CAPÍTULO 3 - FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS
UM POUCO DE HISTÓRIA
Como termo matemático, a palavra "função" foi introduzida por Leibniz em 1694, para descrever quantidades relacionadas a uma curva, tais como a inclinação da curva ou um ponto específico dela, esta mesma palavra foi posteriormente usada por Euler em meados do século XVIII para descrever uma expressão que envolve vários argumentos. Tais funções, inicialmente tidas como puramente imaginárias e chamadas genericamente de "monstros", foram já no final do século XX, identificadas como importantes para a construção de modelos físicos de fenômenos tais como o movimento Browniano.
Durante o Século XIX, os matemáticos começaram a formalizar todos os diferentes ramos da matemática. Weierstrass defendia que se construísse o cálculo infinitesimal sobre a Aritmética do que sobre a Geometria, o que favorecia a definição de Euler em relação à de Leibniz. Mais para o final do século, os matemáticos começaram a tentar formalizar toda a Matemática usando Teoria dos conjuntos, e eles conseguiram obter definições de todos os objetos matemáticos em termos do conceito de conjunto. Foi Dirichlet quem criou a definição "formal" de função do modo como a conhecemos hoje1.
O aparecimento dos logaritmos ocorreu no começo do século XVII, quando já era premente a necessidade de facilitar os trabalhosos cálculos trigonométricos da Astronomia e da Navegação. A ideia básica era substituir operações muito complicadas, como multiplicação e divisão, por operações mais simples, como adição e subtração. Os principais inventores dos logaritmos foram o suíço Joost Biirgi (1552-1632) e o escocês John Napier (1550-1617), cujos trabalhos foram produzidos independentemente um do outro2.
1 Texto adaptado do site http://www.coladaweb.com/matematica/funcao, acessado em 15/11/2011 2
VAMOS RECORDAR?
Para compreendermos melhor as funções exponenciais precisamos lembrar a
definição de potência e de algumas de suas propriedades.
DEFINIÇÃO DE POTÊNCIA DE EXPOENTE NATURAL
Seja b um número real diferente de 0 e n um número natural. A potência de base b e expoente n, que é representada por , é um número real e satisfaz as seguintes relações:
i.
ii.
iii.
Para expoentes inteiros, de acordo com a nossa definição, podemos observar que ⏟ , em outras palavras, o número é resultado
da multiplicação do número b por ele mesmo n vezes.
PROPRIEDADES
É importante lembrarmos que os expoentes também podem ser números reais, como por exemplo √ ou , que podem resultar em números racionais ou irracionais. As
propriedades listadas abaixo servem para todo número real m e n, desde que a e b sejam números reais diferentes de 0.
1)
2)
3) ( ) 4) ( )
EXEMPLOS
a)
b) c) √ √ √ √ √ d) ( )
FUNÇÃO EXPONENCIAL
O conto abaixo é uma história fictícia, mas é interessante para começarmos a
entender o que é uma função exponencial e suas características.
Diz a lenda que em um dia de inverno, um rei solicitou aos seus súditos que lhe inventassem um novo jogo, a fim de diminuir o seu tédio. Aquele que inventasse o melhor jogo teria direito a ter um desejo realizado pelo Rei. Um dos seus súditos inventou, então, o jogo de xadrez. O Rei ficou maravilhado com o jogo e viu-se obrigado a cumprir a sua promessa. Chamou, então, o inventor do jogo e disse que ele poderia pedir o que desejasse. O astuto inventor pediu então que as 64 casas do tabuleiro do jogo de xadrez fossem preenchidas com moedas de ouro, seguindo a seguinte condição: na primeira casa seria colocada uma moeda e em cada casa seguinte seria colocado o dobro de moedas que havia na casa anterior. O Rei considerou o pedido fácil de ser atendido e ordenou que providenciassem o pagamento. Tal foi sua surpresa quando os tesoureiros do reino lhe apresentaram a suposta conta, pois apenas na última casa o total de moedas era de 9223372036854775808 (é igual a 263), sem falar que o
valor que seria entregue ao inventor seria a soma das moedas de todas as casas. O Rei estava falido!3
O que o Rei não sabia, era que o astuto inventor, se aproveitou do fato de que dobrar a quantia de moedas de uma casa em relação a anterior, faria com o que o resultado crescesse muito rápido. Se observarmos o pedido do inventor, e tentarmos esquematizar a quantidade de moedas por cada casa teríamos a seguinte sequência (1, 21, 22, 23, ... , 261, 262, 263), e considerando que 20=1, podemos representar os elementos desta sequência pela expressão
2n-1, onde n é o número da casa. Podemos chamar esta expressão de função exponencial e
representa-la por f(x)=2x-1, onde f(x) representa o total de moedas presentes na casa de
posição x.
DEFINIÇÃO - FUNÇÃO EXPONENCIAL
Dado um número real b, tal que e , chamamos de função exponencial de base b a função de R em R, representada por f(x)=bx que associa para cada valor real de x um único valor real para .
Assim como na maioria das funções, podemos adequar o domínio a um subconjunto dos números reais de acordo com as nossas necessidades, e podemos dizer que funções do tipo f(x)=A+B.b(C.x+D), também são funções exponenciais, mas para explorar melhor suas características, vamos considerar primeiro apenas funções como na definição e outros casos serão vistos nos exemplos.
PROPRIEDADES
1- Na função exponencial f(x)=bx, se x=0 => f(0)=b0, isto é, o par ordenado (0,1) pertence ao gráfico da função para todo bϵ R+-{0,1}.
2- Para analisarmos o comportamento do gráfico de uma função exponencial, vamos analisar alguns exemplos separados em dois casos:
I. Para valores de b > 1:
O que podemos perceber? Quanto maior o valor de x, maiores são os resultados para f(x).
O que podemos perceber? Quanto maior o valor de x, menores são os resultados para f(x).
3- A função exponencial f(x)=bx é injetora, pois admitindo que a propriedade dois é valida para qualquer função, temos que dados dois números reais x1 e x2 tais que x1 >x2 temos que:
I. Se b>1 implica em f(x1) > f(x2) II. Se 0 < b < 1 implica em f(x1) < f(x2)
Portanto se x1 x2, temos que f(x1) f(x2), logo f(x) é injetora.
Algumas conclusões:
1- O gráfico intercepta o eixo das ordenada no ponto de coordenada (0,1). 2- Na função exponencial, como o valor da base b é restrito aos números reais
positivos, implica que a função f(x)=bx é sempre maior do que zero para qualquer x ϵ R.
3- Pela propriedade 2 temos:
I. Se b>1, a função é crescente. II. Se 0<b<1, a função é decrescente.
GRÁFICOS
Neste tópico, vamos analisar o comportamento do gráfico das funções exponenciais,
partindo das conclusões e propriedades que estudamos até agora.
Exemplo 1 - f(x)=2x
Ligando os pontos, temos uma curva que representa o gráfico desta função. Perceba que quanto mais pontos colocarmos no gráfico será mais fácil de perceber o comportamento crescente do gráfico desta função. Se não ficou claro, tente você calcular esta função para valores de x iguais a -5, -4, 4 e 5 e coloque os pontos correspondentes (junto com os anteriores) num gráfico desenhado no seu caderno.
Exemplo 2 – f(x) = (1/2)x
Tanto no primeiro (função exponencial crescente), quanto no segundo exemplo (função exponencial decrescente), temos que a curva se aproxima muito do eixo das abscissas (ou da reta y=0), porém ela nunca intercepta, pois não existe valores para x, tal que 2x ou (1/2)x seja igual a 0. Esta reta y=0 é chamada de assíntota da função exponencial, ela é determinada pelos pontos da função que se aproximam muito desta reta mas não a tocam, em outras palavras, ela funciona como uma divisão, implicando que o gráfico da função sempre fica acima ou abaixo desta reta.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1- Construa o gráfico da função f(x) = 2x + 2 e compare com a função f(x) = 2x veja o que acontece e identifique a assíntota da função f(x) = 2x + 2.
2- Construa o gráfico da função f(x) = 2x– 2 e identifique a assíntota.
Neste caso, comparando a função f(x) = 2x– 2 com a função f(x)= 2x , percebemos que f(x) = 2x– 2, é também uma translação na vertical da função f(x) = 2x.
A assíntota da função exponencial f(x) = 2x– 2, é a reta y = -2
EXERCÍCIOS
1) Se f (x) = 9x (x ϵ R), calcule: a) f(1/2)
2) Se f(x)=(1/4)x em R, para que valor de x tem-se f(x) = 64 ?
3) Classifique as funções exponenciais abaixo quanto a crescentes ou decrescentes:
a) f(x)=(√ ) b) f(x)=( ) c) f(x)=( ) d) f(x)=(√ )
4) Construa o gráfico das funções exponenciais abaixo e identifique a assíntota de cada uma delas.
a) f(x) = (1/2)x b) f(x) = ( ½)x + 1 c) f(x) = ( ½)x - 2
5) Construa uma tabela de valores para cada função exponencial abaixo, em seguida faça o gráfico de cada uma delas num único plano cartesiano.
a) f(x) = 3x b) f(x) = 2.(3x) c) f(x) = 3.(3x)
d) O que aconteceu com os gráficos dos itens b e c em relação aos do item a?
e) o que aconteceu com a assíntota de cada uma das funções acima? 6) Construa, com o auxilio de uma tabela de valores, o gráfico das funções
APLICAÇÕES E CURIOSIDADES
JUROS COMPOSTOS
Quando decidimos por investir em uma caderneta de poupança, o modo que o banco credita os juros para o valor que você investiu é dado por uma relação que chamamos de juros compostos. Se todo mês o valor da taxa de juros i for constante, então podemos dizer que:
M = C.(1+i)t, onde M é o montante final, C o capital investido inicialmente,
i é taxa de juros em porcentagem e t o tempo de aplicação.
Exemplo:
A quantia de R$ 1000,00 foi aplicado em uma instituição bancária durante 3 anos a uma taxa de rendimento de 1,5% ao mês, no sistema de juros compostos.
a) Qual será o saldo no final de 12 meses? b) Qual será montante final após os 3 anos?
Resolução:
a) Após 12 meses: M = ?
C = 1000
i = 1,5% = 0,015 (taxa unitária) t = 12 meses.
M = C.(1+ i)t
M = 1000.(1+0,015)12 M = 1000.(1,015)12 M = 1000.(1,195618) M = 1195,61
Após 12 meses verifica-se que o saldo será de R$ 1195,61.
b) Montante após 36 meses. M = ?
C = 1000
M = C.(1+ i)t
M = 1000.(1+0,015)36 M = 1000.(1,015)36 M = 1000.(1,709139) M = 1709,13
Logo, após 3 anos o montante será de R$ = 1709,13.
EXERCÍCIOS
1- Pedro fez um investimento em uma caderneta de poupança de R$ 2500,00 com uma taxa de juro de 2% ao mês.
a) Qual o capital após um ano?
b) Quanto tempo Pedro precisa deixar depositado para que o valor do capital seja o dobro do valor aplicado?
c) Qual o rendimento após dois anos?
2- Após o inicio de um experimento o número de uma cultura é dado pela expressão N(t)=600.4t, onde t é o tempo em horas, e N é o número de bactérias.
a) Qual o número de bactérias após 3 horas?
b) Quanto tempo após o início do experimento a cultura terá 19200 bactérias?
A CONSTANTE DE EULER
Existe uma importantíssima constante matemática denominada por e. O número e é um número irracional e positivo. Este número é denotado por e em homenagem ao matemático suíço Leonard Euler (1707-1783), um dos primeiros a estudar as propriedades desse número.
O valor deste número é de aproximadamente 2,71828182.
Se x é um número real, podemos definir a função exponencial, escrita como a potência de base e com expoente x, isto é: f(x)=ex.
O CRESCIMENTO POPULACIONAL4
Em 1798, Thomas Malthus, no trabalho "An Essay on the Principle of Population" formulou um modelo para descrever a população presente em um
ambiente em função do tempo. Considerou N=N(t) o número de indivíduos em certa população no instante t. Como hipótese, Malthus tomou que os nascimentos e mortes naquele ambiente eram proporcionais à população presente e a variação do tempo conhecida entre os dois períodos. Chegou à seguinte equação para descrever a população presente em um instante t:
N(t)=N(0).ert, onde N(0) é a população presente no instante inicial t=0 e r é uma constante que varia de acordo com a espécie de população analisada.
É evidente que o gráfico correto desta função depende dos valores de N(0) e de r. Mas sendo uma função exponencial, a forma do gráfico será semelhante ao da função f(x)=k.ex, onde k é um número real constante.
Este modelo supõe que o meio ambiente tenha pouca ou nenhuma influência sobre a população. Desse modo, ele é mais um indicador do potencial de sobrevivência e de crescimento de cada espécie de população do que um modelo que mostre o que realmente ocorre.
Como exemplo, consideremos uma colônia de bactérias se reproduzindo de acordo com este modelo. Se num certo instante havia 200 bactérias na colônia, e após 12 horas encontrarmos 600 bactérias. Quantas bactérias haverá na colônia após 36 horas desta última contagem?
No instante inicial havia 200 bactérias, então N(0)=200, após 12 horas havia 600 bactérias, então N(12) = 600 = 200.er.12, logo er.12 = 600/200 = 3, assim para determinarmos o valor após 36 horas da ultima contagem, devemos descobrir qual o valor para da função para t=48.
VAMOS RECORDAR?
Assim como no estudo das funções exponenciais, precisamos recordar a definição de
logaritmos e de algumas de suas propriedades para compreendermos melhor as
funções logarítmicas.
DEFINIÇÃO DE LOGARITMO
Dados a e b dois números reais tais que b>0 e b 1 e a>0. Chamamos de logaritmo de a na base b, o número real c representado por:
E satisfaz as seguintes relações:
i. ii.
Observe que pela nossa definição, o logaritmo nada mais é do que o expoente de uma potência de base b que resulta no número real a, em outras palavras, estamos apenas reescrevendo o expoente em termos da base da potência.
PROPRIEDADES
As propriedades abaixo são validas para todos os números reais de acordo com a definição de logaritmo.
1) 2)
3) 4) 5)
6)
EXEMPLOS
a)
b)
c) d)
FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Vamos voltar ao nosso conto sobre o rei e seu súdito inventor, para
imaginarmos uma saída possível para o rei e começarmos a observar o
comportamento de uma função logarítmica.
O rei espantando com o valor do pagamento proposto pelo inventor do jogo, tratou logo de procurar por outro súdito que fosse tão esperto quanto o primeiro. E logo encontrou um súdito que veio com a seguinte solução: ao invés de pagar a soma das quantias de moedas em cada casa, o rei deveria propor que o inventor recebesse pela soma do número de vezes em que as moedas dobravam sempre em relação a primeira casa. O rei, apesar de ter ficado deslumbrado com o jogo e prometido ao astuto inventor que realizaria o desejo que quisesse, não queria ficar pobre, e logo ordenou que o inventor recebesse de acordo com a proposta deste segundo súdito. O rei estava salvo!
O que aconteceu? Lembre-se que o inventor propôs que o rei colocasse uma moeda na primeira casa e dobrasse o valor a cada casa, formando assim a seguinte sequência de valores: 1,2,22,23,...,263. Ao somar o número de vezes que as moedas dobram, não estamos somando a quantia de moedas em cada casa, mas sim o expoente de cada uma destas potências de base dois, ou seja, formando a sequência: 0,1,2,3,...,63, cuja soma é igual a 2016, um valor muito menor do que a soma das moedas de cada casa.
DEFINIÇÃO - FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Dado um número real b, tal que e , chamamos de função logarítmica de base b a função de R em R, representada por f(x) = que associa para cada valor real de x>0 um único valor real para .
Do mesmo modo que observamos nas funções exponenciais, podemos adequar o domínio das funções logarítmicas a um subconjunto dos números reais maiores do que zero de acordo com as nossas necessidades. E podemos afirmar que funções do tipo f(x)=A+B. ( ) também são funções logarítmicas, mas para explorar melhor suas características, vamos considerar primeiro apenas funções como na definição e outros casos serão vistos nos exemplos.
PROPRIEDADES
1- Na função logarítmica f(x) = se f(x)=0 , isto é, o par ordenado (1,0) pertence ao gráfico da função para todo bϵ R+-{0,1}.
2- Para analisarmos o comportamento do gráfico de uma função logarítmica, vamos analisar alguns exemplos separados em dois casos:
I. Para valores de b > 1:
x f(x) = x f(x) =
1/8 -3 1/27 -3
1/4 -2 1/9 -2
1/2 -1 1/3 -1
1 0 1 0
2 1 3 1
4 2 9 2
8 3 27 3
O que podemos perceber? Quanto maior o valor de x, maiores são os resultados para f(x).
II. Para valores de 0 < b < 1:
x f(x) = x f(x) =
1/8 3 1/125 3
1/4 2 1/25 2
1/2 1 1/5 1
1 0 1 0
2 -1 5 -1
4 -2 25 -2
8 -3 125 -3
O que podemos perceber? Quanto maior o valor de x, menores são os resultados para f(x).
3- A função logarítmica f(x) = é injetora, pois admitindo que a propriedade dois é valida para qualquer função, temos que dados dois números reais x1 e x2 tais que x1 >x2>0 temos que:
III. Se b>1 implica em f(x1) > f(x2) IV. Se 0 < b < 1 implica em f(x1) < f(x2)
Portanto se x1 x2, temos que f(x1) f(x2), logo f(x) é injetora.
Algumas conclusões:
1- O gráfico intercepta o eixo das abcissas no ponto de coordenada (1,0). 2- Na função logarítmica, como o domínio da função são os números reais
maiores do que zero, implica que a função o gráfico da função f(x) = estará sempre ao lado direito do eixo das ordenadas (cujos pontos possuem sempre coordenada no x maior do que zero).
3- Pela propriedade 2 temos:
GRÁFICOS
Neste tópico, vamos analisar o comportamento do gráfico das funções logarítmicas,
partindo das propriedades e conclusões que estudamos até agora.
Exemplo 1 - f(x) =
Primeiro montamos uma tabela de valores pra esta função e marcamos os pontos correspondentes aos valores obtidos no gráfico:
x f(x) =
1/8 -3
1/4 -2
1/2 -1
1 0
2 1
4 2
8 3
Ligando os pontos, temos uma curva que representa o gráfico desta função. Perceba que quanto mais pontos colocarmos no gráfico será mais fácil de perceber o comportamento crescente do gráfico desta função. Se não ficou claro, tente você calcular esta função para valores de x iguais a -1/32, -1/16, 16 e 32 e coloque os pontos correspondentes (junto com os anteriores) num gráfico desenhado no seu caderno.
y
x Exemplo 2 – f(x) =
Agora que já construímos o primeiro gráfico, podemos proceder da mesma maneira com este e outros exemplos.
Observe que não marcamos o último ponto no gráfico, pois com a escala que utilizamos não é possível representar pontos com coordenadas no eixo x maiores do que 30.
Tanto no primeiro (função logarítmica crescente), quanto no segundo exemplo (função logarítmica decrescente), temos que a curva se aproxima muito do eixo das ordenadas (reta x=0) para valores de x muito próximos de 0, porém ela nunca intercepta, pois não existe valores para x, tais que . Esta reta x=0 é chamada de assíntota da função logarítmica, ela é determinada pelos pontos da função que se aproximam muito desta reta, mas não a tocam, em outras palavras, ela funciona como uma divisão, implicando que todos os pontos do gráfico da função sempre ficam do mesmo lado em relação a esta reta.
x f(x) =
1/125 3
1/25 2
1/5 1
1 0
5 -1
25 -2
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
3- Construa o gráfico da função f(x) = ( ) e compare com a função g(x) = veja o que acontece e identifique a assíntota da função f.
4- Construa o gráfico da função f(x) = ( ) e identifique a assíntota.
EXERCÍCIOS
7) Se f(x) = (x ϵ R e x>0), calcule: d) f(27)
e) f(√ ) f) f(1/3)
8) Se f(x) = ,para que valor de x tem-se f(x) = 64?
Perceba que o gráfico f é
resultado de um deslocamento de
2 unidades para a direita em
relação ao gráfico de g.
A assíntota da função f é a reta
x=2.
Se compararmos a função f com a
função g(x) = 𝑥, temos que f é
resultado de um deslocamento na
horizontal de 3 unidades para a
esquerda.
A assíntota da função f é a reta
9) Classifique as funções logarítmicas abaixo quanto a crescentes ou decrescentes:
e) f(x) = √ f) f(x) = g) f(x) = h) f(x) =
10) Construa o gráfico das funções logarítmicas abaixo e identifique a assíntota de cada uma delas.
a) f(x) = ( ) b) f(x) = ( ) c) f(x) = ( )
11) Construa uma tabela de valores para cada função logarítmica abaixo, em seguida faça o gráfico de cada uma delas num único plano cartesiano.
a) f(x) = b) f(x) = c) f(x) =
d) O que aconteceu com os gráficos dos itens b e c em relação aos do item a?
e) o que aconteceu com a assíntota de cada uma das funções acima? 12) Construa, com o auxilio de uma tabela de valores, o gráfico das funções
APLICAÇÕES E CURIOSIDADES
JUROS COMPOSTOS
Se desejarmos obter o tempo para que uma determinada aplicação atinja certo valor, temos que resolver uma equação exponencial, mas nem sempre é fácil determinar o resultado necessário sem o auxilio dos logaritmos. Vamos ver num exemplo:
A quantia de R$ 2000,00 foi investida em uma aplicação com juros de 20% ao ano, quantos anos seriam necessários para que a aplicação triplicasse?
Dados e .
Resolução:
Sabemos que M = C.(1+ i)t, onde M = 3.2000, C = 2000 e i = 20% = 0,2. Substituindo na equação dos juros compostos temos:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
Logo, após 6 anos o valor investido será triplicado.
EXERCÍCIO
1- João fez um investimento em uma caderneta de poupança de R$ 500,00 com
uma taxa de juros compostos de 0,5% ao mês. Dados e a) Calcule o capital após um ano, supondo que ele não faz nenhum outro deposito além do inicial.
b) Quanto tempo João precisa deixar o dinheiro aplicado para que o montante atinja R$ 5000,00?
A ESCALA RICHTER5
Em 1935, para comparar os tamanhos relativos dos sismos, Charles F. Richter, sismólogo americano, formulou uma escala de magnitude baseada na amplitude dos
5
registros das estações sismográficas. O princípio básico da escala é que as magnitudes sejam expressas na escala logarítmica, de maneira que cada ponto na escala corresponda a um fator de 10 vezes na amplitude das vibrações. Por isso é usado o logaritmo de base 10, onde ele classifica cada grau da escala em 1,2,3... em vez de falar 10,100,1000.... o que dificultaria mais o processo para o cálculo. No entanto o modo de classificá-lo através da escala usada é bem fácil de trabalhar, correspondendo assim a que se houver um abalo de magnitude 4,0 ele será dez vezes maior que o de magnitude 3,0, cem vezes maior que a 2,0, mil vezes maior que a 1,0. É importante relatar que cada ponto na escala de magnitude corresponde a uma diferença da ordem de 30 vezes na energia liberada. Ou seja, um abalo de magnitude 4 libera 30 vezes mais energia que o de magnitude 3. A escala Richter é uma escala logarítmica a magnitude de Richter corresponde ao logaritmo da medida da amplitude das ondas sísmicas de tipo P(pressão máxima) e S(superficial) a 100 Km do epicentro.
Existem várias fórmulas diferentes para se calcular a magnitude Richter, dependendo do tipo da onda sísmica medida no sismograma.
Magnitude e energia podem ser relacionadas pela fórmula descrita por Gutenberg e Richter em 1935:
RELAÇÃO ENTRE AS FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS
A função logarítmica f(x) = é a função inversa da exponencial g(x) = bx. Lembrando que duas funções f e g são inversas, quando para todo x pertencente ao domínio de g, temos que f(g(x))=x e o domínio de f tem que ser igual a imagem de g. Sabendo isso vamos provar a afirmação anterior?
Sabemos que o domínio da função g é um conjunto formado pelos números reais e que g é uma função injetora, logo como b é sempre um número real maior do zero e diferente de 1, a imagem desta função será os números reais maiores do que zero. Por definição, o domínio da função f é formado pelo conjunto dos números reais positivos, que coincide com a imagem da função g. Agora basta provarmos que f(g(x))=x: ( ( )) ( ) .
Podemos afirmar que a função g também é inversa da função f, mas vamos deixar para que você demonstre! Como dica, basta seguir a mesma lógica que usamos no parágrafo anterior.
Para ficar mais claro esta relação, observe os gráficos abaixo das funções f(x) = e g(x) = 2x.
EXERCÍCIOS DE VESTIBULAR
Questão 1 – IME 2012
Questão 2 – FUVEST 2011
QUESTÃO 4 – VUNESP 2011
QUESTÃO 5 – VUNESP 2012
GABARITO
QUESTÃO 1 2 3 4 5
REFERÊNCIAS
Goular, Márcio Cintra. Matemática no Ensino médio, volume 1 – São Paulo: Scipione, 1999.
Iezzi, Gelson. Coleção Fundamentos de Matemática Elementar, volume 2 – São Paulo: Atual, 1985.
Apostilas de matemática do curso pré-vestibular ETAPA, ano 2011.
Sites (acessados em 15/11/2011):
Função exponencial - http://pt.wikipedia.org/wiki/Função_exponencial Aplicações de uma função exponencial -
http://www.brasilescola.com/matematica/aplicacoes-uma-funcao-exponencial.htm Resoluções de questões de vestibulares - http://www.etapa.com.br/etaparesolve/
Softwares:
GeoGebra - http://www.geogebra.org/cms/
