CLÁUDIA REGINA
FLORES
BOLDA
Geøaeum
:
Vuu|.|uç¿o:
Desenvolvendo
a
competência
heurística
através
da
reconfiguração
Mestrado
em
Edu_cação:Educação
e CiênciauN|vERs|DADE
FEDERAL
DE
SANTA
cATAR|NA
FLoR|ANÓPoL|s
CLÁUDIA REGINA
FLORES
BOLDA
*Geometria
e Visualização:
Desenvolvendo
a
competência
heurística
através
da
reconfiguração
Dissertação apresentada à
Banca
Examinadora
da
Universidade Federalde
Santa Catarina
como
exigência parcial paraa
obtenção
do
títulode
mestreem
Educação
-área
Educação
e
Ciência,sob
a orientaçãoda
Prof*
DF
REGINA
FLEMM/NG
DA
MM.
UNIVERSIDADE
FEDERAL
DE SANTA
CATARINA
FLoR|ANÓPoL|s
uN|vERs|DAOE
FEDERAL
DE
sANTA
OATARINA
CENTRO
DE
CIÊNCIAS
DA EDUCAÇÃO
PROGRAMA
DE Pós-GRADUAÇÃO
CURsO
DE
MEsTRADO
EM
EDUCAÇÃO
“GEOMETRIA
E
VISUALIZA
ÇÃO”.
Dissertação submetida ao Colegiado
do
Curso de Mestrado
em
Educação do Centrode Ciências da Educação
em
cumprimentoparcial para a obtenção do titulo de Mestre
em
Educação.APROVADO
PELA COMISSÃO
EXAMINADORA
em
10/ll/97Dra. Regina Fleming
Damm
(Orientadora) z0~×-~^~\Dra. Silvia Dias Alcântara
Machado
(Examinadora)flíflzi
Â
-Q
~b¢zÛ.z~¢-Dr. Méricles Thadeu Moretti (e inado )
i
Dr.
Amo
Brass (suplente)OA,
«AL
o‹‹"°° RSD \>\`\\`1E_°
É
9"? É-Â1Q
: ` Ê. › 79 › X . ..É
3
2
P
O rn e~À 'W-1-vo `*\'ADUAÇÃO
`Czóuaizz Rzgizzzz Flores Borda
Ao
Leonardo,
meu
filho,que
a
cada
diame
ensina
que
a
vidapode
ser
vistade
muitas
AGRADECIMENTOS
A
elaboração desta dissertação teve participações especiais as quaisagradeço
nestemomento:
- a
REGINA FLEMMING DAMM,
por seusnumerosos
conselhos,sua amizade
e toda a ajuda
que
me
deu.Agradeço
pela dedicação especial, orientaçãopaciente
e competente
em
todos osmomentos
deste trabalho.- a
Monsieur
RAYMOND
DUVAL,
porsua
disponibilidade eque
atravésde
seu
brilhante
conhecimento
soube
ter paciência e sabedoriade
um
mestrecontribuindo
com
valiosas observações, sugestões e críticas pertinentes a estetrabalho.
Ao
senhoreu
gostariade
exprimirmeus
profundos agradecimentos;- a
minha
MÃE,
que desde a
criaçãodo
projeto o qual gerou esta dissertação,esteve
sempre
disposta a lermeus
escritos, corrigindo-ose
dando
novas
idéias.
A
senhora
meu
especial agradecimento por terme
ensinado a lutar portudo
que
se acredita;-
ao
ELTON,
companheiro
de
todos osmomentos,
porsua
compreensão
eapoio, contribuindo a
seu
modo
etomando
estacaminhada
mais especial;- aos alunos
que que
tão gentilmenteme
receberam
e permitiram a aplicaçãoprática deste trabalho,
assim
como, às escolasque
possibilitaram estaaplicação;
-
ao
Professor MériclesThadeu MORETTI,
porsua
disponibilidade, gentileza esugestões para a realização
da
análisede dados que
seencontram
nestetrabalho;
-
ao
Professor NaõraldoCOELHO,
por sua ajuda e sugestõesna
editoraçãodeste trabalho,
além
de poder
contarsempre
com
seu apoio;-
ao
ProfessorArno
Blass porsua
leitura pacientede
todo trabalho, sugestõese correções.
- a todos
que
de
uma
forma
ou
de
outra auxiliaramna
realização destaSUMÁRIO
Resumo
RÉsuMÉ
|NTRoouçÃo
... ..o1Capítulo I
DEFININDO
O
PROBLEMA
... ..O4INTRODUÇÃO
... ..o41.1 Geometria:
da
antiguidadeao
ensino eaprendizagem
... ..061.2
A
real situaçãodo
ensinoda
geometria ... ..091.3
O
registro figurativo: objetode
auxilio ede
estudo ... ..141.4
As
pesquisas desenvolvidas sobre oregistro figural ... ..18
1.5
Entendendo
melhor oproblema
... ..2O1.6
Tentando
resolver esta questão:nossa
hipótese ... ..24capitulo ||
o
FuNc|oNAMENTo DE
UMA
r=|euRA
eEoMÉTR|cA
... .L ... ..25|NTRoDuÇÃo
... ..25 2.1A
organização perceptivadas
figuras ... ..272.2 Figura geométrica:
como
uma
figura adquireum
estatutode figura
geométrica ... ..322.3
O
papel heuristicode
uma
figura geométrica:como
uma
figurapode
funcionarde
maneira heuristica ... ..342.3.1
As
modificações de
uma
figura ... ..352.3.2
Os
circuitosdas apreensões de
uma
figurageométrica ... ..38
2.4
A
exploraçãode
uma
figura geométrica:como
analisar
uma
figuraem
relação àssuas
possibilidades heurísticas ... ..4O
2.5
Os
fatoresde
visibilidadedos
tratamentosfigurais:
porque
uma
figuranem
sempre
tem
um
papel heurístico ... ..44Capítulo III
UMA OPERAÇAO
DE
TRATAMENTO PURAMENTE
FIGURAL:
A OPERAÇÃO
DE RECONFIGURAÇÃO
... ..45|NTRoDuÇÃo
....A5
3.1A
operação
de
reconfiguração ... ..493.2
As
variáveisque
interferemna
visualizaçãoda operação de
reconfiguração ... ..523.3 Alguns
exemplos
de
reconfiguraçãona
antiguidade .... ..62~ A
Capítulo IV
DESCRIÇAO DA
EXPERIENCIA
... ..67|NTRoDuÇÃo
....sv
4.1 Procedimentos metodológicos ... ..694.3
Algumas
considerações sobre asatividades realizadas ... ..
Capítulo
V
ANÁLISE
DOS
RESULTADOS
OBTIDOS
|NTRoDuÇÃo
...H 5.1Apresentação dos
questionários ... ..5.2
Apresentação e
análisedos
resultados ... _.5.3
Algumas
considerações finais ... ..CONCLUSÃO
... ..BIBLIOGRAFIA
... ..ANEXO
I ... _.ANEXO
II ... ..ANEXO
III ... ..ANEXO
IV ...RESUMO
A
presente dissertação aborda o papel heurísticodas
figurasna
resolução
de
problemas, afim
de
levantar aspectos ligados à visualização.Realiza-se
um
estudo sobre a organização perceptivadas
figuras tendo-se,como
referencial teórico, os princípiosda
organizaçãoda percepção
estabelecidos pela Psicologia
da
Gestalt.A
partir desta premissae
junto àteoria
das apreensões de
R. Duval, opera-seum
tratamentopuramente
figuralde
reconfiguração pela análisede
problemasque envolvem
cálculode
áreas.Contudo, tal análise
fica
envolta por diferentes fatoresque
interferemna
visibilidade e
na
aplicação destaoperação
figural. ~Esta discussão
é
frutoda
aplicaçãode
uma
seqüência didáticadesenvolvida junto a très turmas
de
alunosde
Sš sériedo
19 grau,nos anos
letivosde 1996
e 1997,numa
média de
12 aulas por turma. Servindo-se daqueles fatores,propuseram-se
diferentes problemasque envolvessem
ouso
de
figuras para chegarà
solução pelaoperação
de
reconfiguração.A
realização desta seqüência didáticanos
deu
condições para mostrar,a propósito
de
uma
aprendizagem da operação
de
reconfiguração, anecessidade
de
levarem
conta a importância e a complexidadedas
RÉsuMÉ
Cette dissertation a pour but d'aborder Ie rôle heuristique des figures
dans
larésolution
de
problèmes, afln d'y faire déterminer les aspects qui sonten
rapport
avec
la visualisation.On
faitune
étude portant sur I'organisationperceptive
des
figures et qui a pour référentiel théorique les príncipesde
I'organisation
de
la perception établis par Ia Psychologiede
Ia Gestalt.A
partirde
cette prémisse-là etavec
Ia théoriedes
appréhensionsde
R.DUVAL,
il seproduit,
au
moyen
d'une analysede problèmes
qui impliouent le calcul d'aires,un
traitementpurement
figuratifde
la reconfiguration. Cependant, telle analysese trouve entourée
de
différents facteurs qui vont influer sur Ia visibilité et surl'appIication
de
cette opération-là.Ce
débat est le fruitde
l'application d'uneséquence
didactiquedéveloppée
auprèsde
trois classes d'éIèvesde
Ia5ème
série du 1er degre,pendant les
années
scolairesde 1996
et 1997. Cela signifie, enmoyenne,
12Ieçons par classe d'élèves.
En
se servantde
ces facteurs-là,on
aproposé
de
différents
problèmes
dont Ia solutiondemandait
I'emploide
figuresau
moyen
d'une opération
de
reconfiguration.La
réalisationde
cetteséquence
didactiquenous
adonné
des
conditions
de
montrer -à
proposde
l'apprentissagede
I'opérationde
reconfiguration -, le besoin
de
prendreen
considération I'importance et laiNTRoDuçÃo
No
ensinoda
geometria se reconheceque
as figurassão
um
suporte intuitivoe
que
desempenham
um
papel heurístico.Mas
a intuição heurísticaque
trazuma
figura levanta
percepções
distintas e envolve outros tantos fatoresque
podem
auxiliar
ou
dificultar este papel heurístico.Muito mais importante
do que
esta função heurística das figuras é realizarestudos
que
tragam à tona procedimentos cognitivosque
permitam às figurasrealmente
desempenharam
este papel.A
visualizaçãode
uma
figuranão
ocorrenum
simples olhar. Ela é muito maiscomplexa, pois todo objeto visivel
pode não
só ter diferentes maneirasde
serdescrito,
mas
de
ser visto. VA
organização perceptivaque
possibilita a identificação e a associação desteobjeto
com
algo significativo vaidepender das
leis gestálticasda
percepção.Contudo, estas leis
não bastam
para explicar oporquê de
nossos alunosverem
ounão, imediatamente,
numa
figura,um
caminho
heurísticoque
possa conduzir àsolução
de
um
problema.É
preciso identificar as diferentes operaçõespuramente
figurais,
que
estão associadas a tratamentos matemáticos pertinentes, para, então,analisar o poder heurístico
da
figura e definir as possibilidadesde
uma
aprendizagem de
leiturade
figuras.A
busca
de
uma
aquisiçãode
tratamentos figurais, conduzindonossos
alunosum
As
figuras geométricas constituemum
registro semióticode
representação,que
lidamcom
tratamentos específicos. Para analisar o funcionamentodas
figuras,R. Duval distinguiu diferentes
apreensões de
uma
mesma
figura. Este trabalhoidedissertação deter-se-á sobre a “apreensão operatória”
das
figuras, pois é estaapreensão
que
permite às figurasdesempenharem
seu papel heurístico.Esta
apreensão
se fazem
funçãode
modificaçõesque
podem
ser realizadasna
figura.Há
várias familiasde operações de
modificações figurais.O
estudode
uma, entre tantas, particularmentetomou nossa
atenção: aoperação de
reconfiguraçao.A
escolha destaoperação
sedeu
porquanto, historicamente, esta foi aprimeira
operação
figural a ser mobilizada, permitindo a resoluçãode problemas de
cálculos
de
áreas.Além
disso,um
trabalho desenvolvido a partir destaoperação
nos permite ver
que
esta modificação funciona sobre configuraçõesperceptivamente bastante diferentes,
sendo
imediatamente mais visívelem
alguns problemasdo
que
em
outros.Tarefa importante a ser realizada é a determinação
de
fatoresque
interferemna
visibilidade e na aplicação destaoperação
figural. Esta determinação é essencialpor dois aspectos:
1) permite
uma
exploração sistemáticade
todas as configurações possiveis;2) permite
uma
análisedo poder
heurísticode
uma
figura paraum
problema
bem
determinado.
Para
encaminhar
esta pesquisa fez-se necessária a realizaçãodos
seguintesprocedimentos:
- Buscar respostas às seguintes questões:
-
como
uma
figura é organizada perceptivamente?-
como
uma
figurapode
funcionarde
maneira heurística?-
por
que,nem
sempre,uma
figuratem
um
papel heurístico?- Desenvolver
uma
seqüência didáticacom
alunosde
5Ê série de 19grau, a fim
de
colher
dados
parauma
análiseda
aquisiçãode
tratamentospuramente
figurais.Esta seqüência é desenvolvida
com
exercíciosque envolvem
problemascom
figurasque
permitem a realizaçãoda operação de
reconfiguração,sendo que
estas figurassão escolhidas
com
base nos
fatoresque
foram determinados anteriormente.Mas
estesencaminhamentos
só saouma
análise inicial para conduzir aquiloque
é essencial nesta pesquisa: mostrar, a propósitode
uma
aprendizagem da
operaçao de
reconfiguração, a necessidadede
levarem
conta a importância e acomplexidade, tanto cognitiva
como
semiótica, dos tratamentos figuraisna
aprendizagem da
Matemática.cAPhuLoi
DE|=|N|NDo
o
PRQBLEMA
|NTRoouçÃo
Esta pesquisa
tem
a finalidadede
resgatar o usode
figuras geométricas,valorizando o papel intuitivo
que
elas oferecem, a fimde
desenvolverno
alunohábitos heurísticos.
Para alcançar esta finalidade,
uma
seqüência de atividades serádesenvolvida,
em
que
figurassão
analisadas quanto asua
produtividade heurística.Desta forma, procuraremos encontrar e classificar variáveis
que
auxiliamou que
inibem a resolução
de
um
exercíciode
geometria, tendocomo
procedimento otratamento figural.
A
utilizaçãode
uma
figura,ou
seja, o auxíliode
uma
figura nacompreensão
de
um
problema dado
e na resolução deste, exige muito maisque
ler oenunciado
do problema
e olhar a figura para chegar à solução.É
por istoque nossa
pesquisase apóia
nos
estudos realizados sobre aPercepção
e sobre a Psicologiada
Gestalte,
além
disso, nos estudos realizados por R. Duval, a respeitodas
váriasapreensoes
que
uma
mesma
figura oferece.Contudo, o
que pretendemos
explorar aqui nesta pesquisa é basicamente opapel heurísticoi de
uma
figurana
resoluçãode
um
problemade
geometria,donde
fatores ligados às leis gestálticas e aopróprio funcionamento
da
figurapoderão
serexplicitados e analisados,
sendo
desta forma onosso
objetode
estudo.1 Heuristico é entendido aqui
como
0 conjunto de regras e métodos que conduzem àdescoberta, à invenção e à resolução de problemas, pelo qual, eventualmente complementado
com
os procedimentos didáticos do professor, tenta-se levar o aluno a descobrir por simesmo
Entendemos
que
tal pesquisa sópoderá
ser realizada a partirda observação
e
da
análisedo comportamento do
aluno diantede cada
exercíciodado contendo
uma
figura.Pretendemos
analisar, a partir desta obsen/ação,como
as variáveisque
interferem
na
visualizaçãode
um
tratamentopuramente
figural possibilita acompreensão e
a soluçãodo
problema proposto.Acreditamos ainda que,
ao
valorizar as figurasno
ensinode
geometria,oferecendo
ao
aluno a oportunidadede
buscar e encontrarna
própria figura a soluçãodo problema
dado,teremos
alunoscom
uma
maior competência heuristica.Neste primeiro capitulo
buscamos
uma
delimitação para as questõesque
eventualmente
queremos
responder a fimde
dar conta daquiloque
é o objetivo mais1.1
GEOMETRIA
:DA
ANTIGUIDADE
AO
ENSINO
E
APRENDIZAGEM
É
comumente
admitidoque
a geometriadeve
ter iniciado provavelmente naantiguidade, a partir
de
origens muito modestas.Ao
fazer a históriados
egípcios, Heródoto - historiador grego - refere-se àsorigens
da
geometria,no seu
livro ll (Euterpe),do
seguintemodo:
“Disseram-me
que
este rei (Sesóstris) tinha repartido todoo
Egito entreos
egípcios, e
que
tinhadado
acada
um
uma
porção iguale
retangularde
terra,
com
a obrigaçãode
pagar por
ano
certo tributo.Que
se aporção de
algum
fosse diminuída pelo rio (Nilo), ele fosse procuraro
rei e lheexpusesse
oque
tinha acontecido asua
terra.Que
ao
mesmo
tempo
o
reienviava
medidores
ao
local e fazia medir a terra, afim
de saber
de
quantoela estava diminuída e
de
só fazerpagar o
tributoconforme o
que
tivesseficado
de
terra.Eu
creioque
foi daíque nasceu
a Geometriae
que
depoisela
passou aos
gregos"(Apud
CARAÇA,
p. 3).De
fato, as primeiras consideraçõesque
ohomem
fez a respeitoda
geometria,
parecem
ter se originadode
simples observaçõesque
surgem
da
capacidade
humana
de
reconhecer configurações físicas,comparar
formas e tamanhos.O
próprio fatode
ter-se tido a necessidadede
delimitar a terra levou ànoção de
figuras geométricas simples, taiscomo
retângulos,quadrados
etriângulos.
Por terem sido, estas figuras elementares, fruto
de
uma
geometriade
obsen/ação ou
melhor,como
foi caracterizada, “geometriado
subconsciente”, éque
elas foram consideradas
não
só peloseu
valor prático, utilitário,ou
porseu
valorestético,
mas
também
peloseu
papel heurístico. Poderíamos, aqui, ilustrar estaquestão
com
as muitasdemonstrações
do
Teorema
de
Pitágoras,mas
vamos
no registro figural 2 a
demonstração
hindu3do teorema de
Pitágoras,que
érepresentada pela figura seguinte:
FIG.1- Figura
Hindu
Este é
um
beloexemplo de
demonstração, o qual se justificaapenas
atravésdo
registro figurativo,sem
qualquer apeloao
registro discursivo. Naturalmentetransformações
são
feitasna
figura: translações, rotações e simetrias,que
servem
para justificarmatematicamente
osreagrupamentos operados
nela.Sendo
assim, oimportante nesta atividade
de demonstração
é reconhecer aquilo.que
a figuraoferece,
ou
seja, é o papel heurísticoda
figuraque
estásendo
levadoem
consideração. V
A
geometria é, então, consideradacomo
um
instrumento para compreender,descrever e interagir
com
oespaço
no qual vivemos,mas
cresceu gradualmente atéalcançar a
dimensão
enorme
que tem
hoje,podendo
assim,também
serconsiderada
como
parteda
Matemática, a mais intuitiva, concreta e ligada àrealidade.
Mas
não
é só issoque
comporta a ela, paraWeeler
(1981, p. 352),“melhor
do
que
o estudodo
espaço, a geometria é a investigaçãodo
“espaço intelectual” já que,
embora
comece
com
a visão, elacaminha
em
direção
ao pensamento,
vaido
que
pode
ser percebido parao
que
pode
ser concebido. "
(Apud
MACHADO,
1995, p. 53).Desta forma,
pode-se
destacar dois aspectos principaisdo
ensino jeaprendizagem da
geometria: a visão da geometriacomo
ciênciado espaço
e a visãoA
geometria,enquanto
ciênciado espaço
é, muitas vezes, desenvolvida nasquatro séries iniciais
da
escola, trabalhando-se mais aobservação
ea
representação. Por outro lado, para as séries mais
avançadas
é reservado o ensinoda geometria
enquanto
estrutura lógica, raciocínio e sistematizaçãodo
conhecimento
geométrico. Porém,há
um
consenso de que
estes dois aspectosestão ligados, pois alguns níveis apreendidos na geometria
do espaço são
essenciais à
aprendizagem
da
geometriaenquanto
estrutura lógica.Mas, se
encararmos
a geometriacomo
a ciênciado espaço
em
geral, muitas questões surgem, ede
imediato, nesta pesquisa a respeitoda
visualização.Esta questão nos remete a pensar
de que
forma a visualização, consideradacomo uma
habilidade,pode
ser desenvolvida, a fimde que
auxilieno
processoensino-aprendizagem
da
geometria. E, é claro, será este o fio condutorde nossa
1.2
A REAL
SITUAÇÃO
DO
ENSINO
DA GEOMETRIA
A
geometria foi considerada, durante séculos,como
indispensável àformação
intelectualdos
indivíduos eao
desenvolvimentoda
capacidadede
hábitosde
raciocínios.Desde
a antiguidade,desempenha
um
papel fundamentalna
conquista
de conhecimentos
artísticos, científicos e matemáticos, pelagrande
importância
das imagens
e sobretudodas
figuras. Estasnão eram
consideradas sópelo seu valor prático, utilitário, ou por seu valor estético,
mas
também
pelo seupapel heurístico.
Nos
últimos tempos,no
Brasil, verificou-seum
abandono do
ensinoda
geometria, cujas conseqüências,
vêm
se constituindonuma
preocupação
para oseducadores
matemáticos. Afinal, a ausênciado
ensinode
geometriapode
estarprejudicando a
formação dos
alunos, por privá-losda
possibilidadedo
desenvolvimento integral
dos
processosde
pensamento
necessários à resoluçãode
problemas matemáticos.
Um
projetode
pesquisa estásendo
desenvolvidono
Brasil,em
cooperação
com
a França, visando levantar questões relativasao
ensino da Matemáticade
19 e29 graus. Este projeto,
que tem
como
título“Programa de
Pesquisa sobre o Ensinoda
Matemática”, envolve professoresdo Departamento
de Matemáticada
Universidade Federal
de
Santa Catarina,bem
como,
professoresde
algumas
universidades
da
França, estabelecendo-seum
verdadeiro intercâmbiode
estudosligados
ao
ensinoda
Matemática.Um
dos
objetivos deste projeto é o ensinode
geometria.A
primeira etapa,dentro deste objetivo, é detectar a real situação
doensino
de
geometria. Para isto,um
questionário foi aplicado a392
alunosem
18 classes.Também,
foram realizadasalunos
pudessem
ser confrontadoscom
alguns tiposde
atividades. Estas atividadesforam planejadas
em
funçãode
dois critérios:que
osconhecimentos
mobilizadosdêem
relevância anoções
matemáticascomuns
e elementares, eque
os conhecimentos implicados pelas questõesdêem
relevância acompetências
heurísticas gerais, cuja aquisição parece indispensável para a
formação
dos
alunos.Então, o
que
se pediano
questionário era,na
verdade, distinguir formassobre
uma
figura e encontraralgumas
relações entre elas. Destamaneira
asquestões
não
exigiamconhecimentos
particularesou
especializados, e sim,questões habituais, sobre assuntos previstos
no programa
oficialde
matemáticado
19 e 29 graus.
Um
dos
problemas proposto neste questionário é o seguinte:“Observe
bem
odesenho
abaixo:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . _ . ` . . . . . . . . , . . . . . . . ._ . ...~...i...
ëD
šcš
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . _ . . . . . . . . _ . . . . ~ . . _. . . . . _ . ..' . I : . EssA2
EB;
. . . . t . . . . . ` . . . . .Complete cada
frase escolhendona
lista seguinte a palavraque
maisconvém: quadrado,
cubo, retângulo, trapézio,paralelogramo,
a)
A
figuraACDE
é
um
... ..b)
As
retasDC
e
EB
são
... ..c)
As
retasFD
e
DC
são
... ..d) Afigura
DCBE
éum
... ..“
Esta foi a primeira questão proposta no questionário,
com
o interessede
proporcionar
aos
alunosum
aquecimento
eesperando
uma
taxade
acertode 90%,
já
que
consistiaapenas
numa
simples atividadede
identificaçãode
algumas
figurasplanas. Mas,
que
ingenuidade a nossa!Como
esta atividadede
identificaçãode
figuras planas elementares se faznum.
nívelde
simples reconhecimento perceptivoou de
discriminaçãode
propriedades características, é evidente
que
o errode
um
único item colocaem
dúvida o valorde
acerto, isoladamente,dos demais
itens.Isto é claro, pois reconhecer
um
trapézio enão
reconhecerum
parelogramonão pode
significar a aquisiçãode
um
conhecimento matemático.De
um
pontode
vista cognitivo, a identificação
de
uma
figura implicana
sua discriminaçãoem
relação a outras figuras e o
seu
reconhecimentoem
contextos variados.Desta forma, parece razoável considerar
como
aceitável, para esta questão,apenas
o acerto aos quatro itens. Neste sentido,somente 149
alunosdo
19ano do
29 grau,
ou
sejaum
pouco
maisque
a terça parteda
amostragem
testada,significando
uma
taxade
38%,
estãoem
condiçõesde
identificar figuras planas.Um
outro problema4 proposto neste questionárioaos
alunos, eque
exigia“Na figura, AI é a diagonal
do
retângulo ASIE.Comparar
as áreasdos
dois retângu/oshachurados
OURS
eLUNE.
Assinale a resposta correta :
( )
OURS
tem
amaior
áreaA
_, ç ,_ H H _' S( )
As
duas
áreassão
iguaisL
"'"`O
( )
LUNE
tem
amaior
áreaN
IJustifique
sua
resposta: “Os
resultados obtidos foram 1OURS
=LUNE
OURS
>LUNE LUNE
>OURS
ausênciade
. resposta
212 (54%)
35 (9%)
57 (15%)
88
(22%)Com
estes resultados, constatou-seque
a maioriados
alunosque
optaram
pela alternativa
“OURS
=LUNE”,
justificaram esta igualdadede
áreas fazendoapenas
uma
operação de
recortede
um
dos
doispedaços
obtidos, recobrindo ooutro pedaço.
Nas
palavrasde
um
aluno : “o retânguloLUNE
se dividido certopode
formar o
OURS
e vice-versa”.Este procedimento
adotado
pelos alunos é previlegiado pelo fatode que
arelação
dos
ladosdos
triângulos AlE e AIS, obtidos a partirda
diagonal Al, estãorelacionados
com
ametade ou
o dobrodo
retângulo considerado,LUNE
ou
OURS.
Porém, este
não
éuma
procedimento interessante,mostrando apenas
apouca
produtividade
que
a figuratem
para onosso
aluno.Os
únicos procedimentos de resolução interessantes desteproblema são
aqueles
que encontram
sub-figuras na figura inicial, e utilizam estas sub-figurassem
recorte, movimentando-as, a fim de encontrar a solução
do
problema a partirda
visualização desta figura
como
um
todo. Isto, sim, mostraria acompetência
Numa
análise geraldos
resultados obtidosde
todas as questões propostasno
questionário, verificou-se haverum
predomínioda
ausênciade
respostas (maisde
50%)
sobre as respostasdadas
(corretasou
erradas). Este predomíniopode
indicar
que
parteda
geometrianão
é ensinada nestas classes,ou
talvez ensinadade
forma inadequada, jáque
oque
se revelanão
é tanto a ausênciados
conhecimentos que são
julgados indispensáveisnum
currículode
matemática, mas,sim, a
não
aquisiçãodo
sentido destes conhecimentos.A
segunda
etapado
projeto diz respeito àformação de
professores. Desta forma se faz necessáriorepensarmos
o papelda
geometria nos currículos atuais e entãopesquisarmos meios que
possam
resgatá-lade
formaadequada
para a1.3
O
REGISTRO
FIGURATIVO:
OBJETO DE
AUXÍLIO,
MAS
TAMBÉM
DE
ESTUDO
Na
nossa
realidade escolar, o ensinode
geometrianão tem
sido consideradocomo
um
forte aliado para o desenvolvimento dasnoções
espaciais, tãopouco
parao desenvolvimento
das
estruturas lógicasdo
pensamento.Em
geral,em
nossas
escolas, o ensino
de
geometria fica limitadoao
aprendizadode
nomes
de
figuras,fórmulas, notações e, raramente,
algumas demonstrações
.MESQUITA,
(1989, p. 3), focaliza a geometriada
seguinte maneira:“A geometria é
um
domínioda matemática
no
qualfazemos
permanentemente
um
apelo a três registros:- registro figurativo, ligado
ao
sistema perceptivo visual,com
leisde
organização próprias a este sistema;
- registro
da
língua natural,com
possibilidadesde
descriçãoe de
explicação
do
estatutodos
enunciados;- registro
da
língua simbólica,com
possibilidades própriasde
escritae
de
recurso a fórmulas."Mas
o professor,que de alguma
forma procura ensinar a geometria,não tem
muito interesse
em
oferecerao
seu aluno a possibilidadede
raciocinarnos
váriosregistros5, talvez por ele
mesmo
desconhecer
estes vários registrosque envolvem
ageometria.
Na
maior parte, trabalha-sesomente
no registroda
língua naturalou no
registro
da
linguagem simbólica,não
sedando
o devido valorao
registro figurativo.5Registro aqui é usado para designar os diferentes sistemas semióticos que podem ser
utilizados para apresentar
uma
informação ou para objetivaruma
representação mental.Assim, toda troca de registro compreende
uma
reorganização completa da forma comoum
conhecimento é apresentado ou objetivado
num
registro; ou seja, não são osmesmos
Porém, as informações retiradas
de
um
registro figurativonos permitem
apreendercom
mais facilidade a situaçãodo que
o simples enunciado,possibilitando-nos analisar a situação
em
conjunto, explorar diferentes aspectos eaté antecipar o resultado
de
um
problema geométrico.É
neste sentidoque
POLYA,
1994, p.83
a 55,em
seu livro “A Artede
resolver problemas”,
chama
a atenção para a utilizaçãode
figurasna
resoluçãode
problemas, considerando-as
nao
como
objetossem
“vida” e, sim,como
importanteauxílio para
problemas de
todos os tipos. Isto ele explica porque:-
uma
figurapode
estarna nossa
imaginação
ou
pode
serdesenhada;
dependendo
da
situação, é mais fácil imaginá-la,mas
se tivermosque
examinar
muitos detalhes, é preferível desenhá-la;
- as figuras planas
são
fáceisde
desenhar,podem
ser construídascuidadosamente
amão
livre ecom
rapidez;-
podemos
tratar,separar
erecombinar todos
os
detalhes oferecidosno
problema
com
o uso de
uma
figura; atravésda
figura é muito mais fácil analisartodos os detalhes oferecidos pelo problema,
uma
vezque
é muitomais
difícilimaginar todos os detalhes simultaneamente.
Mesmo
sendo
as figuras consideradascomo
um
auxílio,poucos são
osprofessores
que
buscam
em
seus
alunos, ede
modo
consciente, acapacidade de
representar.
Em
sua maioria, aquelesque
utilizamalguma
representaçãoem
geometria
na
resoluçãode
problemas (as figuras geométricas por exemplo),consideram natural para o aluno a visualização espacial e mais, a visualização
da
Bem,
as figuras planasnos
sao particularmente familiares e osproblemas de
Geometria Plana, especialmente acessíveis; contudo, analisar a situação e
encontrar a solução
do
problema,nem
sempre
é percebido pelos alunos.Para
compreender
claramente oproblema não
basta olharsimplesmente
uma
figura;é
preciso considerarcada
parte,cada dado
da figura, olhá-los separadamente,em
seguida reunir oque convém,
considerando-ocomo
um
todo,procurando ver simultaneamente as várias
conexões
exigidas no problema.Quer
dizer, a exploração visual
de
uma
figura exige muito maisdo que
a identificaçãode
sub-figuras
que parecem
ser impostas imediatamenteao
primeiro olhar, é precisofocalizar o olhar sobre outros
dados que não são
vistos imediatamente.Na
verdade
uma
figura geométricapode
ser interpretadade
várias maneiras,e a
percepção
intervém na construçãode
uma
destas interpretações, principalmentequando
o leitor (da figura)não
dispõede
outros conhecimentosque
lhe permitamultrapassar esta primeira leitura perceptiva
da
figura. Assim, pode-se mostrarque
osaspectos perceptivos
da
figurapodem
favorecer ou,ao
contrário, dificultar a leitura geométricade
uma
figura pelos alunos (Duval, 1988).O
papelda percepção
deveria então ser analisado,no
ensinode
geometria;“é preciso, pois, distinguir
ao
/adoda percepção
pura e essencialmentereceptiva, ta/
como
aque
resultade
uma
centralização dada,uma
“atividade perceptiva”
que
começa
com
asmudanças
de
centralização (oudescentralização) e
que
consisteem
comparações,
transposições,antecipações, etc.”
(PIAGET
&
INHELDER,
1993, p. 31).Isto introduz, naturalmente, a idéia
que
aapreensão de
uma
figurageométrica
não pode
ser pura e simplesmenteuma
apreensão
perceptiva.De
fato, autilização
de
uma
figuraem
geometria envolve três outrasapreensões
diferentes,apreensao
discursiva,a
apreensão
seqüencial e aapreensão
operatória(DUVAL,
1994).Assim, o papel
das
figurasno
ensinode
geometria,bem como
ofuncionamento
de
uma
figura geométrica,deve
ser motivode
atenção ede
estudo,pois, na realidade, para muitos alunos, a figura
assume
um
papel insignificante nas1.4
AS
PESQUISAS DESENVOLVIDAS
SOBRE
O
REGISTRO FIGURAL
No
ensinode
geometria se reconheceque
as figurastêm
um
suporte intuitivoe
desempenham
um
papel heurístico.Mas
a intuição heurísticaque dá
uma
figurageométrica
depende
de percepções
distintas, as quaissão
motivos para estudos epesquisas,
no
sentidode que
“pode-semelhor
aprender a leruma
figuracomo
pode-se aprender
a /erum
texto,ou mais
suti/menteuma
rad¡ografia". (Mesquita,1989. p.168).
Dentro desta perspectiva, destacamos, basicamente,
duas
pesquisas:Ana
MariaJORGE
LOBO
DE
MESQUITA,
1989
-O
aspecto centralde
seutrabalho está destinado à importância
dos
aspectos figurativos e asua
influêncianos
comportamentos
heurísticos e argumentativosdos
alunos. Trabalhacom
ageometria ligada a três registros: figurativo, linguagem natural e linguagem
simbólica, os quais, às
vezes
interagemou
seopõem. Propõe
uma
seqüênciade
atividades a alunos,
em
que
ocorre a confrontação destes registros, porum
lado, e,por outro a pregnância
do
registro figurativo. Conclui'que
a maneiracomo
o alunoresolve o exercício está ligada a fatores tais
como:
o_tipode
questão, a existênciaou não de
obstáculos heurísticos, o tipode apreensão
que
a figura exige, o estatutoda
figura. Diz mais,que
a formade
discursopode
ser mais fácil sealgumas
destascaracterísticas, o obstáculo heurístico por exemplo,
não
estiverem presentes.Tudo
isto nos sugereque
uma
continuidade destes estudos se faznecessária, principalmente quanto à produtividade heurística
desempenhada
poruma
figura, a qual exige muito maisque
o esforço perceptivodo
aluno.V
Virginia
PADILLA SANCHEZ,1992
- Revalorizou ouso
das figurasno
ensinode
Geometria, mostrando,em
sua pesquisa, a importânciade
uma
aprendizagem
aprendizagem
fica envoltanum
estudo sobre os fatoresque
influenciam a visibilidadede
uma
operação
figural (a reconfiguraçâo).A
visualizaçaoem
sua
pesquisa, é consideradacomo
fundamental para acognição
humana, além de
seruma
questãode
muita complexidade eque
deveria ser maisbem
estudada.Conforme
suas palavras,“Existem diferentes pesquisas
que experimentam
fazer utilizaras
possibilidades heurísticas
do
registro figural. Elas insistemna
importânciada
"visualização “ -Mas
e/asnão apresentam
análises precisas sobre aespecificidade
dos
diferentes tratamentos figurais subjacentes àII
“visualização e sobre os fatores que,
ou os favorecem
ou
os
inibem,segundo
as
s¡tuações”(PADlLLA, 1992, p. 42). .Existe
mesmo uma
concordância entre oseducadores
matemáticos epesquisadores
de que
a visualização é importante porque ela ampliauma
visãointuitiva e global e a
compreensão
de
muitas áreasda
Matemática.Como
a geometria inclui muitos elementos visuais, muitotem
sido escrito erealizado
em
teoria e pesquisas sobre a interrelação entre a visualização e aaprendizagem da
geometria. Mas,poucos são
os estudosque
consideram avisualizaçao
como
uma
habilidadeque pode
ser desenvolvida, e ainda, oquê
ou1.5
ENTENDENDO MELHOR O PROBLEMA
A
partirdos
resultados encontradoscom
a realizaçãodo
projeto“Programa
de
Pesquisa sobre o Ensino de Matemática”,numa
parceriacom CAPES/
COFECUB,
envolvendo
Brasil e França,podemos
confirmar opouco caso que
édado ao
ensinode
geometriaem
nossas escolas.Os
problemas que
foram propostosaos
alunos, e principalmente aquelesque
podiam
ter solução utilizando-se unicamente osdados que
a figura oferece, mostrouque, para
nossos
alunos, e alunosde
29 grau, a figuraassume
um
papelinsignificante nas resoluções matemáticas,
ou
seja, elanão tem
funcionadocomo
uma
ferramenta heurística.Na
verdade, para eles, as figurasnão
passam
de
objetos“mortos”, os quais
nada
realmentepodem
contribuirna
resoluçãode
problemas.Mas
é necessário, então, fazer algo, tornar “vivas” estasimagens
que decorrem de
um
texto, paraque
elas assim estimulem o aluno, e este porsua
vez consiga chegarà resolução
do
problema dado.Na
realidade, precisamos é tomar consciênciada
importânciado
papelda
figura
no
ensinoda
geometria, e além disso entenderque
o registro figurativolevanta muitas outras questões,
que não
só o aspecto perceptivo.Nas
palavrasde
Duval (1994)
“Há,
de
fato,um
tratamento figural heurísticoque
é independentedas
atividades
de
construção eque
independentede
toda atividadede
raciocínio,
sem
o
que
o recursoao
registrodas
figuras seriasomente
uma
astúcia para apresentar o desenvolvimentode
um
raciociniosob
uma
formasupostamente mais
imediatamente acessível. Ora,o
tratamento figural
se
revelapouco
evidentee
muito difícil paraenganar
debochado,
os
alunosque
sesaem
bem
e,em um
tom
resignado,aqueles
que não se
saem
bem.
”(DUVAL,
1994, p. 136 ).n
Existem pesquisas
que
têm
valorizado o registro figurativoem
geometria,trazendo contribuições para o ensino, e principalmente abrindo
caminhos
emostrando que
utilizaruma
figura exige muito maisque
uma
simples olhada, aolhada panorâmica, e
que ao
contrário, exige, sim,uma
aprendizagem
de
leiturada
figura.Mas
elasnão têm
direcionadoseus
esforços enem
se aprofundado para a questãoda
visualização, eem
particularcomo
a própriaPADlLLA
SANCHEZ
diz:“O que
chamamos
de
visualização,e
cujo papel é fundamental para acognição
humana,
não
éuma
questão constante e evidente.É
sobretudouma
questãode
tratamento, cuja complexidade escondidadeve
ser deSCrita”(PADILLASANCHEZ,
1992, p.189
).Virginia Padilla Sanchez,
que
em
sua
tese evidenciou a importânciade
uma
aquisição
de
tratamentospuramente
figurais para aaprendizagem de
cálculode
áreas
de
figuras planas, diz aindaque
“É preciso
também, e
este ponto é essencial,empreender
estudosmais
precisos para determinar a influência'
de cada
um
dos
fatoresde
visibilidade e
de
complexidadeque nós
distinguimos”(PADILLA
SANCHEZ,
1992, p. 189).Neste sentido,
como
professores ecomo
pesquisadores,buscamos
encontraratividades
que
auxiliem o efetivoamadurecimento
destas questões, levando-seem
O
objetivo desta pesquisa é, então, desenvolveruma
seqüência didática,em
que
serão trabalhadas atividadesde
geometria elementarque
podem
ser resolvidasatravés
de
figuras geométricas. Estas figuras serão escolhidasde maneira
que
ofereçam
uma
variabilidadede
fatoresque
auxiliem ouque
inibam a resoluçãodo
problema dado, além
de
possibilitaremque
a figura seja modificadade
várias maneiras.Porém
ébom
esclarecerque
afinalidade desta
seqüência
não
é
trabalharum
conhecimento matemático
específico,como
unidades
de
medidas,
perímetro
ou
cálculode
área,mas
atravésde
um
conhecimento matemático
levar
o
aluno a
adquiriruma
capacidade
de
visualização.Contudo,
surgem algumas
indagações a respeitoda
utilizaçãode
uma
figura,que, aliás,
são
problemas paradoxaisdo
ensinode
geometria elementar.Uma
delas éque
utilizamos figurascomo
um
objetode
ajuda paracompreender
melhor a linguagemempregada
no
enunciadode
um
problema
dado,mas
isto se fazcom
a idéiade
que
basta olhar simplesmente para a figura e, assim,encontrar a solução
do
problema. Nestecaso
a figura é consideradacomo
sendo
um
dado
intuitivoque
se basta por elamesma.
Outra é que,
permanecer
na primeira olhadade
uma
figura impede, muitasvezes,
que
focalizemosnossa
atençãoem
outras partes dela, tornando-nosincapazes
de
discernir elementos de solução possíveis para o problema dado.Mas
averdade
éque
a grande maioriados
alunostem
dificuldadeem
utilizarfiguras
como
um
auxíliona
resoluçãode
problemas, principalmenteno
sentidode
olhá-las
com
uma
maior profundidade,ou
seja,com
um
olhar matemático.Além
disso, existeuma
outra questãoque
envolve a utilizaçãode
figurasna
resolução
de
problemas, e estapode
ser colocadada
seguinte maneira:mesmo
sabendo que
as fiquras auxiliam na resoluçãode
um
problema_porque. às vezes,Para resolver todas estas indagações é preciso responder três tipos
de
questões:1) quais
são
as
operações
específicas
ao
registrodas figuras
eque permitem
àsfiguras
seruma
ajuda heurística?2)
porque
as
figuras não funcionam
sempre
como uma
ajuda
heurística?3) a
organização
de
seqüências
didáticaspermitem aos
alunos
compreender
o funcionamento das
figurasnão só
em
uma
dada
situaçãomatemática,
mas
1.6
TENTANDO
RESOLVER
NOSSO PROBLEMA
A
fimde
responder as questões levantadas anteriormente e buscar soluções paranosso
problema,nós nos apoiamos
em
nosso
referencial teório,bem como
na
própria relação teorialprática. Esta relação será possível,
uma
vezque
este trabalhode
pesquisatem
por objetivo o desenvolvimentode
uma
seqüência didática.A
resposta para a primeira questão, nósvamos
buscar na Psicologiada
Gestalt e
na
Teoriadas Apreensões de
DUVAL,
sobretudona apreensão
operatória.
Para a questão dois,
buscamos
auxílio nos trabalhosde
tesede
Ana
Maria JorgeLobo de
MESQUITA
e Virginia PadillaSANCHEZ.
Reservando-se, aqui, odireito
ao
pesquisadorde
analisar juntoaos
seus alunos ascausas
destaproblemática.
Este trabalho, se
apoiando no
estudo das respostasdas
questõesum
e dois,irá se concentrar na questão três. Então,
proporemos
tarefas a alunos sobrealgumas
situações matemáticas variando as figuras colocando e os fatoresque
facilitam
ou
que
inibem o tratamentopuramente
figural.Surge, entao,
nossa
hipótese:Um
trabalhoque
levaem
conta
os
diferentes fatoresque influenciam
na
visibilidade
de
tratamentos
puramente
figuraisdeve
capacitaros
alunos
autilizar heuristicamente
as
figuras dentrode
diferentes situaçõesmatemáticas.
E, ainda, auxiliá-los a
melhor compreender
amatemática
com
o
auxíliodas
1
cAPhuLou
o
|=uNc|oNAMENTo DE
UMA
|=|euRA
GEoMÉTR|cA
|NTRoDuçÃo
É
comum
ressaltar o papel intuitivoou
heurísticoque
as figurastêm na
representação geométrica. Vários
são
os motivosque nos
levam a crerque
asfiguras são,
de
fato,um
auxíliona
resoluçãode
problemas.Mesmo
sendo
as figurasconsideradas
como
um
objetode
auxílio, porque, às vezes, elasnão
passam
de
objetos “mortos”
sem
nada
contribuirao nosso
aluno na soluçãode
um
problema?
Porque
aabordagem
exclusivamente psicológicada
percepçãodas
figuras,aquela imediata,
não dá
condiçõesao
alunode
olhar a figuranum
nivel maisprofundo,
com
um
olhar matemático.Isto introduz, naturalmente, a idéia'
de que
aapreensão de
uma
figurageométrica
nãopode
ser pura e simplesmenteuma
apreensão
perceptiva.De
fato,Duval, 1988, distinguiu três outras formas, autônomas,
de
interpretação parauma
mesma
figura: aapreensão
operatória, aapreensão
discursiva e aapreensão
seqüêncial.A
exploração visualde
uma
figura exige muito maisque
apercepção
isoladade
formas elementares,como
um
traço,um
quadrado ou
um
círculo.É
precisofocalizar o olhar sobre outros
dados que não são
impostos imediatamenteao
olhar,se apoiar
na
correspondência entre a visãode
uma
seqüênciade
sub-figuraspertinentes e a organização
do
discurso, possibilitandouma
real exploraçãoheurística
da
figura.Então, neste capítulo,
pretendemos
analisarcomo
uma
figurapode
funcionar
de
maneira
heurística ecomo
analisá-Iaem
relaçãoàs
suas
Além
disso, fatores ligados à produtividade heurísticada
figura interferem na visibilidadede
um
tratamentopuramente
figural. Assim, outra tarefa é responderporque
nem
sempre
uma
figura
tem
um
papel heurístico.Todas
estas questõesnos
confirmamque
“ver” sobreuma
figura requerum
aprendizado.
Mesmo
porque,quando
vemos
alguma
coisa,algum
objeto físico,pode-se
não somente
ter diferentes maneirasde
dizer oque
vemos, mas, esteobjeto pode,
também,
ser vistode
diferentes maneiras, ser visto diversamente.(AUSTIN,
1971, p.125
e 126).O
fato é que,dado
um
objeto, estepode
ser organizado, perceptivamente,de
muitas maneiras. Portanto, é necessário
também,
um
estudoque
possibilite acompreensão
de
como
acontece a organização
perceptivadas
figuras.Através deste estudo
poderemos
notarque
a leiturade
uma
figura geométricanão
advém
de
uma
atividade matemática.Os
tratamentos figuraisparecem
levantarleis
de
organizaçãoda percepcão
visual, as quaismerecem
uma
análise semióticaõconcernente à determinação
de
unidadesde base que
constituem o registro figural,a possibilidade
de
articulação destas unidadesna
figura e, ainda, a modificaçãode
uma
figura inicialnuma
outra figura para fins heurísticos.i
6 Semântica relativa ao estudo das relações entre sinais e simbolos, e daquilo que eles
2.1-
A ORGANIZAÇAO
PERCEPTIVA
DAS
FIGURAS
A
teoriada
Gestalt? é, porum
lado,uma
filosofia e, por outro,uma
psicologia.De
um
lado ela introduz asnoções de
formaou de
estrutura na interpretaçãodo
mundo
físico, assimcomo
do
mundo
biológico e mental. Por outro, ela aplica estasmesmas
noções
no dominio especialda
psicologia,em
problemas precisos econcretos. Ela é dedicada, sobretudo,
ao
estudoda
percepção,da aprendizagem
esolução
de
problemas,vendo
estes elementoscomo
algo determinado pelarealidade
do
campo
vistocomo
um
todo.O
que nos
interessa, aqui neste trabalho, é a investigaçãodos
fatoresperceptivos e intelectuais
que
têm
intervenção nas situaçõesde
organizaçãofida
percepção visual, ou melhor,
dos
princípiosque regem
osmodos
como
os olhospercebem
os objetos no espaço.De
fato,encontramos
estes fatoresnos
trabalhoscom
que
a Escola Gestaltiana renovou os estudos sobre a percepção e sobre o pensamento.H
Os
princípiosda
organização
da percepçao
Uma
figura éuma
organizaçãode
elementosg,de
um
campo
perceptivonão
homogêneo,
que
constituium
todoque se
destacado
conjunto destecampo.
O
fatode podermos
distinguiruma
figuradepende
da
existênciade
um
contorno1°
que
separa a figurade
um
fundo.7
A
palavra Gestalt é traduzida como “configuração” ou “forma”, porém é preciso entender que estas palavras não expressam o sentido verdadeiro que os fundadores da teoria quiseram dar-lhe. Nestesentido, é bom deixar claro que não é que
um
objeto tenha uma forma, mas que ele é uma forma, emais, a palavra Gestalt não é somente aplicada a configurações geométricas, ela também é sinônimo.
de estrutura, organização.
8
O
termo “organização” é usado tanto para designar o processo de organizar o padrão de estímulo quanto para indicar o resultado desse processo, isto é, o percepto especifico que se obtém.9Estes elementos podem ser pontos, traços ou zonas. Os pontos e os traços caracterizam-se
respectivamente, por seu aspecto discreto ou continuo. As zonas caracterizam-se por sua forma, ou
seja, seu contorno.
