4. SISTEMAS DE COMUNICAÇÃO DIGITAL.

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4.1. Introdução.

Vantagens da transmissão digital

i) Simplicidade relativa do projecto de circuitos digitais e facilidade da sua implementação em circuitos integrados.

ii) Existência de técnicas de processamento digital do sinal bem desenvolvidas. iii) Utilização sempre crescente de computadores no processamento dos mais

variados tipos de dados. Os sinais de saída de um computador são digitais. iv) Possibilidade de codificar os sinais digitais de modo a minimizar os efeitos

do ruído e interferência.

Os sinais de natureza analógica deverão ser primeiro amostrados e quantificados antes de se poder efectuar a sua transmissão digital.

Um possível exemplo de um diagrama de blocos de um sistema de comunicação digital é o seguinte:

Os sinais possíveis nos vários pontos do sistema ilustram-se na figura seguinte:

Alguns factos de salientar das formas de onda anteriores:

i) De (2) e (5) nota-se que os filtros provocam o alargamento dos impulsos que irão sobrepor-se aos intervalos adjacentes Æ interferência entre símbolos Æ

erros.

ii) De (4) vê-se que o canal introduz ruído Æ erros.

iii) De (4) e (5) verifica-se que a filtragem limita o ruído mas aumenta a

distorção do sinal Æ aumento de interferência entre símbolos.

Em relação aos problemas acima detectados esta disciplina tem por objectivo estudar i) O formato do sinal mais apropriado no emissor. Qual das técnicas ASK, FSK,

PSK, etc. deverá ser utilizada para transmitir símbolos digitais a altas

frequências.

ii) Dado o tipo de modulação como projectar o receptor? Como se consegue

4.2. Transmissão de Sinais Analógicos por Modulação de Impulsos.

Teorema da amostragem

Dado o sinal s(t) com espectro S(ω)

podem-se retirar amostras do sinal a um ritmo 1/T

Esta é a chamada amostragem natural.

Em certas condições s(t) pode ser recuperado a partir de sA(t) através de simples filtragem.

Matematicamente sA(t) = s(t).a(t). 0 espectro de a(t) é mostrado na figura seguinte

onde

(

)

2 2 sin T T 2 n , dt e ) t ( a T 1 C n n n t j n 2 T 2 T n τ ω τ ω τ π ω ω = = =

_∫

− − Como

{

S( ) A( )

}

2 1 ) ( SA ω = _π ω ∗ ω

- Para não haver distorção Æ fa = 1/T > 2B - Frequência de Nyquist, fN = 2B

- Frequência de amostragem fa > fN Amostragem Prática

A forma de onda produzida por um amostrador prático, do tipo 'sample and hold', tem a forma ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ₋ ∗ = − =

∑

∑

+∞ −∞ = +∞ −∞ = n n A(t) s(kT)p(t kT) p(t) s(kT ) (t kT) s δ

p(t) Æ impulso rectangular de duração τ

Este método é também chamado de amostragem de topo plano (''flat top sampling"). Na frequência ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − =

∑

+∞ −∞ = n A T 1 n f S T 1 ) f ( P ) f ( S

P(f) é uma função sinc pelo que na amostragem de topo plano as altas frequências de

S(f) são atenuadas. Resolve-se este problema: a) utilizando um equalizador Heq = 1/P(f) b) ou fazendo τ << T Æ alarga P(f) Modulação de impulsos

Com base no teorema da amostragem pode-se converter um sinal analógico numa sucessão de impulsos de altura proporcional ao sinal no momento da amostragem. Um sistema que transmite estes impulsos é designado por sistema PAM ("Pulse Amplitude Modulation").

Este sistema é extremamente simples. Contudo é um sistema analógico sendo vulnerável ao ruído PPM PDM PAM + Rampa Rampa PAM

Alternativas menos vulneráveis ao ruído:

PCM ("Pulse Code Modulation") (ver mais adiante). PDM ("Pulse Duration Modulation")

PPM ("Pulse Position Modulation")

Os sinais PDM c PPM podem ser gerados a partir de sinais PAM conforme ilustra figura anterior.

Da figura anterior verifica-se que os sinais PDM e PPM transportam a informação na posição dos extremos dos impulsos. Por isso são relativamente imunes ao ruído aditivo. No entanto necessitam de maior largura de banda que o sinal PAM, devido à menor largura dos impulsos utilizados.

A comparação entre os sistemas PAM, PDM e PPM ilustra a interacção entre largura de banda e imunidade ao ruído (usual nos sistemas de comunicação).

4.3. Transmissão por Codificação de Impulso. 4.3.1. Quantificação.

A modulação PAM é muito sensível ao ruído. Para tornar o sinal mais imune ao ruído o sinal PAM é convertido num sinal PCM ("Pulse Code Modulation"). A primeira etapa nesta conversão é a transformação PAM em PAM quantificado. A operação de

quantificação consiste na redução do PAM a um número limitado de níveis.

Ruído de quantificação

Considerando um sinal analógico com variação de a a b volts tem-se:

M a b−

= ∆

onde M representa o número total de níveis de quantificação

Os níveis serão dados por:

M ,... 2 , 1 j , 2 x x A j a x j 1 j j j = + = ∆ + = −

A variância do ruído de quantificação Nq obtém-se por integração:

{

−

}

=

_∫

− = b a s 2 Q 2 Q q E(s s ) (s s ) p (s)ds N (4.3.1)

onde ps(s) é a função densidade de probabilidade (fdp) e sQ é o valor quantificado de s(t). Em função dos níveis de quantificação tem-se:

∑∫

= − − = M 1 j x 1 x s 2 j q j j ds ) s ( p ) A s ( N _(4.3.2)

Se o sinal s(t) tiver uma fdp uniforme em [-a, a] (constante no intervalo):

a 2 1 fdp 1 dx fdp a a = ⇒ =

∫

−

∑

∑∫

= ₋ = − ⎥⎦ ⎤ − = − = M 1 j x 1 x 3 j M 1 j x 1 x 2 j q j j j j 3 ) A s ( a 2 1 ds a 2 1 ) A s ( N Atendendo a que

(

)

2 A x A x_j − _j =− _j−1− _j = ∆ obtém-se 12 12 a 2 M 12 a 2 1 N 2 3 M 1 j 3 q ∆ = ∆ = ∆ =

∑

= (4.3.3) visto que M∆ = 2a Compandores

Para sinais com grande gama dinâmica e predomínio das pequenas amplitudes os quantificadores uniformes são inconvenientes visto que:

- Se ∆ for dimensionado para grandes amplitudes perde-se informação nas pequenas amplitudes.

- Se ∆ for dimensionado para pequenas amplitudes, o número de níveis M deverá ser muito elevado.

Solução - Utilizar quantificação não uniforme

Para este efeito o sinal analógico s(t) é primeiro comprimido segundo a

Em seguida s' é quantificado uniformemente e transmitido. A curva anterior actua

como compressor visto comprimir as amplitudes elevadas. No receptor deverá utilizar-se um expansor complementar com função de transferência f-1. O conjunto compressor + expansor é designado por compansor.

Duas características de compressão geralmente utilizadas para fornecer uma qualidade uniforme numa grande gama dinâmica da voz humana são as chamadas leis de compressão µ e A: i) lei - µ

(

)

(

)

,0 s a 1 ln a s 1 ln s ≤ ≤ + + = ′ µ µ (4.3.4) ii) lei - A

( )

_{( )}

( )

( )

_{( )}

⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ ≤ + + ≤ ≤ + = ′ 1 a s A 1 , ) A ln( 1 a s A ln 1 A 1 a s 0 , ) A ln( 1 a s A s _(4.3.5)

A figura seguinte ilustra estas características para vários valores de µ e A. Como se

pode verificar, o valor do parâmetro de compressão A (ou µ) determina o grau de compressão a que se submete o sinal analógico.

Estas duas leis de compressão foram adoptadas como padrões pelo organismo internacional de unificação das telecomunicações a nível mundial, isto é, o CCITT (Comité Consultatif Internacional de Télégrafie et Téléphonie). A lei-µ é utilizada nos Estados Unidos da América e a lei-A na Europa, resto do mundo e ligações internacionais. (Note-se que actualmente o CCITT designa-se por ITU-T)

Relação sinal ruído (quantificação não linear)

Para se obter um valor quase constante da relação sinal ruído (SNR) para uma variação igual a 40dB na potência do sinal de entrada, µ deverá ser superior a 100. Nos sistemas americanos utilizam-se vulgarmente os valores µ = 100 e 255. Para a lei-A, um

valor de A = 87.6 dá resultados semelhantes e foi por isso adoptado pelo CCITT.

dB = 10 log10(x) Ù 10 10

dB

x=

4.3.2. Modulação de Impulsos Codificada (PCM - "Pulse Code Modulation").

O impulso PAM-quantificado, obtido por amostragem e quantificação de um sinal analógico é geralmente codificado num grupo de impulsos binários de amplitude fixa. Obtém-se assim um sistema PCM (Pulse Code Modulation). Apresentam-se em seguida duas alternativas para codificar as amostras quantificadas.

Note-se que no código binário, há uma variação de demasiados bits entre os níveis de quantificação consecutivos (a) e (b). Este inconveniente pode ser resolvido com o código de Gray.

Digito Código binário Código de Gray (Sinal quantificado) b1 b2 b3 b4 b1 b2 b3 b4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 1 0 0 0 1 1 3 (a) 0 0 1 1 0 0 1 0 4 (b) 0 1 0 0 0 1 1 0 5 0 1 0 1 0 1 1 1 6 0 1 1 0 0 1 0 1 7 (a) 0 1 1 1 0 1 0 0 8 (b) 1 0 0 0 1 1 0 0

Os códigos anteriores são transmitidos através de impulsos eléctricos de diversas formas, dos quais se representa na figura seguinte dois exemplos.

O número de impulsos PCM a transmitir por cada impulso PAM-quantificado é dado pela relação:

M = nm (4.3.6)

em que:

m, número de impulsos PCM necessários para codificar cada impulso

PAM-quantificado (num código binário, reprenta o nº de bits).

n, número de amplitudes possíveis para cada impulso PCM (em binário é 2). M, número de amplitudes do PAM-quantificado.

Aumentando n diminui m, o número de impulsos PCM por impulso PAM, pelo que a largura de banda PCM diminui. O PCM apresenta portanto grande versatilidade no que respeita à adaptação às características de largura de banda do canal de transmissão.

4.4. Modulação Delta.

Em PCM quando o número de níveis de quantificação aumenta a largura de banda de transmissão aumenta correspondentemente. Outros métodos de conversão analógico-digital podem ser utilizados para:

- reduzir a largura de banda necessária ou

- melhorar a performance ou

- reduzir o custo

Um tal método frequentemente utilizado para a voz humana e sinais vídeo é a

modulação delta. Apresentam-se a seguir exemplos de um modulador delta e respectivo

desmodulador.

(a) Modulador delta

(c) formas de onda

O modulador delta acima representado compara s(t) com uma aproximação em degraus s(t) e a diferença s(t)-sˆ(t) é quantificada em dois níveis ±A dependendo do sinal

da diferença. A saída do quantificador é amostrada para produzir:

[

]

∑

+∞ −∞ = − − ∆ = k aq(t) sgn s(kT) sˆ(kT) (t kT) S δ

A aproximação sˆ(t) é gerada fazendo passar saq(t) por um integrador. O desmodulador respectivo é portanto constituído por um simples integrador seguido de um filtro passa baixo.

Para reduzir a complexidade dos moduladores delta práticos introduzem-se as seguintes modificações:

- No receptor não é necessário utilizar um integrador. O filtro passa baixo efectua uma integração aproximada.

- A série de impulsos de Dirac sδ(t) pode ser substituída por uma série de impulsos rectangulares com duração << T.

- O integrador do emissor não necessita de ser um integrador ideal - um simples filtro passa baixo RC é suficiente.

Ruídos em modulação delta

A figura seguinte representa uma amostra do sinal s(t) bem como da respectiva aproximação sˆ(t). Como se pode verificar, quando o sinal é constante, o ruído, designado por ruído de quantificação, é semelhante ao ruído em PCM. Este ruído reduz-se aumentando a velocidade de amostragem, que é geralmente muito mais elevada que a frequência de Nyquist utilizada em PCM. Em muitos casos a velocidade de bits pode mesmo ser superior ao PCM. Sendo a velocidade de amostragem bastante superior à frequência de Nyquist, o ruído de quantificação é eliminado ou minorado com um filtro no receptor.

A modulação delta pode ainda ser afectada pelo chamado ruído de sobrecarga. Este surge quando os níveis de quantificação ±A são demasiadamente pequenos para seguir

um sinal com declive elevado. Então sˆ(t) não consegue acompanhar s(t). Este tipo de ruído pode ser minimizado filtrando o sinal s(t) para evitar variações rápidas no tempo, ou aumentando ∆ e/ou a frequência da amostragem. A filtragem do sinal ou aumento de

∆ resulta numa perda de resolução de s(t), e aumentando a frequência da amostragem resulta em maiores larguras de banda.

Uma melhor solução para evitar ruído de sobrecarga é detectar a condição de sobrecarga e aumentar ∆ quando se detectar a sobrecarga. Sistemas que utilizam ∆ dependente do sinal são chamados sistemas de modulação delta adaptativos.

Para sistemas não adaptativos a relação sinal-ruído, SNR, tem a seguinte forma

Note-se finalmente que a modulação delta é um caso particular do DPCM ("Differential Pulse Code Modulation"). Neste último caso utilizam-se vários níveis para quantificar a diferença entre s(t) e sˆ(t) em vez dos dois únicos níveis utilizados na modulação delta.

4.5. Multiplexagem no Tempo (TDM, "Time Division Multiplex"). 4.5.1. Introdução.

sinais. Este processo de transmitir simultaneamente vários sinais num único canal é conhecido por multiplexagem.

Neste curso são considerados dois tipos de multiplexagem:

- no tempo (TDM, "Time Division Multiplex")

- na frequência (FDM, "Frequency Division Multiplex")

Todos os tipos de modulação de impulsos podem ser transmitidos por multiplexagem no tempo. Apresenta-se na figura seguinte um esquema de multiplexagem no tempo para sinais PAM. A escala do tempo é dividida em faixas, atribuindo-se periodicamente uma faixa a cada sinal. Esta distribuição das faixas pelos diversos sinais é feita por meio de um comutador rotativo. Este extrai uma amostra de cada sinal de entrada durante uma rotação. A frequência de rotação do comutador deverá ser então igual à frequência de amostragem de cada sinal.

No receptor as amostras dos diversos sinais são separadas e distribuídas por outro comutador rotativo chamado um distribuidor. Os comutadores rotativos são geralmente circuitos electrónicos que deverão estar cuidadosamente sincronizados. A sincronização é provavelmente o aspecto mais delicado do TDM, pelo que dedicaremos mais adiante algum tempo ao seu estudo.

Figura B. Formas de onda no sistema TDM - PAM representado na figura anterior A sequência de amostras interlaçadas pode ser transmitida directamente como se indicou na figura anterior. Alternativamente as amostras podem ser quantificadas e transmitidas utilizando um sistema PCM.

Os sistemas de multiplexagem PCM mais importantes são os sistemas PCM telefónicos, de que se apresenta na secção seguinte o sistema PCM de 30 canais recomendado pela ITU (anteriormente o CCITT, Comité Consultatif International de Telégraphie et Téléphonie) e adoptado pela maioria dos fabricantes europeus.

dissipavam muita energia e funcionavam mal como comutadores. Em consequência, os comutadores a válvulas ocupavam muito espaço, tendiam a sobre aquecer e eram pouco fiáveis. O conceito de PCM aguardava apenas a invenção do transístor, que ocupa pouco volume, consome pouca potência, é muito fiável e é um comutador quase ideal.

Aproximadamente na mesma altura da invenção do transístor, a utilização dos serviços telefónicos nos países mais industrializados começou a aumentar. Uma solução para satisfazer esta procura seria utilizar a modulação de amplitudes associada ao multiplexagem na frequência (ver mais adiante neste curso) para enviar mais sinais telefónicos pelo mesmo canal de transmissão. Contudo, este solução não era viável visto que os cabos de transmissão tinham sido em grande parte dimensionados para a gama de 0 a 4KHz, o que admite apenas um canal de voz se utilizarmos a modulação de amplitude.

Ironicamente, o PCM - que necessita de uma largura de banda várias vezes superior à requerida pelos sinais multiplexados na frequência - foi a solução. Isto porque o PCM com repetidores regenerativos pouco espaçados, pode trabalhar satisfatoriamente em linhas ruidosas e com fraca resposta às altas frequências. Os repetidores espaçados de 1.83 Km, limpam completamente o sinal e geram novos impulsos antes que os impulsos sejam demasiadamente distorsidos e corrompidos. Esta é a história do sistema T1 da Bell System, o pioneiro dos sistemas PCM. Neste sistema um par de fios previamente utilizado para um único sinal audio com largura de banda igual a 4KHz, transmite agora 24 canais telefónicos PCM multiplexados em TDM e com uma largura de banda total igual a 1.544MHz.

Mais tarde os países europeus desenvolveram sistemas TDM-PCM que foram aprovados pelo CCITT. Vamos descrever em seguida o sistema TDM-PCM para 30 canais de voz e que constitui o primeiro andar da hierarquia TDM do sistema europeu.

4.5.2. Sistema TDM-PCM (CCITT).

No sistema de 30 canais recomendado pelo CCITT, cada canal de voz é amostrado 8000 vezes por segundo, quantificado em 4096 níveis positivos mais 4096 níveis negativos e comprimido segundo a lei-A.

A figura seguinte ilustra a aproximação parcialmente-linear da lei-A, em que os 2×4096 níveis de entrada são transformados à saída em apenas 128 níveis positivos + 128 níveis negativos. São então transmitidos 8 bits correspondentes à codificação de cada amostra: 1 bit indicando

o sinal da amostra e 7 bits (27 = 128) indicam o valor absoluto da amostra.

O multiplexer de 30 canais telefónicos mais 2 canais para sincronismo e supervisão é feito da seguinte maneira:

A figura (A) seguinte apresenta a sequência temporal dos bits correspondentes aos diversos canais. As faixas 1 a 15 e 17 a 31 (com 8 bits cada) são utilizadas para transmitir as sequências de bits resultantes da codificação do sinal PAM obtido por multiplexagem dos 30 canais de voz.

Figura B. Detalhe do canal de sinalização (canal 16).

O canal 0 é utilizado para definir claramente o início de cada trama. Para o efeito envia-se neste canal uma sequência fixa 0011011 em tramas alternadas. Nas outras tramas o bit 2 do canal zero toma o valor 1 e o bit AT transporta o alarme de trama. Quando há perda de trama faz-se AT = 1 no sinal de retorno para o emissor, visto a avaria poder ter origem no emissor.

A sinalização associada a cada canal é enviada na faixa 16 de cada trama. Todos os canais terão recebido a respectiva sinalização ao fim de um ciclo de 16 tramas. Este ciclo designa-se por multi-trama. No canal 16 da trama 0 de cada multi-trama é enviada uma sequência 0000 que define o início dessa multi-trama. 0 bit AM contém informação sobre a perda de multi-trama. No canal 16 das tramas 1 a 15 é enviada informação de sinalização dos canais 1 a 15 em simultâneo com a informação da sinalização dos canais 17 a 31, como se indica na figura anterior.

Para se determinar o ritmo correspondente ao sinal TDM-PCM acima note-se que cada canal de voz é definido pelos seguintes parâmetros:

- largura de banda Æ 3.4KHz - 8000 amostras/segundo - 8 bits/amostra

- 64 Kbits/segundo Então a duração da trama é:

8000 1

seg = 125 µseg

e o ritmo de transmissão do sistema TDM- PCM Æ 64 × 32 = 2.048 Kbits/seg. Pode-se obter graus de multiplexagem cada vez mais elevados, efectuando o multiplexagem de vários sistemas TDM-PCM de 30 canais. A figura seguinte apresenta a hierarquia de multiplexagem recomendada pelo CCITT (actualmente ITU).

4.5.3. Entrelaçamento de Bits. Aposição de bits.

Na secção anterior foi dado um exemplo de multiplexagem efectuada numa base de palavra-a-palavra (conhecido por entrelaçamento de palavras ou de "bytes") isto é, transmite-se um conjunto de bits (uma palavra) referidos a um canal, seguido de outro grupo de bits retirados de outro canal e assim por diante. Em outros sistemas, o multiplexer é efectuado bit-a-bit (conhecido por entrelaçamento de digitos ou bits), ou seja, envia-se um digito de um canal, seguido de um digito do canal seguinte, etc.

4.6. Largura de Banda e Interferência Entre Simbolos.

Até aqui considerou-se que os impulsos elementares dos sistemas digitais têm a forma rectangular. No entanto, num sistema de transmissão prático os impulsos tendem a alargar-se conforme vão progredindo ao longo do meio de transmissão, indo assim sobrepor-se aos impulsos vizinhos como se ilustra na figura seguinte. Como na recepção a detecção da sequência de bits se faz geralmente por amostragem no sinal recebido em intervalos de tempo regularmente espaçados, comparando em seguida o valor da amostra com o nível limiar, o alargamento dos impulsos para as faixas vizinhas pode provocar erros de detecção. Este fenómeno de sobreposição de impulsos de faixas adjacentes e as dificuldades de detecção daí resultantes é designado por interferência entre símbolos

Vista isoladamente dos outros fenómenos presentes num sistema de comunicações, a IES poderia seria eliminada simplesmente por um aumento da largura de banda do sistema. Contudo, esta solução além de representar um esbanjamento da largura de banda disponível, pode introduzir demasiado ruído adicional o que provoca um aumento da taxa de erros.

Vamos portanto estudar detalhadamente este assunto, procurando moldar a forma dos impulsos de modo a eliminar a IES, mas mantendo a largura de banda de transmissão o menor possível. Uma forma de onda com IES nula é a que possui um aspecto com forma de filtro passa-baixo ideal. Como se vê na figura seguinte, no domínio dos tempos temos uma função sinc que permite a transmissão a uma velocidade de 2B impulsos por

segundo utilizando um canal com largura de banda B, com interferência entre símbolos nula. Este é de facto o valor máximo do ritmo de transmissão com IES = 0 e é designada por ritmo de Nyquist.

Forma de onda com IES nula

i) Ela implica uma característica de filtro passa baixo ideal entre a amostragem no emissor e o ponto de decisão no receptor. Isto não é fisicamente realizável e é muito difícil de aproximar com circuitos práticos.

ii) A sincronização deverá ser extremamente precisa, isto é, deve-se fazer a amostragem exactamente nos instantes 0, 1/(2B), l/B, etc. Se a amostragem se afastar destes instantes ideais, a condição de IES nula desaparece. De facto, para certas sequências de bits, as caudas de impulsos adjacentes podem-se adicionar como série divergente provocando erros de detecção.

Devido a estas dificuldades, na prática utilizam-se outras formas de onda. Para deduzir algumas dessas formas de onda h(t), iremos utilizar o primeiro dos três critérios desenvolvidos por Nyquist. O primeiro critério de Nyquist, obriga o impulso h(t) a ter IES nula, isto é,

⎩⎨ ⎧ ± = = = eiro int n , nT t , 0 0 t , 1 ) t ( h

onde T = 1/r, sendo r o ritmo de transmissão dos impulsos h(t). A relação anterior pode ser ainda expressa na seguinte forma

∑

+∞ −∞ = = − × n ) t ( ) nT t ( ) t ( h δ δ

Tomando agora a transformada de Fourier a ambos os lados da equação anterior, obtém-se

∑

+∞ −∞ = = − ∗ n 1 ) nr f ( r ) f ( H δ ou ainda

∑

+∞ −∞ = = − n r 1 ) nr f ( H

Desta relação vê-se que a soma das réplicas de H(f) centrada em nT, deverão resultar numa constante. Esta condição nunca se verificará se a largura de banda de H(f) for inferior a r/2. Conclui-se assim que para garantir IES =0, a largura de banda mínima de

H(f) é r/2.

Considerando agora que largura de banda de H(f) se encontra na região (r/2, r), a equação anterior equivale à seguinte relação:

r f 0 , r 1 ) r f ( H ) f ( H + − = < <

Tomando como origem das frequências a frequência r/2, o novo eixo das frequências será definido por f' = f - r/2 e a relação anterior apresentará a forma:

r f 0 , 1 r f H r f H⎜⎛ ′+ ⎟⎞+ ⎜⎛ ′− ⎟⎞= < ′ <

em que o termo _e−j2πft0 _{representa um atraso de t, no domínio dos tempos. Nestas}

condições, no que respeita ao estudo da IES, podemos fazer t0 = 0 (se garantirmos uma IES nula para t0 = 0 então ela também será nula para outro atraso arbitrário t0≠ 0 ). Nesta condições: 2 r f 0 , r 1 f 2 r H f 2 r H ⎟ = < ′ < ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{− ′} + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ ′}

onde se teve em conta que |H(f)| é par, isto é |H(-f)| = |H(f)|, dado que h(t) é uma

função real.

A relação anterior significa que |H(f)| deverá ter simetria ímpar em torno do ponto (r/2, 1/2r). Uma família de curvas que verifica esta condição é a família coseno-elevado

("raised cosine"), representada matematicamente pela seguinte expressão:

⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + ≤ + ≤ < − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{− +} − ≤ = β β β β β π β 2 r f , 0 2 r f 2 r , 2 r f 4 cos T 2 r f , T ) f ( H 2 _(4.6.1)

onde r = 1/T é o ritmo de transmissão de impulsos e β é um parâmetro que pode tomar os seguintes valores na gama 0 < β < r/2. A correspondente forma de onda no domínio dos tempos é:

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = rt ) rt ( sen ) t 4 ( 1 ) t 2 cos( ) t ( h ₂ π π β πβ (4.6.2) A figura seguinte apresenta formas de onda coseno-elevado para β = 0, r/4 e r/2

Formas de onda da família coseno-elevado

Das formas de onda anteriores conclui-se que :

i) A largura de banda ocupada pelo espectro do impulso é B = r/2 + β. O valor mínimo de B é r/2 (correspondendo à característica de filtro passa baixo ideal) e o valor máximo é r.

ii) Dada uma velocidade de transmissão r, o aumento de β implica uma maior largura de banda. Contudo, maiores valores de β originam impulsos com

decaimento mais rápido e portanto pequenos erros de sincronização não provocam IES elevada.

iii) O impulso correspondente a β = r/2 tem duas propriedades interessantes: a largura do impulso a meia amplitudes é igual a T e há cruzamentos na linha de zero para t = ±(3/2)T, ±(5/2)T, ... além dos cruzamentos em t = ±T, ±2T, ...

existentes para outros valores de β. Estas propriedades facilitam a geração do sinal de relógio a partir do sinal recebido.

Conclusão: Para uma velocidade de transmissão de r impulsos/seg é necessária uma largura de banda de pelo menos r/2, para que a IES seja nula. Contudo, deve-se procurar utilizar toda a largura de banda disponível até r, tirando assim partido do decaimento mais rápido de h(t).

4.7. Sinais Com IES Controlada (Sinais de Resposta Parcial). 4.7.1. Sinal Duobinário.

Como se viu na secção 4.6, um canal ideal com largura de banda igual a B pode transmitir informação digital à frequência de 1/T = 2B impulsos/segundo com IES nula. Contudo, isto é conseguido com um canal caracterizado por uma resposta impulsiva tipo filtro passa-baixo que é fisicamente irrealizável. Para se manter a condição de IES nula e resolver o problema da irrealisabilidade é necessário transmitir a uma frequência inferior a 2B impulsos/segundo.

Nesta secção iremos manter a condição de 2B impulsos/segundo mas deixar de impor IES nula. Obtém-se assim uma classe de impulsos fisicamente realizáveis designados por

sinais de resposta parcial.

Comecemos por notar que o sinal à saída do filtro receptor pode ser expresso na seguinte forma:

∑

+∞ −∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = k k B 2 K t h x ) t ( y (4.7.1)

Onde os {xk} podem tomar os valores ±1 correspondentes aos l's e 0's da sequência binária à entrada do emissor. h(t) representa a resposta impulsiva do canal de transmissão e 2B representa a frequência de transmissão em impulsos/segundo. No caso ideal mas fisicamente irrealizável Bt 2 ) Bt 2 ( sen ) t ( h π π = e tem-se: ⎩⎨ ⎧ ≠ = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 0 n , 0 0 n , 1 B 2 n h ) nT ( h (4.7.2)

Vamos agora permitir IES ≠ 0 entre dois impulsos consecutivos. Um caso especial é o impulso duobinário especificado no domínio dos tempos por:

⎩⎨ ⎧ ≠ ≠ = = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 n ou 0 n , 0 1 n ou 0 n , 1 B 2 n h ) nT ( h (4.7.3) a que corresponde o seguinte espectro:

(

)

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > ≤ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + = − − B f , 0 B f , B 2 f cos e B 1 e 1 B 2 1 ) f ( H B 2 f j B f jπ π π (4.7.4)

A figura seguinte representa H(f) bem como a correspondente forma de onda no domínio dos tempos h(t):

É de notar que em contraste com o sinal sinc(.), o espectro do sinal duobinário não possui descontinuidades acentuadas e pode portanto ser mais facilmente aproximado por um filtro fisicamente realizável. Consegue-se então transmitir à velocidade de Nyquist (2B impulsos/segundo) num sistema prático desde que se utilize sinalização duobinária. No entanto, como se verá adiante, este aproveitamento da largura de banda do canal de transmissão implica uma maior complexidade do receptor devido ao facto de agora a IES ser ≠ 0.

Para se mostrar que a técnica duobinária introduz IES controlada, note-se que o sinal recebido no receptor é dado por:

∑

− = k kh(t KT) x ) t ( y

Se este sinal for amostrado nos instantes ta =U então é óbvio que:

yk = y(KT) = xk + xk-1 (4.7.5)

Como se pode verificar da figura, no instante de amostragem t = T, há IES apenas entre dois símbolos adjacentes. Os outros símbolos não contribuem com IES no instante

t = T.

Como cada amostra yk contém em si informações de dois símbolos consecutivos, é obvio que para se determinar o valor de um dado símbolo, se deverá subtrair de yk o valor do símbolo anterior. A regra de decisão no receptor é então expressa por:

1 k k k y xˆ

xˆ = − _{− (4.7.6)}

onde xˆ_k−₁ representa a estimativa do símbolo anterior, xˆ k a estimativa do símbolo a

ser detectado e yké valor da amostra do sinal recebido no instante KT.

Esta técnica de decisão, em que se utiliza a estimativa do símbolo anterior para estimar o valor do símbolo a ser detectado, designa-se por decisão com realimentação. Note-se que na hipótese de os xk's poderem tomar valores ±1, yk pode tomar valores -2, 0 ou +2.

Apresenta-se em seguida um exemplo, (a) de codificação com detecção sem erros e outro exemplo, (b) de detecção com erros.

No emissor xk - 1 - 1 1 1 -1 1 -1 - 1 1 yk -2 0 2 0 0 0 -2 0 (a) No receptor yk -2 0 2 0 0 0 -2 0 k xˆ -1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1

xk -1 1 1 -1 -1 1 -1 1 yk 0 2 0 -2 0 0 0 (b) nível errado No receptor yk 0 0 0 -2 0 0 0 k

xˆ -1 1 -1 1 -3 Å valor impossível: erro detectado erro de propagação

decisão de erro Do exemplo (b) tiram-se as seguinte conclusões:

i) Um erro numa decisão provoca um erro na decisão seguinte, situação esta que pode continuar em decisões seguintes sucessivas. Para eliminar esta

propagação de erros utiliza-se uma pré-codificação apropriada (ver mais adiante).

ii) A sinalização duobinária permite detectar erros através da ocorrência de estimativas impossíveis (xk=-3 no exemplo anterior).

Por último notemos que num canal com largura de banda B se consegue aumentar indefinidamente o ritmo de transmissão de informação desde que se aumentem os níveis de sinal por cada impulso. Assim, por exemplo, num sistema com impulsos coseno-elevado a 100% (IES = 0), consegue-se transmitir 2B bits/segundo desde cada impulso tenha 4 níveis possíveis 2m1 =nm12 →n=4_{. No caso de dois níveis por cada impulso}

apenas se conseguia transmitir B bits/segundo. Então uma duplicação da velocidade de transmissão de informação exige uma duplicação do número de níveis (para IES = 0). No caso duobinário conseguiu-se a duplicação da velocidade de transmissão apenas com três níveis recebidos, o que é uma vantagem visto a complexidade do receptor aumentar com o número de níveis.

4.7.2. Sinal Duobinário Modificado.

O sinal duobinário caracterizado pela equação (4.7.4) possui um elevado conteúdo de baixas frequências. Como já referido anteriormente, esta particularidade é inconveniente em sistemas de transmissão onde as componentes dc são filtradas por transformadores e condensadores de acoplamento. Nestas situações utiliza-se o chamado sinal duobinário

modificado que é definido no domínio dos tempos por ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≠ ≠ = − = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 2 n ou 0 n , 0 2 n , 1 0 n , 1 B 2 n h

Pode-se mostrar que o espectro deste sinal é dado por:

(

)

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > ≤ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − = − − B f , 0 B f , B f sen B j e e B 2 e ) f ( H B f j B f j B f 2 j π π π π (4.7.7)

A figura seguinte representa o impulso h(t) e o módulo da respectiva transformada de Fourier H(f). Note-se que de facto a resposta em frequência é nula para f = 0 como se pretendia.

O impulso h(t) transporta a informação xk no instante em que assume o valor unitário. O sinal enviado para a linha é constituído por uma sequência de impulsos com valores unitários em kT, k variando de -∞a +∞. O valor -1 (para xk = 1) de cada impulso vai interferir com o valor do impulso, colocado a +2T de distância. Então nos instantes de amostragem (que coincidem agora com o pico positivo do impulso elementar) o sinal recebido yké dado por:

yk = xk - xk-2 (4.7.8)

Há ainda uma questão a analisar. É que o termo sen(πf/B) que aparece em H(f), equação (4.7.7), não se consegue implementar facilmente num circuito prático. Este obstáculo é ultrapassado se notarmos que H(f), equação (4.7.7), pode ser posto na forma:

(

)

(

1 e

)(

1 e

)

, f B B 2 1 e 1 B 2 1 ) f ( H = − −j2πf B = − −jπf B + −jπf B ≤

Multiplicando agora o terceiro factor da última equação por e jπf /(2B)e o conjunto por

e -jπf /(2B)obtém-se:

(

)

(

)

e , f B B 2 f cos B 1 e 1 e 2 e e e 1 B 1 ) f ( H B 2 f j T j B 2 f j B 2 f j B 2 f j B f j ≤ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = + − = − − − − − π ω π π π π π (4.7.9)

Comparando a equação (4.7.9) com a equação (4.7.4) vê-se que o termo que multiplica 1 - e jωT é precisamente o sinal duobinário. Atendendo por outro lado a que o factor e -jωT representa um atraso de T no domínio dos tempos, conclui-se que o sinal

duobinário modificado pode ser obtido pelo circuito prático representado na figura seguinte.

Atendendo-se a que:

yk = xk - xk-2 Æ xk = yk + xk-2

pode-se ver facilmente que agora a regra geral de descodificação é a seguinte

k xˆ = 1 se yk = 1 k xˆ = 0 se yk = -1 k xˆ = xˆk−2 se yk = 0 (4.7.10) Esta regra é válida para o caso em que xk toma os valores 0 ou 1.

4.7.3. Précodificação.

Como se viu anteriormente, a précodificação destina-se a eliminar a propagação de erros. A figura seguinte representa um sistema duobinário modificado com précodificação.

Desta figura conclui-se que:

ak = xk⊕ ak-2 (4.7.11) obtendo então à saída

yk = ak - ak-2 = (xk⊕ ak-2) - ak-2 (4.7.12)

Supondo que xk = 0 ou 1 e como ak = 0 ou 1, então yk = 0, +1, ou -1. Pode-se ainda ver que no receptor se obtém uma estimativa de xk através da regra:

k

xˆ = |yk| (4.7.13)

Como a decisão depende apenas da amostra actual yk, não pode haver propagação de erro.

4.7.4. Detecção de Erros.

A introdução de correlação entre bits no emissor permite a detecção de certos erros no receptor. Para melhor compreensão deste conceito considere-se o seguinte exemplo de um sistema duobinário modificado com précodificação.

Deste exemplo conclui-se a seguinte regra para a detecção de erros: divida-se a sequência de amostras yk em duas sequências, uma de amostras de ordem impar e outra de amostras de ordem par. Em cada uma destas sequências, amostras sucessivas com valores extremos (+1 ou -1 neste caso) devem sempre alternar em valor. No exemplo anterior a sequência de ordem impar é -1100-101 e a sequência par 1-11000, onde de facto -1 e 1 alternam. EMISSOR xk 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 ak 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 yk -1 1 1 -1 0 1 0 0 -1 0 0 0 1 RECEPTOR k xˆ = |yk| 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1