Análise elástica de problemas bidimensionais da mecânica da fratura

AGRADECIMENTOS

0 aut o r , ao t e r m i n o do t ra b a l h o , d e s e j a a g r a d e c e r ; ■ A o O r i e n t a d o r E d i s o n , que a t r a v é s de seu v a l i o s o a- p o i o e o r i e n t a ç ã o , t o r n o u p o s s í v e l ~ a r e a l i z a ç ã o d e s t e t r a b a ­ lho. A o P r o f e s s o r D o m i n g o s p e l a o r i e n t a ç ã o que d i s p e n s o u em r e l a ç ã o ã s i s t e m á t i c a e ao u s o do Pro as e. A t o d os os A m i g o s que, d i r e t a ou i n d i r e t a m e n t e , apoi^ a r a m e e s t i m u l a r a m a r e a l i z a ç ã o d e s t a d i s s e r t a ç ã o .

“ A o s m e u s P a i s e Irm ão s p e l o a p oio s e g u r o e c o n s t a n t e d u r a n t e t o d a a r e a l i z a ç ã o d e s t e trabal ho .

INDICE

PÂG. N O T A Ç Ã O ... ... ... . . i R E S U M O ... ... ili A B S T R A C T ... ... ... ... iv 1. I N T R O D U Ç Ã O ... ... .. 1 2. S O L U Ç Ã O P A R A 0 C A M P O D E T E N S Õ E S E D E S L O C A M E N T O S NO EX T R E M O D A T R I N C A ... 4 2.1. F u n ç ã o T e n s ã o R eal ... ... 4 2.1.1. F u n ç ã o R e al ... 4 2.1.2. F u n ç ã o C o m p l e x a ... ... . ... 6 '2.2. T e n s õ e s e D e s l o c a m e n t o s no E x t r e m o da T r i n c a S o l u ç ã o de W e s t e r s s a r d ... ... 7 2.2.1. F u n ç ã o T e n s ã o ... ... ... . 7 2.2.2. E q u a ç ã o de T e n s õ e s ... 8 2.2.3. E q u a ç ã o de D e s l o c a m e n t o s ... 8 2.3. M o d o de A b e r t u r a d a T r i n c a ... -... . 11 2.4. P l a c a c o m T r a ç ã o U n i f o r m e E q u i b i a x i a l ... 12 2.4.1. F u n ç ã o T e n s ã o de W e s t e r g a a r d ... ... 12 2.4.2. F o r m a d a T r i n c a ... 14 2.4.3. T e n s õ e s e D e f o r m a ç õ e s no E x t r e m o da T r i n ­ ca ... ... 16 2.5. F a t o r de I n t e n s i d a d e de T e n s õ e s ... ... 19 2.5.1. D e f i n i ç ã o U s u a l ... ... 19 2.5.2. D e f i n i ç ã o F o r m a l ... ... . 20 2.5.3. D i s t r i b u i ç ã o de T e n s õ e s e D e s l o c a m e n t o s p a r a u m a P l a c a I n f i n i t a ... ... 21

2.6. C o r r e ç ã o das E q u a ç õ e s de W e s t e r g a a r d ... . 23 2.6.1. C o n s t a n t e R e a l ... ... 23 2.6.2. F a t o r G e o m é t r i c o p a r a u m a P l a c a de L a r g u ­ ra F i n i t a ... 26 2.7. A n a l i s e dos M o d o s II e III ... . 29 2.7.1. M o d o II - C i s a l h a m e n t o e T r i n c a ... 29 2.7.2. M o d o III - A n t i - P l a n o de D e f o r m a ç ã o ... 32 2.8. E n e r g i a de D e f o r m a ç ã o ... ... 36 2.8.1. T r a b a l h o e E n e r g i a ... 36 2.8.2. T r a b a l h o R e a l i z a d o p e l a s F o r ç a s E x t e r n a s . 38 2.8.3. E n e r g i a na A n á l i s e de X r i n c a s ... . 40 2.8.4. M é t o d o s de E n e r g i a na A n á l i s e de T r i n c a s . 43 2.8.4 .1 . M é t o d o d a F l e x i b i l i d a d e ... 44 2.8.4. 2. M é t o d o do F a t o r de I n t e n s i d a d e de T e n s õ e s ... ... 45 3. P R O C E S S O S N U M É R I C O S P A R A A S O L U Ç Ã O DE PR0BLEÍ4AS D A M E C Â N I C A D A F R A T U R A ... ... ... 48 3.1. I n t r o d u ç ã o ... ... 48 3.2. M é t o d o de E l e m e n t o s F i n i t o s ... 49 3.3. M é t o d o B a s e a d o s o b r e E l e m e n t o s Fin it os C o n v e n c i o na is ... .. ... 50 3.3.1. M é t o d o de D e s l o c a m e n t o s ... 50 3.3.2. F u n ç õ e s de D e s l o c a m e n t o s E l í p t i c a s ... 51 3.3.3. M é t o d o de E l e m e n t o s F i n i t o s C a l i b r a d o ... 57 3.3.4. M é t o d o de E n e r g i a T o t a l ... 61 3 . 3 . 5. M é t o d o de E n e r g i a c o m E l e m e n t o s F i n i t o s C a l i b r a d o ... ... 62 3.3.6. M é t o d o de E n e r g i a L o c a l ... . 63 PÁG.

4 . E S T R U T U R A D O T R A B A L H O . . . ... 64 4.1. M o d e l o s A n a l i s a d o s ... ... 64 4.2. V a r i a ç õ e s nos M o d e l o s ... ... 65 4.3. P r o g r a m a de E l e m e n t o s F i n i t o s U s a d o s ... 66 4.4. R e p r e s e n t a ç ã o dos M o d e l o s p o r E l e m e n t o s Fi ni to s. 67 5. A N Á L I S E D O S R E S U L T A D O S ... 69 6. C O N C L U S Ã O ... ... 88 7. B I B L I O G R A F I A ... ... 90 A P Ê N D I C E S A I F U N Ç Ã O D E V A R I Á V E I S C O M P L E X A S ... ... 94 A 2 D I F E R E N C I A Ç Ã O E I N T E G R A Ç Ã O D A F U N Ç Ã O T E N S Ã O C O M P L E X A 96 A 3 C A L I B R A G E M N A M A L H A I N T E R N A ... ... ... 98 A 4 L I S T A G E M DO S R E S U L T A D O S .... ... ... 100 PÂG.

NOTAÇÃO

A c o n s t a n t e real a d i m e n s ã o c a r a c t e r í s t i c a da t r i n c a b i £ £ E C c o e f i c i e n t e de f l e x i b i l i d a d e E m o d u l o de e l a s t i c i d a d e l o n g i t u d i n a l F f u n ç ã o t e n s ã o de A i r y fjj^ f u n ç ã o d e f i n i d a n a e q u a ç ã o (2,26) f^j f u n ç ã o d e f i n i d a n a e q u a ç ã o (2,20) G m o d u l o de e l a s t i c i d a d e t r a n s v e r s a l G taxa de l i b e r a ç ã o de e n e r g i a H a l t u r a da p l a c a Im i m a g i n á r i o Y f a t o r g e o m e t r i c o Kl jj f a t o r de i n t e n s i d a d e de t ensões f a t o r de c o n c e n t r a ç ã o de tensões k c o e f i c i e n t e de r i g i d e z L l a r g u r a da p l a c a 1 d i m e n s ã o l i n e a r do m e n o r e l e m e n t o , n a d i r e ç ã o da t r i n c a P ' c a r g a e x t e r n a a p l i c a d a Q c a l o r a b s o r v i d o q ^

IX r d i s t â n c i a c a r a c t e r í s t i c a da m a l h a c a l i b r a d a o Tp t r a b a l h o r e a l i z a d o p e l a s forças e x t e r n a s Ju ' U e n e r g i a de d e f o r m a ç ã o d e s l o c a m e n t o d e n s i d a d e de e n e r g i a de d e f o r m a ç ã o z v a r i á v e l c o m p l e x a v a r i a ç ã o de e n e r g i a d e f o r m a ç ã o W AE V c o e f i c i e n t e de P o i s s o n a.j t e n s ã o T t e n s ã o c i s a l h a n t e (}>(z) f u n ç ã o t e n s ã o de W e s t e r g a a r d <p ’ ,(p” p r i m e i r a e s e g u n d a d e r i v a d a da f u n ç ã o t e n s ã o de W e s t e r g a a r d ^ p r i m e i r a e s e g u n d a i n t e g r a l da f u n ç ã o t e n s ã o de W e s t e r g a a r d (j)* f u n ç ã o de W e s t e r g a a r d m o d i f i c a d a 2 V o p e r a d o r l a p l a c e a n o 4 ^ V o p e r a d o r b i - h a r m o n i c o

111

RESUMO

0 p r e s e n t e t r a b a l h o t r a t a dos p r o b l e m a s da M e c â n i c a da F r a t u r a , v i s a n d o d a r u m a c o n t r i b u i ç ã o n a d e t e r m i n a ç ã o n u m é r i c a do f a t o r de i n t e n s i d a d e de t e n s õ e s ,a p l i c á v e l a q u a l q u e r g e o m e ­ tria. P a r a isto, p a s s o u - s e à c o m p r o v a ç ã o de a l g u n s m é t o d o s p r o ­ p o s t o s , u s a n d o - s e u m p r o g r a m a de e l e m e n t o s f i n i t o s c o n v e n c i o n a ­ is, p a r a a o b t e n ç ã o de d a d o s n e c e s s á r i o s à a p l i c a ç ã o dos m é t o ­ dos, e, a p a r t i r d e s t e s , ã o b t e n ç ã o do f a t o r de i n t e n s i d a d e de t en sõ es . 0 o b j e t i v o é se ter e m m ã o s u m a f e r r a m e n t a q u e f o r n e ç a r e s u l t a d o s s a t i s f a t ó r i o s , m e s m o c o m u m r e f i n a m e n t o de m a l h a não m u i t o g r a n d e n a e x t r e m i d a d e da trinca.

IV

ABSTRACT

This w o r k aims to g i v e a c o n t r i b u t i o n to the n u m e r i c a l d e t e r m i n a t i o n o £ the s t r e s s i n t e n s i t y fa c tor , a p p l i e d to any g e o m e t r y . For this p u r p o s e it uses a p r o g r a m of f i n i t e e l e m e n t s to o b t a i n n e c e s s a r y d a t a to the a p p l i c a t i o n of the p r o p o s e d

m e t h o d s a n d t h e i r c o m p a r i s o n w i t h e x i s t i n g s o l u t i o n s . It was k e pt in m i n d the d e v e l o p m e n t of a tool w h i c h f u r n i s h e s s a t i s f a c t o r y r es u l t s w i t h o u t a g r e a t r e f i n e m e n t of the m e s h in the e x t r e m i t y of the crack.

1. INTRODUÇÃO

A s f a l h a s q u e o c o r r e m , e m p r o b l e m a s e s t r u t u r a i s , c o m s o l i c i t a ç ã o a b a i x o da t e n s ã o de e s c o a m e n t o do m a t e r i a l são f r e ­ q ü e n t e m e n t e a t r i b u í d a s ã p r é - e x i s t ê n c i a de u m d e f e i t o s i g n i f i c a ­ ti vo ou de u m a tr i n c a. T a i s f a l h a s m o s t r a m q u e a a n a l i s e de r e ­ s i s t ê n c i a e s t r u t u r a l c o n v e n c i o n a l nã o é s u f i c i e n t e p a r a g a r a n t i r a i n t e g r i d a d e d a e s t r u t u r a sob c o n d i ç o e s o p e r a c i o n a i s . E s t u d o s c o n s i d e r a n d o o c r e s c i m e n t o da t r i n c a como f u n ç ã o da s c a r g a s apli^ c ad a s são t r a t a d o s n a M e c â n i c a da F r a t u r a . N a a u s ê n c i a de g r a n ­ des d e f o r m a ç õ e s p l á s t i c a s n a e x t r e m i d a d e da trinca, o e s t u d o ê r e f e r i d o c o m o M e c â n i c a d a F r a t u r a E l á s t i c a Lin ear , c u j a b a s e ê a t e o r i a d e G r i f f i t h , c o n f i r m a d a em t e s t e s de r u p t u r a c o m m a t e ­ r i a i s f r á g e i s . S u a p r e m i s s a b á s i c a , p a r a e x p l i c a r o c o m p o r t a m e n ­ to d e s t e s m a t e r i a i s a f r a t u r a , ê de que a p r o p a g a ç ã o i n s t á v e l de u m a t r i n c a t e m i n í c i o se a e n e r g i a l i b e r a d a q u a n d o a t r i n c a se p r o p a g a , é i g u a l â e n e r g i a n e c e s s á r i a p a r a a c r i a ç ã o de n o v a s su p e r f í c i e s l i vr e s . I r w i n e O r o w a n , s u b s e q ü e n t e m e n t e , m o d i f i c a r a m a t e o r i a o r i g i n a l d e G r i f f i t h a p I i c a n d o - a aos m e t a i s , a d i c i o n a n d o u m t ermo e n v o l v e n d o a d i s s i p a ç ã o de e n e r g i a d e v i d a a d e f o r m a ç ã o p l á s t i c a n a r e g i ã o dos a r r e d o r e s d a tri nca . A t e o r i a de G r i f f i t h s o b r e o b a l a n ç o de e n e r g i a e as m o d i f i c a ç õ e s s u b s e q ü e n t e s de I r w i n e O r o w a n são c o n d i ç õ e s n e c e s s á r i a s p a r a o i n í c i o d a f r a t u ra, p o r é m n ã o p o d e m c a r a c t e r i z a r c o n v e n i e n t e m e n t e t o d o s os tipos de f r a t u r a o b s e r v a d o s em testes. I r w i n pro pô s, p a r a tal c a r a c t e ­ r i z a ç ã o , qu e se u s a s s e o c a m p o de te nsõ e s, nas p r o x i m i d a d e s da e x t r e m i d a d e da t r i n c a , em l u g a r d a t a x a de l i b e r a ç ã o de e n e r g i a .

A t é o p r e s e n t e m o m e n t o , b e m p o u c o c o n h e c i m e n t o se tem c o m r e l a ç ã o ao u s o de c o m p o n e n t e s c o m t r i n c a s no p r o j e t o c o n v e n ­ c i o na l. 0 u s o de c o m p o n e n t e s t r i n c a d o s n o r m a l m e n t e ê l i b e r a d o q u a n d o o p r o j e t o n ã o e n v o l v e r i s c o de vida, caso c o n t r a r i o , hâ r e j e i ç ã o do e l e m e n t o s e m q u e e s t u d o s m a i s a v a n ç a d o s f o s s e m f e i ­ tos . A M e c â n i c a da F r a t u r a tem c o n d u z i d o a n o v o s c o n c e i t o s de P r o j e t o e e s f o r ç o s f o r a m f e i t o s p a r a i n c o r p o r a r e s t e s ao us o p r á t i c o . A s s i m , a t r a v é s de t e s t e s n ã o d e s t r u t i v o s , u t i l i z a d o s n a d e t e c ç ã o de d e f e i t o s em c o m p o n e n t e s e s t r u t u r a i s , o m é t o d o de Pr o je to b a s e a d o n a M e c â n i c a da Fratura, p o d e ser u s a d o c om o c r i t é r i o de falha . E m c o m p o n e n t e s t r i n c a d o s , e s t u d o s s o b re a p r o p a g a ç ã o d a tri n ca, g e r a l m e n t e p o r fadiga, p e r m i t e m e s t i m a r os i n t e r v a l o s de i n s p e ç ã o p a r a d e t e c t a r o c r e s c i m e n t o da trinca, a nt es qu e e s ­ ta c o n d u z a ã falha . De o u t r a forma, se e x i s t i r e m d ú v i d a s q u a n t o aos t a m a n h o s de t r i n c a s que p o s s a m ter e s c a p a d o ã d e t e c ç ã o , t e s ­ tes de s o b r e c a r g a p o d e m ser u s a d o s , p a r a g a r a n t i r que, o p e r a n d o a b a i x o de u m a c e r t a carga, o d e f e i t o , se ex is ti r, n ã o l e v a r á o c o m p o n e n t e ã fal h a. D e s t a forma, a M e c â n i c a da F r a t u r a p o d e se r u s a d a p a r a s o l u c i o n a r p r o b l e m a s p r á t i c o s de E n g e n h a r i a , como an â lise de fal h as , s e l e ç ã o de m a t e r i a i s , p r e v i s ã o da v i d a e s t r u t u ­ ral p o r f a d i g a o u c o r r o s ã o sob tensão, etc. Isso c o n d u z i r á ã a- c e i t a ç ã o , ou r e j e i ç ã o , do c o m p o n e n t e sob d e t e r m i n a d a s c o n d i ç õ e s de a p l i c a ç ã o . P a r t i n d o - s e da p r e m i s s a de q u e a p r é - e x i s t ê n c i a de u- m a t r i n c a p o d e l e v a r a f a l h a e s t r u t u r a l , a t e o r i a da M e c â n i c a do C o n t í n u o é u s a d a p a r a d e t e r m i n a r os p a r â m e t r o s , que c a r a c t e r i z a m o c a m p o de t e n s õ e s e d e f o r m a ç õ e s na s p r o x i m i d a d e s da e x t r e m i d a d e

da trinca, s e n d o o m a i s i m p o r t a n t e d e s t e s o f a t o r de i n t e n s i d a ­ de de t e n s õ e s , K» 0 i n í c i o da p r o p a g a ç ã o da t r i n c a o c o r r e q u a n ­ do o f a t o r de i n t e n s i d a d e de t e n s õ e s a t i n g e u m v a l o r cr i tic o , K^, d e p e n d e n d o do m a t e r i a l . A s s i m , n a a p l i c a ç ã o d a M e c â n i c a da F r a t u r a E l á s t i c a L i n e a r , e s f o r ç o s t ê m sido f e i tos p a r a a d e t e r ­ m i n a ç ã o do f a t o r de i n t e n s i d a d e d e t e n s õ e s e u m a v a r i e d a d e de m é t o d o s t e m s i d o d e s e n v o l v i d a , u m a v e z que a sua d e t e r m i n a ç ã o t r o u x e s o l u ç ã o a v á r i o s p r o b l e m a s e s t r u t u r a i s c o m c o m p o n e n t e s f i s s u r a d o s . E m c a s o s de g e o m e t r i a r e l a t i v a m e n t e s im pl es , m é t o ­ do s a n a l í t i c o s p o d e m se r u s a d o s p a r a a d e t e r m i n a ç ã o do f a to r de i n t e n s i d a d e de t en s õ e s , p o r é m , n a a n á l i s e de c o n t o r n o de m a i o r c o m p l e x i d a d e , s o l u ç õ e s n u m é r i c a s são logo n e c e s s á r i a s . 0 p r e s e n t e t r a b a l h o p r o c u r a d a r u m a c o n t r i b u i ç ã o n a d e t e r m i n a ç ã o n u m é r i c a do f a t o r de i n t e n s i d a d e de t ens õ e s , a p l i ­ c á v e l a q u a l q u e r g e o m e t r i a . D e s t a forma, u s a n d o - s e u m p r o g r a m a de e l e m e n t o s f i n i t o s c o n v e n c i o n a i s , p a s s o u - s e à c o m p r o v a ç ã o teo r i c a da a p l i c a ç ã o de a l g u n s m é t o d o s p r o p o s t o s p a r a a o b t e n ç ã o do f a t o r de i n t e n s i d a d e de t e n s õ e s . 0 o b j e t i v o é se ter e m m ã o s u m a f e r r a m e n t a que f o r n e ç a r e s u l t a d o s s a t i s f a t o r i o s , m e s m o c o m p e q u e n o r e f i n a m e n t o d a m a l h a nas p r o x i m i d a d e s da e x t r e m i d a d e da t rinca.

F = 0 ( 2 . 4 ) A e q u a ç ã o (2.4) é a e q u a ç ã o d i f e r e n c i a l p a r c i a l b i - h a r m S n i c a . Q u a l q u e r f u n ç ã o F q u e s a t i s f a ç a a (2.4) ê c h a m a d a ' de f u n ç ã o b i - h a r m ô n i c a . P e l o e x p o s t o c o n c l u i - s e qu e o p r o b l e m a da e l a s t i c i d a d e p l a n a f i c a r e d u z i d o e m p r o c u r a r a f u n ç ã o F que s a t i s f a ç a a e q u a ­ ção d i f e r e n c i a l (2.4) e as c o n d i ç õ e s de c o n t o r n o do p r o b l e m a . 2.1.2. F u n ç ã o C o m p l e x a -C o m o jâ v i st o , de a c o r d o c o m a e q u a ç ã o (2.4) a f u n ç ã o t e n s ão r e al d e v e s a t i s f a z e r a e q u a ç ã o d i f e r e n c i a l b i - h a r m ô n i c a , o u seja, F = (V^F) = 0 (2.5) N o t a - s e q u e a f u n ç ã o F, n a e q u a ç ã o (2.5), p o d e ser d a ­ da p o r q u a l q u e r f u n ç ã o ou s o m a de f u n ç õ e s f(Xj^, X₂) q u e s a t i s f a ­ ç a m a e q u a ç ã o d i f e r e n c i a l de L a p l a c e , V^ f = 0, o u - p e l o p r o d u t o d e s t a p o r x^ e X₂, c o n f o r m e m o s t r a d o a b a i x o F = f F = x ^ £ F = X 2 f Do a p ê n d i c e Al, p o d e - s e c o n c l u i r q u e a f u n ç ã o f ( x ^ , x₂), p o d e r á ser a p a r t e real, o u i m a g i n á r i a , de u m a f u n ç ã o c o m p l e x a (pCz) , ou a s o m a d e s t a s .

A s s i m , o p r o b l e m a da e l a s t i c i d a d e p l a n a p a s sa, agora, a ser o de e n c o n t r a r u m a f u n ç ã o c o m p l e x a , a n a l í t i c a , qu è d e v e r á for n e c e r u m a f u n ç ã o t e n s ã o r e a l F, tipo Airy, e s a t i s f a z e r as c o n d i ­ ções de c o n t o r n o do p r o b l e m a . 2 . 2 o T e n s õ e s e D e s l o c a m e n t o s no E x t r e m o da T r i n c a . S o l u ç ã o de W e s t e r g a a r d 2.2.1. F u n ç ã o T e n s ã o E m p r o b l e m a s b i d i m e n s i o n a i s e n v o l v e n d o t r i n c a s , a d i s ­ t r i b u i ç ã o de t e n s õ e s e d e s l o c a m e n t o s foi t r a t a d a p o r W e s t e r g a a r d , u s a n d o f u n ç õ e s t e n s ã o t i p o A i r y . E s s a s f o r a m g e r a d a s p o r f u n ç õ e s a n a l í t i c a s de v a r i á v e l c o m p l e x a que s a t i s f a z e m a e q u a ç ã o d i f e r e n ­ cial de L a p l a c e . D e s t a f o r m a as c o n d i ç õ e s de e q u i l í b r i o e c o m p a t ^ b i l i d a d e são s a t i s f e i t a s , f a l t a n d o a p e n a s v e r i f i c a r que e s p é c i e de c o n d i ç õ e s de c o n t o r n o s e r i a m a t e n d i d a s p o r tais f u n ç õ e s . A s s i m , de c o n f o r m i d a d e c o m o s t i po s a d m i s s í v e i s de f u n ç õ e s , s e ç ã o 2.1, W e s t e r g a a r d [l2] d e f i n e a s e g u i n t e f u n ç ã o t e n s ã o real: F = Re |(z) + X₂ Im i(z) (2.6)

o n d e i}i(z) é q u a l q u e r f u n ç ã o c o m p l e x a , a n a l í t i c a n a regi ão , que s a t i s f a ç a as c o n d i ç õ e s de c o n t o r n o do p r o b l e m a , s e n d o d e n o m i n a d a de f u n ç ã o t e n s ã o c o m p l e x a o u f u n ç ã o t e n s ã o de W e s t e r g a a r d [2(^ .

11 ^1 ' X₂ Im <|)(z) U₂ = I Im iCz) ' X₂ Re <í)(z) C2.ll) 2.3. M o d o s de A b e r t u r a da T r i n c a A d i s t r i b u i ç ã o de t en s õ e s nas p r o x i m i d a d e s do e x t r e m o da t r i n c a ,d e p e n d e n d o do tipo de c a r r e g a m e n t o , p o d e ser c l a s s i f i ­ c a d a em três t i p os b á s i c o s , a s s o c i a d o s ao m o v i m e n t o r e l a t i v o das düas s u p e r f í c i e s . Os m o d o s de a b e r t u r a da t r i n c a são m o s t r a d o s na f i g u r a 2.1, e c l a s s i f i c a m - s e [27 ] da s e g u i n t e forma: M o d o I, c a r a c t e r i z a d o p e l o d e s l o c a m e n t o no q u a l h l s e p a r a ç ã o das s u p e r f í c i e s da trinca; M o d o II, c a r a c t e r i z a d o p e l o d e s l o c a m e n t o no qu al as su p e r f í c i e s e s c o r r e g a m , u m a em r e l a ç ã o a o u tr a , p e r p e n d i c u l a r m e n t e , ao e x t r e m o da trinca; M o d o III, c a r a c t e r i z a d o p e l o e s c o r r e g a m e n t o das s u p e r ­ fícies da t r i n c a u m a em r e l a ç ã o à o u t r a , p a r a l e l a m e n t e ,à extremi^ d a d e da t r i n c a .

12

Fig. 2.1 - M o d o s de a b e r t u r a da trinca, c o n d i ç õ e s de c a r r e g a m e n t o .

Os m o d o s I e II p o d e m s e r t ra t ad os co mo p r o b l e m a s p l a ­ nos, e n q u a n t o que o m o d o III ê u m p r o b l e m a de c i s a l h a m e n t o puro.

0 m o d o m a i s p e r i g o s o de p r o p a g a ç ã o , em p r o b l e m a s prãtj^ cos, é o m o d o I, s e n d o m u i t a s v e ze s c a u s a d o r de u m a f r a t u r a f r á ­

gil, c o m p e q u e n a d i s s i p a ç ã o de energi a, e n q u a n t o que os m o d o s II e III sã o m e n o s p e r i g o s o s , a b s o r v e n d o m a i o r q u a n t i d a d e de e ne r g i a , jâ que e x i s t e g r a n d e t r a b a l h o de d e f o r m a ç ã o p l á s t i c a .

2.4. P l a c a co m T r a ç ã o U n i f o r m e E q u i b i a x i a l

2.4.1, F u n ç ã o T e n s ã o de W e s t e r g a a r d

S e j a u m a p l a c a i n f i n i t a c o n t e n d o u m a t r i n c a r e t a de c o m p r i m e n t o 2a, s i t u a d a s o b r e o e i x o Xj^, com ten s õe s á a p l i c a d a s em todo s e u c o n t o r n o no i nf i n i t o , f i g u r a 2.2. A f u n ç ã o t e n s ã o

19

Fig. 2.4 - R e l a ç ã o e n t r e s o l u ç ã o e x a t a e s o l u ç ã o a p r o ­ x i m a d a . 2.5. F a t o r de I n t e n s i d a d e de T e ns õ e s 2.5.1. D e f i n i ç ã o U s u a l A a n a l i s e de u m c o r p o e l á s t i c o sob tração, c o n t e n d o u m c o r t e ou e nt al h e , i n d i c a e l e v a ç õ e s de t e n sã o q u e , d e p e n d e n d o do c a r r e g a m e n t o , p o d e m l ev ar ã r u p t u r a do corpo. U m p a r â m e t r o ut_i l i z a d o p a r a m e d i r tais i n c r e m e n t o s , c o n s i d e r a n d o e n t a l h e s s u a ­ ves e q u e a n t e c e d e u ã M e c â n i c a da F ra tu ra , é o d e n o m i n a d o f a t o r de c o n c e n t r a ç ã o de t e ns õe s, K^, d e f i n i d o p e l a r a z ã o e n t r e a m á x i m a t e n s ã o o c o r r i d a no e x t r e m o do e n t a l h e e a t e n s ã o n o m i n a l . o K = m a x t _o

20

N o c a s o de u m a trinca, ou seja, q u a n d o o r ai o de c u r v a t u r a do e n t a l h e t e n d e a zero, em ura m a t e r i a l p e r f e i t a m e n t e e l á s ­ tico, a t e n s ã o no e x t r e m o da t r i n c a t e nde a i n f i n i t o e ,em c o n s e q U ê n c i a , K ^ tambêiii.

•Na M e c â n i c a da F r a t u r a , u m o u t r o f a t o r foi i n t r o d u z i d o p a r a r e p r e s e n t a r a m a g n i t u d e das ten sõ es nas p r o x i m i d a d e s da e x ­ t r e m i d a d e da t rinca, d e n o m i n a d o de f a t o r de i n t e n s i d a d e de ten-s õ e ten-s , K^, e d e f i n i d o como

\ = Y a Æ (2.22)

o n d e m = I , II, III i n d i c a o m o d o de a b e r t u r a , a ê a t e n s ã o n o m ^ nal, a é u m a d i m e n s ã o c a r a c t e r í s t i c a da t r i n c a e Y ë o f a t o r geo m é t r i c o , i n t r o d u z i d o p o r Ir win [7] como u m f a t o r de c o r r e ç ã o , que

d e p e n d e da f o r m a e p r o p o r ç õ e s do c o m p o n e n t e sob estudo, b e m como do c a r r e g a m e n t o e o r i e n t a ç ã o da trinca. 0 v a l o r n u m é r i c o de Y d ^ f e r e t a m b é m de a c o r d o co m a d e f i n i ç ã o u s a d a p a r a o f a t o r de i n ­ t e n s i d a d e de t e n s õ e s , ou seja, K = Y a / à ’ ou K = Y a /-rra', s e n d o e s t a ú l t i m a f o r m a a m a i s usada. 2.5.2. D e f i n i ç ã o F o r m a l N o c a s o de u m a p l a c a i nf i n i t a , c o n f o r m e f i g u r a 2.2, p o d e - s e g e n e r a l i z a r as e x p r e s s õ e s de ten sõ es (2.20) c o l o c a n d o - a s n a f o r m a ^ij (r,0)

21 o n d e a / ã ’ ë o t e r m o c o n s t a n t e q u e ,c o m p a r a d o com a d e f i n i ç ã o do f a t o r de i n t e n s i d a d e de t e n s õ e s leva a c o n c l u i r qu e p a r a u m a p i a ca i n f i n i t a , c o n d i ç ã o m o s t r a d a n a f i g u r a 2,2, Y = 1 e a e x p r e ^ s ã o a c i m a p o d e s e r e s c r i t a como O i U r G'1 = ^ii <^2.23) o q u e i n d i c a q u e a d i s t r i b u i ç ã o de ten sõ es p a r a u m p o n t o c o n s i d e ra do f i c a ein f u n ç ã o a p e n a s da m a g n i t u d e do f a t o r de i n t e n s i d a d e de te ns õ e s . D o e s t u d o da e x p r e s s ã o (2.23), v á l i d a p a r a r / a « 1 , p r o v ê m a d e f i n i ç ã o f o r m a l p a r a ò f a t o r de i n t e n s i d a d e de t e n ­ são n a f o r m a " y _ lim a^(r, 0 = 0) / 2 Í F (2.24) ^m r-^0 o n d e m = I, II, III e ê a t e n s ã o a p r o p r i a d a ao m o d o de a b e r t u ra da trinca. Q u a n d o r -> 0 o c a m p o de t ensões e deslocameíi - tos f i c a u n i v o c a m e n t e d e f i n i d o p o r K, p a r a q u a l q u e r g e o m e t r i a .

2.5.3. D i s t r i b u i ç ã o de T e n s õ e s e D e s l o c a m e n t o s p a r a u m a P l a c a I n f i n i t a

C o n s i d e r a n d o a p l a c a i n fi ni ta , c o n f o r m e i l u s t r a a figu ra 2.2 o n d e , n a s e ç ã o 2.4.2, f i c o u c a r a c t e r i z a d a c om o m o d o I de

27

d e u n a p l a c a de l a r g u r a finitá, co m u m a t r i n c a c e n t r a l i l u s ­ t r a d a na f i g u r a 2.6. I rw in foi o p r i m e i r o a i n t r o d u z i r s o l u ­ ções a p r o x i m a d a s p a r a es te t ip o de p r o b l e m a , p a r t i n d o da s o l u ç ã o o b t i d a para u m a p l a c a i n f i n i t a com t e n s õe s b i a x i a i s e tri nc as p e ­ r i ó d i c a s c o l i n e a r e s , t o m a n d o u m a f a t i a - d e s s a p l a c a ^ - f i g u r a -2<7• ■ Fig. 2.7 - P l a c a c o m tr in ca s p e r i ó d i c a s c o l i n e a r e s . A o c a m p o de t e n s õ e s a s s o c i a d o ã s o l u ç ã o de p r o b l e m a pa ra a p l a c a in fi n i t a , I r w i n a d i c i o n o u te ns õ e s u n i f o r m e s de c o m ­ p re s s ã o , de m a g n i t u d e a, ao lo ngo da b o r d a v e r t i c a l , a s q u a i s ti^ nhan o e f e i t o de c o m p e n s a r o t er mo o m i s s o A, E s t a c o m b i n a ç ã o s a ­ t i s f a z p a r c i a l m e n t e às c o n d i ç õ e s de c o n t o r n o ao l o ng o da b o r d a v e r t i c a l , f i g u r a 2.8.

28

Fig. 2.8 - T e n s õ e s n a e x t r e m i d a d e v e r t i c a l da f a t i a re t i r a d a da p l a c a

infinita.-A d m i t i n d o - s e que as t e n s õ e s p a r a l e l a s à t r i n c a não con t r i b u e m no f a t o r de i n t e n s i d a d e de t e n s õ e s a s o l u ç ã o do p r o b l e m a i l u s t r a d o na fig. 2.6 p o d e ser usad a. 0 f a t o r de i n t e n s i d a d e de t e n s õ e s que e m a n a d e s s a s o l u ç ã o é e x p r e s s o p e l a c h a m a d a f o r m u l a da t a n g e n t e 13 Kj = a 2L tan TTa 2L . 1/ 2 (2.34) a f o r m a C o m p a r a n d o c o m a e q u a ç ã o (2.22), o f a t o r g e o m é t r i c o tem Y = tan TTa 2L

1/2

(2.35) S u b s e q U e n t e m e n t e , F e d d e r s e n [16] p r o p ô s a f o r m u l a da s e c a n t e , que m o s t r o u s e r m a i s p r e c i s a p a r a a g e o m e t r i a em q u e s ­ tão.

33

Fig. 2.10 - M o d o III - T r i n c a sob c o n d i ç o e s a n t i - p l á n o de d e f o r m a ç ã o .

A f o r m a d e f o r m a d a da t r i n c a ê d e f i n i d a p e l a d i s t r i b u i ­ ç ã o dos deslocamentos u ^C x ^ , X₂) n a d i r e ç ã o de x^- A s s u m e - s e isto p a r a c a r a c t e r i z a r u m e s t a d o de c i s a l h a m e n t o p u r o o n d e as s e g u i n ­ tes c o m p o n e n t e s de t e n s ã o n ã o são zero

’13 = G ’23 = G 3u. 3u-Tx' (2.46)

34 A s e q u a ç õ e s de e q u i l í b r i o r e d u z e m - s e a S u b s t i t u i n d o (2.46) em (2.47), o b t e m - s e — ^ ^ ^ ^ 3 = 0 3x^ 9X2 Q u a l q u e r p a r t e r e a l ou i m a g i n a r i a de u m a f u n ç ã o c o m ­ p l exa , a n a l í t i c a , s a t i s f a z ã e q u a ç ã o d i f e r e n c i a l a c i m a ( a p ê n d i ­ ce A l ) . A s s i m , a s e g u i n t e f u n ç ã o foi e s c o l h i d a p a r a c o m p a t i b i l i ­ zar c o m o p r o b l e m a d a d o S u b s t i t u i n d o e m (2.46), e n c o n t r a - s e °13 ^ III (2.48) °23 ~ <í>'jjj(2) P a r a s a t i s f a z e r as c o n d i ç õ e s de c o n t o r n o , c o m _{0 2 3}= t > no i n f i n i t o e ^23 = ₀ d e n t r o da trinca, e a f u n ç ã o c o m p l e x a e s c o l h i d a tem a f o r m a

3 7 Fig. 2.11 - S i s t e m a de c a r g a s e x t e r n a s a p l i c a d a s E m g e r a l a v a r i a ç ã o de e n e r g i a AE, de u m c o r p o e l á s t i ­ co ê d a d a p e l a v a r i a ç ã o de e n e r g i a c i n ê t i c a E^, m a i s a v a r i a ç ã o de e n e r g i a i n t e r n a U. A s s u m i n d o q u e o p r o c e s s o de d e f o r m a ç ã o s e ­ ja a d i a b â t i c o (Q = 0), e q ue o c a r r e g a m e n t o s e j a a p l i c a d o l e n t a ^ m e n t e , de f o r m a a m a n t e r o e q u i l í b r i o d u r a n t e todo o p r o c e s s o (E^ = 0), a e x p r e s s ã o d a c o n s e r v a ç ã o de en er gi a, r e d u z - s e a (2.53) A s s i m , o t r a b a l h o r e a l i z a d o p e l a s f o r ç a s e x t e r n a s é igual ã m u d a n ç a de e n e r g i a i n t e r n a do corpo. A s s u m i n d o q u e o m a t e r i a l s e j a p e r f e i t a m e n t e e l á s t i c o , s e n d o o t r a b a l h o m e c â n i c o r e c u p e r a d o se as c a r g a s f o r e m r e m o v i ­ das l e n t a m e n t e , a e n e r g i a i n t e r n a do c o r p o ê a r m a z e n a d a sob a f o r m a de e n e r g i a e l á s t i c a de d e f o r m a ç ã o . A s s i m p a r a u m e s t a d o t r i - d i m e n s i o n a l , a e n e r g i a de defoiinação segue diretamente da soma das

38 e n e r g i a s de c a d a c o m p o n e n t e de tensão, ou seja, e a d e n s i d a d e de e n e r g i a de d e f o r m a ç ã o , d e f i n i d a c om o dU/ d v, ê 2.8.2. T r a b a l h o R e a l i z a d o p ela s F orç a s E x t e r n a s C o n s i d e r a n d o o e q u i l í b r i o de u m c o r po sob a a ç ão de u m s i s t e m a de ca r ga s , , P2, P^^ , d e n o m i n a d a s de f o r ças g e n e ­ r a l i z a d a s , r e p r e s e n t a n d o c a r ga s c o n c e n t r a d a s , d i s t r i b u í d a s , for ças c i s a l h a n t e s , m o m e n t o s , e tc..., f i g u r a 2.11 e a s s u m i n d o que o c o r p o é s u p o r t a d o de m a n e i r a que não h a j a u m d e s l o c a m e n t o de cor po ríg i do, p o d e - s e e x p r e s s a r T^^ em t e r m o s das c a r gas e x t e r n a s a p l i c a d a s . E m g e r a l o d e s l o c a m e n t o de u m p o n t o do c o r p o ê produzi^ do p e l a a ç ã o c o m b i n a d a de todas as carg a s a p l i c a d a s . A s s i m , p a r a u m c o r p o e l á s t i c o l i n e a r o n d e os d e s l o c a m e n t o s s ã o p r o p o r c i o n a i s ãs f o r ç a s g e n e r a l i z a d a s , p o d e - s e e s c r e v e r n u. = E C . . P. i = 1, 2, .. .. n (2.55) 1 i=l J ou n a f o r m a m a t r i c i a l

39 {u} = [C] {P} (2.56) o n d e ë c o n h e c i d o c o m o c o e f i c i e n t e de f l e x i b i l i d a d e . D e s e j a n d o e x p r e s s a r as forç as g e n e r a l i z a d a s em termos dos d e s l o c a m e n t o s g e n e r a l i z a d o s , a s s u m e - s e qu e o s i s t e m a (2.55) p o s s a s e r i n v e r t i d o [30] , ou seja, a m a t r i z

[c]

ë p o s i t i v a d e f ^ n ida , e n t ã o n (2,57) ou n a f o r m a m a t r i c i a l {P} = fkl {u} (2.58) o n d e [k] = [C ^ e k^j ë c o n h e c i d o c o mo c o e f i c i e n t e de ri gi d e z. G e n e r i c a m e n t e , t e m - s e p a r a o t r a b a l h o e x t e r n o r e a l i z a do p o r u m a f o r ç a P ao d e s l o c a r u m p o n t o de u m a d e t e r m i n a d a q u a n ­ t i d a d e u, c o n s i d e r a n d o o c a s o e l á s t i c o linear. = 2 u P S u p o n d o a a ç ão de t o d a s as f o r ç a s g e n e r a l i z a d a s P^, o t r a b a l h o é e n t ã o d ad o p o r

40

.(2.59)

E m c o n j u n t o c o m o p r i n c í p i o .da c o n s e r v a ç ã o de energia,, o nd e as q u a n t i d a d e s U e sã o i g u a i s ,se o-^processo de d e f o r m a ção for a d i a b â t i c o e q u a s e e s t á t i c o , o b t ê m - s e u m a m a n e i r a de d e ­ t e r m i n a r a e n e r g i a de d e f o r m a ç ã o atr av és das carg as e d e s l o c a m e n tos o bt idos. 2.8.3. E n e r g i a n a A n á l i s e de T r i n c a s A f i g u r a 2.12 m o s t r a a s i t u a ç ã o on de u m a t r i n c a de c o m p r i m e n t o 2a s i t u a d a em u m a p l a c a i nf in it a, ê s o l i c i t a d a p o r t e n ­ sões de t r a ç ã o a. P o d e - s e c o n s i d e r a r a g o r a a m u d a n ç a de e n e r g i a q u e o c o r r e p a r a e s t e n d e r a t r i n c a de u m a q u a n t i d a d e i n f i n i t e s i ­ m a l o u s e j a de a p a r a a + ôa.

41 C o n s i d e r a n d o i n i c i a l m e n t e a c o n d i ç ã o de d e s l o c a m e n t o c o n s t a n t e , u = = constante,para u m m a t e r i a l e l á s t i c o , f a z e n d o - s e uso- do g r á f i c o da f i g u r a 2 . 1 3 , que a p r e s e n t a c u rv as de c a r g a - d e s - l o c a m e n t o p a r a tr in ca s de c o m p r i m e n t o a e a + ôa, do p o n t o de v i s t a m a c r o s c o p i c o [l7] ,- v e r i f i c a - s e - q u e u m a u m e n t o da t r i n c a de a p a r a a + ôa, o c a s i o n a u m a d i m i n u i ç ã o na e n e r g i a e l á s t i c a de d e f o r m a ç ã o , de 1/2 u^^ p a r a 1/2 P2 u^^, r e p r e s e n t a d a n a f i g u r a 2.13 p e l a á r e a do t r i â n g u l o O A C Fig. 2.13 - G r á f i c o c a r g a - d e s l o c a m e n t o p a r a c o m p r i m e n ­ tos de t ri n c a s a e a + ôa. N e s t a s c o n d i ç õ e s a p r o p a g a ç ã o da t r i n c a p r o v o c a u m a l i b e r a ç ã o de e n e r g i a e l á s t i c a de 1/2 (Pj^ - P₂) u ^ , ou s eja, un^ a u m e n t o no c o m p r i m e n t o da t r i n c a d i m i n u i a r i g i d e z da pl ac a . Sob a c o n d i ç ã o de c a r g a c o n s t a n t e (P ~ " c^e) , a e n e r g i a e l á s t i c a a r m a z e n a d a p a r a u m c o m p r i m e n t o de t r i n c a a + ôa

42

ê 1/2 U₂> â r e a do t r i â n g u l o O B U₂ da f i g u r a 2.13, e ê m a i o r do que. a a r m a z e n a d a p a r a o c o m p r i m e n t o a, â r e a do t r i â n g u l o OAu^^. Istó p o r q u e u m a u m e n t o n o c o m p r i m e n t o d a t r i n c a d i m i n u i a r i g i ­ dez da placa, p e r m i t i n d o q u e sob a c a r g a a p l i c a d a o c o r r a um d e s ­ l o c a m e n t o de u^ p a r a U₂ , r e a l i z a n d o t r aba l ho. A e n e r g i a p o t e n ­ cial, s o f r e e n t ã o u m d e c r é s c i m o , ârea do t r i â n g u l o OAB, de

P ( U 2 - “i) - ₂ P₁ C U₂ - “l) - J P l ( u 2 - «i)

D e n t r o da a n a l i s e linear, d e f i n i n d o P2 - P^ = 5P e ^2 ~ ^1 ~ P°^®“se m o s t r a r que a e n e r g i a l i b e r a d a q u a n d o ôa -»■ 0, ê i g ual p a r a as duas s i t u a ç õ e s , ou s e j a

e n e r g i a de d e f o r m a ç ã o l i b e r a d a (u = cte) = - i u 6 P (2.60) r e d u ç ã o da e n e r g i a p o t e n c i a l (P = cte) = - i P 5 u (2.61) e da r e la ç ã o , e q u a ç ã o 2.55, o n d e p a r a u m da do c o m p r i m e n t o de t rinca, t e m - s e u = CP (2.62) Se a m u d a n ç a de c o m p r i m e n t o da t r i n c a ôa 0, p o d e - s e t r a t a r C co m o s e n d o i g ua l p a r a os c o m p r i m e n t o s de t r i n c a a e a + 6a, a s s i m a e x p r e s s ã o (2.62) p o d e s e r e s c r i t a n a f o r m a 6 u = C 6 P (2.63)

43 e p e l a s u b s t i t u i ç ã o de (2.62) em (2.60) e (2.63) em (2.61), ob- t ë m - s e i u 6 P = i c P 6 P 2 2 C o n c l u i - s e q u e p a r a u m a p r o p a g a ç ã o i n f i n i t e s i m a l da trinca, a d i m i n u i ç ã o n a e n e r g i a de d e f o r m a ç ã o e l á s t i c a a r m a z e n a ­ da n u m c o r p o , c u j a c o n d i ç ã o é de d e s l o c a m e n t o c o ns ta nt e, ê i gual à d i m i n u i ç ã o de e n e r g i a p o t e n c i a l c u j a c o n d i ç ã o ë de c a r g a c o n s ­ tante. 2.8.4. M é t o d o s de E n e r g i a na A n á l i s e de T r i n c a s G r i f f i t h c o n s i d e r o u a f o r ç a d i r i g i d a p a r a a p r o p a g a ç ã o da t r i n c a c o m o a d i f e r e n ç a e n t r e a e n e r g i a l i b e r a d a q u a n d o a t r i n c a se p r o p a g a e a e n e r g i a n e c e s s á r i a p a r a a c r i a ç ã o de n ovas s u p e r f í c i e s da trinca. S eu m é t o d o de c a l c u l a r a e n e r g i a é u m tan to c o m p l i c a d o , p o r q u e ele c o n s i d e r a m u d a n ç a s de e n e r g i a em todo cor p o, s e n d o n e c e s s á r i a a i n t e g r a ç ã o do p r o d u t o t e n s ã o - d e f o r m a ­ ção e m t o da a pla ca . M é t o d o s m a is s i m p l e s e a p r o x i m a d o s f o r a m , e n t ã o , a p r e - s e n t a d o s p o r K n o t t 19] , b a s e a d o no p r i n c í p i o de G r i f f i t h de r e l a c i o n a r a p r o p a g a ç ã o da t r i n c a c o m a m u d a n ç a de en e r g i a .

44 2 . 8 .4.1. M e t o d o da F l e x i b i l i d a d e N a s e ç ã o a n t e r i o r d e m o n s t r o u - s e que a e n e r g i a e l á s t i c a de d e f o r m a ç ã o l i b e r a d a p a r a e s t e n d e r a t r i n c a . d e u m c o m p r i m e n t o 6a e r a de 1/2 P 6 u. A t a x a de l i b e r a ç ã o de en er g i a , r e p r e s e n t a ­ d a p o r G, ê d e f i n i d a c o m o a e n e r g i a p o r u n i d a d e de n o v a á r e a de t r i n c a c ria d a . P a r a u m c o r p o de e s p e s s u r a u n i t á r i a . 6U _ 1 p ôu (2.64) ^ ôa 2 6a P or é m, c o m o se p o d e v e r i f i c a r n a á r e a h a c h u r a d a da f i g u r a 2.13, h â d i f i c u l d a d e em m e d i r e s s a q u a n t i d a d e q u a n d o a a -► 0. A t r a v é s de u m r e a r r a n j o dos t e r m o s da e x p r e s s ã o (2.64) b u s c a - s e a o b t e n ç ã o de p a r â m e t r o s m a i s f a c i l m e n t e m e n s u r á v e i s . A s s i m , da e q u a ç ã o (2.63), p a r a u m a c a r g a c o n s t a n t e (ôu = P 6 C ) , e n c o n t r a - s e , s u b s t i t u i n d o em (2.64) e c a l c u l a n d o - s e o l i m i t e p a r a 6 a - > 0 , G = i p1 „2 ^ _{3 a} (2.65) 0 p r o b l e m a f i c a e n t ã o r e s o l v i d o d e t e r m i n a n d o - s e a f l e x i b i l i d a d e C, c o m o f u n ç ã o do c o m p r i m e n t o da t rinca, m e d i n d o - se a i n c l i n a ç ã o da r e s p e c t i v a c u r v a n u m c o m p r i m e n t o de t r i n c a a- p r o p r i a d o . T e m - s e e m d e c o r r ê n c i a , u m m é t o d o p r á t i c o p a r a d e t e r m ^ n a r a ta xa de l i b e r a ç ã o de e n e r g i a , a p r o p r i a d o a c o r p o s de p r o v a r e l a t i v a m e n t e p e q u e n o s , c o m os q u a i s é p o s s í v e l o b t e r b o a s m e d i ­

45 das em l a b o r a t ó r i o . 2.8 . 4 . 2 . M é t o d o s do F a t o r de I n t e n s i d a d e de T e n s õ e s B a s e a d o nas f o r m u l a ç õ e s de G r i f f i t h , u m m é t o d o r e l a c i o n a n d o a t a x a de l i b e r a ç ã o de e n e r g i a com o f a t o r de i n t e n s i d a d e de t e n s õ e s é a p r e s e n t a d o p o r K n o t t [ l 9 j . A o c o n t r a r i o do p r o c e d i m e n t o de G rif f i t h , a r e g i ã o a s e r e s t u d a d a s e r á t o m a d a p r ó x i m a ã e x t r e m i d a d e da tri nc a, p e q u e ­ na em c o m p a r a ç ã o co m u m t o d o , mas g r a n d e o s u f i c i e n t e em r e l a ç ã o ãs d i m e n s õ e s a t ô m i c a s p a r a a a p l i c a ç ã o da t e o r i a da e l a s t i c i d a d e ^ A variação de e n e r g i a de d e f o r m a ç ã o , 3U/3a, se o c o r p o e l á s t i c o é c a r r e g a d o e r e s t r i t o s e u m o v i m e n t o , é s o m e n t e dada p e l a c o n t r i ­ b u i ç ã o de G. N e s t a s c o n d i ç õ e s , o t r a b a l h o r e q u e r i d o p a r a f e c h a r u m p e q u e n o s e g m e n t o de t r i n c a ôa, f i g u r a 2.14, é i d ê n t i c o ã variação de e n e r g i a de d e f o r m a ç ã o do c o r p o e es t a p o d e se r a v a l i a d a c a l c u l a n d o - s e o t r a b a l h o r e a l i z a d o p elas forças de s u p e r f í c i e s a t u a n ­ do ao l ong o de ôa, q u a n d o o c o m p r i m e n t o da t r i n c a é d i m i n u í d o de a + ôa p a r a a. C o n s i d e r a n d o u m c o r p o de e s p e s s u r a u n i t á r i a , tem- se 6a G 6 a = 022 _^2 dr (2.66) A s i t u a ç ã o f í s i c a e s t á m o s t r a d a na f i g u r a 2.14, o n d e sã o a p r e s e n t a d a s a d i s t r i b u i ç ã o de t e n s õ es para uma trinca de compri­ mento a, e a distribuição de deslocamentos para uma trinca de

comprimen-to a + 6a.

46

Fig. 2.]4 - S i t u a ç a o f í s i c a p a r a o f e c h a m e n t o da t r i n ­ ca de a + ôa p a r a a.

A s o l u ç ã o de W e s t e r g a a r d p a r a a d i s t r i b u i ç ã o de ten - sões e d e s l o c a m e n t o s c o r r e s p o n d e n t e s , ou seja, ₀₂₂ (i", 0 = 9°) ® U₂ (r, 0 = 180°) ê d a d a ,r e s p e c t i v a m e n t e ,pelas e q u a ç õ e s (2.20), (2.21), o n d e - -'22 (2.67) p a r a u m c o m p r i m e n t o de t r i n c a a, e u, = — a / 2 a ( ô a - r)' ^ E (2.6 8) p a r a u m a v a r i a ç ã o no c o m p r i m e n t o da t r i n c a de a + fia p a r a a. S u b s t i t u i n d o as e q u a ç õ e s (2.67), (2.68) n a e q u a ç ã o (2.66) e i nt eg randO) obter.i-se

48

3. PROCESSOS NUMÉRICOS PARA A SOLUÇÃO DE PROBLEMAS

DA flECÂNICA DA FRATURA

3.1. I n t r o d u ç ã o

0 u s o de m é t o d o s n u m é r i c o s p a r a p o s s i b i l i t a r a determi^ n a ç ã o do f a t o r de i n t e n s i d a d e de t e n s õ e s e m c or t e s ou t ri n c a s , p o d e ser d i v i d i d o e m três c a t e g o r i a s 19]. A p r i m e i r a c a t e g o r i a faz uso de p o l i n ó m i o s , q u e são i m p o r t a n t e s p o r q u e f o r n e c e m u m a b o a t é c n i c a p á r a g e r a r f u n ç õ e s r a p i d a m e n t e e ^ s ã o f r e q u e n t e m e n t e e m p r e g a d o s como s o l u ç ã o do m é t o d o de v a r i á v e i s c o m p l e x a s , d e s e n ­ v o l v i d o po r M u s h k e l i s h v i l i 2l] . . A s e g u n d a c a t e g o r i a e n v o l v e e q u a ç õ e s de d i f e r e n ç a s f i ­ n i t a s , n e l a a f u n ç ã o é d e f i n i d a , não em f o r m a a n a l í t i c a , ma s p o r seus v a l o r e s , c o r r e s p o n d e n t e s a p o n t o s r e g u l a r m e n t e e s p a ç a d o s d e n t r o do d o m í n i o , o n d e e m p r e g a n d o a t é c n i c a de d i f e r e n ç a s f i n i ­ tas, se o b t é m a s o l u ç ã o a p r o x i m a d a 15 A t e r c e i r a é o m é t o d o de e l e m e n t o s f i n i t o s , u m dos m a i s u t i l i z a d o s na a n á l i s e n u m é r i c a . 0 p r i n c í p i o e n v o l v i d o n e s t e m é t o d o é que o corpo, c o n s i d e r a d o como c o n t í n u o , o b e d e c e c e r t o s tipos de r e l a ç õ e s t e n s ã o - d e f o r m a ç ã o e é c o n s t i t u í d o p o r u m c o n ­ j u nt o de s u b - r e g i õ e s c h a m a d a s e l e m e n t o s , u s u a l m e n t e n a f o r m a t r ^ a n g u l a r ou q u a d r a n g u l a r p a r a os p r o b l e m a s b i d i m e n s i o n a i s . A l é m do m a i s , as f u n ç õ e s d e f i n i d a s p a r a c a d a s u b - r e g i ã o são c o n t í n u a s e n t r e os e l e m e n t o s , tal c o m o se não h o u v e s s e s u b d i v i s õ e s . 0 us o do m é t o d o de e l e m e n t o s f i n i t o s p e r m i t e , d e s t a forma, d e t e r m i n a r te ns õ e s e d e f o r m a ç õ e s q u e o c o r r e m em q u a l q u e r p a r t e do c o r p o b e m c o m o o u t r a s v a r i á v e i s de i n t e r e s s e , 18 32.

49 A l é m d e s t e s m é t o d o s , o u t r o s a p r e s e n t a m - s e , tais como, r e p r e s e n t a ç ã o c o n f o r m e , m é t o d o de e x p a n s ã o e m s é r i e s de L a u r e n t , a p r o x i m a ç õ e s a s s i n t o t i c a s , m é t o d o a l t e r n a n t e , m é t o d o de t r a n s f o r m a ç õ e s i n t e g r a i s e o u t r o s [28J . 3.2. M é t o d o de E l e m e n t o s F i n i t o s 0 u s o da s o l u ç ã o a p r o x i m a d a p e l o m é t o d o de e l e m e n t o s f i n i t o s t r o u x e n e s s e s ú l t i m o s anos s o l u ç ã o a u m a l a r g a f a i x a de p r o b l e m a s p r á t i c o s de e n g e n h a r i a , c o m g e o m e t r i a , c o n d i ç õ e s de c o n t o r n o e c a r r e g a m e n t o c o m p l e x o s , b e m co m o p a r a m a t e r i a i s nã o l i n e a r e s . 0 m é t o d o t e m sido a p l i c a d o a c o r p o s p l a n o s , t r i ­ d i m e n s i o n a i s , p l ac a s , c a s c a s , m a t e r i a i s i s o t r o p i c o s , ou ani- s o t r o p i c o s e o u t r o s , q ue p o d e m ser a n a l i s a d o s c o m q u a s e i gual f a c i l i d a d e . 0 m é t o d o t e m s i d o t a m b é m u m a f e r r a m e n t a de g r a n ­ de i m p o r t â n c i a n a s o l u ç ã o de p r o b l e m a s d a M e c â n i c a da F r a t u r a , p r o p o r c i o n a n d o u m a b a s e p a r a a n á l i s e de c o n f i g u r a ç õ e s c o m p l e x a s de t r i n c a s e c a r r e g a m e n t o s , c o m p r e c i s ã o a c e i t á v e l [^3 2] . Duas m a n e i r a s se a p r e s e n t a m no u s o e na a p l i c a ç ã o do m é t o d o de e l e m e n tos f i n i t o s e m c o r p o s e l á s t i c o s c o m t r i n c a s . N a p r i m e i r a , o cor po t r i n c a d o é r e p r e s e n t a d o g e o m e t r i c a m e n t e p o r e l e m e n t o s f i n i ­ tos c o n v e n c i o n a i s . Tais e l e m e n t o s não p o d e m r e p r e s e n t a r a d e q u a ­ d a m e n t e a c o n d i ç ã o de s i n g u l a r i d a d e de t e n s õ e s , no e x t r e m o da t rin c a , e p o r isso n e c e s s i t a m de u m r e f i n a m e n t o de m a l h a m u i t o g r a n d e , nas p r o x i m i d a d e s d a e x t r e m i d a d e da t r i n c a [l8j . A s e g u n ­ da m a n e i r a e n v o l v e o u s o de e l e m e n t o s e s p e c i a i s p a r a u s o n a e x ­ t r e m i d a d e da tri n ca , o n d e a c o n d i ç ã o de s i n g u l a r i d a d e é i m p o s -ta is] , [26] . E l e s p o d e m s e r d i v i d i d o s e m duas c l a s s e s : na

50 de s i n g u l a r i d a d e p a r a o c a m p o de tensões igual a s i n g u l a r i d a d e t e õ r i c a no e x t r e m o da t r i n c a - e na s e g u n d a cl as se , u m n u m e r o de e l e m e n t o s e s p e c i a i s na e x t r e m i d a d e da t r i n c a tem s i d o desénvolvi_ do, a p a r t i r de e l e m e n t o s i s o p a r a m ê t r i c o s , p e r m i t i n d o a m o d e l a ­ çã o da s i n g u l a r i d a d e p a r a ' o campo'"d’é ' t è n s õ é s , ^ 3.3. M é t o d o s B a s e a d o s s o b r e E l e m e n t o s F i n i t o s C o n v e n - c i o n a i s D e v i d o a i n d i s p o n i b i l i d a d e de p r o g r a m a s , c o m e l e m e n t o s f in i t o s e s p e c i a i s p a r a a n a l i s e de t ri ncas, p a s s o u - s e a f a z e r us o de u m p r o g r a m a c o m e l e m e n t o s finitos c o n v e n c i o n a i s e dos r e s u l t a dos o b t i d o s deste, o f a t o r de i n t e n s i d a d e de te nsõ e s foi determi^ n a d o p o r u m a s e r i e de p r o c e s s o s p r o p o s t o s [22 . E s s e n c i a l m e n t e , os m é t o d o s que e m p r e g a m a t é c n i c a de e l e m é n t o s f i n i t o s p o d e m ser d i v i d i d o s nos m é t o d o s s o b r e tensões, d e s l o c a m e n t o s e e ne r g i a . U m a v e z que o m é t o d o da s t e n s õ e s tem sido a p r e s e n t a d o co mo o m e ­ no s p r e c i s o , d e v i d o ao e f e i t o da alta c o n c e n t r a ç ã o de t e n s õ e s , n a e x t r e m i d a d e da trinca, nã o s e r â aqui d es c r i t o . 3.3.1. M é t o d o de D e s l o c a m e n t o s E s t e m é t o d o [24j , foi p r i m e i r o u t i l i z a d o p o r C h a n na a n a l i s e do m o d o I e p o s t e r i o r m e n t e p o r K o b a y a s h i n a a n a l i s e do m o d o I e m o d o s I e II c o m b i n a d o s . 0 s e g u i n t e e s q u e m a foi u t i l i z a do p o r Chan, na d e t e r m i n a ç ã o do fa tor de i n t e n s i d a d e de ten sões:

51

P r i m e i r o , a t r a v é s de um p r o g r a m a de e l e m e n t o s f i n it o s f o r a m d e t e r m i n a d o s os d e s l o c a m e n t o s , u s a n d o u m a m a l h a e x t e r n a g r o s s e i r a e u m a m a l h a i n t e r n a m u i t o fina. A rede, at rav é s de u m

- 2 e s q u e m a de g e r a ç a o a u t o m a t i c a , foi e x p r e s s a p e l a r a z a o de A / a , q u e p a r a redes i n t e r n a s v a r i o u de 312 x 10 ^ a 1,20 x 1 0 ~ ^ , e pa-“2 “2 ra redes m a i s e x t e r n a s de 1 x 10 a 0,5 x 10 , s e n d o A a á r e a do e l e m e n t o t r i a n g u l a r e a ò c o m p r i m e n t o da trinca; S e g u n d o , u m v a l o r e s t i m a d o Kj foi obtid o , c om o u m a a p r o x i m a ç ã o p a r a , s u b s t i t u i n d o os d e s l o c a m e n t o s n o d a i s , proxi^ m o ã e x t r e m i d a d e da tr i nc a, na f o r m u l a

a qual p o d e s e r o b t i d a das e qu a ç õ e s (2.26) f a z e n d o - s e 0 = ir. Se na e q u a ç ã o (3.1) os v a l o r e s de U₂^^ c o m p u t a d o s f o s s e m e x a to s, i s ­ to c o r r e s p o n d e r i a a u m ú n i c o v a l o r de K* p a r a q u a l q u e r r . , d e tal ^ i m o d o que Kj e s t a r i a d e t e r m i n a d o . P o r é m como e st a c o n d i ç ã o n ã o é s a t i s f e i t a na e x t r e m i d a d e da trinca, u m a c u r v a de v e r s u s r é o b t i d a e o v a l o r e s t i m a d o de Kj é o b t i d o p o r e x t r a p o l a ç ã o . 3.3.2. F u n ç õ e s de D e s l o c a m e n t o E l í p t i c a s U m a das m a n e i r a s de d e t e r m i n a r o f a t o r g e o m é t r i c o Y, e, c o n s e q u e n t e m e n t e ,o f a t o r de i n t e n s i d a d e de t ensões K, p a r a d i f e ­ rente s g e o m e t r i a s , é c o n s i d e r a r o fato de que a f u n ç ã o de d e s l o ­ cam en to , n a d i r e ç ã o o n d e a t r i n c a t e n d e a a b r i r é e l í p t i c a . C o m b a s e n e s t a c o n s i d e r a ç ã o [8],Í9] as a n a l i s e s dos m o d o s I e II

55 . " 2 ( x , , 0 ) ( 1 - ^ ) A . _(3.10) onde b ’ = ^ ( 3 . 1 1 ) e p a r a r e g i õ e s p r ó x i m a s à e x t r e m i d a d e da t r i n c a “2 “

^

P a r a p o n t o s h o m o l o g o s , d e n t r o de u m c o n t o r n o a r b i t r a - rio, das e q u a ç õ e s (3.4) e (3.11) ou de (3.3) e (3.1Q), s u b s t i t u i n d o (3.4) e (3.11) u ’ Y = — (3.14) U9 M o d o II 0 m e s m o p r o c e d i m e n t o u s a d o p a r a a d e t e r m i n a ç ã o do £a - tor de i n t e n s i d a d e de t e ns õ e s p a r a o m o d o I, p o d e t a m b é m s e r fei^ to na a n a l i s e do m o d ò II, c o m p e q u e n a s m o d i f i c a ç õ e s . P a r a u m a t r i n c a, n u m a p l a c a i n f i n i t a e c a r r e g a m e n t o ,co m o m o s t r a a f i g u r a 2.9, t e m - s e

59

No m é t o d o p r o p o s t o [_{3 1}] é i n i c i a l m e n t e f e i t a u m a c a l i ­ b r a g e m na m a l h a i n t e r n a ao c o n t o r n o . P a r a tal, t e ns õ e s c o r r e s p o n d e n d o a u m v a l o r u n i t á r i o de , e q u a ç ã o (3.20), são a p l i c a d a s a m a l h a , c o n f o r m e a f i g u r a 3.3, g e r a d a no .interior do c o n t o r n o . Os d e s l o c a m e n t o s dos v á r i o s nos prox>imos à-ext-remidade da..trin.ca s ã o c o m p u t a d o s . E stes d e s l o c a m e n t o s n a m a l h a i n t e r i o r c o n s t i ­ tue m o c a m p o de d e s l o c a m e n t o u n i t á r i o (CDU), c o n s t a n t e p a r a u m a d a d a g e o m e t r i a de m a l h a e p r o p r i e d a d e do m a t e r i a l . C o m o as ten s õ e s f i c a m u n i v o c a m e n t e d e f i n i d a s p o r K, o c a m p o de d e s l o ­ c a m e n t o o b t i d o é, t e o r i c a m e n t e , v á l i d o p a r a q u a l q u e r g e o m e t r i a . F e i t a a c a l i b r a g e m , é p o s s í v e l u s a r a m a l h á i n t e r n a pa ra o b t e r o f a t o r de i n t e n s i d a d e de tensÕes. A m a l h a no i n t e r i o r do c o n t o r n o é e m b u t i d a n o m o d e l o de e l e m e n t o s f i n i t o s do e s p é c i m e e o c a r r e g a m e n t o r e a l é a g o r a a p l i c a d o . Os d e s l o c a m e n t o s na m a l h a no i n t e r i o r do c o n t o r n o , são n o v a m e n t e c o m p u t a d o s e c o n s t i t u e m , agora, o c amp o de d e s l o c a m e n ­ to real ( C D R ) . 0 f a t o r de i n t e n s i d a d e de tensões é d e t e r m i n a d o t o m a n ­ d o - s e o c a m p o de d e s l o c a m e n t o real d i v i d i d o p e l o c a m p o de d e s l o c a m e n t o u n i t á r i o .

60

Fig. 3.3 - M a l h a u t i l i z a d a p a r a a c a l i b r a g e m n o inte - r i o r do c on t o r n o .

N a f o r m a m a i s g e r a l das e q u a ç õ e s (3.20) .aparece u m tei­ m o c o n s t a n t e , c o n f o r m e m o d i f i c a ç õ e s a p r e s e n t a d a s n o c a p í t u l o 2. U m a v e z que o t e r m o c o n s t a n t e p a r a e s t e tipo de p r o b l e m a ê f u n ­ çã o da t e n s ã o a p l i c a d a , o c a m p o de d e s l o c a m e n t o c o r r e s p o n d e n t e a u m v a l o r u n i t á r i o da t e n s ã o n o m i n a l d e v e s er o b t id o, p a r a a m a l h a n o i n t e r i o r do c o n t o r n o . 0 c a m p o de d e s l o c a m e n t o re a l ( C D R ) , p e l a s u p e r p o s i ç ã o dos e fe i t o s , p a s s a a s e r d a d o p e l a e x ­ p r e s s ã o C D R = C D U K . K + C D U a . o o n d e p o r t a n t o K = C D R - C D U a . g C D U K (3.23)

61 c o m C D U K e C D U a r e p r e s e n t a n d o r e s p e c t i v a m e n t e , o c a m p o de d e s l o c a m e n t o u n i t á r i o p a r a K = 1 e o c a m p o de d e s l o c a m e n t o u n i t á - rio p a r a a = ₁ 3.3.4. M é t o d o de E n e r g i a To tal D a t e o r i a de G r i f f i t h e as m o d i f i c a ç õ e s s u b s e q u e n t e de I r w i n e O r w a n , s u r g i u , c o n f o r m e a p r e s e n t a d o n a s e ç ã o 2.8.4, a re l a ç ã o e n t r e o f a t o r de i n t e n s i d a d e de t en s õ e s c o m a v a r i a ç ã o de e n e r g i a de d e f o r m a ç ã o , s e n d o d a d a p e l a e q u a ç ã o (3.24) 3a E A t r a v é s d e s t a e q u a ç ã o pode-^se o b t e r o f a t o r de i n t e n s ^ d a d e de t e n s õ e s , d e t e r m i n a n d o - s e 9U/3a, p a r a a g e o m e t r i a em que_s tão [ll] » M é t o d o s n u m é r i c o s v e m f r e q u e n t e m e n t e b e n e f i c i a r ést a d e t e r m i n a ç ã o , e o m a i s u s a d o é o de e l e m e n t o s f i n i t o s . A s s i m , pa ra u m d ad o c o m p r i m e n t o de trin c a , u s a n d o u m p r o g r a m a de e l e m e n - tos f ini t o s , d e t e r m i n a - s e a e n e r g i a de d e f o r m a ç ã o . F a z e n d o u m a l i g e i r a v a r i a ç ã o n o c o m p r i m e n t o da t rinca, r o d a - s e n o v a m e n t e o program-a, c o n s e g u i n d o d e s t a f o r m a i n f o r m a ç õ e s n e c e s s á r i a s p a r a d e t e r m i n a r A U / A a e, c o n s e q ü e n t e m e n t e , o v a l o r de K j .

62 3.3.5. M é t o d o de E n e r g i a com E l e m e n t o s F i n i t o s C a l i b r a do. A e n e r g i a de d e f o r m a ç ã o , p o r u n i d a d e de e s p e s s u r a , s e ­ g u n d o G r i f f i t h , e q u a ç ã o (3.24), ê d a d a p e l a e x p r e s s ã o U = i | K ^ C 3 . 2 5 ) o n d e se t e m a p r o p o r c i o n a l i d a d e e n t r e a e n e r g i a de d e f o r m a ç ã o e o f a t o r de i n t e n s i d a d e de te ns õe s. A s s i m , t o m a n d o p o r b a s e a p r o p o s t a do m é t o d o de e l e m e n t o s f i n i t o s c a l i b r a d o [,3l] , u s o u - s e a e n e r g i a de d e f o r m a ç ã o , no l u g a r dos d e s l o c a m e n t o s . P el a s i n d i c a ­ ções d adas n a s e ç ã o 3 . 3 . 3 , o f a t o r de i n t e n s i d a d e de t e n s õ e s t o m a a f o r m a . “r e a l - > N I T . a ° ' ^ U N I T . K o n d e é a e n e r g i a de d e f o r m a ç ã o p a r a a p l a c a c o m o c a r r e g a ­ m e n t o r e a l , é a e n e r g i a de d e f o r m a ç ã o p a r a a = ₁ e \ ê a e n e r g i a de d e f o r m a ç ã o p a r a K = 1,

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3.3.6. M é t o d o de E n e r g i a Local

C o n h e c i d o o c a m p o de tensõ es na e x t r e m i d a d e da trinca, a e n e r g i a de d e f o r m a ç ã o s o b r e u m a r e g i ã o de raio r^, p e q u e n a ,c o m ­ p a r a d a c o m O ' c o m p r i m e n t o - d a t r i n c a ê " f a c i l m e n t e ob ti da . A s sim , ” p a r a u m e s t a d o p l a n o de t ensões, u s a n d o os r e s u l t a d o s obt i d o s por

Irwin, i n d i c a d o na r e f e r ê n c i a flf] ,t e m - s e U = r ^ - ... (3.27) (8 - 8v ) E P a r a se o b t e r Kj p o r este m é t o d o , t o m a - s e a e n e r g i a de d e f o r m a ç ã o , d e t e r m i n a d a no p r o g r a m a , p a r a os e l e m e n t o s d e n t r o do c o n t o r n o de r a i o r, p a r a os q u a i s as e x p r e s s õ e s de t e n s õ e s são v a l i d a s , ou Seja, r / a « l .

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ESTRUTURA DO TRABALHO

4.1. M o d e l o s A n a l i s a d o s P r e t e n d e n d o - s e c o m p r o v a r a a p l i c a ç ã o dos m é t o d o s m e n ­ c i o n a d o s no c a p í t u l o a n t e r i o r , com o u s o de u m p r o g r a m a de e l e ­ m e n t o s f i n i t o s , f o r a m a n a l i s a d o s m o d e l o s de g e o m e t r i a r e l a t i v a - m e n t e s i m p l e s , c o m p o s i ç õ e s de t r i n c a c e n t r a l , u m a t r i n c a l a t e ­

ral e d u p l a t r i n c a l at e ra l, tais c o m o m o s t r a a f i g u r a 4.1. Es tes s ã o m o d e l o s c o m u m e n t e e n c o n t r a d o s n a b i b l i o g r a f i a p e s q u i s a d a , pa ra a a n a l i s e de corp o s t r i n c a d o s .

D e v i d o ã s i m e t r i a e x i s t e n t e nos m o d e l o s u s a d o s , ape nas u m q u a r t o da p l a c a foi a n a l i s a d a p a r a os m o d e l o s c o m t r i n c a c e n ­ tral e d u p l a t r i n c a l a t e r a l ,e p a r a o m o d e l o co m u m a t r i n c a late r a l , t o m o u - s e a m e t a d e da plac a, f i g u r a 4.1. D e v i d o a isto, e ã v e r s a t i l i d a d e do p r o g r a m a u s a d o , as v a r i a ç õ e s f e i t as nos m o d e l o s t ô r n a r a m - s e b a s t a n t e s i m p l e s , e f e t u a n d o e n t r e u m a e o u t r a v a r i a ­ ção, m u d a n ç a s n a d e f i n i ç ã o do p l a n o de s i m e t r i a , f i g u r a 4.1, g e ­ r a ç ã o de n o v o s e l e m e n t o s e c o n d i ç õ e s de c o n t o r n o , q u e e r a m f o r n £ c id as a t r a v é s da a d i ç ã o o u s u b s t i t u i ç ã o de a p en a s a l g u n s b l o c o s de d a d o s .

T R I N C A C E N T R A L DUPLA TRINCA L A T E R A L UMA TRINCA L A T E R A L í •

Fig. 4.1 - P o s i ç ã o da' trinca, s i m e t r i a e p a r t e a n a l i s a da. 4.2. V a r i a ç õ e s nos M o d e l o s As v a r i a ç õ e s nos m o d e l o s f o r a m feitas co m a f i n a l i d a d e de se e f e t u a r u m e s t u d o do com.portamento dos m é t o d o s , d e v i d o a estas m u d a n ç a s . A s s i m , o s s e g u i n t e s m o d e l o s f o r a m us a d o s ; M o d e l o s A - M a n t e n d o c o n s t a n t e r^/a = 0,1 , a / L = 0,8 e v a r i a n d o a r e l a ç ã o H/L. Al A2 A3 H / L = 1 H / L = 2 H / L = 4

66 M o d e l o s B - M a n t e n d o c o n s t a n t e r ^ / a = 0,1 , H / L = 4 e v a r i a n d o a r e l a ç ã o a /L . BI a / L = 0,80 B2 a/L = 0 , 5 0 B3 a/L = 0,25 M o d e l o s C - M a n t e n d o c o n s t a n t e a / L = 0 ,25 , H / L = 4 e v a r i a n d o a r e l a ç ã o r^/a. Cl r J s L = 0,20 C2 r j a = 0,10 C3 T ^ / a = 0 , 0 5 A d i s t â n c i a ï’q é c a r a c t e r í s t i c a E c a l i b r a g e m da m a l h a , f i g u r a 3.3, H e L s ã o as d i m e n s õ e s da placa , c o n f o r m e m.ostra a f i g u r a 4.2. Nos m o d e l o s A ,p r e t e n d e u - s e v e r i f i c a r os m é t o d o s q u a n t o as v a r i a ç õ e s no c o m p r i m e n t o da p l a c a , m a n t e n d o - s e c o n s t a n t e a r e ­ l a ç ã o a/L = 0,8, v a l o r e s te d ad o n a b i b l i o g r a f i a c o m o o m a i s s e n s í v e l à v a r i a ç ã o de H/L. D e n t r o dos m e s m o s c r i t é r i o s , nos m o d e ­ los B, f o r a m v e r i f i c a d a s as a p l i c a ç õ e s dos m é t o d o s q u a n t o às v a ­ r i a ç õ e s de a/L e nos m o d e l o s C a v e r i g u o u - s e a i n f l u ê n c i a da r e ­ l a ç ã o r^/a. 4.3. P r o g r a m a de E l e m e n t o s F in i t o s U s a d o

P a r a a o b t e n ç ã o dos dados n e c e s s á r i o s ã a p l i c a ç ã o dos m é t o d o s d e s c r i t o s , u s o u - s e o P r o g r a m a A n a l i s a d o r de S i s t e m a s E s ­