MATEMÁTICA Revisão II Módulo 1. Professor Marcelo Gonzalez Badin

• Professor

Marcelo Gonzalez Badin

MATEMÁTICA

1.(Unicamp-2009) Duas locadoras de automóveis oferecem planos diferentes para a diária de um veículo econômico. A locadora Saturno cobra uma taxa fixa de R$ 30,00, além de R$ 0,40 por quilômetro rodado. Já a locadora

Mercúrio tem um plano mais elaborado: ela cobra uma taxa fixa de R$ 90,00 com uma franquia de 200 km, ou seja, o cliente pode percorrer 200 km sem custos adicionais. Entretanto, para cada km rodado além dos 200 km incluídos na franquia, o cliente deve pagar R$ 0,60.

a) Para cada locadora, represente no gráfico abaixo a função que descreve o custo diário de locação em termos da distância percorrida no dia.

b) Determine para quais intervalos cada locadora tem o plano mais barato. Supondo que a locadora Saturno vá manter inalterada a sua taxa fixa, indique qual deve ser seu novo custo por km rodado para que ela, lucrando o máximo possível, tenha o plano mais vantajoso para clientes que rodam quaisquer distâncias.

0,60x–30 se x ≥ 200

a) x = nº de km rodados

S(x) = diária loc. Saturno

M(x) = diária loc. Mercúrio

Temos:

S(x) = 30 + 0,40x

M(x) =

90 se 0 ≤ x ≤ 200

S

M

b) S(x) = M(x)

Se 0 ≤ x ≤ 200

30 + 0,40x = 90 ⇒

⇒

⇒ x = 150

⇒

Se x ≥ 200, temos:

30 + 0,40x = 0,60x – 30

⇒

⇒

⇒

⇒ x = 300.

Saturno tem plano mais barato se 0 < x < 150 ou x > 300

Mercurio tem plano mais barato se 150 < x < 300

Para 150 ou 300 km as duas são equivalentes. Para x km:

Saturno tem plano mais vantajoso e maior lucro se o gráfico de

S’(x) = 30 + ax(a = custo por km) passar pelo ponto (200, 90)

Uma empresa fabricante de aparelhos que tocam músicas no formato MP3 efetuou um levantamento das vendas dos modelos que ela produz. Um resumo do levantamento é apresentado na tabela ao lado.

2. (Unicamp 2010)

a) Em face dos ótimos resultados obtidos nas vendas, a empresa resolveu sortear um prêmio entre seus clientes. Cada proprietário de um aparelho da empresa receberá

um cupom para cada R$ 100,00 gastos na compra, não sendo possível receber uma fração de cupom. Supondo que cada proprietário adquiriu apenas um aparelho e que todos os proprietários resgataram seus cupons, calcule o número total de cupons e a probabilidade de que o prêmio seja entregue a alguma pessoa que tenha adquirido um aparelho com preço superior a R$ 300,00.

O número total de cupons é 78 + 70 + 52.2 + 36.3 = 360 mil

Assim, a probabilidade pedida é

360

= 30%

Uma empresa fabricante de aparelhos que tocam músicas no formato MP3 efetuou um levantamento das vendas dos modelos que ela produz. Um resumo do levantamento é apresentado na tabela ao lado.

2. (Unicamp 2010)

b) A empresa pretende lançar um novo modelo de aparelho. Após uma pesquisa de mercado, ela descobriu que o número de aparelhos a serem vendidos anualmente e o preço do novo

modelo estão relacionados pela função n(p) = 115 – 0,25p, em que n é o número de aparelhos (em milhares) e p é o preço de cada aparelho (em reais). Determine o valor de p que maximiza a receita bruta da empresa com o novo modelo, que é dada por n × p.

A receita anual é

R = (115 – 0,25p).p

R = – 0,25p

_{+ 115p}

p

R

_{R é máx. para p =}

– 115

2.(– 0,25)

= 230

O preço que maximiza a

receita é R$ 230,00

O decaimento radioativo do estrôncio 90 é descrito pela função

P(t) = P

_·2

_{, onde t é um instante de tempo, medido em anos, b é uma constante real}

e P

é a concentração inicial de estrôncio 90, ou seja, a concentração no instante t = 0.

a) Se a concentração de estrôncio 90 cai pela metade em 29 anos, isto é, se a meia-vida

do estrôncio 90 é de 29 anos, determine o valor da constante b.

0

P

2

P(29) =

P

P 2

2

⋅

=

(P

≠

₀₎

1

2

2

₌

2

_{= 2}

– 29b = – 1

1

b

29

=

3.(Unicamp 2007)

O decaimento radioativo do estrôncio 90 é descrito pela função

P(t) = P

_·2

_{, onde t é um instante de tempo, medido em anos, b é uma constante real}

e P

é a concentração inicial de estrôncio 90, ou seja, a concentração no instante t = 0.

b) Dada uma concentração inicial P

, de estrôncio 90, determine o tempo necessário

para que a concentração seja reduzida a 20% de P

. Considere log

_{10 ≈ 3,32.}

Como

b

1

29

=

, temos

P(t)

= ⋅

P 2

Devemos ter P(t) = 20%.P

2

P 2

P

10

⋅

=

⋅

(P

≠

₀₎

2

2

10

=

t

2

log

29

10





−

=









t

log 2 log 10

29

−

=

−

t

1 3, 32

29

−

= −

t

2, 32

29

−

= −

t = 67,28

O tempo necessário

é 67,28 anos

3. (Unicamp 2007)

4. (Vunesp-2006) O gráfico mostra, aproximadamente, a porcentagem de domicílios no Brasil que possuem certos bens de consumo. Sabe-se que o Brasil possui aproximadamente 50 milhões de domicílios, sendo 85% na zona urbana e 15% na zona rural.

Admita que a distribuição percentual dos bens, dada pelo gráfico, mantenha a proporcionalidade nas zonas urbana e rural.

a) Escrevendo todos os cálculos efetuados, determine o

número de domicílios da zona rural e, dentre esses, quantos têm máquina de lavar roupas e quantos têm televisor,

separadamente.

O número de domicílios da zona rural é 15% de 50 milhões 0,15.50 milhões = 7,5 milhões

Dentre esses:

• 30% têm máquina de lavar roupa, isto é: 0,3.7,5 milhões = 2,25 milhões • 90% têm televisor, isto é: 0,9.7,5 milhões = 6,75 milhões

4. (Vunesp-2006) O gráfico mostra, aproximadamente, a porcentagem de domicílios no Brasil que possuem certos bens de consumo. Sabe-se que o Brasil possui aproximadamente 50 milhões de domicílios, sendo 85% na zona urbana e 15% na zona rural.

Admita que a distribuição percentual dos bens, dada pelo gráfico, mantenha a proporcionalidade nas zonas urbana e rural.

b) Considere os eventos T: o domicílio tem telefone e F: o domicílio tem freezer. Supondo independência entre esses dois eventos, calcule a probabilidade de ocorrer T ou

F, isto é, calcule P(T »»»_{» F). Com base no resultado obtido,}

calcule quantos domicílios da zona urbana têm telefone

ou freezer.

P(T

∪

∪

∪

∪

F) = P(T) + P(F) – P(T

∩

∩

∩

∩

F)

Como T e F são independentes, P(T

∩

∩

∩

∩

F) = P(T).P(F) e

P(T

∪

∪

∪

∪

F) = P(T) + P(F) – P(T).P(F)

P(T

∪

∪

∪

∪

F) = 60% + 20% – 60%.20%

P(T

∪

∪

∪

∪

F) = 68%

Assim, o número de domicílios da zona urbana com telefone ou freezer é

68% de 85% de 50 milhões = 0,68.0,85%.50 milhões = 28,9 milhões

5. (Unicamp-2008) Considere a sucessão de figuras apresentada a seguir. Observe que cada figura é formada por um conjunto de palitos de fósforo.

a) Suponha que essas figuras representam os três primeiros termos de uma sucessão de figuras que seguem a mesma lei de formação. Suponha também que F₁, F₂ e F₃ indiquem, respectivamente, o número de palitos usados para produzir as figuras 1, 2 e 3, e que o número de fósforos utilizados para formar a figura n seja F_n. Calcule F₁₀ e escreva a expressão geral de F_n.

b) Determine o número de fósforos necessários para que seja possível exibir concomitantemente todas as primeiras 50 figuras.

5. (Unicamp-2008)

F

= 4

a)

F

= 12

F

= 20

Como as figuras seguem a mesma lei de formação, a sequência F

, F

, F

,...

é um progressão aritmética de primeiro termo F

= 4 e razão r = 8.

F

= F

+ (n – 1)r

F

= 4 + (n – 1).8

F

= 8n – 4

F

= 8.10 – 4

F

= 76

(4 + 8.50 – 4).50

5. (Unicamp-2008)

b)

F

= 8n – 4

O número total de fósforos é dado pela soma dos 50 primeiros termos da P.A.

S

=

(F

+ F

).50

F

= 4

2

=

2

400.50

=

2

= 10000

O número de fósforos necessários para que seja possível exibir

concomitantemente todas as primeiras 50 figuras é igual a 10 mil

Um restaurante a quilo vende 100kg de comida por dia, a R$ 15,00 o quilograma. Uma pesquisa de opinião revelou que, a cada real de aumento no preço do quilo, o restaurante deixa de vender o equivalente a 5kg de comida.Responda às perguntas abaixo, supondo corretas as informações da pesquisa e definindo a receita do restaurante como o valor total pago pelos clientes.

a) Em que caso a receita do restaurante será maior: se o preço subir para R$ 18,00/kg ou para R$ 20,00/kg?

6. (Unicamp 2007)

A receita do restaurante é

(Nº de kg vendidos).(preço cobrado por kg)

Receita atual: 100.15,00 = 1500,00

Aumentando 3,00: (100 – 3.5) .18,00 = 1530,00

Aumentando 5,00: (100 – 5.5) .20,00 = 1500,00

Um restaurante a quilo vende 100kg de comida por dia, a R$ 15,00 o quilograma. Uma pesquisa de opinião revelou que, a cada real de aumento no preço do quilo, o restaurante deixa de vender o equivalente a 5kg de comida.Responda às perguntas abaixo, supondo corretas as informações da pesquisa e definindo a receita do restaurante como o valor total pago pelos clientes.

b) Formule matematicamente a função f(x), que fornece a receita do restaurante como função da quantia x, em reais, a ser acrescida ao valor atualmente cobrado pelo quilo da refeição.

c) Qual deve ser o preço do quilo da comida para que o restaurante tenha a maior

receita possível?

6. (Unicamp 2007)

x = quantia, em reais, acrescida ao preço do quilo

b) f(x) = (100 – 5x).(15 + x)

f(x) = 5(20 – x).(15 + x)

f(x) = – 5x

_{+ 25x + 1500}

x

f(x)

c) f(x) é máx. para x = x

=

– 15 + 20

2

x = 2,50

Para que o restaurante

tenha a maior receita,

o preço do quilo deve

ser R$ 17,50

7.(UFJF-2006) Um jornalista foi designado para cobrir uma reunião de ministros de estado. Ao chegar ao local da reunião descobriu que havia terminado. Ao perguntar ao porteiro o número de ministros presentes, ele disse “Ao saírem, todos os ministros se cumprimentaram mutuamente, num total de 15 apertos de mão”.

Com base nessa informação, qual foi o número de ministros presentes ao encontro?

x = número de ministros presentes

Número de apertos de mão = 15

x.(x – 1)

2!

= 15

x

_{– x – 30 = 0}

x = 6

x = –5

O número de ministros presentes

ao encontro foi 6

8. (Fuvest-2006) Uma função f satisfaz a identidade f(ax) = a.f(x)

para todos os números reais a e x. Além disso, sabe-se que f(4) = 2.

Considere ainda a função g(x) = f(x – 1) + 1 para todo o número real x.

a) Calcule g(3).

f(ax) = a.f(x), para todos os números reais a e x.

a) g(x) = f(x – 1) + 1

1

1

f 4

2

2

2





⋅

= ⋅









Fazendo x = 4, temos: f(a.4) = a.f(4)

Como f(4) = 2, temos f(a.4) = a.2

Portanto f(4a) = 2a, para todo real a.

g(3) = f(3 – 1) + 1

g(3) = f(2) + 1

Mas f(4a) = 2a. Fazendo a = ½, temos:

⇒ f(2) = 1

∴

g(3) = 1 + 1

8. (Fuvest-2006) Uma função f satisfaz a identidade f(ax) = af(x)

para todos os números reais a e x. Além disso, sabe-se que f(4) = 2.

Considere ainda a função g(x) = f(x – 1) + 1 para todo o número real x.

b) Determine f(x), para todo x real.

b) f(4a) = 2a, para todo real a.

x

x

f 4

2

4

4





⋅

= ⋅









( )

x

f x

2

=

Para determinar f(x), basta fazer

a

x

4

8. (Fuvest-2006) Uma função f satisfaz a identidade f(ax) = af(x)

para todos os números reais a e x. Além disso, sabe-se que f(4) = 2.

Considere ainda a função g(x) = f(x – 1) + 1 para todo o número real x.

c) Resolva a equação g(x) = 8.

c) Do item anterior, temos

f x

( )

x

2

=

x 1

2

−

g(x) = f(x – 1) + 1

g(x) =

+ 1

x 1 2

g(x)

2

− +

=

x 1

g(x)

2

+

=

g(x) = 8

x 1

8

2

+ =

x + 1 = 16

_{S = {15}}

x = 15

14.(Unicamp-2004) A cidade de Campinas tem 1 milhão de habitantes e estima-se que 4% de sua população viva em domicílios inadequados. Supondo-se que, em média, cada

domicílio tem 4 moradores, pergunta-se:

a) Quantos domicílios com condições adequadas tem a cidade de Campinas?

b) Se a população da cidade crescer 10% nos próximos 10 anos, quantos domicílios deverão ser construídos por ano para que todos os habitantes tenham uma moradia adequada ao final desse período de 10 anos? Suponha ainda 4 moradores por domicílio, em média.

a) O número de domicílios em condições adequadas é 96% de 1000000

4 =

= 0,96.250000 = 240000

b) Em 10 anos a população de Campinas será igual a 1,1.1000000= 1100000 habitantes Como cada domicílio comporta, em média, 4 pessoas, o número de domicílios necessário é

1100000 4

= 275000. Assim, em 10 anos é preciso construir

Considere a matriz , cujos coeficientes são números reais.

16.(Unicamp 2010)

a

a

a

A

a

a

a

a

a

a









=

_

_









a) Suponha que exatamente seis elementos dessa matriz são iguais a zero. Supondo também que não há nenhuma informação adicional sobre A, calcule a probabilidade de que o

determinante dessa matriz não seja nulo.

O número de casos possíveis é dado pelo número de possibilidades de

alocar de maneira não ordenada os três elementos não nulos

3!

= 84

9.8.7

Se colocarmos os 3 elementos não nulos em uma única fila ou ainda em exatamente duas filas, sobrará uma fila nula e, assim, o determinante será nulo.

Logo, os 3 elementos não nulos devem ocupar filas diferentes.

Para colocarmos o primeiro elemento não nulo na primeira coluna, temos 3 possibilidades. Para colocarmos o segundo elemento não nulo na segunda coluna, temos 2 possibilidades. E para colocarmos o terceiro elemento na terceira coluna, uma única possibilidade.

Portanto o número de casos favoráveis é 3 ···· 2 ···· 1 = 6.

84

Assim, a probabilidade é

6

=

14

1

Considere a matriz , cujos coeficientes são números reais.

a

a

a

A

a

a

a

a

a

a









=

_

_









a) Suponha que exatamente seis elementos dessa matriz são iguais a zero. Supondo também que não há nenhuma informação adicional sobre A, calcule a probabilidade de que o

determinante dessa matriz não seja nulo.

b) Suponha, agora, que a_ij = 0 para todo elemento em que j > i, e que a_ij = i – j + 1 para os elementos em que j ≤ i. Determine a matriz A, nesse caso, e calcule sua inversa, A–1_.

17. (Fuvest-2009) Para cada número real m, considere a função quadrática f(x) = x2 _{+ mx + 2.}

Nessas condições:

a) Determine, em função de m, as coordenadas do vértice da parábola de equação y = f(x). b) Determine os valores de m∈ IR para os quais a imagem de f contém o conjunto

{y ∈ IR : y _{≥ 1}.}

c) Determine o valor de m para o qual a imagem de f é igual ao conjunto {y ∈ IR : y _{≥ 1} e,} além disso, f é crescente no conjunto {x ∈ IR : x _{≥ 0}.}

d) Encontre, para a função determinada pelo valor de m do item c) e para cada y _{≥ 2 , o} único valor de x _{≥ 0 tal que f(x) = y.}

17. (Fuvest-2009) Para cada número real m, considere a função quadrática f(x) = x2 _{+ mx + 2.}

Nessas condições:

a) Determine, em função de m, as coordenadas do vértice da parábola de equação y = f(x).

Sendo x

e y

, respectivamente, a abscissa e a ordenada do vértice da parábola

y = x

_{+ mx + 2 (m∈IR), temos: x}

=

– m

2

e y

= f(x

)

m

y

f

2





=



−







m

m

m

2

2

2









= −





+



−



+









m

m

2

4

2

=

−

+

m

2

4

= −

+

As coordenadas do vértice da parábola são

2 v

m

y

2

4

= −

+

m

x

2

= −

17. (Fuvest-2009) Para cada número real m, considere a função quadrática f(x) = x2 _{+ mx + 2.}

Nessas condições:

b) Determine os valores de m ∈ IR para os quais a imagem de f contém o conjunto {y ∈ IR : y _{≥ 1}.}

O gráfico de f(x) é uma parábola de concavidade voltada para cima.

Sendo assim, o vértice é um ponto de mínimo e a imagem de f é {y∈IR / y ≥ y

}

2

m

2 1

4

⇒

₋

_{+ ≤}

Para que o conjunto {y∈IR / y ≥ 1} esteja contido na imagem de f, devemos ter

y

≤

₁

fi

fi

fi

_{fi m}

_{– 4 ≥ 0}

2 – 2

17. (Fuvest-2009) Para cada número real m, considere a função quadrática f(x) = x2 _{+ mx + 2.}

Nessas condições:

c) Determine o valor de m para o qual a imagem de f é igual ao conjunto {y ∈ IR : y _{≥ 1} e,} além disso, f é crescente no conjunto {x ∈ IR : x _{≥ 0}.}

Para que a imagem de f seja {y∈IR / y ≥ 1} basta que tenhamos y

= 1

2

m

2 1

4

⇒

₋

_{+ =}

y

= 1

fi

fi

fi

_{fi m}

_{= 4 fi}

_fi

_fi

_{fi m = 2 ou m = – 2}

Vejamos os dois casos:

m = 2 fi

fi

_{fi f(x) = x}

fi

_{+ 2x + 2}

m = –2 fi

fi

fi

_{fi f(x) = x}

_{–2x + 2}

Como f é crescente para

{x∈IR: x ≥ 0}, temos:

17. (Fuvest-2009) Para cada número real m, considere a função quadrática f(x) = x2 _{+ mx + 2.}

Nessas condições:

d) Encontre, para a função determinada pelo valor de m do item c) e para cada y _{≥ 2 , o} único valor de x _{≥ 0 tal que f(x) = y.}

y ≥ 2

f(x) = y

f(x) = x

_{+ 2x + 2}

x

_{+ 2x + 2 = y}

x

_{+ 2x + 1 = y – 1}

(x + 1)

_{= y – 1}

x 1

+ =

y 1

−

Como x ≥ 0, temos x + 1 > 0. Assim:

x

= − +

1

y 1

−

18. (Unicamp-2009) Em um sistema de piscicultura superintensiva, uma grande quantidade de peixes é cultivada em tanques-rede colocados em açudes, com alta densidade populacional

e alimentação à base de ração. Os tanques-rede têm a forma de um paralelepípedo e são revestidos com uma rede que impede a fuga dos peixes, mas permite a passagem da água. a) Um grupo de 600 peixes de duas espécies foi posto em um conjunto de tanques-rede. Os peixes consomem, no total, 800g de ração por refeição. Sabendo-se que um peixe da espécie A consome 1,5g de ração por refeição e que um peixe da espécie B consome 1,0g por refeição, calcule quantos peixes de cada espécie o conjunto de tanques-rede contém.

x = número de peixes da espécie A y = número de peixes da espécie B Temos: _{x + y = 600} 1,5x + y = 800 0,5x = 200 x = 400 400 + y = 600 y = 200

O conjunto de tanques-rede contém 400 peixes da espécie A e 200 da B

x > 0

18. (Unicamp-2009) Em um sistema de piscicultura superintensiva, uma grande quantidade de peixes é cultivada em tanques-rede colocados em açudes, com alta densidade populacional

e alimentação à base de ração. Os tanques-rede têm a forma de um paralelepípedo e são revestidos com uma rede que impede a fuga dos peixes, mas permite a passagem da água. b) Para uma determinada espécie, a densidade máxima de um tanque-rede é de 400

peixes adultos por metro cúbico. Suponha que um tanque possua largura igual ao comprimento e altura igual a 2m. Quais devem ser as dimensões mínimas do tanque para que ele comporte 7200 peixes adultos da espécie considerada?

O volume mínimo (em m3_{) que o tanque deve ter para comportar 7200 peixes é} 7200

400 = 18

Sendo x, x e 2 as medidas, em metros, das dimensões mínimas, devemos ter: x.x.2 = 18 x2 _{= 9} x 2 x x = 3

. . . 6

19.(Fuvest-2005) Uma pessoa dispõe de um dado honesto, que é lançado sucessivamente quatro vezes. Determine a probabilidade de que nenhum dos números sorteados nos dois primeiros lançamentos coincida com algum dos números sorteados nos dois últimos lançamentos. Temos as seguintes possibilidades:

1º: qq. nº 2º: nº ≠ do 1º 3º: nº ≠ dos 2 1os _{4º: nº ≠ dos 2 1}os OU 1º: qq. nº 2º: nº = ao 1º 3º: nº ≠ do 1º 4º: nº ≠ do 1º 6 6 5 6 4 6 4 . . . ₌ 216 80 6 6 6 1 6 5 6 5 = 216 25 Assim, a probabilidade pedida é: 216 80 + 216 25 = = 216 105 = 72 35

20. (Unicamp) De quantas maneiras podem ser escolhidos 3 números naturais distintos de 1 a 30, de modo que sua soma seja par? Justifique sua resposta.

1 a 30

15 Pares 15 Impares

Para que a soma de 3 números seja par, há duas possibilidades: Os 3 são pares ou 1 é par e os outros 2 são ímpares

Assim, o número de maneiras de fazer a escolha dos 3 números é:

3P _ou 2I 1P 15.14.13 3! + 15.14 2! 15 .

São duas escolhas feitas em conjuntos diferentes!

455 + 1575 = 2030

21. (Vunesp-2002) Numa comunidade formada de 1000 pessoas, foi feito um teste para detectar a presença de uma doença. Como o teste não é totalmente eficaz, existem pessoas doentes cujo resultado do teste foi negativo e existem pessoas saudáveis com resultado do teste positivo. Sabe-se que 200 pessoas da comunidade são portadoras dessa doença.

Esta informação e alguns dos dados obtidos com o teste foram colocados na tabela seguinte. a) Copie a tabela em seu caderno de respostas e complete- a com os dados que estão faltando. b) Uma pessoa da comunidade é escolhida ao acaso e verifica-se que o resultado do teste foi positivo. Determine a probabilidade de essa pessoa ser saudável.

Resultado do exame

Situação Positivo(P) Negativo(N) Total

Saudável (S) 40 800

Doente (D) 80 200

Total 1000

760

120

160 ₈₄₀ Muda o espaço amostral!

b) Se o resultado do teste foi positivo, o espaço amostral fica reduzido e a probabilidade da pessoa ser saudável é 40

160 = 1

4 = 25%

22.(Fuvest-2008) Em um jogo entre Pedro e José, cada um deles lança, em cada rodada, um mesmo dado honesto uma única vez. O dado é cúbico, e cada uma de suas 6 faces estampa um único algarismo de maneira que todos os algarismos de 1 a 6 estejam representados nas faces do dado. Um participante vence, em uma certa rodada, se a diferença entre seus

pontos e os pontos de seu adversário for, no mínimo, de duas unidades. Se nenhum dos

participantes vencer, passa-se a uma nova rodada. Dessa forma, determine a probabilidade de

a) Pedro vencer na primeira rodada.

36

Assim, a probabilidade é

10

=

18

5

Número de casos possíveis = 6.6 = 36

Número de casos favoráveis: Vamos representar os resultados de Pedro e José,

respectivamente, por um par ordenado. Para Pedro vencer na primeira rodada,

temos as seguintes possibilidades:

22.(Fuvest-2008) Em um jogo entre Pedro e José, cada um deles lança, em cada rodada, um mesmo dado honesto uma única vez. O dado é cúbico, e cada uma de suas 6 faces estampa um único algarismo de maneira que todos os algarismos de 1 a 6 estejam representados nas faces do dado. Um participante vence, em uma certa rodada, se a diferença entre seus

pontos e os pontos de seu adversário for, no mínimo, de duas unidades. Se nenhum dos

participantes vencer, passa-se a uma nova rodada. Dessa forma, determine a probabilidade de

b) nenhum dos dois participantes vencer na primeira rodada.

O jogo apresenta iguais possibilidades de vitória para os dois jogadores.

A chance de José ganhar em uma determinada rodada é a mesma de Pedro.

Assim, a probabilidade de que haja um vencedor é 2.

18

5

=

9

5

Portanto a probabilidade de que nenhum dos dois vença é 1 –

9

5

=

9

4

c) um dos participantes vencer até a quarta rodada.

Para que um dos participantes vença até a quarta rodada, temos as seguintes

possibilidades:

Como esses eventos são mutuamente exclusivos, a probabilidade pedida é:

2 3

5

4 5

4

5

4

5

9

9 9

9

9

9

9

 

 

+ ⋅ +

 

⋅ +

 

⋅

 

 

5

4

16

64

1

9

9

81

729





=



+ +

+







5 1261

9 729

= ⋅

6305

6561

=

• alguém vence na primeira rodada: 5/9

• ninguém vence na primeira e alguém vence na segunda rodada: (4/9).(5/9)

• ninguém vence nem na primeira nem na segunda, e alguém vence na

terceira rodada: (4/9).(4/9).(5/9)

• ninguém vence na primeira, nem na segunda, nem na terceira, e alguém

vence na quarta rodada: (4/9).(4/9).(4/9).(5/9)