DISCIPLINA: Geometria Analítica CURSO:
PROFESSOR: DATA: / /
NOME: TURMA:
1
aLISTA DE
E
XERCÍCIOS
ATUALIZADA EM8DE AGOSTO DE2007
Translação
1. Por meio de uma translação dos eixos coordenados, transforme as equações dadas para a nova origem
indicada.
(a)x2+y2+ 2x−6y+ 6 = 0,O′(−1; 3);
(b)x y−3x+ 4y−13 = 0,O′(−4; 3);
(c)x2−4x+y2−6y−12 = 0,O′(1; 1);
(d)4x2−y2−24x+ 4y+ 28 = 0,O′(3; 2);
(e)x3−3x2−y2+ 3x+ 4y = 5,O′(1; 2).
2. Usando uma translação de eixos coordenados,
(a) simplifique a equação x2+y2+ 6x −2y+ 6 = 0 indicando qual a nova origem e quais são as
equações de transformação;
(b) utilizando a translação do ítem anterior, determine as coordenadas do pontoPxy(1;−2)em relação
ao sistemax′O′y′ e as coordenadas deQx′y′(2; 1)no sistemax Oy.
3. Determine a translação dos eixos coordenados (nova origem e equações de transformação) que levam
à forma reduzida as seguintes equações:
(a)x2+y2−2x+ 4y−4 = 0; (b)x2+y2+ 6x−8y= 0; (c)x2+y2+ 2x−8y+ 16 = 0.
4. Para cada item, converta os pontos como se pede, usando a translação indicada pela nova origemO′. (a)P(2; 3)x y parax′y′, comO′(−1; 5);
(b)Q(4;−2)x′y′ parax y, comO′(2;−3);
(c)R(1; 0)x y parax′y′, comO′(0; 4);
(d)S(0;−4)x′y′parax y, comO′(−2; 0).
5. Em cada um dos ítens, por uma translação dos eixos coordenados, transforme a equação dada em
outra desprovida de termos do1◦grau, se possível:
(a)x2+y2−2x+ 4y−4 = 0;
(b)x2+y2+ 6x−8y= 0;
(c)3x2+ 2y2+ 18x−8y+ 29 = 0;
(d)y2−4x+ 2y+ 1 = 0;
(e)x2−4y2−4x−24y−36 = 0.
Parábola
6. Identifique o lugar geométrico de um ponto que se desloca de modo que a sua distância ao ponto
7. Em cada um dos seguintes ítens, determine a equação padrão da parábola a partir dos elementos
dados:
(a) um ponto da diretriz(4; 7), vértice na origem e o eixo de simetriaOx;
(b) vérticeV(3; 2), eixo focal paralelo aOy e o pontoL(7; 0)é uma das extremidades do latus rectum;
(c) diretrizℓ:x−1 = 0, eixo focalE F :y+ 2 = 0e o pontoL(−3; 2)uma das extremidades do seu latus rectum;
(d) diretrizℓ:y = 4e os pontosL(−8;−2)eR(4;−2)são as extremidades do latus rectum;
(e) vérticeV(1; 2), eixo focal paralelo aOx eP(−7;−6)é ponto do seu gráfico;
(f) vérticeV(−1; 3), eixo focal paralelo aOyeP(3;−1)é um ponto da parábola;
(g) eixo focalE F :y−5 = 0, diretrizℓ:x−3 = 0e vértice sobre a retar :y = 2x+ 3;
(h) eixo focalE F :x=−4, diretrizℓ:y = 3e foco sobre a retar :y=−x−5;
8. Determine as coordenadas do vértice, do foco, as equações da diretriz e do eixo focal de cada uma das
seguintes parábolas:
(a)(x−2)2=−4(y+ 1);
(b)y2−2x−6y+ 1 = 0;
(c)4x2+ 4x−32y+ 33 = 0;
(d)y2+x−4y+ 5 = 0;
(e)y2−8x−2y−23 = 0;
(f)4x2−48y−20x−71 = 0.
9. Determinar as coordenadas dos pontos que são as extremidades do Latus Rectum da parábola que tem
como diretriz a retay−3 = 0e foco no pontoF(1; 1).
10. Usando a definição, determine a equação geral da parábola
da figura, sabendo-se que:
⋄F(2, 2)é o seu foco;
⋄V(1, 1)é o seu vértice;
⋄A reta de equaçãod:y =−x é a sua diretriz.
Obs.: A fórmula da distância entre um pontoP(x0,y0)e uma reta
r :ax+by+c= 0é
d(P,r) = |ax0√+by0+c| a2+b2
F V
x y
E F
d
Elipse
12. Um pontoP(x;y)se desloca de modo que a soma de suas distâncias aos pontosA(3; 2)eB(3; 6)é8. Diga a natureza da curva descrita pelo pontoPe em seguida determine a sua equação padrão.
13. Em cada um dos seguintes ítens, determine a equação padrão da elipse, a partir dos elementos dados:
(a) focosF1(3; 8)eF2(3; 2), e comprimento do eixo maior10;
(b) vérticesA1(5;−1)eA2(−3;−1)extremidades do eixo maior, e excentricidadee= 3 4;
(c) centroC(1; 2), um dos focos emF(6; 2)eP(4; 6)é ponto do seu gráfico;
(d) eixo focal paralelo ao eixoOx, um dos focos no pontoF(−4; 3)e uma das extremidades do eixo
menor no pontoB(0; 0).
14. De acordo com os conhecimentos sobre elipse, determine
as coordenadas dos focos e a equação padrão da cônica da figura ao lado. Obtenha também as equações de transformação e a nova origem da translação que levam a equação desta curva
à forma reduzida. x
y
x′ y′
4 4
−2
15. Sabendo queP(7, 5)é um ponto da elipse cujo os extremos do eixo maior coincidem com os extremos
do latus rectum da parábolay2+ 10x−10y−30 = 0, determine sua equação geral.
16. Usando a definição, determine a equação geral da elipse da
figura, sabendo-se que:
⋄F1(9, 9)eF2(2, 2)são focos;
⋄A1(10, 10)eA2(1, 1)são vértices sobre o eixo maior;
F1
F2
A1
A2
10
10 x
y
Hipérbole
17. Determine a equação do lugar geométrico descrito por um ponto que se desloca de modo que a
diferença de suas distâncias aos pontosP1(−6,−4)eP2(2,−4)é igual a6. Verifique se esta curva admite
18. Em cada um dos ítens, determine a equação padrão da hipérbole, a partir dos elementos dados.
(a) focosF1(−1; 3)eF2(−7; 3)e comprimento do eixo transverso igual a4;
(b) vérticesA1(5; 4)eA2(1; 4)e comprimento do latus rectumigual a5;
(c) focosF1(2; 13)eF2(2;−13)e comprimento do eixo não transverso igual a24;
(d) assíntotasr : 4x+y−11 = 0es: 4x−y−13 = 0e um dos vérticesA(3; 1);
(e) eixo normaly=−3, um dos focos no pontoF(−3; 0)e excentricidadee= 1, 5;
(f) focosF1(−4; 5)eF2(−4;−5)e comprimento do eixo transverso igual a6;
(g) assíntotasr : 2y = 3xes: 2y=−3x, comprimento do eixo imaginário6e focos no eixoOx.
19. Reduza as equações das cônicas a seguir, através de uma translação, para a forma padrão,
identifi-cando os seguintes elementos:
I. As coordenadas do(s) vértice(s) e foco(s);
II. As equações do eixo focal, e eixo normal (elipse e hipérbole) ou diretriz (parábola);
III. Comprimento do latus rectum e excentricidade;
IV. Comprimento dos eixos: maior e menor (elipse) / transverso e conjugado (hipérbole).
(a)9(x−1)2+ 25y2+ 50y−200 = 0;
(b)9x2+ 25(y−2)2−54x−144 = 0;
(c)x2−4y2+ 2x+ 24y−39 = 0;
(d)4x2−9y2−36x−18y+ 63 = 0.
20. Usando a definição, determine a equação geral da hipérbole
da figura, sabendo-se que:
⋄F1(√2,√2)eF2(−√2,−√2)são focos;
⋄A1(1, 1)eA2(−1,−1)são vértices.
F1
F2
A1
A2
x y
21. Dizemos que duas hipérboles são conjugadasquando o eixo transverso de cada uma delas coincide
com o eixo conjugado da outra. Dada a hipérboleH: (y−1)
2
9 −
(x+ 3)2
16 = 1, determine as coordenadas
22. Uma hipérbole é dita equiláteraquando o comprimento do seu eixo transverso é igual ao comprimento do seu eixo conjugado. Sabendo que os focos de uma hipérbole equilátera coincidem com as extremidades do eixo menor da elipse (x+ 1)2
36 +
(y−2)2
16 = 1. Determine a equação padrão desta hipérbole.
23. O vértice de uma parábola coincide com o centro da hipérbole
H: 2x2−7y2−4x+ 14y−19 = 0
e sua diretriz coincide com o eixo focal da elipse
E : (x−1)
2
4 + (y+ 2)
2= 1.
Determine a equação padrão dessa parábola.
24. Os focos de uma elipse coincidem com os vértices da hipérbole
H: 16x2−9y2−64x−18y+ 199 = 0.
Sabendo-se que a excentricidade da elipse é igual a 1
Gabarito
Questão 1. (a)x′2
+y′2
= 4 (b)x′y′= 1 (c)x′2
+y′2
−2x′−4y′−20 = 0 (d)4x′2
−y′2
= 4 (e)x′3
−y′2
= 0
Questão 2. (a)x′2
+y′2
= 4,O′(−3; 1);x′=x+ 3;y′=y−1: (b)P(4;−3)eQ(−1; 2)
Questão 3.
(a)
§
x′ = x−1
y′ = y+ 2
O′(1;−2)
x′2+y′2= 9
(b)
§
x′ = x+ 3
y′ = y−4
O′(−3; 4)
x′2+y′2= 25
(c)
§
x′ = x+ 1
y′ = y−4
O′(−1; 4)
x′2+y′2= 1
Questão 4. (a)(3;−2) (b)(6;−5) (c)(1;−4) (d)(−2;−4). Questão 5. (a)x′2
+y′2
= 9 (b)x′2
+y′2
= 25 (c)3x′2
+ 2y′2
= 6 (d)y′2
−4x′= 0(Observe que não foi possível eliminar a
termo de grau1) (e)x′2
−4y′2
= 4
Questão 6. Parábola,y2−6y−8x−23 = 0. Questão 7.
(a) y2=−16x (e) (y−2)2=
−8(x−1) (b) (x−3)2=
−8(y−2) (f) (x+ 1)2=
−4(y−3) (c) (y+ 2)2=
−8(x+ 1) (g) (y−5)2=
−8(x−1) (d) (x+ 2)2=
−12(y−1) (h) (x+ 4)2=
−8(y−1)
Questão 8.
(a)V(2;−1); F(2;−2); ℓ:y= 0; E F:x= 2. (b)V(−4; 3); F −7
2 ; 3
; ℓ: 2x+ 9 = 0; E F:y= 3. (c)V −1
2; 1
; F −1 2; 3
; ℓ:y+ 1 = 0; E F: 2x+ 1 = 0. (d)V(−1; 2); F −5
4, 2
; ℓ: 4x+ 3 = 0; E F:y= 2.
(e)V(−3; 1); F(−1, 1); ℓ:x=−5; E F:y= 1.
(f)V 5 2;−2
; F 5 2, 1
; ℓ:y=−5; E F: 2x−5 = 0.
Questão 9.L(−1; 1)eR(3; 1).
Questão 10.x2+y2−8x−8y−2xy+ 16 = 0.
Questão 11. Elipse,(x+ 1)
2
25 + (y−1)2
9 = 1;
Questão 12. Elipse,(y−4)2
16 + (x−3)2
12 = 1;
Questão 13.
(a) (x−3)
2
16 + (y−5)2
25 = 1 (b)
(x−1)2 16 +
(y+ 1)2
7 = 1 (c)
(x−1)2 45 +
(y−2)2
20 = 1 (d)
x2
25+ (y−3)2
9 = 1
Questão 14.F1(2; 1 +
√
5),F2(2; 1−
√
5),(x−2)
2
4 + (y−1)2
9 = 1e
§
x′ = x−2
y′ = y−1 ;O ′(2; 1)
Questão 15.25x2+ 16y2−150x−160y+ 225 = 0.
Questão 16.113x2+ 113y2−98xy+ 704x−704y+ 1280 = 0.
Questão 17. Hipérbole,(x+ 2)
2
9 − (y+ 4)2
7 = 1. Assíntotas,r,s:y=−4±
√
7 3 (x+ 2).
Questão 18.
(a) (x+ 4)
2
4 − (y−3)2
5 = 1 (b)
(x−3)2
4 − (y−4)2
5 = 1 (c)
y2
25− (x−2)2
144 = 1 (d)
(y+ 1)2
4 − (x−3)2
1 4
= 1
(e) (y+ 3)
2
4 − (x+ 3)2
5 = 1 (f)
y2
9 − (x+ 4)2
16 = 1 (g)
x2
4 −
y2
9 = 1
Questão 19.
(a) I. A1(6;−1),A2(−4;−1),B1(1; 2),B2(1;−4),
F1(5;−1),F2(−3;−1).
I I. E F:y=−1,E N:x= 1
I I I. |LR|=18 5,e=
4 5
I V. |E M|= 10,|E m|= 6
(c) I. A1(1; 3),A2(−3; 3)
F1(−1 +
√
5; 3),F2(−1−
√
5; 3)
I I. E F:y= 3,E N:x=−1
I I I. |LR|= 1,e=√5 2
I V. |E T|= 4;|E C|= 2 (b) I. A1(−2; 2),A2(8; 2),B1(3; 5),B2(3;−1),
F1(−1; 2),F2(7; 2)
I I. E F:y= 2,E N:x= 3
I I I. |LR|=18 5,e=45
I V. |E M|= 10,|E m|= 6
(d) I. A1(6;−1),A2(3;−1),
F1(92+√13;−1),F2(92−√13;−1)
I I. E F:y=−1,E N: 2x= 9
I I I. |LR|=4 3,e=
√
13 3
I V. |E T|= 3,|E C|= 2
Questão 20.x·y= 1.
Questão 21.F1(−8; 1),F2(2; 1)e9x2−16y2+ 54x+ 32y−79 = 0.
Questão 22.(y−2)
2
8 − (x+ 1)2
8 = 1.
Questão 23.(x−1)2= 12(
y−1). Questão 24.(x−2)
2
128 + (y+ 1)2
