Introdução Basica

FISP

FACULDADES INTEGRADA DE

SÃO PAULO

VIBRAÇÕES MECÂNICAS

PROF MSC.: MARCO ANTÔNIO FOGAÇA

02/2013 – SÃO PAULO

Tudo na vida são

osciladores

harmônicos,

O resto são detalhes!

Comendador Caldeira

Plano da aula

|

Oscilações e Vibrações

|

Movimento Harmônico Simples (MHS)

|

Energia no MHS

|

Dinâmica do MHS

|

Exemplos

|

MHS e Movimento Circular Uniforme

|

Cordas vocais

|

Diapasão

|

Instrumentos de cordas

|

Ondas na água

|

Ondas sonoras

|

Ondas em cordas

“Variações temporais”

“Variações espaciais”

Mas como podemos descrever as vibrações?

|

Uma massa vibrante é descrita medindo várias variáveis:

z

A

distância

do deslocamento da posição de equilíbrio.

z

Um ciclo é o movimento de um ponto (ou configuração) até

retornar à sua situação inicial.

z

O

período

(

T) é o tempo necessário para completar um

ciclo.

z

A

frequência

(

f) é o número de ciclos por unidade de tempo.

•

Quando a unidade de tempo é o segundo,

f

é medida em

Hertz (Hz)

•

O período é o tempo necessário para completar um ciclo

e a frequência é o número de ciclos por segundo:

• T=1/f ou, f = 1/T

|

Movimento oscilatório que se repete

periodicamente.

|

...resulta em ondas senoidais.

|

Exemplos:

z

metrônomo

z

massa em uma mola

z

pêndulo

Movimento Harmônico

Simples (MHS)

MHS

Uma massa vibrante

conectada a uma mola

é deslocada da posição

de equilíbrio, e depois

solta. O deslocamento

máximo é chamado

amplitude da vibração

. Um

ciclo

é uma vibração

completa. O

período

é o tempo necessário para

completar um ciclo completo. A

frequência

é a conta

O gráfico de um Movimento Harmônico

Simples é descrito por uma curva senoidal.

MHS

Força elástica e energia potencial

Configuração de referência: x₀ = 0

∫

−

−

=

x

xdx

k

x

U

0

)

(

0

)

(

2

2

1

)

(

x

kx

U

=

Ou:

kx

F

=

−

Energia no MHS

|

Tanto para a mola quanto para o

pêndulo, pode-se derivar a equação do

MHS usando a conservação de

energia.

|

A energia total (

K + U) do sistema em

MHS será sempre constante!

|

Isso não deveria ser uma surpresa,

pois somente há forças conservativas

presentes, e portanto a energia total

K+U é conservada.

-A 0 A s U U K E

Energia no pto. de equilibrio é cinética! Energia Mecânica de um OHS é

Proporcional ao quadrado de sua Amplitude!

Energia no MHS

|

Energia Mecânica Total:

2 2

1

1

2

2

E

=

mv

+

kx

Energia Cinética Energia Potencial Elástica Quando x=A ou x=-A (extremos):

2 2 2

1

1

1

(0)

( )

2

2

2

E

=

m

+

k A

=

kA

x=-A x=A x=0 F=-kx

Quando x = 0 (ponto de equilibrio):

2 2 2 0 0

1

1

1

(0)

2

2

2

E

=

mv

+

k

=

mv

Conservação de energia mecânica

2

2

2

2

1

2

1

2

1

kA

E

E

kx

mv

+

=

⇒

=

Package

Dinâmica do MHS

|

Sabemos que em todo instante

F

F

= m

a

a

deve ser válido.

|

Mas neste caso

F

= -kx

e

m

a

=

|

Portanto:

-kx = ma =

2 2

d x

m

dt

2 2

d x

k

x

dt

= −

m

Equação diferencial para x(t) !

2 2

d x

m

dt

k x m F F = -kx a a

Dinâmica do MHS

2 2

d x

k

x

dt

= −

m

2 2 2

d x

x

dt

= −

ω

k m ω =

Tentemos a solução x = Acos(ωt)

( )

sin

dx

v

A

t

dt

ω

ω

=

= −

( )

2 2 2 2

cos

d x

a

A

t

x

dt

ω

ω

ω

=

= −

= −

definamos

MHS e potenciais quadráticos

| O MHS vai ocorrer sempre que o potencial

for quadrático.

| Mas geralmente isso não ocorre na

natureza:

z Por exemplo, o potencial entre átomos de H em uma molécula de H₂ tem uma forma do tipo: -A 0 A x U U K E U x

MHS e potenciais quadráticos...

Entretanto, se fizermos a expansão de Taylor dessa função em torno do mínimo, encontramos que, para deslocamentos

pequenos, o potencial É quadrático:

U x U(x) = U(x₀ ) + U

′

(x₀ ) (x- x₀ ) + U

′′

(x₀ ) (x- x₀ )2_+.... ! 2 1 U

′

(x₀) = 0 (pois x₀ é o mínimo do potencial) x₀ U x

′

2 1 U(x) = U′′ (x₀ ) x′ 2 Definimos x′ = x - x₀ e U(x₀ ) = 0 portanto

MHS e potenciais quadráticos...

U x x₀ U x

′

U(x) = U

′′

(x₀) x

′

2 Seja k = U

′′

(x₀) Então: U(x) = k x

′

2 2 1 2 1 Potencial MHS!!

Potencial de Lennard-Jones

( )

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ε = 6 12 2 r a r a r U

( )

a

=

−

ε

U

( )

(

)

2

2

1

a

r

k

r

U

=

−

ε

+

−

U r a U x Potencial MHS!! Em r=a a r

dr

U

d

k

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

2 2 2 8 14 2 2 2

72

7

13

12

a

r

a

r

a

a

dr

U

d

a r

ε

ε

₌

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

= Na aproximação harmônica onde

Molécula de CO

m(C12_{) = 12 u.a.m. =2x10}-26 _kg m(O16_{) = 16 u.a.m. =2.7x10}-26 _kg μ ≅ 1.16x10-26 _kg

μ

=

ω

k

/

O raio molecular, a = 1.1x10-10 _m A energia de dissociação ε = 10 eV = 1.6x10-18 _J Daí k = 9.5x103 _N/m A frequência da radiação ν = 1.4x1014 _s-1

Terremotos!!!!

•Terremotos são eventos de grande impacto, e conhecidos de todos por seus efeitos dramáticos.

•A crosta terrestre tem muitas falhas que separam placas. Estas placas são objetos bastante robustos e as conexões através das falhas e são bastante fracas.

•Ao longo do tempo a crosta deforma, exerce forças nas placas levando a um armazenamento de energia potencial.

•Esta energia é liberada de forma repentina devido ao movimento de uma placa com relação a outra. Isto é um terremoto.

Modelo para Terremotos

Modelo:

Placa com velocidade v₀ ,

Presa por molas K_p a blocos m_i

Estes blocos estão ligados entre si por molas k_c Os blocos tem atrito com a superficie de baixo.

MHS e Movimento Circular

Uniforme

cos

θ

=

x A

/

x

=

A

cos

θ

t

θ ω

=

cos

x

=

A

ω

t

ω

=

_{2 f}

π

cos 2

x

=

A

π

ft

_x

_A

_cos

2

t

T

π

=

A θ x − 2 2 A x x y _v 0 v θ z v x A x z y ω: velocidade angular ou 0 0 0

2

sin

sin 2

sin

t

v

v

v

ft

v

T

π

θ

π

= −

= −

= −

0

cos 2

F

a

a

ft

m

π

=

= −

MHS e MCU

y =

R

cos

θ

=

R

cos

(

ωt

)

z Como relacionar o MHS com o MCU?

x y -1 1 0 θ 1 1 2 2 3 3 4 ₄ 5 5 6 6 2 π π http://faraday.physics.utoronto.ca/PVB/Harrison/Flash/ClassMechanics/Circular2SHM/Circular2SHM.html

Velocidade e Aceleração

k x m 0 Posição: x(t) = A cos(ωt + φ) Velocidade: v(t) = -ωA sin(ωt + φ) Aceleração: a(t) = -ω2_A cos(ωt + φ)

Considerando as derivadas, pois:

dt

t

dv

t

a

(

)

=

(

)

dt

t

dx

t

v

(

)

=

(

)

x_MAX = A v_MAX = ωA a_MAX = ω2_A

z Uma massa oscila para cima e para baixo em uma mola. Sua posição em função do tempo é motrada abaixo. Em quais dos pontos assinalados a massa tem uma velocidade positiva e uma aceleração negativa? t y(t) (a) (b) (c)

Exemplo 1

z A inclinação y(t) nos mostra o sinal da velocidade, pois t y(t) (a) (b) (c) v dy dt =

z y(t) e a(t) têm sinais opostos pois a(t) = -ω2 _y(t)

a < 0 v < 0 a > 0 v > 0 a < 0 v > 0 A resposta é (c).

Exemplo 1: solução

Exemplo 2

| Uma massa de m = 2 kg oscila em uma mola com amplitude A =

10 cm. Em t = 0 sua velocidade é máxima, e é v = +2 m/s.

z Quanto vale a freqüência angular da oscilação ω? z Qual é a constante da mola k?

k

x m

v_MAX = ωA ω = MAX ₁₀2m_cms 20s 1

A v ₋ = = ω = k m também: _{k = mω}2 E portanto k = (2 kg) x (20 s -1) 2 = 800 kg/s2 = 800 N/m

Condições iniciais

k

x m

0

Use as “condições iniciais” para determinar a fase φ!

Suponha que foi dito que x(0) = 0 , e que x inicialmente aumenta (i.e. v(0) = positiva):

x(0) = 0 = A cos(φ) φ = π/2 ou -π/2 v(0) > 0 = -ωA sin(φ) φ < 0 x(t) = A cos(ωt + φ) v(t) = -ωA sin(ωt + φ) a(t) = -ω2_A cos(ωt + φ) π 2π sin cos θ φ = -π/2 Portanto

Condições iniciais...

k x m 0 x(t) = A cos(ωt - π/2 ) v(t) = -ωA sin(ωt - π/2 ) a(t) = -ω2_A cos(ωt - π/2 ) Encontramos portanto φ = -π/2!! x(t) = A sin(ωt) v(t) = ωA cos(ωt) a(t) = -ω2_A sin(ωt) π 2πωt x(t) A -A

Solução do MHS

|

y =

A

cos(

ω

t +

φ

)

φ

Solução do MHS

|

y

=

A

cos(

ω

t -

π/2

)

A φ=−π/2 −π π 2π θ = A sin(ωt) !

Resumo MHS

|

A solução mais geral é

x = A cos(

ω

t +

φ

)

onde

A

= amplitude

ω

= frequência angular

φ

= fase

|

Para uma massa em uma mola:

A frequência não depende da amplitude!!

z

Isso na realidade é geral para qualquer MHS !

|

A oscilação ocorre ao redor do ponto de equilíbrio,

onde a força resultante é nula!

k

m

Solução MHS

| _{Mostramos que (que vem de} F = ma)

tem solução x = A cos(ωt) .

| Essa não é a única solução, entretanto. x = A sin(ωt) também é uma

solução.

| _{A solução mais geral é uma combinação linear dessas duas}

possíveis soluções: x = B sin(ω t)+ C cos(ω t) 2 2 2

d x

x

dt

=−

ω

( )

t C sin

( )

t cos B dt dx _{= ω ω − ω ω}

( )

t C cos

( )

t x sin B dt x d 2 2 2 2 2 ω − = ω ω − ω ω − =

Derivação:

x = A cos(ωt + φ) é equivalente a x = B sin(ωt)+ C cos(ωt) x = A cos(ωt + φ)

= A cos(ωt) cosφ - A sin(ωt) sinφ

onde C = A cos(φ) e B =

−

A sin(φ)

Funciona!

= C cos(ωt) + B sin(ωt)

Queremos usar a solução mais geral. Vamos mostrar que:

∑

F

= 0

ρ

a

gV

>

mg

mg

>

ρ

a

gV

O empuxo funciona como força restauradora

ghA

F

_empuxo

=

ρ

_a

Solução para um paralelepípedo oscilador

h (equilíbrio)

)]

(

[

)

(

t

gA

h

y

t

F

_empuxo

=

ρ

_a

−

(fora do equilíbrio no instante t)

“Oscilador de Arquimedes”: solução

)]

(

[

)

(

t

gA

h

y

t

F

_empuxo

=

ρ

_a

−

2 2

)]

(

[

dt

y

d

m

t

y

h

gA

mg

F

=

−

+

_a

−

=

∑

ρ

gAy

y

m

&&

=

−

ρ

_a

Ay

m

g

y

&&

=

−

ρ

_a

m

gA

a

ρ

ω

=

Freqüência do oscilador

Túnel de transporte

| Um túnel reto é construído de Campinas, passando pelo

centro da terra até o outro lado. Um estudante de F228 pula no túnel ao meio-dia.

Túnel...

R

R_E

onde M_R é a massa contida dentro do raio R M_R F_G

( )

( )

F R F R M R R M G G E R E E = ₂ 2 mas M_R ∝ R3

( )

( )

F R F R R R R R R R G G E E E E = 3_{2 3}2 =

( )

₂

R

GmM

R

F

_G

=

−

R

Túnel...

R R_E M_R F_G

( )

( )

_{E E} G G R R R F R F = F mg R R kR G E = − = − k mg R_E = Como um sistema massa mola com

mg )

R (

R R_E M_R F_G k mg R_E = ω = k = m g R_E Assim: insira g = 9.81 m/s2 e R_E = 6.38 x 106 m obtemos ω = .00124 s-1 E portanto T = = 5067 s 84 min ω π 2 ≈ Como um sistema massa mola com

Túnel…

|

Portanto, o estudante retorna para

Pêndulos

|

O período não depende

da massa!

|

O período depende

apenas do comprimento

do pêndulo.

2

T

= π

l g

O Pêndulo Simples

|

Um pêndulo é feito ao se

suspender uma massa

m na

extremidade de um fio de

comprimento

L.

|

Encontre a freqüência de

oscilação para pequenas

amplitudes.

θ L

m

mg

Parentêses:

sen

θ

e

cos

θ

para

pequenos valores de

θ

|

A expansão de Taylor de sin

θ

e cos

θ

em

torno de

θ

= 0 dá:

3

5

sin

...

3!

5!

θ

θ

θ θ

= −

+

−

2 4

cos

1

...

2!

4!

θ

θ

θ

= −

+

−

e

2 2 2

d

dt

θ

_{ω θ}

= −

ω = g L onde

O Pêndulo Simples

|

O torque devido à gravidade ao redor do eixo de rotação

(eixo

z

) é

τ

= -

mg

d. Mas:

d = L sen

θ

≈

L

θ

para pequenos θ

Portanto τ

= -

mg

L

θ

|

Mas τ

= I

α , I = mL

2 θ L d m mg z 2 2 2

d

mgL

mL

dt

θ

θ

−

=

Que é idêntica à Equação diferencial do MHS !

θ = θ₀ cos(ωt + φ)

1

1

2

g

f

T

π

L

=

=

Energia no Pêndulo Simples

)

cos

1

(

2

1

₂

θ

2

₊

₋

_θ

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

mgL

dt

d

mL

E

2 2

)

(

2

1

)

(

2

1

θ

_θ

L

L

g

m

dt

L

d

m

E

⎟

+

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

E

_p

=

0

θ L d=Lsenθ m z cos L θ 2 2 (1 cos ) L L d L θ − − = − 2

2

k p

mv

E

=

E

+

E

=

+

mgh

http://www.phy.ntnu.edu.tw/java/Pendulum/Pendulum.html 2

ω