AULA 1 – Parte 2

(1)

MATEMÁTICA I

© UNESP 6 Agosto 2008

Autor: Anibal Tavares de Azevedo

Limeira, 08 de Março 2012

AULA 1 – Parte 2

FUNÇÃO

2

Simetrias em funções:

Se uma função f for tal que f(-x)= f(x) para todo x no seu domínio, então, f é dita função par.

Exemplo 1: Provar que a equação da parábola dada por f(x)=x² é par.

f(-x) = (-x)² = (-1) ²(x)² = x² = f(x) f(-x) = (-x)² = (-1) ²(x)² = x² = f(x)

⇔

⇔⇔

⇔ f(-x) = f(x), p/ todo x.

O significado geométrico de uma função f ser par é que seu gráfico é simétrico em relação ao eixo Y.

Dessa forma, para se construir o gráfico de f basta obter os valores de f para x ≥ 0 e obter o restante do gráfico girando a parte obtida (para x ≥ 0) no valor de 180º em torno do eixo Y.

(2)

f(x) = x² y

2 4

1 1

0 0

x f(x)

180º

0 1

1

-1 2 x

4

-2

0 0

-2 4

-1 1

FUNÇÃO

4

Simetrias em funções:

Se uma função f for tal que f(-x)= -f(x) para todo x no seu domínio, então, f é dita função ímpar.

Exemplo 2: Provar que f(x)=x³ é ímpar.

f(-x) = (-x)³ = (-1) ³x³ = -x³ = -f(x) f(-x) = -f(x), p/ todo x.

f(-x) = (-x) = (-1) x = -x = -f(x)

⇔

⇔ f(-x) = -f(x), p/ todo x.

O significado geométrico de uma função f ser ímpar é que seu gráfico é simétrico em relação a origem.

Dessa forma, para se construir o gráfico de f basta obter os valores de f para x ≥ 0 e obter o restante

(3)

f(x) = x³ y

2 8

1 1

0 0

x f(x)

180º 1 8

0

1

-1 2 x

-8 -2

0 0

-2 -8

-1 -1

-1

FUNÇÃO

6

Exemplo 3: Determinar se uma função é par, ímpar ou nenhum dos dois:

(a)f(x) = x⁵ + x (b)g(x) = 1 – x⁴ (c) h(x) = 2x – x²

(A) f(-x) = (-x )+(-x) = (-1) (x) -x (A) f(-x) = (-x⁵)+(-x) = (-1)⁵(x)⁵-x

=-x⁵-x=-(x⁵+x)=-f(x)

⇔⇔

⇔⇔ f(-x) = -f(x) , portanto, a função f é ímpar.

(B) g(-x) = 1-((-x) ⁴) = 1-((-1)⁴(x)⁴)

=1-(x⁴) = 1–x⁴=g(x)

⇔

⇔ g(-x) = g(x) , portanto, a função g é par.

(4)

(c) h(-x) = (2(-x))-((-x)²) = -2x-((-1)²(x)²)

=-2x-(x²) =-2x -x²

⇔ E portanto, a função h não é par (h(-x) ≠≠≠≠ h(x)), nem ímpar (h(-x) ≠≠≠≠ -h(x)).

(c) h(x) (b) g(x)

(a) f(x)

0 1

1 y

x -1

1

1 y

0 x -1

1

1 y

x 0

-1

FUNÇÃO

8

Como criar novas funções a partir de antigas:

Aplicando certas transformações aos gráficos de uma função conhecida outras funções relacionadas podem ser obtidas de modo que é facilitado o esboço de funções cujo gráfico é desconhecido.

y y=f(x)+c Translações

y=f(x) y=f(x-c) y=f(x+c)

y=f(x)-c

(5)

y

y=f(x)

Expansão e Reflexão y=c*f(x)

y=f(-x)

Considerando c > 1

x y=f(-x)

y=1/c *f(x)

0 y=-f(x)

FUNÇÃO

10

Exemplo 4: Dado o gráfico de , para x ≥≥≥≥ 0, use transformações para obter o gráfico de:

x x

f( ) =

2 )

(x = x− f

y

x x

f ( ) =

y (a)

1

1 x

0

1

1 x

0 2 3

(6)

x x

f( ) =

2 )

(x = x − f

y

x x

f ( ) =

y (b)

1

1 x

0

1 -2 x

2 3 4

FUNÇÃO

12

x x

f( ) =

x x

f( ) =− y

x x

f ( ) =

y (c)

1

1 x

0

1 -1 x

2 3 4

-2

(7)

Combinações de funções:

Duas funções f e g podem ser combinadas para formar novas funções f+g, f-g, f*g e f/g de forma similar às operações realizadas com números reais. As funções soma e diferença são assim definidas:

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

(f - g)(x) = f(x) – g(x)

Se o domínio de f é A e o domínio de g é B, então, o domínio de (f+g) é a intersecção A∩B, pois tanto f(x) quanto g(x) devem estar definidas. Por exemplo, o domínio de é A = [0, +∞) e o domínio de

é (-∞, 2] de modo que o domínio de é A∩B = [0, 2].

x x

f ( ) = x

x

g( )= 2−

x x

g

f + )= + 2− (

FUNÇÃO

14

Analogamente, as funções produto e quociente são definidas por:

(f *g)(x) = f(x) * g(x) (f /g)(x) = f(x) / g(x) (f /g)(x) = f(x) / g(x)

Se o domínio de f*g é a intersecção A∩B, mas não se pode dividir por zero, e assim, o domínio de f/g é {x

∈ A∩B | g(x) ≠ 0}. Por exemplo, se f(x) = x² e g(x) = x – 1, então, o domínio da função racional (f/g)(x) x²/(x-1) é {x | x ≠ 1} ou (-∞,1)∪(1,+ ∞).

(8)

Outra forma de combinar duas funções para se obter uma nova é a composição. Neste caso, f é função de u e u, por sua vez, é função de x. Por exemplo:

y = f(u) = √√√√u e g(x) = x² + 1

Assim: y = f(u) = f(g(x)) = f(x² + 1) = √√√√(x² + 1)

Dadas duas funções f e g, a função composta fog (também chamada de composição de fog) é definida por:

(fog)(x) = f(g(x))

FUNÇÃO

16

Exemplo 5: Seja f(x) = x² e g(x) = x – 3 encontrar as funções compostas f o g e g o f.

(f o g)(x) = f(g(x)) = f((x-3)) = (x-3)² (g o f)(x) = g(f(x)) = g(x²) = x² - 3

Observações Importantes:

(1)Como observado no Exemplo 5, em geral f o g ≠≠≠≠ g o f.

(2)Cuidado: f o g significa primeiro aplicar a função g e depois aplicar f.

(9)

Funções Inversas:

Suponha que um biólogo possui um experimento que monitora o crescimento de uma

colônia de bactérias. Ou seja:

N = f(t)

Se ele quiser determinar

Se ele quiser determinar O tempo necessário para a

população atingir um certo nível, então, será necessário obter a função inversa de f, isto é:

t =f^-1(N)

FUNÇÃO

18

t (horas) 0 1 2 3

N = f(t) 100 168 259 358 f

N = f(t)

0 1 2 3 t (horas) 100

168 259 358

f^-1

Cuidado, pois nem todas as funções possuem inversas.

Para que uma função tenha inversa é necessário que f seja tal que f(x₁) ≠ f(x₂), se x₁ ≠ x₂. Funções que satisfazem essa propriedade são denominadas de INJETORAS.

3 4

358 445

3 4 358

445

(10)

4 10

3 7

f

1 2

f(x₁) ≠ f(x₂) se x₁ ≠ x₂

A f B

f é injetora 4 10

3 4

A g C

1

g não é injetora f(3) = f(1)

20

g(x)=1-x² y

-1 1

f(x)=x³

1 y

x 0

FUNÇÃO

f(x₁) ≠ f(x₂) se x₁ ≠ x₂

-1 1

1 x 0

-1 0 1 x -1

f é injetora

(11)

Funções Inversas:

Seja f uma função injetora com domínio A e imagem B.

Então, sua função inversa f^-1 tem domínio B e imagem A e é dada por:

f^-1 (y) = x ⇔⇔⇔⇔ f(x) = y para todo y em B.

Para encontrar a função inversa f^-1 de uma função f injetora é necessário seguir os seguintes passos:

PASSO 1: Escreva y=f(x).

PASSO 2: Isole x nesta equação e escreva em termos de y (se for possível).

PASSO 3: Para expressar f^-1 como função de x, troque x por y. A equação resultante é y = f^-1(x).

22

Exemplo 6: Encontrar a função inversa de f(x) = x³ + 2.

FUNÇÃO

Passo 1: y = x³ + 2

Passo 2: x³ = y – 2 ⇒⇒⇒⇒ x = (y – 2)^1/3 Passo 3: y = (x-2)^1/3 e f^-1(x) = (x-2)^1/3

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FUNÇÃO

FUNÇÃO

FUNÇÃO

FUNÇÃO

FUNÇÃO

FUNÇÃO

FUNÇÃO

FUNÇÃO

FUNÇÃO

FUNÇÃO

FUNÇÃO

OBRIGADO !!!

OBRIGADO !!!