Lista1deEq.Diferenciais

LISTA 1 DE EXERCÍCIOS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

Prof. Rodrigo Neves

1) Constatar a ordem e o grau de cada uma das seguintes equações diferenciais.

a. _x2 _y2

dx dy





b. 2 0

dx dy x 3 dx dy 2

  

  



c. x y

dx dy xy 5 dx

y

d 2

2 2





d. 0

dx dy y dx dy x

2

2 _

   



e. y’’’- 4y’’ + xy = 0

f. _{y’+ x.cosx = 0}

g. _y’’ 3 _{- xy’ + y’’ = 0}

h. _{y’’+ e}x _{y = 2}

2) Classifique as Equações Diferencias de acordo com os critérios de ordem e linearidade:

2 2

2

2 2

2

4 3 2

4 3 2

2

2

2

3

2 3

3

) 2

)(1 )

) 1

) 0

) ( )

) (c o s )

t

d y d y

a t t y s e n t d t d t

d y d y

b y t y e

d t d t d y d y d y d y

c y

d t d t d t d t d y

d ty

d t d y

e s e n t y s e n t d t

d y d y

f t t y t

d t d t

  

   

    

 

  

3) Verificar que cada uma das funções dadas y = f(x) é uma solução da equação diferencial dada.

a) 3

dx dy

 ; y = 3x – 7

b) x y

dx dy

x _ 2_{ ; y = x2 + Cx}

c) _{y 2x 4 x}2

dx dy

  

 ; y = x2 _{- 4x}

d) 16y 0 dx

y d

2 2



 ; y = C1sen4x + C2cos4x

e) x 2y 4x dx

dy



 ; y = x2 _{- 4x}

f) 3

2 2

x 20 dx

y d

 ; y = x5 _{+ 3x - 2}

g) y 0

dx y d

2 2



 ; y = 2 senx + 3 cosx

h) y 2cosx 0 dx

dy

 

 ; y = senx + cosx - e-x

i) x

e y dx

dy_{ }  _{; y = (x + 2).e}-x

4) Resolva as Equações Diferenciais propostas por variáveis separáveis:

2

2

3

2

2

) '

) '

)

(1 )

( 3 1 )

) '

( 3 2 )

) ' 0

x

y

x a y

y x e b y

y e d y x c

d x y x x d y

y e y y s e n x

 



 

 

  



 

1 2

) ' x

f y y



 _{y(1) = -2}

2

3 ) '

2 5

x

x e gy

y

 

5) Resolver cada uma das seguintes equações diferenciais por separação de variáveis:

1. xdy_y2dx_0

9. 0

y e dx dy

2 x

 

2. 3x3y2dx_xydy_0

10. e 0

dx dy e3x _ x _

3. xdyydx0 _{11. x 1y}2_dx3dy0

4. secxdycosecydx0 12. (1 + x2_{)dy – dx = 0}

5.

y x dx dy 2

 13. (1 + x2)dy + xdx = 0

6.

3 x

xy dx

dy

2_

 14. _{1 x}2 _y2 _x2_y2

dx dy

   

7. y cosx 0 dx

dy_ 3 _{ 15. e}x y

dx dy _



8. 3extgydx_





16.



 



Respostas 5:

1) y.lnx + 1 = Cy 8) y = arc tg[(ex– _{1)³.k] 15) y =}









/ 1 ln

2) y = k. x3

e 9) y = 3 3ex k 16) y = 



  

3) y = C/x 10) 2y + e-2x _{= C} 4) y = arc cos(senx _{– c) 11) y = sen}



 



5) 3y² = 2x³ + C 12) y = arc tg x + C 6) y = k. x2 3 13) y = - 0,5.lnx2 1C

7) 1 = 2y².(senx + C) 14) arc tg y = x +

 

6) Determine a solução geral de cada uma das seguintes equações diferenciais:

a) 6x 4x 5 dx

dy 2

 

 R:y 2x3 2x2 5x c

   

b) 24x 18x 8x 3 dx

dy 3 2

  

 R:y 6x4 6x3 4x2 3x c

    

c)

y y

x x dx dy

 

 R:3y24y32 3x24x32c

d) x

x 1 dx dy

2 

 c

2 x x 1 y : R

2   

e) dy







 R:y 1





7)Resolva as equações separáveis a seguir.

a) xdx  ydy0

b) 1  1dy0 y dx x

c) 1dx  dy0

x

d)  1dy0

y xdx

e) (x2 1)dx (y2 y)dy0 f) xdx  ydy0 ; y(0)2

g) ( 2 1)  1dy0 ; y(1)1 y

dx x

h) xex2dx (y51)dy0; y(0)0

8) Escreva sob a forma de diferencial separável as equações abaixo, e resolva-as.

a) ₂

x y y

b)

y xe y

x

2

 

c) ; (3) 1

1

2

  



 y

y y y x y

9) Determine se as equações diferenciais a seguir são isotrópicas (homogéneas) e, em caso afirmativo, resolva-as:

a)

x x y y 

b)

x x y y 2 

c)

xy y x y

2 2

2

  

d)

xy y x y

2

2 

 

e)

xy y x y

2

2 2  

f) ₂2 ₂

x y

xy y

g)

xy x

y y

  

h) _{2 13}

2

) (xy xy

y y

  

i)

y x

y y x x

y ₃

4 2 2 4

3 

  

10) Resolva a equação diferencial homogênea dada:

1.

x 2

y x '

y   _4.

xy 2

y x ' y

2 2_



2.

) y x ( 2

y ' y



 (usar a subst. x=yv) 5. _{2 2} y x

xy '

y

 

3.

y x

y x ' y

 

 _6.

x y 2 x 3 ' y  

11) Encontre a solução particular que satisfaz a condição inicial dada:

7. xdy – (2xe-y/x _{+ y)dx = 0; y(1) = 0}

9. y dx xdy 0

x y sec

x _  



 _{ ; y(1) = 0}

8. _– y2_{dx + x(x + y)dy = 0; y(1) = 1}

10.





Respostas 10 e 11:

1) x = C.(x _– y)² _{5) y = C} 2 2

y 2 x

e 9) y = x. arc sen(lnx) 2) x = k.y² - 2y 6) y = kx² - 3x 10) y = x. sen(- lnx) 3) x² - 2xy _– y² = k

7) x y

e = lnx² + 1