SUMÁRIO
SUMÁRIO... 1
Capítulo - I... 4
1. 1 – Objetivos do Capítulo... 4
1. 2 - Introdução... 5
1. 3 - Comportamento Mecânico dos Materiais Sólidos até a Ruptura ... 7
1.3.2 – Determinação do Módulo Elástico e da Flexibilidade de um Material ... 9
1.3.3 - A Energia Elástica Armazenada em um Sólido... 10
1.3.4 - Comportamento Elástico ... 11
1.3.5 - Comportamento Plástico ... 11
1.3.6 - Tensão de fluência ou escoamento ... 12
1.3.7 - Tensão de ruptura... 13
1. 4 – Propriedades Mecânicas dos Materiais ... 14
1.4.1 - Tensão ... 14
1.4.2 - Deformação ... 15
1.4.3 - Módulo de Elasticidade de Young (E) ... 16
1.4.4 - Maleabilidade e Ductilidade... 17
1.4.5 - Diagramas Tensão-Deformação ... 18
1.4.6 - Limite de Resistência à Tração... 19
1.4.7 - Dureza ... 20 1.4.8 - Tenacidade... 21 1.4.9 - Fluência ... 22 1.4.10 - Resistência à Fluência ... 24 1.4.11 - Fadiga ... 25 Capítulo - II ... 34 2. 1 - Introdução... 34
2. 2 - Análise do Estado das Tensões... 35
2.2.1 – Tração e Vetores de Acoplamento das Tensões... 37
2.2.2 – Componentes das Tensões ... 38
2.2.3 – Tensão em um Ponto ... 40
2.2.4 – Tensões sobre um Plano Normal... 43
2.2.5 – Representação Dyádica das Tensões ... 44
2.3.1 – Princípios Físicos e Matemáticos... 46
2.3.2 – Momento Linear... 48
2.3.2 – Momento Angular ... 49
2. 4 - Tensões Principais ... 52
2. 5 – Análise do Movimento de uma Deformação Elástica dos Corpos
u
... 542.5.1 - Definição do vetor deslocamento
u
... 542.5.2 - Análise das Deformações ... 56
2.5.3 – A Definição Tensor das Deformações... 59
2.5.4 - A Definição do Tensor Gradiente de Deformação ... 60
2.5.5 – Equações de Compatibilidade... 61
Capítulo - III ... 62
3. 1 - Objetivos do Capítulo ... 62
3. 2 - Introdução... 63
3. 3 – Introdução a Elasticidade Linear... 64
3. 4 - Fundamentos da Teoria da Elasticidade Linear... 65
3.4.1 – Densidade de Energia de Deformação ... 65
3.4.2 – Materiais Elásticos Lineares ... 66
3. 5 - Teoria Elastodinâmica Linear... 69
3.4.2 – Equação Constitutiva o Fluxo de Deformações em um Material Sólido Elástico-Linear ... 69
3.4.3 – A Lei de Hooke Generalizada para Sólidos Elásticos Lineares... 71
3.4.4 – Equação Constitutiva o Fluxo de Deformações em um Material Sólido Elástico-Linear ... 74
3.4.5 - A Visão do Contínuo para a Lei de Hooke ... 75
3.4.6 – - Densidade de Energia de Deformação na Elasticidade... 78
3.4.7 - Equações de compatibilidade ... 79
3.4.8 – Equação Constitutiva dos Materiais Elásticos Lineares ... 79
3.4.9 -– Complementaridade da Densidade da Energia de Deformação ... 80
3.4.10 – Equação do Potencial Vetorial Generalizado para a Deformação Elástica ... 82
3.4.11 - Equação Constitutiva para o Fluxo do Potencial Vetorial das Taxas de Deformações nos Fluidos ... 83
3.4.12 – Equação do Potencial Vetorial Generalizado para a Massa Fluida... 84
3.4.14 – Problemas de Valor de Contorno ... 88
3. 6 – ... 89
3.7 – O Campo de Tensão Elástico Linear... 90
3.6.1 – Equações Básicas da Elasticidade para o Corpo Homogêneo e Isotrópico ... 90
3.6.2 – Equilíbrio de um corpo elástico sob uma força de corpo ... 97
3.8 – Problemas Planos da Teoria da Elasticidade ... 99
3.7.1 – Problemas Bidimensionais na Elasticidade ... 99
3.7.2 - Equações de Equilíbrio e Compatibilidade para os Problemas Planos ... 100
3.7.3 – Estado Plano de Tensão ou Deformação ... 101
3.7.4 – Função de Tensão de Airy para Problemas Bi-Dimensionais ... 103
3.7.5 - Problema de Deformação Plana:... 108
3.7.6 - Problema de Tensão Plana... 116
3.7.7 - Funções de Airy em Coordenadas Cartesianas... 117
3.7.8 - Equação Bi-harmônica ... 120
3.7.9 - Condições de Contorno ... 121
3.7.10 - Funções de Airy Coordenadas Polares... 121
3.7.11 - O Laplaciano e a Equação Bi-Harmônica em termos das Variáveis Complexas124 3.7.12 - Equação de Laplace em termos de Variáveis Complexas ... 127
3.7.13 - Representação de Funções Bi-Harmônicas de Airy-Westergard por Funções Analíticas de uma Variável Complexa... 129
3.7.14 - As Funções de Airy-Westergard em termos de uma Variável Complexa... 131
3.7.15 - Funções de Airy-Westergard para a Equação Bi-harmônica da MEL... 133
3.7.16 – Forma Complexa da Função Harmônica de Tensão ... 134
3.7.17 – Funções de Tensão em termos de Funções Harmônicas Complexas ... 137
3.7.18 – Deslocamento Correspondente a uma dada Função de Tensão ... 139
3.7.19 - Equações de Kosolov ... 143
Capítulo - I
PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERIAIS
RESUMO
1. 2 – Introdução as propriedades dos materiais
Vamos agora estudar as propriedades dos materiais sob o ponto de vista básico do princípio de Causa e Efeito ou Estímulo e Resposta dado pelos sistemas físicos em estudo. Pode-se dizer que a física que estuda as propriedades fenomenológicas dos materiais está baseada neste princípio junto com as relações da álgebra e geometria dos corpos em estudo.
CAUSA OU ESTÍMULO EFEITO OU RESPOSTA +
ALGEBRA E GEOMETRIA
__________________________________________________
FÍSICA FENOMENOLÓGICA OU ESTUDO DAS PROPRIEDADES DOS MATERIAIS
As propriedades dos materiais são classificadas basicamente em propriedades mecânicas, térmicas, elétricas, magnéticas e ópticas, podendo haver propriedades que envolvam duas ou mais áreas tais como: propriedades termoelétricas, eletro-ópticas, etc. tais propriedades geralmente estão relacionadas a efeitos conjugados. Vejamos a tabela abaixo:
Tabela - I. 1.
CAUSA X EFEITO = PROPRIEDADES
Força Mecânica Deformação ou trinca Mecânica Mecânica Força Elétrica Corrente ou transporte de cargas
elétricas
Elétrica
Força Magnética Orientação de cargas magnéticas Magnética Pulso de Luz Absorção, luminescência,
transparência
Óptica
Calor ou Pulso Térmico
Transporte de calor ou variação de temperatura
Térmica
O estudo experimental das propriedades mecânicas dos materiais sólidos é feito utilizando-se basicamente o chamado princípio de “causa” e “efeito“ ou “estímulo” e “resposta”. Este princípio se baseia no fato de que as propriedades dos materiais podem ser inferidas da função de transferência que associa a causa ao seu efeito.
A causa utilizada no estudo das propriedades mecânicas é a aplicação de uma força externa F sobre o corpo de prova, conforme mostra a figura abaixo:
Figura - 1. 1. Força F aplicada sobre um corpo de prova de massa, M, e volume, V.
A condição de equilíbrio do ensaio é dada pela resistência mecânica do corpo á força aplicada, isto é diz-se que há equilíbrio de forças quando:
int ext
F R
(1. 1)
A partir do momento em que o corpo começa a se deformar isso é porque a força externa Fext começa a ultrapassar o limite de resistência do material e este se dirige para a ruptura do mesmo. Antes da ruptura, porém nos temos dois tipos principais de comportamento com respeito a deformação do material : o comportamento elástico, e o comportamento plástico.
1. 3 - Comportamento Mecânico dos Materiais Sólidos até a
Ruptura
O comportamento mecânico para os materiais sólidos, no que diz respeito a deformação, é dividido em frágeis e ducteis (Figura - 1. 2). Os frágeis, são aqueles que se rompem logo após o fim do seu limite elástico, não apresentando quase nenhuma deformação plástica (processo reversível).
Figura - 1. 2. Comportamento típico da tensão x deformação dos materiais frágéis e dúcteis.
A lei de Hooke diz que, de acordo com a Figura - 1. 2 e a Figura - 1. 3, um material, dentro do seu limite elástico linear, atuado por uma força, F, ou tensão, , apresentará uma deformação dada por:
E
,
(1. 2)
onde = F/A é a tensão aplicada e A é a área da secção transversal do corpo sob ação da força F. E é o módulo elástico do material. O alongamento percentual ou deformação é dada por:
Figura - 1. 3. Distensão máxima das ligações químicas de um material antes de se romper, mostrando o tamanho crítico mínimo, lo, a partir do qual a ruptura acontece, segundo o modelo de Griffith para
um monocristal. Figura adaptada a partir da original contida em MARDER [1996].
A partir da relação (1. 2), percebe-se que um material frágil ideal apresenta módulo elástico constante até a ruptura, enquanto que o dúctil não. Isto significa que, a separação entre os planos cristalinos do material frágil ideal se dá continuamente, sem que ocorra quase nenhum acúmulo de defeitos na forma de discordâncias (Figura - 1. 3).
Os dúcteis, por outro lado, são aqueles que após o limite elástico apresentam deformações plásticas por meio de discordâncias na rede cristalina, acumulando defeitos e se rompendo após o encruamento (processo irreversível, Figura - 1. 2). De acordo com a teoria do encruamento (hardening) a relação entre a tensão, , e a deformação, , é dada por:
m ref ref
,
(1. 3)
onde:ref é a tensão inical e ref é a deformação inicial e m, é um expoente fracionário.
Observe que a relação (1. 3), mostra o termo em potência, que pode ser relacionada a uma auto-similaridade com a escala da deformação, ref, que afeta o aspecto
microestrutural da superfície de fratura. Será mostrado, no modelamento fractal da superfície de fratura no Capítulo – IV, que este fato está relacionado com a rugosidade desta superfície, devido a auto-similaridade fractal onde o expoente de encruamento, m, estará relacionado com a dimensão fractal, D, da mesma. Porque o material encrua antes de abrir uma trinca rugosa.
A partir da relação (1. 3), percebe-se que no caso do material dúctil, tanto a tensão de fratura, f, como o módulo elástico, E, passa a depender da presença, ou não, deste
acúmulo de defeitos microscópicos.
1.3.2 – Determinação do Módulo Elástico e da Flexibilidade de um Material
Existem diferentes métodos experimentais para se determinar o módulo elástico ou a flexibilidade de um material. A Figura - 1. 4 apresenta uma montagem experimental que pode ser usada para determinar o módulo elástico por meio da equação (1. 4) [DOS SANTOS 1999] abaixo.
u
X
e
w
S
E
3 34
,
(1. 4)
ondeS é a separação dos cilindros de apoio, w é a largura do corpo de prova, e é a sua espessura, X é a carga aplicada e u é a sua deflexão do ponto de aplicação da força na direção vertical.
Figura - 1. 4. Montagem experimental do ensaio de flexão a três pontos com entalhe plano.
Até o limite de ruptura, o valor do módulo elástico do material pode ser calculado pela equação (1. 4), conforme mostra na Figura - 1. 2. Caso ocorra um crescimento de trinca acima deste limite máximo de carga tolerável pelo material, o valor da equação (1. 4) passa a representar a flexibilidade do material ao invés do seu módulo elástico.
Para materiais frágeis, ou até mesmo dúcteis, a relação (1. 2) é muito útil, porque ela constitui a base da mecânica da fratura elástica linear, conforme será visto a seguir.
1.3.3 - A Energia Elástica Armazenada em um Sólido
Considere um corpo tracionado continuamente até o limite da sua ruptura, conforme mostra a Figura - 1. 3. A energia de deformação total armazenada em um material até este limite é dado pela área debaixo da curva mostrada na Figura - 1. 2, isto é, pela integral da curva, x E, ou seja:
od
u
(
)
(
)
.
(1. 5)
Embora existam diferentes comportamentos mecânicos, conforme mostra a Figura - 1. 2, é interessante, a princípio, entender o mais simples deles, que corresponde a um material frágil que segue a “lei elástica de Hooke”. Para este material frágil, pode-se supor que o corpo responde a solicitação externa de acordo com a equação (1. 2). Portanto, substituindo a expressão (1. 2) em (1. 5) tem-se que a energia de deformação elástica total armazenada em um material frágil, até o limite de sua ruptura, calculada pela lei de Hooke, é dado por:
0 22
)
(
E
d
E
u
o
,
(1. 6)
reescrevendo (1. 6) em termos de (1. 2) tem-se:
E
u
2
)
(
2
.
(1. 7)
Considerando o corpo totalmente distendido até o limite máximo de sua resistência mecânica, tem-se que a tensão máxima de alongamento corresponde a tensão de fratura do material, f. Logo, para o caso da fratura elástica linear (material frágil ideal), de
acordo com a lei de Hooke dado em (1. 2), tem-se:
max f
E
,
(1. 8)
onde, f, é o módulo de ruptura ou a tensão de fratura do material, E é o seu módulo elástico, máx é o alongamento máxima do corpo em relação ao seu comprimento inicial. De acordo
com a Figura - 1. 2, para os materiais frágeis, a integral é obtida susbtituindo-se (1. 8) em (1. 7) obtendo-se a energia de deformação elástica total por unidade de volume que pode ser armazenada no corpo antes que ele se rompa, fornecendo
E
u
f f2
2
.
(1. 9)
Para um corpo de volume, Vc, tem-se que:
dV
dU
u
,
(1. 10)
Logo, substituindo-se (1. 9) em (1. 10) tem-se:
c f f
V
E
U
2
2
.
(1. 11)
Esta é a quantidade máxima de energia por unidade de volume que um corpo pode armazenar, desde que se considere que este é formado por um material idealmente frágil, como uma cerâmica, por exemplo.
1.3.4 - Comportamento Elástico
É aquele em que a deformação é reversível, ou seja, as ligações químicas dos átomos do material não sofreram recombinação, e a força externa aplicada não ultrapassou o limite energético do poço de potencial destas ligações (cessando a causa cessa o efeito). Ex. mola.
1.3.5 - Comportamento Plástico
É aquele em que a deformação é irreversível, ou seja, as ligações químicas dos átomos do material se moveram sofrendo algum tipo de recombinação com outros átomos da vizinhança, isto é, os planos cristalinos se deslocaram uns em relação aos outros e a força externa aplicada removeu os átomos para fora do poço de potencial, ou seja, para fóra da posição de equilíbrio (cessando a causa o efeito permanece). Ex. manteiga, pixe, metais.
Figura - 1. 5. Diagrama de tensão x deformação para deformação elástica
1. 4 – Propriedades Mecânicas dos Materiais
Os materiais estruturais usados na prática da engenharia, em sua maioria, devem ter resistência. A resistência é uma medida das forças externas aplicadas ao material, as quais são necessárias para vencer as forças internas de atração entre as partículas elementares do mesmo. Resumidamente, a resistência se deve à soma das forças de atração entre os elétrons carregados negativamente e os prótons carregados positivamente, no interior do material.
Os materiais, de acordo com suas aplicações, devem ser capazes de resistir à ação de forças consideráveis, sofrendo apenas distorções bastante pequenas. Contudo, propriedades muito diversas podem ser desejadas. Assim é que o material deve ser capaz de sofrer deformação permanente, a expensas de quantidades de energia tão pequenas quanto possível. Ou seja, o material deve ser maleável e dúctil. No caso dos processos de conformação, os metais perdem sua maleabilidade, tornando-se duros e resistentes. Diz-se que, neste caso, o material fica encruado. Assim sendo, o engenheiro projeta seu processo de conformação para utilizar a maleabilidade ou ductilidade do material e ao mesmo tempo faz com que o metal, após o processo, possua resistência suficiente para a aplicação a que se destina. Outras propriedades mecânicas são a elasticidade, dureza e tenacidade, bem como a fluência e a fadiga, dentre outras. Em cada caso concreto, estas propriedades estão associadas ao comportamento do material diante da aplicação de um sistema de forças externas. Geralmente, o engenheiro está interessado na "densidade de força" necessária para provocar uma determinada quantidade definida de deformação, temporária ou permanente.
Vamos agora definir os conceitos mais importantes relacionados as propriedades mecânicas dos materiais.
1.4.1 - Tensão
A tensão é uma medida da "densidade de força" e é definida como forca por unidade de área. A tensão é expressa em Newtons por metro quadrado (N/m². Porém, em termos de ciência dos materiais, talvez seja mais conveniente expressá-la em Newtons por milímetro quadrado (N/mm²). Além disso, esta unidade fornece um valor de tensão que é mais fácil de visualizar, considerando, por exemplo, que a forca necessária para romper uma barra de aço de um metro quadrado de seção transversal, é muito elevada para poder ser visualizada
em termos de valores finitos. Então, a tensão é calculada dividindo a forca pela área na qual ela está agindo.
1.4.2 - Deformação
A deformação se refere à alteração (de forma) proporcional produzida em um material sob influência de tensão. Ela é uma relação numérica, medida como o número de milímetros de alteração para cada milímetro do comprimento original.
A deformação pode ser elástica ou plástica. A deformação elástica é reversível e desaparece quando a tensão é removida. Quando a deformação é de natureza elástica, os átomos são deslocados de suas posições iniciais pela aplicação de tensão. Porém, quando esta tensão é removida, os átomos retornam às posições iniciais que tinham em relação aos seus vizinhos. A deformação elástica é aproximadamente proporcional à tensão aplicada (Fig. 1) e, para fins práticos, podemos dizer que o material obedece à lei de Hooke ( = E. ). Esta lei estabelece que, para um corpo elástico, a deformação é diretamente proporcional à tensão aplicada.
Figura - 1. 6. Diagrama de tensão x deformação para deformação elástica
A deformação plástica se dá quando o material é tensionado acima do seu limite de elasticidade. Com a deformação plástica, os átomos se movimentam dentro da estrutura do material, adquirindo novas posições permanentes com respeito a seus vizinhos. Quando a tensão é removida, apenas a deformação elástica desaparece e toda a deformação plástica permanece (Fig. 2)
1.4.3 - Módulo de Elasticidade de Young (E)
O módulo de elasticidade de Young é a relação entre a tensão aplicada e a deformação elástica que ela produz. Em outras palavras, é a tensão necessária para produzir uma quantidade unitária de deformação elástica. O módulo de Young está vinculado à rigidez do material e o seu valor é bastante importante para o engenheiro de construções. O módulo de elasticidade é expresso em termos de tensão de tração ou de tensão de compressão e suas unidades são as mesmas para esses dois tipos de tensão. Assim sendo:
E = tensão / deformação = N/mm² / mm/mm = N/mm²,
(1. 12)
Em virtude do elevado valor numérico de E, ele normalmente é expresso em GN/m ou MN/mm.
A sofisticada tecnologia das últimas décadas do século XX, freqüentemente envolve considerações sobre a massa de material necessária para fornecer determinada resistência e rigidez a uma estrutura. Isto é particularmente importante na indústria aeroespacial e em outras indústrias de transporte, ou, de fato, em qualquer situação em que se gaste energia devido à força da gravidade. Desta maneira, o módulo de elasticidade é geralmente expresso como módulo de elasticidade específico, no qual E está relacionado à densidade relativa do material:
1.4.4 - Maleabilidade e Ductilidade
A maleabilidade refere-se à capacidade do material se deformar sem fraturar, quando submetido à compressão, enquanto que a ductilidade se refere à capacidade do material se deformar sem fraturar, quando submetido a esforços de tração. Todos os materiais dúcteis são maleáveis, mas nem todos os materiais maleáveis são necessariamente dúcteis. Isto porque um material macio pode ter pouca resistência e romper facilmente quando submetido à tração.
Figura - 1. 8. Componentes do teste de tração. A figura mostra um corpo de prova rosqueado. Porém, em muitos equipamentos, o corpo de prova é plano, e é seguro por grampos de fricção.
A ductilidade é geralmente expressa em práticos, pela porcentagem de alongamento do comprimento padrão de um corpo de prova padronizado, que é submetido à tração até a ruptura. A figura 4 mostra que, para tornar os resultados comparáveis, é necessário haver uma relação padronizada entre o comprimento padrão do corpo de prova e a área da seção transversal do mesmo. Já que a maior parte da deformação plástica se dá no "pescoço" (entre Z e Y), é claro que a percentagem de alongamento quando se considera ZY como comprimento padrão, não será a mesma quando se considera XY como comprimento padrão. Conseqüentemente, os corpos de prova para tração devem ser geometricamente similares, sendo conhecidos como corpos de prova proporcionais.
1.4.5 - Diagramas Tensão-Deformação
Quando os valores da tensão e da deformação correspondente, obtidos num teste de tração, são colocados num gráfico, verifica-se que cada tipo de material é representado por uma curva característica. Os materiais de ductilidade desprezível, como os aços de alta dureza, ferro fundido e concreto, apresentam uma deformação até a fratura, de valor nulo ou muito pequeno (Fig. 5 (i)). Ou seja, eles não apresentam limite de escoamento, só ocorrendo a deformação elástica. Por outro lado, um material dúctil apresenta um limite de elasticidade (ou limite de proporcionalidade) além do qual já ocorre deformação plástica. O limite de escoamento é a tensão máxima que um material pode suportar, antes que se inicie o escoamento plástico. Nos materiais ferrosos macios (ferro maleável e aços de baixo carbono) e em alguns materiais plásticos, o início do escoamento plástico é caracterizado por um limite de escoamento bastante definido (Fig. 5 (iii)). Nessas condições, é fácil calcular a tensão de escoamento. Nos outros materiais, incluindo praticamente todos os metais e ligas dúcteis, bem como a maioria dos materiais plásticos, o limite de elasticidade não é bem definido (Fig. 5 (iv)). Sob muitos aspectos, nos projetos de engenharia, o limite de escoamento de um material é de maior importância que o limite de resistência (tensão máxima suportada pelo material, durante o escoamento plástico). Por isto, derivou-se um valor de tensão para substituir o limite de escoamento, naqueles materiais que não apresentam este limite bem definido.
Esta tensão é conhecida como tensão de prova e é definida como a tensão necessária para produzir uma deformação plástica (ou seja, uma deformação permanente) de 0,1% ou 0,5% para alguns materiais, no comprimento padrão de corpo de prova. Esta tensão é obtida da maneira indicada nas Figs. 5 (ii) e (iv).
Os materiais que passam por alguns tratamentos como o encruamento ou, no caso de algumas ligas, por um tratamento térmico apropriado, elas são geralmente mais resistentes e menos dúcteis do que os mesmos materiais que estão nas condições normais de dureza. Isto é indicado na curva tensão/deformação da Fig. 5 (ii).
Figura - 1. 10. Diagramas tensão/deformação representativos de vários tipos de material. (i) Material não dúctil (frágil). (ii) Material semidúctil. (iii) e (iv) Materiais dúcteis.
T = limite de resistência à tração; B = Tensão de ruptura;
Y = Limite de escoamento; P = Tensão de prova
1.4.6 - Limite de Resistência à Tração
O limite de resistência à tração do material é calculado através da relação entre a força máxima aplicada durante o teste e a área inicial da seção transversal do corpo de prova. As unidades envolvidas são as de tensão. Geralmente as mais convenientes são MN/m² ou N/mm² que, evidentemente, são iguais numericamente. É importante notar que ao longo de todo o ensaio de tração, a tensão é calculada com base na área inicial da seção transversal. Isto é, não se leva em consideração a diminuição de área da seção transversal junto ao "pescoço", nos estágios finais da deformação plástica. Por esta razão, os chamados diagramas "tensão/deformação" na realidade são diagramas força/alongamento modificados. O diagrama tensão/deformação verdadeiro, para ser reconstruído, necessita que se leve em consideração a diminuição da seção transversal, medindo-se o diâmetro mínimo no pescoço para cada medida da força aplicada (Fig. 6). Geralmente é impraticável a medida da tensão verdadeira por este método. Na prática, usa-se mais freqüentemente o valor da tensão de engenharia.
Figura - 1. 11. Tensão de engenharia = Força / Área inicial da tensão transversal.
É conveniente lembrar que a ordenada usualmente denominada, na maioria dos diagramas publicados, como "tensão", quase sempre se refere a esta "tensão de engenharia" em lugar da tensão verdadeira. A redução da seção transversal nos materiais dúteis, durante o escoamento plástico, leva à aparente anomalia de que a tensão de ruptura seja menor do que o limite de resistência à tração. Porém, a Fig. 6 mostra que, de fato, a tensão verdadeira de ruptura é maior que o limite de resistência à tração.
1.4.7 - Dureza
Em linhas gerais, a dureza é definida como a capacidade do material resistir à abrasão superficial. A dureza relativa dos minerais é constatada através da escala de Moh (Tabela 1). esta escala consiste de uma lista de materiais agrupados de tal maneira que qualquer mineral da lista pode riscar os que se localizam abaixo dele. Então o diamante, que é a substância mais dura que se conhece, encabeça a lista com o índice de dureza igual a 10. A dureza superficial de qualquer substância pode ser vinculada à Escala de Mohr, determinando-se quais as substâncias padrão desta escala que riscam a referida substância.
Tabela - I. 2. Escala de Mohr
Mineral Índice de dureza
Diamante 10 Corindo 9 Topázio 8 Quartzo 7 Feldspato 6 Apatita 5 Fluorita 4 Calcita 3 Gesso 2 Talco 1
Obviamente, a Escala de Moh é inadequada, quando se trata de uma determinação rigorosa de dureza de materiais semelhantes às ligas metálicas. Para essas substâncias, foram desenvolvidos vários tipos de teste de dureza. Os instrumentos semelhantes ao Esclerômetro de Turner (que media a riscabilidade) foram logo abandonados e substituídos por equipamentos que medem a resistência das camadas superficiais do material à penetração de uma bilha de alguma forma geométrica. Desta forma, a dureza não é mais definida em termos de resistência à abrasão. No ensaio de Brinell a bilha é uma esfera de aço enquanto que no ensaio da Pirâmide de Diamante a bilha usada é uma pirâmide de diamante. O teste de Rockwell emprega um cone de diamante ou uma esfera de aço. Em todos estes testes, o índice de dureza (H) é obtido do valor:
Força aplicada / Área superficial da massa produzida,
(1. 14)
As unidades são as mesmas da tensão. Porém, essas unidades nunca são empregadas quando se escreve o valor da dureza, pois em qualquer escala de dureza as condições de teste são padronizadas.Figura - 1. 12. Componentes da maioria das máquinas de dureza. A bilha pode ser uma esfera de aço como indicado na figura, ou então uma pirâmide de diamante ou um cone de diamante
Para a maioria das ligas metálicas, o limite de resistência à tração é aproximadamente proporcional à dureza, apesar de não existir nenhuma conexão fundamental entre essas duas propriedades, a não ser no que diz respeito à rigidez geral do material.
1.4.8 - Tenacidade
A tenacidade é medida em termos da energia necessária para fraturar um corpo de prova padrão. Sendo assim, a tenacidade não deve ser confundida com o limite de resistência à tração, o qual é medido em termos da tensão necessária para fraturar um corpo de prova padrão. A área sob a curva tensão/deformação está diretamente relacionada à energia necessária para fraturar o material, pois a energia é o produto da força média pela distância na qual ele atua..
Figura - 1. 13. Diagramas tensão/deformação para (i) uma liga tratada para aumentar a resistência, (ii) a mesma liga na condição dúctil ou de pouca dureza. A energia, indicada pela área sob a curva, necessária para fraturar o corpo de prova, é maior no caso do material menos resistente e mais dúctil.
De fato, alguns materiais que em seu estado normal de ductilidade e pouca dureza, são extremamente tenazes, perdem sua tenacidade quando são submetidos a determinados processos de endurecimento e encruamento. Estas relações estão indicadas pela área sob cada curva de tensão/deformação, pelo fato de que empregam carga de choque. Uma parte da energia cinética de um pêndulo oscilante, é gasta na fratura de um corpo de prova padrão, convenientemente entalhado. Em ambos os métodos de determinação da tenacidade ao impacto, que são os métodos Izod e Charpy, a unidade utilizada é o Joule. Esses ensaios dão uma indicação prática do comportamento do material sob condições de carga de choque. Em muitas circunstâncias, a tenacidade é mais importante como critério de avaliação do material, do que a resistência à tração.
Figura - 1. 14. Componentes das máquinas de ensaio de impacto. A energia necessária para fraturar a atmosfera é medida na escala, em joules.
1.4.9 - Fluência
A fluência pode ser definida como sendo uma deformação contínua, com a passagem do tempo, em materiais sujeitos a uma tensão constante. Esta deformação é plástica e ocorre mesmo que a tensão atuante esteja abaixo do limite de escoamento do material. A temperaturas abaixo de 0,4 T (onde T é a temperatura absoluta de fusão do material (escala Kelvin)) a taxa de fluência á altamente importante. Por esta razão a fluência é muito pequena mas a temperaturas maiores que esta, a fluência é altamente importante. Por esta razão a fluência é comumente vista como sendo um fenômeno de elevadas temperaturas, associado a plantas de vapor e tecnologia de turbinas de gás.
No entanto, para alguns dos metais e ligas mais macios e com baixo ponto de fusão, a fluência ocorrerá de forma significativa a temperaturas ambientes. Antigos telhados de chumbo fluindo ao longo dos séculos, devido ao seu próprio peso, adquiram uma diferença de espessura mensurável entre a cumeeira, mais fina, e os beirais, mais grossos.
Quando um material metálico é tensionado de forma adequada, origina-se de imediato uma deformação elástica (Fig. 10), que é seguida por uma deformação plástica que ocorre em três estágios:
(i) Fluência primária, ou transiente, OP, iniciando-se com uma velocidade rápida que diminui com o tempo, à medida que o encruamento prossegue.
(ii) Fluência secundária, ou de regime permanente, PS, na qual a velocidade de deformação é completamente uniforme e passa por seu menor valor.
(iii) Fluência terciária, SX, na qual a velocidade de deformação aumenta rapidamente, até que a fratura ocorra em X. Este estágio coincide com o empescoçamento da peça.
A fluência em materiais poliméricos abaixo da temperatura de transição vítrea segue, de forma grosseira, a mesma configuração dos metais. A relação que existe entre tensão, temperatura e a resultante taxa de fluência está mostrada na figura 11. A baixas tensões e/ou baixas temperaturas pode ocorrer alguma fluência primária, mas essa cai a um valor desprezível no estágio secundário e presume-se que é devido ao encruamento do material. Com o aumento das tensões e/ou temperaturas (curvas B e C) a taxa de fluência secundária também aumenta levando à fluência secundária também aumenta levando à fluência terciária e inevitavelmente à fratura.
Figura - 1. 15. Curva típica de fluência mostrando os três estágios de fluência durante um ensaio à alta temperatura e durante longo tempo.
Figura - 1. 16. Variação das velocidades de fluência com a tensão e com a temperatura. Na curva A o estágio final de fluência torna-se desprezível, provavelmente devido ao encruamento. Na curva C a velocidade de fluência secundária é mais elevada que na curva B, devido à utilização de uma tensão mais elevada e/ou elevada temperatura.
1.4.10 - Resistência à Fluência
A ampliação do conhecimento do mecanismo de fluência (que sugere dois tipos separados de deformação plástica, (i) devido ao movimento normal de discordância e que ocorre dentro de materiais cristalinos e (ii) aquele que é de característica viscosa e está associado com as regiões não cristalinas do contorno de grão) possibilitou aos cientistas de materiais o desenvolvimento de materiais resistentes à fluência com maior confiança do que era possível há poucas décadas atrás. Como a fluência depende do movimento de discordância, é obvio que qualquer evento que reduza o movimento destas discordâncias, e também limite a formação de novas, se oporá efetivamente a fluência. Geralmente, os metais com estruturas cristalinas compactas (CFC ou HC) são os mais apropriados e suas resistências à fluência podem ser levadas por um ou mais dos seguintes métodos:
(i) A adição de um elemento de liga que formará uma solução sólida com o metal base. Isto só será realmente efetivo se os átomos solutos tiverem baixa mobilidade. Se, por outro lado, eles se difundem livremente com a ativação térmica eles também permitirão que as discordâncias se movimentem, e, desse modo, a recuperação- e portanto, posteriormente a fluência - pode ocorrer.
(ii) A adição de um elemento de liga que crie o endurecimento por dispersão. Precipitados coerentes e pequenos precipitados não coerentes são geralmente produzidos por tratamento de precipitação, sendo essencial que à temperatura de serviço tais partículas permaneçam finamente dispersas e não coalesçam. Os precipitados finamente dispersos formam barreiras dispersivas ao movimento de discordâncias.
(iii) Tratamento de liga para garantir grãos grandes quando for possível, já que isto reduz a superfície total de contornos de grão por unidade de volume do material, e, desse modo, reduzindo a formação de vazios, o que auxilia bastante o movimento de discordâncias.
1.4.11 - Fadiga
Os engenheiros estão cientes já há longo tempo que cargas "vivas" e tensões alternadas de pequenas amplitudes podem causar a falha num elemento que, entretanto, pode suportar uma considerável carga "morta". Sob a ação de cargas não constantes o material pode tornar-se fatigado. Então, enquanto a fluência é um fenômeno associado com a extensão do componente sob uma força constante agindo durante um longo tempo e geralmente a altas temperatura, a fadiga refere-se à falha de um material sob ação de tensões flutuantes e repetidas.
A falha por fadiga ocorrerá, é evidente, se a tensão máxima está acima do limite de fadiga. Apesar desta, estar ainda bem abaixo da tensão normal de escorregamento estático para o material, sabe-se que a deformação plástica por deslizamento ocorre durante o contínuo ciclo de tensão. Tais bandas de deslizamento, como aparecem nas superfícies, são tanto de intrusão como de extrusão (Fig. 12).
Figura - 1. 17. O deslizamento localizado que dá origem a extrusões e intrusões que podem iniciar as trincas de fadiga.
Embora tal intrusão seja geralmente muito pequena, aproximadamente da ordem de 1 m, pode, é claro, agir como um concentrador de tensões e iniciar uma trinca por fadiga. Considera-se que uma fratura por fadiga se desenvolve três estágios - nucleação, crescimento da trinca e fratura inicial (Fig. 13).
Figura - 1. 18. Os estágios de falha de fadiga. Uma fratura por fadiga é geralmente fácil de identificar, já que a região de crescimento da trinca surge polida devido ao esfregamento das superfícies de fratura, uma contra a outra, a medida que a tensão se alterna. A fratura final é cristalina.
A superfície de fratura, resultante, tem uma aparência característica, sendo uma falha por fadiga, conseqüentemente fácil de ser identificada. Como a trinca se propaga lentamente a partir da fonte, as superfícies fraturadas atritam-se entre si devido à natureza pulsante da tensão e, desse modo, as superfícies tornam-se polidas. Freqüentemente marcas na forma de concha estão presentes, mostrando a direção de espalhamento da trinca de fadiga. Finalmente a peça não é mais capaz de suportar seu carregamento e a fratura final ocorre. Esta superfície recém-fraturada é tipicamente cristalina na aparência.
1. 5 – Estudo da Consistência de um Corpo Sólido - Análise de
Causa e Efeito
O estudo da consistência de um corpo (sólido, líquido, ou gasoso) é um estudo fenomenológico de causa e efeito, onde se aplica uma força deformante sobre a superfície deste corpo em estudo e observa-se o efeito da deformação. Este estudo está baseado no fato de que as forças exercidas sobre o contorno de um meio são transmitidas através do meio.
Figura - 1. 19. Estudo da consistência de um corpo nas direções normal e tangencial
1.5.1 – Comportamento Elástico e Plástico
Um corpo pode apresentar propriedades de consistência em duas direções fundamentais (normal e tangencial) e os comportamentos básicos deste corpo em relação a tensão de deformação são:
a) COMPORTAMENTO ELÁSTICO – (Reversível) é aquele em que cessando a causa (tensão) cessa também o efeito (deformação).
b) COMPORTAMENTO PLÁSTICO – (Irreversível) é aquele em que cessando a causa (tensão) o efeito permanece (deformação). A condição de não ruptura em todas as partes do corpo deformado é necessária, para o estudo da consistência.
Figura - 1. 20. Comportamentos básicos de um corpo sujeito à uma tensão de deformação numa direção genérica. a) elástico (reversível) b) plástico (irreversível).
1.5.2 - Estudo da deformação de um corpo sólido
Os materiais sólidos tendem a se deformarem (ou eventualmente) se romperem quando submetidos a solicitações mecânicas. O diagrama de tensão-deformação é o mecanismo gráfico de análise do comportamento dos sólidos frentes as tensões e suas respectivas deformações. Este diagrama tensão-deformação varia muito de material para material, e, para um mesmo material podem ocorrer resultados diferentes em vários ensaios dependendo da temperatura do corpo de prova ou da taxa de crescimento da carga.
Os tipos de esforços mais comuns a que são submetidos os materiais para uma análise através do diagrama de tensão-deformação são:
a) TRAÇÃO – As forças atuantes tendem a provocar um alongamento do corpo na direção de aplicação da força.
b) COMPRESSÃO – As forças atuantes tendem a produzir uma redução do corpo na direção de aplicação da força.
c) FLEXÃO – As forças atuantes provocam uma deformação do corpo no eixo perpendicular a direção da força
d) TORÇÃO – As forças que atuam no corpo se situam em um plano perpendicular ao eixo da secção transversal do corpo tendendo a fazer girar uma parte do corpo em relação a outra. e) FLAMBAGEM – É um esforço de compressão em uma barra de secção transversal pequena em relação ao comprimento, que tende a produzir uma curvatura da barra.
f) CISALHAMENTO – As forças atuantes tendem a produzir um efeito de corte, isto é, um deslocamento linear entre secções transversais.
Todos os tipos de esforços citados acima estão mostrados na Figura - 1. 21.
Figura - 1. 21. Diferentes tipos de esforços que podem ser realizados sobre um corpo sólido, a) esforço de tração, b) esforço de compressão, c) esforço de flexão, d) esforço de torção, e) esforço de flambagem, f) esforço de cisalhamento.
1.5.3 - Lei de Hooke na sua forma simplificada
A lei de Hooke estabelece o grau no qual uma estrutura se deforma ou se o esforço depende da magnitude da tensão imposta. Na parte inicial do diagrama da Figura - 1. 20, a tensão, , é diretamente proporcional à deformação específica, , e podemos escrever:
E
.
(1. 15)
sendo que = l/l. Esta relação é conhecida como Lei de Hooke sendo que o coeficiente E, é chamado de módulo de elasticidade do material. Para uma força aplicada independentemente nos os três eixos principais de um corpo temos de uma forma geral que:
ii E ii
,
(1. 16)
e para o caso de cisalhamento
ij G ij
,
(1. 17)
No diagrama x do aço puro e de três tipos de aço ( Figura - 1. 22), existem várias diferenças de tensões de escoamento, tensões últimas e valores finais de deformação específica (ductibilidade). Todos eles têm o mesmo módulo de elasticidade, ou seja, a sua capacidade de resistir a deformações é a mesma, dentro da região linear do diagrama.
Figura - 1. 22. Diagrama x para diferentes aços.
O processo de deformação no qual a tensão e a deformação são proporcionais é chamado de deformação elástica; um gráfico da tensão (ordenada) em função da deformação (abcissa) resulta em uma relação linear, conforme mostrado na Figura - 1. 23. A inclinação (coeficiente angular) deste segmento linear corresponde ao módulo de elasticidade E. esse módulo pode ser considerado como sendo uma rigidez, ou uma resistência do material à deformação elástica.
A deformação elástica não é permanente, o que significa que quando a carga aplicada é liberada, a peça retorna à sua forma original.
À medida que o material é deformado além do ponto P ( Figura - 1. 23), a tensão não é mais proporcional à deformação ( a Lei de Hooke deixa de ser válida), ocorrendo então uma deformação permanente e não recuperável, ou chamada de deformação plástica.
1.5.4 - Coeficiente de Poisson
Quando uma tensão de tração é imposta a um corpo de prova metálico, por exemplo, um alongamento elástico e sua deformação correspondente, Z, resultam na direção
da tensão aplicada ( no caso, direção, z) conforme mostra a Figura - 1. 24. Como resultado deste alongamento, existirão constrições nas direções laterais (x e y), perpendiculares à tensão aplicada; a partir dessas contrações, as deformações compressivas X
e Y podem ser determinadas. Se a tensão aplicada for uniaxial (apenas na direção z) e o
material for isotrópico, então X = Y. Um parâmetro conhecido por coeficiente de Poisson, ,
é definido como sendo a razão entre as deformações lateral e axial, ou seja,
y x z z v
.
(1. 18)
Figura - 1. 24. Alongamento axial (z) (deformação positiva) e contrações laterais (x e y) (deformações negativas) em resposta à composição de uma tensão de tração. As linhas sólidas representam as dimensões após a aplicação da tensão; as linhas tracejadas, antes da aplicação da tensão.
O sinal negativo está incluído nesta expressão para que seja sempre um número positivo, uma vez que X e Z terão sempre sinais opostos. Teoricamente, o coeficiente de
Poisson para materiais isotrópicos deve ser de ¼; adicionalmente, o valor máximo para ( ou aquele valor para o qual não existe qualquer alteração líquida no volume) é de 0,5. Para muitos metais e outras ligas, os valores para o coeficiente de Poisson variam na faixa entre 0,2 e 0,35.
Para materiais isotrópicos, os módulos de cisalhamento e de elasticidade estão relacionados entre si e com o coeficiente de Poisson de acordo com a expressão:
2 (1 )
E G v
.
(1. 19)
1.5.5 - Estados múltiplos de carregamento; generalização da lei de Hooke
Consideremos elementos estruturais sujeitos à ação de carregamentos que atuam nas direções dos três eixos coordenados, produzindo tensões normais X, Y e Z todos
diferentes de zero ( Figura - 1. 25).
Figura - 1. 25. Estado múltiplo de carregamentos.
Considerando um cubo elementar de um certo material adotando arestas de comprimento unitário sobre a ação do carregamento multiaxial esse cubo elementar se deforma tornando-se um paralelepípedo-retângulo cujos lados têm comprimentos 1 + X, 1 + Y, 1 + Z, onde são as deformações específicas dos três eixos coordenados ( Figura - 1.
Figura - 1. 26. Ação do carregamento multiaxial.
Questionário
1 - Onde se dá a diferença entre a deformação elástica e a plástica.
2 - Por que é necessário definir o módulo de elasticidade específico a = E/d.
3 - Exemplo de maleáveis não dúcteis.
4 - Por que alguns materiais não apresentam definidos os limites de elasticidade.
5 - Porque é necessário definir a tensão de estético (estruturas) perda da ).
- Exemplo giz x quadro negro.
6 - Por que se define a tenacidade (energia) x área. (lig. primária).
7 - Em automóveis por que se usa alta tenacidade. Qual você escolheria para do automóvel : tensão de fluência e de escoamento.
8 - Porque ciclos é mais eficiente que deformação, acúmulo de defeitos.
Capítulo - II
ELEMENTOS DE MECÂNICA DOS SÓLIDOS
RESUMO
2. 1 - Introdução
Uma abordagem a solução de problemas em mecânica dos sólidos é estabelecer relações primeiro entre cargas aplicadas e tensões internas e, subseqüentemente, considerar as deformações. Uma outra abordagem é examinar as deformações inicialmente, e então proceder às tensões e as cargas aplicadas. Desprezando-se da eventual solução o caminho selecionado, é necessário derivar as relações dos componentes individualmente. Neste capítulo, a primeira série de equações as quais descrevem o equilíbrio entre forças externas e tensões internas são derivadas.
2. 4 - Análise do Estado das Tensões
2.2.1 – Tração e Vetores de Acoplamento das Tensões
Um corpo deformável sujeito a um carregamento externo é mostrado na Figura - 2. 1. Podem existir cargas aplicadas sobre o exterior, propriamente chamada de forças superficiais, e cargas distribuídas dentro do interior do corpo, conhecidas como forças internas. Um exemplo da última é o efeito da gravidade, a qual produz o peso-específico do corpo.
Focando a atenção sobre um elemento com uma área An sobre ou dentro do corpo e orientada conforme especificada por um vetor normal ˆn , nós acumulamos a força resultante Fn e o momento Mn. Ambas são grandezas vetoriais e não são, em geral, paralelas a n. Logo buscamos a intensidade das resultantes sobre a área An
na seguinte forma.
Figura - 2. 1. Corpo deformável sob carregamento externo.
0 lim ; ( ) ( ) n n n V n n F dF f vetor a V dV 0 lim ; ( ) ( ) n n n n A n n F dF T tensor b A dA
,
(2. 1)
0 lim ; ( ) ( ) n n n n A n n M dM C tensor c A dA
,
Onde Tn é conhecido como vetor das tensões ou tração, e Cn é chamado de vetor do
acoplamento das tensões.
A teoria da elasticidade elementar procede da superposição de que Cn = 0,
enquanto a tração Tn representa a intensidade das tensões em um ponto para uma orientação particular de elemento de área especificada por ˆn. Uma descrição completa no ponto requer que o estado das tensões seja conhecido para todas as direções, tal que T ele mesmo é n necessário, mas não suficiente, para esta proposta.
2.2.2 – Componentes das Tensões
Nós agora estudamos um paralelepípedo retangular infinitesimal no ponto em questão e construímos uma série de coordenadas cartesianas x paralelas ao lado, conforme i mostrado na Figura – 2.2 correspondente a cada eixo coordenado existe um vetor unitário eˆi. Mostrado na figura são as trações Ti que atuam sobre cada face i, com o subscrito escolhido
correspondente a face normal êi. Novamente enfatiza-se que, em geral, Ti
não é paralelo a ˆei, o qual é perpendicular a face do paralelepípedo.
ij
, onde i é a direção do vetor normal o elemento de área e j é a direção da componente do vetor tensão.
Cada tração pode ser escrita em termos das componentes cartesianas na forma:
1 1ˆ 2 2ˆ 3 3ˆ i iˆ
f f e f e f e f e
,
(2. 2)
Na notação de somatória de Einstein (convenção de soma), ou
1 1 2 3 2 1 1 3 1 3 1 3 i i ê f f f f ê f ê ê (2. 3)
Mas j ij iê
T
(2. 4)
a qual expandindo explicitamente em três equações fornece:
j j
ê
ê
ê
ê
T
1
11 1
12 2
13 3
1(2. 5)
j jê
ê
ê
ê
T
2
21 1
22 2
23 3
2(2. 6)
j jê
ê
ê
ê
T
3
31 1
32 2
33 3
3(2. 7)
ou ainda
11 12 13 1 1 21 22 23 2 2 31 32 33 3 3 1 3 3 1 3 3 ij j ê T T ê T ê ê T (2. 8)
ou
T êj ijêj(2. 9)
Os coeficientes 11, 12, ...., 33, são conhecidos como componentes das tensões
ou simplesmente como tensões, enquanto que toda a matriz forma o tensor das tensões quando a regra de transformação apropriada é verificada. O subscrito e a convenção dos sinais para as componentes das tensões ij são como segue:
1) O primeiro subscrito i refere-se à normal eˆi, a qual denota a face sobre a qual
i
T atua.
2) O segundo subscrito jcorresponde à direção eˆj na qual a tensão atua.
3) As tão chamadas componentes normais ii são positivas se elas produzem tensões, e negativas se elas produzem compressões. As componentes de cisalhamento ij (i
j) são positivas se direcionadas na direção positiva xj enquanto atuam sobre a face com a
unidade normal , ou se direcionadas na direção negativa xeˆj j enquanto atuam sobre a face
com unidade normal eˆj.
Enquanto é algumas vezes vital distinguir entre tensão e compressão a diferença entre cisalhamento positivo e negativo é igualmente arbitrário.
2.2.3 – Tensão em um Ponto
Nós agora estamos em posição de proceder o principal objetivo desta secção, e então estabelecer condições suficientes para descrever completamente o estado tensões em um ponto. Nós mostraremos que isto pode ser realizado por especificação das trações Ti sobre cada um dos três planos ˆei as quais pela equação (2. 5) a (2. 7), é equivalente a especificar as nove componentes das tensões ij. Então, se a tração Tn atua sobre qualquer elemento arbitrário da superfície, definida por um ˆn apropriado, pode ser avaliada, a proposição é provada e o tensor das tensões ij, referido a qualquer sistema cartesiano conveniente, completamente especifica o estado das tensões no ponto.
Figura - 2. 3. Forças agindo sobre um tetraedro elementar em um ponto P.
O tetraedro diferencial na Figura - 2. 3 mostra a tração Tn atuando sobre o plano identificado por ˆn , ao longo com trações sobre as faces indicadas por êi e a força interna f
por unidade de volume. A força sobre a face inclinada é T dAn n
enquanto a força sobre cada uma das outras faces é T dAi i
, i 1, 2,3, desde que elas têm normais unitárias nas direções negativas êi.
As áreas dos planos estão relacionadas por (2. 8), onde
ˆ ˆ ˆ cos( , ) . i n i n i dA dA n e dA n ê
(2. 10)
tal que ˆ ˆ. i i n i i dA dA dA n e n (2. 11)
onde)
,
ˆ
cos(
ˆ
.
ˆ
i i in
e
n
ê
n
(2. 12)
é a componente de ˆn na direção ˆe e também a direção cosseno. i A força de equilíbrio para o tetraedro da:
0
)
3
1
(
3 3 2 2 1 1
n n ndA
T
dA
T
dA
T
dA
f
hdA
T
(2. 13)
Onde h é a altura do tetraedro. Usando as equações (2. 10) a (2. 12), a equação (2. 13) torna-se:
( ) 0 3
n n i i n
h
T dA T n f dA
(2. 14)
Logo, resolvendo Tn em componentes cartesianas T êi i e tomando o limite quando h 0 a condição de equilíbrio é satisfeita se:
i i i i
ê
T
n
T
(2. 15)
O próximo passo é escrever Ti em termos das componentes das tensões usando a equação (2. 4). Contudo, é conveniente primeiro mudar o índice mudo sobre o r.h.s da equação (2. 15) de i para j, então: i j ji j j i i
n
T
n
n
ê
T
(2. 16)
O qual permite que os coeficientes de êi nas equações (2. 15) e (2. 16) sejam equacionadas
fornecendo:
j ji
i
n
T
(2. 17)
Reciprocamente, se as componentes Ti são conhecidas, a magnitude de Tn pode ser avaliada como: 2 / 1
)
(
i i n nT
T
T
T
(2. 18)
desde que Tn representa uma componente da tração que atua sobre um plano arbitrário como definido por ˆn , o conhecimento das componentes da tensão referidas as coordenadas cartesianas é realmente suficiente para especificar completamente o estado das tensões no ponto. Na equação (2. 17), T e i n são ambas componentes dos vetores (tensor de ordem 1) j tal que a ji são as componentes de um tensor
de ordem 2. Portanto, se as componentes das tensões são conhecidas em um sistema de coordenadas, dito o sistema xi, elas podem seravaliadas por outro sistema de coordenadas, dito o sistema xi’, pela lei de transformação para
os tensores de segunda ordem.
kl jl ik ij
'
(2. 19)
Onde cada direção cosseno é:
)
,
'
cos(
i j ij
x
x
(2. 20)
Desde que a regra de transformação executa um papel importante na teoria da elasticidade, vale a pena reafirmar que ij ji, isto é, a direção dos cossenos não são
simétricos.
2.2.4 – Tensões sobre um Plano Normal
É algumas vezes útil resolver Tn em componentes que são normais e tangenciais ao elemento diferencial de superfície dAn, conforme mostrado na Figura - 2. 4.
Figura - 2. 4. Elemento diferencial de superfície
A componente normal é calculada por:
n
T
N
n nn.
ˆ
(2. 21)
n
ê
T
i.
i.
ˆ
(2. 22)
i in
T .
(2. 23)
ou da equação (2. 17): i j ij nn
n
n
(2. 24)
a componente tangencial é:s
T
s
n nsˆ
(2. 25)
s
ê
T
i.
i.
ˆ
(2. 26)
i is
T .
(2. 27)
i j ji ns
n
s
(2. 28)
ondes
ê
s
i
i.
ˆ
(2. 29)
Isto freqüentemente conveniente calcular ns usando o teorema de Pitágoras como
2 / 1 2
)
(
i i nn nsT
T
(2. 30)
conduzindo a resolução a um passo a mais, as componentes cartesianas de N e s podem ser avaliadas: k nn k k nn( )
N
.
ê
n
ˆ
.
ê
(2. 31)
k nnn
(2. 32)
k i j jin
n
n
(2. 33)
onde k = 1, 2, 3.a partir da equação (2. 24) para ns, a simples adição dá
.
3
,
2
,
1
) ( ) (k
T
n
nn kk
nn
(2. 34)
onde Tk são as componentes cartesianas de T conforme dado pela equação (2. 17).
2.2.5 – Representação Dyádica das Tensões
Conceitualmente, pode ser útil ver o tensor das tensões como uma grandeza tipo vetorial tendo uma magnitude e direções associadas, especificadas por vetores unitários. O
