M6 Espaço Vetorial

(1)

Disciplina: ´Algebra Linear Professora: Lidiane Buligon

Material: UNIDADE II - Espa¸cos Vetoriais

A Álgebra Linear (AL) resume-se ao estudo dos Espa¸cos Vetoriais (EV) e das Tranforma¸cões Lineares (TL) que relacionam os entes, denominados vetores, destes EV’s, que por sua vez, quando os EV’s possuirem dimensão finita, tal transforma¸cão linear será representada por uma matriz (M).

Estes três conceitos (EV, TL e M) são recorrentes nas diversas áreas de aplica¸cão da Ma-temática, justificando a inser¸cão das displinas de álgebra linear nos curr´ıculos universitários.

A disciplina insere-se de modo natural após a cadeira de geometria anal´ıtica, onde supõem-se adquirida uma familiaridade da representa¸cão algébrica das idéias geométricas e vice-versa.

1 Espa¸

cos Vetoriais - EV

Defini¸cão 1 (D11): Um conjunto não vazio K é um corpo se em K pudermos definir duas opera¸cões, denotadas por + (adi¸cão) e · (multiplica¸cão), satisfazendo as seguintes propriedades: (A1) a + b = b + a, ∀a, b ∈ K (Comutativa);

(A2) (a + b) + c = a + (b + c), ∀a, b, c ∈ K (Associativa);

(A3) Existe um elemento em K, denotado por 0 e chamado elemento neutro da adi¸c˜ao, que satisfaz 0 + a = 0 + a = a, ∀a ∈ K,

(A4) Para todo ∀a ∈ K, existe um elemento em K, denotado por −a e chamado de oposto de a ou (inverso aditivo de a) tal que: a + (−a) = −a + a = 0;

(M1) a · b = b · a, ∀a, b ∈ K (Comutativa);

(M2) (a · b) · c = a · (b · c), ∀a, b, c ∈ K (Associativa);

(M3) Existe um elemento em K, denotado por 1 e chamado elemento neutro da multiplica¸c˜ao, tal que 1 · a = 1 · a = a, ∀a ∈ K,

(A4) Para todo elemento n˜ao nulo ∀a ∈ K, existe um elemento em K, denotado por a−1 e chamado inverso multiplicativo de a, tal que a · a−1 _{= a}−1_{· a = 1;}

(D) (a + b) · c = ac + bc, ∀a, b, c ∈ K (Distributiva).

Exemplos: Q, R e C são corpos. Note que, Z não é um corpo, pois a propriedade (M 4) não é satisfeita para este conjunto. Ainda N não é um corpo, pois as propriedades (A4) e (M 4) não são satisfeitas para este conjunto.

A nota¸cão de EV desencadeia todo o desenvolvimento da AL. Sua defini¸cão está calcada na assun¸cão de axiomas sobre opera¸cões de seus elementos (vetores), mais especificamente: Defini¸cão 2 (D1): Um espa¸co vetorial V é um conjunto cujos elementos são chamados de vetores, e sob os quais estão definidas duas opera¸cões:

Adi¸c˜ao: ∀u, v ∈ V : u + v ∈ V ,

Multiplica¸c˜ao por um escalar: α ∈ K (corpo) e u ∈ V : αu ∈ V .

Essas opera¸c˜oes devem satisfazer para α, β ∈ K e u, v, w ∈ V , as condi¸c˜oes abaixo chamadas de axiomas do espa¸co vetorial.

Comutativa: u + v = v + u;

(2)

Vetor Nulo: Existe um vetor, 0 = 0V ∈ V , chamado vetor nulo, tal que v + 0 = 0 + v = v ∀v ∈ V ;

Inverso Aditivo: ∀v ∈ V , existe ´unico −v ∈ V , chamado inverso aditivo, ou sim´etrico de V , tal que −v + v = v + (−v) = 0;

Distributiva: (α + β) + v = αv + βv e α (u + v) = αu + αv; Multiplica¸c˜ao por 1: 1 · v = v.

Exemplo 1

O conjunto V = R2

= {(x, y)|x, y ∈ ℜ} é um espa¸co vetorial com as opera¸cões de adi¸cão e multiplica¸cão por um número real assim definidas:

(A) (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1+ y2) (M) α(x, y) = (αx, αy)

Exemplo 2 O conjunto C2

´e um espa¸co vetorial sobre R. Basta definirmos as opera¸c˜oes: (A) (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) ∈ C2

, ∀(a, b), (c, d) ∈ C2 (B) α(a, b) = (αa, αb) ∈ C2

, ∀α ∈ R e (a, b) ∈ C2 Exemplo 3

O conjunto M (m, n) das matrizes m×n com as opera¸cões adi¸cão e multiplica¸cão por escalar usuais.

Em particular, o conjunto M (n, n) das matrizes quadradas, de ordem n, ´e um espa¸co vetorial com as mesmas opera¸c˜oes.

Exemplo 4

v = Pn, o conjunto dos polinômios com coeficientes reais, de grau menor ou igual a n (incluindo o zero), com as opera¸cões de soma de polinômios e multiplica¸cão por escalar, são espa¸cos vetoriais.

Exemplo 5

O conjunto S = {(x, y, z) ∈ R3

| y = x + 2 e z = 0} n˜ao ´e um espa¸co vetorial.

De fato: dados os vetores v1 = (1, 3, 0) e v2 = (−1, 1, 0) ∈ S observe que v1+ v2 ∈ S pois:/ (1, 3, 0) + (−1, 1, 0) = (0, 4, 0) que n˜ao obedece a rela¸c˜ao y = x + 2.

Exemplo 6

Seja n ∈ N, o s´ımbolo Rn _{representa o EV euclidiano n-dimensional. Os elementos de R}n são listas ordenadas de números reais (u = (u1, . . . , un)). Por defini¸cão a igualdade vetorial u = V significa a n igualdade numérica (ui = Vi, i = 1, . . . , n). Os números ui são denominados coordenadas do vetor u, e o vetor nulo é 0 = (0, . . . , 0) (as n coordenadas nulas). Nesse EV definem-se as opera¸cões usuais em Rn_:

u+ v = (u1+ v1, . . . , un+ vn) e αu = (αu1, . . . , αun)

Comentários: A opera¸cão soma, conforme descrita anteriormente corresponde a seguinte aplica¸cão

“ + ” : Rn× Rn _{→ R}n (u, v) 7−→ w = u + v e a opera¸c˜ao multiplica¸c˜ao por escalar, como

“α · ” : R × Rn _{→ R}n (α, v) 7−→ w = α · v

(3)

Verifica¸c˜ao se ´e um EV em R . . . Resultados:

Sobre um EV valem as seguintes regras operacionais:

1. Se w + u = w + v, ent˜ao u = v para u, v, w ∈ Rn_{. De fato,} u + 0 = u ⇔ u + (w − w) = u ⇔ (u + w) − w = u ⇔ (w + v) − w = u ⇔ v + (w − w) = u ⇔ v + 0 = u ⇔ v = u Em particular, • se w + u = w ⇔ w + u = w + 0 ⇔ u = 0. • se w + u = 0 ⇔ w + u = w − w ⇔ u = −w.

2. Dados 0 ∈ R e v ∈ E tem-se 0 · v = 0 ∈ E. Analogamente, dados α ∈ R e 0 ∈ E, vale α · 0 = 0. De fato,

• se v + 0 · v = 1 · v + 0 · v = (1 + 0) v = 1 · v = v logo 0 · v = 0. • se α · 0 + α · 0 = α · (0 + 0) = α · 0 logo de 1. segue que α · 0 = 0.

3. Se α 6= 0 e v 6= 0 então α · v 6= 0. De fato, se α · v = 0 então v = 1 · v = (α−1_{α)v =} α−1_{(αv) = α}−1_{0 = 0 ⇒ v = 0 contradi¸cão.}

4. (−1)v = −v. Com efeito, v + (−1)v = 1.v + (−1)v = (1 + (−1))v = 0.v = 0 logo pela regra 1. (−1)v = −v.

1.1 Subspa¸

cos Vetoriais - SEV

A defini¸c˜ao de subespa¸cos vetoriais ´e uma rica fonte de exemplos de espa¸cos vetoriais, pois este preserva as propriedades de espa¸co vetorial. Mais precisamente,

Defini¸c˜ao 3 (D2): Dado V , um EV e U (U ⊂ V ) um subconjunto de V , U ser´a um subespa¸co vetorial de V com as seguintes propriedades:

(i) 0 ∈ U ;

(ii) Se u, v ∈ U , ent˜ao u + v ∈ U ;

(iii) Se v ∈ U e para todo α ∈ R, ent˜ao α.v ∈ U . Exemplo 1

Exemplos triviais de subespa¸cos vetoriais de V , um EV, s˜ao U = {0} e U = V . Exemplo 2

Dados V = R2

e S = {(x, y) ∈ R2

| y = 2x, x ∈ R}, mostre que S ´e um subespa¸co vetorial de R2

(4)

Geometricamente:

Exemplo 3 Dados V = R2

e S = {(x, y) ∈ R2

| y = 4 − 2x, x ∈ R}, mostre que S n˜ao ´e um subespa¸co de R2

.

Geometricamente:

Exemplo 4

Sejam v ∈ V (EV), um vetor não-nulo. O conjunto F = {α.v : α ∈ K} de todos os múltiplos de V é um subespa¸co vetorial de de V .

Exemplo 5

Sejam F1 e F2 subespa¸cos vetoriais de E. O subespa¸co vetorial de E gerado pela reunião de F1∪ F2 é, como se vê facilmente, o conjunto de todas as somas v1+ v2, com v1 ∈ F1 e v2 ∈ F2. Nota¸cão: F = F1+ F2, subespa¸co vetorial de E.

Defini¸cão 4 (D4): Variedade Afim. Um subconjunto Va ⊂ E chama-se variedade afim quando a reta que une dois pontos quaisquer de Va está contida em Va. Assim, Va⊂ E é uma variedade afim se, e somente se, cumpre as seguintes condi¸cões: x, y ∈ Va, t ∈ R ⇒ (1 − t) x + ty ∈ Va. Defini¸cão 5 (D5): Reta. Seja E um EV. Se x, y ∈ E e x 6= y, a reta que une os pontos x e y é, por defini¸cão o conjunto V = {(1 − t) x + ty : t ∈ R} = {x + tv : t ∈ R e v = y − x}.

(5)

Subespa¸cos vetoriais s˜ao variedades afim.

Teorema 1 Seja Va uma variedade afim n˜ao-vazia no EV E. Existe um ´unico subespa¸co vetorial F ⊂ E tq, para todo x ∈ Va tem-se:

Va= x + F = {x + v : v ∈ F }.

Demonstra¸c˜ao.Admita x ∈ Vae seja F o conjunto de todos os vetores v = y − x, com y ∈ Va. 1. Mostrar que F ´e um subespa¸co vetorial.

(i) 0 ∈ F , pois y = x ⇒ v = 0;

(ii) Dados v, v′ _{∈ F , v = y − x e v}′ _{= y}′_{− x tem-se v + v}′ _{∈ F . De fato, seja z =} 1 2y + 1 2y ′_, com y, y′ _{∈ V} a, tem-se z − x =1 2y + 1 2y ′ _{− x =} 1 2(y − x)| {z } ∈F +1 2(y ′_{− x)} | {z } ∈F Da´ı v + v′ =y + y′− 2x = 2 (z − x) ∈ F Portanto v + v′ _{∈ F}

(iii) Dado α ∈ K, v ∈ F tem-se

α.v =α (y − x) = αy − αx + x − x = [(1 − α) x + αy] | {z } z∈Va −x = z − x Portanto αv ∈ F

Logo, F ´e subespa¸co vetorial. 2. Va = x + F ?

(i) Va⊂ (x + F ):

y ∈ Va⇒ y = x + (y − x), com v = y − x ∈ F Portanto y ∈ x + F , logo Va⊂ (x + F ). (ii) Va⊃ (x + F ):

Qualquer elemento x + F ´e da forma, para v ∈ F , x + v = x + (y − x) = y, com y ∈ Va Assim (x + F ) ⊂ Va.

Finalmente, Va= x + F . 3. A unicidade de F .

Suponha F′_{, tal que x + F = x + F}′_{, para x ∈ E. Observe que:} v ∈ F ⇒ x + v ∈ x + F ⇒ x + v ∈ x + F′ ⇒ x + v = x + v′ , (v′ ∈ F′ ) ⇒ v = v′, (v ∈ F′)

Portanto F′ _{⊂ F . De maneira an´aloga, chega-se que v}′ _{∈ F e que F ⊂ F}′_{. e portanto} F = F′_.

(6)

1.2 Combina¸

c˜

ao Linear

Seja X ⊂ V um subconjunto não-nulo do espa¸co vetorial V . O subconjunto de V gerado por X é, por defini¸cão, o conjunto de todas as combina¸cões lineares (CL):

Defini¸c˜ao 6 (D3): α1v1+ . . . + αmvm, com vi ∈ V , i = 1, . . . , m e αi ∈ K, i = 1, . . . , m; e notado por [X].

[X] ´e um subespa¸co vetorial de de V . De fato,

Se [X] coincide com V , X ´e o conjunto de geradores de V , ie, ∀w ∈ V , pode ser escrito como w = α1v1+ . . . + αmvm, com vi ∈ V e αi ∈ K, i = 1, . . . , m.

Coment´arios:

1. [x] ⊃ X, é o menor subespa¸co vetorial que contém X. 2. Se X é um subespa¸co vetorial, então [X] = X. (Ver Ex 1.)

Exemplo 7

Considere em R3

os seguintes vetores v1 = (1, −3, 2) e v2 = (2, 4, −1). Escreva o vetor v = (−4, −18, 7) como combina¸c˜ao linear dos vetores v1 e v2.

Exemplo 8

Determine o o valor de k para que o vetor u = (−1, k, −7) seja combina¸c˜ao linear dos vetores v1 e v2.

(7)

1.2.1 Subespa¸cos Gerados

Seja V um espa¸co vetorial real, consideremos um subconjunto A = {v1, v2. . . vn} ⊂ V , com A 6= ∅. O conjunto S formado de todos os vetores de w que são combina¸cões lineares dos vetores de A é um subespa¸co vetorial de V e é chamado de subespa¸co gerado pelos vetores v1, v2. . . vn. Exemplo 9

Os vetores ˆi = (1, 0) e ˆj = (0, 1) geram o espa¸co vetorial R2 . De fato:

Exemplo 10

Os vetores ˆi = (1, 0, 0), ˆj = (0, 1, 0) e ˆk = (0, 0, 1) geram o espa¸co vetorial R3 . De fato:

Exemplo 11 Seja V = R3

, determine o subespa¸co vetorial gerado pelo vetor v = (1, 2, 3).

1.3 Bases

Espa¸cos vetoriais de dimensão finita, possuem uma estrutura algébrica extremamente sim-ples, evidenciada pelas idéias de base num espa¸co vetorial de dimensão n, seus elementos são meramente combina¸cão lineares dos n vetores básicos, com coeficientes univocamente determi-nados.

Defini¸cão 7 (D6): Um conjunto X é dito linearmente independente (l.i.), quando nenhum vetor v ∈ X é combina¸cão linear, CL, dos demais elementos de X (vi′_{s ∈ X são ditos vetores} l.i); caso contrário X é denominado um conjunto linearmente dependente (l.d.).

O seguinte resultado fornece um crit´erio para discriminar conjuntos l.i.’s e l.d.’s.

Teorema 2 Seja X um conjunto l.i. no espa¸co vetorial E. Se α1v1+ . . . + αnvn = 0, com v1. . . vn∈ X e i = 1, . . . , n, então α1 = . . . = αn= 0. Reciprocamente, se a única combina¸cão linear nula de vetores de X é um conjunto l.i.

Demonstra¸c˜ao.

(⇒) Suponha que α1v1 + . . . + αnvn = 0, com v1. . . vn ∈ X e i = 1, . . . , n, com algum αi 6= 0, sem perda de generalidade, admite-se α1 6= 0, logo v1 = −

n X i=1 αi α1 vi = 0, mas vi ∈ X, um absurdo! Portanto todo αi = 0 para i = 1, . . . , n.

(⇐) Suponha que X é l.d., logo algum dos vetores de X é CL dos demais, sem perda de generalidade admita v1, logo v1 = α2v2+ . . . + αnvn uma combina¸cão linear dos vetores de X, isto implica que 1.v1 − α2v2− . . . − αnvn = 0, uma CL de vetores de X que gera o vetor nulo com pelo menos um αi (α1 = 1) diferente de zero, logo não é única a CL que gera dois vetores nulo. Assim, por contraposi¸cão, X é l.i. quando a única CL que gera o vetor nulo é dada por αi = 0 para i = 1, . . . , n.

(8)

Corolário 1 Se v = α1v1 + . . . + αnvn = β1v1 + . . . + βnvn e {vi}n_i=1 é l.i., então α1 = β1, . . . , αn = βn.

Demonstra¸c˜ao. Imediata

Teorema 3 Seja X = {vi}n_i=1 um conjunto de vetores não-nulos do espa¸co vetorial V . Se nenhum deles é CL dos anteriores então X é um conjunto l.i.

Demonstra¸c˜ao.

Por absurdo. Seja uma CL de vetores dados, com coeficientes não todos nulos, igual ao vetor nulo, onde o último é dado pelo ´ındice r, isto é, α1v1+ . . . + αrvr = 0, com αr 6= 0 ⇒ vr = − α1 αr v1− . . . − αr−1 αr

vr−1, logo vr ´e CL dos vi′s ∈ X com i = 1, . . . , r − 1, um daqueles v′

is ∈ X. Absurdo! Exemplo 12

Seja X = {u, v, w}, com u = (1, 2), v = (3, 4) e w = (4, 8), observe que {u, v, w} ⊂ R2 é cjto l.d., pois w = 4u + 0v, mas v não é combina¸cão linear de u e w. Ainda, o conjunto {u, v} é l.i., pois nenhum dos vetores deste conjunto pode ser descrito com CL do outro. Em contrapartida, o conjunto {u, w} é l.d., pois w = 4u.

Exemplo 13

No espa¸co vetorial V = R3

, os vetores u = (2, −1, 3), v = (−1, 0, −2) e w = (2, −3, 1) formam um conjunto linearmente dependente. De fato,

(9)

Exemplo 14

No espa¸co vetorial V = R4

, os vetores v1 = (2, 2, 3, 4), v2 = (0, 5, −3, 1) e v3 = (0, 0, 4, −2) formam um conjunto linearmente independente. De fato,

Exemplo 15

Os vetores ˆi = (1, 0, 0), ˆj = (0, 1, 0) e ˆk = (0, 0, 1) s˜ao l.i. De fato:

Defini¸c˜ao 8 (D7): Uma base de um espa¸co vetorial V ´e um conjunto β ⊂ V linearmente independente que gera V .

Isto significa que todo vetor v ∈ V se exprime de modo único como combina¸cão linear v = α1v1+ . . . + αnvn de elementos v1, . . . , vn da base β. Os números α1, . . . , αn chamam-se coordenadas do vetor V na base β.

Ainda, se um espa¸co vetorial V admite uma base com n elementos então todas as bases de V têm o mesmo número n de elementos. Este número é chamado de dimensão de V .

Exemplo 16

β = {(1, 1) , (−1, 0)} ´e base de R2

. De fato:

Exemplo 17 Interpreta¸c˜ao Geom´etrica.

Exemplo 18 As matrizes M1 = 1 0 0 0 , M2 = 0 1 0 0 M3 = 0 0 1 0 e M4 = 0 0 0 1

s˜ao bases do espa¸co vetorial M (2, 2).

Exemplo 19

O conjunto formado pelos vetores e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 0, 1) e e3 = (0, 0, 1) ´e chamado base canˆonica do R3

.

Teorema 4 Os vetores v1, . . . , vngeram o espa¸co vetorial V ent˜ao qualquer conjunto com mais de n vetores em V ´e l.d.

Demonstra¸c˜ao.

Dados os vetores w1, . . . , wm em V , com m > n, para cada j = 1, . . . , m temos wj = α1jv1+ . . . + αnjvn, pois os vetores v1, . . . , vn geram o espa¸co vetorial V . Deve-se mostrar que os vetores wj sejam l.d., isto ´e determinar os coeficientes x1, . . . , xm n˜ao todos nulos, tais que

(10)

x1w1+ . . . + xmwm = 0. Assim x1(α11v1+ . . . + αn1vn) + . . . + xm(α1mv1+ . . . + αnmvn) = 0 ⇔ ... m X j=1 xjα1j ! v1+ . . . + m X j=1 xjαnj ! vn = 0 ⇔          α11x1+ α12x2+ . . . + α1mxm = 0 α21x1+ α22x2+ . . . + α2mxm = 0 ... αn1x1+ αn2x2+ . . . + αnmxm = 0

isto é, um sistema linear homogêneo cujo números de incógnitas é maior que o número de equa¸cões admite uma solu¸cão não-trivial (Lema 1). Logo w1, . . . , wm é um conjunto l.d. Corolário 2 Se os vetores v1, . . . , vn geram o espa¸co vetorial V e os u1, . . . , um são l.i., então m ≤ n.

Demonstra¸c˜ao.

β = {v1, . . . , vn} uma base de V e o conjunto U = {u1, . . . , um} ´e l.i. Suponha que m > n isto implica que existe w ∈ V tal que w = α1u1+ . . . + αmum, mas w = β1v1+ . . . + βnvn ⇔ α1u1+ . . . + αmum = β1v1 + . . . + βnvn, como m > n ⇒ ∃ m ≥ j > n tal que

uj = n X i=1 βi αi vi− m X i=n+1,i6=j αi αj ui

logo uj ´e CL e portanto u1, . . . , um ´e l.d. Logo m ≤ n.

Corol´ario 3 Se o espa¸co vetorial admite uma base β = {v1, . . . , vn} com n elementos, qualquer outra base de V possui n elementos.

Demonstra¸c˜ao. Seja β′ _{= {u}

1, . . . , um} outra base de V , logo β′ gera V e β é l.i., pelo Corolário 2, tem-se n ≤ m. Como β gera V e β′ _{é l.i., pelo Corolário 2, m ≤ n e portanto m = n.}

OBS: n = dimV , tem-se que o espa¸co vetorial possui dimens˜ao finita quando admite uma base β com um n´umero finito de elementos.

Corolário 4 Se a dimensão de V é n, um conjunto com n vetores gera V se, e somente se, é l.i.

Demonstra¸c˜ao.

(⇒) Se X = {v1, . . . , vn} gera V e não é l.i., então um dos seus elementos é combina¸cão linear dos (n − 1) restantes, mas como X é gerador de V , fato que contradiz o Teorema 4, pois teriamos uma base de (n − 1) vetores, isto é, (n − 1) < n e assim dimV = n − 1, um absurdo.

(⇐) X ´e l.i., se v′

is ∈ X n˜ao gerassem V , ent˜ao ∃ v ∈ V tal que v 6= n P i=1

αivi ⇒ {v1, . . . , vn,v} seria l.i. ⇒ dimX = n + 1 > n = dimV , um absurdo, pois dimX ≤ dimV .

Lema 1 Todo sistema linear homogêneo cujo número de incógnitas é maior que o número de equa¸cões admite uma solu¸cão não-trivial.

(11)

Demonstra¸c˜ao. O sistema:          a11x1+ a12x2+ . . . + a1nxn= 0 a21x1+ a22x2+ . . . + a2nxn= 0 ... am1x1+ am2x2+ . . . + amnxn= 0

com m equa¸c˜oes e n inc´ognitas e m < n.

Indu¸c˜ao:

(i) se k = 1 ent˜ao a11x1 + a12x2+ . . . + a1nxn= 0, n > 1.

Suponha que exite i ∈ (1, . . . , n) tal que a1i 6= 0, sem perda de generalidade a1n 6= 0, logo xn= − a11 a1n x1+ . . . + a1n−1 a1n xn−1

da qual, ao atribuir valores para x1, . . . , xn−1, obtém-se xn, logo não é uma solu¸cão trivial, e a solu¸cão é a n-upla (x1, . . . , xn−1, xn) para a equa¸cão dada.

(ii) suponha que para k = m − 1 vale o lema          a11x1+ a12x2+ . . . + a1nxn = 0 a21x1+ a22x2+ . . . + a2nxn = 0 ... am−11x1+ am−12x2+ . . . + am−1nxn = 0 n − 1 > m − 1

(iii) k = m, admite-se o sitema inicial, e que exite amn 6= 0 na m-ésima equa¸cão, isto é xn = − am1 amn x1+ . . . + amn−1 amn xn−1 ⇒                a11x1+ a12x2+ . . . + a1n−1xn−1− a1n am₁ amnx1+ . . . + amn₋₁ amn xn−1 = 0 a21x1+ a22x2+ . . . + a2n−1xn−1− a2n am₁ amnx1+ . . . + amn₋₁ amn xn−1 = 0 ... am1x1+ am2x2+ . . . + amn−1xn−1− amn am₁ amnx1+ . . . + amn₋₁ amn xn−1 = 0 ⇔          a11− _aam1 mna1n x1+ . . . a1n−1− a mn₋₁ amn a1n xn−1 = 0 ... am1−_aamnm1amn x1+ . . . amn−1− a mn₋₁ amn amn xn−1 = 0

Um sistema com m − 1 equa¸cões e n − 1 incógnitas, com n − 1 > m − 1, logo por (ii) admite uma solu¸cão não-trivial.

Teorema 5 Seja E um espa¸co vetorial de dimensão finita n, então: (a) Todo conjunto X de geradores de E contém uma base de E.

(b) Todo conjunto l.i., {v1, . . . , vm} ⊂ E est´a contido em uma base de E. (c) Todo subespa¸co vetorial F ⊂ E tem dimens˜ao finita e dimF ≤ n.

(12)

(d) Se a dimensão do subespa¸co F ⊂ E é igual a n, então F = E. Demonstra¸cão.

(a) Os conjuntos l.i. em E tem no máximo n elementos. Seja Y = {v1, . . . , vm} ⊂ X (X é um gerador de E), um subconjuto l.i. de X com o número máximo poss´ıvel de elementos m. Porém, se ∃v ∈ X tal que {v1, . . . , vm, v} ⊂ X é l.i, mas o número máximo de vetores l.i é m, o que contradiz o Teo. 3. Logo todo elemento de X é combina¸cão linear de Y , isto é, X ⊂ S (Y ), e que ainda, E = S (x) ⊂ S (Y ) e da´ı E = S (Y ), ie, Y é uma base de E contida em X.

(b) Seja Y = {v1, . . . , vm, vm+1, . . . , vk} um conjunto l.i., com o n´umero m´aximo de elementos l.i.’s, contendo os m vetores dados. Se ∃v ∈ E tal que v 6=

k P i=1

αivi ⇒ Y ∪ {v} ´e um conjunto l.i., logo contraria a maximalidade de k, logo Y gera E, e assim uma base de E que cont´em os {v1, . . . , vm} l.i.

(c) Seja Y = {v1, . . . , vm} ⊂ F , um subconjunto de F que é l.i. e tem número máximo poss´ıvel de elementos. Então, Y gera F (conforme argumenta¸cão anterior) dimF = m ≤ n (Teo. 5)

(d) Se dimF = dimE = n ⇒ toda base de F é um subconjunto l.i. de E e gera E, assim E = F . a dimensão do subespa¸co F ⊂ E é igual a n, então F = E.

2 Lista de Exerc´ıcios

Nos problemas 1 a 5 apresenta-se um conjunto com as opera¸cões de adi¸cão e multiplica¸cão por escalar nele definidas. Verificar quais deles são espa¸cos vetoriais. Para aqueles que não são espa¸cos vetoriais, citar os axiomas que não se verificam.

1. R3 , (x, y, z) + (x′ , y′ , z′ ) = (x + x′ , y + y′ , z + z′ ) k(x, y, z) = (0, 0, 0)

2. {(x, 2x, 3x); x ∈ R} com as opera¸c˜oes usuais 3. R2

, (a, b) + (c, d) = (a, b) e α(a, b) = (αa, αb) 4. R2 , (x, y) + (x′ , y′ ) = (x + x′ , y + y′ ) e α(x, y) = (α2 x, α2 y) 5. A = {(x, y) ∈ R2

| y = 5x} com as opera¸c˜oes usuais.

Nos problemas 6, 7 e 8 s˜ao apresentados subconjuntos de R2

. Verificar quais deles s˜ao subespa¸cos vetoriais do R2

relativamente às opera¸cões de adi¸cão e multiplica¸cão por escalar usuais.

6. S = {(x, y)| y = −x} 7. S = {(x, y)}| x + 3y = 0} 8. S = {(x, y)| y = x + 1}

Nos problemas 9 a 14 s˜ao apresentados subconjuntos de R3

. Verificar quais são seus subespa¸cos em rela¸cão às opera¸cões de adi¸cão e multiplica¸cão por escalar usuais. Para os que são subespa¸cos, mostrar que as duas condi¸cões estão satisfeitas. Caso contrário, citar um contra-exemplo.

(13)

9. S = {(x, y, z)| x = 4y e z = 0} 10. S = {(x, y, z)| z = 2x − y} 11. S = {(x, y, z)| x = z2 } 12. S = {(x, y, z)| y = x + 2 e z = 0} 13. S = {(x, −3x, 4x); x ∈ R} 14. S = {(x, y, z)| x + y + z = 0} 15. Sejam os vetores u = (2, −3, 2) e v = (−1, 2, 4) em R3 .

(a) Escrever o vetor w = (7, −11, 2) como combina¸cão linear de u e v. (b) Para que valor de k o vetor (−8, 14, k) é combina¸cão linear de u e v?

(c) Determinar uma condi¸c˜ao entre a, b e c para que o vetor (a, b, c) seja uma combina¸c˜ao linear de u e v.

16. Escrever o vetor 0 ∈ R2

como combina¸c˜ao linear dos vetores (a) v1 = (1, 3) e v2 = (2, 6)

(b) v1 = (1, 3) e v2 = (2, 5)

17. Sejam os vetores v1 = (−1, 2, 1) e v2 = (1, 0, 2) e v3 = (−2, −1, 0). Expressar cada um dos vetores u = (−8, 4, 1), v = (0, 2, 3) e w = (0, 0, 0), como combina¸c˜ao linear de v1, v2 e v3.

18. Expresar o vetor u = (−1, 4, −4, 6) ∈ R4

como combina¸c˜ao linear dos vetores v1 = (3, −3, 1, 0), v2 = (0, 1, −1, 2) e v3 = (1, −1, 0, 0). 19. Seja S o subespa¸co do R4 definido por: S = {x, y, z, t) ∈ R4_{| x + 2y − z = 0 e t = 0},} Pergunta-se: (a) (−1, 2, 3, 0) ∈ S? (b) (3, 1, 4, 0) ∈ S? (c) (−1, 1, 1, 1) ∈ S? 20. Determinar os subespa¸cos do R3

gerados pelos seguintes conjuntos: (a) A = ({(2, −1, 3)} (b) A = {(−1, 3, 2), (2, −2, 1)} (c) A = {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (−1, 1, 0)} (d) A = {(−1, 1, 0), (0, 1, −2), (−2, 3, 1)} 21. Sejam os vetores v1 = (1, 1, 1), v2 = (1, 2, 0) e v3 = (1, 3, −1). Se (3, −1, k) ∈ [v1, v2, v3], qual o valor de k?

22. Mostrar que os vetores v1 = (1, 1, 1), v2 = (0, 1, 1) e v3 = (0, 0, 1) geram o R3. 23. Verificar se o vetor v = (−1, −3, 2, 0) pertence ao subespa¸co do R4

gerado pelos vetores v1 = (2, −1, 3, 0), v2 = (1, 0, 1, 0) e v3 = (0, 1, −1, 0).

24. Classificar os seguintes subconjuntos do R3

em LI ou LD: (a) {(2, −1, 3)}

(14)

(b) {(1, −1, 1), (−1, 1, 1)} (c) {(2, −1, 0), (−1, 3, 0), (3, 5, 0)} (d) {(2, 1, 3), (0, 0, 0), (1, 5, 2)} (e) {(1, 2, −1), (2, 4, −2), (1, 3, 0)} (f) {(1, −1, −2), (2, 1, 1), (−1, 0, 3)} (g) {(1, 2, −1), (1, 0, 0), (0, 1, 2), (3, −1, 2)}

25. Sendo v1 = (1, 2) ∈ R2, determinar v2 ∈ R2 tal que {v1, v2} seja base de R2. 26. Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores formam base do R2

: (a) {(1, 2), (−1, 3)}

(b) {(3, −6), (−4, 8)} (c) {(0, 0), (2, 3)} (d) {(3, −1), (2, 3)}

27. Quais dos seguintes conjuntos de vetores formam uma base do R3 ? (a) (1, 1, −1), (2, −1, 0), (3, 2, 0) (b) (1, 0, 1), (0, −1, 2), (−2, 1, −4) (c) (2, 1, −1), (−1, 0, 1), (0, 0, 1) (d) (1, 2, 3), (4, 1, 2) (e) (0, −1, 2), (2, 1, 3), (−1, 0, 1), (4, −1, −2)

28. Mostrar que o conjunto: {(1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1), (1, 0, 0, 3), (0, 0, 0, 5)}, ´e base do R4 29. Seja V = R3

e o conjunto: B = {(0, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 2, 1)} ⊂ R3 (a) Mostrar que B n˜ao ´e base do R3

. (b) Determinar uma base do R3

que possua dois elementos de B.

2.1 Respostas

1. Não é espa¸co vetorial. Falha o axioma (viii) 2. O conjunto é um espa¸co vetorial

3. Não é espa¸co vetorial. Falham os axiomas (i), (iii), (iv) 4. Não é espa¸co vetorial. Falha o axioma (ii)

5. O conjunto é um espa¸co vetorial 6. S é subespa¸co 7. É 8. Não é 9. É 10. É 11. Não é

(15)

12. Não é 13. É 14. É 15. (a) w = 3u − v (b) k = 12 (c) 16a + 10b − c = 0 16. (a) 0 = −2v1+ v2 (b) 0 = 0v1+ 0v2 17. u = 3v1− v2+ 2v3, v = v1+ v2 e w = 0v1+ 0v2+ 0v3 18. v = −v1+ 3v2+ 2v3 19. (a) Sim (b) Não (c) Não 20. (a) {(x, y, z) ∈ R3 | x = −2y e z = −3y} (b) {(x, y, z) ∈ R3 | 7x + 5y − 4z = 0} (c) {(x, y, z) ∈ R3 | x + y − z = 0} (d) ℜ3 21. k = 7 22. (x, y, z) = xv1+ (y − x)v2 + (z − y)v3 23. Pertence 24. (a) LI (b) LI (c) LD (d) LD (e) LD (f) LI (g) LD 25. v2 6= kv1, ∀k ∈ R 26. a), d) 27. a), c) 28. Desmostra¸cão 29. Uma base {(0, 1, 1), (1, 1, 0), (0, 0, 1)}

(16)

Referˆ

encias

[1] Steinbruch, A.; Winterle, P.: ´Algebra linear, Makron Books Editora, 1987.

[2] Boldrini, J. L., Costa, S. I. R., Ribeiro, V. L. F. F. e Wetzler, H. G., ´Algebra Linear. Harper & Row do Brasil Editora, 1980.

[3] Leon, S. J.: ´Algebra Linear com aplica¸c˜oes, 4a

edi¸c˜ao, LTC, 2008.

[4] Coelho, F. U. e Louren¸co, M. L.: Um curso de ´Algebra Linear, 2a