Transformações de Möbius em RO

Universidade de Aveiro 2005 Departamento de Matemática

Nelson Felipe

Loureiro Vieira

Transformações de Möbius em R

Dissertação apresentada à Universidade de Aveiro para cumprimento dos requisitos necessários à obtenção do grau de Mestre em Matemática, realizada sob a orientação científica da Professora Doutora. Paula Cerejeiras, Professora Associada do Departamento de Matemática da Universidade de Aveiro

Dedico este trabalho à minha família e amigos pela compreensão e apoio ao longo destes dois anos de trabalho.

O júri

Presidente Professor Doutor Helmuth Robert Malonek Professor Catedrático da Universidade de Aveiro

Professora Doutora Paula Cristina Supardo Machado Marques Cerejeiras Professora Associada da Universidade de Aveiro

Professor Doutor Gil Manuel Araújo Silva Bernardes

Agradecimentos Em primeiro lugar gostaria de agradecer à Professora. Paula Cerejeiras pela sua orientação, paciência e apoio ao longo destes anos.

Agradeço aos docentes da parte curricular do mestrado, uma vez que através das cadeiras que leccionaram adquiri conhecimentos e técnicas de investigação úteis na elaboração desta dissertação.

Agradeço ainda ao Professor Uwe Kähler pelas suas sugestões.

Gostaria de deixar uma saudação meus colegas de mestrado, em especial à Dina, à Raquel e ao António, pela sua amizade e companheirismo.

Quero agradecer ao meu colega e amigo Milton pelos seus incentivos, sugestões e apoio nos momentos bons e menos bons destes dois anos de trabalho.

O meu agradecimento a todos aqueles que acreditaram nas minhas capacidades e me incentivaram a não desistir nos momentos mais difíceis.

Aos meus pais pelo apoio ao longo destes anos de trabalho.

À minha família e aos meus colegas da Palhaça pelo incentivo e amizade, e peço a sua compreensão pelas minhas ausências e falhas ao longo destes dois anos.

Palavras-chave Transformações conformes, álgebras de Clifford, bola e superfície unitária, métrica, fórmula de Poisson, coordenadas projectivas, grupo de Clifford, operador de Laplace, operador de Dirac.

Resumo O principal objectivo deste trabalho texto consiste em estudar a influência das transformações Möbius, em vários aspectos da análise de Clifford.

No capítulo zero introduziremos as definições e resultados preliminares, necessários para boa compreensão do texto; encerraremos este capítulo com o problema de Dirichlet na bola unitária em C.

O primeiro capítulo é dedicado ao problema de Dirichlet para o caso da bola unitária em R0,n. _{Serão obtidas as generalizações dos resultados apresentados}

no capítulo zero para o caso complexo.

No capítulo seguinte serão introduzidas as coordenadas projectivas e algumas definições associadas. Com este tipo de coordenadas, estabeleceremos um isomorfismo entre (R )

2x2

e R . Com base nesta relação, estabeleceremos uma descrição matricial das superfícies esféricas, a qual conduzirá a uma conveniente representação matricial das transformações Möbius – dita representação de Vahlen. Na secção final deste capítulo será feita uma caracterização do grupo de Clifford (1,n+1) em termos destas matrizes.

p,q p+1,q+1

No terceiro e último capítulo estudaremos a métrica diferencial invariante sob a acção das transformações de Möbius. Finalmente, concluiremos com o estudo do comportamento dos operadores de Laplace e de Dirac sob a acção das transformações de Möbius.

Keywords Conformal transformations, Clifford algebras, unit circle, unit ball, metric, Poisson formula, projective coordinates, Clifford group, Laplace operator, Dirac operator.

Abstract The main objective of this work is to study the influence of the Möbius transformations in some aspects of Clifford analysis.

In the preliminary chapter we introduce some definitions and preliminary results which are necessary for a good comprehension of the present text; we finish this chapter with the Dirichlet problem over the complex unit ball.

The first chapter is dedicated to the study of the Dirichlet problem in the n-dimensional unit ball. We will obtain the generalizations of the results presented in the complex case.

In the next chapter we will introduce projective coordinates and some associated definitions. With this kind of coordinates we will establish an isomorphism between (Rp,q)

2x2

and Rp+1,q+1. With this relation we will also

establish a matricial description of the unit sphere which implies a convenient matricial representation of Möbius transformation - usually called Vahlen representation. In the final section we will characterized the Clifford group Γ(1,n+1) in terms of these matrices.

In the third chapter we will study the invariant differential metric under the action of Möbius transformation. Finally, we will study the behaviour of Laplace and Dirac operator under the action of Möbius transformations.

Palavras-chave Transformações conformes, álgebras de Clifford, bola e superfície unitária, métrica, fórmula de Poisson, coordenadas projectivas, grupo de Clifford, operador de Laplace, operador de Dirac.

Resumo O principal objectivo deste trabalho texto consiste em estudar a influência das transformações Möbius, em vários aspectos da análise de Clifford.

No capítulo zero introduziremos as definições e resultados preliminares, necessários para boa compreensão do texto; encerraremos este capítulo com o problema de Dirichlet na bola unitária em C.

O primeiro capítulo é dedicado ao problema de Dirichlet para o caso da bola unitária em R0,n. _{Serão obtidas as generalizações dos resultados apresentados}

no capítulo zero para o caso complexo.

No capítulo seguinte serão introduzidas as coordenadas projectivas e algumas definições associadas. Com este tipo de coordenadas, estabeleceremos um isomorfismo entre (R )

2x2

e R . Com base nesta relação, estabeleceremos uma descrição matricial das superfícies esféricas, a qual conduzirá a uma conveniente representação matricial das transformações Möbius – dita representação de Vahlen. Na secção final deste capítulo será feita uma caracterização do grupo de Clifford (1,n+1) em termos destas matrizes.

p,q p+1,q+1

No terceiro e último capítulo estudaremos a métrica diferencial invariante sob a acção das transformações de Möbius. Finalmente, concluiremos com o estudo do comportamento dos operadores de Laplace e de Dirac sob a acção das transformações de Möbius.

Keywords Conformal transformations, Clifford algebras, unit circle, unit ball, metric, Poisson formula, projective coordinates, Clifford group, Laplace operator, Dirac operator.

Abstract The main objective of this work is to study the influence of the Möbius transformations in some aspects of Clifford analysis.

In the preliminary chapter we introduce some definitions and preliminary results which are necessary for a good comprehension of the present text; we finish this chapter with the Dirichlet problem over the complex unit ball.

The first chapter is dedicated to the study of the Dirichlet problem in the n-dimensional unit ball. We will obtain the generalizations of the results presented in the complex case.

In the next chapter we will introduce projective coordinates and some associated definitions. With this kind of coordinates we will establish an isomorphism between (Rp,q)

2x2

and Rp+1,q+1. With this relation we will also

establish a matricial description of the unit sphere which implies a convenient matricial representation of Möbius transformation - usually called Vahlen representation. In the final section we will characterized the Clifford group Γ(1,n+1) in terms of these matrices.

In the third chapter we will study the invariant differential metric under the action of Möbius transformation. Finally, we will study the behaviour of Laplace and Dirac operator under the action of Möbius transformations.

Conteúdo

Introdução iii

0 Preliminares 1

0.1 Álgebras reais de Cliord . . . 1

0.2 Involuções em Rp,q . . . 2

0.3 O grupo Pin(p, q) . . . 3

0.4 O problema de Dirichlet no círculo unitário. . . 4

0.4.1 As transformações conformes em C . . . 4

0.4.2 O núcleo de Poisson . . . 6

0.4.3 O problema de Dirichlet . . . 8

1 O problema de Dirichlet para a superfície esférica unitária em IR0,n ₁₃ 1.1 A transformação de Möbius na álgebra de Cliord . . . 13

1.2 A métrica invariante . . . 15

1.3 Operadores invariantes . . . 16

1.4 Um problema análogo ao problema de Dirichlet . . . 20

1.5 A fórmula de Poisson para a equação de Laplace . . . 23

2 Esferas em Rp,q _{- coordenadas projectivas 27} 2.1 Intersecção ortogonal . . . 29

2.2 Identicação com Rp+1,q+1 . . . 30

2.3 O grupo ortogonal O(p + 1, q + 1) . . . 32

2.4 O isomorsmo entre (Rp,q)2×2 e Rp+1,q+1 . . . 32

2.5 Representação matricial das superfícies esféricas e das transformações conformes 35 2.6 Caracterização das matrizes do grupo de Cliord Γ(1, n + 1) . . . 38

3 Métrica diferencial associada à transformação de Möbius 51 3.1 O operador de Dirac . . . 51

3.2 O operador de Laplace . . . 53 i

Conteúdo ii 3.3 A métrica diferencial associada à transformação de Möbius . . . 56 3.4 O operador de Laplace sob a inuência das transformações de Möbius . . . . 59 3.5 Operadores invariantes associados a ∆ . . . 66 3.6 O operador de Dirac sob a acção do grupo de Möbius . . . 70

A Teorema de Stokes 75

A.1 Fórmula integral de Cauchy . . . 77 B O Caso Especial do Hiperplano 81

Introdução

Neste trabalho apresentaremos um estudo (não exaustivo) das Transformações de Möbius em R0,n_{.Numa primeira parte, estudaremos a descrição matricial destas transformações, a}

qual conduzirá a uma caracterização do grupo das transformações de Möbius em dimensão superior semelhante à existente no caso bi-dimensional. Numa segunda fase, estudaremos o comportamento dos operadores de Laplace e Dirac, quando sujeitos à acção destas transfor-mações.

No caso complexo, é bem conhecido o facto de que uma transformação conforme não é necessariamente uma transformação de Möbius. Todavia, quando em espaços vectoriais de dimensão superior, as únicas transformações conformes são transformação de Möbius. K. T. Vahlen publicou, em [27], uma representação destas transformações em termos de matrizes de 2 × 2, e cujas entradas eram números de Cliord. Neste artigo, o autor procurou ligar e unicar as diferentes teorias do grupo de movimentos para as diferentes geometrias -euclidiana, hiperbólica e elíptica.

Tendo passado despercebida durante quase meio século, esta abordagem foi retomada por Ahlfors em [1], o qual obteve assim uma completa descrição destas matrizes (que este desig-nou por matrizes de Cliord). Paralelamente, há também a referir que durante este período de esquecimento, o matemático suiço Fueter publicou (independentemente de Vahlen) alguns artigos (consulte-se [14], [15], [16]) em que recorria ao uso extensivo de quaterniões para de-scrição do grupo de Klein em espaços de dimensão superior a dois.

No capítulo preliminar introduziremos os resultados básicos necessários à compreensão e bom desenvolvimento dos conceitos que se pretendem estudar. Para maior detalhe, consulte-se [11], [17], [6], e [9]. Como ponto de partida para o preconsulte-sente trabalho, usaremos a descrição das transformações conformes, do núcleo de Poisson e do problema de Dirichlet em C, efec-tuada em [19]. Uma das principais conclusões, neste capítulo, é a possibilidade de ver o núcleo de Poisson como o jacobiano de uma transformação conforme, bem como a inuência da métrica no núcleo.

Introdução iv No primeiro capítulo generalizaremos o grupo das transformações de Möbius do tipo w = _1−azz−a ao caso de R0,n,usando como base a tradicional decomposição em transformações elementares feita no plano complexo; deduziremos a expressão para a métrica invariante as-sociada, e a forma geral de um operador invariante sob a acção deste grupo. Estudaremos também, relativamente aos operadores invariantes obtidos, o problema de Dirichlet associado e respectivo núcleo de Poisson para a bola unitária. Na parte nal desenvolveremos o núcleo harmónico de Poisson através das soluções do operador invariante obtido e das funções har-mónicas.

O segundo capítulo inicia-se com a representação em coordenadas projectivas de super-fícies esféricas e hiperplanos em Rp,q_{,permitindo obter uma identicação projectiva do cone}

isotrópico de Rp+1,q+1 _{com R}p,q_{. A extensão de Fillmore e Springer permitirá a utilização}

da identicação obtida anteriormente para mostrar a existência de um isomorsmo entre (Rp,q)2×2e Rp+1,q+1, o qual levará a uma representação matricial dos elementos de Rp+1,q+1

e das involuções neste espaço. A penúltima secção é dedicada à representação matricial de superfícies esféricas em Rp,q, e das transformações conformes que as preservam. No nal

deste capítulo será dada uma caracterização do grupo de Cliord Γ(1, n + 1).

No último capítulo estudaremos a métrica invariante associada às transformações de Möbius, o que nos permitirá estudar o comportamento dos operadores de Dirac e Laplace sob a acção destas transformações. Será ainda estudada a existência de operadores invari-antes associados ao Laplaciano e serão apresentados alguns exemplos.

Termino esta introdução com a seguinte citação, retirada de [10]:

"A História mostra que aqueles dirigentes de impérios que encorajaram o estudo das matemáticas ... foram também aqueles cujos reinados estiveram entre os mais brilhantes e

cuja glória foi mais duradoira."

Capítulo 0

Preliminares

"A Ciência é construída de factos, tal como uma casa o é de tijolos. Mas uma colecção de factos é tanto uma ciência, como um conjunto de tijolos é uma casa."

Henri Poincaré

0.1 Álgebras reais de Cliord

Consideremos o par (X, B), que designaremos por espaço real ortogonal não degenerado, onde X é um espaço vectorial real de dimensão n e B uma forma bilinear real simétrica não degenerada em X, isto é, B : X × X → R satisfaz:

1. Bilinearidade - ∀λ, µ ∈ R ∀u, u0_{, v, v}0 _{∈ X}

B(λ(u + u0), v) = λB(u, v) + B(u0, v) B(u, µ(v + v0)) = µB(u, v) + B(u, v0); 2. Simetria - ∀u, v ∈ X B(v, u) = B(u, v);

3. Não degenerescência - ∀u ∈ X\{0}, ∃v ∈ X : B(u, v) 6= 0.

Denição 0.1.1 (ver [11]) Seja (X, B) um espaço real ortogonal não degenerado de di-mensão n, e seja A a álgebra real associativa, com identidade 1, que satisfaz

1. A contém subespaços lineares isomorfos a R e X, 2. ∀u ∈ X, u2_{= B(u, u),}

3. A é gerada, como álgebra, por {1} e X. 1

Preliminares 2 Então A dir-se-á a Álgebra de Cliord para o par (X, B).

Quando dim(A) = 2n_{, dizemos que A é a Álgebra Universal de Cliord para (X, B).}

Neste caso A é indicado por Rp,q, com p + q = n e p, q ∈ N0.

Da denição anterior podemos concluir que independentemente da base e = {e1, ..., en}

que considerarmos para (X, B), a condição 2 implicará, em A, as seguintes relações: e2_i = 1, se i = 1, ..., p

e2

i = −1, se i = p + 1, ..., p + q = n

eiej+ ejei = 0, para i, j = 1, ..., n, i 6= j.

pelo que diremos então que A tem assinatura (p, q). No caso de A ser Rp,qconsideramos Rp,q

como sendo o espaço vectorial real de dimensão n, gerado por {e1, . . . , ep, ep+1, . . . , ep+q}.

0.2 Involuções em R

Seja Rp,q a álgebra de Cliord universal associada a (X, B). De seguida serão denidas

três involuções na álgebra real de Cliord, cujos papéis são semelhantes ao da conjugação no plano complexo.

O subespaço linear de Rp,q gerado pelos

n k

!

vectores da base ei1ei2. . . eik, i1 < i2 <

. . . < ik, é denotado por Rkp,q, e os seus elementos são designados por k−vectores e denotados

por [x]k.

Para todo k = 0, ..., n, dena-se em Rk

p,q o operador involução principal.

x → x0 =    x se k ≡ 0( mod 2) −x se k ≡ 1( mod 2) ,

o qual pode ser estendido a todo Rp,q tomando x → x0 = Pn_k=0[x]0_k. Esta transformação

constitui um automorsmo em Rp,q, satisfazendo, para todo x, y ∈ Rp,q e todo λ ∈ R, as

seguintes propriedades:

(λx + y)0= λx0+ y0 (xy)0 = x0y0 (x0)0 = x. De forma semelhante, denimos em Rk

p,q o operador reversão como

x → x∗=    x se k ≡ 0, 1( mod 4) −x se k ≡ 2, 3( mod 4)

que se estende a Rp,q por x → x∗ =Pnk=0[x]∗k. Este operador de Rp,q em si mesmo satisfaz,

para todo x, y ∈ Rp,q e todo λ ∈ R, as seguintes propriedades:

Preliminares 3 e como tal representa um anti-automorsmo involutório em Rp,q.

Sendo a involução principal e a reversão operadores que comutam em Rp,q, estamos em

condições de denir um terceiro operador x → x = (x∗₎0 _{= (x}0₎∗_{, ao qual iremos chamar}

conjugação. Pelas propriedades anteriores, resulta que a conjugação é também um anti-automorsmo involutório em Rp,q, vericando-se, para todo x, y ∈ Rp,q e todo λ ∈ R

λx + y = λx + y xy = yx (x) = x

0.3 O grupo Pin(p, q)

Consideremos (X, B), um espaço real ortogonal não degenerado, cuja álgebra universal de Cliord associada tem assinatura (p, q).

Uma aplicação linear L : X → X diz-se ortogonal se

B(L(u), L(v)) = B(u, v), ∀u, v ∈ X. Como B(u, v) = 1

2(B(u + v, u + v) − B(u, u) − B(v, v)), L será ortogonal quando e só quando

B(L(v), L(v)) = B(v, v), ∀v ∈ X, ou seja, det L = ±1 (relativamente a qualquer base de X). Denição 0.3.1 Dene-se O(p, q) como o grupo de todas as transformações ortogonais em (X, B).

De seguida iremos caracterizar o grupo anteriormente denido como subgrupo particular de Rp,q, que é a álgebra de Cliord universal associada ao par (X, B).

Denição 0.3.2 O grupo de Cliord, Γ(p, q), é denido como:

Γ(p, q) =s ∈ Rp,q: s é invertível e sv(s0)−1∈ X, ∀v ∈ X .

Relativamente à denição anterior devem ser feitas duas observações:

• Dizemos que s ∈ R_p,q é invertível se existe a ∈ R_p,q tal que sa = as = 1_Rp,q; • O seguinte lema permite-nos denir um homomorsmo de Γ(p, q) em O(p, q).

Lema 0.3.3 Para s ∈ Γ(p, q) a aplicação χ(s), denida por χ(s): X → X

v 7−→ svs0−1

Preliminares 4 Demonstração: Como v0 _{= −v quando v ∈ X temos}

B(χ(s)(v), χ(s)(v)) = (svs0−1)2 = −svs0−10 svs0−1 = −s0v0vs0−1 = s0v2s0−1 = v2= B(v, v).

• Para um elemento invertível s ∈ Rp,q temos (s0)−1= (s−1)0. Como (uv)0−1= v0−1u0−1

e, atendendo ao lema anterior, s−1 _{∈ Γ(p, q)se s ∈ Γ(p, q) é imediato que Γ(p, q) é de}

facto um grupo.

Para completar a caracterização de O(p, q) como imagem por χ de um subgrupo da Álgebra de Cliord Rp,q temos que ter em atenção os seguintes pontos

1. χ(s1s2) = χ(s1)χ(s2), para todo s1, s2∈ Γ(p, q);

2. Se s ∈ X é invertível então χ(s) = χ(ˆs), onde ˆs = s/|B(s, s)|, e consequentemente B(ˆs, ˆs) = ±1;

juntamente com o Teorema de Cartan-Dieudonné, para podermos concluir que O(p, q) é imagem por χ do seguinte subgrupo de Γ(p, q):

P in(p, q) = {v ∈ Γ(p, q) : B(v, v) = 1}.

0.4 O problema de Dirichlet no círculo unitário.

Como é sabido, uma função real de variável real y = f(x) determina no plano xOy uma curva (x e y coordenadas rectangulares). A representação geométrica de uma função constitui uma ajuda valiosa para o seu estudo.

No caso das funções de variável complexa, existe uma complicação adicional resultante da necessidade de uma representação visual no espaço tetra-dimensional. Uma forma de colmatar esta complicação consiste em analisar o comportamento da função complexa w = f (z), sendo z e w pontos de dois planos diferentes, o plano-z e o plano-w, e f uma relação entre os pontos do plano-z e os pontos do plano-w.

Preliminares 5 Denição 0.4.1 (ver [4]) Uma função diferenciável f : Ω → Ω0_{, onde Ω, Ω}0 _{⊆ R}n _são

abertos e conexos, é conforme se existir uma função λ : Ω →]0, +∞[ tal que para todo o x ∈ Ω se tem

||Jf(x)(v)|| = λ(x)||v||, ∀v ∈ Rn.

Desta forma, uma aplicação de Rn _{em R}n _{diz-se conforme se e só se preserva os ângulos}

em amplitude.

Para n = 2 uma aplicação é conforme se e só se a correspondente função de C em C é holomorfa ou anti-holomorfa e a sua derivada nunca se anula em Ω. Um caso particular é dado pelas funções holomorfas de expressão

f (z) = bz + c dz + e,

onde b, c, d, e ∈ C e be − cd 6= 0. Estas transformações são conhecidas por transformações de Möbius e têm a propriedade adicional de aplicarem circunferências em circunferências (entendendo-se aqui rectas como circunferências com um raio innito).

Durante esta dissertação daremos mais importância ao caso em que b = 1, c = −a, d = −ae e = 1, com a um número complexo tal que |a| < 1, ou seja,

w = f (z) = z − a

1 − az. (1) Relativamente a (1) podemos dizer que

1 − |w|2= (1 − |a|

2_{)(1 − |z|}2₎

|1 − az|2 , (2)

o que implica que, apenas para |a| < 1, (1) transforma a circunferência unitária B(1) em si própria e faz corresponder z = a a w = 0. Derivando (1) obtemos a seguinte relação diferencial

dw = 1 − |a|

2

(1 − az)2dz. (3)

Combinando (2) e (3) obtemos o seguinte diferencial invariante |dw|

|1 − |w|2_|=

|dz|

|1 − |z|2_|, (4)

associado à transformação (1) e ao operador

Az = (1 − |z|2)2∆z, (5)

onde ∆z denota o operador de Laplace em C, isto é

∆z = 4 ∂2 ∂z∂z (6) = ∂ 2 ∂x2 + ∂2 ∂y2; z = x + iy (7)

Preliminares 6 ou, em coordenadas polares z = ρeiθ_,

∆z = ρ ∂ ∂ρ  ρ ∂ ∂ρ  + ∂ 2 ∂θ2. (8)

Denição 0.4.2 Seja f uma função denida num subconjunto Ω do plano complexo, tal que as derivadas de 2a _{ordem existem em todos os pontos de Ω. Se f é contínua em Ω e se}

∆F = 0 (9)

em todos os pontos de Ω, então F diz-se harmónica em Ω.

0.4.2 O núcleo de Poisson

Dado que a transformação (1) aplica a circunferência unitária em si própria, podemos parametrizar z = eiτ_{, τ ∈ [0, 2π[, e w = e}iψ_{, ψ ∈ [0, 2π[, ou seja}

eiψ= 1 − ae

−iτ

1 − aeiτ e

iτ_{, (10)}

e obtemos de (3) a relação entre diferenciais eiψdψ = 1 − |a|

2

(1 − aeiτ₎2 e

iτ _{dτ. (11)}

Substituindo (10) em (11) obtemos a seguinte relação diferencial dψ = 1 − |a|

2

|1 − aeiτ_|2 dτ, (12)

que se encontra também associada a (1).

Denição 0.4.3 Para a = ρeiθ_{, ρ < 1 e z = e}iτ_{, denimos o Núcleo de Poisson como}

P (a, z) = 1 − |a| 2 |1 − az|2 ou em coordenadas polares P (ρ, θ − τ ) = 1 − ρ 2 1 − 2ρ cos(θ − τ ) + ρ2. (13)

Lema 0.4.4 O Núcleo de Poisson tem as seguintes propriedades: 1. Positividade: Para cada ρ < 1 temos que P (ρ, θ − τ) > 0.

Preliminares 7 2. Quando nos aproximamos da fronteira do círculo unitário verica-se o seguinte

comportamento              lim ρ→1− 1 2π Z 2π 0 P (ρ, θ − τ )f (τ ) dτ = 0, se θ 6= τ lim ρ→1− 1 2π Z 2π 0 P (ρ, θ − τ )f (τ ) dτ = f (θ), se θ = τ .

A demonstração desta propriedade encontra-se em [3] (pág. 13). 3. O integral ao longo da fronteira toma o seguinte valor

1 2π

Z 2π

0

P (ρ, θ − τ ) dτ = 1. (14) 4. Para ρ < 1, P (ρ, θ − τ) é uma função harmónica em a = ρeiθ_.

Demonstração:

1. A prova desta propriedade é imediata. De facto, para ρ < 1,

1 − 2ρ cos(θ − τ ) + ρ2 ≥ 1 − 2ρ + ρ2_{= (1 − ρ)}2 _{> 0.}

2. Para θ = τ, temos que 1 − 2ρ cos(θ − τ) + ρ2_{= (1 − ρ)}2_{, donde}

lim ρ→1−P (ρ, θ − τ ) = lim_ρ→1− 1 − ρ2 (1 − ρ)2 = lim_ρ→1− 1 + ρ 1 − ρ = ∞. Para θ 6= τ lim ρ→1−P (ρ, θ − τ ) = 0 2 − 2 cos(θ − τ ) = 0.

3. A prova desta propriedade é imediata. De facto, tendo em conta (12), podemos dizer que 1 2π Z 2π 0 P (ρ, θ − τ ) dτ = 1 2π Z 2π 0 dψ = 1. 4. De facto P (ρ, θ − τ ) = 1 − ρ 2

(1 − ρe−i(θ−τ )_{)(1 − ρe}i(θ−τ )₎

= 1 + ρe −i(θ−τ ) 1 − ρe−i(θ−τ ) + ρei(θ−τ ) 1 − ρei(θ−τ ) = 1 + +∞ X n=1 ρne−in(θ−τ )+ ein(θ−τ ) = 1 + 2 +∞ X n=1 ρncos(n(θ − τ )). (15)

Preliminares 8 Para um determinado n temos que

∆(ρncos(n(θ − τ ))) = ρ ∂ ∂ρ  ρ ∂ ∂ρ(ρ n_{cos(n(θ − τ )))}  + ∂ 2 ∂θ2(ρ n_{cos(n(θ − τ )))} = n2ρ2cos(n(θ − τ )) − n2ρncos(n(θ − τ )) = 0,

donde cada termo de (15) é harmónico, e portanto ∆P = 0 em B(1).

0.4.3 O problema de Dirichlet

Vamos apresentar e resolver o problema de valores iniciais na fronteira conhecido por problema de Dirichlet, para o caso do círculo unitário.

Problema de Dirichlet (ver [19])

Dados um domínio limitado Ω de R2 _{e uma função real ϕ contínua na fronteira Γ de}

Ω, que se supõe ser uma curva seccionalmente regular, o problema de Dirichlet consiste em procurar uma função real µ harmónica em Ω, contínua em Ω e que coincida com a função ϕ na fronteira de Ω. No caso de Ω = B(1) este problema corresponde a determinar a função real µ que verica as seguintes condições:

  

lim_ρ→1−µ(ρeiθ) = ϕ(eiθ)

∆µ = 0,em B(1)

. (16)

Considerando 0 < ρ < 1 e θ ∈ [0, 2π], vamos agora provar (em cinco passos) a existência da função µ e estudar algumas das suas propriedades.

1. Fórmula do valor médio.

Se µ(ρeiθ_{) é uma função harmónica denida na bola unitária B(1), então satisfaz}

µ(0) = 1 2π

Z 2π

0

Preliminares 9 Prova:

Do facto de µ ser harmónica resulta, para 0 < ρ < 1 ρ ∂ ∂ρ  ρ ∂ ∂ρ  1 2π Z 2π 0 µ(ρeiθ) dθ  = −1 2π Z 2π 0 ∂2 ∂θ2µ(ρe iθ_{) dθ} = −1 2π ∂ ∂θ µ(ρe iθ₎ 2π 0 = 0. Então ρ ∂ ∂ρ  1 2π Z 2π 0 µ(ρeiθ) dθ  = k,

com k uma constante real. Quando ρ → 0+ _{temos que k = 0. Integrando novamente}

obtemos 1 2π Z 2π 0 µ(ρeiθ) dθ = c,

com c uma constante real independente de ρ. Quando ρ → 0+ _obtemos

Z 2π

0

µ(0) dθ = c ⇔ µ(0) = c que corresponde à igualdade (17).

2. Fórmula de Poisson.

Se, além de harmónica em B(1), a função µ(ρeiθ_{)for contínua em B(1), obtemos}

µ(ρeiθ) = 1 2π Z 2π 0 µ(eiτ) P (ρ, θ − τ ) dτ. (18) Prova:

Vamos considerar a mudança de variável feita no estudo da terceira propriedade do núcleo de Poisson

w = z − a 1 − az, com

Preliminares 10 Como µ é harmónica em B(1), podemos dizer que v também o é. Para ρ = 1 temos que µ(a) = v(0) = 1 2π Z 2π 0 v(eiψ) dψ = 1 2π Z 2π 0 µ(eiτ) P (ρ, θ − τ ) dτ. 3. Princípio do Máximo.

Se µ é uma função não constante, harmónica em B(1) e contínua em B(1), então assume o seu máximo na circunferência unitária, isto é, existe z0 = eiθ0 (z1 = eiθ1) tal

que

|µ(z)| ≤ |µ(z₀)|, ∀z ∈ B(1). (19) Prova:

Suponhamos que µ assume o seu máximo em ρ0eiθ0, com ρ0 < 1. Então

|µ(ρeiθ_{)| =}     1 2π Z 2π 0 µ(eiτ)P (ρ0, θ0− τ )dτ     ≤ µ(ρ0e iθ0₎    1 2π     Z 2π o P (ρo, θo− τ )dτ     . Tendo em conta (14) podemos dizer que

  µ(ρ0e iθ0₎    1 2π     Z 2π 0 P (ρ0, θ0− τ )dτ     =   µ(ρ0e iθ0₎   .

Como µ é uma função não constante, então tem que existir um arco na circunferência unitária onde µ(z) < µ(ρ0eiθ0), isto é

|µ(z)| =     1 2π Z 2π 0 µ(eiτ)P (ρ0, θ0− τ ) dτ     <   µ(ρ0e iθ0₎   ,

o que contradiz a fórmula de Poisson (18). Assim, o máximo será assumido por µ na circunferência unitária. Analogamente se procede para a prova do princípio do mínimo.

Preliminares 11 4. Unicidade da Solução.

A solução do problema de Dirichlet é única. Prova:

Admitamos que existem duas soluções para o problema de Dirichlet (16), nomeada-mente µ(ρeiθ_{) e v(ρe}iθ_{). Então}

w(ρeiθ) = µ(ρeiθ) − v(ρeiθ)

é uma função harmónica em B(1) e continua em B(1) e é tal que w(eiθ) = 0 ⇒ |w(eiθ)| = 0, ∀θ ∈ [0, 2π[, desde que µ e v coincidam na circunferência unitária.

Pelo princípio do máximo concluímos

w ≡ 0 ⇔ µ ≡ v, em B(1). 5. Existência da Solução.

A seguinte função é o integral de Poisson de ϕ no círculo unitário µ(ρeiθ) = 1

2π Z 2π

0

ϕ(eiτ)P (ρ, θ − τ )dτ. (20) Esta função é a solução do Problema de Dirichlet (16).

Prova:

(a) µ satisfaz a equação de Laplace (9) em B(1). De facto, atendendo às propriedades do núcleo de Poisson, ∆µ(ρeiθ) = 1 2π Z 2π 0 ϕ(eiτ) ∆P (ρ, θ − τ ) | {z } 0 dτ = 0.

Mais uma vez, ϕ(eiτ_{)P (ρ, θ − τ ) e as suas derivadas parciais são contínuas em}

ordem a ρ e θ. Este facto permite uma permuta entre o integral e a derivação em B(1).

(b) Temos que

µ(ρeiθ) − ϕ(eiθ) = 1 2π

Z 2π

0

h

ϕ(eiτ) − ϕ(eiθ) i

Preliminares 12 Como ϕ é uma função contínua podemos dizer que dado um  > 0, existe δ > 0 tal que

|θ − τ | < δ ⇒ |ϕ(eiτ) − ϕ(eiθ)| < , e portanto      1 2π Z |θ−τ |<δ h

ϕ(eiτ) − ϕ(eiθ)iP (ρ, θ − τ )      dτ ≤  1 2π Z |θ−τ |<δ P (ρ, θ − τ )dτ ≤  1 2π Z 2π 0 P (ρ, θ − τ )dτ = . (21) No caso |θ − τ| ≥ δ, pela propriedade 2 do núcleo de Poisson, podemos escolher ρ0 próximo de 1 tal que, ρ ∈]ρ0, 1[,

P (ρ, θ − τ ) ≤ 1 − ρ

2

1 − 2ρ cos δ + ρ2 <



2Mρ0 < ρ < 1, onde M = maxθ∈[0,2π[|ϕ(eiθ)|.

Assim      1 2π Z |θ−τ |≥δ h

ϕ(eiτ) − ϕ(eiθ)iP (ρ, θ − τ )dτ      ≤ 1 2π Z |θ−τ |≥δ 2M  2Mdτ ≤  1 2π Z 2π 0 dτ ≤ . (22) A partir de (21) e (22) concluímos nalmente que

|µ(ρeiτ) − ϕ(eiθ)| < 2, isto é,

lim

ρ→1−µ(ρe

Capítulo 1

O problema de Dirichlet para a

superfície esférica unitária em IR

0,n

"Com excepção dos nossos pensamentos, não há nada de ab-soluto no nosso poder"

René Descartes

1.1 A transformação de Möbius na álgebra de Cliord

É bem sabido que as transformações de Möbius resultam da composição de quatro apli-cações básicas: rotações, translações, dilatações e a inversão z 7→ 1

z (esta consiste numa

aplicação que conserva a orientação, obtida compondo uma inversão relativamente à su-perfície unitária com uma inversão em relação ao eixo real). Pretende-se construir uma generalização da transformação de Möbius

w = z − a

1 − az, |a| < 1

para IR0,n _{e fazer um estudo dos operadores de 2}a _{ordem invariantes sob a acção do grupo}

destas transformações. No plano complexo tem-se w = z − a 1 − az = − 1 a− a |a|− 1 a|a| a |a| z −a1
= − 1 a+ a |a| 1 − 1 a2
a |a| z − 1a
! , a = ρeiθ. (1.1) que resulta da composição de translações, rotações, homotetia de razão  a − 1_a



 e inversão relativamente à circunferência unitária e reexão no eixo real.

Vamos deduzir, em R0,n_{, uma transformação análoga a (1.1) e que resulta da}

general-ização multidimensional das transformações elementares correspondentes. Designe-se por ac = _a1 = _|a|a2 o conjugado de a relativamente à superfície esférica unitária e por α = _|a|a o

O Problema de Dirichlet para a Superfície Unitária em IR0,n ₁₄

vector unitário com direcção de a, ou seja, a generalização de (1.1) para R0,n _é

w = −ac+

α1 −_|a|12

 α (z − ac₎ .

Observe-se que apesar de a = −a, para a ∈ R0,n_{, as expressões para α e a}c _{não sofrem}

alterações. Tome-se agora x ∈ R0,n_{, a ∈ B}

1(0), então ter-se-á

• Translação inicial

x 7→ ξ1= x − ac. (1.2)

• Conjugação relativamente à superfície esférica unitária ξ1 7→ ξ2 = (ξ1)c =

−1

x − ac. (1.3)

• Reexão segundo o hiperplano Hα

Note-se que a composição a efectuar em R0,n _{é diferente da usual em C: no plano}

complexo, é executada uma rotação de amplitude −θ, seguida de inversão relativamente à circunferência unitária, composta com uma reexão segundo o eixo denido por a

|a|,

à qual sucede uma nova rotação de ângulo θ.

Uma vez que a conjugação relativamente à superfície esférica unitária e as reexões em hiperplanos que contêm a origem comutam com rotações, podemos então simplicar esta acção, reduzindo-a a conjugação relativamente à superfície esférica unitária seguida de uma reexão com respeito ao hiperplano denido pelo vector a ∈ R0,n_{, ou seja}

ξ2 7→ ξ3= αξ2α = α  −1 x − ac  α. (1.4) • Homotetia seguida de translação

ξ37→ y =  1 |a|2 − 1  α  ₋₁ x − ac  α − ac =  1 − 1 |a|2  a 1 |a|  ₋₁ x − ac  α − ac. (1.5) Lema 1.1.1 A expressão (1.5) admite a simplicação

y = (x − a) (ax + 1)−1, (1.6) que corresponde a uma transformação que é análoga a (1) e que está denida em R0,n _para

|x| < 1, com |a| < 1. De agora em diante designaremos por M o grupo das transformações do tipo (1.6) (no capítulo 2 será provado de que M é de facto um grupo).

O Problema de Dirichlet para a Superfície Unitária em IR0,n ₁₅

Demonstração: A partir de (1.5) podemos dizer que 1 |a|  −1 x−ac  α = − (ax + 1) e  1 −_|a|12 

a = a − ac. Assim, para x 6= ac, obtemos

y = − (a − ac) (ax + 1)−1− ac = (x − a) (ax + 1)−1. Nota: A inversa de (1.6) é

x = (y + a)(1 − ay)−1. (1.7) Relativamente a uma transformação do tipo (1.6) podemos concluir que, para |a| < 1, a bola unitária |x| ≤ 1 é transformada em si própria (|y|2 _{≤ 1). De facto, da expressão (1.6)}

podemos retirar a seguinte relação:

1 − |y|2 = (1 − |x|2) (1 − |a|2) (ax + 1)−1(ax + 1)−1. (1.8) Por um lado, pelas condições inicias podemos desde logo dizer que os primeiros dois termos da expressão anterior são não negativos. Por outro lado, tendo em conta que

ax + 1 = a  x + a |a|2  ,

e atendendo ao facto de que o produto de vectores invertíveis é um vector invertível concluí-mos que (ax + 1) é invertível. Além disso, podeconcluí-mos dizer que

(ax + 1)−1(ax + 1)−1 =  x + a |a|2 −1 a−1a−1  x + a |a|2 −1 ,

ou seja, o segundo membro da igualdade anterior é igual ao produto de dois escalares não negativos.

Portanto, o membro à direita de (1.8) é o produto de escalares não negativos, pelo que 1 − |y|2≥ 0, que corresponde ao que pretendíamos provar.

1.2 A métrica invariante

Para calcular o diferencial de y necessitamos de ter d(u−1_{)em termos de du, com u ∈ R}0,n_.

Lema 1.2.1 Para u ∈ R0,n_{, temos}

d 1 u



= −u(du)u

O Problema de Dirichlet para a Superfície Unitária em IR0,n ₁₆ Demonstração: Para u ∈ R0,n d 1 u  = d u uu  = du u2 − u d(uu) u4 = du u2 − u d(uu) u4 = u

2_{(du) − u(u(du) + (du)u)}

u4 = u 2_{du − u}2_{du − u du u} u4 = −u(du)u u4 .

Lema 1.2.2 A métrica diferencial, invariante em R0,n _{sob a acção dos elementos do grupo}

M, é

|dy| (1 − |y|2₎ =

|dx|

(1 − |x|2₎. (1.10)

Demonstração: Uma vez que y =  1 − 1 |a|2  α  −1 x − ac  α − ac concluímos que dy =  1 − 1 |a|2  α (x − a c_{) dx (x − a}c₎ (x − ac₎4  α. Donde |dy|2= (|a|2− 1)2 1 |ax + 1|4 |dx| 2_{. (1.11)}

Tendo em conta a expressão anterior e atendendo a (1.8) obtemos |dy|2

(1 − |y|2₎2 =

|dx|2

(1 − |x|2₎2.

1.3 Operadores invariantes

Nesta secção será estudada a existência de operadores invariantes relativamente à acção da transforma1ção (1.6). Diremos que um operador D é invariante relativamente à acção (Tg : f 7→ f ◦ g) de uma transformação g de Ω ⊂ R0,n→ R0,n se TgD = DTg.

O Problema de Dirichlet para a Superfície Unitária em IR0,n ₁₇

Consideremos o operador de Laplace ∆f = n X i=1 ∂2_f ∂x2_i, (1.12) que tem a seguinte representação em coordenadas polares (x = ρξ), ξ ∈ Sn−1

∆ = ∂ 2 ∂ρ2 + n − 1 ρ ∂ ∂ρ + ∆ξ ρ2, (1.13) onde ∆ξf = ∆ 

f_|x|x. O operador ∆ é invariante relativamente a transformações or-togonais e translações, mas não é relativamente a inversões. De entre as suas aplicações, destacam-se as seguintes (ver [13]):

• Determinação do potencial gravitacional de uma região do espaço que não contém matéria;

• Resolução de problemas de electrostática que envolvem superfícies limitadas onde se pretende estudar o potencial electrostático;

• Determinação da velocidade da corrente de um uído incompressível sem fontes ou vortex;

• Estudo do potencial eléctrico, na teoria que analisa o comportamento da corrente eléctrica em condutores sólidos.

Vamos agora estudar o comportamento do operador de Laplace sob a acção do grupo M em R0,n_.

Lema 1.3.1 O operador

(1 − |x|2)n2+1∆_x(1 − |x|2)− n

2+1 (1.14)

é invariante relativamente à transformação denida em (1.6). Demonstração: Consideremos o seguinte operador

rγ∆rβ, (1.15) e vamos ver para que valores de γ e β este é invariante segundo

y = −1 x = x

c_,

que corresponde à inversão com respeito à superfície esférica unitária. Usando coordenadas polares y = ρξ e x = rξ, onde ρ = 1 r, e ∂ ∂ρ = −r 2 ∂ ∂r. (1.16)

O Problema de Dirichlet para a Superfície Unitária em IR0,n ₁₈

Assim, a partir de (1.13), podemos dizer que para todo o f se verica rγ ∂ 2 ∂r2 + n − 1 r ∂ ∂r + ∆ξ r2  rβf (x) = ργ ∂ 2 ∂ρ2 + n − 1 ρ ∂ ∂ρ + ∆ξ ρ2  ρβf (x(y)),(1.17) onde x(y) é denida por (1.7).

Tomando f constante relativamente a r obtemos, a partir de (1.17) e de ρ = 1 r

ργ+β−2∆ξf (ξ) = rγ+β−2∆ξf (x) = ρ2−β−γ∆ξf (ξ).

Dada a arbitrariedade de f(ξ) podemos dizer que

γ + β − 2 = 0 ⇔ γ = 2 − β. (1.18) Desenvolvendo o 1o _{membro de (1.17), com f não necessáriamente uma função constante}

relativamente a r, obtemos r2 ∂ 2_f ∂r2(x) + (2β + n − 1)r ∂f ∂r(x) + β(β + n − 2)f (x) + ∆ξf (x), e, por outro lado,desenvolvendo o 2o _{membro, temos}

r2 ∂

2_f

∂r2(x) + (3 − 2β − n)r

∂f

∂r(x) + β(β + n − 2)f (x) + ∆ξf (x), donde existirá igualdade entre os dois membros na condição de

2β + n − 1 = 3 − 2β − n ⇔ β = 1 − n

2. (1.19) Então para a transformação

y + ac =  1 |a|2_{− 1}  α  ₋₁ x − ac  α (1.20) temos |x − ac|n2+1∆_x|x − ac|1− n 2F (x) = =  1 |a|2_{− 1} −γ−β+2 |y + ac_|n₂+1_∆ y|y + ac|1− n 2F (x(y)), (1.21)

mas atendendo a (1.18) podemos dizer que  1 |a|2_{− 1} −γ−β+2 =  1 |a|2_{− 1} 0 = 1, assim o segundo membro de (1.21) é simplicado, obtendo-se

|x − ac|n2+1∆_x|x − ac|1− n 2F (x) = |y + ac| n 2+1∆_y|y + ac|1− n 2F (x(y)). (1.22)

O Problema de Dirichlet para a Superfície Unitária em IR0,n ₁₉

Tendo em conta (1.5) e (1.8) concluímos que |y + ac_| 1 − |y|2 = |x − ac_| 1 − |x|2. (1.23) Efectuando a substituição F (x) =  1 − |x| 2 |x − ac_| 1−n₂ f (x) =  1 − |y| 2 |y + ac_| 1−n₂ f (x(y)) = F (x(y))

e se multiplicarmos o 1o _{e o 2}o _{membros de (1.22), respectivamente, por} 1−|x|2 |x−ac_| n₂+1 e  1−|y|2 |y+ac_| n₂+1

,obtemos a seguinte igualdade (1 − |x|2)n2+1∆_x(1 − |x|2)− n 2+1f (x) = (1 − |y|2) n 2+1∆_y(1 − |y|2)− n 2+1f (x(y)), ou seja, (1 − |x|2)n2+1∆_x(1 − |x|2)− n 2+1,

que corresponde ao operador invariante associado à transformação (1.6).

Repare-se que este operador não preserva as funções harmónicas, isto é, o transformado de uma função harmónica não é necessáriamente harmónico. No entanto, de seguida apresenta-se um mecanismo que permite "preapresenta-servar"a harmonicidade de uma função quando aplicamos este operador.

Seja h(x) uma função harmónica e considere-se a seguinte função H, denida por H(y) =  1 − |y|2 1 − |x(y)|2 1−n₂ h(x(y)), (1.24) que também é harmónica. De facto, para f(x) = 1 − |x|2
n₂−1

h(x)temos, por um lado (1 − |x|2)n2+1∆_xh(x) = (1 − |y|2)

n

2+1∆_yH(x(y)). (1.25)

Por outro lado

(1 − |x|2)n2+1∆_x(1 − |x|2)− n 2+1f (x) = (1 − |x|2)2∆_xf (x) + n(n − 2)f (x) + +2(n − 2)(1 − |x|2) n X i=1 xi ∂f ∂xi (x),

O Problema de Dirichlet para a Superfície Unitária em IR0,n ₂₀

donde resulta a seguinte expressão

(1 − |x|2)2∆x+ 2(n − 2)(1 − |x|2) n X i=1 xi ∂ ∂xi (1.26)

que é outro operador invariante associado à transformação (1.6), mas que é equivalente ao operador deduzido anteriormente em (1.14).

1.4 Um problema análogo ao problema de Dirichlet

Vamos agora provar que, dada uma função ϕ, contínua na superfície esférica unitária |u| = 1, existe uma função contínua ψ na bola unitária |u| ≤ 1 tal que para |u| = 1

ψ(u) = ϕ(u) (1.27) e, para |x| < 1, (1 − |x|2)2 ∆x+ 2(n − 2)(1 − |x|2) n X i=1 xi ∂ψ ∂xi = 0. (1.28) Consideremos novamente a transformação (1.6)

v = (u − x)(xu + 1)−1. (1.29) Atendendo a (1.8) podemos dizer que para |u| = 1 temos |v| = 1, esta conclusão, junta-mente com (1.11), permite-nos dizer que

|dv|2 = (1 − |x| 2₎2 |xu + 1|4 |du| 2 =   1 − |x|2 |x|2_{+ 2|x|}D_u, x |x| E + 1   2 |du|2 (1.30) e portanto, o elemento de área é dado por

dSv =   1 − |x|2 |x|2_{+ 2|x|}D_u, x |x| E + 1   n−1 dSu, (1.31) onde  u, x |x|  = 1 |x|hu, xi = 1 |x| 1 2B(u, x) = 1 2|x|(ux + xu).

O Problema de Dirichlet para a Superfície Unitária em IR0,n ₂₁

Denição 1.4.1 (ver [19]) Para |x| < 1 e |u| = 1, denimos em IR0,n_{, o análogo do Núcleo}

de Poisson da seguinte forma

P (x, u) =   1 − |x|2 |x|2_{+ 2|x|}D_u, x |x| E + 1   n−1 =  1 − |x|2 ρ2_{− 2ρ cos θ + 1} n−1 , (1.32) onde x = ρξ, ρ ≥ 0 e cos θ = − < u, ξ >= −1 2B(u, ξ) = − 1 2(uξ + ξu). Esta função tem as seguintes propriedades:

• Positividade: Para cada ρ < 1 temos que P (x, u) > 0.

A prova desta propriedade é imediata. De facto, para os valores de ρ referidos temos ρ2− 2ρ cos θ + 1 ≥ ρ2_{− 2ρ + 1 = (ρ − 1)}2_{> 0}

• Quando nos aproximamos da fronteira da bola unitária verica-se o seguinte comportamento lim ρ→1P (ρ, θ) = ( 0, u 6= ξ ∞, u = ξ De facto, para u 6= ξ e cos θ < 1 temos que

P (x, u) =  1 − ρ2 ρ2_{− 2ρ cos θ + 1} n−1 , donde lim ρ→1P (ρ, θ) = 0 2 − 2 cos θ = 0.

Para u = ξ concluímos que cos θ = − < u, u >= 1. De facto temos que P (x, u) =  1 − ρ2 (1 − ρ)2 n−1 = 1 + ρ 1 − ρ n−1 , donde lim ρ→1−P (ρ, θ) = ∞.

O Problema de Dirichlet para a Superfície Unitária em IR0,n ₂₂

• O integral ao longo da fronteira toma o seguinte valor 1

wn−1

Z

∂B(1)

P (x, u)dSu = 1, (1.33)

onde wn−1 é a área da superfície esférica unitária ∂B(1).

A prova desta igualdade é imediata. Através da mudança de variável (1.29) podemos dizer que 1 wn−1 Z ∂B(1) P (x, u)dSu = 1 wn−1 Z ∂B(1) dSv = 1.

• P (x, u) é a solução da equação diferencial (1.28). De facto verica-se que (1 − |x|2)n2+1∆_x(1 − |x|2)1− n 2P (x, u) = n(n − 2)P (x, u) donde (1 − |x|2)2∆x+ 2(n − 2)(1 − |x|2) n X i=1 xi ∂P ∂xi (x, u) = 0.

Denição 1.4.2 Para uma função ϕ, contínua na superfície esférica unitária, denimos a seguinte função ψ ψ(x) = 1 wn−1 Z ∂B(1) ϕ(u)P (x, u)dSu, |x| < 1. (1.34)

Vamos agora provar que esta função é a solução do problema de tipo Dirichlet na super-fície esférica unitária, isto é, satisfaz (1.28) e lim

ρ→1−ψ(ρu) = ϕ(u), para |u| = 1.

Assim

• Uma vez que ϕ(u) e P (x, u) são contínuas e têm derivadas parciais contínuas em B(1) concluímos que P (x, u) satisfaz (1.28). Portanto, a função denida em (1.34) satisfaz (1.28).

• Considere-se, para |y| = 1 ρ < 1, a seguinte diferença ψ(ρy) − ϕ(y) = 1

wn−1

Z

∂B(1)

P (ρy, u) [ϕ(u) − ϕ(y)] dSu

= 1 wn−1 Z ∂B(1)  1 − ρ2 ρ2_{− 2ρ cos θ + 1} n−1 [ϕ(u) − ϕ(y)] dSu, onde cos θ = − < u, y >.

Pela continuidade de ϕ, para cada  > 0 existe δ > 0 tal que |θ| < δ ⇒ |ϕ(u) − ϕ(y)| < 

O Problema de Dirichlet para a Superfície Unitária em IR0,n ₂₃ e portanto      1 wn−1 Z ∂B(1),|θ|<δ

P (ρy, u)[ϕ(u) − ϕ(y)]dSu

     ≤  1 wn−1 Z ∂B(1),|θ|<δ P (ρy, u)dSu ≤  1 wn−1 Z ∂B(1) P (ρy, u)dSu = .

Quando |θ| ≥ δ, pelas propriedades de (1.32), existe ρ0< 1 tal que

P (ρy, u) ≤  1 − ρ2 ρ2_{− 2ρ cos δ + 1} n−1 <  2M, onde ρo< ρ < 1e M = max |u|=1|ϕ(u)|. Assim      1 wn−1 Z ∂B(1),|θ|≥δ

P (ρy, u)[ϕ(u) − ϕ(y)]dSu

     ≤ 1 wn−1 Z ∂B(1),|θ|≥δ 2M  2MdSu ≤  1 wn−1 Z ∂B(1) dSu = 

Deste modo concluímos que

|ψ(ρy) − ϕ(y)| < 2 ⇔ lim

ρ→1−ψ(ρy) = ϕ(y).

1.5 A fórmula de Poisson para a equação de Laplace

De forma a construir a fórmula de Poisson para a equação de Laplace, vamos provar o seguinte resultado que nos dá a fórmula de valor médio para a equação de Laplace:

Teorema 1.5.1 Se ϕ é uma função harmónica em B(1) e contínua em B(1), então para 0 ≤ ρ ≤ 1 temos que ϕ(0) = 1 wn−1 Z |u|=1 ϕ(ρu)dSu. (1.35)

O Problema de Dirichlet para a Superfície Unitária em IR0,n ₂₄

Demonstração: Como ϕ é harmónica em B(1), podemos escrevê-la em termos de es-féricas harmónicas (ver [20])

ϕ(ρu) = ∞ X k=0 ρkSk(u) e, para ρ < 1, 1 wn−1 Z |u|=1 ϕ(ρu)dSu = ∞ X k=0 1 wn−1 ρk Z |u|=1 Sk(u)dSu = ∞ X k=0 ρkhSk, 1i = S0 onde, quando ρ → 0 S0= ϕ(0) com ϕ(0) = 1 wn−1 Z |u|=1 ϕ(ρu)dSu.

Como ϕ é harmónica, é de classe C∞_{em B(1). Além disso, a sua continuidade em B(1)}

permite considerar ρ = 1.

Anteriormente vimos em (1.8) que

H(y) =  1 − |y| 2 1 − |x|2 1−n₂ h(x(y)) =  1 − |a| 2 |ax + 1|2 1−n₂ h(x(y)), (1.36) é harmónica sempre que h é harmónica.

Atendendo à fórmula do valor médio temos que H(0) = 1

wn−1

Z

|v|=1

H(v)dSv. (1.37)

Considerando a seguinte mudança de variável

v = (u − a)(au + 1)−1, (1.38) onde dSv =  1 − |a|2 |a|2_{+ 2|a| < α, u > +1} n−1 dSu, com |u| = |v| = 1 e α = a |a|.

O Problema de Dirichlet para a Superfície Unitária em IR0,n ₂₅

Uma vez que (1.38) transforma u = a em v = 0, obtemos

H(0) = (1 − |a|2)n2−1h(a) (1.39) e H(v) =  1 − |a|2 |a|2_{+ 2|a| < α, u > +1} 1−n₂ h(u) (1.40) novamente com |u| = |v| = 1.

Assim (1.37) toma a seguinte forma (1 − |a|2)n2−1h(a) = 1 wn−1 Z |u|=1  1 − |a|2 |a|2_{+ 2|a| < α, u > +1} n−1+(1−n₂) h(u)dSu = 1 wn−1 Z |u|=1 1 − |a|2 (|a|2_{+ 2|a| < α, u > +1)}n2 h(u)dSu,

donde resulta a Fórmula Integral de Poisson para a equação de Laplace

h(a) = 1 wn−1 Z |u|=1 1 − |a|2 (|a|2_{+ 2|a| < α, u > +1)}n2 h(u)dSu.

Uma das vantagens da expressão deduzida é de que dada uma função h harmónica na bola unitária, a fórmula integral de Poisson dá os valores da função h no interior da bola unitária a partir dos valores sobre a superfície esférica, à semelhança da fórmula de Cauchy para as funções holomorfas no plano complexo.

Capítulo 2

Esferas em R

p,q

_{- coordenadas}

projectivas

"Se eu vi mais longe do que outros, foi por estar sobre os ombros de gigantes"

Issac Newton O plano projectivo pode ser denido através de um modelo "concreto"que obedece a algumas propriedades típicas do plano euclidiano, ou então através de uma estrutura abstracta que satisfaz um conjunto de axiomas.

As denições que seguem a via axiomática têm a vantagem de serem concisas e elegantes, mas a sua generalização a espaços de dimensão arbitrária exige alguns cuidados. Apesar deste inconveniente, durante este trabalho será considerada a via axiomática como ponto de partida para a denição do nosso modelo concreto.

A utilização das coordenadas projectivas tem algumas vantagens, tais como:

• Simplicação das fórmulas: A utilização de coordenadas projectivas permite sim-plicar as expressões que envolvem as operações básicas da álgebra linear: determi-nantes, adições, multiplicações, produtos internos, produtos externos, multiplicação de matrizes, etc. Todas as transformações euclidianas e respectivas projecções podem ser expressas em termos de transformações lineares que actuam num determinado ponto. • Permite o omissão de alguns casos particulares: A utilização de coordenadas projectivas permite representar pontos e linhas no innito de uma forma natural, sem ter que utilizar uma notação alternativa nem condições suplementares. Esta van-tagem torna-se muito importante nas aplicações a algoritmos uma vez que o número de condições envolvidas diminui e na redacção de teoremas porque o número de casos particulares também vai diminuir.

Esferas em Rp,q _{- coordenadas projectivas 28}

• Unicação e extensão dos conceitos: Uma das vantagens da utilização das co-ordenadas projectivas é a unicação dos conceitos. Por exemplo, as diferenças entre círculos, elipses, parábolas e hipérboles desaparecem quando estamos a trabalhar com coordenadas projectivas, pelo que estas curvas "se transformam"numa outra curva. • Dualidade: A determinação de um ponto a partir da intersecção de duas linhas está

relacionada com a determinação de uma linha a partir de dois pontos. Mais geralmente, dizemos que toda a proposição sobre pontos e linhas (no plano) pode ser substituída por uma proposição dual sobre linhas e pontos. A possibilidade de fazer esta substituição é conhecida por princípio da dualidade ou princípio de Plücker. A dualidade transmite à geometria projectiva características peculiares, tornando-a mais simétrica que a usual geometria Euclidiana. Além disso, a dualidade é uma ferramenta muito útil a nível prático e a nível teórico.

No entanto, a geometria projectiva também tem alguns inconvenientes, tais como: • O plano projectivo não tem orientação: Formalmente está-se a dizer que não é

possível denir um sentido horário e um sentido anti-horário relativamente à orientação dos ângulos.

• As linhas possuem apenas um lado: Se removermos uma linha do plano projectivo, o que resta é um conjunto conexo de pontos que é topológicamente equivalente a um disco. Assim, não faz sentido perguntar quando é que dois pontos estão do mesmo lado de uma dada linha. De uma forma geral, podemos dizer que falha o teorema de Jordan, uma vez que uma curva simples e fechada não divide o plano em duas regiões distintas.

• Os segmentos e as direcções são ambíguos: Na geometria projectiva não é possível denir de uma forma consistente um segmento que une dois pontos. Dois pontos dividem a linha que passa por eles em dois arcos, e não é possível fazer uma distinção consistente entre os dois. Neste contexto não faz sentido a seguinte armação "dado um ponto r entre dois pontos p e q". Tal como no caso anterior, não é possível denir a direcção que vai do ponto p para o ponto q.

• Não existem guras convexas: A noção de conjunto convexo não faz sentido no plano projectivo. O problema não esta apenas na denição de conjunto convexo, mas também no facto de não ser possível distinguir um conjunto convexo de um conjunto não convexo.

As desvantagens apresentadas, apesar de terem alguma importância, não têm inuência no trabalho que irá ser desenvolvido nos próximos capítulos. Além disso, as vantagens

Esferas em Rp,q _{- coordenadas projectivas 29}

apresentadas inicialmente reforçam ainda mais a sua utilização no estudo das transformadas de Möbius em R0,n_.

A equação de uma superfície esférica s em Rp,q_{, com centro m e raio r}1 _{é dada por}

s : |y − m|2 = r2

(y − m) (y − m) = r2

|y|2+ 2hy, mi + |m|2= r2. (2.1) Usando coordenadas projectivas, identicamos uma superfície esférica s em Rp,q _com

s : (µ, k, ν) = km, 1, |m|2− r2 _{, k 6= 0. (2.2)}

Um ponto x de Rp,q _{é assim identicado com uma superfície esférica de centro x e raio}

zero, pelo que terá as seguintes coordenadas projectivas

x : (µ, k, ν) = kx, 1, |x|2 , k 6= 0, (2.3) enquanto que um hiperplano h de equação

h : 2hy, mi + 2b = 0, (2.4) terá as seguintes coordenadas projectivas

h : (ξ, 0, η) = ρ (m, 0, 2b) , ρ 6= 0. (2.5)

2.1 Intersecção ortogonal

Necessitamos de uma forma bilinear em Rn+2_{, para tal atenderemos ao conceito de}

ortogonalidade entre superfícies esféricas em Rp,q_{. Consideremos s}

1 e s2 duas superfícies

esféricas em Rp,q_{, com as seguintes coordenadas}

s1 : (µ1, k1, ν1) = k1  m1, 1, |m1|2− r21  , k1 6= 0 (2.6) s2: (µ2, k2, ν2) = k2  m2, 1, |m2|2− r22  , k2 6= 0. (2.7)

Denição 2.1.1 Dizemos que s1 intersecta ortogonalmente s2 se e só se

hm₁− y, m₂− yi = 0, ∀y ∈ s₁∩ s₂,

1_{De momento, tomemos r > 0; note-se todavia que faz igualmente sentido tomar uma superfície esférica} de raio imaginário ir, r > 0

Esferas em Rp,q _{- coordenadas projectivas 30}

isto é, se e só se

|m₁− m₂|2 = |m₁− y + y − m₂|2 y ∈ s1∩ s2

= |m₁− y|2+ |m2− y|2+ 2hm1− y, m2− yi

= r2₁+ r2₂. (2.8) Desenvolvendo o primeiro membro da expressão (2.8) obtemos

|m1|2+ |m2|2− r12− r22 2 = −hm1, m2i, (2.9) onde −hm1, m2i = − 1 2B(m1, m2) = − 1 2 (m1m2+ m2m1).

Usando a relação anterior estabelecemos assim uma forma bilinear no espaço projectivo Rn+2 que preserva a ortogonalidade das superfícies esféricas originais.

S1גS2T = 0 ⇔ (µ1, k1, ν1)       Ip 0 0 0 0 −I_q 0 0 0 0 0 1₂ 0 0 1₂ 0       (µ2, k2, ν2)T = 0 (2.10) ⇔ p X i=1 µ1_iµ2_i − p+q X i=p+1 µ1_iµ2_i +k1ν2+ k2ν1 2 = 0. (2.11) A última expressão é igual, a menos de uma constante k1k2, à expressão (2.9).

Assim, podemos dizer que um ponto X verica a equação de uma superfície esférica S se e só se considerando X como uma superfície esférica de raio zero, esta intersecta ortogonalmente a superfície esférica S, isto é, em coordenadas projectivas, XגST _{= 0.}

Outra conclusão que resulta da denição de ortogonalidade é de que uma superfície esférica tem raio zero se e só se se intersectar ortogonalmente a si própria.

Nota: No Apêndice B será estudado o caso particular do hiperplano.

2.2 Identicação com R

A matriz ג em (2.10) está associada a uma forma bilinear, simétrica e não degenerada de Rp+q+2_{. Se determinarmos os seus valores próprios e correspondentes vectores próprios.}

Valores Próprios de ג Vector Próprio Associado 1 ei= (ei, 0, 0) : eiגeTi = 1 , i = 1, p

−1 ei = (ei, 0, 0) : eiגeTi = −1 , i = p + 1, q + p 1

2 e+= (0, 1, 1) : e+גeT+= 1

Esferas em Rp,q _{- coordenadas projectivas 31}

concluímos que podemos associar a cada superfície esférica (µ, k, ν) um número da Álgebra de Cliord Rp+1,q+1, gerada por Rp,q e por e+ e e− onde e+2 = 1, e2− = −1 e e+ e e− são

ortogonais entre si e ortogonais a Rp,q_{. Assim:}

S : (µ, k, ν) −→ S = p+q X i=1 µiei+ k e++ e− 2 + ν e+− e− 2 = p+q X i=1 µiei+ k − ν 2 e−+ k + ν 2 e+. (2.12) Passando para a Álgebra de Cliord concluímos que

k = S · e+− e− 2  6= 0 mi = ui k , i = 1, p + q ν = S ·  e+− e− 2  , onde · tem a interpretação indicada para <, > em (2.9), e

S1· S2 = p+q X i=1 µ1_iei+ k1− ν1 2 e−+ k1+ ν1 2 e+ ! · − p+q X i=1 µ2_iei− k2− ν2 2 e−− k2+ ν2 2 e+ ! = − p X i=1 µ1_iµ2_i + p+q X i=p+1 µ1_iµ2_i + (k1− ν1)(k2− ν2) − (k1+ ν1)(k2+ ν2) 4 = −hµ₁, µ2i − k1ν2+ k2ν1 2 = −k1k2  hm1, m2i + |m1|2+ |m2|2− r21− r22 2  . Se S1 = S2 = S obtemos SS = k2r2,

o que nos permite identicar o vector S de Rp+1,q+1 _{com a superfície esférica de raio real}

se SS > 0, com um ponto se SS = 0 ou com uma superfície esférica de raio imaginário se SS < 0.

A ortogonalidade entre duas superfícies esféricas s1 e s2 de Rp,q, vistas como vectores

S1, S2 de Rp+1,q+1, é dada por

S1· S2 = 0. (2.13)

Desta forma identicámos projectivamente o cone isotrópico de Rp+1,q+1 _{(conjunto dos}

Esferas em Rp,q _{- coordenadas projectivas 32}

2.3 O grupo ortogonal O(p + 1, q + 1)

Considere-se o grupo ortogonal O(p + 1, q + 1), juntamente com o grupo Pin que lhe está associado. Uma vez que neste grupo podemos denir um produto interno em Rp,q_invariante

sob a acção dos elementos de O, obtemos uma aplicação denida no conjunto das superfícies esféricas de Rp,q _{com as seguintes propriedades:}

1. Transforma pontos em pontos, desde que a nossa aplicação seja denida de Rp,q _em

Rp,q.

2. Transforma superfícies esféricas em superfícies esféricas.

3. É uma aplicação conforme, isto é, transforma superfícies esféricas ortogonais em super-fícies esféricas ortogonais. Assim, qualquer transformação de Möbius g em Rp,q _estará

associada a um elemento de O(p + 1, q + 1).

4. Uma vez que estamos a trabalhar projectivamente, a aplicação S → −S corresponde à identidade em Rp,q_{. Deste modo cada transformação de Möbius é identicada com}

dois elementos de O(p + 1, q + 1).

2.4 O isomorsmo entre (R

)

e R

Vamos agora estudar a existência de uma representação matricial para os elementos de Rp+1,q+1,com entradas em Rp,q.

Teorema 2.4.1 A aplicação de (Rp,q)2×2 em Rp+1,q+1 denida por

" a b c d # −→ af₁+ bf2+ c0f3+ d0f4, (2.14) onde " 1 0 0 0 # → f₁, " 0 1 0 0 # → f₂, " 0 0 1 0 # → f₃, " 0 0 0 1 # → f₄ é um isomorsmo de álgebras.

Demonstração: Uma base natural para o conjunto de matrizes de 2 × 2 é " 1 0 0 0 # → f1, " 0 1 0 0 # → f2, " 0 0 1 0 # → f3, " 0 0 0 1 # → f4

Esferas em Rp,q _{- coordenadas projectivas 33} fifj f1 f2 f3 f4 f1 f1 f2 0 0 f2 0 0 f1 f2 f3 f3 f4 0 0 f4 0 0 f3 f4 .

Por outro lado, Rp+1,q+1 é a álgebra de Cliord gerada por Rp,q, e+, e−, pelo que iremos

identicar os elementos f1, f2, f3, f4com combinações lineares adequadas de 1, e+, e−e e+e−.

Uma vez que f1 e f4 são elementos idempotentes podemos dizer que

f1 =

1

2(1 − e−e+) e f4 = 1

2(1 + e−e+)

isto é, f1 e f4 geram R+p+1,q+1. Por outro lado, atendendo à tabela de multiplicação

apresen-tada anteriormente, f2 e f3 podem ser vistos como uma combinação linear de e− e e+, isto

é, f2 = 1 2(−e−+ e+) e f3= 1 2(e−− e+).

É fácil de vericar que f1 e f4 comutam com Rp,q, enquanto que f2 e f3 comutam com

R+p,q mas anti-comutam com R−p,q, isto é

f2a = a0f2 e f3a = a0f3, ∀ a ∈ Rp,q.

Para a, b, c, d, e, f, g, h ∈ Rp,q obtemos, por um lado, o seguinte resultado para a

multi-plicação de matrizes " a b c d # " e f g h # = " ae + bg af + bh ce + dg cf + dh # , por outro lado

(af1+ bf2+ c0f3+ d0f4)(ef1+ f f2+ g0f3+ h0f4) = af1ef1+ af1f f2+

bf2g0f3+ bf2h0f4+ c0f3ef1+ c0f3f f2+ d0f4g0f3+ d0f4h0f4

= aef₁2+ af f1f2+ bgf2f3+ bhf2f4+ c0e0f3f1+ c0f0f3f2+ d0g0f4f3+ d0h0f4f4

= (ae + bg)f1+ (af + bh)f2+ (ce + dg)0f3+ (cf + dh)0f4.

Assim, a aplicação de (Rp,q)2×2 em Rp+1,q+1 dada por

" a b c d # −→ af₁+ bf2+ cf3+ df4 é um isomorsmo de álgebras.

Esferas em Rp,q _{- coordenadas projectivas 34}

De seguida vão ser denidas três involuções em (Rp,q)2×2, cujas propriedades são

seme-lhantes relativamente ao que denimos anteriormente para o caso de Rp,q.

Tendo em conta as propriedades relativas às involuções em Rp,q podemos dizer que

(af1+ bf2+ c0f3+ d0f4) = af1+ bf2+ c0f3+ d0f4

= f4a − f2b − f3c0+ f1d0

= d0_f

1− b0f2− cf3+ af4

= d∗f1− b∗f2− (c∗)0f3+ (a∗)0f4,

o que nos permite concluir que a conjugação em (Rp,q)2×2 é denida da seguinte forma

" a b c d # −→ " a b c d # = " d∗ −b∗ −c∗ a∗ # . Analogamente podemos dizer que

(af1+ bf2+ c0f3+ d0f4)∗ = f1∗a ∗_{+ f}∗ 2b ∗_{+ f}∗ 3(c 0₎∗_{+ f}∗ 4(d 0₎∗ = f4a∗+ f2b∗+ f3c + f1d = df1+ (b∗)0f2+ (c)0f3+ a∗f4 = df1+ bf2+ (c)0f3+ (a)0f4,

o que permite concluir que a reversão em (Rp,q)2×2 é denida da seguinte forma

" a b c d # −→ " a b c d #∗ = " d b c a # .

No caso da conjugação e a reversão podemos dizer que cada uma é um anti-automorsmo involutório em (Rp,q)2×2.

Finalmente vamos denir a involução principal em (Rp,q)2×2. Tendo a relação

(af1+ bf2+ c0f3+ d0f4)0 = a0f10 + b 0

f₂0 + cf₃0 + d0f₄0 = a0f1− b0f2− cf3+ df4,

em Rp+1,q+1_{,o isomorsmo (2.14) implica para (R}

p,q)2×2a involução principal dada por:

" a b c d # −→ " a b c d #0 = " a0 −b0 −c0 d0 # .

Esferas em Rp,q _{- coordenadas projectivas 35}

2.5 Representação matricial das superfícies esféricas e das

trans-formações conformes

Considere-se S um elemento de P in(p + 1, q + 1), com representação matricial G = " a b c d # ∈ (Rp,q)2×2.

De modo a determinar a imagem de um vector por S necessitamos de saber G−1_.

Denição 2.5.1 Seja G = " a b c d # ∈ (Rp,q)2×2.

O pseudo-determinante de A é dado pela expressão ad∗_{− bc}∗_.

Lema 2.5.2 Considerando S e G nas condições anteriormente referidas podemos dizer que: 1. O pseudo-determinante de G é ±1.

2. G0−1_{= ±G}∗_.

Demonstração:

1. Consideremos um elemento S do grupo P in(p + 1, q + 1), que verica SS = ±1.

A representação matricial da identidade em (Rp,q)2×2 é a matriz identidade. Assim

± " 1 0 0 1 # = " a b c d # " a b c d # = " a b c d # " d∗ −b∗ −c∗ _a∗ # = " ad∗− bc∗ −ab∗+ ba∗ cd∗− c∗d −cb∗+ da∗ # , (2.15) o que nos permite concluir que

(

ab∗− ba∗ _{= cd}∗_{− c}∗_{d = 0}

Esferas em Rp,q _{- coordenadas projectivas 36}

2. Atendendo às conclusões obtidas na demonstração do ponto 1, podemos dizer que G0G∗
= " a0 −b0 −c0 d0 # " d b c a # = " a0d − b0c a0b − b0a −c0d + d0c −c0b + d0a # = " (ad∗− bc∗₎0 _(ab∗_{− ba}∗₎0 (−c0d∗+ dc∗)0 (−cb∗+ d0a∗)0 # = ± " 1 0 0 1 # .

De uma forma geral, se S é um elemento do grupo de Cliord Γ(p + 1, q + 1) (que será estudado na secção seguinte), o pseudo-determinante da matriz que o representa é um número real não nulo, e G∗ _{representa, a menos de uma constante ±} 1

ad∗_−bc∗, a matriz inversa

de G0_.

A matriz representativa de um ponto x ∈ Rp,q _{é dada, a menos de produto por k 6= 0,}

por x −→ X = " x |x|2 1 −x # = 1 2 " x x 1 1 # " 1 −x 1 −x # = 1 2 " x x 1 1 # " x x 1 1 #∗ , (2.16) e portanto, a imagem de x por S (que corresponde a um vector de Rp,q_{), tem a seguinte}

representação matricial g(x) −→ GXG0−1= 1 2G " x x 1 1 # " x x 1 1 #∗ G∗; uma vez que

G " x x 1 1 # = " ax + b ax + b cx + d cx + d # = " (ax + b)(cx + d)−1 (ax + b)(cx + d)−1 1 1 # (cx + d), (2.17) e (cx + d)(cx + d)∗ _{é um número real, resulta que a imagem de x por S é dada por}

Esferas em Rp,q _{- coordenadas projectivas 37}

ou seja, O(p + 1, q + 1) coincide com o grupo das transformações de Möbius de Rp,q_.

Quando S é uma superfície esférica de centro m e raio r > 0, a representação matricial de S é s −→ ρ " m |m|2_{− r}2 1 −m # ,

e o vector simétrico de x relativamente à superfície esférica S é dado por g(x) = sxs0−1

= (mx + |x|2− r2)(x − m)−1

= m − r2(x − m)−1. (2.19) Lema 2.5.3 As matrizes da forma

" a b b0 a0 # ou " a b −b0 −a0 #

, que vericam o lema 2.5.2, transformam a superfície esférica unitária em si própria.

Demonstração: A superfície esférica unitária tem a seguinte representação matricial " 0 −1 1 0 # . As matrizes da forma " a b c d #

transformam a superfície esférica unitária em si própria, se satiszerem " a b c d # " 0 −1 1 0 # " d b c a # = ρ " 0 −1 1 0 # ρ 6= 0,

para uma constante não nula ρ. Multiplicando o lado esquerdo da igualdade anterior por "

0 −1 1 0

#

e o lado direito por " a b c d #0 , obtemos " 0 −1 1 0 # " a b c d # " 0 −1 1 0 # = k " a0 −b0 −c0 d0 # ⇔ " −d c b −a # = k " a0 −b0 −c0 d0 # ,

onde k é igual a ρ a menos de um sinal. A igualdade anterior origina o seguinte sistema            a = −kd0 b = −kc0 c = −kb0 d = −ka0 ,