Base dez: o grande tesouro
matemático e sua aparente
simplicidade
Mestrado em EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
Base dez: o grande tesouro
matemático e sua aparente
simplicidade
Dissertação apresentada como exigência
parcial para a obtenção do título de
MESTRE EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA à
Pontifícia Universidade Católica de São
Paulo, sob orientação da Professora
Doutora Célia Maria Carolino Pires.
Banca Examinadora
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
Agradecimentos
Esta publicação não existiria sem a
participação de muitas pessoas.
Colegas e grandes mestres, que tive o
prazer de conhecer ao longo de minha vida,
não só na elaboração deste material, mas
em todo o caminhar e repensar de minha
prática pedagógica.
À amiga e orientadora, Célia Carolino
que tanto me ensinou e incentivou durante o
desenvolvimento desta dissertação.
O presente estudo tem como questão central identificar a trajetória da construção das escritas numéricas e de seu uso, ao longo do ensino fundamental, e tem como finalidade contribuir para a elaboração de propostas didáticas mais consistentes, que levem em conta conhecimentos prévios dos alunos e alguns obstáculos que se interpõem nessa trajetória.
Parte de uma análise histórica da construção de sistemas de numeração e das escritas numéricas em diferentes civilizações, evidenciando a base dez como um grande tesouro matemático. Resgata também a história do ensino do sistema de numeração nas séries iniciais do ensino fundamental nas últimas décadas.
Busca fontes de sustentação em investigações de pesquisadores que realizaram estudos sobre a construção das escritas numéricas, mostrando, por exemplo, que o processo de construção das idéias e procedimentos envolvidos nos agrupamentos e trocas na base dez leva muito mais tempo para ser realizado do que se possa imaginar.
Com base nas respostas de alunos da educação infantil e de diferentes etapas do ensino fundamental, analisa relações entre conhecimentos escolares e conhecimentos construídos socialmente pelos alunos. Mostra que a evolução desses conhecimentos não ocorre de forma linear e destaca a necessidade de um trabalho consistente em relação à produção de escritas numéricas para o cálculo escrito e mental e para a resolução de problemas que envolvem números naturais e números racionais representados na forma decimal.
Abstract
The present study has as a central task to identify the way on the construction of the numerical writing and its usage through the fundamental teaching. The objective is to contribute for the elaboration of more consistent didactic proposals, which may consider students previous knowledge and possible obstacles during the process.
Part of the historical analysis on the construction of numeration systems and the numerical writing in different civilizations has evidenced the decimal basis as a great mathematical treasure. It also brings up the history of the numeral system that has been taught on the first years of the fundamental school for the last few decades.
The investigation is based on studies of numerical writing constructions and showed, for example, that the process and procedures involved in the grouping and exchanges on the ten basis takes much more time to be built than it was previously thought.
Apresentação 1
Capítulo I Base 10: o grande tesouro matemático –
retrospectiva histórica da construção desse conceito, do seu ensino e informações de
investigações existentes 3
Retrospectiva histórica da construção do
sistema de numeração decimal 3
Uma outra história: a do ensino dos números
e do sistema de numeração decimal 34
Buscando informações em investigações
existentes 41
Capítulo II Da constituição das primeiras hipóteses sobre
as escritas numéricas aos conhecimentos
sobre o sistema de numeração decimal 52
Introdução 52
As investigações com crianças de
EDUCAÇÃO INFANTIL 53
O trabalho com alunos do Ensino Fundamental
algumas informações 64
A investigação, com alunos, referente à
situações que envolvem Números Naturais 65
Análise dos resultados dos alunos em atividades que envolvem Números
Naturais 73
A investigação, com professores de 2ª e 4ª séries, referente à situações que envolvem
Números Naturais 76
Análise dos resultados dos professores
referente à situações que envolvem Número
Capítulo III Dos conhecimentos sobre o sistema de numeração decimal à construção das representações decimais para os números
racionais 84
Introdução 84
A investigação, com os alunos do ensino fundamental, referente à situações que envolvem Números Racionais em suas
representações decimais 85
Análise dos resultados dos alunos em atividades que envolvem Números
Racionais em sua representação decimal 100
A investigação, com os professores de 4ª, 6ª e 8ª séries, referente à situações que envolvem Números Racionais em sua
representação decimal 105
Análise dos resultados dos professores referente à situações que envolvem Números Racionais em sua representação
decimal 113
Capítulo IV Conclusões 115
Bibliografia 123
Ficha catalográfica elaborada pela Bib. Nadir Gouvêa Kfouri - PUCSP DM
510 Rodrigues, Wanda S
R Base dez: o grande tesouro matemático e sua aparente simplicidade. - São Paulo: s.n., 2001.
Dissertação (Mestrado) - PUCSP
Programa: Matemática: Educação Matemática Orientador: Pires, Célia Maria Carolino
1. Sistema de numeração decimal - Estudo e ensino. 2. Matemática - Estudo e ensino.
Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e
científicos, a reprodução total ou parcial desta dissertação
por processos fotocopiadoras ou eletrônicos.
Uma análise histórica dos procedimentos usados pela humanidade para registrar quantidades cada vez maiores evidencia a concepção da base dez e a criação de um sistema posicional de numeração como um grande tesouro matemático. Utilizada inicialmente na representação de números inteiros, ela foi posteriormente estendida à representação decimal de números racionais e irracionais, nas notações científicas, cada vez mais presentes no mundo contemporâneo.
Aparentemente simples, o processo que envolve agrupamentos e trocas é apresentado às crianças desde seus primeiros contatos com a Matemática, nas escolas de educação infantil e nas séries iniciais do ensino fundamental; unidades, dezenas, centenas, o chamado quadro valor de lugar, com suas ordens e classes, tudo parece ser muito elementar, muito evidente. As relações entre as unidades das diferentes ordens são tomadas como apoio para a compreensão dos diferentes algoritmos das operações, dos cálculos aproximados, das estimativas.
Mais adiante, com a mesma aparente simplicidade, lhes são apresentados os décimos, centésimos, milésimos, as dízimas periódicas e depois as representações decimais infinitas, mas não periódicas.
No entanto, estudos e pesquisas mostram que o processo de construção das idéias e procedimentos envolvidos nos agrupamentos e trocas na base 10 leva muito mais tempo para ser construído do que se possa imaginar. Esse fato tem implicações importantes no ensino, tendo em vista que especialmente nos dois ciclos finais do ensino fundamental esse processo é negligenciado, ou seja, parte-se da idéia de que os conceitos e procedimentos envolvidos já foram construídos e, dessa maneira, não precisam de novos investimentos.
contribuições para a elaboração de propostas didáticas mais consistentes que levem em conta os obstáculos existentes.
No primeiro capítulo, apresentamos uma breve retrospectiva histórica, apoiada, principalmente, nas obras de Ifrah (1997), Boyer (1974) e Struik (1987), com o propósito de destacar os marcos da trajetória de construção daquele que é considerado um grande tesouro matemático, a base dez. Além dessa história, fazemos também uma síntese da trajetória do ensino desse tema nas últimas décadas, baseada em alguns documentos oficiais da rede estadual de São Paulo e nos Parâmetros Curriculares Nacionais. Destacamos ainda, nesse capítulo, as pesquisas de Fayol (1996), Lerner e Sadovsky (1995) e Coulibaly (1987) que embasaram nosso trabalho.
No segundo capítulo, inicialmente, sintetizamos os resultados de entrevistas realizadas com um grupo de crianças de 5 a 6 anos, com a intenção de mapear conhecimentos sobre a escrita numérica antes da realização do trabalho sistematizado que ocorre nas séries iniciais do ensino fundamental. A seguir, apresentamos nossa investigação feita com 927 crianças e adolescentes de 7 anos a 18 anos, que estavam curando as séries finais dos diferentes ciclos do ensino fundamental, com a finalidade de analisar a evolução dos conhecimentos sobre a escrita dos números e de seus usos ao longo do trabalho sistematizado que ocorre no ensino fundamental. Incluímos observações sobre entrevistas e testes realizados com os 29 professores destes alunos, buscando identificar também em que medida dominam ou compreendem os princípios do sistema de numeração decimal. Em seguida, apresentamos os resultados de nossa investigação, feita com alunos e professores das séries iniciais do ensino fundamental, a fim de identificar a trajetória da construção dos conhecimentos sobre o sistema de numeração decimal.
No terceiro capítulo, apresentamos os resultados de nossa investigação, feita com alunos e professores do ensino fundamental, focada em como se dá a compreensão dos números racionais em suas representações fracionária e decimal.
Capítulo I
Base dez: o grande tesouro matemático - retrospectiva histórica da construção desse conceito e do seu ensino.
Introdução
Neste capítulo apresentaremos uma breve retrospectiva histórica apoiada em Boyer, Ifrah e Struik, com o propósito de destacar os marcos da trajetória de construção daquele que é considerado um grande tesouro matemático, escondido nos dedos das mãos humanas: a base dez que caracteriza os agrupamentos e trocas presentes no sistema de numeração decimal. Relataremos também uma síntese da trajetória do ensino desse tema nas últimas décadas, baseada em alguns documentos oficiais da rede estadual de São Paulo e nos Parâmetros Curriculares Nacionais. Salientaremos também, neste capítulo, algumas pesquisas que embasaram nosso trabalho.
1. Retrospectiva histórica da construção do sistema de numeração decimal
1.1 A mão, primeira máquina de contar
Quando se fala em base dez, os dedos humanos são imediatamente lembrados como a provável fonte de inspiração da escolha do dez como base de um sistema de numeração.
Ifrah (1997) considera que no curso das eras, certamente, a mão é o mais antigo e difundido auxiliar de contas e cálculos, empregado pelos povos.
Desde Aristófanes até Plutarco, os autores gregos fazem alusão a ela. Sêneca, o filósofo, escrevia igualmente numa de suas Epístolas (LXXXVII):
“A avareza ensinou-me a contar e a pôr meus dedos à disposição de minha paixão”. (Ifrah, p.91)
da Oceania, da África, da Europa, do Iraque ou da antiga Mesopotâmia, do Egito faraônico, da terra do Islã, da China ou da Índia, da América pré-colombiana ou de nosso Ocidente medieval.
Foi pelo uso dos seus dez dedos que o ser humano adquiriu gradualmente todos esses dados necessários. E não só crianças, mas jovens e mesmo adultos ainda contam apoiando-se no uso das mãos.
A mão do homem, usada como a máquina de contar mais simples e
mais natural, tem, portanto, papel considerável na gênese de nosso sistema de numeração.
1.2 O princípio da base e o nascimento do sistema de numeração
Para Ifrah (1997), o homem fez uso de dois conceitos para simbolizar os números. Um que pode ser qualificado de cardinal, o qual consistia em adotar
desde o início um símbolo-padrão para representar a unidade, que era repetido
tantas vezes quanto o número considerado contivesse de unidades. Outro, que pode ser qualificado de ordinal, que atribuía a cada número um símbolo
original, e considerava uma sucessão de símbolos que não tinha nenhuma relação uns com os outros.
Fazendo uso de uma ou outra dessas duas regras fundamentais, o homem pôde, desde então, aprender a conceber conjuntos cada vez mais extensos, mas nos dois casos se debateu, desde o início, com grandes dificuldades, pois para representar números cada vez maiores, não podia multiplicar indefinidamente pedras, paus, entalhes ou nós de barbante; nem o número dos dedos da mão nem o das partes do corpo eram indefinidamente extensíveis. Não podia também repetir uma mesma palavra de uma maneira ilimitada e nem criar infinitamente novos nomes de número ou símbolos originais. Deparou-se, então, com um problema insuperável à primeira vista:
como designar números elevados com o mínimo possível de símbolos?
A solução encontrada foi privilegiar um agrupamento particular (como a dezena, a dúzia, a vintena ou a sessentena, por exemplo), a fim de organizar a seqüência regular dos números, segundo uma classificação hierarquizada, fundada nessa base.
sucessivos, aos quais eram dados os respectivos nomes: unidades de primeira ordem, unidades de segunda ordem, unidades de terceira ordem, e assim
sucessivamente. Dessa maneira, chegou-se a uma simbolização estruturada dos números, evitando-se esforços de memória ou de representação. É o que se chama o princípio da base. Essa descoberta marcou o nascimento dos sistemas de numeração - sistemas cuja base nada mais é do que a quantidade
de unidades necessária para agrupar no interior de uma dada ordem, a fim de formar uma unidade de ordem, imediatamente superior. Mas como, então, considerar uma certa base como mais “natural” do que outra? Ifrah (1997) cita Lévy - Bruhl, “cada base adotada tem, na verdade, sua razão de ser nas representações coletivas do grupo social em que a constatamos”. (p. 88)
1.3 A primeira regra numérica da história: o princípio de adição
Segundo Struik (1987), há dez mil anos, no período neolítico, conhecido como Idade da Pedra, após o degelo ter dado lugar às florestas e aos desertos,
os nômades, que vagueavam à procura de alimentos, foram desaparecendo pouco a pouco. Eram caçadores e pescadores que foram, em grande parte, substituídos por agricultores que começaram a construir habitações mais permanentes. Surgiram, assim, os primeiros povoados.
Restos encontrados em algumas escavações da era neolítica mostram como se desenvolveram gradualmente certos ofícios elementares como a cerâmica, a carpintaria e a tecelagem. Coziam o pão, fermentavam a cerveja, guardavam os excedentes da colheita em celeiros e, no final do neolítico, fundiam o cobre e o bronze.
Nessa época, ocorreram algumas invenções notáveis como a roda de oleiro e a roda do carro, e o aperfeiçoamento dos barcos e dos abrigos. Existia uma atividade comercial entre diversas povoações, estimulada pela descoberta das técnicas de fundição e de manufatura, primeiro do cobre, depois de utensílios e armas de bronze. Isto, também, promoveu a formação de linguagens. A princípio, as palavras destas linguagens exprimiam coisas muito concretas, mas já havia lugar para alguns termos numéricos simples e algumas relações de forma. (Struik, p. 30,31)
maias, gregas, hindus, perceberam que já não era possível armazenar apenas na memória suas numerosas e diversas operações econômicas, era necessário também, registrá–las. Utilizaram sinais gráficos traçados sobre a superfície do solo ou, ainda, sobre tabuletas de argila, pedra, folhas de papiro, cacos de cerâmica ou casco de tartaruga. Assim, nasciam as primeiras numerações da história.
Durante os milênios que se seguiram, outros povos também criaram seus sinais gráficos, isto é, também criaram seus sistemas de numeração.
No início, as numerações escritas repousaram sobre o princípio aditivo,
regra segundo a qual o valor de uma representação numérica é obtido através da soma dos valores de todos os algarismos contidos nela. Eram, portanto, muito rudimentares.
1.4 O sistema sexagesimal
A história mostra que os sumérios inventaram um sistema sexagesimal. Essa importante descoberta constitui incontestavelmente um dos méritos imperecíveis de sua cultura. A profunda originalidade dessa invenção é um dos maiores enigmas da história da aritmética, uma vez que nunca se explicou
a razão da escolha de uma base tão elevada. Desde a Antigüidade grega, uma multidão de autores têm se debruçado sobre essa questão, a fim de emitir hipóteses, mas nenhuma parece convincente até os dias de hoje.
Os sumérios agrupavam os seres e as coisas por sessentenas e potências de sessenta, utilizando, assim, a base 60.
Tomar a sessentena como base de um sistema de numeração sobrecarrega consideravelmente a memória, pois exige o conhecimento de sessenta palavras ou sinais diferentes para produzir os números de 1 a 60. Mas os sumérios superaram essa dificuldade, admitindo a dezena como unidade auxiliar que descarregava a memória, isto é, como patamar intermediário entre as diferentes unidades sexagesimais (1, 60, 602, 603, etc.).
1 10 10 x 6 ( 10 x 6 ) x 10 ( 10 x 6 x 10 ) x 6 ( 10 x 6 x 10 x 6 ) x 10
Culturas contemporâneas guardam traços dessa base sexagesimal, pois a utilizamos ainda hoje, para exprimir a medida de tempo em horas, minutos e segundos, ou a de arcos e ângulos em graus, minutos e segundos.
Tal princípio constituiu entre os gregos, e depois entre os árabes, um sistema erudito de numeração usado pelos astrônomos. Contudo, salvo raras e tardias exceções, desde os gregos, esse sistema só foi empregado para exprimir frações.
As escavações feitas na Mesopotâmia revelam que surgiram dois sistemas de numeração inteiramente à parte, servindo para exprimir tanto as frações quanto os inteiros: o sistema erudito dos matemáticos e astrônomos da
Babilônia, que só era empregado nos textos de caráter “científico” (herdado pelos gregos, antes de legá-lo a nós por intermédio dos árabes); e o outro,
ainda mais antigo, que constituiu para os sumérios, predecessores dos babilônios, um modo comum e exclusivo de numeração.
Os algarismos da antiga grafia só foram suplantados pelos algarismos cuneiformes a partir da III dinastia de Ur (2 100 – 2 000 a.C.).
1.5 As numerações mesopotâmicas depois do eclipse dos Sumérios
Por volta de 2000 a.C. o império de Ur III foi aniquilado sob os golpes simultâneos dos elamitas (a leste) e dos amoritas (a oeste). A civilização suméria desapareceu, deixando lugar a uma cultura nova: a do mundo assírio-babilônico.1
Os amoritas, semitas2 vindos do oeste, fundaram a cidade de Babilônia
na Baixa Mesopotâmia, a qual tornou-se a capital do país chamado Sumer e Acádia. A figura mais marcante da primeira dinastia babilônica foi Hammurábi
(1792 – 1750 a.C.), célebre monarca legislador. Estabeleceu uma política de conquistas e levou os semitas a expandirem seu território, da Babilônia a toda Mesopotâmia até o leste da Síria.
A numeração falada dos povos semíticos foi muito diferente do sistema sumério de expressão oral dos números. E isso não apenas de um ponto de vista lingüístico, mas também sob o plano matemático, pois ela foi (e permanece sempre) estritamente decimal. O sistema apresenta uma pequena singularidade em relação às numerações decimais a que estamos habituados, essencialmente ligada a considerações de ordem gramatical.
Os acádios, ao tomarem emprestada a notação sexagesimal cuneiforme dos sumérios, sentiram-se embaraçados pela presença de uma numeração escrita cuja base era completamente diferente da sua, em que o método tradicional de expressão oral dos números era estritamente decimal. Em suas contagens, como utilizavam as centenas e os milhares, introduziram as
notações estritamente decimais no sistema sexagesimal de origem suméria,
criando, assim, uma espécie de sistema misto em que combinavam unidades
1
Cf. Bottero,Cassin e Veroutter; Brinkman; Garelli; King; Parrot; Vieyra.
2 A denominação “semita” encontra sua origem no célebre quadro das nações do capítulo X do Gênesis,
sexagesimais e unidades decimais ao mesmo tempo, atribuindo um sinal especial a cada um dos números: 1, 10, 60, 102, 10X60, 103, 10X 602, ...
1.6 O sistema decimal mesopotâmico
Na Mesopotâmia, quando a língua e a escrita acádias suplantaram definitivamente suas correspondentes sumérias, a numeração estritamente decimal prevaleceu no uso corrente. O sistema assírio-babilônio, fundado na base dez, permitia uma representação de todas as ordens de unidades até o milhão.
Ifrah, p. 284)
Segundo Ifrah, grosso modo, a história das culturas mesopotâmias,
desde a época do império acádio, compreende três etapas essenciais:
a primeira, que corresponde à época de assimilação pelos semitas da herança cultural legada por seus predecessores sumérios: fase marcada por um empréstimo puro e simples do sistema sexagesimal sumério;
a segunda, que constitui uma espécie de período intermediário:
aparição de um sistema misto, constituindo um compromisso entre unidades sexagesimais e unidades decimais;
e a terceira, que corresponde ao período de preponderância dos semitas na Mesopotâmia: marcada pelo uso de um sistema rigorosamente decimal, perfeitamente adaptado.
1.7 O princípio de posição dos mesopotâmios
Os eruditos mesopotâmios, por volta da primeira metade do II milênio a.C., regulamentaram sua numeração escrita, que era eminentemente abstrata e superior a todos os sistemas até então empregados. Foi a primeira numeração estritamente posicional da história.
Esse sistema abstrato, inventado a partir da antiga numeração sexagesimal suméria, exerceu uma grande influência no mundo científico, desde a Antigüidade até nossos dias, e é bem superior a todas as notações numéricas usadas no mundo antigo e bastante similar à nossa numeração atual, diferindo apenas pela natureza de sua base (base sessenta) e pelo modo de formação de seus algarismos.
Tal sistema foi utilizado pelos astrônomos gregos que adaptaram sua numeração alfabética a esse uso. Os astrônomos árabes e judeus também o utilizaram para suas tábuas astronômicas, adaptando-o às suas numerações alfabéticas respectivas. E, assim, o sistema erudito babilônio chegou até nós, pelos árabes, perpetuando-se na expressão das medidas de tempo, na dos arcos e ângulos.
A superioridade e a engenhosidade da numeração escrita que usamos provêm, na realidade, da admissão do princípio segundo o qual os algarismos empregados têm um valor variável, que depende da posição que ocupam na escrita dos números: um dado algarismo será associado às unidades simples,
segundo, o terceiro ou o quarto lugar na expressão de um número (indo da direita para a esquerda).
Os documentos matemáticos babilônios dos quais se tem conhecimento, até nossos dias, não nos revelam o emprego do zero, a não ser em posição intermediária. Diante dessa evidência, vários historiadores das ciências deduziram que os eruditos mesopotâmios só empregavam o zero (espaço) no
interior de representações numéricas e que é necessário muita cautela antes de concluir que a identidade funcional do zero seria semelhante à nossa.
Segundo Boyer, na década de 1870 foi feito um progresso significativo na leitura de mensagens escritas nas tabletas, pois foi descoberta a Rocha Behistun que trazia uma narração trilíngüe da vitória de Dario sobre Cambises,
onde a inscrição era feita em persa, elamítico e babilônico. O conhecimento persa forneceu a chave para a leitura do assírio, língua proximamente aparentada com o babilônico, mais antigo. Mas, mesmo depois dessa importante descoberta, a decifração e análise das tabletas com conteúdo matemático avançou devagar. Só no segundo quarto do século vinte a percepção das contribuições matemáticas da Mesopotâmia se tornou apreciável, graças à obra pioneira de Fr. Thureau-Dangin, na França, e Otto Neugebauer, na Alemanha e América. (Boyer, p. 8)
1.8 Os algarismos da civilização dos faraós
Por volta de 3000 antes de nossa era, os egípcios inventaram uma escrita e um sistema de numeração escrita, mais ou menos ao mesmo tempo que os povos na Mesopotâmia. A diferença entre as duas escritas não era apenas do ponto de vista gráfico, mas também matemático, pois a base da escrita egípcia era decimal, enquanto a suméria era sexagesimal. Os sumérios reproduziram seus algarismos e seus sinais de escrita quase exclusivamente em tabuletas de argila, segundo um traço com uma ponta ou, ainda, pela pressão de uma ferramenta determinada, os egípcios, por sua vez, reproduziram seus algarismos e seus hieróglifos gravando-os ou esculpindo-os com cinzel e martelo em monumentos de pedra, ou ainda, com um caniço com uma ponta achatada, molhado numa matéria corante e traçando-os em pedaço de rocha, cacos de cerâmica ou na fibra frágil e quebradiça de folhas de papiro. A numeração escrita egípcia possui um hieróglifo particular para indicar a unidade e cada uma das seis potências de dez.
O primeiro avanço notável deve-se na realidade aos escribas egípcios, que, querendo satisfazer as necessidades da escrita rápida, procuraram, bem cedo, simplificar notavelmente a grafia e a estrutura de seu sistema inicial. Partindo de desenhos hieroglíficos minuciosos demais, esforçaram-se por chegar a sinais bastante esquemáticos, pela manutenção da continuidade do traçado, que se obtém ora por pequenos toques rápidos, ora por uma só pincelada.
Essa notação numérica muito abreviada, conhecida pelo nome de numeração hierática egípcia, atribuía um sinal particular a cada um dos números.
Estas notações exigiam um esforço de memória considerável para permitir reter os sinais postos em jogo, pois eram introduzidos nove sinais especiais para as unidades simples, nove para as dezenas, nove outros, ainda, para as centenas, e assim por diante.
Os judeus, os gregos, os siríacos, armênios e árabes adotaram notações matematicamente equivalentes a esse sistema. Entretanto, em lugar de proceder como os egípcios, esquematizando progressivamente o traçado de seus algarismos iniciais, eles forjaram seus sistemas a partir das letras de seus respectivos alfabetos.
Muito distantes no tempo ou no espaço, homens que foram submetidos a condições iniciais inteiramente favoráveis, empregaram as mesmas vias para chegar a resultados senão idênticos, ao menos similares, sem que tenha havido necessariamente contato entre eles. Na realidade, na alvorada do III milênio a.C., os egípcios encontraram-se também em condições iniciais psicológicas, sociais e econômicas semelhantes, perfeitamente favoráveis à invenção dos algarismos e da escrita.
1.9 O alfabeto e a numeração
Por volta do século XV a C., os semitas do nordeste, povos que viviam próximo da costa, na Síria-Palestina, inventaram o alfabeto, a fim de romperem com as escritas extremamente complicadas de tipo egípcio ou assírio-babilônio, então em uso no Oriente Próximo. A invenção do alfabeto, último aperfeiçoamento da escrita, e forma superior de transcrição da palavra, adaptável às inflexões de qualquer linguagem articulada, passou a permitir a escrita de todas as palavras de uma dada língua mediante um pequeno número de sinais fonéticos simples chamados de letras.
Em razão das múltiplas relações mantidas com os povos mais diversos, os fenícios, grandes mercadores e ousados navegadores, asseguraram à invenção um sucesso e uma difusão consideráveis. No Oriente, transmitiram-na inicialmente a seus vizinhos imediatos. A escrita alfabética, de origem fenícia, difundiu-se pela orla do Mediterrâneo e foi pouco a pouco adotada pelos povos ocidentais, que a adaptaram a suas respectivas línguas, modificando ou acrescentando a ela alguns sinais.
“A ordem das letras fenícias, assegurada pela concordância absoluta entre os velhos abecedários etruscos (o de Marsilana remonta a 700 a. C.) e as numerosas poesias hebraicas contidas no Antigo Testamento, apresentando o alfabeto em acróstico (Salmos, 9, 10, 25, 34, 37, 111, 112, etc.). Os mais antigos abecedários etruscos tinham conservado as vinte e duas letras do alfabeto fenício, o que torna seu testemunho ainda mais precioso”.
O fato de as letras alfabéticas terem sido conservadas na mesma ordem em que foram concebidas desempenhou um papel importante no domínio da numeração.
O alfabeto grego foi fundamental na história da nossa escrita e da nossa civilização. Serviu para notar a língua da cultura mais rica do mundo antigo, transmitindo a mensagem de um pensamento incomparável. Tornou-se o intermediário ocidental, não somente histórico, geográfico e gráfico, mas também estrutural, entre o alfabeto semítico e o alfabeto latino, já que foram os gregos os pioneiros na idéia de notação rigorosa e integral das vogais.
O alfabeto grego clássico do século IV era composto de vinte e quatro letras: vogais e consoantes.
A numeração, por sua vez, além de empregar as vinte e quatro letras do alfabeto grego clássico, acrescentava três sinais alfabéticos: digama, kopa e san, que pouco a pouco caíram em desuso na língua. Esses vinte e sete sinais
eram repartidos em três classes numéricas. A primeira, destinada às unidades, continha as oito primeiras letras do alfabeto clássico e o antigo digama (antigo waw semítico), que representava o sexto valor.A segunda classe, das dezenas,
era formada pelas oito letras seguintes, mais o sinal kopa (o antigo Qof), ao
qual era atribuído o valor 90. A terceira classe, das centenas, comportava as oito últimas letras clássicas e o sinal San (antigo Sade), ao qual era atribuído o
valor numérico de 900. Para os primeiros nove múltiplos de mil, adotaram as primeiras nove letras do alfabeto, um uso parcial do princípio posicional; mas para maior clareza essas letras eram precedidas por um risco ou acento:
,α ,β ,γ ,δ ,ε ,ς ,ζ ,η ,θ
1.10 A origem da numeração chinesa
Ifrah ressalta que no final do século passado, no sítio arqueológico de Xiao Dun (vila situada no nordeste do distrito de An’ yang, província de Henan), foram descobertos alguns milhares de ossos e cascas de tartaruga, constituindo os mais antigos testemunhos atualmente conhecidos da escrita e da numeração chinesas; estes jiaguwen (ou “ossos oraculares”) datam da
época de Yin (século XIV-XI a.C.). Essas inúmeras peças, outrora pertencentes a adivinhos-sacerdotes ligados à corte, provavelmente serviram para a prática da adivinhação pelo fogo. Continham em uma das faces, inscrições gravadas com ponta, e na outra, apresentavam rachaduras devido ao calor.
Para exprimir os números, os chineses habitualmente utilizavam um sistema decimal que continha treze sinais fundamentais, representando as nove unidades e as quatro primeiras potências de dez (10, 100, 1 000, 10 000). Esses sinais numéricos de traçado simples ainda são empregados, da mesma forma, em nossos dias.
(Ifrah, p.467)
Essa numeração escrita corresponde ao tipo das numerações fundadas no princípio “híbrido”, pois as dezenas, centenas, milhares e dezenas de milhares são expressas segundo o princípio multiplicativo. Para todos os números intermediários, os chineses utilizam, ainda hoje, a adição e a multiplicação ao mesmo tempo. Por exemplo: para decompor o número 79 564, ele ficaria escrito na forma:
Os tradicionais caracteres japoneses (que continuam a ser utilizados até os dias de hoje) foram emprestados da escrita chinesa. Mas, os algarismos japoneses não são lidos como os chineses; possuem duas pronúncias diferentes. Uma, dita “sino-japonesa”, derivada do chinês (mais exatamente da pronúncia chinesa da época e da região do empréstimo japonês da escrita correspondente) e a outra, propriamente japonesa. Coexistindo, até hoje, na língua japonesa, duas séries completamente diferentes de nomes de número.
Para exprimir as grandes quantidades, tanto os chineses como os japoneses raramente precisam, no uso ordinário, de outros sinais numéricos além daqueles treze que conhecem, pois, servindo-se unicamente desses caracteres fundamentais de sua numeração corrente, chegam a representar e
registrar qualquer número. Por exemplo, para representar o número 487 390 629, escreve-se:
números intermediários, os chineses utilizam, ainda hoje, a adição e a
(Ifrah, p.552)
Para representar o número abaixo, usam a decomposição:
Esse tipo de representação mostra que o sistema empregado pelos chineses, além de ser decimal é também posicional.
Diversos tratados escritos por matemáticos chineses, japoneses e coreanos, que chegaram até nós, mostram que a partir do século II a.C., havia um alto desenvolvimento intelectual no Extremo Oriente. O sistema utilizado por eles é análogo à nossa numeração moderna, pois, além de sua base decimal, o valor dos algarismos é determinado pelo lugar que ocupam na leitura dos números. Trata-se, portanto, de uma numeração decimal estritamente posicional.
Essa numeração combinava regularmente barras horizontais e verticais, segundo um princípio ideográfico. Por mais engenhosa que fosse essa numeração, os chineses souberam contornar quase todos os obstáculos surgidos. Mas, durante vários séculos, os matemáticos chineses ignoraram o zero.
A partir do século VIII d.C., talvez por influência dos matemáticos da civilização indiana, os sábios chineses introduziram em sua numeração posicional um sinal especial (figurado por um pequeno círculo) para marcar a ausência das unidades de uma certa ordem.
Esse sinal especial também era usado para representar uma fração decimal, quando colocado à esquerda de pelo menos um dos treze caracteres fundamentais que representavam sua numeração.
Todas as regras aritméticas ou algébricas relativas aos números inteiros, fracionários ou irracionais, atingiram, desde então, um grau de perfeição mais ou menos semelhante àquele das regras de nosso ensino científico atual.
1.11 A civilização maia
Entre os povos pré-colombianos do Novo Mundo, os que habitavam a Meso-América (região que se estende do México à Guatemala e Honduras) parecem ter sido os únicos a possuírem uma verdadeira forma de escrita. Por ser esse território muito grande, proliferaram múltiplos particularismos regionais, e os principais foram: o dos maias, o dos zapotecas (povo localizado em torno do Monte Albán no vale de Oaxaca, entre o território maia e os altos planaltos mexicanos); o dos mixtecas (fixados no sudoeste mexicano, ao Sul das terras zapotecas); e, enfim, o dos astecas (no centro do México, em torno da atual capital).
De todas as culturas pré-colombianas da América Central, a Civilização Maia é, certamente, a mais célebre, e a influência que ela exerceu sobre as outras, principalmente sobre a dos astecas, foi comparável à influência dos gregos sobre os romanos durante a Antigüidade.
Como todos os povos dessa região, os maias tinham como base não a dezena, mas a vintena, hábito que herdaram de seus ancestrais: contar não apenas com os dez dedos, mas também com seus artelhos. Até dez (inclusive), os números são nomeados de maneira independente; para além, trata-se de nomes compostos, fazendo com que a dezena desempenhe o papel de base auxiliar na nomenclatura dos números inferiores a vinte. Essa numeração repousava sobre o princípio da adição.
Infelizmente, quase todos os manuscritos maias foram destruídos pelo fanatismo dos inquisidores espanhóis. O que se pode ler nos textos e
inscrições deixadas por eles, são apenas dados numéricos, astronômicos e calendários. É permitido, contudo, formular uma hipótese muito plausível a partir desses dados. Na verdade, as únicas menções numéricas que possuímos da civilização maia se referem não à aritmética prática, mas à astronomia e à marcação do tempo.
eram muito preocupados com a ordem gráfica, estética e religiosa. No plano religioso, cada unidade de tempo era concebida como um fardo que um deus guardião do tempo levava em suas costas, e como reagiriam os deuses caso fossem suprimidas suas esfinges de uma estela comemorativa? Os escultores e os modeladores maias não podiam correr o risco de encolerizá-los.
As dezenove primeiras unidades (unidades de primeira ordem) dessa numeração vigesimal eram representadas por pontos e traços.
Cada número superior a vinte era escrito numa coluna vertical. A escrita dos números 21 (1 X 20 + 1) e 79 ( 3 X 20 + 19) eram representadas:
1 X 20 + 1 3 X 20 + 19
Curioso era a terceira posição desse sistema de base 20, pois não mantinha a regularidade, isto é, esse terceiro andar indicava, na realidade, os múltiplos de 360. Assim, a escrita seguinte, por exemplo, correspondia a:
12 X 360 + 3 X 20 + 19
(Ifrah,p. 639)
(Ifrah,p. 640)
Para as posições seguintes, retornava-se a utilização estrita da base 20 e, cada patamar, a partir do quarto, valia vinte vezes mais do que o patamar imediatamente inferior. Três multiplicações e uma adição permitiam ler uma representação de quatro algarismos, por exemplo:
Essa mudança de regularidade na 3ª posição fez com que o zero maia não desempenhasse o papel de operador aritmético. A numeração maia não era estritamente vigesimal e, devido a essa característica peculiar, o zero maia foi privado de toda possibilidade operatória.
[1;0] corresponde a 1 X 20 + 0 = 20
[1;0;0] corresponde a 1 X 360 + 0 X 20 + 0 = 360 [1;2;0] corresponde a 1 X 360 + 2 X 20 + 0 = 400
As descobertas não foram um fenômeno partilhado por todos os povos ao mesmo tempo. Este é o caso do conceito de zero, que os povos ocidentais precisaram esperar a Idade Média para que lhes fosse transmitido pelos árabes, que tinham, por sua vez, recebido dos sábios da Índia.
(Ifrah, p. 640)
1.12 A descoberta do princípio multiplicativo
Esses diversos povos mantiveram-se, durante muito tempo, profundamente ligados ao uso do velho princípio de adição. Quando os obstáculos apresentados pelo registro de grandes números surgiram, alguns povos foram levados a mudar radicalmente de regra numeral, adotando para tanto um princípio misto, dito “híbrido parcial”, que se calcava simultaneamente na multiplicação e na adição.
Os assírio-babilônios e os aramaicos reservaram um algarismo particular para cada um dos números 1, 10, 100 e 1000, recorrendo, assim, ao princípio multiplicativo, segundo combinações aritméticas, mas, para notação dos números inferiores a 100, limitaram-se a repetir o algarismo da unidade e o da dezena tantas vezes quanto fosse necessário.
Os habitantes da ilha do Ceilão, numa época um pouco mais tarde que a dos assírios, partiram de um sistema inicial muito mais bem concebido do que o deles, e atribuíram sinais especiais não somente a cada potência de dez, mas também a cada uma das nove unidades simples e a cada uma das nove dezenas, aplicando-lhes o princípio precedente, de modo que o número 7 659 passou a ser decomposto: 7 X 1000 + 6 X 100 + 50 + 9.
Mas foram os chineses e os povos da Índia meridional que melhor souberam tirar proveito do princípio em questão. Criaram também sinais particulares para representar os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 100, 1 000, 10 000. Em lugar de fazer as dezenas figurarem por meio de sinais especiais, tiveram a idéia de estender o princípio multiplicativo à notação de todas as ordens de unidades superiores ou iguais à base de sua numeração. Já os números intermediários eram expressos pela inserção do sinal indicador da dezena entre o algarismo das unidades simples e o das unidades de 2a
aliviar a memória – evitando a fixação de um número considerável de símbolos originais.
1.13 A descoberta do princípio de posição
O sistema de numeração que usamos, além de possuir o princípio multiplicativo, possui também o princípio de posição, regra segundo a qual um
algarismo tem um valor que varia em função da posição que ocupa tanto na escrita de um número quanto na oralidade dele. Na numeração decimal atual, um “5” tem como valor 5 unidades, 5 dezenas ou 5 centenas, dependendo se é
colocado na primeira, segunda ou terceira posição, da direita para a esquerda, numa representação numérica. Para escrever o número três mil setecentos e vinte e quatro, basta colocar simplesmente nessa ordem a seqüência de algarismos 3, 7, 2, 4, já que, segundo essa regra, a escrita 3 724 significa o valor de: 3 X 1000+7 X 100+2 X 10+4.
Esse princípio foi ignorado completamente pelas civilizações gregas e egípcias, e mesmo a humanidade tateou e hesitou durante milênios antes de descobri-lo. A civilização que elaborou as bases de nosso sistema atual não foi nem a primeira e nem a única a descobrir o princípio de posição.
Ifrah comenta que três outros povos também realizaram as primeiras numerações de posição da história:
uma primeira vez, no início do II milênio a .C., pelos sábios da Babilônia;
uma segunda vez, um pouco antes do início de nossa era, pelos matemáticos chineses;
e uma terceira vez, entre os séculos IV e IX d.C., pelos sacerdotes-astrônomos da civilização maia.
Os sábios babilônios descobriram o princípio de posição e aplicaram-no rigorosamente ao seu sistema de numeração, cuja base era 60. Jamais lhe ocorreu a idéia de associar um algarismo particular a cada uma das unidades significativas de seu sistema sexagesimal. Assim, em lugar de usar 59 símbolos diferentes, usavam apenas dois, que era uma linguagem cuniforme: um representando a unidade, e o outro, a dezena, limitando-se a repeti-los, no interior de cada ordem, tantas vezes quanto era necessário, até a 59a unidade.
Os chineses também descobriram a regra de posição e empregaram-na sobre uma base decimal. Mas não fizeram melhor do que os babilônios, pois conservaram sua notação ideográfica em vez de estabelecer sinais diferentes para suas nove unidades simples. Representavam o número 8, por exemplo, reproduzindo uma vez o algarismo para o 5 e três vezes o algarismo da unidade.
que possuímos da Civilização Maia referem-se não à aritmética, mas à astronomia e ao cômputo do tempo.
A “ciência maia” foi concebida no alto dos santuários para satisfazer às necessidades dos sacerdotes, que também eram astrônomos, na contagem do tempo e nas observações do Cosmos, como no ritmo contínuo das estações e sua influência na cultura do milho; no retorno cíclico e previsível dos fenômenos celestes; no ciclo da vida e da morte, do dia e da noite, etc.
Os maias possuíam dois calendários distintos que eram usados simultaneamente, um de origem essencialmente religiosa (Tzolkin), e outro,
considerado “civil” (Haab), usado pela população em geral.
O ano litúrgico dos maias era formado por vinte ciclos de treze dias, contando, assim, com duzentos e sessenta dias, para o qual usavam o calendário Tzolkin .
O outro calendário (Haab), utilizado pelos maias, era um calendário
solar, no qual o ano correspondia a 365 dias, composto de dezoito uinal
(período “mensal” de vinte dias cada um) e de um curto período complementar de cinco dias, acrescido ao final do décimo oitavo uinal. Esse período de cinco
dias, chamado de uayeb (“o que não tem nome”), qualificado por eles de
“fantasmas” ou “inúteis”, era considerado pelos maias, de dias vazios, tristes e nefastos para o ser humano.
1.14 A Civilização Indiana: Berço da Numeração Moderna
A partir de uma rica e sólida documentação, desde o início do século XX, provas completas de que nossa numeração atual é de origem indiana, foram obtidas através de vários setores e especialidades. Não foi feita, entretanto,
demonstração de síntese que levasse em conta tais provas em seu conjunto,
segundo um raciocínio rigoroso e uma metodologia inteiramente satisfatória. A fim de provar que a civilização indiana constituiu o berço da numeração moderna, George Ifrah subdividiu a questão em vários problemas subjacentes, e com o apoio de toda uma documentação válida que se impõe, procedeu, em seu livro A História Universal dos Algarismos, tomo 2 (pg 23), da
demonstrou que a civilização hindu descobriu efetivamente o princípio de posição e que o aplicou regularmente, com toda a consciência, nas diversas potências de dez.
provou que ela inventou o conceito de zero, ao qual soube dar não somente o sentido do lugar vazio, mas também o do número nulo.
estabeleceu que ela chegou a algarismos de base livres de qualquer intuição visual direta.
demonstrou que os grafismos, ligados a seus algarismos desde a alta época, prefiguram não somente todas as variedades atualmente em uso na Índia, Ásia central e sudeste asiático, mas também as formas respectivas dos algarismos dos árabes orientais e ocidentais, bem como a grafia de nossos algarismos atuais e seus diversos predecessores europeus do mesmo gênero.
provou que os sábios dessa civilização estabeleceram os métodos de cálculo que deram origem aos nossos.
estabeleceu, enfim, que todas essas descobertas foram realizadas pela Índia e somente pela Índia, independentemente, portanto, de qualquer influência estrangeira.
1.15 A época provável das maiores descobertas
O período imperial dos Gupta, dinastia que reinou sobre todo o vale do Gânges e seus afluentes, de 240 a 535 d.C., período chamado clássico,
abrigou a mais alta expressão da arte indiana (a escultura e a pintura, como as das grutas de Ajanta, por exemplo), o desenvolvimento da prática da dissecação, na Medicina, bem como a descoberta do zero e da numeração decimal de posição.
O tratado de Lokavibhâga remonta precisamente a 458 d. C. Ele oferece
o mais antigo registro conhecido do uso do zero e da numeração decimal posicional indiana; percebe-se, portanto, que o limite inferior da data dessa descoberta se situa justamente em meados da época gupta.
No domínio literário, o sânscrito, até então língua oficial da corte e do bramanismo, foi adotado pelos budistas e pelos Jaina3 . Foi a época das primeiras redações do Mahâbhârata , um dos maiores poemas épicos indianos,
e da maioria dos Dharmashâstra, coletânea de textos que trata em particular,
dos usos, das leis e das castas.
Desde o século V os aritméticos indianos serviram-se do sistema posicional dos nove algarismos e do zero, chegando por vezes a operações muito complicadas.
A numeração sânscrita era de uma excelente qualidade conceitual. A descoberta do zero e da numeração de posição que se produziu em meados do período imperial dos Gupta, dinastia que reinou sobre todo o vale do
Gânges e seus afluentes de 240 a 535 d.C., permitia a concepção e o manejo dos números mais elevados ou menos elevados que se pudesse imaginar.
O período Gupta foi testemunha dos progressos mais espetaculares em
quase todos os domínios, constituindo por assim dizer uma verdadeira
explosão da expressão da cultura indiana. Certamente não é por acaso que a
época Gupta coincide com o início do grande impulso da Matemática indiana.
Nessa época, deu-se a redação definitiva do Lalitavistara Sûtra4, em
que se conta a lenda de Buda, lidando constantemente com números
gigantescos.
É preciso levar em conta, entretanto, o fato de que os documentos que atestam o uso dos símbolos numéricos e da notação posicional dos nove algarismos só passam a ser em quantidade significativa a partir do século VI.
A cultura indiana fez da ciência dos números a primeira e mais nobre de suas artes, desenvolvendo desde cedo suas espantosas especulações aritméticas que versavam sobre números gigantescos.
A ciência dos números não foi inspiração individual de um inventor, mas de vários cientistas indianos. O cientista indiano era um homem dedicado à
reflexão contínua e aos estudos sobre os domínios mais diversos, em que o primordial eram as considerações místicas, simbólicas, metafísicas e religiosas.
3 nome de uma seita religiosa que parece ter sido fundada por volta do século VI antes de nossa era.(cf.G.
Ifrah)
4 Lalitavistara Sûtra ou Desenvolvimento dos jogos [do Buda] – texto sânscrito do budismo do Mahâyâna,
Esses eruditos dominavam simultaneamente astronomia, poesia, métrica, literatura, fonética, filosofia, mística, astrologia, cosmologia e mitologia.
A aptidão para o estudo dos números e para as pesquisas aritméticas freqüentemente combinava-se com uma tendência surpreendente para as abstrações metafísicas, ancoradas no pensamento e nas tradições indianas que eram encontradas por toda parte e em todos os domínios desde as criações Matemáticas mais avançadas até as elaborações mais longínquas das ciências exatas. A ciência indiana germinou e floresceu num terreno semeado
de elementos místicos e religiosos.
Estudos sobre a Índia antiga, vinculados à gramática e à interpretação, mostram que a poesia e a métrica sânscrita iniciavam os sábios indianos tanto na aritmética quanto na gramática, tornando-os poetas, gramáticos, cosmólogos, e todos os demais, eruditos tão competentes em matéria de cálculo quanto os próprios aritméticos de profissão.
1.16 Última descoberta fundamental: o zero
À medida que o princípio de posição foi sendo regularmente aplicado, fez-se necessário um sinal gráfico especial para representar as unidades faltantes; assim, a descoberta do zero marcou a etapa decisiva de uma revolução sem a qual não se poderia imaginar o progresso da Matemática, das ciências e das técnicas modernas. Era indispensável existir um sinal que tivesse justamente por objetivo marcar a ausência das unidades de uma certa ordem. Esse algo que significava nada, ou antes, o espaço vazio de uma
unidade faltante, era finalmente o zero. A percepção de que o vazio pode e deve ser substituído por um símbolo, que tem precisamente por significado o vazio, representava a última abstração.
Segundo Ifrah, no início, esse conceito foi sinônimo apenas do lugar vazio assim preenchido. Mas pouco a pouco, percebeu-se, pela força da necessidade e da abstração, que vazio e nada, concebidos inicialmente como
matemáticos idênticos aos nossos. Todos estes sistemas só eram eficazes para notar e registrar números.
O passo decisivo na adoção de sistemas de representação numérica de capacidade ilimitada, ou seja, simples, racional e prontamente utilizável para diversos cálculos, só poderia ser dado pela invenção de uma numeração de posição bem concebida. E foi a descoberta suprema e tardia dos aritméticos que produziu o sentido propriamente numérico da quantidade nula.
1.17 A introdução dos algarismos indianos na Terra do Islã
Após a morte do profeta Muhammad (Maomé), os árabes islamizados edificaram, através da conquista, um imenso império. No início do século VIII, este estendia-se dos Pirineus aos confins da China, passando pela Espanha, Itália do Sul, Sicília, África do Norte, Tripolitânia, Egito, Palestina, Síria, uma parte da Ásia menor e do Cáucaso, a Mesopotâmia, a Pérsia, o Afeganistão e o vale do Indo. Viviam essencialmente do comércio de especiarias, drogas, pigmentos e perfumes. Tinham uma escrita rudimentar e manipulavam alguma aritmética. Sua ciência limitava-se a rotinas de uso prático, que consistiam em simples receitas, plenas de aritmologia, mística, e de toda espécie de prática mágica ou divinatória.
No empreendimento de suas conquistas e relações comerciais, entrando em contato com povos de diversas culturas, ciências e técnicas mais desenvolvidas que as suas, souberam adaptar-se a elas, assimilando os conceitos e conhecimentos que os sábios, intelectuais e engenheiros dos países conquistados tinham acumulado ao longo das eras. Construíram assim, com esses povos, uma ciência e uma cultura originais.
Do século VIII a XIII, enquanto a civilização ocidental era devastada pelas epidemias, fome e guerras, tornando-se incapaz de assegurar a sucessão da herança cultural da Antigüidade, na Terra do Islã, os sábios arábico-muçulmanos procuraram não só preservar, mas propagar e fazer frutificar obras de Matemática, astronomia, filosofia, medicina, farmacêutica, zoologia, botânica, química, mineralogia e mecânica. Traduções e obras de síntese multiplicaram-se; universidades e bibliotecas foram construídas por toda parte do mundo islâmico. A língua que servia de elo para os letrados e sábios do mundo muçulmano era a árabe.
Dentre as diversas culturas assimiladas, a Pérsia contribuiu com numerosos e brilhantes sábios como Al Khowarizmi. Os árabes também foram ajudados por vários brâmanes hindus que os califas ilustres de Bagdá acolheram em seus domínios e por sábios do mundo árabe, não muçulmano, como os intelectuais judeus e cristãos.
conquistas romanas influenciaram os povos submetidos tão profundamente quanto as invasões muçulmanas. Isto porque os guerreiros do islã desejavam converter o mundo dos infiéis. Essa não foi a única razão que provocou um
movimento de unificação e de universalização, mas também a necessidade imposta pelo comércio internacional. Outra razão foi a de que, desde o início da história da ciência arábico-islâmica, todo escrito que desejasse adquirir um valor e uma importância nas ciências devia obrigatoriamente ser escrito em árabe. Essa língua tornou-se, durante longo período, o veículo intelectual entre os letrados e sábios de diversas origens.
Desde o final do século X, os algarismos e a numeração moderna ficaram conhecidos pelos europeus, mas sua utilização, por mais de duzentos anos, foi considerada primitiva. O sistema serviu para simplificar métodos arcaicos e acabar, no final das contas, segundo a palavra de Guilherme de Malmesbury, em “regras que os abacistas, suando, compreendiam com dificuldade”.
De 1095 a 1270, os poderosos príncipes e cavaleiros cristãos tentaram impor, pelo gládio, sua religião e suas tradições aos infiéis do Oriente. Graças
às numerosas trocas feitas, alguns clérigos posteriores às cruzadas aprenderam o cálculo escrito à maneira indo-arábica. Os cristãos, por sua vez, criaram o hábito de traduzir em latim tudo o que lhes chegava às mãos.
No início do século XIII, quando Leonardo de Pisa, o Fibonacci, em visita à África muçulmana, dirigia-se ao Oriente Próximo, encontrou aritméticos árabes que lhe ensinaram seu sistema de numeração, seus métodos de cálculo, as regras algébricas e os princípios fundamentais da geometria. Ao retornar à Europa, compôs, em 1202, um tratado destinado a tornar-se o breviário de todos os detentores do algorismo: o Liber Abaci (tratado do ábaco),
que contribuiu para uma difusão considerável dos algarismos arábicos, bem
como para o desenvolvimento da álgebra na Europa ocidental. Essa obra explicava todas as regras do cálculo escrito, levando em consideração o uso do zero e dos nove algarismos regidos pelo princípio de posição.
A numeração de posição permitiu um desenvolvimento considerável da aritmética, tornando muito mais evidentes as propriedades dos números. Abriu as portas à infinita complexidade do universo dos números.
2. Uma outra história:::: a do ensino dos números e do sistema de numeração decimal
Nas últimas décadas, o ensino dos números e do sistema de numeração decimal no ensino fundamental tem sofrido mudanças, provocadas por diferentes tendências didáticas e pedagógicas.
Programas oficiais, propostas curriculares, documentos subsidiários e livros didáticos são documentos importantes para analisar essas mudanças e procurar identificar as teorias que as fundamentam, para compreender melhor o que se propõe e o que se faz na sala de aula.
Tomando como referência o sistema estadual de ensino público do Estado de São Paulo, em 1949, verificamos que foram lançados programas oficiais cuja vigência se estendeu até 1968, ano em que foi elaborado um novo programa. Nesses programas, em que se apresentava o estudo de Aritmética e de Geometria, o ponto central do trabalho com a numeração era a aprendizagem da seqüência numérica, baseada numa progressão de etapas que levava em conta a grandeza dos números envolvidos e uma hierarquização de prováveis dificuldades. O trabalho era apoiado na memorização das escritas, com exercícios em que se propunha ao aluno copiar várias vezes a seqüência numérica de 1 a 10, de 1 a 20, de 1 a 100.
Os programas de 1ª a 4ª séries enfatizavam o trabalho com resolução de problemas, jogos, e uma conexão íntima com o ensino da leitura e da linguagem, a fim de despertar o interesse infantil e favorecer o desenvolvimento geral do aluno.
No período de 66 a 76, sob grande influência da Matemática Moderna, novas orientações fizeram surgir novas práticas. Os Guias Curriculares (1974) para as matérias do núcleo-comum (Comunicação e Expressão, Estudos Sociais e Ciências) do ensino do 1º grau traziam orientações que, de certo modo, já haviam chegado aos professores por meio de livros didáticos.
A marca desse período foi a inclusão de elementos da teoria dos conjuntos para o trabalho com números e a exploração do processo de agrupamentos e trocas em diferentes bases, difundindo-se a idéia de que seria aconselhável trabalhar com bases menores, como as bases 2, 3, 4, 5, etc.,
anteriormente à base 10, dando ênfase ao material conhecido como multibase.
Jogos como nunca 2, nunca 3, nunca 5, etc., antecediam o nunca 10, que era usado como mote para a exploração das regras do sistema de numeração decimal.
Raramente as atividades sobre o assunto eram abordadas a partir de resolução de problemas ligados ao cotidiano. A justificativa da importância do domínio do SND para uma boa compreensão das operações já era muito forte.
Como os Guias Curriculares se mostraram um documento complexo e insuficiente para o trabalho dos professores, foram elaborados os Subsídios para a Implementação do Guia Curricular de Matemática.
Além de explicitar os princípios apresentados nos guias, esses documentos procuravam fornecer informações para professor sobre os conteúdos matemáticos, com algumas sugestões sobre como abordar esses conteúdos em sala de aula. O Material Dourado, as caixinhas de contagem, os palitos amarradinhos, eram uma forte tendência apresentada nesse material, para que os alunos pudessem se apropriar do sistema de numeração.
Objetivos, pré-requisitos, material e atividades dos Subsídios, sobre o sistema de numeração decimal de 1ª a 4ª séries, encontram-se no anexo 2.
Como os Subsídios foram considerados ainda insuficientes para atender à grande demanda do professor sobre como ensinar, a Secretaria de Educação
do Estado de São Paulo, através do Centro de Estudos e Normas Pedagógicas, elaborou os documentos Atividades Matemáticas, que ainda hoje
Esse material subsidiário ao trabalho do professor, acompanhado da orientação realizada por monitores e supervisores, em discussões relativas à elaboração e implementação da Proposta Curricular de Matemática, destinava-se a apoiar as decisões didáticas, oferecendo embasamento teórico que promovesse o atendimento às necessidades e interesses das crianças.
Uma das marcas do trabalho com as operações, nesse material, residia no rompimento com a abordagem dos números e das operações pela via da teoria de conjuntos. As atividades propostas usavam como recurso a resolução de situações-problema, visando a desafiar o aluno à reflexão, discussão em grupo, elaboração de hipóteses e procedimentos, bem como à aplicação do aprendido em situações novas.
Faziam parte do material atividades sobre o sistema numeração decimal, que visavam a proporcionar experiências com agrupamentos e trocas, também em bases diferentes da decimal, a fim de promover a compreensão do processo de agrupamentos e trocas que caracterizam o sistema posicional de numeração decimal. Com essas atividades procurava-se desenvolver a compreensão do aluno de que é possível designar o número de objetos de uma coleção finita, fazendo agrupamentos e nomeando-os ou realizando trocas com
valores pré-estabelecidos.
Outra idéia introduzida foi a de analisar outros sistemas de numeração, como o dos egípcios, o dos romanos, o dos maias, para que, no processo de comparação, o aluno tivesse mais clareza do sistema hindu-arábico.(ANEXO 3) A Proposta Curricular para o Ensino de Matemática no Ensino de 1º grau é o documento orientador das práticas da década de 86/96 para a rede estadual de ensino em São Paulo. Nela reafirmam-se os pressupostos do trabalho com as operações apresentados nos Atividades Matemáticas.
Na Proposta Curricular de Matemática, o professor encontra ainda a distribuição dos conteúdos por séries e observações de ordem metodológica. (ANEXO 4)
Mais recentemente (1998), no Brasil todo, os sistemas de ensino dispõem dos Parâmetros Curriculares Nacionais - os PCN.
Fundamental com um conhecimento insuficiente dos números, sobre como eles são utilizados, e sem terem desenvolvido a compreensão dos diferentes significados das operações.
O documento indica, ainda, a possibilidade de este fato ocorrer em função de uma abordagem inadequada para o tratamento dos números e das operações e da pouca ênfase que tradicionalmente é dada a este assunto nos terceiro e quarto ciclos. Ressalta-se que, mesmo os alunos das séries mais adiantadas, que calculam corretamente, muitas vezes não sabem interpretar os números obtidos para dar resposta a um problema.
O Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar do Estado de São Paulo, SARESP, criado em 1996, com a intenção de gerar uma cultura de avaliação que agilizasse tomadas de decisão de melhoria no ensino, em uma de suas avaliações, mostra o seguinte exemplo:
Em situações como: “Quantos ônibus de 36 lugares são necessários, no mínimo, para transportar 1128 passageiros, se nenhum ônibus pode transportar mais que 36 pessoas?” são freqüentes respostas como 31,333... ou 31, e não 32 que, no caso, é a correta. Além de não saberem interpretar os números, os alunos demonstram não saber o significado da operação envolvida. Também é comum apresentarem dificuldade para ler, escrever e comparar números com vários dígitos.
Os PCN destacam, também, que no terceiro e quarto ciclos, o trabalho com os conteúdos relacionados aos números e às operações deve privilegiar atividades que possibilitem ampliar o sentido numérico e a compreensão do significado das operações, ou seja, atividades que permitam estabelecer e reconhecer relações entre os diferentes tipos de números e entre as diferentes operações. Sugerem que, no terceiro e quarto ciclos, os problemas relacionados à evolução histórica dos números podem ser usados como interessantes contextos para ampliar a visão dos alunos sobre os números naturais, não apenas relatando como se deu essa evolução, mas explorando as situações com as quais as civilizações antigas se defrontaram, como: as limitações dos sistemas não-posicionais, os problemas com a representação numérica antes do surgimento do zero, os procedimentos de cálculo utilizados pelas civilizações suméria, egípcia, grega, maia, chinesa, etc.
