TEA784: Fundamentos de Engenharia Ambiental - PPGEA - UFPR Gabarito P1 Data: 11/04/2016
Professor: Emílio G. F. Mercuri
Antes de iniciar a resolução leia atentamente a prova e verifique se a mesma está completa. A avaliação é individual e sem consultas. Marque a resposta final a caneta. Boa sorte!
(1) Considere o Fluxo Difusivo na interface ar-água em um lago.
O perfil de oxigênio na camada de fluxo laminar na superfície do um lago é:
C(z) = Csat− (Csat− Cl) erf
z
δ√2
sendo que: Csat = 10 mg/L é a concentração de saturação de oxigênio na água, Cl= 8 mg/L é a concentração de oxigênio numa profundidade média do lago, δ é a espessura da camada limite formada pelo escoamento do vento na superfície do lago, e z é uma coordenada definida como positiva para baixo. A espessura δ = 2,5 cm é mantida constante. Determine qual o fluxo de massa total de oxigênio para dentro do lago. Considere que o lago tem uma área Al = 100 m2, que o coeficiente de difusão do oxigênio molecular é DO2 = 0,2 × 10
−4 cm2/s.
z
Alta concentração
Baixa concentração
Solução da Questão 1
A lei de Fick afirma que o gradiente de concentração de oxigênio no lago gera um fluxo difusivo de massa para dentro do lago. Considerando que a concentração é uniforme nas direções x e y, temos que:
qz = −D dC
dz
A derivada da expressão da concentração é:
dC(z) dz =
d dz
Csat− (Csat− Cl) erf
z δ√2 dC dz = −(Csat− Cl) d dz erf z δ√2 dC dz = −(Csat− Cl) d dz 2 √ π z/δ√2 Z 0 e−ξ2dξ dC dz = − 2 √ π(Csat− Cl) d dz z/δ√2 Z 0 e−ξ2dξ
Usando a Regra de Leibniz:
dC dz = − 2 √ π (Csat− Cl) δ√2 e − z δ√2 2
Na superfície de lago, z = 0 e o fluxo difusivo se torna:
qz= (Csat− Cl) D√2
δ√π
A unidade de qz é [M/(L2·T)]. Para obter o fluxo de massa total, basta multiplicar pela área da superfície do lago Al. Convertendo as unidades: δ = 0,025 m, D = 0,2 × 10−8 m2/s, C l = 8×10 −3g 10−3m3 = 8 g/m3 ˙ m = Al(Csat− Cl) D√2 δ√π = 100(10 − 8) 0,2 × 10−8√2 0,025√π = 200 0,2 × 10−8√2 0,025√π = 7,2 × 10 −6g/s = 0,62 g/dia
(2) Um processo de tratamento da água destrói um composto químico por meio do uso de um reator completamente
misturado com uma reação de primeira ordem. O volume do reator é de 500 L e a vazão é 600 L/dia. A taxa de reação depende da temperatura de acordo com a equação k(T ) = 1,21e0,1(T −20) dia−1, sendo T a temperatura em graus Celsius. Considerando que o reator acabou de ser instalado, quanto tempo demora para a concentração do efluente cair pela metade do valor inicial considerando que a temperatura é mantida constante a 25◦C?
Q, C0
Q, C(t) T , V
Solução da Questão 2:
Fazendo o balanço de massa, temos que:
dm dt = ˙ma− ˙me+ ˙mr dC dt V = QC0− QC − kCV dC dt + C Q V + k = C0Q V Fazendo β = Q V + k C0+ βC = C0Q V
Usando a técnica de fator integrante (×eβt):
eβt C0+ βC = C0 Q Ve βt eβtC0 = C0Q Ve βt Integrando: Z eβtC0dt = Q VC0 Z eβtdt + K eβtC = Q V C0 β e βt+ K
Dividindo por eβt, tem-se:
C = Q V
C0 β + Ke
−βt
Mas, quando t = 0, C = C0, podemos encontrar K = C0−Q
V C0
β
Substituindo K e simplificando, tem-se a seguinte expressão, que é a solução para regime não permanente:
C = Q V C0 β 1 − e−βt+ C0e−βt
O tempo que demora para a concentração do efluente cair pela metade do valor inicial pode ser obtido por:
C0 2 = Q V C0 β 1 − e−βt+ C0e−βt 1 2 = Q V 1 β 1 − e−βt+ e−βt = e−βt 1 − Q V β + Q V β e−βt 1 − Q V β = 1 2− Q V β e−βt V β − Q V β = V β − 2Q 2V β
e−βt = V β − 2Q 2(V β − Q) −βt = ln V β − 2Q 2(V β − Q) t = 1 β ln 2(V β − Q) V β − 2Q Podemos calcular β a 25◦C: β = Q V + 1.21e 0.1(25−20) = 600 500+ 1,21e 0.5 = 1,2 + 1,995 ≈ 3,2 dia−1 t = 1 3,2ln 2(500 × 3,2 − 600) 500 × 3,2 − 2(600) = 1 3,2ln 2000 400 = 0,45 dias = 10,8 horas
(3) Uma usina de energia elétrica a carvão produz 1.000 MW de eletricidade queimando combustível com um conteúdo
de energia de 2.800 MW. Desse total, 340 MW são perdidos como calor na chaminé, deixando 2.460 MW para turbinas de energia que movem um gerador para produzir eletricidade. Entretanto, a eficiência térmica das turbinas é de somente 42%. Isso significa que 42% dessa energia é utilizada para mover o gerador, mas o resto (58% de 2.460 = 1.430 MW) é calor excedente que deve ser removido por água de resfriamento. Suponha que a água de resfriamento de um rio adjacente, captada a uma vazão Q = 100 m3/s, seja usada para remover o calor excedente. Em quanto aumentará a temperatura do rio como resultado da adição desse calor?
Q, Ta Q, Te
˙
Q
Considere que o sistema de resfriamento opera em regime permanente e que os fluxos de calor afluente e efluente são, respectivamente: qacalor = ˙m c Ta e qecalor = ˙m c Te. Dados: massa específica da água ρH2O = 1000 kg/m3, capacidade calorífica da água cH2O= 4.184 J/(kg◦C)
Solução da Questão 3:
Uma quantidade de calor é adicionada a um escoamento de água, a temperatura resultante deve ser determinada. Um balanço de energia pode ser ser escrito para a confluência do sistema de resfriamento.
dE dt = ˙Ea− ˙Ee Sendo que: dE dt = 0 (regime permanente) ˙
Ea= (Taxa de calor da usina elétrica) + (Taxa de calor do escoamento afluente)
˙
Ee= (Taxa de calor do escoamento efluente) Portanto, tem-se: 0 = 1.430 × 106+ ˙m c Ta− ˙m c Te ˙ m c (Te− Ta) = 1.430 × 106 Mas ˙m = ˙V ρ = 100(1000) = 105 kg/s ˙ m c ∆T = 1.430 ∆T = 1.430 × 10 6 ˙ m c = 1.430 × 106 105× 4.184 = 3,42 ◦ C
Relações Matemáticas qz = −D dC dz erf (x) = 2 √ π x Z 0 e−ξ2dξ Regra de Leibniz: d dt b(t) Z a(t) f (x,t) dx = b(t) Z a(t) ∂f ∂t dx + b 0 (t) f (b(t),t) − a0(t) f (a(t),t)
