AriTÒNIO TRflJflhO
- t f XAlgebra Eiemanlar
+ 2pX = qX^ + 2px p^ = qp'i
^ + /> = + \^ q + p'^
a:' = —x" ==—/?—V?+7^
ÁLGEBRA elementar
OKMAT
digitalizado
, i L I i i m i i p i i i i i i M i i i .
< *
Á
L
1
J
COXT1ÍNÜO UM CUUSO TKÜUICO E I'RATICO DESTE RAMO DA CIENCU'
liSCLUINDO AS EQUAÇÕES DO SEGU.NDO GRaU E PROGRESSÕES,
EXPOSTO POR UM MÉTODO FACÍLIMO, SIMPLES
E M U I T O C O M P R E E N S Í V E L
PELO PROFESSOR
A N T O N I O T R A J A N O
Autor da Aritmcdca Primária, Aritmética Elementar e Antinética Progressiva
26,a EDIÇÃO
CUIDADOSAMENTE REVISTA
* • " U ;
L I V R A R I A F R A N C I S C O A L V E S 166, Rua do Ouvidor, 166 — Rio de Janeiro
8. PAULO II BELO HORIZONTE
292, Rua Libero Badarú | Rua Rio de Janeiro, 655
Obras do professor Antônio Trajano
PAiU O ENSINO D3 MAl-BAlA'nCA:
estuflo âe'Ai-íü^íThT^'''^ Para os meninos e meninas quo comcctim o
QSea sôbie números i Tf primárias; contendo fts quatro
opcra-Por meio de lições irTfl ^ ® íraçOes. expostas do modo mais simples,
próprios para n nn™ « e acompanhadas dc exercícios c problemaspara o primeiro Urocínlo do cálculo.
confrrpara ag classe.s mais adiantadas
Paâa nas aulas prim^rif ^ ^ matórla da Aritmética, que devo ser
ensi-e ornada densi-e muitas P®^ método atrativo ensi-e dolensi-eitávensi-el,
iurí da Exposição adequadas ao texto. Obra premiada pelo
Düblica em quasi Janeiro, e adotada pela instrugão
Aritmética
p a r a o e n s i n o c o m p l e t o , t e ó r i c o o p r á t i c o d e A r i t
-^entos úteis sObre e superior, contendo todos 03 esclarecl-uitns escolas normat<» ramo da ciência. Obra adotada em
' ' l i c e u s e o u t r o s e s t a b e l e c i m e n t o s d c c d u c a c ã o
Smb6Ía°^°® contém a solução com-
üca ^/®spo8ta do todm. 'Alceis da Ai-itmétlca Progressiva; contémpara sp^ reaposin- ® problemas que nesta
Aritmé-Pfopoatos ano' ainda alguns exercícios interessantes
" l l fl c u ? ? q u a l
Pão enTfi íei^onlTT ,^^°^®s3or poderá vantajosamente e sem
"centrará embaraço Aritmética Progressiva, certo de que
^ clc-fT''® ^'®'"®"tar c ° compêndio.
" i n
Iodo facQimo, siTnT^ ^^sundo grau e progressões, exposto
* ^ " " 0 t e ó r i c o o p r á t i c o d G s t o r a m o " »-"0 compreensível.O estudoT'^'^®® da a solução de todos os
pro-desta disciplina. Elemental-, e é do grande vantagem
^csta obra LT reservado.^ a chancela do Autor.
i
P R E F Á C I O
Na Inglaterra, na França, na Alemanlia e principalmente
nos Estados Unidos, a Algebra é considerada como um dos
ramos mais úteis e interessantes da instrução. Tal é a impor
tância que ali se dá a esta matéria, que já foi incluída como
parle do ensino obrigatório nas escolas primárias, onde os
meninos e meninas aprendem a converter facilmente os dados
de um problema em unia equação algcbrica.
Calculu-se que mais de quatrocentos mil compêndios de
Algebra se consomem anualmente nos Estados Unidos, e isto
é suficiente para nos dar uma idéia do modo por que se aprecia
e desenvolve este ramo de estudo naquela grande e adiantadanação americana.
Não há ali ensino secundário ou superior de qualquer
natureza que seja, que dispense o estudo acurado de Algebra;
no entanto, entre nós, nem mesmo nas faculdades de direitose exige o exame de Algebra como preparatório para o estudo
das ciências sociais e jurídicas! E, se nestes estabelecimentosde educação superior se dá tão pouco apreço a esta disciplina,
que fará nos liceus e colégios onde nem mesmo Aritméticase ensina com perfeição?
Para podermos avaliar como esta materia é abandonada,
ou para melhor dizer, ignorada entre nós, bastará só refle
tirmos que, se excetuarmos os homens formados em qual
quer dos ramos das matemáticas, será bem difícil acharmos em nossas cidades pessoas que tenham conhecimento de Ál
gebra .
Felizmente já vemos sinais de grande melhoramento. O Estado de S. Paulo, que nestes últimos anos tanto se tem avantajado, ao ponto de apresentar um desenvolvimento ma
terial e uma atividade que causam pasmo, chegado a êsle
Algebra elementar
^ rotineiro de ensino que os seus
nnle-coinnio»^ legaram, e por isso acalja de fazer uma reíonna
niÊlhni-M^"*'^. instrução pública, introduzindo, entre outros
primárias ° ensino obrigatório de Algebra nas escolas
e , e m b r e v e s e g u i d o p o r o u t r o s E s t a d o s ,
eom grandp vn "veremos a nossa moeidade aproveitar-se,
^álcu^o.^lminadaTgeb^^ «I^vanca poderosa do
tão proveil^s^'^^n^^^ \ desenvolver o gosto por este estudo
sua simplicidâde ^dare^^^® compêndio, que pela
despertar nos di^rí i ^ método, muito contribuirá para
^ue, ao mesmn ií»tí!í interesse c gosto por esta matéria
tão recreativa nan ^ para a vida, é também
Para tornai
dãmos quanto^oi nVssívti^^^^ ^ ameno êste estudo,
abran-lodo o UvpQ • o rigor algébrico; empregámos em
-r-todas a" 3 e apropriada;
cxempli-dustrando cada ponin ^'^^^tvendo todas as dificuldades, e
e recrealivn!" "J^^^urosos exercícios e problemas
^Pbcações e referênci-í^' ^ tinalinenle, abundamos em notas,
sabemos que nuii^osda-de uem outro aux?r ^ ^'^^Pundio, não terão outro
de mestre. ^«^diar além do livro que lhes servirá
àqueles
perderão*^ pequeno curso
"^as Hcar^'*^ ° vaciocinin ^^üo somente
q u e h a b i l i t a d o s o s e u e s p í r i t o ,
'^"tméiie; ufgum, resoh-err^ resolver muitos cál-
'®®®tveiiam só com o auxílio da
Á L G E B T I A E L E M E N TA R
1. Algebra é a parte das matemáticas que resolve os pro
blemas e demonstra os teoremas quando as quantidades são
representadas por letras.
2. Símbolos algébricos são letras, números e sinais com que se exprimem as quantidades e efetuam as operações.
3. Problema é uma questão que requer unia ou mais
quantidades desconhecidas que se teem de obter por meio de quantidades conhecidas.
As quantidades conhecidas chamam-se dados do pro
blema; as quantidades desconhecidas chamam-se incógnitas,
e o processo por meio do qual se acham as quantidades des
conhecidas, chama-se solução.
4. As quantidades conhecidas são representadas pelas primeiras letras do alfabeto: a, b, c, d, etc. As quantidades
desconhecidas são representadas pelas últimas letras: x, y, z. Estas representações simbólicas teem o nome de quantidades
a l g é b r i c a s .
Duas ou mais quantidades podem também ser represen tadas pela mesma letra, mas neste caso é necessário
distin-guí-Ia com um ou mais acentos ou linhas, como x', x", x"', que se lê: z primo, x segundo, x terceiro.
5. Teorema é uma proposição que mostra alguma re
lação ou propriedade das quantidades algébricas, e que pode
tornar-se evidente por nieio de uma demonstração.
ô. Os sinais algébpicos teem por fim indicar abrevia
damente as operações que se teem dc efetuar, e mostrar al
guma relação que "há entre as quantidades algébricas.
7. Os seguintes sinais teem em Algebra a mesma signifi
cação que cm Aritmética:
+ l ê - s c ; m a i s .
-—• lê-se: menos.
X lê-se: multiplicado por ou
v e z e s .
lê-se: dividido por. == lê-se: igual a.
± l ê - s e : m a i s o u m e n o s .
> lô-se: maior do que.
< lê-se: menor do que.
■y/"' lê-se: raiz.
:: lê-se: eslá pura.. 00 lê-se: infinito.
() Chama-se parênfesis,
y A l g e b r a e l e m e n t a r
Explicação dos sinais algébricos
8, O sinal =, escrito entre duas quantidades, mostra
que cs^as^ quantidades são iguais em valor. Assim, a expres
são a — u, que se lê: a igual a 3, quer dizer que a quantidade
representada pela letra a é igual a 3, isto c, tem o valor d 3.'
m i fl o ' e n t r e d u a s q u a n t i d a d e s , m o s t r a
Hinn'SiP quantídade deve ser somada com a primeira.
renrPQPni^^' « "^ois b, quer dizer que a quantidade
renrrsent^H'' ^ juntar-se com a quantidade'
o LuUadn a 2, e Í7, igual a 3,
o resultado da expressão seria: 04-6 = 2 + 3 = 5.
q u e 1 t i n a s q u a n t i d a d e s , m o s t r a
Assim nl- iP deve ser subtraída da primeira,
dade renreseiít^íl^ se le: a menos b, quer dizer que a
quanli-tidade representadi^^ ^ subtraida da
quaii-o
r e s u l t X : ; ^
"
= ' ■
nal ch^mi^fp também sinal positivo, e o
si-deve ser mi< à^n 1'""i"dade algíl>rica
.cedida do s "at í *^7 " 'i"»nlidade
;cedida do sinal""antidade positiva, e a
pre-'primeiro termo de quantidade negativa. Quando o
,^cnte^c-.;-:,X~-r^:r'd^^
•>os os-si„ai;\?r;òiu;v:: •■"'•■
sim, arqutmma7ert° T+6 ^rlíla e X°t
smal; mas +a e -6 toem sinais contrm-ios °
que a primeira deCe^ler multipUcad"^ quantidades, mostra
«Xb, que se lê: « mallipuTadoTr t Pda segunda. Assim,
tidade representada pela letra ^ i ^
^Uan-q u a n t i d a d e r e p r e s e n t a d a p o r 6 p e l a
R e p r e s e n t o u ^ " u n a s , c o m o
"AoXd^b.c.d; mas êste
Á L G E B R A E L E M E N T A R 9
modo caiu em desuso, porque se confunde com outras ex-.
pressões algébricas.
15. As quantidades que devem ser multiplicadas cha
mam-se fatores. Se o fator é um número, chama-se fator,numéricOi isto quer dizer representado por uin numero. Se o
fator é uma letra, chama-se fator literal, isto quer dizer
representado por uma letra. Assim, 2XuX^Xc são quatro
fatores que, multiplicados, dão o produto 2a5c. O fator 2 e
fator numérico e a, 5, c c são fatores literais.
ie. Seja qual for a ordem cm que escrevemos as letras
de um produto, o resultado será sempre o mesmo. Assim,
fiXí'Xc=íihc; bXcXfi^bca; cXaXb=cab. Ora, abe, bca e cab
são quantidades iguais, como vamos verificar na seguinte
Ilustração. .Sc dermos A letra a o valor <IÍ>C=2X3X4 24,
<3e 2, a 6 o valor <lc 3, e a c o valor de 4. 6ca=3X'fX2 = 24j
teremos nas três ordens de fatores abe, bca rn6=4X2X3*®24
© cab o mesmo produto, como vemos ao lado.
Para haver uniformidade no modo de e.xprimir nni pro
duto, escrevem-se sempre as letras na ordem alfabética;
assim, o produto de
Nota. o sinal X ê quiusl sempre omitido em Álgebra; pois em lugar
de .se escrever aXb, escrevo-se logo o produto que G ao.
17. O sinal escrito entre duas quantidades, mostra
que a primeira quantidade deve ser di%idida pela segunoa.
Assim, a^-^b, que se lê; o dividido .por b,
quantidade representada pelo letra a deve ser ly ^
quantidade reiireseiitada por b. Se a letra a fosse igua a ,
h igual a 2, o resultado seria a-4-5=6-j-2=3.
18. Em álgebra como em aritmética,
ciente na forma de uma fração, escrevendo o divisor debaixo
do dividendo, como a-^ b = -f . Omite-se sempre o^ sina
divisão, e escreve-se logo o quociente — que também se lê.
a dividido por b.
19. O sinal >, escrilo entre '""l*",
que a primeira é maior do que a segunda. ® ,
/«nro-se lè: a maior do que b, quer dizer que a qua ' ^
sentada pela letra a é maior do que a repicsen a p '
b; assim também a expressão c<d, quer dizer que ^ é menor
do que d. Sendo c igual a 4, e d igual a 7. o resultado sera
1 0 Algebra elementar
° Í 1 f 1 " ® 7 > 4 . D e q u a l q u e r
modo dcniro da abertura do sinal fica a quantidade maior.
imonefa? ? desigualdade de duas quantidades, sem
d diferentrde l """"" "" ® <=screve-se a#6 e Ic-se
Exercícios sobre os símbolos aigébricos
Nos exercícios abaixo darp.fnn« «c mt,...,. „ 7, c e d
boore os símbolos aigébricos
os se^g^Jin^tes «lorlsr
G — 2 , 6 - = 3 , c = 4 r f = 6
roblema. Qual é o valor a-yAb~-2c?
- 8 4 ' ^ = 4 X 3 = 1 2 - e 2 c — 2 X 4 —
-S- Então o vn,or Co „+477-Coo 2+12^=7
!• 3a-}-l) -{-c.
2. 4(Í-|-26-Í-c.
3- a-{-3ÍJ-Í-c/.
c + 2 0 - r f . Rcsp. 13 » 1 8 » 1 7 » 1 8 O p e r a ç ã o a-|-4íj—c 2412—S^G Rcsp. » ü . 2 ü - ^ c — 5 a . G. 8H-C —2b.fi-áu—rf. .,0 So-j-Slí+Sc. »
Problema. Qual é o ^ ^ 1'
_ , V e O valor da expressão a+6c4-2£/'
Solução. a=9. ,
EmSo o valor a e 2d=2XG=l2. OperaçSo
<i+bo+2a é 2+12+12,^05 a4-bc+2d
. tt+sè-J ^ etmroooce. ' 2+12+12=26
13. ac+d—a 14. bd-j-c—d.15. ab-f-bc—ac
1 n f » _ . . _ -Rcsp.9 .
2 a 6 + S c - d
^
;»■ 5i.c+d-2ub. L®
'1- ab-j~bc-Ucd
H 2 a 6 _ c ^
"•■■oblema. Ouai a V 2cd+5aí,.
o valor da expressão a+264- — ?
®«lucão. a=2; 26=2X3-R •/ 6 ^ í. ^
21. 2 2 . 2 3 . «6 + o + -i <3 e d < i d a - \ - 2 b + ~ 2 + 6 + 2 = 1 0 Resp. ? » ? l o u E T í , n e c e e s S H í » ■ ^ • 9 4 £ 1 + " - . " / ^^ « +^- Resp. 11
18. 26 + ^ ^
1 9 . ^ 2 0 «<Í+tt6 + ^> 1 0 N o u . A - * 2 1 A I . C . E B R A E L E ^ s Í E N TA R 1 1Definições de alguns termos aigébricos
21. Coeficiente c um número prefixo a uma ciuanhdadc
representada por letras para mostrar quantas vezes ess.»
qiiant!da£le deve ser tomada. As-sim, em 4a:, o coeficiente .
e mostra que a letra .t deve ser tomada qivatro vezes que sao
22. O coeficiente pode ser um número ou uma letra; se e
um número, chama-se coeficiente numérlccj se é uma e ra,
ebania-se coeficiente literal. Assim, na ({uantidadc (iij, a .e
tra a é o cocfioientc de V, porque mostr; -Tue 1/ tem de ser
tomado a vezes. Sc a fòr igual a 5, cntao y scra tomado
5 vezes.
O coeficiente numérico escrcvc-se sempre antes letras
que representam uma quaiiii£lade, como Sxíf, a tc. ,
23. Quando nenhum cocficienle numérico estiver
pre-fixo a uma quantidade algébrica, subentende-se sempre o coefi
ciente 1; pois x é o mesmo que ix; bcx é o mesmo q
24. Potência de uma ([uaniidade é o prodiito dessa quan
tidade multiplicada por si mesnía, uma ou mais vezes.
Quando uma quantidade é tomada
tor, o produto chama-se quadrado ou segun p
quantidade; quando é tomada três vezes A tomada
duto chanm-se cubo ou terceira
quatro vezes como fator, chama-se quar p s
A s s i m ,
A segunda potência de 2 é 4, porque
A terceira potência de 2 é 8, porque -X-X ^
A segunda potência de £i é £m, porque aXa na
A terceira potência de £7 é £ín£i, poique nXnXfi ^
A quarta potência de a é anfl£i, porque aXaX££Xa-aaaa.
25. Expoente é o número escrito no alto direito de umn
quantidade para mostrar a que grau de ,
ser elevada, ou quantas vezes deve ser tomada como fator.
1 2 Algebra elejientar
2 X 2 = 2 = . _
2 x 2 x * ' = ' > 2
i ^ X a
e r a — a - .
2 X 2 X ' > X 2 = ^ - » ' a X a X a = a a a = a = .
o .
« « i s ? . ™ : : : ; ;
garismo 2 e dHeha a^são os"' direito do
al-2 6 . O s ■ ) 1 e x p o e n t e s .
segmnte mod™ ° representam as potências lêcm-se do
'"'''cfa dH'" ' 1"^"» potência, ou a auarta
potèn-Observação é n
= Zotn'í%Ts 'T'~ -«^itamcUo
mostra que z ^ '^omo parcei-i^' °o®ficlento, e inosü-a
m S r i c a d e s t a s d m 6 . P o d e m o s í a M i m i U l i p l l c a ç ã o .
^ duas espressSes: ' ía®»mento noiai- a diferença
iiu-S í x X r í x •
27. Raiz de ^^^^^5X5X5==125.
A "S^ T "^«erproduz ess ""'ítíplicado
comn f ? chama-se quadrada ^"antidade.
oomo fmor-' ^""''''"o-se cúbica/quando ^ '^ozes
vezes como'fnt 1"aeta raiz nn ^ ooiada três vezes
oomo fator, e assim por d^n'te^ n "" quatro
A raiz quadrada de 25 !
A rn,z cúbica de íL ! í Porqne 5^.=,,
A ÍS Sc""-' f ê a. poíqÜa ^><5X5=125.
A quarta rat f ^ «• porono «Xo=a=.
SmS r;r^ ""o'b"; r;:- ox^íS"-:;
S a n t i d a d e n ^ » . ^ f i g u r a „
'"-"o peto See""''" "00 se der/xtcrr? "-a
"Ciu a raiz
in-ÁI GEDUA ELEMENTAR 1 3
20. índice do radical é o número que, escrito na abertura
do ângulo do sinal radical, mostra o grau da raiz que deve
s e r e x t r a í d a . A s s i m ,lê-se: a raiz quadrada de 9.
V~27 Ic-se: a raiz. cúbica de 27.
y~~7' lê-se: a raiz quadrada de a.
V *7 lê-se: a raiz cúbica de xy.
y abe lê-se: a quarta raiz de abo.
Os números 2. 3 e 4, escritos nos ângulos dos sinais ra
dicais, sâo os indices das raízes.
Nota. Na raiz qaaflrada, suprlme-se o Índice 2, e cserove-ae simples
mente o Binnl radical; as.sim V na- lê-se: raiz quadrada de al.
O sinal V-í uma das formas antisas da leü-a r. Inicial da palatra
T a l z .
Exercícios sobre os símbolos das potências
30, Nos exercícios abaixo daremos a a: o valor 2, J>
valor 3, e a 2, o valor 4.
Problema. Qual é o valor de operaçSo
Solução. Se x=Z, então xS=2X2— a:-_xXa: _qwqv'l—27
=4. So i/=3, então 2/5=3X3X3=27. O jj^yXtjXg-àXàXÓ-^í
v a l o r d o . s o m a d a s d u a s p o t ê n c i a s é X " " ! " ! / " l
4 + 2 7 = 3 1 .
Achar o valor numérico das seguii^tes esp 1. X-3-I-Í/2. 2. .+2-}.y=—z. 3. .T=-y-)-z=. 4. .T-l-y--h2z=. 5. a:«—y —z. Resp. 17 t s t 2 7 j . 2 1 » 4 3 > 9 6 . X + 2 y + -7. 3x=+5y+2'-8 . y ' 9 . 2 x ^ + y 10. 2 +y=+^'-Resp. ? o ? ? ?
Expressões algébricas
31. Chamn-sc expressão "fAssCtal um^
presenlada por meio de símbolos alc,e ^ deve ser
expressão algébrica que mostra que a q
algebra elementar
a quantidade h deve se- nrí" mostra que 3 vezes
3 a 2 — 5 a f c é u i m p v n ^ ^ q u a n t i d a d e a .
3 vezes o quadrado de algcbnca que mostra que de
dade ab. deve sublrair-se õ vezes a
quaníi-«nida a outra quantid^c pelTs^ÍnV
Ass.m, 3a, 2xy e são nmnômiÍs
3 3 . a í g ó b r i c o .
dois ou mais termos algébrica coiiiposla de
blnômio/sè C'^rS'termos ''f' l.nmbfei
2«+í, é binôJÕ. e™ ' trinôrnio.
Ar-34. Cada term. ^ aí'—x+y e i.m Irinômio.
dos sinais + ou J. excentua°""° P^'^cedido por
quando é positivo sunr ' primeiro termo
^35!* 3ff.i:4-2fic-^a-í/ por abreviatura, o
bmado com outrarkt?«"ntl''° + ou — é
coni-■■àeão '"™o. e a Ilc'dc^® ^ T' 'otras
devemo-i J^^ada. Assim, 44-3y(i „ unidas peta
opo-Píi^ado pÍÍ"6 ' ^ mns rnrT", ^
dois ter^ ' ^ 3X0=18; e ZT- 3
^ dois term^ 4 e 18. expressão tem
q u e
s ã o
'
^
t e m
d J; ^ - 4- ' tem só trcs termos
termos: refluzirão as seguintes
1- 504-5x2 ®*press<)es aos seus verdadeiros
1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . m o s 50+5x2. 20—3x2. ac+46x2. 30—65-^3. 3^^8ys-a. ®ó+7cXx. 50+10 2 0 - G a c 4 - 8 £ , 5 6 - J
3x -.1^
^^-\-7cx 7 8 . 9 . 1 0 . n . 1 2 . 4"-^26+C. 50 :.-G+rt6 ^—cXí/. «6—5c+dx,r. ^XyXz+„ft_25—lGa6.^2
+. ^>uda„do-se em r
A L C . E B I L \ E L E ^ f E N TA R 1 5respectivo sinal. Assim, a expressão a-\-b c é igual a a c+h
ou a b-|-rí—c.
I l u s t r a ç ã o . S c d e r m o s i l e t r a o
o valor num<I>rico 5; a ?j. o v.alor 4, e a c o v a l o r 3 , t e r e m o s n a s t r ê a e x p r e s s õ e s r e n u l t a d o f l i g u a i s , c o m o v e m o s n a s ieualdailos que estão ao lado.
a-\-b—c=5+4—3=6.
a—c-i-b=5—3+4=0.
6+a—c=4+5 3=6.
o s e u
i a u o s q u e c s u l o a o x t a u .
37. Quando imia letra não tem
sempre o expoente 1: pois a é o mesmo que a ,
quQ a:^ e axy- é o mesmo que a^ai'y-.
38. Chama-so grau de um termo à soma dos expoentes
d a s l e t r a s q u e c o n s t i t u e m e s s e t e r m o . c A l e »
2a é um termo do primeiro grau, porque tem um^
I r a , q u e é a , c o m o e x p o e n t e 1 . l e t r a s , ox ê um termo do segundo grau, porqii .. .
que são « c x, cada uma elevada ã primeira pottncia.
5a.ry c um termo do terceiro grau.
0^62 é um termo do quarto grau. (n.
-J»!-39. Polinômio homogêneo c ° nm poíb
termos com o mesmo «r.au. Assim,
nòmio homogêneo, porque todos os seus
c e i r o g r a u . ,
40. Termos semelhantes são .^g *^^ssirn,
2a6c=-mesinas letras elevadas aos mesmos exp
3abc= e -„6c= s.ão lermos semelhantes, pode
41. Um polinòimo que , _ número dos seus
ser reduzido, isto é, pode ser u^antes podem ser
termos, porque dois ou mais tennos sem
r e d u z i d o s a u m s ó . . r e d u z i d o a d o i s
Assim, o imiinòmio 5nb+2a-+4x poc^e ser re.lnz
termos, que sSo 5ab+6.r, porque ' ,jj„pé,n ser
re-O polinômio 300+2.10+006 norane 3ao+2ae=5oc,
diizido a dois termos que são 5ac+4n , 1 adição
al-e Ga6—2a6=4a6. Esta ral-edução é mu dos caso
gébrica. da qual adiante trataremos da
uni-42. Inverso de uma quantidade q a —; ab é
dade dividida por essa quantidade. Assim, s
1 6
Algebra elementar
Modo de enunciar expressões algébricas
enunciada oom 'ilgebrica pode ser facilineníe
n c + 6 d u . p a l a v r a s . A s s h n ,
ou' o ,.ocie„.e de . por .a
ma..aôbred; uH-2ub+b.
Q^Rllílo clinc nu
oomun., ou estão incíuWardL.""""",'''"''^ divisor
-2^'o^uscon,aco"„tUt'Tsst"^ sinal radical,
U-Se. omitirmos a coninn ^ ^ dividido por c».
antecedente. enunciaremos a expressão
'f' -luudrada de Ti nrerosl-Í 'T'"
divisor será VT-j. 'Se omitirmos a conjunção, o
a s s e i v i i í n » 1 . ' ' ' ^ ^ U r i o a s : 4. 4a2J3c4_l£:^ - 1 - » j
u'Í<I-2«Jc + 6X.
i&e 20 '3» I dSc
5. 18a:í/3-í-'\/(ja_(,j
6 . 1 a = + 64B. Adieso -^^IÇÃO
S ã o : " - : S b r i c a , m ^
a,nu/;" Quuudo os termos ado acm ^
--iir T"""
A L G E B R A E L E J f E N T A R 1 7
1.® As Quantiãndes que não tiverem elnal prefixo, são consideradas
íositivas. Isto 6, com o sinal + (n.® 11).
2.® As quantidades que não tiverem coeficiente, subentende-se o co
eficiente 1; assim, ab quer dizer lab. (n.® 23),
Primeiro caso de adição
47. Quando as quantidades são semelhantes, c teera o
mesmo sinal, adicionam-sc os coeficientes, e u soma jun ^se
a parte literal com o sinal das parcelas. Neste caso
procede-se justamente como em Aritmética.
Problema- Qual é a soma das quantidades 3 anos,
a n o s , 4 a n o s e 1 a n o ?
Solução. Somando as quatro quantida
des 3+5-l-l-f-l, temos 13. isto é, 13 anos. Substituindo agora a palavra anos pela
letra o, é evidente que a soma sevã 13a. Se
quatro quantidades, em lugar do sinal +
subentendido, tivessem o sinal —, a soma
seria — porque a soma deve exprimir
o resultado de todas as suas parcelas.
Operar as seguintes adições:
3 a n o s , õ a n o s , 4 a n o s , 1 a n o . 3 a 5 a 4 f f a 13 anos, 13n Cl.) ( 2 . ) ( 3 . ) (4.) + 5 _ „ 4 2 a 2 b + 3 — 3 3 a 3 b + 4 — 5 5 a 4 b + 2 — 4 8 a h b + 1 4 — 1 6 1 8 a n b (7.) ( 8 . ) (9.) (10.) 3 a c — 2 b x 5 a b x " 7 a + 8 15ac — 3 6 x 3 a b x - 5 a + 3 9 a c — b x 2 a í ) . r - a + 4 6 a c — i b x a b x - 2 a + l 2 a c ■ — d b x 4 n b x ' 4 a + 0 (5.) 4 a b S a & a b 6 a h 1 9 a b (11.) 8.r—ã 6 x — 3 2.r—G 3A-—4 .T—2 (6.) 2 r c -5a:— X — 4 x — 12x—18 (12.) 2a— b 5 a—2h a — b b 3a—2Í> 5 a—4 b
48. Uma soma algébrica não e
a uma soma em Aritmética, como no 1 adicionam
_ Em Aritmética, como as quaiitula ^ que
sao sempre positivas, a soma deve sei 3J-4-f-8=13,
qualquer das suas parcelas; assim, na 3, 4 ou 8.
a soma 15 é maior do que qualquer , também
18 ÁLGEBRA ELEJrENTAR
tidades negativas, a soma poderá ser algumas vezes niiH ou
n u m e r i c a m e n t e i n f e r i o r à i v e z e s n n i a o u
como vamos ver no quantidades positivas,
Segundo caao da adição
s i n a i s c o a í r à r i o s s e m e l h a n t e s , m a s l e c m
outras teem o s\nà^ teem o sinal +, e
termos positivos- depois os coeficientes cios
termos negtivos; achtse os coeficlcnlcs dos
^ soma maior fôr posil vn as somas, e, se
a soma maior fôr ncGaliv-. diferença o sinal 4-, c, se
junta-se-lhe a
'•eoblema. Ach-^r «
+3".+5a,-4«,dos seguintes quantidades:
' 0 ' U Ç f i O . A ,
^es Doliuíag
lu^nuda-fe'-ensa'daa ^
positiva, (tó.g, \ inalor e a
'41 + e ficara +\« ^
si-<«a cinco parcelas ^ ^
+ 3 a + 5 a — 4 a + 6 a - 2 a + 8 a + 3 a — 4 a + 5 a — 2 a +Ga + 1 4 a — 6 a = 8 a - ' ^ « ' ^ e i a s . ^ a i - 1 4 a — 0 a = O ( D e m o n s t r a ç ã o p a , - - + 8 a e x i s t e n o c o f r e s ã o n e g a t i v a s r e c o l h e m o s n o c o f r e s ã o
positiva semelhfint/^i' quantl-.^Tf«°"^ mostra o quo U a s n e g a t i v a s t o s s e f s e g u e s e q u a n t i a
s-ativas é eô (jg ' °°^o no caso presente '®3ultado da adição seria
Sra'aÍr'"T^^''''e f=™os
d u ç ã o
o
- 4 u U
t e r m o s
~2a=8n o mesl"°™°' «f^taarmos a re-
"s termos algébriro.""" ' '''Sofosament^ n 4a+6a—
demos também cheoar™ Para se efetT°^^^"° escrever
ftf' quando éles eJ|o «multado " P""
a vantagem de ®e üm os
ter-®«'a operação. ««ais inlel^ívei f "?">■ ■="1""='
claro o ensino
A l g e b r a e l e m e n t a r 1 9
51. Para completarmos este caso, vamos operar uma
adição, na qual a soma será uma quantidade negativa.
Problema. Somar os seguintes termos: +5a, -i-3a
"—10a, -\~'2a c —Ga.
- j - o a 4 3 a — Í O n 4 2 a — G a — G a — 1 0 a — G a 4 5 a 4 3 a 4 2 a —IGa 410a=—Ca
Solução. A soma do.s tc5TTV03
positivos é 10a; a soma dos
tern i o s tern e g a i i v o s d i G a . c a d i f e
-r o n c a e n t -r o a s d u a s s o i i i a . s õ 6 a .
Ora, como a soma maior C
negaa d i f e r e n ç negaa ú t negaa m b f m n c -Kativa, e por isso a soma ó — 6o.
Demonstração, Para compreendermos Sste proc^^o,
um cofre ondo guardamos o nosso dinheiro, c depôs ..nms ouan-hhciro de uma pc.s.soii, que deposita e retira díver.^s qua 'Ativas. Ela tias que ola deposita são positivas, e as . tivesse retirado entrou com 5a+3c+2n=10a, e retirou 10a-:-6a-16n; se ela alteraria
sòmente lOa. o resultado seria nulo ou i^to é, 6fl mais P3 fundos quo tínhamos no cofre; mas como ea ,_„f^iòne do 6a. Per
nio que pos. o resultado scrá~6a., isto C. ficarã um desfalque do
*^nto. a soma de 4-5a+3íi—10tt+2a—6a 6a.
(4.) 45aha: — S a à x — a b x — b a b x 42oi>x O p e r a r a s s e g u i n t e s a d i ç ã c s : ( 1 . ) ( 2 . ) (3.) - 2 4 8 + 3 a 4 7 — 4 41 Oa - 3 4 9 - 1 2 a 4 4 — 7 - G a — 1 — G 4 2 a 4 5 0 - 3 a (G.) ( 7 . ) (8.) Gaò — b x i j 3oá—6 — 2 a 6 — I b x i j — 2 a ^ 4 7 a h - 8 í í . r y —{òiib—2 _ 5q5 bxi) —5aZ;—1 -2aí?a; (9.) fl 4 b - a 4 b 2 b ( 5 . ) a & 4 s 3a2>4 1 - 2 a h + 5 9ah—!«' ' - b a b — 7 S a b 8 ã o . ) 3 a -a+3t> a+ b 2c - a+2b—Sc -3a— b-\-bc - a43&— ^ 1 1 . 1 2 . Qual é a soma dc 8a e Qual é a soma de 5a e - 5 a ? - 8 a ? 3 a . 3 « .
12. Qual é a soma de 5a e p. .-^x >
13. Qual é a soma dc —Tox*, 3aa:, a > 0.
14. Qual é a soma de 4.ry, 2xij, e ^ ^ ^ —^7^^.
15. Adicionar 4ac, 3ac, 7ac, 6ac, j Resp. •—2ac.
R e s p .
' . ' o ^ . ^ 1 .
2 0 Algebra elementar
16. Adicionar 7a-56, 2a+36, _7a-8i e —a+96.
1 7 A ^ R e s p . a — b .
-9a.T:+8fci/. ^ áe 8ax 2bu, ■—2ax+Zbij, 3ax-—ibij c
-2.r"+L" -306+7.., 306-6^; ~!i,
Resp. 0.
+2x e ~~2ab-\-7x.
Terceiro caso de adição
esirevem-^ em colimTos^^te ^ão semelhantes,
^ s l h a n t e s e s c r e v e m - s e ^
dois casos precedentes ' procede-se como nos
■nais'4 dú®S 2 centos, mais 3 centos e
2 centos 3 cenfos-t-4 dúzias 5 cen/os+4 dúzias 2 c 3 c + 4 d 5 c - i - 4 d q u a n t i d a d e s ^ ^
p a r a
f a S S ™
é uma quanudade ? ' ^creve-se adiante- a dessemelhante,
es-
-«e-.ce„rlVa^~=Waaaa„a-c I U l l l t r A t * A r - ^
vras centos e dúzias aa paJa-^ M paJa-^ t a d o s e r á o c e d , o -5e+4<j;, rawSmo, pola 2c4-3c+4d=
I b ^
an es com os seus respectfnn ^ termos desscme-
c o l u n a s
e
o s
t e r m o s
s c
-t"e forem on "f^icionam-se os
ter-^a colun ^ " ^'^erenca das rfu^ "7"® /orem
com o w c.crcoe-.e dibaixo
oVset^l lTl^'' '"«'or e com a
' '^«Pccí/po. sinais dessemeZ/mn/c^ com
- se^tntes adiados:
(1.) 4a-f5b-~7c 3«- &-H2c 9a—2Z)-15a+5ft_2c (2.) 3b+4ar— »aSfc+Tx+Sya
&-6x-f4y2
_i^+9x—8^
(3.) 5a+ xy+ m 9a—5xy-f-7m^a4^xy—8m
^Jg~^9.X7/-|-9m A l g e b r a e l e m e n t a r 2 1 (5.) 8o-!- b 2 a — b + c ^ 3 a - f - b + 2 í / —60—3c-|-3d (4.) 7.t—9í;-!-5r-!-3— g — X—3y —8— g — x-\- y—3~-t-l-|-7y —2.v-H>.t;-|-3r—1— g0. fin+4c+36-2n-3c-56. ««'P" 4«-26+o.
7. 2a6+c, 4n..-2r, 12-2n.r, «''^+f4,%„,+2„,p+2c+12-a:.
8. 14a+.r, 136-y, -Ua+2,j,
a+b+x+v+z-9. -76+3c, 46-2C+3.T, 36-3C, 2c-2.r. 7rf!Í5a+
" ; g 6 Í L ' " ' " ' - 2 a ; 3 6 + c + d .
11. .a.-5,^=+0ar-2, 3..'-6..-15.r+4j^^^^^^i-+Jlj5^+6.
12. Sav—3cr=, -5a..+5cz=, ax+2cz2, _4a,v-4cz^ Resp. 0.
Qual é a soma de 3(a+7*)» 7(a+&) ® ^ '
3(0+7»)
Solução. As quantidades que estão eníeisad^ em 7(0+7»)
P a r ú n t ç s j s . s ã o c o n s i d e r a d a s c o m o 5 ( a + 7 » )
Ur^-quaítidaãe.
í ! - S o m a r 1 3 ( a - l - & ) + 1 5 ( a + 7 í ) — 7 ( a - h 7 j ) . ^
Achar a soma de 8c(x-p). Resp. 19c(a.—y).
Achir^a^-soma de 3a(7i+.r),
^ 1 4 a ( & + . T ) .
SUBTBAÇÃO
53. Subtração em Algebra é a °P''
'íu achar a diferença entre duas express 'gQptração,
cba-A quantidade da qual se tem de fazer < cha
ma-se minuendo; a uue se ten ^
i»ia-se subtraendo,
a l g é b r i c a .
A quantidade da qual se tem de laze < subtrair, cha
ma-se minuendo; a quantidade que se chama-se
di-^la-se subtraendo, e o resultado da opci.ç
» « r e n ç a a l g é b p i c a . « s o m a d o s u b
-Eiu Álgebra, bem como em Aritme
raeudo e da diferença é igual ao niinue positivas, a
Nota. Em Aritmética, como se opera só porém, a diferença Weia da subtração é sempre diminuição; em Algeor ,
2 2 AT-GEBIÍA ELE^fE^■TAR
assim, senrto^To'^mlnuondrG^—
e — a é 2a. ' subtraendo, a diferença entre + a
spni dificuldade alsUma* E-^ímoí todos os casos da subtração
do suUraendo. c drnols -oniar o /° * o ■'"»«/ ilr. todos os ter/nos
quer caso da subtração Hcar'i redu'ido °
diml-Não e. porém conv.^. adirão. al^^Cbrica.
compreendermos a anfilise de esta regra sem primeiro
.poderemos ter uma Idéia e-çat-i d« f Rubtração, do contrário nãoa .ueia esata desta operação algébrlca
Primeiro caso da subtração
mclhMtes^^Tera\°letm/'™r "■"» suljIraçSo são
sc-coefioientes c escreve-se em°h" diferença entre os
S i n a l c o m u m . ^ p a r t e l i t e r a l c o
TOblema. Quai ^ ^ diferença entre 7ab e iab?
O l u n n n n . . _
Solução, Se fio - I
restarão 3 laranjas-'eSí® 4 laranjas
s u b t r a i n d o 4 a b , ^ u e d e 7 n b
entre 7ob e 4o6 é 4b ir ^ ^erenga. pois
tração em Arltm^C'- ^sua? ã sub!
Operar as seguintes subtraçOes:
M i n u e n d o Sabiracndo D i f e r e n ç a 7 n b 4 a b S a b (1.) 1 0 _ 8 2 C6.) 18a6 17at, (2.) - 9 - 2 ( 7 . ) 30aiy 12axy (3.) 5 a c a c 4 a c (8.) -95j; - 8 l y (4.) —8aZ>c2 —Babc^ ~ ~ Õ ' (9.) 3 b x í i b x ( 5 . ) 3 a + 8 2 fl + 7 a + 1 (10.) 1 8 d — 1 1 9rf— 9
. SS. K.n rr°
f'o'nSrofr|:{^7'ioTdè"^ uma quan-
" o ^inal contrti::^' ^ "«"«"ia IZ
A l g e b r a e l e m e n t a r 2 3
Problema. Subtraindo 8a de 6a quanto resta?
S u b t r n ; ã o A d i ç j o
M i n u c n d o -!-Ga + 6 o
Subtraendo -t-Sa — 8 a
R e s t o — 2 a — 2 f l S o l u ç ã o . S u b t r a i n d o G n d e G o , r e s
tam O ou nada; subtraindo-se 7a de Co, resta — a, e subtraindo Sa do Co,
r e s t a m — i a .
Demonstração, para compreendermos a análise desta solução, flgu-remoa que um homem, levando s5 6Ç000, foi a uma loja, e ali com
prou 8?: do objetos; ora, se êle tivesse dcspondi.lo sô eçoOO, voltaria da
loja sem dinheiro algum; mas como gastou SÇOOO, voltou com uma
do 2$#éi), que ainda tom de pagar. Logo, 6?—S$=—2$. Trocando o c lao
pela letra n, tomos Ca—ííü=—"n.
Se mudarmos o sinal do subtraendo. e operarmos a adição algébnca,
o re.sultado será o mesmo, como vemos na operação acima.
O p e r a r a s s e g u i n t e s s u b t r a ç õ e s : ( 1 . ) 1 2 1 3 ( 6 . ) 3 3 4 4 ( 2 . ) — 1 5 a - 1 8 a + 3 a (7.) — 2 6 a — 3 6 a ( 3 . ) ( 4 . ) ( 5 . ) 2 5 a . r —29ay 1SX-H23 3 G a . r — 3 0 a y 2 0 . i : + 2 5 — l l a . r + a y - 2 x — 2 ( 8 . ) (9.) ( 1 0 . ) 4 2 b x — I V a i j 24x'-l-13 4 9 b x — 1 8 a y 22X-I-15
Terceiro caso da subtração
58. Quando os termos da uma subtração não são seme
lhantes, cxprime-se a sua diferença escrevendo as duas quan
tidades separadas pelo sinal —.
Pi'Oblema. Da quantidade a subtrair a quantidade b.
Solução. Desde quo não snbemo-s o númerodas unidades representadas pela quantidade a,
uem pela quantidade b, é claro que sd podemos
indicar a sua diferença pela expressão
o—6-O s d o i s t e r m o s d e s t a s u b t r a ç . ã o s ã o a m
bos positivos; se porém trocarmos o sinal do subtraendo pondo, —, e depois opemrmos a adição algébrica, o resultado serã também
a — b .
Subtração A d i ç ã o
a + a
b — h
2 4 Algebra elementar Miauendo (1.) X (2.) a (3.) 2 a 6 a + b T5.) Subtraendo y 8 3-ríí c y 2a—õ—y Diferença a r - y a ~ 8 2ab—3xy a + b — c (6.) t S y 1 7 x (7.) 4 b + x 3y (8.) a b — 9 x t j (9.) a + b + c d (10.) 25+X2 1 8 a ( 11 . ) 3.r-+20 5 a
Nsudno caso da subtração
"vo semelS°e^°o resuUado™" P™""" subtrair um
nega-Tomando, por exomnío '8ual à soma dos dois.
OS mimeros 2, i n '? ' 19, c subtraindo dele
' ' > 2 , e t c . t e r e m o sM i a u e n d o < n 1 0 l A
S u b t r a e i i d o
9
I "
I Q
J Q
—
- 1
0
- 1
1 2 s n b -2 d o , j j u r OS mimeros 2, i, o Miauendo Subtraeiido 8 9 . .Subtraindo 2 de 10 i-mi o
traindo O resta 10; subtraindo 1 resta 9; s
esta 12, porque o subtraendn ^"^traindo
-mmujtndo. negativo aumenta o valor ao
o^irSemaT' ^^^«"aclo vamos
d'a seguinte marcou 2 °''' ®
«ro; qual foi „ 8"'='U5 abaixo
P";>tura uestes doif dtsT
"vor oCí ío ™
-g r a u s q u o e 4-+ + 3 g. -+ 5 g . _<^aro, vamos
re-A l g e b r a e l e m e n t a r 2 5
Problema. De a subtraindo b—c, quanto resta?
^ t t t í í r í i r ã n
Solução. Si subtraii-mos l» de o, o re sultado será a—6, como vimos no 3.® caso.
O subtruendo, porém, não 6 b c sim &—c,
que é uma quantidade c unidades menor
d o q u e h . S u b t r a ç ã o a b — c AdicÃo <3 — b + c ' a — b + c a — b + c l u e ü .
Quor isto dizer que, subtraindo t, n6u subtraímos c unldad^ a
do que devíamos: logo. para obter o verdadeiro
c ã diferença o—b, O verdadeiro resultado é. ^ ^ ^ soma
Ora, st trocás3ein..s os sinais do sublraendo c P
a l g é b r i c a , o r e s u l t a d o s e r i a o m e s m o . „ . . „ , T v r o o n í i p r f a . c ü
-DcmonstPação. Por meio g''™? subtrairmos B de 9.
monto Cste resultado. Seja subtrair 5 3 do •_ g 3 q^e é
o r . H u l t a . 3 0 a a r â 9 5 = 4 . O . . . b t r a e n d o , o v . r d a -uma quantidade menor 3 unidades do que . _▶ então 9—5+3
deiro roRuliado, dovemos juntar 3 à. diferença 9—o. Mra. e
o u 9 + 3 — 5 = 7 ,
o 9
i — c 5 — 3
c—Tb+c =9—5+3
Todos os casos da subtração aigcbrica sao rosoUados
f à c i l m c n t o p e l a „ s u b l r a e n d o d c
-Regra geral da s"btraeao. semelhantes
fi-baixo do miiuiendo, de soilc que
quem uns debaixo dos oiiUos. ^ subfraendo com o
Consideram-se todos os iein os ao ^ _
sinal trocado : o que iwcr o sinal +' í .
e o que tiver o sinal —, ficara com s^uhiraendo segundo
Mlicionam-se depois o TeTo rfsto dí
sub-u regra da adição algébrica, e o ressub-ulíaao sera
Noia. A regra ficará "adiçío^^^
euintc exemplo por subtração e depois P
subtraendo, conforme está iireceitua o = adição
Subtração
Minuendo 5n+3b C o^Ío/i-l-3c
Subtraendo 2«-2b-3c :^2a+2b±3ç..
3a+5b+2c Diferença 3a+5b-i-2c
Operar as seguintes subtrações:
( 2 . )
( 3 . )
3ax-2y 4cx=—3by2
2qx+3í/ 2c^f+3^.
1 0 — 8
a a r - 5 y
^ £ ^ \ .
( 1 . ) 8 — 5 — 2 + 3 (4.) 8xy+3ar-8 bxv—3flZ+33xff+6íií—10
T
2 6 ÁLGEBRA ELEMENTAR ( 5 . ) 7x+4[/ 6x-+ y (6.) 3a—2ò 3a—3í» (7.) 6ax—4í/=+3 3ax—6f;-+29. De 14 subtrair üô—5.
10. De a-\-b subtrair a.
n. De a subtrair a+b.
12. De a: subtrair x—b.
13. De 3ax subtrair 2ax+7.
14. De x-fy subtrair x—y
Io. De x—y subtrair ij^x.
16. De x-ij subtrair y~x.
ío S® subtrair x—n—r
20. De 8a subtrair -^3a,
09 n f S^htTüiT +11 b.
Í T s u b t r a i r — 2 b
ií' n subtrair 3a.*
n c ■ s u b t r a i r — 7 a
26. De -9 subtrair -16 *
II' n® subtrair —8.
23* n! s"btraii- —5,
30- De sL+Rft^^ subtrair 2u—7b—3
31- De bíx^A 5a+17b.
33. De ràa-2f+lc IT
CS.) 5a+2x—2{/-2a+ x—4y-Resp. Resp. 1 9 — a b . b . — b . õ . a x — 7 . 2í/. - 2 y . 2x—2ij. 2 i j + 2 z . X — 2 z . 2 a . 1 1 a . — 6 b . 3 a + 2 b . — 1 2 a . 0 . — 1 7 a . • 7 . 2 0 . — 9 . a + 5 b + 9 . 27a—14b. 3(x+y). 2a(x—2). 5a+4b+7í/. A ^ y u i - ' i ü + 7 (ApUcação do parêntesis na
aH,p-e o - P aH,p-e l o q u aH,p-e . ® s u b t r a ç ã o
!■■ '"Hear s ^56: + " - d"=.s
tração. --"P'^sn^onte as operações ãe
aãic2 . M o s l r n r " H ç a o e s u b
-duães. ppsitioa ou „eq ,•
"egativa das
quanti-Á L G E B R A E L E M E N TA R 2 7
61. Se sidjtrainnos a quantidade b da quantidade a, o
resultado será a—b; neste exemplo, o sinal — simplesmente
indica a operação do subtrair; pois, está subentendido que
os dois lermos da subtração são positivos, porque a expressãoc o m p l e t a s e r i a C - l - a ) — C + b ) . ^
Se, porém, do termo positivo a subtraíssemos o termo
negativo — b, a expressão completa seria +a — —b. Nesta ex
pressão fica claro que o primeiro sinal — indica simples
mente uma subtração, e o segundo sinal — mostra a natu
reza negativa da quantidade — b. Ora, como a repe ®
dois sinais iguais pode trazer confusão, einprega-sc o
tesis ( ) para se escrever com clareza as expressões
algebn-c a s , e a s s i m t e m o s a — ( — •
62. Quando duas ou mais quantidades são considera
das como um só termo, fechaiu-se em um
serem tomadas neste sentido. Assim, a expressão 10 Cb-,
t r a r i a q u e d e 1 0 d e v e n a r a u s u i a i u , v . ^ .
-daria um resultado diferente do primeiro; Pjíf'
salier tirar o pai-éntesis de lumi expressão algebrica sem lhe
alterar o valor.
63. Os dois princípios seguintes nos esciarecerao
per-fcilamente neste ponto.
1. Quarolo nn,a expressão :"tr""tefs .em
tcsis é precedida pelo sinal pode-se nu 1
se alterar o valor da cxpJ'essao.
D e m o n s t r a ç ã o . S e g u n d o e
ser igual a a-H^-c. Oiu 6 evidente que Uranao ^ ^ ^ quantidade a.
altc-rn a oxDrossão, porque em ambos os c j e a c o valor do 3,
Dando a letra a o valor de 5. a b o valor de 4. e a c
t e r e m o s ; ^
„+(b-c)=5-t-
4-3-=0-
«-|-(6-c)=5+(4-3)=0-2 . . Q u a n d o u m a
parêntesis é precedida pelo ^ necessário trocar
t e s i s s e m s e a l t e r a r o v a l o r d a e . x p r e s , . . . .
os sinais de todos os termos fechados no P ficará
do-fôr positivo, ficará negativo; e. o que do-fôr negativo ficara po
Algebra elementar
Dando a estas tf ~ » S +Zl " o termo o,
^®tras 03 mesmos vain,.« exposta no n.» 59.m03 raloies que demos acima, teremos:
r^^:^^=5-(4-3)=4.
l' f+ío-O.
®- 2a+^,+65.
7- 5Í:Í:,^'+6)-5;
<•; Êr;'^): '■
a b + a — c - ax—a-\-y-^ 2 b . ?. ? . 9 . ? . ?."®W»UOAgAo
eandoj „ t "Wantida^
d a
o L
c h a m a - s e
o ' { q j . , e h a m a i n - s e t a n i h i í i i '
I I ' -
o
««"r '•"«."sVtÔ''
—4o aXfcj^P'-® o"aest!"'4-7^í'o ° multiplicando pelo
'"''• - «X?- Ass?: %««l«Plieando. o P''"'
' «s ca « 5X4=4X5; do mesmo
o produto é ab.
Á L G E B R A E L E ^ ^ E ^ ' TA R 2 9
Scguc-se desle princípio que o produto de aXcXS, de
aX3Xc ou de 3XcXa é o inesuiO; c como se escreve pri
meiro o coeficiente numérico e '.!.i)0is as letras na ordem
alfabética, o produto nos três casos é ooc.
67. Na multiplicação algél)rica há três casos a consi
derar, que são:
1.' Quando os dois fatores são monômhs.
2." Quando um fator é polinôinio e o outro nionôinio,
3." Quando ambos os fatores são poUnOmios.
Primeiro caso da multiplicação
68. Em cada caso da multiplicação algébrica é neces
sário que o discípulo saiba operar com quatro dados que são.
1 9 R » O e x n o e n t e . 1.® O coeficiente. 2." A parte literal. 3.» O expoente. 4.' O sinal. P a r a d e t e r m i n a r
€9, o coeficiente e a parte literal. Para determinar
a regra para achar o coeficiente e a parte literal do pro u o,
resolveremos o seguinte imoblema:
Problema. Qual é o produto de 2a multiplicado por 36?
O p e r a ç ã o
M u l t i p l i c a n d o 2 a
Solução. O produto de 2X3 é C; o pro- Multiplicador 3b d u t o d e a X & = o 3 1 > . ( n . 1 4 ) . E n t ã o o p i ' O
-d u t o d e 2 a X 3 & = C a 6 . P r o d u t o o a O
Regra. Para se obter o coeficiente e a parte
"m produto, multiplicam-se entre si os coeficientes, « ^ '
dufo juntam-se todas as letras dos dois fatores na
cilfabóiica. ( 1 . ) (2.), (3.) Multiplicando 3a: 4 a h l õ a c Multiplicador 2y 3 c r f X Produto Gxij 1 2 a b c d l õ a c x ( 5 . ) (6.) ( 7 . ) 1 9aca: 2 0 r y 1 8 a 2 2 7 b 1 0 2 I 5 b i j (8.) U w I Q a b c 5 d x ' _ gõabcdx (9.) l õ x i j B a b
1
3 9 Ã L G E B R A E L E M E N T A R
70. O expoente. Para determinarmos a regra do ex
poente, resolveremos o seguinte problema:Problema. Qual é o produto de 30= multiplicado por
4 a 2 ?3 X 4
Solução. MultiDlicando os coeficientes, temos
JA4-12; mulüplicando agora as duas potências do a
temos a!Xa3=a2+3=„5. o produto ê poj^ '
Demonstração. Desde que 3aU=3aa. e 4a3=4«oo
ecgue-se que o produto de ZaaXAaaa, é i2canao- ora*
c o m o a a a a o s e e x p r i m o a S ( n ® 2 5 ) « e o - n o < . * p r o d u t o G 1 2 0 5 . P o r t a n t o . ° O p e r a ç ã o 36(2 4 a 2 1 2 a ^ E x e m p l o s p a r a r e s o l v e r : ( 1 . ) ( 2 . ) 3 6 4 r í 6 5 6 a 1 5 6 3 4 . a - b ( 6 . ) C7.) 1 2 6 3 13a 63 6 G a - b ( 3 . ) V í i t ® Òab Zãa-b^ ( 8 . ) 5 a ò 3 ( 4 . ) 1 8 a 6 Òb-c 90fí63c (9.) 2Qxhj _gy*y (5.) 2 6 x 3 ISOa^o?
(10.)"'"
7a6ccí 9ab-cMNota. Quando ambos os
71. Os sinais. Investigando nc i ■ =
duto será positivo; mas se ° "lesmo sinal, o sinal rir^
Io produto será negativo. Isto q.'ev o ^naí
+'""Hiplicado pon + ,14 , '
7-rauU.plicado porl jlt'
nuütiplicado por-dà
— multiplicado por + fV
Demonstração. Para ^ r da —.. -^«^unado.6 + Ss, e teJal quttro'
«• quatro vezea 6 + 4o,Á L G E B R A E L E M E N T. i R 3 1
Ora, como o multiplicador é positivo, mostra que o produto 4- 4a
devo entrar no cilculo de que esta multiplicação faz parte, como uma
quantidade aditiva, e por Isso deve levar o sinal 4-. Então o p;'oduto de 4-aX(4-4)=4-4o. Logo, o jyroduto de duas qHantidacIas posífiuca e po
s i t i v o ,
Sexsundo caso. Qual 6 o produto de — a multiplicado por 4?
AiiáUsc. A quantidade — a tomada quatro vezes é — 4a. Oi-a, o sinal do multiplicador sendo —, mostra que o produto — 4a tom dc en trar no cálculo de quo faz parto esta multiplicação, como um subtratlvo;
mas n cão do uma quanliiade negativa tem efeito positivo, isto é.
essa qu.v..u... ido entra no cálculo como um aditivo (n.® 57), e por issu
dove levar o .sinal 4-; então, —aX(—4)=+4a. Logo,-o produto de duas
Q u a n t i d a d e s n e g a t i v a s é p o s i t i v o .
TancEaiJo c,\so. Qual é o produto de 4- a multiplicado pOr — 4? Análise. Já vimos no primeiro caso que a quantidade 4- o tomada
quatro vezes 6 4- 4a. Oi"a, como o sinal do multiplicador 6 mos ra c^e o produto 4- 4a deve entrar no cálculo de que faz parte esta multipllcaçao. como um subtratlvo. e por isso deve levar o sinal —; então 4-aXt J
4a. Logo, uma quantidade positiva muItlpUcada por uma neuativa. da
u m p r o d u t o n e í / a i i v o .
Quarto caso. Qual é o produto de — « multiplicado por
Análise. A quantidade — a tomada uma vez é
vozes é — 2a; tomada três vezes é — 3o. e tomada __ 4Ò
Ora, como o sin.al do multiplicador é +, mostra que o p
deve entrar no cálculo dc que faz parte esta gue uma fivo; mas a adição de uma quanUdade negativa ^ g produto
Bubtraçao, e por isso o produto deve levar o «n 'ui^ucada por uma
de --aX(-h4)=-^a. Logo. quantidade nepatxva multiplicada por
positiva^ dá um produto ncffativo.
72. Nestas quatro análises estabeleeemos a seguinte
re-g r a d o s s i n a i s :
Regra. O produto de quantidades de
o sinal +, e o produto de ^uanfidades de sinais con
o sinal —.
Exci'clclos pai'a resolver: Multiplicando M u l t i p l i c a d o r P r o d u t o (1.) + 5 a + 2 6 + 1 Ü « 6 (2.) — 3 x + X — 3 x 2 ( 3 . ) + 5 ü 6 — 3 6 c —15a62c ( 5 . ) + 1 2 x 2 + 5 a .(íi.) ~ 8 a 6 + 9 a c ( 7 . ) + 1 6 6 X — 6 a ;(8.) 2 5 x ^ SHÍ. (4.) - 1 2 y — 5 x + 6 0 . r y (9.) H-15a6c — 1 2 a c
Algebra elementar
Segundo caso da multiplicação
plica'se c^a'^um ? ^ ""i polinomio,
multi-vando as regns dos popf" mulüplicador.
obsei-sinais. coefittentes, expoentes, parte literal e
Problema. Qual é o produto de a~b multiplicado por
d o m u l U
-PUcando pelo multiplicador, tomos aXb=ah r.
b e ° m e n d 1 ? ^ ° '
°
O p e r a ç g o
benteudido, o produto é positivo. O socunda
t
d o ^ â
-o , . v ^ . ° ® — > e -o -o u t r -o , -o s i n a l + b
subentendido, o produto sera negativo o o "71 TT 1 ' e s u l t a d o d a o p e r a ç ã o s e r á a i 6 2 . ' ^
Demonstração. Podemos dar uma demons
tração numérica da exatidão do produto, dan
do à quantidade o o valor de 5 e a & « i
âe 2. MulUplicando 5 - 2 por 2 °
duto do 10-4=6. ora. o te^^o °
5X2-10, e o termo 6= Igual a 2X'>=4. í" ^
produto ai—i2 é Igual a lá—i=g ' °
Exercícios para resolver:
( l - í ( 2 . ) A l g e b r a e l e m e n t a r 3 3 a—6 = 5__2
í,3=I5ZZJ^
( 4 . ) Q + b — 5 . 2 a .> a 2 6 c + a c M
— o ^ ^ Z Í T
_
5. Multiplicar a+d por 6 l 2a=+2afc~10a
6. Multiplicar ac+6c por"d. a6+6d.
7. !P jear fe+Sp por 3a. " "cd+bcd.
q P í'=3'- 21+3;, por 26 ' 12aa:+15a„
9 . M u l t i p l i c a r m + 2 n c o r \ " í h J l r T
1 0 . M u l t i p l i c a i - x - í i L ? » ^ O i + O i p ,
11. Multiplicar 2„+9r 3^' » 3»"!—6n=.
12. Multiplicar a6+;^,Lr°- ' aa^+o^f
i^T-axi-xy-fG por 2aa-. +2ab—3ac.
^esp. 2a26x+2a2x2-Lo o
J'""" ■" -"««Wo
<io «guiptero'd::"^5V°' fatores são poii„,^„^_
Problema. Qual é o produto de a-rb miiUiplicado pon Q+b?
Solução. Multiplicando o+í» por a, temos o pro
duto parcial o2+nZ»; multiplicando depois a+b por b, temo.s o pi'oduto parcial ab+b-; somando agora Os dois produtos parciais, temos a2+2ab+62, que é
o p r o d u t o t o t a l d a m u l t i p l i c a ç ã o . O p e r a ç ã o a + b g + b g^-f- ab g b + b » a-+2ab+b'^
Regra geral. il/uZ/tp/ícg-sc cada termo do irmltipticando
por cada termo do multiplicador conforme a regra dos
coe-ficientcsj parte literal, expoentes e sinais; e a soma algêbrica
de todos os produtos parciais será ot produto total.
Operar as seguintes multiplicações; ( 1 . ) a2-l-2ab+b2 , , a + & ■ Q^+2g-b-i- «b2 a - ' b + 2 fl b - + & ^ aH3a2b-i-3ab^+b3
3. Multiplicar g+b por x—y.
4. Multiplicar a—b por g—b.
í>- Multiplicar a—b por g-j-b.
0. Multiplicar a~+ac-\-c^ por a—c
1- Multiplicar m+n por m—n.
3. Multiplicar y-—p-|-l por
y+1-9- ^lulliplicar a:®+y- por
x-—y--ÍO. Multiplicar a-—3o+8 por g+3
11. Multiplicar Sa+Sb por 3g—5b.
12. Multiplicar a-—gb-+ por a-\-b.
13. Multiplicar d—bx por d—cx.
14. Multiplicar Sa^-j-a: por 2a"+4a;.
XXso do parêntesis na multiplicação
75. Um parêntesis unido ao sinal X mostra-nos que
cada lermo do parêntesis tem de ser
termo a que está ligado o sinal X» Assim, 2gX(®^
(g+b—c)x2a mostra que os termos a,be —^ teem e ser mu
implicados por 2a; e para lirarmois o parêntesis desta
expres-^I^jano ÂJg^ra Elementar ,
(2.) 3gsb+g-b 4 a - b — 3 a b 12a°b-+4a^b-—9a'*b^^—3a^b^
12g^b-—õg^b'^—3a^b-Resp. ax—gy+bx—by.
Q - — 2 a b + b - . a : ' — b K g 3 — c 3 . m - — n - . y 3 + l . y^. a3—g+24. 9a2—25b2. ? ?1
3 4 ílgebra elementar
são sem llie alterarmos o valor, é necessário operai- a multi
plicação, e a expressão se transformará cm 2a2-j-2aá—2ac.
76. Quando entre dois parêntesis, o sinal X nos
mos-s e r
f p a r ê n t e s i s
d e v e
ser multiplicada pela quantidade contida no segundo Assim
a expressão (a-hx)X(a—x) mostra que q+x deve ser multi
plicado por a—a-, e o resultado desta expressão será a^x^.
Nota. Na práUca suprime-se sempre o <dnii v
plesmente 2o (a+l>—c) e (o+ar) (cm) oscrevc-se
slm-Doia ou mais poünômíos fechados raiin „w,
tram que se requer o produto de todos Assim n parcntesis, mos.
(o—d) quer dizer (a+Ii) x (a+c) X (o-^d). ' («+&) (o+c)
Tirar o parênteaia daa sat-uiatea aipreaaDes sem lhes alterax o
valor-1. ab(,a-\-b). 2 . ( a á — 3 f l ) 5 . Resp. 3. a(x—y) . 4. (a:+y) (x-fy). 5. (fl—6) (a+á), 3- (5-j-6-f-3—12)x. 7. 3x(a-|-aá—x). 8. abc(a—ac). 0. (aá-fcd) (ab—cd) .10. (a-l-á) (a-|-á)4.(a—t)
11. (5-f-8a)2a. 12. (.r+3y)5. 13. 2x(õx—dij). 1 4 . x y ( a + 6 — 3 ) . 15. (a-|-á) (a-}-5). 16. (a-f2á) (2—a). 17. 2aá(x-fy-|-2). 7 7 . (a—b)' a^b-^ab'-. b a b — 1 5 a . a x — o y . a:-+2xy-|-y-:. a2—b-, 2 x . 3ax-)-3aáx—3x-. Q~bc—a^bc~. a-b-—c~d-. 2a2-l-2ò-. V 9 ? 9 ? ? VQuando se quer indirar « ^ i .
uno, isto é, o produto de um nolin'
polinô--s!svsí:S::;; ■
AlGEBRíV elementar A c h a r o r e s u l t a d o d a s s e g u i n t e s e x p r e s s õ e s : 3 5 1 8 . ( 2 a - h y ) 2 . . 1 9 . ( x — 3 ) 8 . 2 0 . ( 4 a - | - 5 á ) 2 . 2 1 . ( a - l - 6 — 2 c ) 8 , 2 2 . ( a — 4 ) ^ R e s p . 4 Q 2 ^ Q y ^ y 2 ^ » . - c s — 9 X S - 2 7 X — 2 7 . > ? > ? D I V I S Ã O78, Divisão é a operação que tem por fim achar quantas
vezes uma expressão algébrica contém outra.
A expressão que se divide, chama-se dividendo.
A expressão pela qual se divide o di^idendo, chama-se
d i v i s o r .
O resultado da operação chama-se quoclente.
79, A divisão é o inverso da multiplicação, e por isso,
multiplicando o divisor pelo quociente, obteremos exatamente
o d i v i d e n d o .
A d i v i s ã o i n d i c a - s e e s c r e v e n d o o d i v i s o r d e b a i x o d o d i
videndo cm forma de fração. Assim, para indicarmos que ab deve ser dividido por a, escreveremos — . Também se pode
indicar a divisão como em Aritmética, escrevendo o divisor
à direita do dividendo, como: ab 1 ^
Na divisão há três casos a considerar, que são:
1." Dividir um monômio por outro monâmio.
2." Dividir um polinômio por um monômio. 3." Dividir um polinômio por outro poU^ômio,
Primeiro caso da divisão
80, Na divisão, assim como na multiplicação, é neces
sário que o discípulo saiba, cm qiialqiier caso, operar com
os quatro dados seguintes: 1." O coeficiente. 2." A parte literal. 3 . ' 4 . ' O e x p o e n t e . O s i n a l .
81. O coeficiente e a parte literal. Para
dcterminar-nios a regra para se achar o coeficiente e a parte literal do
3 6 Algebra elementar
Problema. Qual é o quociente de 6n6 dividido por 2?
u ç â o . D i v i d i r 6 0 6 n o r ? . « ^
O p e r a ç g o
6aí) J_2
G r t 6
6 3a6. Mulupllcaneo asL o'aivC pelo" ""°f
temos 2X3ab=Co& nua RiiMr.,7r ? ^ ° QUocIente,
deixa resto. subtraído do dividendo, não ' à a b 3 a b ?
II Problemai
Qual é o quociente de Gab dividido por
O p e r a ç ã o
^ ve. m ^
^ entuo o quociente ê 2. 2
eficient^ do divisor^\ LZu'"""'" <l'i>'dendo pelo
co-do dividenco-do que não estive ""^"divh""^"]^" "
hphcado o divisor peto quociente m TI/./h
onerar aa aeculptea dlvLea- ' '^""dendo.
^
( 2 . )
f o v
^ " 1 ® a b i a
6 a a ( 6 . ) [ 4x a b O S a bO 3 a (4.) abx [ X a b x O a b (7.) 15x 1 3 ( 5 . )SaÍJy I 2a//
8aí>[/ O 4 y (8.)iSaôc I 6a6c
C9.) 25a:yz„ o «poente. Para e"^ iílobcd Uc
"''^ob'lem" quociente, resolv«em™o^ " u^har
Problema. Qual é o quocient^a l Problema:
Para rf"*" G por 2 o dividido por 2an
* ^ a r a s e d i v M i , . . . 1 * ° ^ o q u o p i p t i f . » « » * - u {
Operação
(10.)
SlaZ/cd
Solução. Divirii " quociente de 6,
Para se aivldlr oS p"r°J ° TOocIente 6 3.
«poealea, ,ae e b-bS ev,-" ^ ^Uorença aos
é as-^i norL. íí,°.° «uooiento Ue
"cora os coerielentes, uLl
6oeeaa,7"<,"^^«®°; «, ® 'C""! a
£ve:o:r---"3r
- v ^ r - v r o t r o S s :
Como o exDoeate. „™'° 'i!:""'"""' 03 o dlvlaenaa
6 a 5 6 a ^ O _ 2 ^ 3 a 3 Q a a a a o o ^ a O a a
o ea„oe„t::"„rt'°a ° «'"aena;" »
r a v e r s
-a -a -a í a t o r , d i v i s o r ILGEBRA .EaMENTAR 3 7Regrai Do e.rpocníc de uma letra no dividendo subtra
indo o expoente da mesma letra no divisor, o resto será c
expoente dessa letra no quociente.
Nota. Quando o dividendo e o divisor são sõ potências da mesma letra, pode-.se operar sÓ com o expoente. aVssim, a;S-^a,•5=i•8—5=a;3 x--i-x=
= x ~ — i = a ; i = a r .
Operar as seguintes divisões:
y -(1.)
f y- |_x
o ( 5 . ) I X ( 2 . ) ab^ I a b ^ a O ( 6 . ) V I y -( 3 . ) I2a^b^ I X 2 a ^ b ' 4 a - b (4.) Qxij^ I Sy^ 6.rí/3 2 x O O ( 7 . ) (9.)16aô2 1 4ay 14a:y í 7(10.) 2 4 a y c - I 8 a c( 1 1 . )
( 8 . ) a;i- I
X-( 1 2 . )
7x^y^ I xy
83. Os sinais. A regra para os sinais na divisão é a
mesma que na multiplicação. Se os dois termos da divisão
tiverem o mesmo sinal, o quociente será positivo; se tiverem
sinais contrários, o quociente será negativo.
Demonstração. Demonstra-se 6ste resultado com a própria regra
dos sinais na multiplicação; pois, se os sinais do dois fatores de uma
tnultiplicação pi'oduzem o sinal do produto, claro está, que o sinal do produto dividido por um dos fatores, darã o sinal do outro fator. Do
sorte que, sendo
a , ( - f 5 ) = - f a í j , e n t ã o a b - a . ( — b ) = - \ - a b , e n t ã o a b a . ( — b ) = — a b , e n t ã o — a b -a. (-}-&)=—ab, então —ab
( +&)= 4-a. i — b ) - — a , (—b) = -\-a,
( + i , ) = _ a .
Problema. Qual é o quociente de — ISaftc dividido por
-\-iSb?
Solução. — ISabc dIvídVY» por 66, o quo ciente é — Cac. Como o sinal do dividendo
é — . e o s i n a l d o d i v i s o r é - h , s e g u e - s e
que o sinal do quociente deve ser —, para
que multiplicado o divisor pelo quociente
tlô o dividendo. Então o oojcclente ô — Soe, porque -|-G6X(—3ac) dá —'l8c6c.
O p e r a ç ã o
—ISa&c I +66
— 1 8 a 6 c — 3 a c
Algebra elemeiNt^vr
clZ^enfe "teTot^an^fr'" "
í7uocíe/iíe terá o sinal —. i^verem sinais contrários, i
Operar as seguintes divisões:
( 2 . )
+Í5ax I -3x _32aj<. |
—-32000 +8c " o + 1 5 a x O - 5 a (4.) -27axy j + 9 a O (5.) 33Z>c 1 -( 3 . ) 4-21a:y2 | +7^; +21xy= +3a.y O - l l c (6.) - fl 8 a 3 i ) 4I ' V / V * c [ 9 o -Í ; ( / -84" Em todos os exproni,.^ xde .monômios, o dividendo é
e5;atament™°n-sor; hà. porém, três casos em que umTon
«atamente dividido por outrrUirôSrEster^rl^ts»
divisivel pelo coet^ntrdo°cUv'is°or!^'''''°''° ® exatamente
divisor qS no dhidSdo"" "™ expoente maior no
3- Quando o divisor tí»nv
se acham no dividendo. ^^is letras que não
f r | ; . í s = r » - p - » .
dividido por si Drón^fio indicar oue n * ''^sco
^ P, o- por um de sCs °furorer'°^
n 1 n r e s , a s s i m
mo número. dividir ambos os sei.q i ° de
seus termos pelo
mes-A i g e b r a e l e m e n t a r 3 9
^ quocienle de 15a.r dividido por
Solução. Por três razões o di videndo 15aa? não pode ser dividido
exatamente por Sx^y, primeira,
porque o coeficiente 15 não pode eer dividido polo coeficiente 0. Se gunda, porque o expoente de x 6
O p e r a ç ã o
ISaa ^XõXfflXjfe " 5a
^ ^XBX^XxXy ~ 3xy
nan°^ divisor do que no dividendo. Terceira, porque a letra y
do.«! no dividendo, a divisão serã então indicada
escreveu-Dor ° divisor debaixo do dividendo; mas, como 15 e 9 são divisiveis
duzld' • ^ simplificação, e estes dois coeficientes ficarão re-^ ^ ^ ^ letra x é comum a ambos os termos,
cancela-lo vlilcndo e no divisor, e ela ficará reduzida de »- ou xXx a. x, 6 o
quociente simplificado será ~ .
\-i o dividendo 15aa? é composto de 3X5XaXx, e o di-so. x~y é composto do 3X3XxXxXy. Ora, cancelando-se o mesmo fator
^0 c vldendo e no divisor, não se altera o valor do quociente. (Arit.
regressiva n." 81). Então cancelando os fatores 3 e x, que são comuns3^0 dividendo r no divisor, teremos o quociente reduzido a 3^. Este
pro-é uma simples redução de uma fração algíbrica ã sua expressão is simples, da qual trataremos mais adiante.8 7 . O p e r a r as seguintes divisões:
1 . D i v i d i r Goma: por 3ohc. 2 , D i v i d i r 49a2íj2 jjor 14a^&. 3 . D i v i d i r lSa2õ por
4 . D i v i d i r 2Sa-õCc7 por IGab^c^.
5 . D i v i d i r 100o®b^r por 25a^b'^d. G . D i v i d i r 12la®õV por llb^. Resp. 2 » í x v c I b 2 a 3 2 a - b ' Ia *b* ~ T 7 ~ 4 a ' ' b z d
Segundo caso da divisão
ç- > ^ ííivisao de um polinôinio por um monòmio
opera-se do opera-seguinte modo:
Problema. Dividir ab-\-ac-\-ad por a.
O p e r a ç ã o
