Modelamento e simulação de processos

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Modelamento

e simulação de

processos

4. Método de Monte Carlo Prof. Dr. André Carlos Silva

(2)

1. INTRODUÇÃO

 O Método de Monte Carlo (MMC) é um

método estatístico utilizado em simulações estocásticas com diversas aplicações em áreas como a física, matemática e biologia.

 O método de Monte Carlo tem sido utilizado

há bastante tempo como forma de obter aproximações numéricas de funções

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1. INTRODUÇÃO

 Este método tipicamente envolve a geração de observações de alguma

distribuição de probabilidades e o uso da amostra obtida para aproximar a função de interesse.

 As aplicações mais comuns são em computação numérica para avaliar integrais.

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1. INTRODUÇÃO

 A idéia do método é escrever a integral que se deseja calcular como um valor esperado.

 De acordo com (HAMMERSELEY,1964) o nome "Monte Carlo" surgiu durante o projeto Manhattan na Segunda Guerra Mundial.

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1. INTRODUÇÃO

 No projeto e de construção da bomba atómica, Ulam, von Neumann e Fermi

consideraram a possibilidade de utilizar o método, que envolvia a simulação direta de problemas de natureza probabilística relacionados com o coeficiente de

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1. INTRODUÇÃO

 Apesar de ter despertado a atenção desses

cientistas em 1948, a lógica do método já era conhecida há bastante tempo.

 Por exemplo, existe um registro de um artigo

escrito por Lord Kelvin dezenas de anos antes que já utilizava técnicas de Monte Carlo em uma discussão das equações de Boltzmann.

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1. INTRODUÇÃO

 Monte Carlo é uma cidade de Mônaco, a nordeste da capital do Principado

(Monaco-Ville).

 Conhecida estância luxuosa, conhecida pelo seu glamour, celebridades que

enxameiam as revistas cor de rosa, praias e cassinos.

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1. INTRODUÇÃO

 É em Monte Carlo que se situa o Circuito de Mônaco, onde ocorre o Grande

Prêmio de Mônaco de Fórmula Um.

 É palco, ainda, de competições de boxe, apresentações de moda e outros eventos de grande repercussão cultural.

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1. INTRODUÇÃO

 De uma maneira geral o MMC pode ser sumarizado como:

O evento irá ocorrer com probabilidade p.

0 232-1 1.0 0.0 p ocorre Rp não ocorre R >p

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2. Classes do MME

 Existem três classes de algoritmos Monte Carlo:

 Erro-Unilateral;

 Erro-Bilateral e

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2.1. MME de Erro-Unilateral

 Seja P um problema e A um algoritmo aleatório, A é um algoritmo Monte Carlo de Erro-Unilateral que resolve P se, e

somente se:

 i) para toda configuração x que é solução

de P:

 ii) para toda configuração x que não é

solução de P:









2

1 



SIM

x

A

prob







A

x



NÃO





1 prob

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2.1. MME de Erro-Unilateral

 Ou seja, sempre que a resposta é NÃO, o algoritmo garante a certeza da resposta.  Contudo, se a resposta for SIM, o

algoritmo não garante que a resposta está correta.

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2.2. MME de Erro-Bilateral

 Um algoritmo aleatório A é um algoritmo de Monte Carlo de Erro-Bilateral que

computa o problema F se existe um

número real ε, tal que para toda instância x de F:

 













2

1 x

F

x

A

prob

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2.3. MME de Erro-Não-Limitado

 Os algoritmos de Monte Carlo de

Erro-Não-Limitado são comumente chamados de Algoritmos Monte Carlo.

 Um algoritmo aleatório A é um algoritmo de Monte Carlo se para qualquer

entrada x do problema F:

   





2

1 



F

x

A

prob

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3. Algoritmo de Metropolis

 O algoritmo de Metropolis, também

conhecido por Algoritmo de Metropolis-Hastings, foi apresentado inicialmente em 1953 num artigo de Nicholas Metropolis, Arianna Rosenbluth, Marshall Rosenbluth, Augusta Teller e Edward Teller.

 Em 1970 este algoritmo foi generalizado por W. K. Hastings.

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3. Algoritmo de Metropolis

 Este é provavelmente o método de Monte

Carlo mais utilizado na Física, e tem como objetivo determinar valores esperados de propriedades do sistema simulado, através de uma média sobre uma amostra.

 O algoritmo é concebido de modo a se

obter uma amostra que siga a distribuição de Boltzmann.

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3. Algoritmo de Metropolis

 Para se determinar a probabilidade de uma

dada configuração, seria necessário

conhecer a chance de ocorrência de todas as outras configurações.

 No caso de variáveis contínuas, seria

necessário uma integração da densidade de probabilidade sobre todo o espaço de

configurações, mas esse procedimento fica muito custoso quando se utiliza um número de variáveis da ordem de centenas.

(21)

3. Algoritmo de Metropolis

 A eficiência do algoritmo de Metropolis está diretamente ligada ao fato de não levar em conta a probabilidade das

configurações em si, mas sim a razão entre elas, pois a razão entre as

probabilidades de duas dadas

configurações pode ser determinada independentemente das outras.

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3. Algoritmo de Metropolis

 Dadas duas configurações m e n

quaisquer, a razão entre a probabilidade da configuração m, P_m, e a

probabilidade da configuração n, P_n, pode ser escrita como:













_



































T

k

U

T

k

U

T

k

U

P

b n m b n b m n m

_exp

exp

(23)

3. Algoritmo de Metropolis

 A partir dessa igualdade, o algoritmo de Metropolis pode ser implementado

através do seguinte conjunto de regras:

 (a) Geração de uma configuração inicial

aleatória, ou seja, com valores aleatórios para todos os graus de liberdade do

sistema, respeitando as suas restrições. Vamos atribuir o índice m a essa

configuração, que é aceita para a amostra.

(24)

3. Algoritmo de Metropolis

 (b) Geração de uma nova

configuração-tentativa de índice n, resultado de pequenas alterações nas coordenadas da configuração

m.

 (c) Se a energia da configuração n for menor

que a da configuração m, inclui-se a

configuração n na nossa amostra, e se atribui a ela o índice m a partir desse momento. Caso contrário, realizam-se os passos descritos nos subitems (c1) e (c2) abaixo:

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3. Algoritmo de Metropolis

 (c1) Gera-se um número aleatório entre 0 e 1;  (c2) Se esse número aleatório for menor que

P_n/P_m, aceita-se na amostra a configuração

n, e se atribui a ela o índice m. Caso

contrário, o índice m permanece designando a configuração original.

 (d) Repete-se os passos (b) e (c) até que

algum critério de parada seja satisfeito. Cada uma dessas repetições é dita um passo (ou iteração) de Monte Carlo (MC).

(26)

(27)

4. Exemplo 1 – π

 Neste exemplo um algoritmo de Monte Carlo simples é usado para calcular o valor de π usando uma seqüência de números aleatórios.

 Considere o quadrado colocado no plano x-y com a extremidade inferior

esquerda na origem como mostrado na figura abaixo.

(28)

4. Exemplo 1 – π

x y

r

(29)

4. Exemplo 1 – π

 A área do quadrado é r2, onde r é o comprimento do seu lado.

 Um quarto de um círculo é inscrito no quadrado.

 Seu raio é r e seu centro está na origem do plano x-y.

(30)

4. Exemplo 1 – π

 A área da quarta parte do círculo A é dada por:

 Pelo Método de Monte Carlo: 2

4

1 r

A





total

in

P

l

A



2

(31)

4. Exemplo 1 – π

 Onde P_in é o número de pontos sorteados aleatoriamente que ficaram dentro da área em amarelo, e o P_total é o número total de pontos gerados.

 Considerando que o lado = raio = 1, temos: total in

P

4 



(32)

4. Exemplo 1 – π

 O algoritmo de cálculo consiste então em gerar pontos P(x, y), sendo x e y [0, 1] e, de posse deste ponto verificar se

este se encontra (ou não) dentro da área do círculo.

 Lembrando que equação da circunferência é:

1

2 2 2





r

y

x

(33)

(34)

(35)

4. Exemplo 2 –

Decaimento nuclear

 Os núcleos radioativos possuem uma probabilidade p de decair em cada intervalo de tempo.

 Desta forma o processo de decaimento nuclear é um processo determinístico dado por:

(36)

4. Exemplo 2 –

Decaimento nuclear

N

₁

= (1 – p) N

₀

N

₂

= (1 – p)

2

_N

0

N

₃

= (1 – p)

3

_N

0

N

₄

= (1 – p)

4

_N

0

.

N

_i

= (1 – p)

i

_N

0

(37)

4. Exemplo 2 –

Decaimento nuclear

 Se agora modelarmos o processo cmo

sendo um processo estocástico podemos verificar individualmente quantos núcleos decaem em cada intervalo de tempo, da seguinte forma:

1.0

0.0 _p

(38)

p=0.03 p=0.06

(39)

4. Exemplo 3 –

Partículas em uma caixa

 Uma caixa é separada em dois compartimentos.

Inicialmente todas as partículas estão no compartimento da esquerda, quando uma passagem é aberta.

(40)

4. Exemplo 3 –

Partículas em uma caixa

 A cada intervalo de tempo uma partícula é escolhida para trocar de

compartimento.

 Todas as partículas tem a mesma

(41)

(42)

4. Exemplo 3 –

Partículas em uma caixa

 Sorteia-se uma das N partículas e troca a partícula de compartimento.

 Como as partículas são idênticas (indistinguíveis), temos:

1.0 0.0

esquerda/N

(43)

4. Exemplo 3 –

Partículas em uma caixa

 Para t >> 1 teremos (em média) a mesma quantidade de partículas nos dois

(44)

4. Exemplo 4 –

Caminhada aleatória

 Uma dada partícula escolherá

aleatoriamente para qual direção irá se mover.

 Tanto o tempo quanto o espaço são discretos.

(45)

4. Exemplo 4 –

Caminhada aleatória

 Caminhada aleatória em 1D

 A partícula escolherá aleatoriamente para

qual direção irá se mover (direita ou esquerda).

(46)

4. Exemplo 4 –

Caminhada aleatória

(47)

4. Exemplo 4 –

Caminhada aleatória

(48)

4. Exemplo 4 –

Caminhada aleatória

(49)

4. Exemplo 4 –

Caminhada aleatória

(50)

4. Exemplo 4 –

Caminhada aleatória

 Caminhada aleatória com tendência

 Persistente – prefere se mover na mesma

direção do passo anterior.

 Probabilidade p de manter a direção.  p = ½ caminho aleatório padrão

 p = 1 movimento uniforme  p =0 vai e volta

 Anti-persistente – prefere se mover direção

(51)

4. Exemplo 4 –

Caminhada aleatória

qual direção irá se mover (cima, baixo, direita ou esquerda).

(52)

4. Exemplo 4 –

Caminhada aleatória

(53)

4. Exemplo 4 –

Caminhada aleatória

(54)

4. Exemplo 4 –

Caminhada aleatória

(55)

4. Exemplo 4 –

Caminhada aleatória

 Caminhada aleatória em 2D - Self-avoid

walker

 Ele não passa por uma posição que já

tenha sido ocupada anteriormente.

 Desta forma deve-se verificar quais são as

(56)

4. Exemplo 4 –

Caminhada aleatória

walker

 A simulação termina quando não existe

mais opção de movimentação.

 Esta técnica é amplamente utilizada para

(57)

4. Exemplo 4 –

Caminhada aleatória

walker

(58)

4. Exemplo 4 –

Caminhada aleatória

walker

 Existem caminhantes mais inteligentes, com

previsão de dois passos, para evitar armadilhas.

(59)

4. Exemplo 4 –

Caminhada aleatória

walker

 Pode-se incluir campos que interferem na

direção ou na probabilidade de

crescimento do polímero, simulando experimentos reais.

(60)

4. Exemplo 4 –

Caminhada aleatória

(61)

5. Integração pelo MMC

 A integração deve ocorrer em um

intervalo limitado (cálculo de uma área).  As coordenadas (x,y) dos pontos são

escolhidas aleatoriamente, sorteando-se dois números aleatórios independentes.

(62)

5. Integração pelo MMC

a b x y f(x)

 

N

n

A

dx

x

f

b a





(63)

5. Integração pelo MMC

a b x y f(x) g(x)

 





N

n

A

dx

x

g

x

f

b a







(

)

(64)

5. Integração pelo MMC

 O gráfico abaixo apresenta o resultado da integral de f(x)=1/(1+x2_{) no intervalo}

(65)

5. Integração pelo MMC

 Como exemplo seja estimar a área ocupada por cada espécie em um coral.

1. Identificar a região de área A;

2. Escolher aleatoriamente as coordenadas

do ponto;

3. Identificar a espécie que ocupa o local e

(66)

(67)

5.1. Integração pelo MMC

em n dimensões

 No caso de n dimensões, devemos escolher n

coordenadas aleatórias e verificar se o ponto está no interior da região de interesse, ou

não.

 Tomemos como exemplo uma hiperesfera

(S3_{), sendo esta definida como o lugar}

geométrico dos pontos (x,y,z,w) do R4_que

(68)

 Introdução

 Construção de uma teoria microscópica

da transição ferromagnética;

 Modelo simples (mas não trivial);

 Interações de curto alcance numa rede

d-dimensional.

(69)

6. Modelo de Ising

 Hamiltoniano de spin:

 Onde:

 σ_i = ±1;

 J é a constante de acoplamento entre os

spins;

 H é o campo magnético externo.

 









N i i N j i j i

H

J

1 ,



H

(70)

 Interpretações:

 Spin “aponta” para cima ou para baixo;

 Ocupação de um sítio por uma partícula

do tipo A ou B, como numa liga binária do tipo AB (vizinhos iguais contribuem com

uma energia –J; vizinhos distintos, com uma energia +J);

(71)

 Interpretações:

 Número de ocupação – presença ou

ausência de uma molécula numa

determinada célula de um “gás de rede”.

(72)

6. Modelo de Ising

 Resolver o modelo de Ising significa

escrever a função de partição canônica.

 Várias técnicas foram desenvolvidas para tentar resolver o modelo de Ising em 2 ou 3 dimensões.









 







N N i

N

H

T

Z





H

exp

,

(73)

 Podemos estudar fenômenos magnéticos a partir do modelo de Ising, que

considera momentos magnéticos (spins) localizados, distribuídos em uma rede.  No caso mais simples, consideramos que

cada spin interage apenas com os seus primeiros vizinhos.

(74)

 Interações entre segundos vizinhos podem ser

incluídas no modelo, possibilitando o

aparecimento de interações competitivas, dependendo de alguns parâmetros físicos.

 O modelo de Ising pode ser estudado de

diferentes maneiras, entre elas a técnica de Monte Carlo e a aproximação de Campo médio.

(75)

 A técnica de Monte Carlo consiste em obter uma seqüência de configurações do sistema de uma maneira estocástica, que depende de números aleatórios

gerados durante a simulação.

(76)

6. Modelo de Ising

 Para uma quantidade Q, magnetização ou energia, por exemplo, o seu valor

médio é definido por:

 



    



_M i c E M i c E i i i

e

c

Q

1 1  

(77)

 Onde E(c_i) a energia da n-ésima configuração.

 Como é praticamente impossível que todas as configurações sejam somadas em um sistema com muitos graus de

liberdade, então soma-se as M

configurações mais importantes numa dada temperatura.

(78)

6. Modelo de Ising

 Suponhamos que essas configurações mais importantes sejam escolhidas com uma certa probabilidade.

 Então passa a ser:

 

i M i c E i M i c E i

c

P

e

c

P

e

c

Q

i i

/

1 1





























      

(79)

 No modelo de Ising com técnica de

Monte Carlo, começa-se com uma rede de spins S_i = +/- 1 dispostos

aleatoriamente.

 Escolhe-se um spin e faz-se a mudança

S_i = - S_i

(80)

 Se a diferença de energia entra a

configuração após a mudança e antes dela ΔE = E(-S_i) – E(S_i), for negativa

aceitamos essa mudança em S_i.  Se ΔE > 0, aceitamos a nova

configuração com a probabilidade

exp(ΔE / kT).

(81)

 Na simulação isso é feito sorteando um número aleatório r no intervalo de 0 < r < 1 e se exp(ΔE / kT) > r também aceitamos a mudança.

 Só rejeitamos se exp(ΔE / kT) < r.

(82)

6. Modelo de Ising

 É percorrida toda a rede fazendo essa mudança, após terminado, pega-se a configuração final de spins para calcular a média termodinâmica de acordo com a equação: