LÉ TR IC OS I

(1)

2009.1 - Edmarcio Belati

U

FA

B

C

–

C

irc

u

CIRCUITOS ELÉTRICOS I

Aula 12

Tensão e Corrente Senoidais

cu

ito

s E

lé

tric

os

I

1 Prof. Dr. Edmarcio Antonio Belati

edmarcio.belati@ufabc.edu.br 14/04/2009

Tensão e Corrente Senoidais

Exercícios

U

FA

B

C

–

C

irc

u

Tensão Alternada

Conforme o comportamento da tensão alternada temos os diferentes tipos de tensão: senoidal, quadrada,triangular,etc.

TENSÃO E CORRETE SENOIDAIS

cu

ito

s E

lé

tric

os

I _{De todas essas a} _senoidal _{é a que tem um maior interesse pois é a} tensão que é gerada nas usinas e que alimenta as indústrias e residências.

(2)

U

FA

B

C

–

C

irc

u

V_m: valor de pico ou amplitude;

ωt: argumento em radianos;

ω: velocidade angular ou freqüência angular em radiano por segundo (rad/s) ω = 2 f.

A tensão geralmente é representada na forma:

TENSÃO E CORRENTE SENOIDAIS

)

t

(

sen

V

v

=

_m

ϖ

cu

ito

s E

lé

tric

os

I

segundo (rad/s) ω = 2 f.

T: período (s)

f: freqüência (1/s)SI:f= HERTZ (Hz)

Uma tensão ou corrente alternada senoidal, varia com o tempo como mostrado na figura abaixo.

3

π

ϖ

2

1 =

=

T

f

U

FA

B

C

–

C

irc

u

VALORES CARACTERÍSTICOS DE TENSÃO E CORRENTE DE UMA ONDA ALTERNADA

Em uma onda alternada, os seguintes valores característicos podem ser ressaltados:

Valor Instantâneo:valor em um instante qualquer do tempo;

Valor de Pico (valor máximo): mais alto valor instantâneo de

tensão ou corrente em cada ciclo. Pode ser definido para a parte

cu

ito

s E

lé

tric

os

I

tensão ou corrente em cada ciclo. Pode ser definido para a parte positiva ou negativa da onda.

Valor de Pico a Pico: valor entre os picos máximos e mínimos de

uma onda. Para uma onda simétrica V_pp= 2 V_p e para uma onda não simétrica V_pp:|E_p+|+|E_p-|

Período (T):

(3)

U

FA

B

C

–

C

irc

u

Amplitude de Uma senoidal:

cu

ito

s E

lé

tric

os

I

5

Tensão e corrente senoidais:

U

FA

B

C

–

C

irc

u

Ciclo:

Parte de uma forma de onda contida em um intervalo de tempo igual a um período.

Forma de onda periódica:

Forma de onda que se repete continuamente após um certo intervalo de tempo constante.

cu

ito

s E

lé

tric

os

(4)

U

FA

B

C

–

C

irc

u

FREQUÊNCIA ANGULAR E VELOCIDADE

ANGULAR

cu

ito

s E

lé

tric

os

I

7

U

FA

B

C

–

C

irc

u

FREQUÊNCIA ANGULAR E VELOCIDADE

ANGULAR

cu

ito

s E

lé

tric

os

I

A relação entre a frequência e a frequência angular é dada como:

f

(5)

U

FA

B

C

–

C

irc

u

FREQUÊNCIA ANGULAR E VELOCIDADE

ANGULAR

cu

ito

s E

lé

tric

os

I

9

)

(

)

(

α

A

_max

sen

α

f

=

)

(

)

(

A

_max

sen

t

f

α

=

ϖ

Função matemática de tensão e corrente:

U

FA

B

C

–

C

irc

u

Exemplo 1: A partir da forma de onda obter a expressão da corrente:

Resposta:

cu

ito

s E

lé

tric

os

I

) ( ) . 7 , 125663 (

20 )

(t sen t m A i =

Exemplo 2: A partir da expressão, , esboçar o

gráfico:

) ( ) . 10 ( 10 )

(t sen t V

v =

(6)

U

FA

B

C

–

C

irc

u

DEFASAGEM ANGULAR

Uma expressão mais geral em seno é dada por:

) V ( ) t ( sen V ) t (

v = _m

ϖ

+

θ

Onde θ é o ângulo de fase ou simplesmente fase. Para ser

consistente, visto que ϖt é em radianos, θ deve ser expresso em

radianos. Contudo em engenharia elétrica é freqüentemente

conveniente especificarθ em graus.

cu

ito

s E

lé

tric

os

I

11

) A ( ) 0 t ( sen I ) t (

i₁ = _m

ϖ

+ i2(t)= Imsen(

ϖ

t+

θ

) ( A)

) A ( ) 45 t ( sen I ) t (

i₂ = _m

ϖ

+

U

FA

B

C

–

C

irc

u

A figura mostra o coseno adiantado em relação ao seno.

DEFASAGEM ANGULAR

cu

ito

s E

lé

tric

os

I

Em relação as formas de onda temos:

Em fase: quando a forma de onda corta o eixo αno mesmo ponto;

Defasadas: quando as formas de ondas cortam o eixo αem pontos diferentes;

Adiantada: semi-ciclo positivo começa a esquerda da origem;

Atrasada: semi-ciclo positivo começa a direita da origem;

(7)

U

FA

B

C

–

C

irc

u

A forma de onda pode ser seno ou coseno. Isto não importa, visto que:

t sen )

2 t

cos(

ϖ

−

π

=

ϖ

t cos ) 2 t (

sen

ϖ

+

π

=

ϖ

A única diferença entre o seno e o coseno é, então o ângulo de fase.

DEFASAGEM ANGULAR

cu

ito

s E

lé

tric

os

I

13 A única diferença entre o seno e o coseno é, então o ângulo de fase.

Exercício 1: Determine se v₁ está adiantada ou atrasada em

relação a v₂ e de quanto.

t 4 sen 5 v ), 30 t 4 cos( 3

v1= − 2 =

t 4 sen 12 t 4 cos 5 v , t 4 cos 10

v₁ = ₂ = +

a)

b)

Resposta:

a) v₁está adiantado em 60º;

b) v₁está adiantado em 67,4º;

U

FA

B

C

–

C

irc

u

Em engenharia elétrica é muito utilizado o elemento fasor para representar uma função senoidal ou co-senoidal.

Seja a função co-senoidal:

)

t

cos(

A

)

t

(

f

=

_m

ϖ

+

θ

O fasor que representa essa função é dado por:

FASORES

cu

ito

s E

lé

tric

os

I

O fasor que representa essa função é dado por:

θ

=

j

m m

A

e

A

ˆ

(8)

U

FA

B

C

–

C

irc

u

NÚMEROS COMPLEXOS

Um número complexo pode ser representado por um ponto em um plano referido a um sistema de eixos cartesianos. Os números complexos podem ser apresentados de várias formas.

Forma retangular Forma polar.

cu

ito

s E

lé

tric

os

I

Z = Re (Z)+ Im (Z)

Z = R+jX Z = r∠∠∠∠

j =√-1 = i .

Forma exponencial:

Forma trigonométrica:

ejφφφφ = cosφφφφ + j senφφφφ

Fórmula de Euler :

15

U

FA

B

C

–

C

irc

u

Exemplo 3: A tensão e = 20 sen(377t + 30°) V é representada pelo seguinte fasor:

30

20 e

j

E

ˆ

=

ou

30

20 ∠

=

E

ˆ

30

20

30

20 cos

j

sen

E

ˆ

=

+

ou

FASORES

cu

ito

s E

lé

tric

os

(9)

2009.1 - Edmarcio Belati U FA B C – C irc u

RELAÇÕES FASORIAIS: RESISTOR

Os fasores correspondentes são:

Dada a importância das tensões e correntes senoidais e de sua representação por fasores, convém destacarmos as relações entre corrente e tensão nos bipolos ideais.

θ

∠

=

E

ˆ

cu ito s E lé tric os I 17

)

t

(

sen

E

)

t

(

e

=

_m

ϖ

+

θ

)

t

(

sen

R

E

)

t

(

i

=

m

ϖ

+

θ

Para o resistor tem-se no domínio do tempo que e/i=R e no domínio da frequenia que:

R

ˆ

=

Como será visto isso não acontece com indutor e capacitor.

θ

∠

=

R

E

Iˆ

m

U FA B C – C irc u

RELAÇÕES FASORIAIS: INDUTOR

)

t

(

sen

I

)

t

(

i

=

_m

ϖ

+

θ

Os fasores correspondentes são:

90

90 ∠

ϖ

=

θ

∠

+

θ

∠

ϖ

=

+

θ

∠

ϖ

=

θ

∠

=

L

I

LI

Iˆ

E

ˆ

LI

E

ˆ

I

Iˆ

m m m m cu ito s E lé tric os I

)

t

(

sen

I

)

t

(

i

=

_m

ϖ

+

θ

Tem-se que:

dt

di

L

)

t

(

e

=

Portanto:

)

t

cos(

LI

)

t

(

e

=

ϖ

_m

ϖ

+

θ

Passando para seno tem-se:

Passando para forma retangular tem-se:

L

X

onde

jX

Iˆ

E

ˆ

ou

L

j

Iˆ

E

ˆ

L

=

ϖ

=

ϖ

=

(10)

2009.1 - Edmarcio Belati U FA B C – C irc u

RELAÇÕES FASORIAIS: CAPACITOR

)

t

(

sen

E

)

t

(

e

=

_m

ϖ

+

θ

Os fasores correspondentes são:

90

1

90

90 ∠

ϖ

=

+

θ

∠

ϖ

θ

∠

=

+

θ

∠

ϖ

=

θ

∠

=

C

CE

E

Iˆ

E

ˆ

CE

I

E

ˆ

m m m m cu ito s E lé tric os I 19

)

t

(

sen

E

)

t

(

e

=

_m

ϖ

+

θ

Tem-se que:

dt

de

C

)

t

(

i

=

Portanto:

)

t

cos(

CE

)

t

(

i

=

ϖ

_m

ϖ

+

θ

Passando para seno tem-se:

)

t

(

sen

CE

)

t

(

i

=

ϖ

_m

ϖ

+

θ

+

90

Passando para forma retangular tem-se:

C

X

onde

jX

Iˆ

E

ˆ

ou

C

j

C

j

Iˆ

E

ˆ

C C

ϖ

−

=

−

=

ϖ

−

=

ϖ

=

1

X_C= Reatância Capacitiva (Ω)

U FA B C – C irc u

Na forma retangular uma impedância é definida como sendo composta de uma parte real representada por um resistor e de uma parte imaginária representada por uma reatância (um indutor ou um capacitor). Tem-se então: = R+jX , onde R é a parte real e X a parte imaginária.

Esta impedância pode também ser representada na forma

IMPEDÂNCIA

cu ito s E lé tric os I

(11)

U

FA

B

C

–

C

irc

u

Como visto a reatância indutiva é dada por jX_L ou X_L∠90°. Neste

caso tem-se uma indutância pura. Já a reatância capacitiva pura é dada por - jX_C ou X_C∠-90°. Fazendo uma analogia com pode-se dizer que quando este for positivo se tem um circuito que é indutivo e quando for negativo se tem um circuito que é capacitivo.

IMPEDÂNCIA

cu

ito

s E

lé

tric

os

I

No diagrama de fasores, o resistor está sempre no eixo dos reais, a reatância indutiva no eixo imaginário positivo e a reatância capacitiva no eixo imaginário negativo.

21

U

FA

B

C

–

C

irc

u

ADMITÂNCIA

A condutância já foi definida para circuitos CC como sendo equivalente a 1/R. Para circuitos em Corrente Alternada define-se a

Admitância Y da seguinte maneira: Y=1/Z com unidade o Siemens (S). A admitância é uma medida de quanto um circuito “admite” a passagem de uma corrente.

Ao se tomar a impedância Z= R + jX (onde R é uma resistência e X

cu

ito

s E

lé

tric

os

I

Ao se tomar a impedância Z= R + jX (onde R é uma resistência e X uma reatância), a admitância equivalente será dada por Y = G + jB, onde G é denominado Condutância e B Suscetância.

Em resumo temos que:

)

(

1

2 2

X

R

X

j

X

R

Z

jB

G

Y

+

−

+

=

+

(12)

U

FA

B

C

–

C

irc

u

Exercício 2 – A corrente no indutor de 75 mH é de 4cos(40.000t - 38º

) mA. Calcule:

a) A reatância indutiva; b) A impedância do indutor; c) O fasor da tensão;

d) A expressão para v(t).

cu

ito

s E

lé

tric

os

I

23

Exercício 3 – A tensão nos terminais do capacitor de 0,2 µF é de 40cos(105_{- 50}º_{). Calcule:}

a) A reatância capacitiva; b) A impedância do capacitor; c) O fasor da corrente;