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aLISTA DE ´ ALGEBRA LINEAR II
Produto Interno Prof. Anna Regina Corbo
1. Verifique se as fun¸c˜oes<, >:R2×R2 →R definidas abaixo s˜ao produtos internos:
a) <(x, y),(z, t)>= 2xz+ 3yt b) <(x, y),(z, t)>=xz−yt c) <(x, y),(z, t)>= 4xz
d) <(x, y),(z, t)>=xz+yt+ 1 e) <(x, y),(z, t)>= 2x2z+y2t f) <(x, y),(z, t)>=x2z2+y2t g) <(x, y),(z, t)>=x2z2+y2t2
h) <(x, y),(z, t)>=xz−2xt−2yz + 5yt 2. Calcule a norma de (1,−5,2) considerando:
a) o produto interno usual no R3. b) <(x, y, z),(w, r, t)>= 1
2xw+yr+ 3zt 3. Calcule k(2,1)kem rela¸c˜ao ao:
a) o produto interno usual no R2. b) <(x, y),(z, t)>= 3xz+ 4yt
4. Considere o espa¸co vetorialR3 munido do produto interno usual. Determine k∈Rtal que k(6, k,−1)k=√
41.
5. Mostre que k v
kvkk= 1 para todov ∈V.
6. Sejam u, v ∈ V um espa¸co vetorial euclidiano tais que kvk= 3 e kuk= 5. Determine k ∈R de modo que< v+k·u, v−k·u >= 0.
7. SejamR2 munido do produto interno usual, v = (1,2) e u= (3,5).
a) interprete geometricamente v+u, v−u eu−v.
b) calcule d(u, v) e d(v, u).
8. Seja o espa¸co vetorialR2 com produto interno usual tal quekvk= 3,kuk= 4 ekv+uk=
2√
5. Indique o ˆangulo entre v e u.
9. Verifique se os vetores (2,−3) e (3,2) s˜ao ortogonais em rela¸c˜ao aos seguintes produtos internos no R2:
a) <(x, y),(z, t)>=xz+yt b) <(x, y),(z, t)>= 4xz+ 3yt
10. Verifique se o conjunto {(1,2,0),(2,−1,3),(−6,3,5)} ´e ortonormal. Caso negativo, ortonormalize-o.
11. Verifique se as bases abaixo s˜ao ortogonais no R2 e no R3, respectivamente, para o produto interno usual.
a) {(1,2),(3,5)}
b)
(2 3,−2
3,1 3),(2
3,1 3,−2
3),(1 3,2
3,2 3)
12. Encontre um vetor unit´ario noR3 que seja ortogonal aos vetores (1,−1,0) e (2,−1,1).
13. Seja V espa¸co vetorial euclidiano. Mostre que se v, u ∈ V s˜ao ortogonais e tais que kvk=kuk= 1 ent˜aokv−uk=√
2.
14. Mostre que a matriz
cosθ −senθ 0 senθ cosθ 0
0 0 1
´e ortogonal.
15. Encontre valores para x e y tais que
x y
−1 0
seja uma matriz ortogonal.
Gabarito:
2) a)√
30 b) r75
2 3) a)√
5 b) 4
4)a=±2
6)a=±35
7)d(v, u) =d(u, v) =√ 13
8)θ=arccos
− 5 24
12) √
3 3 ,
√3 3 ,−
√3 3
