), que ´e Lipschitz, e g : R → R dada por g(x) = 1

(42)

Variedades Centrais 36

menor do que um. Note que

h(x) = f1◦ (id, g)(x) = 4x ⇒ h−1(x) = 1 4x. Logo Γf(g)(x) = f2 ◦ (id, g)( 1 4x) = p2◦ f ( 1 4x, 1 8x) = 5 4x 6∈ Lip1(R, R). Ent˜ao definimos a seguinte m´etrica

k g1− g2 k∗= sup x6=0

k g1(x) − g2(x) k

k x k , x ∈ E1.

De acordo com o Lema 2.7 temos que h−1 _{´e Lipschitz com Lip(h}−1_{) ≤} 1

µ−ε, onde

h = f1◦ (id, g).

4.3 Lema. Com a norma k k∗ o espa¸co G = {g : E1 → E2|g(0) = 0 e k g k∗< ∞} ´e um

espa¸co de Banach e G(1) = {g ∈ G|Lip(g) ≤ 1} ´e um subconjunto fechado.

Prova: Seja gnuma sequˆencia de Cauchy em G. Ent˜ao gnconverge uniformemente

sobre os conjuntos limitados, logo pontualmente para uma fun¸c˜ao g. Assim para cada n, escolha m = m(x, n) ≥ n tal que kgm(x)−g(x)k

kxk < n1. Ent˜ao sup x6=0 k gn(x) − g(x) k k x k ≤ supx6=0 k gn(x) − gm(x) k k x k + k gm(x) − g(x) k k x k ≤ εn+ 1 n,

onde εn= supm≥n k gm−gn k∗ . Assim k gn−g k∗→ 0, quando n → ∞ e ent˜ao G ´e completo.

Mostraremos agora que G(1) ´e fechado. Para isto basta mostrarmos que quando

gn→ g, na nova m´etrica definida acima, e Lip(gn) ≤ 1 ent˜ao Lip(g) ≤ 1.

sup x6=0 k gn(x) − g(x) k k x k =k gn− g k∗< ε =⇒k gn(x) − g(x) k< ε k x k . Logo k g(x) k = k g(x) − g(0) k ≤ k gn(x) − g(x) k + k gn(x) k ≤ ε k x k + k x k = (ε + 1) k x k . Fazendo ε → 0 temos o resultado.

(43)

¥

4.4 Lema. Γf est´a bem definida e Γf : G(1) → G(1).

Prova: Para toda g ∈ G(1), Γf(g) est´a definida e

Lip(Γf(g)) ≤ Lip(f2)Lip(id, g)Lip(h−1)

≤ [Lip(T2) + Lip(p2◦ (f − T ))]

1

µ − ε ≤ λ + ε

µ − ε < 1,

para ε bastante pequeno.

¥ 4.5 Lema. Se k x k≥k y k e g ∈ G(1) ent˜ao k f2(x, y) − Γf(g)(f1(x, y)) k k f1(x, y) k < λ + 2ε µ − ε k y − g(x) k x k . Ver Figura 4.1. E1 E2 (x,y) g(x) x f (x,y)1 Gf(g)f (x,y)1 Figura 4.1: Lema 4.5.

Prova: Primeiro, note que

k f1(x, g(x)) − f1(x, y) k ≤ k f1(x, g(x)) − T1(x, g(x)) + T1(x, g(x)) −T1(x, y) + T1(x, y) − f1(x, y) k ≤ k (f1 − T1)(x, g(x)) − (f1− T1)(x, y) k + k T_| 1(x, g(x)) − T_{z 1(x, y) k_} =0 ≤ ε k y − g(x) k, e que

(44)

Variedades Centrais 38 k f1(x, y) k = k T1(x, y) + f1(x, y) − T1(x, y) k ≥ k T1(x, y) k − k (f1− T1)(x, y) k ≥ µ k x k −ε k (x, y) k = (µ − ε) k x k, (4.1) pois k x k>k y k. Logo k f2(x, y) − Γf(g)(f1(x, y)) k ≤ k f2(x, y) − f2(x, g(x)) + f2(x, g(x)) − Γf(g)(f1(x, y)) k ≤ k f2(x, y) − f2(x, g(x)) k + k f2(x, g(x)) − Γf(g)(f1(x, y)) k ≤ Lip(f2) k y − g(x) k + k Γf(g)(f1(x, g(x))) − Γf(g)(f1(x, y)) k ≤ (λ + ε) k y − g(x) k +Lip(Γf(g)) k f1(x, g(x)) − f1(x, y) k ≤ (λ + ε) k y − g(x) k +ε k y − g(x) k ≤ (λ + 2ε) k y − g(x) k . (4.2)

Das equa¸c˜oes (4.1) e (4.2) temos

k f2(x, y) − Γf(g)(f1(x, y)) k k f1(x, y) k < λ + 2ε µ − ε k y − g(x) k k x k . ¥ 4.6 Lema. Para g, g0 _{∈ G(1)} k Γf(g) − Γf(g0) k∗≤ λ + 2ε µ − ε k g − g 0 _k ∗ . Prova: Seja (x, y) = (h−1_{(z), g}0_(h−1_(z))), _{z ∈ E}

1, ou seja, (x, y) ∈ graf(g0). Note

que

Γfg0(z) = f2◦ (id, g0) ◦ [f1◦ (id, g0)]−1(z)

= f2◦ (h−1(z), g0(h−1(z)))