Universidade Federal do Paraná 2◦ semestre 2015.
Algebra Linear, CM 005 Olivier Brahic
Lista de exercícios 10
Aplicações Lineares
Exercício 1: Mostre que cada um dos operadores seguinte é linear em R2. Descreva geome-tricamente o que cada transformação linear executa.
a) L(x) = (−x1, x2)|,
b) L(x) = −x, c) L(x) = (x2, x1)T,
d) L(x) = 12x,
e) L(x) = x2e2.
Exercício 2: Seja L o operador linear em R2 definido por:
L(x) = (x1cos α − x2sin α, x1sin α + x2cos α).
Exprima L em termo de cordenadas polares. Descreva geometricamente o efeito da transfor-mação linear.
Exercício 3: Seja a um vetor não nulo fixo em R2. Uma representção da forma: L(x) = x + a
é chamada de translação. Mostre que uma translação não é um operador linear. Exercício 4: Seja L : R2 → R2 um operador linear. Se:
L((1, 2)|) = (−2, 3)|, L((1, −1)|) = (5, 2)|, encontre o valor de L((7, 5)|).
Exercício 5: Determine se as seguintes são transformações lineares de R3 em R2. a) L(x) = (x2, x3)|
b) L(x) = (1 + x1, x2)|,
c) L(x) = (x3, x1+ x2)|,
d) L(x) = (0, 0)|,
Exercício 6: Determine se as seguintes são transformações lineares de R2 em R3. a) L(x) = (x1, x1, 1)|
b) L(x) = (x1, x2, x1+ 2x2)|,
c) L(x) = (x1, 0, 0)|,
d) L(x) = (x1, x2, x21+ x22)|,
a) L(A) = 2A, b) L(A) = A|,
c) L(A) = A + I, d) L(A) = A − A|,
Exercício 8: Seja C uma matrix n × n fixa. Determine se os seguintes são operadores lineares sobre Rn×n.
a) L(A) = CA + AC, b) L(A) = C2A,
c) L(A) = A2C,
Exercício 9: Determine se os seguintes são operadores lineares de P2 em P3.
a) L(p(x)) = xp(x), b) L(p(x)) = x2+ p(x),
c) L(p(x)) = p(x) + xp(x) + x2p(x).
Exercício 10: Determine o núcleo e a imagem das seguintes aplicações lineares: a) L(x) = (x3, x2, x1),
b) L(x) = (x1, x2, 0),
c) L(x) = (x1, x1, x1).
Exercício 11: Determine o núcleo e a imagem das seguintes aplicações lineares em P3: a) L(p(x)) = xp0(x), b) L(p(x)) = p(x) − p0(x).
Resoluções:
Resolução do Exercício 1:
a) Para quaisquer x = (x1, x2) e y = (y1, y2) em R2, e qualquer α ∈ R, calculemos
L(x + y) = L(x1+ y1, x2+ y2)| = (−x1− y1, x2+ y2)| = (−x1, x2)|+ (−y1, y2)| = L(x) + L(y). L(αx) = L(αx1, αx2)| = (−αx1, αx2)| = α(−x1, x2)| = αL(x).
Segue que L é linear. Temos L(1, 0) = (−1, 0), L(0, 1) = (0, 1) e L(1, 1) = (−1, 1), concluemos que L é a simetria em relação ao eixo 0y, paralela a 0x.
b) Para quaisquer x, y ∈ R2, e qualquer α ∈ R, calculemos: L(x + y) = −(x + y) = −x − y = L(x) + L(y). L(αx) = −(αx) = α(−x) = αL(x).
Segue que L é linear. Temos L(1, 0) = (−1, 0), L(0, 1) = (0, −1) e L(1, 1) = (−1, −1), concluemos que L é a simetria central de centro 0R2.
c) Para quaisquer x = (x1, x2) e y = (y1, y2) em R2, e qualquer α ∈ R, calculemos
L(x + y) = L(x1+ y1, x2+ y2)| = (x2+ y2, x1+ y1)| = (x2, x1)|+ (y2, y1)| = L(x) + L(y). L(αx) = L(αx1, αx2)| = (αx2, αx1)| = α(x2, x1)| = αL(x).
Segue que L é linear. Temos L(1, 0) = (0, 1), L(0, 1) = (1, 0) e L(1, 1) = (1, 1), concluemos que L é a simetria em relação à a reta diagonal ∆+:= R.(1, 1) paralela à reta antidiagonal ∆−:= R.(−1, 1).
d) Para quaisquer x, y ∈ R2, e qualquer α ∈ R, calculemos: L(x + y) = 1 2(x + y) = 1 2x + 1 2y = L(x) + L(y). L(αx) = 1 2(αx) = α(1 2x) = αL(x).
Segue que L é linear. Temos L(1, 0) = (12, 0), L(0, 1) = (0,12) e L(12,12) = (12,12), concluemos que L é uma dilatação de centro 0
R2, de fator 1 2.
e) Para quaisquer x = (x1, x2) e y = (y1, y2) em R2, e qualquer α ∈ R, calculemos
L(x + y) = L(x1+ y1, x2+ y2)| = (x2+ y2) e2 = x2e2+ y2e2 = L(x) + L(y). L(αx) = L(αx1, αx2)| = (αx2) e2 = α(x2e2) = αL(x).
Segue que L é linear. Temos L(1, 0) = (0, 0), L(0, 1) = (0, 1) e L(1, 1) = (0, 1), concluemos que L é a projeção sobre o eixo 0y paralela ao eixo 0x.
Resolução do Exercício 2: Em coordenadas polares, L se escreve da forma: L(r, θ) = (r, θ + α).
Segue que L é a rotação de centro 0R2 e de angulo α.
Resolução do Exercício 3: Sejam x e y em R2 quaisquer. Comparemos L(x + y) e L(x) + L(y), tem-se que:
L(x + y) = (x + y) + a = x + y + a
L(x) + L(y) = (x + a) + (y + a) = x + y + 2a. .
Jà que a 6= 0R2, vemos que L(x+y) 6= L(x)+L(y), segue que L não é linear. No caso a = 0
R2,
L é linear pois é a identidade.
Outra maneira de ver que L não é linear (no caso a 6= 0R2) segue da observação do que a
imagem da origem por L não é a origem: L(0
R2) = a 6= 0R2.
Resolução do Exercício 4: Vamos usar a propriedade de linearidade de L. Observemos que (7, 5)|= 4(1, 2)|+ 3(1, −1)|, segue que: L((7, 5)|) = L(4(1, 2)|+ 3(1, −1)|) ∗ = 4L((1, 2)|) + 3L((1, −1)|)) = 4(−2, 3) + 3(5, 2) = (−8 + 15, 12 + 6) = (7, 21)
Note que foi em ∗ que foi usada a linardade de L. Resolução do Exercício 5:
a) Para quaisquer x = (x1, x2, x3) e y = (y1, y2, y3) em R3, e qualquer α ∈ R, calculemos
L(x + y) = L(x1+ y1, x2+ y2, x3+ y3)| = (x2+ y2, x3+ y3)| = (x3, x3)|+ (y2, y3)| = L(x) + L(y). L(αx + y) = L(αx1, αx2, αx3)| = (αx2, αx3)| = α(x2, x3)| = αL(x). Segue que L é linear.
b) Sejam x, y ∈ R3, calculemos:
L(x + y) = L(x1+ y1, x2+ y2, x3+ y3)|
= (1 + x1+ y2, x2+ y2)|
= (1 + x1, x2) + (y1, y2)|
6= (1 + x1, x2)|+ (1 + y2, y3)|= L(x) + L(y).
Segue que L não é linear. Tambem pode ser verificado direitamente que L(0, 0, 0) = (1, 0) 6= (0, 0), logo L não é linear.
c) Para quaisquer x = (x1, x2, x3) e y = (y1, y2, y3) em R3, e qualquer α ∈ R, calculemos L(x + y) = L(x1+ y1, x2+ y2, x3+ y3)| = (x3+ y3, x1+ y1+ x2+ y2)| = (x3, x1+ x2)|+ (y3, y1+ y2)| = L(x) + L(y). L(αx) = L(αx1, αx2, αx3)| = (αx3, αx1+ αx2)| = α(x3, x1+ x2)| = αL(x). Segue que L é linear.
d) Para quaisquer x, y ∈ R3, e qualquer α ∈ R, calculemos: L(x + y) = (0, 0)| = (0, 0)|+ (0, 0)| = L(x) + L(y). L(αx) = (0, 0)| = α(0, 0)| = αL(x). Segue que L é linear.
Resolução do Exercício 6: a) L(0
R2) = (0, 0, 1)
| logo L não é linear.
b) Para quaisquer x = (x1, x2) e y = (y1, y2) em R2, e qualquer α ∈ R, calculemos
L(x + y) = L(x1+ y1, x2+ y2)| = (x1+ y1, x2+ y2, x1+ y1+ 2(x2+ y2)| = (x1, x2, x1+ 2x2)|+ (y1, y2, y1+ 2y2)| = L(x) + L(y), L(αx) = L(αx1, αx2, αx3)| = (αx1, αx2, αx1+ 2αx2)| = α(x1, x2, x1+ 2x2)| = αL(x). Segue que L é linear.
c) Para quaisquer x = (x1, x2) e y = (y1, y2) em R2, e qualquer α ∈ R, calculemos
L(x + y) = L(x1+ y1, x2+ y2)| = (x1+ y1, 0, 0)| = (x1, 0, 0)|+ (y1, 0, 0)| = L(x) + L(y), L(αx) = L(αx1, αx2, αx3)| = (αx1, 0, 0)| = α(x1, 0, 0)| = αL(x). Segue que L é linear.
d) Para x ∈ R2 (x diferente de 0R3) e α ∈ R (α diferente de 0) temos:
L(αx) = (αx1, αx2, (αx1)2+ (αx2)2)|
= α(x1, x2, α(x21+ x22))|
6= α(x1, x2, x21+ x22)|= αL(x).
Resolução do Exercício 7:
a) Para quaisquer matrizes A, B ∈ Rn×n, e qualquer α ∈ R, calculemos L(A + B) = 2(A + B) = 2A + 2B = L(A) + L(B). L(αA) = 2(αA) = α(2A) = αL(A), Segue que L é linear.
b) Para quaisquer matrizes A, B ∈ Rn×n, e qualquer α ∈ R, calculemos L(A + B) = (A + B)| = A|+ B| = L(A) + L(B), L(αA) = (αA)| = α(A|) = αL(A). Segue que L é linear.
c) Para quaisquer matrizes A, B ∈ Rn×n, e qualquer α ∈ R, calculemos L(A + B) = (A + B) + I
= A + B + I
6= A + B + 2I = (A + I) + (B + I) = L(A) + L(B). Segue que L não é linear.
d) Para quaisquer matrizes A, B ∈ Rn×n, e qualquer α ∈ R, calculemos L(A + B) = (A + B) − (A + B)|
= (A − A|) + (B − B|) = L(A) + L(B),
L(αA) = (αA) − (αA)| = α(A − A|) = αL(A). Segue que L é linear.
Resolução do Exercício 8:
a) Para quaisquer matrizes A, B ∈ Rn×n, e qualquer α ∈ R, calculemos L(A + B) = C(A + B) + (A + B)C
= (CA + AC) + (CB + BC) = L(A) + L(B),
L(αA) = C(αA) + (αA)C = α(CA + AC) = αL(A). Segue que L é linear.
b) Para quaisquer matrizes A, B ∈ Rn×n, e qualquer α ∈ R, calculemos L(A + B) = C2(A + B) = C2A + C2B = L(A) + L(B), L(αA) = C2(αA) = α(C2A) = αL(A). Segue que L é linear.
c) No caso C 6= 0, para quaisquer matrizes A, B ∈ Rn×n tais que (AB + BA)C 6= 0Rn×n (por exemplo: A = B = I) temos: L(A + B) = (A + B)2C = (A2+ AB + BA + B2)C = (A2C + ABC + BAC + B2C 6= A2C + B2C = (A + I) + (B + I) = L(A) + L(B). Segue que L não é linear.
No caso C = 0, L(A) = 0Rn×n para qualquer A, logo é linear. Resolução do Exercício 9: Sejam P, Q ∈ P2, e α ∈ R.
a) Para quaisquer p(x), q(x) em P2, e qualquer α ∈ R, calculemos:
L(p(x) + q(x)) = x(p(x) + q(x)) = x.p(x) + xq(x) = L(p(x)) + L(q(x)). L(αp(x)) = x(αp(x)) = α.(xp(x)) = αL(p(x)). Logo L é linear.
b) Consideremos o polinômio nulo 0p2. Temos: L(0P2) = x
2+ 0
P2 6= 0P3.
Logo L não é linear.
c) Para quaisquer p(x), q(x) em P2, e qualquer α ∈ R, calculemos:
L(p(x) + q(x)) = (p(x) + q(x)) + x(p(x) + q(x)) + x2(p(x) + q(x)) = p(x) + xp(x) + x2p(x) + q(x) + xq(x) + x2q(x) = L(p(x)) + L(q(x)). L(αp(x)) = αp(x) + x.αp(x) + x2αp(x) = α.(p(x) + xp(x) + x2p(x)) = αL(p(x)). Logo L é linear. Resolução do Exercício 10: a) Por definição do núcleo, temos:
N (L) = {x = (x1, x2, x3) ∈ R3 | L(x) = 0R3)}.
Logo x = (x1, x2, x3) pertence em N (L) se e somente se L(x) = 0 ou seja, se e somente se
(x3, x2, x1) = (0, 0, 0). Concluemos que N (L) = {(0, 0, 0)}.
É claro que qualquer elemento y = (y1, y2, y3) em R3 é da forma y = L(x) para um certo
x ∈ R3, pois o sistema (y1, y2, y3) = (x1, x2, x3) sempre tem uma solução (x1, x2, x3).
b) Temos N (L) = {x = (x1, x2, x3) ∈ R3 | L(x) = 0R3)}, logo:
x = (x1, x2, x3) ∈ N (L) ⇐⇒ L(x) = (0, 0, 0),
⇐⇒ (x1, x2, 0) = (0, 0, 0),
⇐⇒ x1 = x2 = 0, x1 qualquer
⇐⇒ (x1, x2, x3) = (0, 0, α) onde α ∈ R.
Logo N (L) é o subespaço de dimensão 1 de R3 dado por:
N (L) = {(x1, x2, x3) ∈ R3 | (x1, x2, x3) = (0, 0, α), α ∈ R}
= Cob(e3)
= R.e3.
Por outro lado, temos:
Im(L) = {y = (y1, y2, y3) ∈ R3 | existe x ∈ R3, y = L(x)}
= {y = (y1, y2, y3) ∈ R3 | existe x ∈ R3, y = (x1, x1, x1)}
= {L(x) ∈ R3 | x ∈ R3}
= {(x1, x2, 0) ∈ R3 | x1, x2 ∈ R}
Logo Im(L) é o subespaço de dimensão 2 de R3 dado por Im(L) = Cob(e1, e2).
c) Temos N (L) = {x = (x1, x2, x3) ∈ R3 | L(x) = 0R3)}, logo:
x = (x1, x2, x3) ∈ N (L) ⇐⇒ L(x) = (0, 0, 0),
⇐⇒ (x1, x1, x1) = (0, 0, 0),
⇐⇒ x1 = 0, x2, x3 quaisquer
⇐⇒ (x1, x2, x3) = (0, α, β) onde α, β ∈ R.
Logo N (L) é o subespaço de dimensão 2 de R3 dado por:
N (L) = {(x1, x2, x3) ∈ R3|(x1, x2, x3) = (0, α, β), α, β ∈ R3} = Cob(e2, e3).
Por outro lado, temos:
Im(L) = {y = (y1, y2, y3) ∈ R3 | existe x ∈ R3, y = L(x)}
= {y = (y1, y2, y3) ∈ R3 | existe x ∈ R3, y = (x1, x1, x1)}
= {L(x) ∈ R3 | x ∈ R3}
= {(x1, x1, x1) ∈ R3 | x1 ∈ R}
Logo Im(L) é o subespaço de dimensão 1 de R3 dado por: Im(L) = Cob(v) = R.v, onde v é o vetor definido por v := (1, 1, 1).
Resolução do Exercício 11:
a) Temos por definição do núcleo que N (L) := {p(x) = a + bx + cx2 ∈ P3 | L(p(x)) = 0P3}, logo: p(x) = a + bx + cx2 ∈ N (L) ⇐⇒ L(p(x)) = 0P3, ⇐⇒ xp0(x) = 0P3, ⇐⇒ x.(b + 2cx) = 0P3, ⇐⇒ bx + 2cx2 = 0P3, ⇐⇒ b = c = 0, a qualquer ⇐⇒ p(x) = a, onde a ∈ R.
Portanto N (L) é o subespaço de dimensão 1 de P3 dos polinômios constantes, ou seja: N (L) = {p(x) ∈ P3 | p(x) = a, a ∈ R} = Cob(1).
Por outro lado, temos:
Im(L) = {q(x) ∈ P3 | existe p(x) ∈ P3, q(x) = L(p(x))} = {L(p(x) ∈ P3 | p(x) ∈ P3}
= {bx + 2cx2 ∈ P3 | b, c ∈ R}
= {bx + c0.x2 ∈ P3 | b, c0∈ R}
Logo Im(L) é o subespaço de dimensão 2 de P3 gerado pelos polinômios x e x2: Im(L) = Cob(x, x2).
b) Temos por definição do núcleo que N (L) = {p(x) = a + bx + cx2 ∈ P3 | L(p(x)) = 0P3)}, logo: p(x) = a + bx + cx2 ∈ N (L) ⇐⇒ L(p(x)) = 0P3, ⇐⇒ p(x) − p0(x) = 0P3, ⇐⇒ a + bx + cx2− (b + 2cx) = 0P3, ⇐⇒ (a − b) + (b − 2c)x + cx2 = 0P3, ⇐⇒ a = b = c = 0, ⇐⇒ p(x) = 0P3.
Portanto N (L) = {0P3} é o subespaço trivial de P3. Por outro lado, temos:
Im(L) = {q(x) ∈ P3 | existe p(x) ∈ P3, q(x) = L(p(x))}
= {q(x) ∈ P3 | q(x) = (a − b) + (b − 2c)x + cx2, a, b, c ∈ R}
Para qualquer q(x) = α + βx + γx2 ∈ P3 o sistema:
a−b = α, b −2c = β, c = γ
tendo uma solução (a, b, c), concluemos que a imagem de L é o espaço P3 inteiro: Im(L) = P3.