Leis Distributivas (veja que nestes dois casos prevalece o produto notável – fator comum. 1ª. p v (q r)  (p v q) (p v r)

(1)

Introdução à Lógica - -

Quando uma proposição é equivalente a outra? Como podemos comprovar esta equivalência? Isto é o que veremos nesta nossa sétima aula.

O nosso objeto de estudo continua sendo as proposições. Porém como saber se elas

são ou não equivalentes? As proposições sob a relação de equivalência lógica satisfazem

várias leis ou identidades que auxiliam na composição/resolução dos exercícios relacionados

à Álgebra de Boole. Identidades estas que serão descritas a seguir:

Leis Idempotentes 1ª. p v p  p 2ª. p ^ p  p

Aula 07

EQUIVALÊNCIA LÓGICA

(2)

Leis Associativas (perceba que nesta lei a posição dos parênteses não altera o resultado)

1ª. (p v q) v r  p v (q v r) 2ª. (p ^ q) ^ r  p ^ (q ^ r)

Exemplo:

Veri_ﬁ que se as expressões (p ^ q) ^ r  p ^ (q ^ r) são equivalentes. Para veri_ﬁ car esta equivalência precisamos utilizar a tabela-verdade.

p q r p ^ q (p ^ q) ^ r q ^ r p ^ (q ^ r)

V V V V V V V

V V F V F F F

V F V F F F F

V F F F F F F

F V V F F V F

F V F F F F F

F F V F F F F

F F F F F F F

Perceba que o resultado destas duas colunas são iguais, portanto, equivalentes

Perceba que o resultado destas duas colunas são iguais, portanto,

equivalentes (p v q  q v p).

Leis Comutativas (perceba que nesta lei a ordem não altera o resultado) 1ª. p v q  q v p

Exemplo:

Veri_ﬁ que se as expressões p v q  q v p são equivalentes.

Para veri_ﬁ car esta equivalência precisamos utilizar a tabela-verdade.

p q p v q q v p

V V V V

V F V V

F V V V

(3)

Perceba que o resultado destas duas colunas são iguais, portanto,

equivalentes (p ^ q  q ^ p).

Perceba que o resultado destas duas colunas são iguais, portanto, equivalentes [p v (q ^ r)  (p v q) ^ (p v r)].

p q p ^ q q ^ p

V V V V

V F F F

F V F F

F F F F

2ª. p ^ q  q ^ p

Exemplo:

Veri_ﬁ que se as expressões p ^ q  q ^ p são equivalentes.

Leis Distributivas (veja que nestes dois casos prevalece o produto notável – fator comum.

1ª. p v (q ^ r)  (p v q) ^ (p v r) Neste caso o valor p v está presente nos

dois termos (dentro do parênteses). Por

este motivo está disponibilizado como

fator comum, em evidência.

Exemplo:

Veri_ﬁ que se as expressões p v (q ^ r)  (p v q) ^ (p v r) são equivalentes. Para veri_ﬁ car esta equivalência precisamos utilizar a tabela-verdade.

p q r q ^ r p v (q ^ r) p v q p v r (p v q) ^ (p v r)

V V V V V V V V

V V F F V V V V

V F V F V V V V

V F F F V V V V

F V V V V V V V

F V F F F V F F

F F V F F F V F

(4)

Introdução à Lógica - - Leis de Identidade

1ª. p v F  p Caso o conectivo seja v (ou) associado a F, a resposta sempre será o valor da própria proposição p.

Exemplo:

Veri_ﬁ que se as expressões p v F  p são equivalentes.

PERCEBA QUE O RESULTADO DESTAS DUAS COLUNAS

SÃO IGUAIS, PORTANTO, EQUIVALENTES (p v F  p).

PERCEBA QUE O RESULTADO DESTAS DUAS COLUNAS SÃO IGUAIS, PORTANTO, EQUIVALENTES (p v V  V).

p

F

p v F

V

F

V

F

p

V

p v V

V

F

V

2ª. p v V  V Basta ter apenas um valor V com o conectivo v (ou) então a saída equivale a V.

Exemplo:

Veri_ﬁ que se as expressões p v F  V são equivalentes.

3ª. p ^ F  F Basta ter apenas um valor F com o conectivo ^ (e)

então a saída equivale a F.

Exemplo:

Veri_ﬁ que se as expressões p ^ F  F são equivalentes.

(5)

SÃO IGUAIS, PORTANTO, EQUIVALENTES (p ^ F  F).

SÃO IGUAIS, PORTANTO, EQUIVALENTES (p ^ V  p).

Perceba que a saída é sempre V

p

F

p ^ F

V

F

p

V

p ^ V

V

F

V

F

Perceba que a saída é sempreV

p

~p

p v ~ p

V

F

V

F

V

4ª. p ^ V  p Caso o conectivo seja ^ (e) associado a V, a resposta sempre será o valor da própria proposição p.

Exemplo:

Veri_ﬁ que se as expressões p ^ V  p são equivalentes.

Leis de Complementação

1ª. p v ~p  V Uma proposição qualquer (p) associada pelo conectivo v (ou) ao seu complemento (~p) tem sua resposta sempre V.

Exemplo:

Veri_ﬁ que se as expressões p v ~p  V

(6)

Introdução à Lógica - - 2ª. ~~p º p Uma proposição negada duas vezes volta ao seu valor original.

Exemplo:

Veri_ﬁ que se as expressões ~~p  p

Para veri_ﬁ car precisamos utilizar a tabela-verdade.

Perceba que a saída é sempre equivalente a p

Perceba que a saída é o complemento de V, ou seja, F

p

~~p

V

F

P b íd é

V

~V

F

3ª. p ^ ~p  F Uma proposição qualquer (p) associada pelo conectivo ^ (e) ao seu complemento (~p) tem sua resposta sempre F.

Exemplo:

Veri_ﬁ que se as expressões p ^ ~p  F são equivalentes.

Perceba que a saída é sempre F Perceba que a saída é sempreF

p

~p

p ^ ~p

V

F

V

F

4ª. ~V  F Uma proposição V negada sempre dará uma resposta F.

Exemplo:

Veri_ﬁ que se as expressões ~V  F

(7)

Perceba que a saída é o complemento de F, ou seja, V

P b íd é

V

~F

F

V

Exemplo:

Veri_ﬁ que se as expressões ~F  V

Leis de De Morgan (perceba que nestes casos, quando extraímos os parênteses, os valores das proposições se invertem (complemento), inclusive o conectivo (v torna-se ^ e vice-versa).

1ª. ~(p v q)  ~p ^ ~q

Exemplo:

Veri_ﬁ que se as expressões ~(p v q) e ~p ^ ~q são equivalentes.

p q p v q ~(p v q)

V V V F

V F V F

F V V F

F F F V

p q p ^ q ~(p ^ q)

V V V F

V F F V

F V F V

F F F V

p q ~p ~q ~p ^ ~q

V V F F F

V F F V F

F V V F F

F F V V V

p q ~p ~q ~p v ~q

V V F F F

V F F V V

F V V F V

F F V V V

Veja que nas duas saídas, em destaque, as respostas são idênticas, portanto,

equivalentes.

2ª. ~(p ^ q)  ~p v ~q

Exemplo:

Veri_ﬁ que se as expressões ~(p ^ q) e ~p v ~q são equivalentes.

Veja que nas duas saídas, em destaque, as respostas são idênticas, portanto,

(8)

ATIVIDADES

As atividades referentes a esta aula estão disponibilizadas na ferramenta “Sala Virtual

- Atividades”. Após respondê-las, enviem-nas por meio do Portfólio- ferramenta do ambiente

de aprendizagem UNIGRANet. Em caso de dúvidas, utilize as ferramentas apropriadas para