CENTRO DE TECNOLOGIA
CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE PETRÓLEO
MODELAGEM MATEMÁTICA E COMPUTACIONAL DA INJEÇÃO
DE POLÍMEROS EM RESERVATÓRIOS DE PETRÓLEO
Helton Magno de Araújo Ciríaco
Dezembro, 2018 NATAL, RN
Helton Magno de Araújo Ciríaco
MODELAGEM MATEMÁTICA E COMPUTACIONAL DA INJEÇÃO DE POLÍMEROS EM RESERVATÓRIOS DE PETRÓLEO
Trabalho apresentado ao Curso de Engenharia de Petróleo da Universidade Federal do Rio Grande do Norte como requisito parcial para a obtenção do título de Engenheiro de Petróleo.
Orientador: Prof. Dr. Adriano dos Santos Coorientador: Prof. Dr. Sidarta Araújo de Lima
Dezembro, 2018 NATAL, RN
CIRÍACO, Helton Magno de Araújo. Modelagem Matemática e Computacional da Injeção de Polímeros em Reservatórios de Petróleo. 2018. 45 f. TCC (Graduação) - Curso de Engenharia de Petróleo, Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Natal, Brasil, 2018.
Palavras-chave: Volumes finitos, Kurganov Tadmor, esquemas centrais, EOR, simulador.
Orientador: Prof. Dr. Adriano dos Santos
RESUMO
Este trabalho de conclusão de curso aborda a modelagem matemática e computacional da inje-ção de polímeros em reservatórios de petróleo. A injeinje-ção de polímeros é um método de recu-peração avançado (EOR) usado principalmente quando a injeção de água é ineficiente devido sua alta mobilidade no meio poroso. O objetivo desse trabalho é deduzir a modelagem mate-mática para o problema da injeção de polímeros e em seguida uma modelagem computacional, obtendo um simulador 1D simples e robusto. Primeiramente, as equações que governam o trans-porte de massa em meios porosos são deduzidas considerando as leis de conservação de massa. As equações obtidas são equações diferencias parciais hiperbólicas não lineares. De posse dos modelos matemáticos deduzidos, soluções analíticas são desenvolvidas. Em seguida obtém-se a discretização dos modelos matemáticos pelo método de volumes finitos proposto por Kurganov e Tadmor (2000). Posteriormente e a partir das equações discretizadas, a implementação do mé-todo em linguagem de programação FORTRAN 90 é desenvolvida. Por fim, se são conduzidas as simulações numéricas para os casos de injeção de água e polímeros, a fim de validar a imple-mentação do método e analisar diversos casos. Os resultados numéricos obtidos se mostraram acurados e com baixa difussão numérica, reafirmando as características do método utilizado.
CIRÍACO, Helton Magno de Araújo. Modelagem Matemática e Computacional da Injeção de Polímeros em Reservatórios de Petróleo. 2018. 45 f. TCC (Graduação) - Curso de Engenharia de Petróleo, Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Natal, Brasil, 2018.
Keywords: Finite volume, Kurganov Tadmor, EOR, simulator.
Advisor: Prof. Dr. Adriano dos Santos
ABSTRACT
This final project addresses a mathematical and computational modeling of polymer flooding in oil reservoirs. Polymer flooding is an EOR method used primarily in projects in which water flooding is inefficient due to its high mobility in the porous medium. The objective of this work is to derivate a mathematical modeling for the problem of polymer flooding and then a compu-tational modeling, obtaining a simple and robust 1D simulator. First, the equations governing the mass transport in porous media are obtained considering the laws of mass conservation. The equations obtained are non-linear hyperbolic partial differential equations. From the mathema-tical models derivated, analymathema-tical solutions are developed. Then the discretization of the mathe-matical models is obtained following the method of finite volumes proposed by Kurganov and Tadmor (2000). Subsequently and considering the discretized equations, the implementation of the method in programming language FORTRAN 90 is conducted. Finally, numerical simula-tions are conducted for the cases of water flooding and polymer flooding, in order to validate the implementation of the method and to analyze several cases. The Numerical results obtained were accurate and showed low numerical diffusion, restating the features of the method used.
AGRADECIMENTOS
Agradeço aos meus pais, Hilton de Lima Ciríaco e Alexandra Magna Lima de Araújo Ci-ríaco, pelo suporte incondicional durante minha tragetória acadêmica.
À minha família por compreender minha ausência nesses anos.
Aos meus amigos de curso por tornarem os dias da semana menos árduos. Aos meus professores pelo valioso conhecimento compartilhado.
Aos meus orientadores, Prof. Dr. Adriano dos Santos e Prof. Dr. Sidarta de Araújo de Lima, pelas oportunidades dadas até aqui.
Lista de Figuras
1 Esquema representando melhoria no varrido areal causado pela injeção de
polí-mero (b) frente à injeção de água (a) numa malha five-spot. . . 13
2 Comparativo da produção de óleo em um projeto de injeção de água e de injeção de polímero. . . 14
3 Esquema dos mecanismos de retenção no meio poroso. . . 16
4 Exemplo de curva de fluxo fracionário. . . 19
5 Derivada da curva de fluxo fracionário. . . 19
6 Solução matemática para a saturação de água. . . 20
7 Curvas características para solução da eq. de B-L. . . 20
8 Curvas características para solução da eq. de B-L, considerando o choque. . . . 21
9 Perfil de saturação de água na injeção de polímeros. . . 23
10 Curvas de fluxo fracionário da água e do polímero. . . 23
11 Perfil de saturação de água com platô contínuo na injeção de polímeros. . . 24
12 Esquema para construção do método de Kurganov e Tadmor. . . 29
13 Solução numérica e analítica da eq. de B-L. . . 36
14 Comparativo da curva de saturação para diferentes µw/µo(0.2, 0.5 e 1.0) . . . . 36
15 Curvas de fluxo fracionário referentes aos casos da Fig. 14 . . . 36
16 Evolução da frente de avanço da água . . . 37
17 Algoritmo para solução do sistema de equações do polímero . . . 38
18 Solução numérica e analítica da injeção de polímeros, C0 = 300ppm. . . 39
19 Solução numérica e analítica da injeção de polímeros, C0 = 700ppm. . . 39
20 Solução numérica da injeção de polímeros considerando a adsorção. . . 40
21 Solução numérica da injeção de polímeros desconsiderando a adsorção. . . 40
22 Solução numérica da injeção de um banco de polímeros (C0 = 700ppm) após 5e-3 PVI de uma banco de água. . . 41
23 Fator de recuperação (FR) na injeção de água (0 ppm) e na injeção de polímeros (300 e 700 ppm) . . . 42
Lista de Tabelas
1 INTRODUÇÃO 10
2 ASPECTOS TEÓRICOS 12
2.1 Injeção de Soluções Poliméricas . . . 12
2.2 Mecanismos de Retenção . . . 14
3 MODELAGEM MATEMÁTICA 17 3.1 Equação de Buckley-Leverett . . . 17
3.1.1 Solução Analítica . . . 18
3.2 Fluxo fracionário para Injeção de Polímeros . . . 21
3.2.1 Solução Analítica . . . 22
4 DISCRETIZAÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO 25 4.1 Método de Kurganov e Tadmor . . . 26
5 SIMULAÇÕES NUMÉRICAS 35 5.1 Injeção de Água . . . 35 5.2 Injeção de Polímeros . . . 37 5.3 Fator de Recuperação . . . 41 6 CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES 43 Referências 44
1 INTRODUÇÃO
A depleção da energia interna do reservatório, as forças capilares e forças viscosas no meio poroso são algumas das limitações que a engenharia de reservatórios busca superar ao aplicar os métodos de recuperação suplementar (EOR). O objetivo principal desses métodos é mitigar tais limitações ao injetar fluidos no reservatório, favorecendo o aumento do fator de recuperação do óleo. Dentro do reservatório, esses fluidos podem modificar as propriedades dos fluidos nativos e da formação rochosa, ou ainda, fornecer energia adicional em favor do escoamento de óleo. Para tanto, os mecanismos podem atuar de diferentes maneiras a depender do método escolhido. Na injeção de água, método amplamente utilizado na indústria, espera-se que o fluido injetado desloque o óleo in place, varrendo um fração do óleo móvel retida no meio poroso (GREEN; WILLHITE et al., 1998).
Quando a injeção de água é ineficiente, pode-se recorrer a outros métodos de EOR, como os químicos ou térmicos. A injeção de soluções poliméricas é dos métodos químicos existentes e pode ser aplicado após a injeção de água ou em alternância de bancos, por questões econômicas (HUH et al., 1990). Alguns autores, como Green, Willhite et al. (1998), referem-se à
injeção de polímeros como um processo de controle de mobilidade. Por definição, processos em que a razão de mobilidade é menor que 1,0 são assim chamados. Sendo a razão de mobilidade inversamente proporcional à viscosidade do fluido injetado, a viscosificação da água injetada pela adição de polímeros, melhora o processo de deslocamento de óleo. Além disso, a injeção de soluções poliméricas retarda ou evita a formação de caminhos preferenciais à água, aumentando a recuperação de óleo e atrasando o tempo de breakthrough (GREEN; WILLHITE et al., 1998).
Alguns autores (POPE et al., 1980) se preocuparam em modelar o escoamento da injeção de polímeros com o objetivo de prever o comportamento em campo. E nesse contexto, simuladores numéricos têm possibilitado e facilitado a aplicação da modelagem matemática.
A modelagem computacional é uma ferramenta consolidada nas comunidades científicas e visa a simulação de fenômenos físicos com modelagem complexa por meio de computado-res. Pode ser aplicada em sistemas onde se há dificuldades de obter soluções analíticas para equações complexas, transientes e fortemente não lineares (MOUKALLED et al., 2016). As equa-ções de interesse na injeção de soluequa-ções poliméricas derivam da conservação de massa e têm natureza hiperbólica. Por exemplo, a equação de Buckley-Leverett correlaciona a saturação de água em função do tempo de injeção e do espaço unidimensional, considerando a presença do
óleo no reservatório e sua menor mobilidade de escoamento. Em conjunto com a equação da conservação de massa do polímero, compõem o sistema de equações que modela a injeção de polímeros (SORBIE, 2013).
Segundo LeVeque (2002), a solução para certas equações hiperbólicas contém desconti-nuidades, que em alguns casos podem surgir espontaneamente. E isso se traduz em dificuldades de ser computadas numericamente, especialmente por métodos de diferenças finitas clássicos. Nesse caso, a tendência é ocorrer uma perda de acurácia nas regiões de descontinuidade. Uma alternativa promissora, consiste na aplicação dos métodos de volumes finitos. Nesses métodos, o domínio é discretizado em células (volumes finitos) e a integral da variável de interesse é aproximada dentro da célula.
O objetivo desse trabalho é aplicar a modelagem matemática da injeção de polímeros ao método de volumes finitos através do esquema proposto por Kurganov e Tadmor (2000). A vantagem desse método se fundamenta no cálculo da velocidade local de propagação. Essa velocidade é calculada nas interfaces dos volumes de controle, onde pode existir um salto do valor médio. O método do KT utiliza a maior velocidade de propagação obtida pelo produto do raio espectral e da jacobiana da função de fluxo (KURGANOV; TADMOR, 2000). Uma outra
característica do KT é que ele permite a formulação semi-discreta do problema, onde o tempo é contínuo e pode ser solucionado pelo método de Runge-Kutta para equações diferenciais or-dinárias. Tendo isso em vista, o método do KT é conhecido por resultar em difusões numéricas baixas, apresentando bons resultados numéricos para a solução de equações hiperbólicas ( GO-MES, 2015).
Na primeira parte deste trabalho, uma revisão teórica sobre a injeção de polímeros no escopo de engenharia de reservatórios será realizada. No capítulo seguinte, será abordada as deduções e soluções analíticas das equações matemáticas do modelo de Buckley-Leverett e do sistema de injeção de polímeros. Partindo da modelagem matemática, a discretização desses modelos serão detalhadas no capítulo posterior, seguindo o método proposto por Kurganov e Tadmor (2000). Finalmente, a fim de validar a implementação do método numérico, simulações numéricas para o caso de Buckley-Leverett e para o sistema de equações da injeção de polímeros foram conduzidas. Ambos problemas foram comparados às soluções analíticas discutidas no desenvolvimento desse trabalho. O pós-processamento das soluções numéricas e analíticas se deu no MATLAB.
2 ASPECTOS TEÓRICOS
2.1 Injeção de Soluções Poliméricas
A aplicação de soluções poliméricas como método de recuperação suplementar visa, de forma geral, a correção da mobilidade do fluido injetado. A correção ocorre tanto devido ao aumento da viscosidade da água, como à redução da permeabilidade relativa à água. Em geral, é recomendado sua aplicação em reservatórios de alta heterogeneidade e razão de mobilidade alta (LAKE et al., 1989).
A mobilidade de um fluido em meio poroso é definido como sendo a divisão da permea-bilidade do fluido pela sua viscosidade (Eq. 2.1). A razão de mopermea-bilidade, por sua vez, é a razão das mobilidades do fluido injetado e do fluido deslocado, neste trabalho, água e óleo respecti-vamente (Eq. 2.2). A razão de mobilidade é um indicativo da eficiência de varrido do processo. Quanto menor for a razão de mobilidade, melhor será o varrido. Pode-se dizer então que altas razões de mobilidade podem ser um indicativo do surgimento de caminhos preferenciais à água e breakthrough prematuro. A Figura 1 mostra um comparativo de dois casos de razão de mobi-lidade. Em (a), água com alta razão de mobilidade é injetada, já em (b), uma solução polimérica com menor razão. Percebe-se que no primeiro caso, uma área considerável de óleo é deixada de ser varrida, enquanto no deslocamento com polímero, o óleo é deslocado ao poço produtor em sua maioria (GREEN; WILLHITE et al., 1998).
↵ = k↵ µ↵ (2.1) M = w o = kwµo µwko (2.2)
onde ↵ é a mobilidade de um fluido ↵, k↵ a permeabilidade da fase, µ↵ a viscosidade da
fase e M a razão de mobilidade. ↵ = w, o onde w e o representando as fases água e óleo, respectivamente.
Needham, Doe et al. (1987) destacaram 3 formas potenciais na qual a injeção de po-límeros pode tornar o processo de recuperação de óleo mais eficiente: (1) através dos efeitos da viscosificação do polímero sobre o fluxo fracionário, (2) promovendo um varrido areal mais uniforme, e (3) redirecionando a água injetada a zonas não varridas. O efeito do polímero so-bre o fluxo fracionário diz respeito à maior resistência ao escoamento da água injetada devido
Figura 1–Esquema representando melhoria no varrido areal causado pela injeção de polímero (b) frente à injeção de água (a) numa malha five-spot.
INJEÇÃO DE ÁGUA COM RAZÃO DE MOBILIDADE DESFAVORÁVEL ÓLEO ÓLEO PRODUTOR INJETOR INJETOR PRODUTOR INJEÇÃO DE POLÍMERO COM RAZÃO DE MOBILIDADE FAVORÁVEL a) b)
Fonte: Sorbie (2013) - adaptado
ao aumento da viscosidade da solução. Quando a razão de viscosidade água/óleo diminui, a frente de avanço se torna mais lenta e há maior deslocamento de óleo. Além disso, ao aumentar a viscosidade da água, o polímero promove um varrido areal mais uniforme, atenuando o pro-blema de caminhos preferências à água. E finalmente, em reservatórios altamente heterogêneos, a solução polimérica deposita nos poros de alta permeabilidade parte da massa do polímero, re-duzindo a permeabilidade e redirecionando o escoamento da água para caminhos antes não visitados (NEEDHAM; DOE et al., 1987).
Durante a injeção, o polímero pode sofrer degradação de diferentes tipos. Sheng et al. (2015) destacaram a degradação química, mecânica e biológica. A presença de íons ferrosos e dos fenômenos da oxidação são os principais causadores da instabilidade química. O íon Fe2+
tem a capacidade de anular quase completamente o efeito da viscosificação do polímero. A oxidação pode ser controlada regulando a quantidade de oxigênio injetado com a solução poli-mérica. A degradação mecânica diz respeito à quebra da molécula do polímero devido a altas tensões de cisalhamento, principalmente perto do poço, onde o fluido é injetado à alta velo-cidade. Além dessas formas de degradação, os polímeros utilizados em injeção podem servir como substrato para bactérias do reservatório, independente se são sintéticos ou biopolímeros.
O incremento de óleo recuperado devido à injeção de polímero em relação a um projeto de injeção de água é uma questão importante, pois justifica a aplicação do método baseado no retorno financeiro em determinada escala de tempo. Na Figura 2, se é comparado o volume de óleo adicional quando aplica-se a injeção de polímero. Mesmo embora no tempo infinito não exista diferença no volume recuperado, a injeção de polímero antecipa a produção e pode ser
economicamente mais atraente (SORBIE, 2013).
Figura 2–Comparativo da produção de óleo em um projeto de injeção de água e de injeção de polímero.
Fonte: Sorbie (2013)
A viscosidade da solução polimérica é função da concentração do polímero em solu-ção. Dos vários modelos que relacionam esses dois parâmetros, a equação de Flory-Huggins proposto por Flory (1953) será considerada ao longo desse trabalho. Adotando os parâmetros utilizados em Wegner e Ganzer (2012), a equação se apresenta na forma seguinte
µw = µ0w(1 + (4c + 6c3)10 0.24) (2.3)
onde µ0
w é a viscosidade de água inicial e c a concentração de polímeros em kg/m3.
2.2 Mecanismos de Retenção
O objetivo de se adicionar polímero à água de injeção é nada menos que viscosificá-la. Em contrapartida, inúmeros efeitos físico-químicos no meio poroso atuam para sequestrar a molécula do polímero em solução. O que torna-se indesejável, visto que a água perderá seu comportamento viscoso. Segundo a detalhada revisão bibliográfica realizada por Sorbie (2013), três mecanismos de retenção existem no sistema de injeção de polímero: adsorção, retenção mecânica e retenção hidrodinâmica.
Segundo Sorbie (2013), a adsorção de polímeros pela formação rochosa ocorre devido a forças de natureza eletrostática Segundo o autor ainda, a adsorção é o principal mecanismo de retenção em geral. Sua inclusão na modelagem matemática é de grande relevância. Outro ponto a ser considerado na adsorção é que essa é considerada irreversível para o caso do polímero. O’Shaughnessy e Vavylonis (2004) justificam esse fato devido ao alto número de unidades de repetição que existe em uma molécula de polímero. No entanto, outros autores, como
Kron-berg, Holmberg e Lindman (2014), sugerem que possa haver um processo de substituição entre polímeros de massa molecular diferente. Diante desses fatos, o estudo da cinética de adsorção se mostra relevante.
Um modelo simples e que é usado em vasta maioria da literatura é o modelo de Lang-muir. Esse modelo foi proposto Langmuir (1918) e considera que a adsorção está em equilíbrio, ou seja, acontece instantaneamente. A isoterma de adsorção de Lagnmuir é dada pela Equação 2.4 (VICENTE; PRIIMENKO; PIRES, 2014).
(c) = ↵c
1 + c (2.4)
onde c é a concentração de polímeros e ↵ e parâmetros de ajuste.
Outro mecanismo de retenção citado por Sorbie (2013) é a retenção mecânica. Esse fenômeno ocorre apenas quando as moléculas de polímeros são maiores que os canais do poros. Quando isso acontece, as moléculas podem bloquear a entrada do poro, desviscosificando a água, e impedindo que outras moléculas atrás passem pelo poro.
O último mecanismo mencionado por Sorbie (2013) é a retenção hidrodinâmica, que surge apenas durante o escoamento. É a menos compreendida cientificamente, porém de menor contribuição na retenção. Em muitas situações práticas, seu efeito é desprezado. A retenção hidrodinâmica ocorre quando a molécula de polímero encontra poros sem saída ou pontos de estagnação, ocasionando sua retenção. No entanto, tal efeito não necessariamente é permanente, pois depende das condições do escoamento.
A Figura 3 mostra um esquema gráfico dos mecanismos de retenção de polímeros no meio poroso.
Figura 3–Esquema dos mecanismos de retenção no meio poroso. POLÍMERO APRISIONADO MECANICAMENTE EM POROS ESTREITOS ESCOAMENTO PELO MEIO POROSO POLÍMERO APRISIONADO HIDRODINAMICAMENTE EM PONTOS DE ESTAGNAÇAO POLÍMERO ADSORVIDO
3 MODELAGEM MATEMÁTICA
Neste capítulo, as equações pertinentes ao fluxo fracionário de água e à injeção de po-límeros serão deduzidas, assim como suas soluções analíticas. As equações são obtidas con-siderando a conservação de massa e a lei de Darcy para escoamento em meio poroso, sob as seguintes hipóteses: (1) Meio poroso homogêneo e rígido; (2) Fluidos incompressíveis e imiscí-veis; (4) Efeitos de dispersão, capilaridade e gravidade desprezíimiscí-veis; (5) Meio poroso saturado com óleo e água (RIBEIRO; PIRES et al., 2008).
3.1 Equação de Buckley-Leverett
O modelo matemático proposto por Buckley, Leverett et al. (1942) para a modelagem do escoamento de fluidos imiscíveis em meios porosos é resultado da aplicação das leis de conservação de massa e da lei de Darcy. A equação de Buckley-Leverett despreza as forças gravitacionais, reduzindo o potencial de fluxo do fluido à derivada espacial da pressão em cada fase, além de desprezar as forças capilares, o que permite considerar que as pressões nas fases são iguais (BUCKLEY; LEVERETT et al., 1942).
Seguindo a dedução da equação da continuidade proposta por Willhite (1986) e consi-derando um meio linear e sob escoamento unidimensional, obtém-se a equação deduzida por Buckley, Leverett et al. (1942) para a injeção de água em reservatórios de petróleo (Eq. 3.1).
@sw
@t + ut @fw
@x = 0 (3.1)
onde swé a saturação de água, fwé o fluxo fracionário de água, a porosidade do meio poroso,
ut= uw+ uoa velocidade total, sendo uw e uoas velocidades de Darcy das fases água e óleo,
respectivamente.
A construção da solução analítica da Equação 3.1 será discutida na subseção seguinte. Ao aplicar a lei de Darcy no modelo, é possível relacionar o fluxo fracionário às permeabilidades relativas, que são função da saturação da água. Além do trabalho pioneiro por Buckley, Leverett et al. (1942), outras relevantes contribuições posteriores de (Collins (1976); Craig (1971); Dake (1983)) foram agregadas no desenvolvimento da solução do modelo, que tem natureza hiperbó-lica e demanda artifícios matemáticos frente às restrições físicas impostas à solução (LAKE et al., 1989).
3.1.1 Solução Analítica
A equação de Buckley-Leverett é uma equação diferencial parcial hiperbólica não linear com função de fluxo não-convexa. Para superar a inconsistência física de problemas de natu-reza não-convexa, um choque é inserido cortando regiões de múltiplas soluções. Tal método é conhecido na literatura como regra de áreas iguais e pode ser visto como consequência da conservação. Nesse sentindo, a integral da solução matemática deve ser equivalente a integral da solução descontínua. A condição de salto de Rankine-Hugoniot será aplicada com o objetivo de obter a velocidade da propagação da descontinuidade e sua posição no domínio espacial ( LE-VEQUE, 2002). Em seu trabalho Welge et al. (1952) aplicou essa técnica para obter a saturação
média de água e estimar o óleo recuperado de um reservatório.
Substituindo as velocidades de Darcy definidas anteriormente na equação de fluxo fra-cionário (Eq. 3.2) e assumindo que a pressão capilar é nula (Pw Po = Pc = 0), obtém-se o
fluxo fracionário em função das permeabilidades relativas e das viscosidades das fases fw = uw ut (3.2) fw = krw(sw) µw krw(sw) µw + kro(so) µo (3.3)
onde so é a saturação de óleo, krw e kro as permeabilidades relativas das fases água e óleo,
respectivamente, µwe µo as viscosidades dos fluidos.
Seja so = 1 sw, pode-se concluir que fw = fw(sw). Dessa forma, aplicando a regra
da cadeia no termo do fluxo fracionário da Equação 13, tem-se @fw @x = @fw @sw @sw @x (3.4)
Substituindo 3.4 na Equação 13 e adimensionalizando as variáveis x e t, obtém-se @sw @tD +@fw @sw @sw @xD = 0 (3.5) onde xD = x L e tD = utt L, sendo utconstante em t.
Sendo a saturação de água função de xD e tD, pode-se obter o diferencial total de sw
dsw = ✓ @sw @xD ◆ tD dxD + ✓ @sw @tD ◆ xD dtD (3.6)
Se considerado um plano com saturação de água constante (dsw = 0) em deslocamento,
a Equação 3.6 pode ser reescrita da seguinte forma ✓ @sw @tD ◆ xD = ✓ @sw @xD ◆ tD dxD dtD (3.7)
Substituindo a Equação 3.7 na Equação 3.5, obtém-se ✓ @sw @xD ◆ tD dxD dtD + @fw @sw @sw @xD = 0 (3.8) Ou ainda ✓ @xD @tD ◆ sw = ✓ @fw @sw ◆ tD (3.9)
O que equivale dizer que a velocidade da frente de avanço com saturação swcorresponde
à derivada do fluxo fracionário em relação à saturação de água.
Admitindo um dos modelos conhecidos de permeabilidade relativa em função da satu-ração do fluido (e.g. Corey et al. (1954)), a curva de fluxo fracionário de água terá formato de S, partindo da saturação de água conata (swc) até a saturação máxima de água (1 sor), onde
sor é a saturação residual de óleo. Uma esquema da curva de fluxo fracionário é mostrado na
Figura 4.
Figura 4–Exemplo de curva de fluxo fracionário.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 sw 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 fw
Fonte: Willhite (1986) - adaptado
Figura 5–Derivada da curva de fluxo fracionário.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 sw 0 1 2 3 4 5 6 dfw dsw
Figura 6–Solução matemática para a saturação de água. 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 xD 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 sw
Fonte: Willhite (1986) - adaptado
Figura 7–Curvas características para solução da eq. de B-L. 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 t
Fonte: Juanes e Patzek (2004) - adaptado
Como é possível observar na Figura 5, a derivada f0
w(sw)é uma função não-monótoma.
Essa classe de equações hiperbólicas são denominadas de não-convexas e apresentam soluções não físicas em determinadas regiões (LEVEQUE, 2002). A curva contínua da Figura 6 representa
a solução matemática para a equação de Buckley-Leverett. Nota-se que existe soluções em duplicidade na região frontal, que também podem ser inferidas pelas curvas características que se interceptam na Figura 7.
Para superar essa limitação, Welge et al. (1952) inseriu um choque dividindo duas re-giões de mesma área, representado pela curva pontilhada na Figura 6. O que é equivalente a traçar uma característica saindo da origem do plano xD tD, na qual impede que as
carac-terísticas que partem de tD = 0 e xD = 0 se cruzem. Complementarmente, a velocidade de
propagação do choque e a posição dele no espaço devem ser obtidas utilizando a condição de Rankine-Hugoniot (LEVEQUE, 2002).
m(sr sl) = fw(sr) fw(sl) (3.10)
onde sr e sl representam a solução à direita e à esquerda do choque, respectivamente.
Considerando que sl = s⇤, onde s⇤ é a saturação do choque à montante, e que sr pode assumir
qualquer valor à direita do choque, pode-se igualar a relação da velocidade de propagação de uma saturação constante já obtida (Eq. 3.9) à condição de Rankine-Hugoniot:
✓ dfw dsw ◆ s⇤ = fw(sr) fw(s⇤) (sr s⇤) = m (3.11)
A velocidade de propagação da frente de avanço com saturação s⇤ pode, portanto, ser
obtida a partir da Equação 3.11, visto que a função fw(sw) é conhecida. Vale ressaltar que é
possível obter uma solução gráfica simples e direta. Para tanto, considerando que a solução à direita sr seja a saturação de água conata swc e que fluxo fracionário nesse ponto seja nulo, a
saturação do choque será a tangente da curva na qual uma reta que parte de swccom inclinação
mtoca. A Figura 8 representa a reconstrução das curvas características com o choque.
Figura 8–Curvas características para solução da eq. de B-L, considerando o choque.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 t
Fonte: Juanes e Patzek (2004) - adaptado
3.2 Fluxo fracionário para Injeção de Polímeros
A modelagem da injeção de uma solução polimérica em reservatórios de petróleo con-siste de um con-sistema de duas equações hiperbólicas. Assume-se que a massa do polímero é total-mente solubilizada na fase água, formando um sistema bifásico imiscível de solução polimérica e óleo, que pode ser modelado por uma extensão do modelo de Buckley-Leverett. Essa extensão foi apresentada pioneiramente por Pope et al. (1980). Além disso, considera-se que uma fração da massa do polímero é perdida instantaneamente por adsorção no meio poroso (ver Seção 2.2) (MYKKELTVEDT; AAVATSMARK; LIE, 2014).
De maneira similar à modelagem da equação de Buckley-Leverett, a equação da conser-vação de massa de polímero pode ser derivada. Porém, vale ressaltar que a retenção de polímero por adsorção deve ser incluída na modelagem, já que parte da concentração do polímero
per-manece dentro do volume de controle (RIBEIRO; PIRES et al., 2008). Portanto, obtém-se que @sw @t + ut @fw @x = 0 (3.12) @ @t( swC) + @ @t + ut @ @x(fwC) = 0 (3.13)
onde representa a concentração de polímero adsorvida no meio poroso e que = (C). Adimensionalizando as variáveis x e t e expandindo a Equação 3.13, obtém-se
✓ @sw @tD ◆ + ✓ @fw @xD ◆ = 0 (3.14) ✓ sw+ 1 @ @C ◆ @C @tD + fw @C @xD = 0 (3.15) onde xD = x L e tD = utt L, sendo utconstante em t. 3.2.1 Solução Analítica
Em seu trabalho, Pope et al. (1980) dedicaram atenção ao fluxo fracionário para injeção de polímeros, ao propor a solução analítica para o modelo. Concluíram que havia a formação de dois choques na solução, sendo um referente à saturação da água desnudada de polímero e o segundo referente ao choque da zona de água polimerizada. Sorbie (2013) baseou-se no trabalho de Pope et al. (1980) para estender a interpretação das formações dos choques, apresentando de maneira clara e detalhada a solução analítica. Nesta seção, será discutida a solução analítica apresentada por Sorbie (2013).
Considerando a Figura 9, as variáveis swj e fwj(j = 1, 2, 3, 4)representam a saturação
Figura 9–Perfil de saturação de água na injeção de polímeros.
Fonte: Sorbie (2013)
Figura 10–Curvas de fluxo fracionário da água e do polímero.
Fonte: Sorbie (2013)
A saturação sw4do choque do polímero pode ser obtida se sua velocidade for igualada
à velocidade do choque do polímero. O que é equivalente a encontrar um ponto tangente entre a reta que parte de Ca/Ci = D e a curva de fluxo fracionário do polímero (ver Fig. 10).
Portanto, tem-se que ✓ dfw dsw ◆ polimero = fw4 sw4+ D (3.16) onde D é o fator de retardamento devido à adsorção.
Se comparada a condição de salto do choque do polímero e a saturação de água situados ao longo da frente de avanço, a saturação de água exatamente em frente ao choque do polímero pode ser obtida solucionando a seguinte equação:
fw4 sw4+ D = ✓ fw4 fw3 sw4 sw3 ◆ (3.17) onde sw4 e fw4foram calculados na Equação 3.16. Graficamente, procura-se por um ponto de
interseção da reta que parte de Ca/Ci = De a curva de fluxo fracionário da água.
Finalmente, para se obter a saturação sw2, exatamente atrás do choque da saturação de
água, procede-se da mesma maneira que no modelo de Buckley-Leverett, ou seja: ✓ dfw dsw ◆ agua,sw2 = fw2 sw2 sw1 (3.18)
Pode-se considerar ainda, dois possíveis casos para formação do platô entre os dois cho-ques. Se sw3 < sw2, forma-se um platô de saturação constante entre as duas frentes de avanço,
sw3 = sw2. Por outro lado, se sw3 > sw2, a saturação de água deve decrescer de sw3até sw2. O
2013).
Figura 11–Perfil de saturação de água com platô contínuo na injeção de polímeros.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
x
D 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8s
w4 DISCRETIZAÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO
Neste capítulo, será tratado a discretização por volumes finitos dos modelos matemáticos propostos no capítulo anterior, Equações 3.1 e 3.13, com o objetivo de simular numericamente a injeção de água e polímeros em um reservatório linear. A discretização inicial por volumes fini-tos é feita integrando o modelo matemático dentro dos volumes de controle (PATANKAR, 1980). O desenvolvimento das discretizações posteriores seguiu o método proposto por Kurganov e Tadmor (2000).
O esquema proposto por Kurganov e Tadmor (2000) se classifica dentro dos métodos de alta-ordem obtidos a partir do algoritmo REA utilizando uma reconstrução linear. O algo-ritmo REA (Reconstruct, Evolve, Average) foi proposto por Godunov (1959) para a solução de equações diferenciais parciais através da reconstrução da solução no volume de controle, da sua evolução e por fim da média das soluções evoluídas. O método do KT tem segunda ordem de acurácia e permite uma formulação semidiscreta. A difusão numérica desse método independe do passo de tempo e tem ordem de O(( x)3). Portanto, tem a vantagem de não apresentar
alta difusão numérica, em contraste aos métodos clássicos (e.g. Lax-Friedrichs, Upwind) ou ao método proposto por Nessyahu e Tadmor (1990).
O método do KT propõe tratar regiões de interfaces, onde podem ocorrer descontinui-dades, e regiões contínuas separadamente. Fazendo isso, garante menor difusão numérica. De posse da velocidade de propagação máxima local é possível a construção de uma malha auxi-liar que define os limites dessas regiões. O volume de controle auxiauxi-liar da malha é obtido em torno das regiões de descontinuidade a partir das velocidades locais mais precisas (KURGANOV; TADMOR, 2000).
Relembrando as equações de interesse para modelagem da injeção de água e polímeros: ✓ @sw @tD ◆ + ✓ @fw @xD ◆ = 0 (4.1) ✓ sw+ 1 @ @C ◆ @C @tD + fw @C @xD = 0 (4.2)
Podem ser reescritas na forma generalizada de uma equação diferencial parcial hiperbó-lica homogênea com coeficientes não constantes
@('U )
onde ' = 1, U = sw e F = fw para caso da equação de Buckley-Leverett e ' = sw + 1 @@C,
U = Ce F = fwCpara caso da equação de conservação de polímero
Na abordagem apresentada por LeVeque (2002) para a discretização generalizada de volumes finitos, a Equação 4.3 é integrada no tempo e no espaço [Xn
i 1/2, Xi+1/2n ]⇥ [Tn, Tn+1] Z Xi+1/2 Xi 1/2 Z Tn+1 Tn @('U ) @T + @F @X = 0 dT dX (4.4)
Portanto, fazendo o uso do teorema fundamental do cálculo para obter:
'n+1i Z Xi+1/2 Xi 1/2 U (X, Tn+1)dX = 'ni Z Xi+1/2 Xi 1/2 U (X, Tn)dX Z Tn+1 Tn [F (U (Xi+1/2, T )) F (U (Xi 1/2, T ))]dT (4.5)
A solução numérica do problema modelo só será possível de se obter se as integrais forem resolvidas discretamente e de forma acurada. Será adotado nesse trabalho o método KT (KURGANOV; TADMOR, 2000), que é baseado no algoritmo REA (Reconstruct, Evolve, Average)
proposto por Godunov (1959).
4.1 Método de Kurganov e Tadmor
A discretização do problema modelo seguindo o método do KT, pode ser obtida a a partir da abordagem proposta por Godunov (1959), o algoritmo REA, o qual é dividido em três passos: Reconstrução, Evolução e média. Resumidamente, no passo Reconstrução (R), uma função polinomial linear é usada para reconstruir a solução na célula a partir da solução média; no passo Evolução (E), toma-se a função polinomial reconstruída e a evolui no tempo; por fim no passo média (A) se obtém a solução média integrando a solução evolvida sobre os volumes finitos (LEVEQUE, 2002).
Assumindo que a solução no tempo Tn em cada volume de controle é conhecida, a
velocidade de propagação pode ser estimada conforme a Equação 4.6.
ani+1/2 =
maxn⇢⇣@F@U(Ui+1/2+ )⌘, ⇢⇣@F@U(Ui+1/2)⌘o
onde Ui+1/2+ = Ui+1n X 2 (UX) n i+1 (4.7) Ui+1/2 = Uin+ X 2 (UX) n i (4.8)
Seja k(F ) autovalor de F, então ⇢(F ) := k(F ). Assim, as coordenadas das faces do
volume de controle auxiliar em torno da interface Xi+1/2podem ser calculadas pelas seguintes
expressões
Xn
i+1/2,l= Xi+1/2 ani+1/2 T
Xn
i+1/2,r = Xi+1/2+ ani+1/2 T
onde o subscrito r, l referem-se à face direita e esquerda, respectivamente, do volume de con-trole auxiliar Xi+1/2.
A não oscilatoriedade do método é garantida se a condição CFL do método não for ex-cedida. A partir do princípio máximo Kurganov e Tadmor (2000) propuseram que essa condição será CF L = T Xa n i⌥1/2 1 8 (4.9)
Passo R (Reconstruct): A reconstrução se dá por uma função polinomial linear por partes, na qual faz uso da solução média ¯Un
i e da aproximação da derivada da solução média (UX)ni
U (X, Tn)⇡X i ˜ Uin i(X) (4.10) X i ˜ Uin i(X) = X i [ ¯Uin+ (UX)ni(X Xi)] i(X), 8X 2 [Xi 1/2n , Xi+1/2n ] (4.11)
onde i(X)é uma função característica do intervalo, ou seja, i(X) = 1se X 2 [Xi 1/2n , Xi+1/2n ]
e i(X) = 0, caso contrário. As aproximações das derivadas são computadas utilizando o
li-mitador MinMod, em acordo com o que foi proposto por Kurganov e Tadmor (2000), visto a necessidade de garantir a não-oscilatoriedade do método. NT trouxeram em seu trabalho a função MinMod na seguinte forma:
(UX)ni = M inM od ✓ ✓U¯i U¯i 1 X , ¯ Ui+1 U¯i 1 2 X , ✓ ¯ Ui+1 U¯i X ◆
onde o limitador MinMod é definido por M inM od(q1, q2, ..., qn)⌘ 8 > > > > < > > > > : minj{qj}, se qj > 0 8j maxj{qj}, se qj < 0 8j 0, caso contrário
Passo E (Evolve): De posse das velocidades locais de propagação obtidas anteriormente, busca-se a evolução da solução dentro dos volumes de controle da malha auxiliar. Babusca-seado na dis-cretização obtida na Equação 4.5, e na reconstrução do passo anterior, a solução média em [Xi+1/2,l, Xi+1/2,r]⇥ [Tn, Tn+1]segue:
Z Xn i+1/2,r Xn i+1/2,l ['n+1U (X, Tn+1)]dX = 1 Xn i+1/2 Z Xn i+1/2 Xn i+1/2,l ['nU˜i(X, Tn)]dX + Z Xn i+1/2,r Xn i+1/2 ['nU˜i+1(X, Tn)]dX 1 Xn i+1/2 Z Tn+1 Tn [F (U (Xi+1/2,rn , T )) F (U (Xi+1/2,ln , T ))]dT (4.12)
Substituindo a função polinomial linear por partes (Eq. 4.11) na Equação 4.12, e consi-derando que ' é constante dentro de cada volume de controle original, tem-se que
wi+1/2n+1 = 1 'n+1i+1/2 Xn i+1/2 'ni Z Xn i+1/2 Xn i+1/2,l [ ¯Uin+ (cX)ni(X Xi)]dX+ 'ni+1 Z Xn i+1/2,r Xn i+1/2
[ ¯Ui+1n + (cX)ni+1(X Xi+1)]dX
1 Xn i+1/2 Z Tn+1 Tn [F (U (Xn i+1/2,r, T )) F (U (Xi+1/2,ln , T ))]dT (4.13)
Resolvendo os termos das integrais espacias de maneira exata e aproximando numerica-mente a integral temporal pela regra do ponto médio, segue que
wi+1/2n+1 = 1 'n+1i+1/2 1 2(' n iU¯in+ 'ni+1U¯i+1n ) + X an i+1/2 T 4 [' n i(Ux)ni 'ni+1(Ux)ni+1] 1 2an 1+1/2 F (Ui+1/2,rn+1/2) F (Ui+1/2,ln+1/2) +O( T2) (4.14)
onde
'n+1i+1/2 = '
n+1
i + 'n+1i+1
2 (4.15)
Analogamente, pode-se aplicar o mesmo procedimento usado acima para obter a solução evo-luída nos volumes de controle em torno de Xi 1/2e Xi. Portanto, tem-se
wi 1/2n+1 = 1 'n+1i 1/2 1 2(' n i 1U¯i 1n + 'niU¯in) + X an i 1/2 T 4 [' n i 1(Ux)ni 1 'ni(Ux)ni] 1 2an 1 1/2 F (Ui 1/2,rn+1/2) F (Ui 1/2,ln+1/2) +O( T2) (4.16) win+1= 1 'n+1i 'ni ✓ ¯ Uin+ (UX) n i 2 (a n i 1/2 ani+1/2) T ◆ T X T (an i+1/2 ani 1/2) ✓ F (Ui+1/2,ln+1/2) F (Ui 1/2,rn+1/2) ◆ +O( T2) (4.17)
Figura 12–Esquema para construção do método de Kurganov e Tadmor.
Fonte: Gomes (2015)
Passo A (Average): Obtidas as soluções médias dos volumes de controle auxiliares no Passo E, a solução projetada sobre a malha real pode ser calculada considerando que
¯ Uin+1 = 1 X Z Xi+1/2 Xi 1/2 Uin+1dX (4.18)
onde
U (X, Tn+1)⇡X
i
˜
Uin+1 i(X), 8X 2 [Xi 1/2n , Xi+1/2n ] (4.19)
e i+1/2(X) = 1 se X 2 [Xi 1/2n , Xi+1/2n ] e i+1/2(X) = 0, caso contrário. Será utilizado
funções polinomiais lineares em cada volume de controle para realizar a projeção da solução, sendo essas dadas por
8 > > < > > : ˜ wn+1i 1/2 = wn+1i 1/2+ (UX)n+1i 1/2(X Xi 1/2), ˜ wn+1i = win+1, ˜
wn+1i+1/2 = wn+1i+1/2+ (UX)n+1i+1/2(X Xi+1/2).
(4.20)
A integral da Equação 4.18 é reescrita considerando as aproximações lineares (4.20) nos volumes de controle auxiliares. O que resulta em
¯ Uin+1 = 1 X "Z Xn i 1/2,r Xn i 1/2 ˜ wn+1i 1/2(X)dX + Z Xn i+1/2,l Xi 1/2,r ˜ wn+1i (X)dX + Z Xn i+1/2 Xn i+1/2,l ˜ wn+1i+1/2(X)dX # (4.21) ou ainda ¯ Uin+1= 1 X Z Xn i 1/2,r Xn i 1/2 [wni 1/2+ (cX)n+1i 1/2(X Xi 1/2)]dX + 1 X Z Xn i+1/2,l Xn i 1/2,r wn+1i dX + 1 X Z Xn i+1/2 Xn i+1/2,l
[wi+1/2n + (cX)n+1i+1/2(X Xi+1/2)]dX
Vale ressaltar que a solução média wn+1
i da segunda integral é constante dentro do intervalo de
integração e dispensa a aproximação linear. Portanto, resolvendo as integrais da Equação 4.21, conclui-se que ¯ Uin+1 = T a n i 1/2 X w n+1 i 1/2+ 1 T X(a n i 1/2+ ani+1/2) win+1+ T an i+1/2 X wi+1/2 + ( T ) 2 2 X [(a n i 1/2)2(UX)n+1i 1/2 (ai+1/2n )2(UX)n+1i+1/2] (4.22) As soluções médias wn+1 i+1/2, w n+1 i 1/2e w n+1
ser inseridas na Equação 4.22, que pode, por sua vez, ser multiplicada por 'n+1 i 'n+1i U¯in+1 = 'niU¯in+ T X ⇢ 1 'n+1i + 'n+1i+1 ani+1/2 ✓ 'ni+1'n+1i ✓ ¯ Ui+1n X 2 (UX) n i+1 ◆ 'ni'n+1i+1 ✓ ¯ Uin X 2 (UX) n i ◆◆
'n+1i F (Ui+1/2,rn+1/2) + 'n+1i+1F (Ui+1/2,ln+1/2) 1 'n+1i 1 + 'n+1i ani 1/2 ✓ 'ni'n+1i 1 ✓ ¯ Uin X 2 (UX) n i ◆◆ ✓ 'ni 1'n+1i ✓ ¯ Ui 1n X 2 (UX) n i 1 ◆◆ 'n+1i 1F (Ui 1/2,rn+1/2)+'in+1F (Ui 1/2,ln+1/2) +O( T2) (4.23) Se 'n
iU¯infor subtraído da Equação 4.23 e essa dividida por T , chega-se a
'n+1i U¯in+1 'n iU¯in T = 1 X ⇢ 1 'n+1i + 'n+1i+1 ani+1/2 ✓ 'ni+1'n+1i ✓ ¯ Ui+1n X 2 (UX) n i+1 ◆ 'ni'n+1i+1 ✓ ¯ Uin X 2 (UX) n i ◆◆
'n+1i F (Ui+1/2,rn+1/2) + 'n+1i+1F (Ui+1/2,ln+1/2) 1 'n+1i 1 + 'n+1i ani 1/2 ✓ 'ni'n+1i 1 ✓ ¯ Uin X 2 (UX) n i ◆◆ ✓ 'ni 1'n+1i ✓ ¯ Ui 1n X 2 (UX) n i 1 ◆◆ 'n+1i 1F (Ui 1/2,rn+1/2)+'n+1i F (Ui 1/2,ln+1/2) +O( T ) (4.24)
As soluções nos tempos intermediários Tn+1/2 das funções de fluxo da Equação 4.24
podem ser aproximadas pela a aplicação da expansão em série de Taylor: Ui+1/2,rn+1/2 = Ui+1/2,rn + T
2 (U
n
i+1/2,r)T (4.25)
Invocando a Equação 4.3 e a derivando, tem-se que '@U @T + U @' @T + @F @X = 0 (4.26) ou reescrevendo @U @T = 1 ' ✓ U @' T + @F @X ◆ (4.27) Portanto, pode-se substituir a derivada temporal da Equação 4.25 utilizando a Equação 4.27, obtendo-se Ui+1/2,rn+1/2 = Ui+1/2,rn T 2' F (Ui+1/2,rn )X + Ui+1/2,rn @' @T (4.28) A solução na interface Un
da velocidade de propagação e T
Ui+1/2,rn = ¯Ui+1n + (UX)ni+1[Xi+1/2,rn Xi+1]
= ¯Ui+1n + (UX)ni+1[(Xi+1/2n + ani+1/2 T ) Xi+1]
= ¯Ui+1n + (UX)ni+1 ✓ X 2 + a n i+1/2 T ◆
= ¯Ui+1n X(UX)ni+1
✓ 1 2 T Xa n i+1/2 ◆ (4.29)
Analogamente, podem ser obtidas as soluções no tempo intermediário das outras inter-faces dos volumes de controle auxiliar, como segue:
8 > < > : Ui+1/2,ln+1/2 = Un i+1/2,l T 2' F (Un i+1/2,l)X + Ui+1/2,ln @' @T Un i+1/2,l = ¯Uin+ X(UX)ni ⇣ 1 2 T Xa n i+1/2 ⌘ 8 > < > : Ui 1/2,rn+1/2 = Un i 1/2,r 2'T F (Un i 1/2,r)X + Ui 1/2,rn @' @T Un i 1/2,r = ¯Uin X(UX)ni ⇣ 1 2 T Xa n i 1/2 ⌘ 8 > < > : Ui 1/2,ln+1/2 = Un i 1/2,l 2'T F (Un i 1/2,l)X + Ui 1/2,ln @' @T Un i 1/2,l = ¯Ui 1n + X(UX)ni 1 ⇣ 1 2 T Xani 1/2 ⌘
O próximo passo diz respeito a semi-discretização do método KT. Tomando o limite quando T ! 0, a Equação 4.24 se reduz a d dT['iU¯i(T )] = 1 X ⇢ 1 'n+1i + 'n+1i+1 ani+1/2 ✓ 'ni+1'n+1i ✓ ¯ Ui+1n X 2 (UX) n i+1 ◆ 'ni'n+1i+1 ✓ ¯ Uin X 2 (UX) n i ◆◆ lim T!0 ' n+1 i F (U n+1/2 i+1/2,r) + ' n+1 i+1F (U n+1/2 i+1/2,l) 1 'n+1i 1 + 'n+1i ani 1/2 ✓ 'ni'n+1i 1 ✓ ¯ Uin X 2 (UX) n i ◆◆ ✓ 'ni 1'n+1i ✓ ¯ Ui 1n X 2 (UX) n i 1 ◆◆ lim T!0 ' n+1 i 1F (U n+1/2 i 1/2,r) + ' n+1 i F (U n+1/2 i 1/2,l) (4.30) O limite de T ! 0 aplicado às funções de fluxo podem ser avaliados individualmente Será analisada a função de fluxo na interface Un
4.29. Combinando a Equação 4.28 dentro do limite da função de fluxo, tem-se lim T!0 ⇥ F (Ui+1/2,rn+1/2)⇤ = F ⇢ lim T!0 Ui+1/2,rn T 2' ✓ F (Ui+1/2,rn )X + Ui+1/2,rn @' @T ◆
Substituindo Equação 4.29 na equação acima, segue
lim T!0 ⇥ F (Ui+1/2,rn+1/2)⇤= F ⇢ lim T!0 ¯
Ui+1n X(UX)ni+1
✓ 1 2 T Xa n i+1/2 ◆ T 2' ✓ F (Ui+1/2,rn )X + Ui+1/2,rn @' @T ◆
Por fim, aplicando o limite quando t ! 0, obtém-se que lim T!0 ⇥ F (Ui+1/2,rn+1/2)⇤= F ⇢ lim T!0 ¯ Ui+1n X 2 (UX) n i+1
O limite dos termos dentro dos colchetes será denominado ¯Ui+1/2+ . Similarmente, para as outras interfaces, obtém-se
8 > > < > > : ¯ Ui+1/2 = lim T!0⇥ ¯Uin+ 2X(UX) n i ⇤ ¯ Ui 1/2+ = lim T!0⇥ ¯Uin 2X(UX) n i ⇤ ¯ Ui 1/2 = lim T!0⇥ ¯Ui 1n + 2X(UX) n i 1 ⇤ (4.31)
Substituindo as equivalências obtidas em 4.31 na Equação 4.30, tem-se d dT['iU¯i(T )] = 1 X ⇢ 1 'n+1i + 'n+1i+1 ani+1/2 ✓ 'ni+1'n+1i U¯i+1/2+ ' n i'n+1i+1U¯i+1/2 ◆
'n+1i F ( ¯Ui+1/2+ ) + 'n+1i+1F ( ¯Ui+1/2) 1 'n+1i 1 + 'n+1i ani 1/2 ✓ 'ni'n+1i 1U¯i 1/2+ ' n i 1'n+1i U¯i 1/2 ◆ 'n+1i 1F ( ¯Ui 1/2+ )+'n+1i F ( ¯Ui 1/2) (4.32) A equação acima pode ser reescrita na forma conservativa
d
dT['iU¯i(T )] =
Hi+1/2(T ) Hi 1/2(T )
X (4.33)
com os fluxos numéricos sendo
Hi+1/2(T )⌘ 1 'n+1i + 'n+1i+1 ani+1/2 ✓
'ni+1'n+1i U¯i+1/2+ 'ni'n+1i+1U¯i+1/2 ◆
Hi 1/2(T )⌘ 1 'n+1i 1 + 'n+1i ani 1/2 ✓ 'ni'n+1i 1U¯i 1/2+ 'ni 1'n+1i U¯i 1/2 ◆ 'n+1i 1F ( ¯Ui 1/2+ ) + 'n+1i F ( ¯Ui 1/2) (4.35)
A Equação 4.33 em conjunto com Equações 4.34 e 4.35 compõem a forma semi-discreta do método KT. Conforme proposto no artigo de Kurganov e Tadmor (2000), a solução para o problema semi-discreto pode ser obtido pelo método de Runge-Kutta para equações diferenciais ordinárias.
5 SIMULAÇÕES NUMÉRICAS
Os resultados das simulações numéricas realizadas nesse trabalho serão mostrados e discutidos nesse capítulo. A implementação dos modelos matemáticos discretizados pelo mé-todo do KT foi feita na linguagem de programação FORTRAN 90. O mémé-todo do KT assume a forma semi-discreta e por isso foi solucionado pelo método de Runge-Kutta para equações diferenciais ordinárias. Foram feitas simulações para um número de volumes de controle de 100, respeitando a condição CFL de 1/8. O tempo das simulações estão adimensionalizados em PVI e o espaço também é adimensional.O pós-processamento das simulações foi realizado com auxílio do MATLAB.
O primeiro problema a ser apresentado é o da injeção de água. Em seguida, os resultados da simulação da injeção de polímeros serão discutidos. As soluções numéricas foram compara-das às soluções analíticas obticompara-das nos capítulos anteriores.
5.1 Injeção de Água
A Figura 13 traz os resultados numéricos (KT) do problema de escoamento de água em um meio poroso saturado de óleo, sujeito às condições (5.1) e com o número de volumes de controle Nx = 100, comparando com a solução analítica (SA). O choque da saturação de
água foi capturado com relativa acurácia, se considerada a quantidade de pontos no espaço. A zona de rarefação também se aproximou da solução analítica. Portanto, verifica-se que o método numérico foi implementado corretamente e pode-se seguir para modelos mais complexos, como o da injeção de polímeros. sw(tD, xD) = 8 < : sw(0, xD) = 0.25 sw(tD, 0) = 0.78 (5.1)
Na Figura 14 foi feito um comparativo de diferentes razões de viscosidade. A injeção com menor razão de viscosidade é a mais adiantada e a de menor saturação de água no choque. Sua eficiência de deslocamento será a de valor mais baixo, pois a água tem mobilidade maior que o óleo e chegará ao poço produtor mais rapidamente. Em consequência, o óleo varrido nesse caso vai ser menor frente aos outros. Por outro lado, a injeção de água com maior viscosidade terá um frente de avanço mais lenta e de maior saturação de água. Essa promoverá um
deslo-Figura 13–Solução numérica e analítica da eq. de B-L. 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 xD 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 sw CF L= 0.1, tD= 0.03, Nx= 100, µw= 1.1 KT SA Fonte: Do autor
camento mais eficiente, ou seja, o volume de óleo produzido será maior que o primeiro caso. As curvas de fluxo fracionário para os três casos são mostradas na Figura 15. A concavidade da curva para a água mais viscosa (6) é menos acentuada, o que traduz em uma saturação maior no choque.
Figura 14–Comparativo da curva de saturação para diferentes µw/µo(0.2, 0.5 e 1.0) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 xD 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 sw CF L = 0.3, T = 0.03, Nx= 100 0.2 0.5 1 Fonte: Do autor
Figura 15–Curvas de fluxo fracionário referentes aos casos da Fig. 14 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 sw 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 fw CF L = 0.3, T = 0.03, Nx= 100 0.2 0.5 1 Fonte: Do autor
Na Figura 16, a progressão temporal (PVI) da frente de avanço da água é mostrada. Como se é esperado, a saturação do choque mantém-se constante ao longo do espaço. A solução numérica tem acurácia em relação à solução analítica, tanto na região do choque quanto à zona de rarefação.
Figura 16–Evolução da frente de avanço da água
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 xD 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 sw CF L= 0.1, tD= 0.05, Nx= 100, µw= 3 KT SA tD=0.05 tD=0.035 tD=0.02 Fonte: Do autor 5.2 Injeção de Polímeros
A solução para o sistema de equações foi computada iterativamente, como mostrado na Figura 17, usando a solução aproximada no tempo atrasado Cnpara computar os coeficientes e
o fluxo fracionário. Os dois casos a seguir simulam a injeção de polímeros considerando duas concentrações diferentes em uma malha espacial adimensional xD e tempo adimensional tD
em PVI, sujeito às condições (5.2). Na Figura 18, a injeção de polímeros com concentração de 300ppm foi simulada. A solução da concentração de polímero é plotada junto à saturação de água. É visível que o choque da zona de água polimerizada acompanha o choque da concentra-ção de polímero. Atrás do choque, a água atinge a viscosidade máxima devido ao polímero em solução. O choque mais adiante diz respeito à água que se desloca com maior mobilidade que a massa do polímero, criando um banco de água desnudado de polímero à frente da região de solução polimérica.
sw(tD, xD), c(tD, xD) = 8 < : sw(tD, 0), c(tD, 0) = (0.78, c0) sw(0, xD), c(0, xD) = (0.25, 0.0) (5.2)
onde sw é a saturação de água e c0a concentração de injeção de polímeros.
Figura 17–Algoritmo para solução do sistema de equações do polímero
sw(tD, 0), c(tD, 0) sw(0, xD), c(0, xD) Computa sn+1 w = (snw, Cn) 'n = (sn w, Cn) 'n+1 = (sn+1 w , Cn) Atualiza sn w, Cn Computa Cn+1 = ('n, 'n+1, sn+1 w , Cn) se n Nt Fonte: Do autor
Na Figura 19, se foi aumentado a concentração da injeção de polímeros para 700ppm. Nesse caso, para o mesmo tempo (tD = 0.03), o choque da solução polimérica tem maior
saturação de água e menor velocidade de propagação, se comparado ao caso anterior. Além disso, o varrido atrás do choque é mais eficiente em consequência da diminuição da mobilidade da solução. Outra diferença que se pode destacar é o formato do platô da água. No primeiro caso, uma segunda rarefação entre a saturação do platô e a saturação do choque se forma, enquanto que no segundo caso, o platô é contínuo até à saturação do choque. Em geral, a saturação de água do platô será mais alta à medida que a velocidade de propagação dos dois choques se aproximam, ou seja, quando se diminui a concentração de polímero injetado. É fácil chegar a tal conclusão se considerada a conservação de massa. Se a saturação de água média atrás do choque do polímero é maior, espera-se que a saturação média à frente diminua, para um mesmo volume injetado. O caso limitante se reduz à injeção de água com uma rarefação contínua atrás do choque frontal.
Figura 18–Solução numérica e analítica da injeção de polímeros, C0= 300ppm. 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 xD 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 sw ,c /c0 CF L = 0.1, tD= 0.03, Nx= 100, c0= 300 SA SA sw c/c0 Fonte: Do autor
Figura 19–Solução numérica e analítica da injeção de polímeros, C0= 700ppm. 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 xD 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 sw ,c /c0 CF L = 0.1, tD= 0.03, Nx= 100, c0= 700 SA SA sw c/c0 Fonte: Do autor
Se analisados numericamente, as soluções para os dois casos de injeção de polímero tiveram boa acurácia quando comparadas à solução analítica. A difusão numérica nas descon-tinuidades da solução foram baixas mesmo a um Nx = 100, o que evidencia a qualidade do método do KT em capturar choques. Vale ressaltar que devido a não linearidade das equações da injeção de polímeros, optou-se em utilizar a solução da concentração de polímero no tempo atrasado. Isso garante a simplicidade da implementação, porém resulta em inacurácia numérica. Para efeitos práticos, as soluções obtidas por essa abordagem são suficientemente satisfatórias. O método de Runge-Kutta utilizado para tratar a formulação semi-discreta foi o de primeira ordem (ou método de Euler).
Os próximos casos mostrados na Figuras 20 e 21 simulam a injeção de polímeros com e sem adsorção do polímero ao meio poroso, usando os dados de entrada da Tabela 1. Para o mesmo tempo de injeção, nota-se que a frente do polímero é retardada se o efeito da adsor-ção for considerado. Seguindo a equaadsor-ção da conservaadsor-ção de massa de polímero apresentada anteriormente, o termo de adsorção é agrupado à derivada temporal e representa um fator de retardamento no transporte de massa do polímero.
A Figura 22 representa a simulação da injeção de um banco de polímero seguida da injeção de água, conforme a condição de contorno abaixo. Um banco de óleo se forma à frente do choque do polímero e que é transportando na mesma velocidade do choque do polímero.
Tabela 1–Dados de entrada da injeção de polímeros com adsorção Dado Entrada Unidade 0.25 -0.2 m3/kg ↵ 1.68⇥10 4 -Fonte: Do autor
Figura 20–Solução numérica da injeção de polímeros considerando a adsorção. 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 xD 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 sw ,c /c0 CF L = 0.1, tD = 0.03, Nx= 100, c0= 200 SA SA sw c/c0 Fonte: Do autor
Figura 21–Solução numérica da injeção de polímeros desconsiderando a adsorção. 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 xD 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 sw ,c /c0 CF L = 0.1, tD= 0.03, Nx= 100, c0= 200 SA SA sw c/c0 Fonte: Do autor
A água desnudada de polímero empurra o banco de água formado durante a injeção de água, conforme Mykkeltvedt, Aavatsmark e Lie (2014).
sw(tD, 0), c(tD, 0) = 8 < : (0.78, 0.0), se tD < 5⇥ 10 3 (0.78, 0.7), caso contrário
Figura 22–Solução numérica da injeção de um banco de polímeros (C0= 700ppm) após 5e-3
PVI de uma banco de água.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 xD 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 sw ,c /c0 CF L = 0.1, tD= 0.03, Nx= 100, c0= 700 sw c/c0 Fonte: Do autor 5.3 Fator de Recuperação
Na Figura 23, o Fator de Recuperação (FR) dos projetos de injeção de água e de injeção de polímeros são comparados, considerando um reservatório linear. A saturação média de água foi obtida numericamente pela regra do trapézio. Visivelmente, o aumento da concentração de polímeros resulta em maior fator de recuperação, chegando a 16% de incremento. Porém, existe uma tendência das curvas em estabilizarem, sutilmente notado nos tempos finais da escala mostrada. Sabe-se que no tempo infinito, essas curvas convergem. No entanto, o que interessa é o volume de óleo recuperado em tempos mais curtos. A viabilidade econômica do projeto pode ser baseada no volume de óleo recuperado obtida a partir previsão do FR do projeto, onde pode-se estimar o quão rápido o lucro financiará o projeto.
Figura 23–Fator de recuperação (FR) na injeção de água (0 ppm) e na injeção de polímeros
(300 e 700 ppm) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 tD 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 FR 0 ppm 300 ppm 700 ppm Fonte: Do autor
6 CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES
Neste trabalho, a modelagem matemática e computacional da injeção de polímeros em reservatórios de petróleo foi desenvolvida. As equações da modelagem matemática são hiper-bólicas e por isso, foi escolhido um método de volumes finitos para se obter a discretização dos modelos. O modelo matemático foi deduzido para um meio linear com escoamento em uma única direção. A modelagem matemática do problema, assim como as soluções analíticas, foi feita em concordância à dedução encontrada em artigos e livros de referência para a injeção de polímeros. A equação da conservação de massa de polímero considera o termo de adsorção em equilíbrio. Na modelagem computacional, se aplicou o método de volumes finitos pelo esquema proposto por Kurganov e Tadmor (2000) para discretização e construção da formulação semi-discreta. Aplicando o método de Runge-Kutta de primeira ordem, a formulação semi-discreta é rediscretizada e as soluções numéricas computadas. As simulações executadas resultaram em soluções precisas, com baixa difusão numérica.
Os resultados obtidos a partir das simulações evidenciam a robustez do método de volu-mes finitos proposto por Kurganov e Tadmor (2000) em obter soluções acuradas para problemas hiperbólicos não-lineares. O método numérico implementado entregou resultados satisfatórios e coerentes com as soluções analíticas, mesmo a número de volumes discretos de 100. Anali-sando o casos apresentados, pode-se concluir que a eficiência de deslocamento é mais alta em soluções poliméricas de maior concentração. Observando ainda as curvas de fator de recupe-ração, houve um aumento de até 16% na injeção de polímeros com 700ppm em comparação à injeção de água. Os efeitos da adsorção na injeção de polímeros podem ser interpretados como um atraso na frente água viscosificada devido à perda de massa do polímero para o meio poroso. Por fim, em uma injeção de um banco de polímeros seguida da injeção de água, um banco de óleo se forma à frente do choque do polímero e que é transportando na mesma velocidade desse choque.
Propõe-se que o método seja aprimorado para tratar a cinética de adsorção do polímero e os modelos de filtração em meio porosos, e que se acople as equações de hidrodinâmica à mo-delagem. Além disso, tendo em vista a oscilação nas curvas de saturação de água na injeção do polímero, sugere-se que outros métodos para calcular numericamente as derivadas sejam imple-mentados ao invés da MinMod sugerida por Kurganov e Tadmor (2000). Finalmente, propõe-se que a modelagem seja expandida para mais dimensões.
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