Análise Combinatória, Binômio de Newton e Introdução ao Estudo das Probabilidades

Análise Combinatória,

Binômio de Newton e

Introdução ao Estudo das Probabilidades

Joab dos Santos Silva

19 de Fevereiro de 2020

Conteúdo

1 Análise Combinatória 5

1.1 Princípio Fundamental da Contagem . . . 5

1.2 Fatorial . . . 6

1.3 Permutações . . . 6

1.3.1 Permutação Simples . . . 6

1.3.2 Permutação com Elementos Repetidos . . . 7

1.4 Arranjo Simples . . . 8

1.5 Combinação Simples . . . 9

2 Binômio de Newton 11 2.1 Número Binomial . . . 11

2.2 Números Binomiais Complementares . . . 12

2.3 Triângulo de Pascal . . . 12

2.4 Fórmula do Binômio de Newton . . . 14

3 Introdução ao Estudo das Probabilidades 17 3.1 Probabilidade . . . 17

3.2 Espaço Amostral e Probabilidade de Laplace . . . 17

3.3 Eventos Equiprováveis . . . 19

3.4 Teoremas Fundamentais . . . 19

3.5 Exercícios . . . 21

Capítulo 1

Análise Combinatória

1.1

Princípio Fundamental da Contagem

Problemas Envolvendo Contagem

Exemplo 1.1.1 Uma moeda tem duas faces: cara (K) e cora (C). Lança-se um moeda três vezes seguidas e observa-se qual face ficou voltada para cima. Quantos e quais são os resultados possíveis?

Exemplo 1.1.2 Adriano e Rafael disputaram entre si um torneio de tênis, no qual o vence-dor será o primeiro a ganhar duas partidas seguidas ou três alternadas. Descreva todas as possibilidades de desenvolvimento do torneio.

Exemplo 1.1.3 Quantos e quais são os números de três algarismos distintos que podemos formar usando os algarismos 2, 5 e 7?

Princípio Multiplicativo

Se um acontecimento ocorrer por várias etapas sucessivas e independentes, de tal modo que:

• p1 é o número de possibilidades da 1a etapa;

• p2 é o número de possibilidades da 2a etapa;

• ...

• pk é o número de possibilidades da k-ésima etapa;

então p1· p2· · · pk é o número total de possibilidades de o acontecimento ocorrer.

Exemplo 1.1.4 Os números dos telefones de uma cidade têm 8 algarismos. Determine a quantidade máxima de telefones a serem instalados, sabendo que os números não devem começar com zero.

Exemplo 1.1.5 Um restaurante oferece no cardápio 2 saladas distintas, 4 tipos de carne, 5 variedades de bebida e 3 sobremesas diferentes. Uma pessoa deseja comer uma salada, uma carne, uma bebida e uma sobremesa. De quantas maneiras diferentes ela pode fazer o pedido? Exemplo 1.1.6 Nas placas de automóveis, a ordem das letras e números ter a ver com o lugar em que o veículo é emplacado. Cada estado tem suas combinações próprias, distribuídas pela frota local. No estado de Alagoas, por exemplo, as placas vão da série inicial MUA-0001 até a série final MVK-9999. Sabendo que não podemos ter a placa com sequência de números 000, qual o total de números que podem ser emplacados em Alagoas com essa regra?

1.2

Fatorial

Definição 1.2.1 Sejam n um número inteiro não negativo, definimos fatorial de n, e deno-tamos por n!, por

     0! = 1 1! = 1 n! = n · (n − 1) · (n − 2) · · · 3 · 2 · 1, n ≥ 2

Para n ∈Z+ e n > 2, podemos escrever n! = n · (n − 1)!.

Exemplo 1.2.1 Calcular: a) 3! b) 8! c) 10! 7! d) 12! 9!3! e) 5! 3! + 2!

Exemplo 1.2.2 Simplifique a expressão n! − (n + 1)!

n! .

Resposta: −n

Exemplo 1.2.3 Resolva as equações: a) (n − 4)! = 120 b) (n + 1)! (n − 1)! = 6 c) (n + 3)! + (n + 2)! = 8(n + 1)! Respostas: a) 9, b) 2, c) 0

1.3

Permutações

1.3.1

Permutação Simples

Definição 1.3.1 Dado um conjunto com n elementos distintos a1, a2. . . . , an, chama-se

per-mutação simples dos n elementos todo agrupamento ordenado destes n elementos.

Sejam n elementos distintos e Pn o número de permutações possíveis desses n elementos.

Façamos a contagem do número de permutações:

• Para o primeiro elemento da sequência temos n possibilidades de escolha; • Para o segundo elemento da sequência temos n − 1 possibilidades de escolha; • Para o terceiro elemento da sequência temos n − 2 possibilidades de escolha; • ...

1.3. PERMUTAÇÕES 7

Pn= n·(n−1)·(n−2)·. . .·3·2·1 = n!

Exemplo 1.3.1 Calcule o valor de x, sendo x = P5+ 2 ·

P6− P4

P2

.

Exemplo 1.3.2 De quantas formas podem 5 pessoas ficar em fila indiana? Exemplo 1.3.3 Quantos anagramas tem a palavra ESCOLA?

Exemplo 1.3.4 Quantos anagramas da palavra GRANIZO começam e terminam por vogal?

Resposta: 720

Exemplo 1.3.5 Giba e Gina têm três filhos: Carla, Luís e Daniel. A família quer tirar uma foto de recordação de uma viagem na qual todos apareçam lado a lado.

a) De quantas formas distintas os membros da família podem se distribuir? b) Em quantas possibilidades o casal aparece lado a lado?

Respostas: a) 120, b) 48

Exemplo 1.3.6 Considere os números obtidos do número 12 345, efetuando-se todas as permu-tações de seus algarismos. Colocando esses números em ordem crescente, qual o lugar ocupado pelo número 43 521?

Resposta: 90o

Exemplo 1.3.7 De quantos modos 5 rapazes e 5 moças podem se sentar em 5 bancos de dois lugares cada, de modo que em cada banco fiquem um rapaz e uma moça?

Resposta: 460 800

1.3.2

Permutação com Elementos Repetidos

Sejam n elementos, sendo:

n1 elementos iguais a a1

n2 elementos iguais a a2

.. .

nr elementos iguais a ar

de forma que n1+ n2+ · · · + nr = n. O número de permutações possíveis desses n elementos é

Pn1,n2,...,nr

n =

n! n1!n2! · . . . · nr!

Exemplo 1.3.8 Existem seis bandeiras (de mesmo formato), sendo 3 vermelhas e 3 brancas. dispondo-as ordenadamente num mastro, quantos sinais diferentes podem ser emitidos com elas?

Resposta: 20

Exemplo 1.3.9 Quantos são os anagramas da palavra CARAGUATATUBA? Quantas come-çam por vogal?

1.4

Arranjo Simples

Definição 1.4.1 Dado um conjunto com n elementos distintos a1, a2, · · · , an, chama-se

ar-ranjo simples dos n elementos, tomados p a p, todo agrupamento ordenado de p elementos

distintos escolhidos entre os n existentes.

Sejam n elementos distintos e An,p o número de arranjos possíveis desses n elementos

toma-dos p a P . Façamos a contagem do número de arranjos:

• Para o primeiro elemento da sequência temos n possibilidades de escolha; • Para o segundo elemento da sequência temos n − 1 possibilidades de escolha; • Para o terceiro elemento da sequência temos n − 2 possibilidades de escolha; • ...

• Para o p-ésimo elemento, a partir das p−1 escolhas anteriores, sobram n−(p−1) = n−p+1 possibilidades de escolha;

Assim, Pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos que

An,p= n·(n−1)·(n−2)·. . .·(n−p+1)

Multiplicando e dividindo o segundo membro desta igualdade por (n − p) · (n − p − 1) · . . . · 3 · 2 · 1, obtemos An,p = n · (n − 1) · (n − 2) · · · (n − p + 1) · (n − p)! (n − p)! = n! (n − p)! Portanto, An,p= n! (n − p)! Exemplo 1.4.1 Calcule: a) A6,2 _b) A5,4+ A3,2 A4,2− A2,1 Resposta: a) 30, b) 63 5

Exemplo 1.4.2 De quantas formas diferentes se pode formar comissões de três elementos (pre-sidente, secretário e tesoureiro), entre os 30 elementos de uma turma?

1.5. COMBINAÇÃO SIMPLES 9

Exemplo 1.4.3 A senha de um cartão magnético bancário, usado para transações financeiras , é uma sequência de duas letras distintas (entre as 26 do alfabeto) seguida por uma sequência de três algarismos distintos. Quantas senhas podem ser criadas?

Resposta: 468 000

Exemplo 1.4.4 Quantos números pares de 4 algarismos obtemos com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6,

Resposta: 24 360

1.5

Combinação Simples

Definição 1.5.1 Dado um conjunto com n elementos distintos a1, a2, · · · , an, chama-se

com-binação simples dos n elementos, tomados p a p, todo subconjunto de p elementos distintos

escolhidos entre os n existentes.

Sejam n elementos distintos e Cn,p o número de combinações possíveis desses n elementos

tomados p a p. Façamos a contagem do número de combinações:

• Vimos anteriormente que o número de agrupamentos ordenados de p elementos distintos escolhidos entre os n elementos é dado por An,p;

• E, o número de permutações com os p elementos escolhidos é dado por Pp.

Como qualquer permutação desses p elementos dá origem a uma única combinação, o número de combinações dos n elementos tomados p a p é dado por

Cn,p= An,p Pp = n! (n − p)! p! Portanto, Cn,p= n! p!(n − p)!

Exemplo 1.5.1 Em uma classe de 30 alunos, pretende-se formar uma comissão de três alunos para representação discente no colégio. Quantas comissões distintas podem ser formadas?

Resposta: 4060

Exemplo 1.5.2 Sobre uma circunferência marcam-se 10 pontos distintos.

a) Quantos segmentos de reta podem ser construidos com vértices em dois desses pontos? b) Quantos quadriláteros convexos podem ser construídos com vértices em quatro desses

pon-tos?

Exemplo 1.5.3 Sobre uma reta marcam-se 8 pontos e sobre outra reta, paralela à primeira, marcam-se 5 pontos. Quantos triângulos obteremos unindo três pontos quaisquer do total desses pontos?

Resposta: 220

Exemplo 1.5.4 Nove atletas olímpicos (5 mulheres e 4 homens) foram participar das gravações para uma campanha publicitária. Chegando ao local da filmagem, foram informados de que, na cena que seria gravada, deveriam aparecer apenas quatro atletas, sendo 2 homens e duas mulheres. De quantas maneiras distintas poderão ser escolhidos os quatro atletas?

Resposta: 60

Pense no seguinte problema.

De quantos modos é possível comprar 4 sorvetes em uma loja que oferece 7 sabores?

Capítulo 2

Binômio de Newton

2.1

Número Binomial

Outra forma de expressar o número de combinações simples de n elementos tomados p a p é através do número binomial.

Definição 2.1.1 Dados dois inteiros não negativos n e p, com n ≥ p, definimos o número

binomial ou coeficiente binomial de n sobre p como o número n

p

!

, em que n é o numerador e p é a denominador do número binomial:

n p ! = n! p!(n − p)!, com n, p ∈Z+ e n ≥ p Exemplo 2.1.1 Calcular: a) 5 2 ! b) 12 10 ! Observação 2.1.1 Vejamos: • Quando p = 0, temos n 0 ! = n!

0!n! = 1, qualquer que seja n ∈ N. • Quando p = 1, temos n 1 ! = n! 1!(n − 1)! = n(n − 1)!

(n − 1)! = n, qualquer que seja n ∈ N. • Quando p = n, temos n

n

!

= n!

n!0! = 1, qualquer que seja n ∈ N. Exemplo 2.1.2 Determine o conjunto solução da equação n − 3

2 ! = 21. Resposta: S = {10} Exemplo 2.1.3 Calcule E = 5 3 ! + 3 3 ! + 5 0 ! + 7 1 ! . Resposta: 19 11

2.2

Números Binomiais Complementares

Dois números binomiais de mesmo numerador são complementares quando a soma de suas classes é igual ao numerador. Temos:

n p ! e n q ! são complementares se p + q = n

Propriedades 2.2.1 Valem as seguintes propriedades:

• Dois números binomiais complementares são iguais. Para p + q = n, tem-se n

p ! = n q ! , pois: n p ! = n! (n − q)![(n − (n − q)]! = n! q!(n − q)! = n q !

• Dois números binomiais de mesmo numerador são iguais se tiverem classe iguais ou se

forem complementares: n p ! = n q !

⇔ p = q ou p + q = n, em que n, p, q são números

inteiros não negativos tais que n ≥ p e n ≥ q.

Exemplo 2.2.1 Determine x na igualdade 12

5x ! = 12 x + 8 ! . Resposta: 2

2.3

Triângulo de Pascal

Os números binomiais podem ser dispostos ordenadamente em um quadro chamado Triângulo

de Pascal. Temos: 0 0 ! 1 0 ! 1 1 ! 2 0 ! 2 1 ! 2 2 ! 3 0 ! 3 1 ! 3 2 ! 3 3 ! .. . n 0 ! n 1 ! n 2 ! n 3 ! · · · n n − 1 ! n n !

2.3. TRIÂNGULO DE PASCAL 13 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 .. . ...

Propriedades 2.3.1 Valem as seguintes propriedades:

• Todos os elementos da 1a _{coluna são iguais a 1, pois} n

0

!

= 1.

• O último elemento de cada linha é igual a 1, pois n

n

!

= 1.

• Em uma linha qualquer, dois binomiais equidistantes dos extremos são iguais, pois são

complementares: n p ! = n n − p ! .

• relação de Stifel 1_{: A soma de dois elementos consecutivos de uma mesma linha é igual}

ao elemento situado abaixo da última parcela, ou seja: n p ! + n p + 1 ! = n + 1 p + 1 !

• Teorema das Linhas A soma dos números binomiais de uma mesma linha é uma

potência de base 2, cujo expoente é igual ao númeror desses números binomiais.

linha 0 −→ 20 = 1 −→ 1 linha 1 −→ 21 = 2 −→ 1 + 1 linha 2 −→ 22 = 4 −→ 1 + 2 + 1 linha 3 −→ 23 = 8 −→ 1 + 3 + 3 + 1 linha 4 −→ 24 = 16 −→ 1 + 4 + 6 + 4 + 1 linha 5 −→ 25 = 32 −→ 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 Temos que: n 0 ! + n 1 ! + n 2 ! + · · · + n n ! = 2n

2.4

Fórmula do Binômio de Newton

Uma aplicação do cálculo combinatório é o desenvolvimento da potência n-ésima do binômio (x + a). Observe: n = 0 −→ (x + a)0 = 1 n = 1 −→ (x + a)1 = 1x + 1a n = 2 −→ (x + a)2 = 1x2+ 2xa + 1a2 n = 3 −→ (x + a)3 = 1x3+ 3x2a + 3xa2+ 1a3 n = 4 −→ (x + a)4 = 1x4+ 4x3a + 6x2a2+ 4xa3+ 1a4 .. . ... ... Temos que: (x + a)0 = 0 0 ! x0a0 (x + a)1 = 1 0 ! x1a0+ 1 1 ! x0a1 (x + a)2 = 2 0 ! x2a0+ 2 1 ! x1a1+ 2 2 ! x0a2 (x + a)3 = 3 0 ! x3a0+ 3 1 ! x2a1+ 3 2 ! x1a2+ 3 3 ! x0a3 (x + a)4 = 4 0 ! x4a0+ 4 1 ! x3a1+ 4 2 ! x2a2+ 4 3 ! x1a3+ 4 4 ! x0a4 .. . ... ... (x + a)n = n 0 ! xna0+ n 1 ! xn−1a1+ n 2 ! xn−2a2+ · · · + n n − 1 ! x1an−1+ n n ! x0an

Dessa forma, temos:

Fórmula do Binômio de Newton

(x+a)n ₌ n 0 ! xn₊ n 1 ! xn−1_a+ n 2 ! xn−2_a2_{+· · ·} n p ! xn−p_ap_{+· · ·+} n n − 1 ! xan−1₊ n n ! an

Onde o termo geral é dado por:

Termo Geral Tp+1= n p ! xn−p_ap

No caso do desenvolvimento de (x − a)n, temos (x − a)n = [x + (−a)]n. Assim, o termo geral é dado por:

2.4. FÓRMULA DO BINÔMIO DE NEWTON 15 Tp+1 = n p ! xn−p_(−a)p ou Tp+1= (−1)p n p ! xn−p_(a)p Exemplo 2.4.1 Desenvolva (x + 3)4_. Resposta: x4_{+ 12x}3_{+ 54x}2 _{+ 108x + 81}

Exemplo 2.4.2 Desenvolva as potências do binômio (k2+ 1)5_.

Resposta: k10_{+ 5k}8_{+ 10k}6_{+ 10k}4_{+ 5k}2_{+ 1}

Exemplo 2.4.3 Determine o 4o termo no desenvolvimento de (x + 2)7.

Resposta: 280x4

Exemplo 2.4.4 Obtenha o termo independente de k do desenvolvimento de (2k − 1)6_.

Resposta: 1

Exemplo 2.4.5 (IME-RJ) Determine o termo independente de x no desenvolvimento de √x − √1

x

!10

.

Capítulo 3

Introdução ao Estudo das

Probabilidades

3.1

Probabilidade

A teoria do azar consiste em reduzir todos os acontecimentos do mesmo gênreo de casos igualmente possíveis, ou seja, tais que estejamos igualmente inseguros sobre sua existên-cia, e em determinar o número de casos favoráveis ou acontecimento cuja probabilidade é buscada. A Razão deste número para o de todos os casos possíveis é a medida dessa pro-babilidade, a qual é portanto uma fração cujo numerador é o número de casos favoráveis e cujo denominador é o número de todos os casos possíveis.

Pierre Simon Laplace

Ensaio Filosófico sobre as Probabilidades

(apud Morgado 2006)

Diremos que um experimento é determinístico quando repetidos em condições semelhantes conduz a resultados essencialmente idênticos. Os experimentos que repetidos sob as mesmas condições produzem resultados geralmente diferentes serão chamados experimentos aleatórios. A Teoria das Probabilidades é o ramo da matemática que cria, desenvolve e em geral pesquisa

modelos que podem ser utilizados para estudar experimentos ou fenômenos aleatóirios.

A definição da probabilidade como quociente do número de “casos favoráveis” sobre o número de “casos possíveis” foi a primeira definição formal de probabilidade, e apareceu pela primeira vez em forma clara na obra Liber de Ludo Aleae de Jerônimo Cardano (1501-1576).

3.2

Espaço Amostral e Probabilidade de Laplace

Consideremos o seguinte experimento aleatório: jogue um dado e observe o número mostrado na face de cima.

A primeira tarefa consiste em explicitar qual é o conjunto de possíveis resultados do

expe-riemento e calcular o número de elementos contidos nele. Este conjunto é chamado Espaço Amostral (denotamos por Ω).

No nosso experimento podemos descrevê-lo como:

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, #(Ω) = 6

Os elementos do espaço amostral são chamados eventos elementares, os subconjuntos do espaço amostral serão chamados eventos.

Por exemplo, o sbconjunto A = {2, 4, 6} é o evento que acontece se o número mostrado na face de cima é par.

Passamos agora para a segunda etapa: a de calcular a probabilidade de um evento A. Con-sideremos o caso do evento A = {2, 4, 6} de nosso exemplo. É claro intuitivamente que se repetirmos o experimento um grande número de vezes obteremos um número par em aproxi-madamente metade dos casos; ou seja, o evento A vai ocorrer mais ou menos a metade das vezes.

O que está por traz dessa intuição é o seguinte:

a) Os eventos elementares sçao todos igualmente “prováveis”;

b) O número de elementos de A(#(A) = 3) é justamente a metade dos elementos de Ω(#(Ω) = 6)

Estas condições motivam a definição de probabilidade de um evento como A, da seguinte forma probabilidade de A = #(A) #(Ω) = 3 6 = 1 2

Laplace refere-se aos elementos de A (ou eventos elementares que compõe A) como os casos

favoráveis. Os elementos do espaço amostral Ω eram chamados casos possíveis. Defina então

probabilidade = número de casos favoráveis número de casos possiveis

Vamos então resumir as considerações feitas até agora, que permitem a utilização desta definição de probabilidade.

Suponha que os experimentos aleatórios tenham as seguintes características:

a) Há um número finito (digamos n) de eventos elementares (casos possíveis). A união de todos os eventos elementares é o espaço amostral Ω.

b) Os eventos elementares são igualmente prováveis.

c) Todo evento A é uma união de m eventos elementares, onde m ≤ n.

Definimos então

probabilidade de A = P (A) = número de casos favoráveis número de casos possíveis =

#(A) #(Ω) =

m n

Vejamos os exemplos abaixo:

Exemplo 3.2.1 Três moedas são jogadas simultaneamente, qual é a probabilidade de obter 2 caras? Qual é a probabilidade de obter pelo menos duas caras?

Resposta: P (A) = 3

8 e P (B) = 4 8

3.3. EVENTOS EQUIPROVÁVEIS 19

Axioma 3.2.1 Axioma de Probabilidade

i) Para todo evento A, 0 ≤ P (A) ≤ 1;

ii) P (Ω) = 1;

iii) Se A ∩ B = ∅, então P (A ∪ B) = P (A) + P (B).

O cálculo de Probabilidades apresenta resultados importantes que podem ser demonstrados por meio da teoria dos conjuntos.

3.3

Eventos Equiprováveis

Passemos agora a definir formalmente eventos equiprováveis, ou seja, igualmente prováveis. Consideremos o espço amostral Ω = {e1, e2, e3, · · · , en} associado a um experimento

aleató-rio. Seja P (ei) = pi, com i = 1, 2, · · · , n Temos que n X i=1 P (ei) = P (e1) + P (e2) + · · · + P (en) = p1+ · · · + pn = n X i=1 pi = 1 (3.1)

Definição 3.3.1 Os eventos ei, i = 0, 1, 2, · · · , n são equiprováveis se P (e1) = · · · = P (en) =

P , isto é, quando todos os eventos elementares tem a mesma probabilidade de ocorrer. De 3.1, temos n X i=1 P (ei) = n X i=1 p = n · p = 1 ⇒ p = 1 n (3.2)

Logo, se os n eventos elementares são equiprováveis, a probabilidade de cada um dos eventos elementares é 1

n.

Suponha agora que A ∈ Ω tenha m eventos elementares, A = e1, e2, · · · , em, com 1 ≤ m ≤ n

P (A) = m X i=1 P (ei) = m X i=1 p = m · 1 n = m n (3.3)

3.4

Teoremas Fundamentais

Seja Ω um espaço amostral finito e equiprovável, correspondente a um experimento aleatório. Temos1:

Teorema 3.4.1

1) Probabilidade do Conjunto Vazio: P (∅) = 0 (porque #(∅) = 0);

2) Probabilidade do Complementar: P (A) = 1 − P (A);

3) Probabilidade da União: Se A e B são dois eventos quaisquer, então

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B).

Nem sempre se faz necessário explicitar completamente Ω e A, bastando calcular m e n, para tanto são usados os métodos clássicos de contagem da Análise Combinatória.

Um princípio fundamental de contagem nos diz que, se uma tarefa pode ser executada em duas etapas, a primeira podendo ser realizada de p maneiras e a segunda de q maneiras, então as duas podem ser realizadas simultaneamente de p · q maneiras. Esse é chamado princípio

multiplicativo.

Exemplo 3.4.1 Suponha que num lote com 20 peças existem 5 defeituosas. Escolhemos 4 peças do lote ao acaso, ou seja, uma amostra de 4 elementos de modo que a ordem dos elementos seja irrelevante.

Solução:

Dessa maneira, o número de amostrar com 4 elementos que podemos extrair do lote é 20 4

!

, ou seja, combinações de 20 elementos, tomados 4 a 4.

Suponha que iremos calcular a propabilidade de escolher 2 defeituosas na amostra. Pelo visto acima, 20

4

!

é o número de elementos do espaço amostral. Seja A o evento que consiste em escolher na amostra de 4 elementos duas defeituosas e duas não defeituiosas simultaneamente de 5 2 ! 15 2 !

maneiras, usando o princípio multiplicativo. Logo,

P (A) = 5 2 ! 15 2 ! 20 4 ! = 0, 217

Exemplo 3.4.2 Uma caixa contém 20 peças em boas condições e 15 em más condições. Uma amostra de 10 peças é extraída. Calcular a probabilidade de que ao menos uma peça na amostra seja defeituosa.

Solução:

Só não pode acontecer de todas as peças serem boas. Logo:

A = ao menos uma peça ser defeituosa A = todas as peças boas

P (A) = 1 − P (A) = 1 = 20 10 ! 35 10 ! ∼= 1 − 0, 001 ∼= 0, 999 ∼= 99, 9%

Exemplo 3.4.3 Uma cidade tem 30.000 habitantes e três jornais A, B e C. Uma pesquisa de opinião revela que:

• 12.000 leem A; • 8.000 leem B; • 7.000 leem A e B; • 6.000 leem C; • 4.500 leem A e C;

3.5. EXERCÍCIOS 21

• 1.000 leem B e C; • 500 leem A, B e C;

Qual a probabilidade de que um habitante leia: a) Pelo menos um jornal?

b) Só um jornal? Resposta: a) P (A) = 7 15 b) P (B) = 1 12

3.5

Exercícios

1) Os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 são escritos em 5 cartões diferentes. Estes cartões são escolhidos (sem reposição) aleatoriamente e os algarismos que vão aparecendo são escritos da esquerda para a direita, formando um número de cinco algarismos.

a) Calcular a probabilidade de que o número escrito seja par b) Se a escolha fosse com reposição qual seria a probabilidade?

2) (UFRN) Em um encontro sobre Matemática participaram 120 congressitas. Desses , 100 eram licenciados e 60 eram bacharéis em Matemática. Responda, justificando:

a) Qual a probabilidade de, escolhendo-se ao acaso um congressista, ele ser licenciado em matemática?

b) Quantos congressistas possuíam as duas formações?

c) Qual a probabilidade de, escolhendo-se um congressista ao acaso, ele possuir as duas formações acadêmicas?

3) Desafio: Seja o quadrado ABCD. M e N são os pontos médios e P é a intersecção entre

BC e M N . Atirando-se um dardo e acertando-o no quadrado, qual a probabilidade de

acertar na área hachurada?

C B P M N A D

Bibliografia

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